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Conclusions on Sorting Algorithm
知识脉络总结
快速排序的思想是简单而深刻的，即分而治之的策略，需要注意它和归并排序在思想上的异同。快速排序的关键在于partition算法，本章给出了partition算法的三种实现，需要领会这三种不同的实现各自的特点是什么，是为了解决什么问题而出现的。需要指出的是，尽管在一般情况下快速排序运行的平均时间最短（这也是它被称作快速排序的原因)，可是在最坏情况下快速排序仍然需要O(n^2)的时间，可以通过改造轴点的选择算法，在一定程度上减小最坏情况出现的概率。在平均情况下，快速排序仅需要O(nlogn)的时间复杂度，要会证明这个结论。
希尔排序的正确性和有穷性不言而喻，其时间复杂度主要取决于增量序列的选择，例如希尔序列就是一个比较糟糕的序列，需要能够领会为什么希尔序列的性能较差。为了分析希尔排序的时间复杂度，首先需要理解邮资问题和g-有序的序列经过h-排序后仍然保持g-有序的证明，在此基础上，即可针对不同的增量序列给出复杂度的证明。
本章的剩余部分主要讨论算法层面的问题，集中讨论了k选取问题，中位数选取问题，众数选取问题以及归并向量的中位数定位问题。
对于k选取问题，可以基于堆结构给出若干算法，这些算法在k很大或者很小时都具有较为优化的性能(O(n))，但是在k = O(n)时，算法的时间复杂度将退化为O(nlogn)。基于快速排序的思想，可以构造出快速选择(quickSelect)算法，它的平均时间复杂度为O(n)，证明方法和快速排序相仿，然而在最坏情况下，它的时间复杂度可以达到O(n^2)。最后教材上给出了一个最坏情况下仍然可以保持O(n)的k选取算法，它的基本思想是将整个序列划分成三个子序列，并且使得其中小于轴点的子序列（记作L）以及大于轴点的子序列（记作G）的规模都不小于n / 4，从而一次迭代后问题的规模至少可以缩减为原来的3 / 4；为此，需要合理选择轴点，具体的做法是首先将整个序列平均划分为若干很小的子序列，每个子序列的规模为Q，并且求出这些子序列的中位数，再递归地计算这些中位数组成的中位数序列的中位数，将结果作为轴点。中位数选取问题是k选取问题的一个特例，这里不再赘述。
对于众数的选取问题，关键在于明确众数的定义乃是序列中出现频数多于一半的元素，从而可以证明教材所给算法的正确性。
关于归并向量的中位数选择，首先可以采用蛮力策略，假想地对两个有序向量进行归并，该策略的时间复杂度为O((m + n) / 2)；若两个向量等长，则可以分别取两个向量的中位数以及逆向中位数进行比较，从而将问题的规模缩小一半；若允许向量不等长，可以对问题进行分类讨论：
- 若两个向量的规模差距巨大，则可以对更长的向量进行'裁剪'，截除等长的两翼，从而问题归入到下一种情况。
- 两个向量规模相当，则以较短的向量的中位数
mid1为基础，分别构造出较长向量的前后两个中间数mid2a, mid2b，它们分别满足到向量的首尾的长度是mid1，通过将两者与mid1进行比较，从而可以截除接近一半的数据，问题的规模从而减少大约一半。这里不直接选择较长向量的中位数进行比较的原因，乃是需要保证两端截除的长度要相等，只有这样新问题的中位数才和原先的问题的中位数一致。