2021-Postgraduate-408/Data-Structure/Sort

排序

插入排序

• 直接插入排序
  
• 折半插入排序
  
• 希尔排序
  

交换排序

• 冒泡排序
  
• 快速排序
  

选择排序

• 简单选择排序
  
• 堆排序
  

归并排序

• 归并排序

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插入排序

基本思想：每一趟将一个待排序的记录，按其关键字的大小插入到已排好序的一组记录的适当位置上，直到所有待排序记录全部插入为止。

直接插入排序(straight Insertion sort)

核心：通过构建有序序列，对于未排序序列，在已排序序列中从后向前扫描(对于单向链表则只能从前往后遍历)，找到相应位置并插入。

• 从第一个元素开始，该元素可认为已排序
• 取下一个元素，对已排序数组从后往前扫描
• 若从排序数组中取出的元素大于新元素，则移至下一位置
• 重复步骤3，直至找到已排序元素小于或等于新元素的位置
• 插入新元素至该位置
• 重复2~5

代码实现

#include <iostream>
using namespace std;
int main(){
	int a[] = {-1, 6, 5, 2, 8, 4, 1, 3, 7}; //数组从第二位开始,第一位[0]为暂存单元
	int len = sizeof(a) / sizeof(a[0]);
	for(int i = 2; i < len; i++){
		if(a[i] < a[i - 1]){
			a[0] = a[i];
			a[i] = a[i - 1];
			int j = i - 2;
			while(a[0] < a[j]){
				a[j + 1] = a[j];
				j--;
			}
			a[j + 1 ] = a[0];
		}
	}
	for(int i = 1; i < len; i++)
		cout << a[i];
	return 0;
}

算法分析

• 空间复杂度：需要一个记录的辅助空间[0],空间复杂度为 O(1).
• 时间复杂度：一共操作了 n-1 趟，每趟都分为比较和移动两部分。最好情况，只比较不移动，O(n);最坏情况，比较 n²/2 次，移动 n²/2 次， 时间复杂度为O(n²).

算法特点

• 稳定排序。
• 也适合于链式存储，只需修改相应的指针，无需移动。
• 适合于初始记录基本有序(正序)的情况，当初始记录无序，n较大时，此算法时间复杂度较高，不宜使用。

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折半插入排序(Binary Insertion Sort)

直接插入排序每一趟都需要在排好序的部分中从最后一位开始比较。折半插入排序减少了比较的次数，但移动次数没有改变。

代码实现

#include <iostream>
using namespace std;
int main(){
	int a[] = {-1, 6, 5, 2, 8, 4, 1, 3, 7}; //数组从第二位开始, 第一位[0]为暂存单元
	int len = sizeof(a) / sizeof(a[0]);
	for(int i = 2; i < len; i++){
		a[0] = a[i];
		int low = 1, high = i - 1;
		while(low <= high){
			int m = (low + high) / 2;
			if(a[0] < a[m]) high = m - 1;
			else low = m + 1;
		}
		for(int j = i - 1; j >= high + 1; j--)
			a[j + 1] = a[j];
		a[high + 1] = a[0];
	}
	for(int i = 1; i < len; i++)
		cout << a[i];
	return 0;
}

算法分析

• 时间复杂度：移动次数没有变，所以时间复杂度还是 O(n²).
• 空间复杂度：O(1).

算法特点

• 稳定排序。
• 只能用于顺序结构，不能用于链式结构。
• 适合初始记录无序、n较大时的情况。

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希尔排序(Shell's Sort)

直接插入排序，当待排序的记录个数较少且待排序序列的关键字基本有序时，效率较高。希尔排序针对以上两个方面进行了改进。 希尔排序实现上是将待排序序列分成几组分别进行插入排序，最后再合成一组。

基本思想: 先取一个小于n的整数d1作为第一个增量，把文件的全部记录分组。所有距离为d1的倍数的记录放在同一个组中。先在各组内进行直接插入排序；然后，取第二个增量d2<d1重复上述的分组和排序，直至所取的增量 =1，即所有记录放在同一组中进行直接插入排序为止。 一般的初次取序列的一半为增量，以后每次减半，直到增量为1。

