From a5552b2b69219fa39b0f541dbedebb5136cd4889 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Shine wOng <1551885@tongji.edu.cn> Date: Tue, 6 Aug 2019 21:20:31 +0800 Subject: [PATCH] modify some errors in hash.md. --- thu_dsa/chp9/hash.md | 20 ++++++++++---------- 1 file changed, 10 insertions(+), 10 deletions(-) diff --git a/thu_dsa/chp9/hash.md b/thu_dsa/chp9/hash.md index bbaea67..39fc7a6 100644 --- a/thu_dsa/chp9/hash.md +++ b/thu_dsa/chp9/hash.md @@ -7,7 +7,7 @@ Conclusions on HashTable 据邓公所说，散列是一种思想。与已经学过的其他数据结构相比较，向量是采用循秩访问(call by rank)的访问方式，列表是采用循位置访问(call by position)的访问方式，二叉搜索树是采用循关键码访问(call by key)的访问方式，散列与他们都不一样，是采用循值访问(call by value)的访问方式。 -举个例子，你现在身处同济大学嘉定校区，四周是一片荒芒，这个时候你想回家了。沿世界上所有的街道一间一间房找过去，这是循秩访问；你记得你家是住在四川省成都市某街道多少号，然后你可以依次先到四川省，再到成都市，再到某条街道，然后找到你家，这是循关键码访问；而循值访问，则是你通常会采用的方法——你根本不用去回想我家的地址是多少，你知道它就在那里，就在家这个词刚刚出现在你的脑海中的时候。想到家乡，你想到的不是地址或者一串数字，而是一个生动的影像，包含它的环境，四周的风物，已经曾经的朋友。这就是循值访问。 +举个例子，你现在身处同济大学嘉定校区，四周是一片荒芒，这个时候你想回家了。沿世界上所有的街道一间一间房找过去，这是循秩访问；你记得你家是住在四川省成都市某街道多少号，然后你可以依次先到四川省，再到成都市，再到某条街道，然后找到你家，这是循关键码访问；而循值访问，则是你通常会采用的方法——你根本不用去回想我家的地址是多少，你知道它就在那里，就在家这个词刚刚出现在你的脑海中的时候。想到家乡，你想到的不是地址或者一串数字，而是一个生动的影像，包含它的环境，四周的风物，以及曾经的朋友。这就是循值访问。 可以看到，相对于其他的访问方式，循值访问是将被访问对象的数值，与它在容器中的位置之间，直接建立了一个映射关系，从而对于任何对象的基本操作（访问，插入，删除）都只需要常数$O(1)$的时间，达到了最理想的境地。这就是人类需要散列的原因，你无法不被如此的诱惑所吸引。 @@ -17,7 +17,7 @@ Conclusions on HashTable 也就是说，对于完美散列，其中的每一个值，都可以唯一地映射到散列表中的一个位置，既无空余，亦无重复。从映射角度来看，完美散列是一个单射，同时也是一个满射。Bitmap就是完美散列的一个例子。 -可以看出，完美散列实际中并不常见，在大多数的情形下，关键码的取值是远远大于词条的个数的，设关键码的取值为$[0, R)$, 词条的个数为$N$，则$R >> N$。设散列表的大小为$M$，此时，从定义域$[0, R)$到值域$[0, M)$的映射不可能是单射，即不可避免地会出现不同的关键码映射到散列表中的同一个位置，即所谓冲突。因此就需要合理地选择这一个映射关系，即散列函数，使冲突出现的可能性最小；同时还应该事先约定好一旦出现这种冲突，应该采取的解决访问。这两个问题将在下面重点讨论，即散列函数的设计与冲突解决方案。 +可以看出，完美散列实际中并不常见，在大多数的情形下，关键码的取值是远远大于词条的个数的，设关键码的取值为$[0, R)$, 词条的个数为$N$，则$R >> N$。设散列表的大小为$M$，此时，从定义域$[0, R)$到值域$[0, M)$的映射不可能是单射，即不可避免地会出现不同的关键码映射到散列表中的同一个位置，即所谓冲突。因此就需要合理地选择这一个映射关系，即散列函数，使冲突出现的可能性最小；同时还应该事先约定好一旦出现这种冲突，应该采取的解决方案。这两个问题将在下面重点讨论，即散列函数的设计与冲突解决方案。 ## 散列函数的设计 @@ -77,9 +77,9 @@ $$ 除此以外，还有平方取中法，即对于关键码$key$取平方，然后截取中间的几位来作为散列地址。