2022-WangDao-CS-DS-Notes/6.2图的存储结构.md

图的存储结构

一、图的存储结构

①领接矩阵：顺序存储（一维数组存点的数据，二维数组存边的连接情况）(存储无向图、有向图) ②邻接表：顺序+链式存储（顺序存点的数据，链存连接该点的边）（存储有向图、无向图） ③十字链表：链式存储（存储有向图） ④邻接多重表：链式存储（存储无向图）

二、邻接矩阵法

空间复杂度=$O(|V|^2)$，适合存稠密图

无向图的邻接矩阵是对称矩阵，可以压缩存储，见3.6

性质：$A为图G的邻接矩阵，则A^n的元素A^n[i][j]$=顶点i到顶点j的长度为n的路径的数目

计算度、入度、出度：必须遍历对应的行或列。 找相邻的边：必须遍历对应的行或列。

1.1普通图的领接矩阵法：

#define MaxVertexNum 100                 //顶点数目最大值
typedef struct{
    char Vex[MaxVertexNum];              //顶点表：存每个点的数据
    int Edge[MaxVertexNum][MaxVertexNum];//邻接矩阵，边表：存边的连接情况
    int vexnum, arcnum;                  //图当前的顶点数和边数（弧数）
}MGraph;

边可以是int，bool或枚举型变量。

1.2普通图的度、入度、出度

某点的度：某点的边数

无向图： 第i个结点的度=第i行(第i列)的非零元素个数。

有向图： 第i个结点的出度=第i行的非零元素个数。 第i个结点的入度=第i列的非零元素个数。 第i个结点的度=第i行、第i列的非零元素个数之和。

求顶点的度、入度、出度的时间复杂度=O(|V|)

2.带权图的领接矩阵法

#define MaxVertexNum 100                 //顶点数目最大值
#define INFINITY 4294967295              //宏定义常量“无穷”，4294967295为最大的int值
typedef char VertexType;                 //顶点的数据类型
typedef int EdgeType;                    //边的数据类型
typedef struct{
    VertexType Vex[MaxVertexNum];        //顶点表：存每个点的数据
    EdgeType Edge[MaxVertexNum][MaxVertexNum];//邻接矩阵，边表：存边的连接情况
    int vexnum, arcnum;                  //图当前的顶点数和边数（弧数）
}MGraph;

三、邻接表法

空间复杂度：无向图为$O(|V|+2|E|)，有向图为O(|V|+|E|)$，适合存稀疏图 表示方式不唯一

邻接矩阵降低了空间复杂度，但使操作不方便了： 计算度、入度、出度：计算有向图的度、入度不方便，其余很方便。 找相邻的边：找有向图的入边不方便。

图的类型描述：

与树的孩子表示法很像

#define MaxVertexNum 100       //顶点数目最大值
//"边（弧）"
typedef struct ArcNode{
    int adjvex;                //边（弧）指向那个结点
    struct ArcNode *next;      //指向下一条弧的指针
    //InfoType info;           //边权值
}ArcNode;
//"顶点"
typedef struct VNode{
    VertexType data;           //顶点数据
    ArcNode *first;            //顶点指向的第一条边
}VNode, AdjList[MaxVertexNum];
//用领接表存储图
typedef struct{
    AdjList vertices;          //顶点数组
    int vernum, arcnum;        ////图当前的顶点数和边数（弧数）
}ALGraph;

四、十字链表法

空间复杂度：$O(|V|+|E|)$，与邻接表法一样

解决了邻接表法的找入边难的问题。

五、邻接多重表

空间复杂度：$O(|V|+|E|)，比邻接表法的O(|V|+2|E|)$好

解决了邻接表法存两遍边的空间浪费。

删除边、删除结点等操作很方便。