代码实现

#include <iostream>
using namespace std;
int main(){
	int a[] = {6, 5, 2, 8, 4, 1, 3, 7};
	int len = sizeof(a) / sizeof(a[0]);
	int step = len / 2;  //初次增量为len/2
	while(step > 0){
		for(int i = step; i < len; i += step){
			while(i >= step && a[i - step] > a[i]){
				int temp = a[i - step];
				a[i - step] = a[i];
				a[i] = temp;
				i -= step;
			}
		}
		step = step / 2;
	}
	for(int i = 0; i < len; i++)
		cout << a[i];
	return 0;
}

算法分析：

• 时间复杂度：最坏情况 O(n²)
• 空间复杂度：只需要一个辅助空间，O(1).

算法特点:

• 不稳定排序。
• 只能用于顺序结构。
• 记录总的比较次数和移动次数都比直接插入排序要少，n越大时，效果越明显。适合初始记录无序、较大时的情况。

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交换排序

交换排序的基本思想是：两两比较待排序记录的关键字，一旦发现两个记录不满足次序要求时则进行交换，直到整个序列全部满足要求为止。

冒泡排序(Bubble Sort)

核心：冒泡，持续比较相邻元素，大的挪到后面，因此大的会逐步往后挪，故称之为冒泡。
每一次循环将未排序数组中最大的移到最后，所以下一次循环可以只比较到前一位

算法实现

#include <iostream>
using namespace std;
int main(){
	int a[] = {6, 5, 2, 8, 4, 1, 3, 7};
	int len = sizeof(a) / sizeof(a[0]);
	int m = len - 1, flag = 1;
	while((m > 0) && (flag == 1)){
		flag = 0;
		for(int i = 1; i <= m; i++){
			if(a[i - 1] > a[i]){
				flag = 1;
				int temp = a[i - 1];
				a[i - 1] = a[i];
				a[i] = temp;
			}
		}
		m--;
	}
	for(int i = 0; i < len; i++)
		cout << a[i];
	return 0;
}

算法分析

• 时间复杂度： 最好情况下只进行 n-1 次比较； 最坏情况下，进行 n(n-1)/2 次比较，移动 3n(n-1)/2次。时间复杂度为 O(n²).
• 空间复杂度： 只需要一个暂存空间， O(1).

算法特点

• 稳定排序
• 可用于链式存储
• 移动次数较多，算法平均时间性能比直接插入排序差。当初始记录无序，n较大时，不宜采用.

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快速排序(Quick Sort)

可以参考这篇文章。另外，我总结的是按照严蔚敏教材的内容，所以与那篇文章有所不同，不过思想是一样的。

快速排序是对冒泡排序的一种改进。它的基本思想是：通过一趟排序将要排序的数据分割成独立的两部分，其中一部分的所有数据都比另外一部分的所有数据都要小，然后再按此方法对这两部分数据分别进行快速排序，整个排序过程可以递归进行，以此达到整个数据变成有序序列。

【算法步骤】

设要排序的数组是A[0]……A[N-1]，首先任意选取一个数据（通常选用数组的第一个数）作为枢纽(或支点)，然后将所有比它小的数都放到它前面，所有比它大的数都放到它后面，结果将待排序记录分成两个子表，枢纽处于最终位置。然后分别对左右子表重复上述过程，直到每一个子表只有一个记录时，排序完成。值得注意的是，快速排序不是一种稳定的排序算法，也就是说，多个相同的值的相对位置也许会在算法结束时产生变动。

【具体步骤】

• 选择待排序表中的第一个记录作为枢纽，将枢纽记录暂存在r[0]的位置上。附设两个指针low和high，初始时分别指向表的下界和上届(第一趟时，low=1;high=length-1;)。
• 从表的最右侧位置依次向左搜索，找到第一个小于关键字pivotkey的记录，将其移到low处。(当low<high时，若 r[high]>=pivotkey , high--; 若 r[high]<pivotkey, r[low]=r[high];)
• 然后再从左依次向右搜索第一个大于privotkey的记录，将其移到此时的high处。
• 重复2和3，直到low==high位置，此时low==high这个位置就是pivotkey(即此时的r[0])的最终位置，原表被分为两个子表。
• 分别对左右表执行以上操作。(递归).