之所以选择中间的几位，是因为中间的几位是受到了原来的关键码更多数位的影响；相对于取高位数字（只受到原关键码高位数字影响）或者低位数字（只受到原关键码低位数字影响），取中间位数综合了更多位数的影响，因此随机性、均匀性更强，更不易出现冲突。 -此外，还有折叠法往复折叠法。 +此外，还有折叠法，往复折叠法。 -为了保证经过这些方法得到的值仍然落在散列空间以内，通常还都需要对散列表长度$M$在取余。 +为了保证经过这些方法得到的值仍然落在散列空间以内，通常还都需要对散列表长度$M$再取余。 > 随机数法 @@ -134,11 +134,11 @@ $$ $$ 由于各次试探的位置到起始位置的距离，以平方速率增长，故称为平方试探法。 -与线性试探法比较，平方试探法可以理解为迅速离开发生冲突的“是非之地”，以平方的速率迅速跳离关键码聚集的区段，因此可以在一定程度上缓解汇聚的线性。 +与线性试探法比较，平方试探法可以理解为迅速离开发生冲突的“是非之地”，以平方的速率迅速跳离关键码聚集的区段，因此可以在一定程度上缓解汇聚的现象。 可是，关于平方试探法，我们不难提出一些问题，比如平方试探法果真可以覆盖整个散列表吗？是否存在散列表本来有空桶，却无法被探测到的现象？ -这种情况是存在的，可以自己举一些例子要验证一下。不过，只要散列表长度$M$为素数，并且装填因子$\lambda \le 50%$，则平方试探法迟早必然会终止于某个空桶，即$n^2 % M$的取值恰好有ceil(\frac{M}{2})$种，并且恰好由查找链的前$ceil(\frac{M}{2})$取遍。以下给出证明： +这种情况是存在的，可以自己举一些例子要验证一下。不过，只要散列表长度$M$为素数，并且装填因子$\lambda \le 50\%$，则平方试探法迟早必然会终止于某个空桶，即$n^2 \% M$的取值恰好有$ceil(\frac{M}{2})$种，并且恰好由查找链的前$ceil(\frac{M}{2})$取遍。以下给出证明： 设$a < b < ceil(\frac{M}{2})$，并且第$a$次试探与第$b$次试探冲突，即$a^2, b^2$是$M$的同余类 @@ -153,7 +153,7 @@ $$ > 双向平方试探法 -根据上面的分析，在$M$为素数并且装填因子$\lambda < 50%$的时候，单向平方试探法可以保证试探必然终止。一个自然的想法是，另一半的桶，是否也可以利用起来呢？这就是双向平方探测法。 +根据上面的分析，在$M$为素数并且装填因子$\lambda < 50\%$的时候，单向平方试探法可以保证试探必然终止。一个自然的想法是，另一半的桶，是否也可以利用起来呢？这就是双向平方探测法。 双向平方探测法，就是在发生冲突时，依次向前向后进行平方探测，即 $$ @@ -162,7 +162,7 @@ $$ 这种方法看似是把两侧的桶都利用起来了，但是我们也不禁产生一个问题，即这双向的探测是否是相互独立呢？它们之间除了零，是否还有其他公共的桶？ -答案是，是存在不独立的情况的，并且这种情况还相当的多，也可以自己举几个例子来看一下。但是，如果去散列表长取做素数，并且$ M = 4k + 3$，则必然可以保证查找链的前$M$项都是互异的，以下来证明这个结论。 +答案是，是存在不独立的情况的，并且这种情况还相当的多，也可以自己举几个例子来看一下。但是，如果散列表的长度取做素数，并且$ M = 4k + 3$，则必然可以保证查找链的前$M$项都是互异的，以下来证明这个结论。 这里，我们首先需要提到费马的双平方定理，即任意素数$p$可以表示为两个正整数的平方和，当且仅当$p = 4k + 1$。 @@ -181,7 +181,7 @@ $$ $$ a^2 + b^2 \equiv 0 \ (mod \ M) $$ -即$a^2 + b^2$可以整除$M$。由于$M = 4k + 3$且为素数，所以$a^2 + b^2$可以整除$m^2$，但是$a^2 + b^2 < M^2$，所以假设不成立，故原命题得证。 +即$a^2 + b^2$可以整除$M$。由于$M = 4k + 3$且为素数，所以$a^2 + b^2$可以整除$M^2$，但是$a^2 + b^2 < M^2$，所以假设不成立，故原命题得证。 > 随机试探法(pseudo-random probing) @@ -191,6 +191,6 @@ $$ 顾名思义，设置一个二级散列函数来确定试探位置，即 $$ -[hash(key) + j \times hash_2(key)] % M +[hash(key) + j \times hash_2(key)] \% M $$ 其他的方法其实都可以视作再散列法的一个实例。