diff --git a/408/数据结构/assets/1.4.dot b/408/数据结构/assets/1.4.dot new file mode 100644 index 0000000..7ac2a99 --- /dev/null +++ b/408/数据结构/assets/1.4.dot @@ -0,0 +1,49 @@ +graph 4 { + splines="FALSE"; + + /* Entities */ + 1 [shape = circle] + 2 [shape = circle] + 3 [shape = circle] + 4 [shape = circle] + 5 [shape = circle] + 6 [shape = circle] + 7 [shape = circle] + 8 [shape = circle] + 9 [shape = circle] + 10 [shape = circle] + 11 [shape = circle] + 12 [shape = circle] + 13 [shape = circle] + 14 [shape = circle] + 15 [shape = circle] + + /* Relationships */ + 1 -- 2 [style = invis] + 1 -- 3 + 2 -- 4 [style = invis] + 2 -- 5 [style = invis] + 3 -- 6 [style = invis] + 3 -- 7 + 4 -- 8 [style = invis] + 4 -- 9 [style = invis] + 5 -- 10 [style = invis] + 5 -- 11 [style = invis] + 6 -- 12 [style = invis] + 6 -- 13 [style = invis] + 7 -- 14 [style = invis] + 7 -- 15 + + /* Ranks */ + 2 [style = invis] + 4 [style = invis] + 5 [style = invis] + 6 [style = invis] + 8 [style = invis] + 9 [style = invis] + 10 [style = invis] + 11 [style = invis] + 12 [style = invis] + 13 [style = invis] + 14 [style = invis] +} \ No newline at end of file diff --git a/408/数据结构/assets/1.4.png b/408/数据结构/assets/1.4.png new file mode 100644 index 0000000..14c7d7c Binary files /dev/null and b/408/数据结构/assets/1.4.png differ diff --git a/408/数据结构/assets/1.5.dot b/408/数据结构/assets/1.5.dot new file mode 100644 index 0000000..5afdc88 --- /dev/null +++ b/408/数据结构/assets/1.5.dot @@ -0,0 +1,46 @@ +graph 5 { + splines="FALSE"; + + /* Entities */ + a [shape = circle] + b [shape = circle] + c [shape = circle] + d [shape = circle] + e [shape = circle] + f [shape = circle] + g [shape = circle] + 1 [shape = circle] + 2 [shape = circle] + 3 [shape = circle] + 4 [shape = circle] + 5 [shape = circle] + 6 [shape = circle] + 7 [shape = circle] + 8 [shape = circle] + + /* Relationships */ + a -- b + a -- c + b -- 1 [style = invis] + b -- d + 1 -- 2 [style = invis] + 1 -- 3 [style = invis] + d -- 4 [style = invis] + d -- 5 [style = invis] + c -- e + c -- f + e -- 6 [style = invis] + e -- g + f -- 7 [style = invis] + f -- 8 [style = invis] + + /* Ranks */ + 1 [style = invis] + 2 [style = invis] + 3 [style = invis] + 4 [style = invis] + 5 [style = invis] + 6 [style = invis] + 