代码实现

#include <iostream>
using namespace std;
void quickSort(int list[], int low, int high)
{
	if(low < high){
		list[0] = list[low];
		int key = list[low];
		int left = low, right = high;
		while(low < high){
			while(low < high && list[high] >= key) high--;
			list[low] = list[high];
			while(low < high && list[low] <= key) low++;
			list[high] = list[low];
		}
		list[low] = list[0];
		quickSort(list,left,low-1);
		quickSort(list, low+1, right);
	}
}
int main(){
	int a[] = {-1, 6, 5, 2, 8, 4, 1, 3, 7};
	int len = sizeof(a) / sizeof(a[0]);
	quickSort(a, 1, len - 1);
	for(int i = 1; i < len; i++)
		cout << a[i];
	return 0;
}

【算法分析】

• 空间复杂度：快速排序是递归的，执行时需要一个栈来存放相应数据。最大递归次数与递归树的深度一致，所以最好情况下的空间复杂度为 O(log₂n)，最坏情况下为 O(n).
• 时间复杂度：最好情况：每一趟排序后都能将序列均匀分割成两个长度大致相等的子表，类似折半查。此时时间复杂度为 O(nlog₂n)。最坏情况为待排序列基本有序，每次只能划分比上一次少一个的子序列。平均时间复杂度为 O(nlog₂n)。

【算法特点】

• 不稳定排序。
• 需要两个位置指针，很难用于链式结构。
• 当n较大时，在平均情况下快速排序时内部排序方法中速度最快的一种，所以适合初始记录无序、n较大时的情况。

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选择排序

选择排序的基本思想是：每一趟从待排序的记录中选出关键字最小的记录，按顺序放在已排序的记录序列的最后，直到排完为止。

简单选择排序(Simple Selection Sort)

核心： 每一趟在未排序序列中选择最小的记录放到已排序序列的最后。

【算法步骤】

• 第一趟从r[1]开始，从待排序序列[r[1]...r[n]]中找到最小的记录r[k]，交换r[1]和r[k]。
• 第二趟从r[2]开始，通过n-2次查找，从 n-1 个记录中找到最小的r[k]，交换r[2]和r[k]。
• 依次类推，经过 n-1 趟， 排序完成。

代码实现

#include <iostream>
using namespace std;
int main(){
	int a[] = {-1, 6, 5, 2, 8, 4, 1, 3, 7};  //为了和教材一致，数组从第1位开始
	int len = sizeof(a) / sizeof(a[0]);
	for(int i = 1; i < len; i++){   
		int k = i;
		for(int j = i + 1; j < len; j++){
			if(a[j] < a[k]) k = j;
		}
		if(k != i){
			int temp = a[i];
			a[i] = a[k];
			a[k] = temp;
		}
	}
	for(int i = 1; i < len; i++)
		cout << a[i];
	return 0;
}

【算法分析】

• 空间复杂度: O(1).
• 时间复杂度: 简单排序所需移动次数较少。最好情况（正序），不移动，最坏情况（逆序），移动 3(n-1) 次。 无论初始排列如何，所需进行比较的次数相同，均为 n²/2次。

【算法特点】

• 稳定性：就选择排序方法本身来讲，它是一种稳定的排序方法。但某些情况下，如 a[]=[2,2,1],第一趟，a[0]与a[2]交换，两个2 a[0] 与a[1]的相对位置发生改变，这是因为采用“交换记录”的策略所造成的，改变这个策略，可以写出不产生这种不稳定现象的选择排序算法。
• 可用于链式存储结构。
• 移动记录次数较少，当每一记录占用的空间较多时，此方法比直接插入排序快。

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堆排序(Heap Sort)

