## 最小生成树

### 一、最小生成树的概念

连通图生成树，非连通图生成森林

`生成树`是包含图中全部顶点的一个`极小连通子图`
`特性`：图中有n个顶点，则它的生成树含有n-1条边。
去除一条边会变成非连通图；加上一条边会变成一个回路

之前学过`广度优先生成树`和`深度优先生成树`。

`最小生成树`，也叫`最小代价树`。在带权连通无向图的所有生成树中，所有边的代价和最小。

最小生成树可能很多，但边的权值之和总是唯一且最小的。

`最小生成的边=顶点数-1`

![这里写图片描述](https://img-blog.csdn.net/20160714130435508)

### 二、Prim算法（普利姆算法）

此算法可以称为`“加点法”`，每次迭代选择代价最小的边对应的点，加入到最小生成树中。算法从某一个顶点s开始，逐渐长大覆盖整个连通网的所有顶点。

实现思想：以最低代价加入`点`。
用两个数组：
①`isJoin数组`：标记`各结点`是否已加入树。
②`lowCost数组`：各节点加入树的最低代价。

每轮遍历**isJoin**数组，第一遍找到**lowCost**最低的顶点，然后加入；第二遍循环遍历更新各点的**lowCost**值。
则`时间复杂度`=$$O(|V|^2)$$，适合`边稠密图`

![1638175026761](https://github.com/oxyanyano/2022-WangDao-CS-DS-Notes/blob/main/images/1638175026761.png)

![1638175026757](https://github.com/oxyanyano/2022-WangDao-CS-DS-Notes/blob/main/images/1638175026757.png)

### 三、Kruskal算法（克鲁斯卡尔算法）

此算法可以称为`“加边法”`，初始最小生成树边数为0，每迭代一次就选择一条满足条件的最小代价边，加入到最小生成树的边集合里。

实现思想：以最低代价加入`边`。
用一个表：
（weight（边权），Vertex1（点1），Vertex2（点2））
用`并查集`检查下一个边的两个点是否已连接。

判断两个点是否已连接需要$$O(log_2|E|)$$，工执行e轮。
则`时间复杂度`=$$O(|E|log_2|E|)$$，适合`边稀疏图`