更新树

Data-Structrue/tree.md

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 3. 若小于根结点，则在左子树上查找，否则在右子树上查找。
 4. 遍历结束后仍没有找到则返回NULL。
 
+遍历查找的时间复杂度是$O(\log_2n)$，则递归查找的时间复杂度是$O(\log_2n+1)$，其中$\log_2n+1$代表二叉树的高度。
+
+查找成功的平均查找长度ASL，二叉树的平均查找长度为$O(\log_2n)$，最坏情况是每个结点只有一个分支，平均查找长度为$O(n)$。
+
+#### 二叉排序树的插入
+
++ 若原二叉排序树为空，就直接插入结点。
++ 否则，若关键字小于根结点值，插入左结点树。
++ 若关键字大于根结点值，插入右结点树。
+
+#### 二叉排序树的删除
+
++ 搜索到对应值的目标结点。
++ 若被删除结点1p是叶子结点，则直接删除，不会破坏二叉排序树的结构。
++ 若被删除结点只有一棵左子树或右子树，则让该结点的子树称为该结点父结点的子树，来代替其的位置。
++ 若被删除结点有左子树和右子树，则让其结点的直接后继（中序排序该结点后一个结点，其右子树的最左下角结点）或直接前驱（中序排序该结点前一个结点，其左子树的最右下角结点）替代该结点，并从二叉排序树中删除该的结点直接后继后直接前驱，这就变成了第一种或第二种情况。
+
+### 平衡二叉树
+
+即AVL树，树上任意一结点的左子树和右子树的高度之差不超过1。
+
+结点的平衡因子=左子树高-右子树高。
+
+在插入一个结点时，查找路径上的所有结点都可能收到影响。
+
+从插入点往回（从下往上）找到第一个不平衡的结点，调整以该结点为根的子树。每次调整的对象都是最小不平衡树。
+
+### 调整最小不平衡树
+
+#### 从结点的左孩子的左子树中插入导致不平衡
+
+```terminal
+           A(2)
+            |
+       -----------
+       |         |
+      B(1)     AR(H)
+       |
+ ------------
+ |          |
+BL(H+1)   BR(H)
+```
+
+由于在结点A的左孩子B的的左子树BL上插入了新结点，A的平衡因子由1变成了2，导致以A为根的子树失去了平衡，需要进行一次向右的旋转操作。
+
+将A的左孩子B向右上旋转代替A成为根节点，将A结点向右下选择为成B的右子树的根结点，而B的原右子树则作为A结点的左子树。
+
+```terminal
+       B(0)
+        |
+   -----------
+   |         |
+BL(H+1)     A(0)
+             |
+        ------------
+        |          |
+      BR(H)      AR(H)
+```
+
+#### 从结点的右孩子的右子树中插入导致不平衡
+
+```terminal
+      A(-2)
+        |
+   -----------
+   |         |
+AL(H)      B(-1)
+             |
+        ------------
+        |          |
+      BL(H)     BR(H+1)
+```
+
+由于在结点A的右孩子(R)的右子树(R)上插入了新结点，A的平衡因子由-1减至-2，导致以A为根的子树失去平衡，需要一-次向左的旋转操作。
+
+将A的右孩子B向左上旋转代替A成为根结点，将A结点向左下旋转成为B的左子树的根结点，而B的原左子树则作为A结点的右子树。
+
+```terminal
+           B(0)
+            |
+       -----------
+       |         |
+      A(0)    BR(H+1)
+       |
+ ------------
+ |          |
+AL(H)     BR(H)
+```
+
+#### 从结点的左孩子的右子树中插入导致不平衡
+
+```terminal
+           A(2)
+            |
+       -----------
+       |         |
+      B(1)     AR(H)
+       |
+ ------------
+ |          |
+BL(H)    BR(H+1)
+```
+
+```terminal
+       B(0)
+        |
+   -----------
+   |         |
+BL(H+1)     A(0)
+             |
+        ------------
+        |          |
+      BR(H)      AR(H)
+```
+
+#### 从结点的右孩子的左子树中插入导致不平衡
+
 ## 树与森林
 
 ### 树的存储结构