先参考这篇文章

堆排序是一种树形选择排序，在排序过程中，将待排序的记录r[1..n]看成是一棵完全二叉树的顺序存储结构，利用完全二叉树中双亲结点和孩子结点之间的内在关系，在当前无序的序列中选择关键字最大（或最小）的记录。

　　__堆是具有以下性质的完全二叉树：每个结点的值都大于或等于其左右孩子结点的值，称为大顶堆；或者每个结点的值都小于或等于其左右孩子结点的值，称为小顶堆。如下图：

同时，我们对堆中的结点按层进行编号，将这种逻辑结构映射到数组中就是下面这个样子 (图中编号从0开始，教材中从1开始）

该数组从逻辑上讲就是一个堆结构，我们用简单的公式来描述一下堆的定义就是：

(图中编号从0开始，教材中从1开始）

大顶堆：arr[i] >= arr[2i] && arr[i] >= arr[2i+1]

小顶堆：arr[i] <= arr[2i] && arr[i] <= arr[2i+1]

堆经常被用来实现优先级队列 优先级队列在操作系统的作业调度和其他领域有广泛的应用。

堆排序的关键是__构造初始堆__,对初始序列建堆，就是一个反复筛选的过程。n个结点的完全二叉树，最后一个结点是第[n/2]个结点的孩子。对第[n/2]个结点为根的子树筛选（对于大根堆：若根结点的关键字小于子女中关键字较大者，则交换），使该子树成为堆。之后向前依次对各节点为根的子树进行筛选，看该结点值是否大于其左右子结点的值，若不是，将左右子结点中较大值与之交换，交换后可能会破坏下一级的堆，于是继续采用上述方法构造下一级的堆，直到以该结点为根的子树构成堆为止。反复利用上述调整堆的方法建堆，直到根结点。

【调整堆算法步骤】（教材中编号从1开始）

• 从r[2s]和r[2s+1]中选出关键字较大者，假设r[2s]的关键字较大，比较r[s]和r[2s]的关键字（就是选出这棵子树的最大值）
• 交换。将三者最大值交换到子树根结点位置，即r[s]处。（若 r[s]>=r[2s],不需调整；若r[s]<r[2s],交换两者位置。）
• 递归调用，直到根结点，即到r[1]处。

算法实现

void adjust(int arr[], int len, int index)
{
	int left = 2 * index ;     //下标从0开始的话改为 2 * index + 1
	int right = 2 * index + 1; //下标从0开始的话改为 2 * index + 2
	int maxIdx = index;
	if(left < len && arr[left] > arr[maxIdx]) maxIdx = left;
	if(right < len && arr[right] > arr[maxIdx]) maxIdx = right;
	if(maxIdx != index)
	{
		int temp = arr[maxIdx];
		arr[maxIdx] = arr[index];
		arr[index] = temp;
		adjust(arr, len, maxIdx);
	}
}

调整堆后就是建初堆，也就是将以每一个结点为根的子树都调整为堆。 __就是从[n/2]开始调用调整堆，直到[n/2]-1、...、[1] __ 然后将堆顶元素，就是最大的元素放到序列最后，继续调整剩余的元素，循环

算法实现

void heapSort(int arr[], int size)
{
	for(int i = size / 2 ; i >= 1; i--)   //下标从0开始的话改为 size / 2 - 1; i >= 0;
		adjust(arr, size, i);
	for(int i = size - 1; i >= 1; i--)
	{
		int tmp = arr[1];   // 下标从0开始的话改为 arr[0]
		arr[1] = arr[i];
		arr[i] = tmp;
		adjust(arr, i, 1);
	}
}