7 [style = invis] + 8 [style = invis] +} \ No newline at end of file diff --git a/408/数据结构/assets/1.5.png b/408/数据结构/assets/1.5.png new file mode 100644 index 0000000..311656c Binary files /dev/null and b/408/数据结构/assets/1.5.png differ diff --git a/408/数据结构/assets/1.6.1.png b/408/数据结构/assets/1.6.1.png new file mode 100644 index 0000000..4adf29e Binary files /dev/null and b/408/数据结构/assets/1.6.1.png differ diff --git a/408/数据结构/assets/1.6.png b/408/数据结构/assets/1.6.png new file mode 100644 index 0000000..68751fa Binary files /dev/null and b/408/数据结构/assets/1.6.png differ diff --git a/408/数据结构/assets/1.7.png b/408/数据结构/assets/1.7.png new file mode 100644 index 0000000..91ff144 Binary files /dev/null and b/408/数据结构/assets/1.7.png differ diff --git a/408/数据结构/assets/2.2.3.png b/408/数据结构/assets/2.2.3.png new file mode 100644 index 0000000..aca6939 Binary files /dev/null and b/408/数据结构/assets/2.2.3.png differ diff --git a/408/数据结构/数据结构期中考试题.md b/408/数据结构/数据结构期中考试题.md new file mode 100644 index 0000000..a54339f --- /dev/null +++ b/408/数据结构/数据结构期中考试题.md @@ -0,0 +1,292 @@ +# 数据结构期中考试题 + +## 单项选择题 + +### 1. 【单选】（5 分）下列程序段的时间复杂度是（ ） + +```cpp +x = 91; +y = 1; +while (y < n) { + if (x > 100) { + x = x - 10; + y = 2 * y; + } else { + x++; + } +} +``` + +- [ ] A. $O(1)$ +- [x] B. $O(\log_2 n)$ +- [ ] C. $O(n^{\frac{1}{2}})$ +- [ ] D. $O(n)$ + +> 参考答案：B +> +> 本题要求具备一定的代码阅读能力。`x` 的初值为 91，每执行 10 次 `x++`，就执行一次 `y = 2 * y`，且 `x` 恢复为初值 91。也就是说，每 11 次循环，会导致 `y = 2 * y`。当 $y \ge n$ 时停止 `while` 循环，因此时间复杂度为 $O(11 \log_2 n) = O(log_2 n)$。 + +### 2. 【单选】（5 分）使⽤栈 `S` 进⾏括号匹配，括号序列为 `{{}([()]()[])}`，则栈 `S` 的容量⾄少是（ ） + +- [ ] A. 2 +- [ ] B. 3 +- [x] C. 4 +- [ ] D. 5 + +> 参考答案：C +> +> 括号匹配的过程中，扫描到左括号，则入栈，扫描到右括号，则弹出栈顶左括号，并与右括号进行匹配。栈 `S` 的变化如下： +> +> ① `{` 入栈，② `{` 入栈，③ `{` 出栈，④ `(` 入栈，⑤ `[` 入栈，⑥ `(` 入栈，⑦ `(` 出栈，⑧ `[` 出栈，⑨ `(` 入栈，⑩ `(` 出栈，⑪ `[` 入栈，⑫ `[` 出栈， ⑬ `(` 出栈，⑭ `{` 出栈 +> +> 当运行到第 ⑥ 步时，栈内元素最多，共 4 个，因此栈的大小至少为 4 + +### 3. 【单选】（5 分）有一个 10 阶的三对角矩阵 $M$，其元素 $M_{i, j} (1 \le i, j \le 10)$ 按列优先依次压缩存入下标从 0 开始的一位数组 `A` 中。则 `A[20]` 对应的元素是（ ） + +- [ ] A. $M_{7, 7}$ +- [ ] B. $M_{8, 8}$ +- [ ] C. $M_{8, 7}$ +- [x] D. $M_{7, 8}$ + +> 参考答案：D +> +> 三对角矩阵按列优先方式压缩存储。`A[20]` 是第 21 个元素。三对角矩阵的前 7 列共 $2 + 3 \times 6 = 20$ 个元素。