完整代码 (下标从1开始）

#include <iostream>
using namespace std;

void adjust(int arr[], int len, int index)
{
	int left = 2 * index ;     //下标从0开始的话改为 2 * index + 1
	int right = 2 * index + 1; //下标从0开始的话改为 2 * index + 2
	int maxIdx = index;
	if(left < len && arr[left] > arr[maxIdx]) maxIdx = left;
	if(right < len && arr[right] > arr[maxIdx]) maxIdx = right;
	if(maxIdx != index)
	{
		int temp = arr[maxIdx];
		arr[maxIdx] = arr[index];
		arr[index] = temp;
		adjust(arr, len, maxIdx);
	}
}
void heapSort(int arr[], int size)
{
	for(int i = size / 2 ; i >= 1; i--)   //下标从0开始的话改为 size / 2 - 1; i >= 0;
		adjust(arr, size, i);
	for(int i = size - 1; i >= 1; i--)
	{
		int tmp = arr[1];   // 下标从0开始的话改为 arr[0]
		arr[1] = arr[i];
		arr[i] = tmp;
		adjust(arr, i, 1);
	}
}

int main(){
	int a[] = {-1, 6, 5, 2, 8, 4, 1, 3, 7}; 
	int len = sizeof(a) / sizeof(a[0]);
	heapSort(a, len);
	for(int i = 0; i < len; i++)
		cout << a[i];
	return 0;
}

【算法分析】

• 空间复杂度： 仅需一个供交换用的辅助空间，空间复杂度为 O(1)。
• 时间复杂度： 运行时间主要耗费在建初堆和调整堆时的反复筛选上。 时间复杂度为 O(nlog₂n)。

【算法特点】

• 是不稳定排序。
• 只能用于顺序结构。
• 初始堆所需的比较次数较多，因此记录数较少时不宜使用。堆排序在最坏情况下时间复杂度为 O(nlog₂n)， 相对于快速排序最坏情况下的 O(n²)而言是一个优点，当记录较多时较为高效。

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归并排序(Merging Sort)

归并排序就是将两个或两个以上的有序表合并成一个有序表的过程。将两个有序表合并称为2-路合并，2-路合并最为简单和常用。
核心：将两个有序对数组归并成一个更大的有序数组。通常做法为递归排序，并将两个不同的有序数组归并到第三个数组中。

先来看看动图，归并排序是一种典型的分治应用。

假设初始序列有n个记录，则可看成是n个有序的子序列，每个子序列的长度为1，然后两两归并，得到 n/2 个长度为2或1的有序子序列；再两两归并，...,直到得到一个长度为n的有序子序列为止。

【算法步骤】

• 将当前序列一分为二，求出分裂点 mid=(low+high)/2;
• 对子序列R[low...mid]递归，进行归并排序，结果放入S[low...mid]中；
• 对子序列R[mid+1...high]递归，进行归并排序，结果放入S[mid+1...high]中；
• 将两个子序列归并为一个有序的序列.

算法实现

#include <iostream>
using namespace std;
//合并左右子表
void Merge(int arr[], int left, int mid, int right)
{
	int *temp = new int[right - left];
	int t = 0;
	int i = left;
	int j = mid;
	while(i < mid && j < right){
		if(arr[i] <= arr[j]) temp[t++] = arr[i++];
		else temp[t++] = arr[j++];
	}
	while(i < mid) temp[t++] = arr[i++];
	while(j < right) temp[t++] = arr[j++];
	t = 0;
	for(int i = left; i < right; i++)
		arr[i] = temp[t++];
	delete[] temp;
}
//归并排序
void MSort(int arr[], int left, int right)
{
	if(left + 1 < right){
		int mid = (left + right) / 2;
		MSort(arr, left, mid);
		MSort(arr, mid, right);
		Merge(arr, left, mid, right);
	}
}

int main(){
	int a[] = {6, 5, 2, 8, 4, 1, 3, 7};
	int len = sizeof(a) / sizeof(a[0]);
	MSort(a, 0 , len);
	for(int i = 0; i < len; i++)
		cout << a[i];
	return 0;
}

【算法分析】

• 空间复杂度：需要 n 个辅助空间， O(n)。
• 时间复杂度：当有n各记录时，需进行[log₂n]趟归并排序，每一趟归并，其关键字比较次数不超过n，元素移动次数都是n，因此，归并排序的时间复杂度为 O(nlog₂n)。

【算法特点】

• 是稳定排序。
• 可用于链式结构，且不需要附加存储空间，但递归实现时仍需要开辟相应的递归工作栈。

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