因此第 21 个元素刚好是第八列的第一个元素，即 $M_{7, 8}$ +> +> 咸鱼注：抱歉抱歉，第一次使用 MOOC 在线考试系统，MOOC 上选错了正确答案为 B，我自罚一杯奶茶。 + +### 4. 【单选】（5 分）⼆叉树 $T$ 共有 4 个结点，若采⽤顺序存储结构保存，每个结点占 1 个存储单元，则存放该⼆叉树需要的存储单元数量最多是（ ） + +- [ ] A. 4 +- [ ] B. 7 +- [ ] C. 8 +- [x] D. 15 + +> 参考答案：D +> +> 二叉树的顺序存储，需要将结点与「完全二叉树」对应。当每个分支结点都只有右孩子时，所需要的存储单元数量最多。二叉树的形态如下： +> +> +> +> 此题可以利用完全二叉树结点编号之间的关系来推导，对于一棵完全二叉树，若根节点编号从 1 开始，则每个分支节点 $i$ 的右孩子编号为 $2i + 1$。 由此可得，最下层的叶子结点对应完全二叉树的结点编号为 15。因此，该二叉树需要的存储单元数量最多是 15。 +> +> 当然，也可以用另一个思路来计算，$h$ 层的满二叉树有总共有 $2h - 1$ 个结点，因此四层满二叉树 +总共有 15 个结点。 + +### 5. 【单选】（5 分）某森林 `F` 对应的⼆叉树为 `T`，若 `T` 的先序遍历序列是 `a, b, d, c, e, g, f`，中序遍历序列是 `b, d, a, e, g, c, f`，则 `F` 中树的棵数是（ ） + +- [ ] A. 1 +- [ ] B. 2 +- [x] C. 3 +- [ ] D. 4 + +> 参考答案：C +> +> 由于二叉树的前序遍历和中序遍历序列能确定唯一的一棵二叉树，因此本题可以确定二叉树 `T` 的结构。 +> +> +> +> 逐层断掉 `T` 中最右侧的右子树，即可得到三棵树，因此森林 `F` 中树的棵数是 3。 + +### 6. 【单选】（5 分）给定平衡二叉树如下图所示，插入关键字 23 后根结点中的关键字是（ ） + + + +- [ ] A. 16 +- [ ] B. 20 +- [ ] C. 23 +- [x] D. 25 + +> 参考答案：D +> +> 将关键字 23 插入作为关键字25所在结点的左孩子后，该二叉树失衡，经过平衡调整后，该平衡二叉树变为如下图所示结构，根节点中的关键字为 25。 +> +> + +### 7. 【单选】（5 分）若某⼆叉树有 5 个叶⼦结点，其权值分别为 10，12，16，21，30。则其最⼩的带权路径⻓度（WPL）是（ ） + +- [ ] A. 89 +- [x] B. 200 +- [ ] C. 208 +- [ ] D. 289 + +> 参考答案：B +> +> 要求最小的 WPL，即考查哈夫曼树的构造，构造结果如下图所示，因此 $WPL = 2 \times (16 + 21 + 30) + 3 \times (10 + 12) = 200$。 +> +> + +### 8. 【单选】（5 分）对于 $n (n \ge 2)$ 个字符构造的⼆叉哈夫曼树，每个字符结点的权值都⼤于 0 （但各节点权值可能相等）。则下列叙述错误的是 ( ) + +- [x] A. 树中两个权值最⼩的结点⼀定是兄弟结点 +- [ ] B. 该哈夫曼树的最⼤⾼度是 $n$ +- [ ] C. 该哈夫曼树的结点总数为 $2n - 1$ +- [ ] D. 所有⾮叶结点的权值之和不⼩于所有叶结点的权值之和 + +> 参考答案：A +> +> A 选项：该选项不严谨，若各个字符结点的权值都为 1，则所有的结点都是「权值最小的结点」，但不一定都是兄弟。 +> +> B 选项：根据哈夫曼树的构造过程，包含 $n$ 个叶结点的哈夫曼树，最大高度为 $n$。 +> +> C 选项：二叉哈夫曼树中，只有度为 2 和度为 0 的结点。度为 0 的结点数为 $n$，假设度为 2 的结点数为 $m$，则 $2m + 1 = m + n$，即 $m = n - 1$。因此该哈夫曼树的结点总数为 $2n - 1$。 +> +> D 选项：根据哈夫曼树的构造过程可知，单独一个根节点的权值，就等于所有叶子结点的权值之和，再加上其他非叶结点的权值，一定大于所有叶子结点的权值之和。 + +### 9. 【单选】（5 分）采用 KMP 算法进行模式匹配。主串 $S = 'ABCABCDABABCDABCDABDE'$，模式串$T = 'ABCDABD'$。当第三次发生「失配」（`S[j] != T[j]`) 时，单个字符间的累计比较次数是 ( ) + +- [ ] A. 14 +- [ ] B. 13 +- [x] C. 12 +- [ ] D. 6 + +> 参考答案：C +> +> 处理这个题目，并不需要求 `next` 数组，发生失配的时候，模式串往后滑就行。可以快速做题 +> +> S = '**ABCA**BCDABABCDABCDABDE' +> T = '**ABCD**ABD'` +> +> 第一次发生失配，累计比较了 4 次字符 +> +> S = 'ABC**ABCDABA**BCDABCDABDE' +> T =   '**ABCDABD**' +> +> 第二次发生失配，累计比较了 $4 + 7$ 次字符 +> +> S = 'ABCABCD**ABA**BCDABCDABDE' +> T =      '**ABC**DABD' +> +> 第三次发生失配，累计比较了 $4 + 7 + 1$ 次字符，即累计对比 12 次 +> +> 咸鱼注：这个题目录入的时候也打错了，再自罚一杯，对不起！ + +### 10. 【单选】（5 分）在⼀棵⾼度为 3、阶数为 3 的 B 树中，根为第⼀层，若第⼆层有 4 个关键字，则该树的结点个数最多是（ ） + +- [x] A. 11 +- [ ] B. 10 +- [ ] C. 9 +- [ ] D. 8 + +> 参考答案：A +> +> 阶数为 3 的 B 树中，每个结点包含的关键字可以为 1 个或 2 个。本题中，要求第二层有 4 个关键字，则结点数最多的情况如下图所示，其中 A、B、C、D……表示关键字，最多可能有 11 个结点。 +> +> ```mermaid +> graph TB +> 1[A B] --> 2[C D] +> 1 --> 3[E] +> 1 --> 4[F] +> 2 --> 5[G] +> 2 --> 6[H] +> 2 --> 7[I] +> 3 --> 8[J] +> 3 --> 9[K] +> 4 --> 10[L] +> 4 --> 11[M] +> ``` + +### 11. 【单选】（5 分）已知初始为空的队列 `Q` 的⼀端能进⾏⼊队操作⼜能进⾏出队操作，另⼀端只能进⾏⼊队操作。若 `a` 的⼊队序列是 1，2，3，4，5。则不能得到的出队序列是（ ） + +- [ ] A. 5，4，3，1，2 +- [ ] B. 5，3，1，2，4 +- [ ] C. 4，2，1，3，5 +- [x] D. 4，1，3，2，5 + +> 参考答案：D +> +> 题目应是一种输出受限的双端队列，因此根据选项 C 和 D，若 4 是第一个出队的元素，那么至少 1、2、3、4 已全部入队，则队列中 2 应该与 1 相邻，出队时顺序也应该相邻，所以选项 D 错误。 + +## 综合应用题 + +### 1. 字符串 `S` 的长度为 `n`，`S` 中的字符 `S[i]` 满足 `'A' <= S[i] <= 'Z'`，请设计一个时间上尽可能高效的算法，统计 `S` 中有多少个不同的字母。要求： + +#### （1）给出算法的基本设计思想。（6 分） + +可以使用一个数组 `a[26]` 保存 `A`～`Z` 是否出现过，`0` 表示已经未出现过，`>0` 表示出现过。扫描字符串 `S`，更新数组 `a`。然后用 `num` 统计有多少个不同的字母出现。 + +#### （2）根据设计思想，采用 C 或 C++ 语言描述算法，关键之处给出注释。（10 分） + +```cpp +int ans(char S[], int n) { + int j, a[26] = {}; + int num = 0; // num 统计有几个不同的字母出现 + for (int i = 0; i < n; i++) { // 扫描串 S + j = S[i] - 'A'; // j 表示是 A 开始的第几个字母，A 是第 0 个 + a[j]++; + } + for (int i = 0; i < 26; i++) { // 统计 + if (a[i] != 0) { + num++; + } + } + return num; +} +``` + +#### （3）说明你所设计的算法的时间复杂度。 + +空间复杂度主要是数组 `a[26]`，是常数所以是 $O(1)$。时间复杂度主要是两个循环，一个循环 $n$ 次，一个循环 26 次，所以是 $O(n)$。 + +### 2、对于一棵非空平衡二叉树，其中任何一个节点的平衡因子只为 -1、0、1（平衡因子 = 左子树的高度 - 右子树的高度） + +#### （1）请写出二叉树的结点定义（`data` 域是 `int`）。 + +```cpp +typedef struct BiTNode { + int data; + struct BiTNode *lchild, *rchild; +} BiTNode, *BiTree; + +typedef struct AVLNode { + int key; + struct AVLNode *lchild, *rchild; +} AVLNode, *AVLTree; +``` + +#### （2）设 $a[h]$ 表示满足高为 $h$ 的平衡二叉树的最小节点数。$h = 1$ 时，只有根节点，$a[1] = 1$；$h = 2$ 时，$a[2] = 2$。请推导出 $a[h]$ 的递推关系式。 + +$$ +a[h] = \begin{cases} +h & h = 1, 2\\ +a[h - 1] + a[h - 2] + 1 & h \ge 3 +\end{cases} +$$ + +#### （3）对于下面这颗平衡二叉树，执行如下操作：删除 98，删除 115，插入37，插入 54。请分别画出每一步插入或者删除操作完成后的平衡二叉树。 + + + +```mermaid +graph TB +subgraph 5 +28 ---|L| 23 +28 ---|R| 37 +23 ---|L| 15 +23 ---|R| 54 +37 ---|R| 34 +end +subgraph 4 +d1(23) ---|L| d3(15) +d1 ---|R| d2 +d2(37) ---|L| d5(28) +d2 ---|R| d6(34) +end +subgraph 3 +c1(23) ---|L| c3(15) +c1 ---|R| c2(34) +c2 ---|L| c4(28) +end +subgraph 2 +b1(34) ---|L| b2(23) +b1 ---|R| b3(115) +b2 ---|L| b4(15) +b2 ---|R| b5(28) +end +subgraph 1 +a1(34) ---|L| a2(23) +a1 ---|R| a3(98) +a2 ---|L| a4(15) +a2 ---|R| a5(28) +a3 ---|R| a6(115) +end +``` diff --git a/408/数据结构/期中考试.md b/408/数据结构/期中考试.md deleted file mode 100644 index 1842fa1..0000000 --- a/408/数据结构/期中考试.md +++ /dev/null @@ -1,87 +0,0 @@ -### 1、字符串 `S` 的长度为 `n`，`S` 中的字符 `S[i]` 满足 `'A' <= S[i] <= 'Z'`，请设计一个时间上尽可能高效的算法，统计 `S` 中有多少个不同的字母。要求： - -#### （1）给出算法的基本设计思想。 - -建立 `occur[26]`，初始值为 0，当字母出现时，相应位置设为 1，遍历字符串，输出 `occur` 中 1 的个数。 - -#### （2）根据设计思想，采用 C 或 C++ 语言描述算法，关键之处给出注释。 - -```cpp -int occur[26]; // 建立数组表示字母是否出现，初始为 0 -int alphabet(char *S, int n) { - for (int i = 0; i < n; i++) { // 依序读入 S 中字符 - occur[(int) S[i] - 65] = 1; // 字母出现时，数组相应位置变为 1（'A' ~ 'Z' 的 ASCII 值为 65 ~ 90） - } - n = 0; // 初始化字母个数为 0 - for (int i = 0; i < 26; i++) { // 遍历 occur 数组 - n += occur[i]; // 计算有几个字母出现 - } - return n; -} -``` - -#### （3）说明你所设计的算法的时间复杂度。 - -时间复杂度为 O(n)。 - -### 2、对于一棵非空平衡二叉树，其中任何一个节点的平衡因子只为 -1、0、1（平衡因子 = 左子树的高度 - 右子树的高度） - -#### （1）请写出二叉树的结点定义（`data` 域是 `int`）。 - -```cpp -typedef struct BiTNode { - int data; - struct BiTNode *lchild, *rchild; -} BiTNode, *BiTree; - -typedef struct AVLNode { - int key; - struct AVLNode *lchild, *rchild; -} AVLNode, *AVLTree; -``` - -#### （2）设 $a[h]$ 表示满足高为 $h$ 的平衡二叉树的最小节点数。$h = 1$ 时，只有根节点，$a[1] = 1$；$h = 2$ 时，$a[2] = 2$。请推导出 $a[h]$ 的递推关系式。 - -$$ -a[h] = \begin{cases} -h & h = 1, 2\\ -a[h - 1] + a[h - 2] + 1 & h \ge 3 -\end{cases} -$$ - -#### （3）对于下面这颗平衡二叉树，执行如下操作：删除 98，删除 115，插入37，插入 54。请分别画出每一步插入或者删除操作完成后的平衡二叉树。 - -```mermaid -graph TB -subgraph 5 -28 ---|L| 23 -28 ---|R| 37 -23 ---|L| 15 -23 ---|R| 54 -37 ---|R| 34 -end -subgraph 4 -d1(23) ---|L| d3(15) -d1 ---|R| d2 -d2(37) ---|L| d5(28) -d2 ---|R| d6(34) -end -subgraph 3 -c1(23) ---|L| c3(15) -c1 ---|R| c2(34) -c2 ---|L| c4(28) -end -subgraph 2 -b1(34) ---|L| b2(23) -b1 ---|R| b3(115) -b2 ---|L| b4(15) -b2 ---|R| b5(28) -end -subgraph 1 -a1(34) ---|L| a2(23) -a1 ---|R| a3(98) -a2 ---|L| a4(15) -a2 ---|R| a5(28) -a3 ---|R| a6(115) -end -```