diff --git a/advanced-math/exercise/1-limit/limit.pdf b/advanced-math/exercise/1-limit/limit.pdf index acefe2b..0486e43 100644 Binary files a/advanced-math/exercise/1-limit/limit.pdf and b/advanced-math/exercise/1-limit/limit.pdf differ diff --git a/advanced-math/exercise/1-limit/limit.tex b/advanced-math/exercise/1-limit/limit.tex index 51b3272..cda8858 100644 --- a/advanced-math/exercise/1-limit/limit.tex +++ b/advanced-math/exercise/1-limit/limit.tex @@ -53,7 +53,7 @@ \textbf{例题：}求$\lim\limits_{x\to\infty}\left(\dfrac{3+x}{6+x}\right)^{\frac{x-1}{2}}$。\medskip -解：$=\lim\limits_{x\to\infty}\left(1-\dfrac{3}{6+3}\right)^{\frac{6+x}{-3}\cdot\frac{-3}{6+x}\cdot\frac{x-1}{2}}=\lim\limits_{x\to\infty}e^{\frac{-3}{6+x}\cdot\frac{x-1}{2}}=\lim\limits_{x\to\infty}e^{-\frac{3}{2}\cdot\frac{x-1}{x+6}}=e^{-\frac{3}{2}}$。\medskip +解：$=\lim\limits_{x\to\infty}\left(1-\dfrac{3}{6+x}\right)^{\frac{6+x}{-3}\cdot\frac{-3}{6+x}\cdot\frac{x-1}{2}}=\lim\limits_{x\to\infty}e^{\frac{-3}{6+x}\cdot\frac{x-1}{2}}=\lim\limits_{x\to\infty}e^{-\frac{3}{2}\cdot\frac{x-1}{x+6}}=e^{-\frac{3}{2}}$。\medskip \textbf{例题：}求$\lim\limits_{x\to\infty}\left(\dfrac{2x+3}{2x+1}\right)^{x+1}$。\medskip @@ -434,6 +434,20 @@ $=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{-x-\dfrac{x^2}{2}+tx^2+x}{x^2}=\lim\limits_{x\to 0} $\therefore\lim\limits_{x\to 0}t=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{f(x)-1}{x}=\dfrac{1}{2}$。 +如果是已知值中含有目标值的关系式，可以将已知值作为一个整体来换算为目标值。 + +\textbf{例题：}已知$\lim\limits_{n\to\infty}(a_n+b_n)=1$，$\lim\limits_{n\to\infty}(a_n-b_n)=3$，求出$\{a_n\}$，$\{b_n\}$的极限值。 + +解：设$u_n=a_n+b_n$，$v_n=a_n-b_n$，则$\lim\limits_{n\to\infty}u_n=1$，$\lim\limits_{n\to\infty}v_n=3$。 + +根据极限运算规则，若$u_n$、$v_n$存在极限，则$u_n+v_n$、$u_n-v_n$也存在极限。 + +且$\lim\limits_{n\to\infty}(u_n+v_n)=\lim\limits_{n\to\infty}u_n+\lim\limits_{n\to\infty}v_n=1+3=4$，$\lim\limits_{n\to\infty}(u_n-v_n)=\lim\limits_{n\to\infty}u_n-\lim\limits_{n\to\infty}v_n=1-3=-2$。 + +且$a_n=\dfrac{1}{2}(u_n+v_n)$，$b_n=\dfrac{1}{2}(u_n-v_n)$，所以$\{a_n\}$、$\{b_n\}$极限存在。 + +$\lim\limits_{n\to\inf}a_n=\dfrac{1}{2}\times4=2$，$\lim\limits_{n\to\infty}b_n=\dfrac{1}{2}\times(-2)=-1$。 + \subsubsection{关系转换} \textbf{例题：}如果$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x-\sin x+f(x)}{x^4}$存在，则$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x^3}{f(x)}$为常数多少？ @@ -613,9 +627,9 @@ $\therefore\lim\limits_{x\to+\infty}f(x^{\frac{1}{x}})=f(1)=1$。 \subsection{迭代式数列} -\subsubsection{数列表达式} +\subsubsection{简单递推表达式} -最重要的是将迭代式进行变形。 +最重要的是将递推式进行变形。这种递推式都是比较简单的，$a_n$和$a_{n+1}$都是一次的。 \textbf{例题：}数列$\{a_n\}$满足$a_0=0,a_1=1,2a_{n+1}=a_n+a_{n-1},n=1,2,\cdots$。计算$\lim\limits_{n\to\infty}a_n$。 @@ -643,6 +657,8 @@ $\therefore\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\dfrac{2}{3}$ 单调有界的数列必有极限。需要证明单调性和有界性，然后对式子求极限就能求出目标极限。 +\paragraph{通项公式} \leavevmode \medskip + \textbf{例题：}$x_0=0$，$x_n=\dfrac{1+2x_{n-1}}{1+x_{n-1}}(n\in N*)$，求$\lim\limits_{n\to\infty}x_n$。\medskip 解：首先应该知道数列的趋向都是趋向正无穷。 @@ -669,7 +685,9 @@ $\lim\limits_{n\to\infty}x_n=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{1+2x_{n-1}}{1+x_{n-1 $\therefore\lim\limits_{n\to\infty}x_n=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$。 -而许多题目只给出样子，连通项公式都不会给出。\medskip +\paragraph{复杂递推公式} \leavevmode \medskip + +许多题目只给出样子，连通项公式都不会给出，只会给出一个复杂递推公式，其中包括开根号，倒数，甚至只是举例。这种题目就必须使用单调有界准则来完成，甚至还需要其他的技巧。\medskip \textbf{例题：}求出数列$\sqrt{2}$，$\sqrt{2+\sqrt{2}}$，$\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}$$\cdots$的极限。 @@ -691,4 +709,20 @@ $x_{n+1}-x_n=\sqrt{2+x_n}-x_n=\dfrac{2+x_n-x_n^2}{\sqrt{2+x_n}+x_n}=\dfrac{-(x_n 从而$a^2=2+a$，得出$a=2$（根据极限的保号性$-1$被舍去）。 +\textbf{例题：}已知数列$\{a_n\}$满足$a_1=a$（$a>0$），$a_{n+1}=\dfrac{1}{2}\left(a_n+\dfrac{2}{a_n}\right)$，证明极限$\lim\limits_{n\to\infty}a_n$存在，并求其值。 + +证明：由于$a>0$，根据$a_{n+1}$表达式所以$a_n>0$，看到递推表达式的乘积为常数的形式可以想到使用不等式$\dfrac{a+b}{2}\geqslant\sqrt{ab}$来转换：$a_{n+1}=\dfrac{1}{2}\left(a_n+\dfrac{2}{a_n}\right)\geqslant\sqrt{2}$。 + +即$\{a_n\}$有下界$\sqrt{2}$。 + +又将通项相减得到相邻两项关系：$a_{n+1}-a_n=\dfrac{1}{a_n}-\dfrac{a_n}{2}=\dfrac{2-a_n^2}{2a_n}\leqslant0$（$n\geqslant2$）。 + +所$\{a_n\}$单调递减。 + +由单调有界准则，${a_n}$存在极限$A$，且$A\geqslant\sqrt{2}$。 + +对于关系式两边取极限$a_{n+1}=\dfrac{1}{2}\left(a_n+\dfrac{2}{a_n}\right)$，则$A=\dfrac{1}{2}\left(A+\dfrac{2}{A}\right)$。 + +解得$A=\sqrt{2}$，即$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\sqrt{2}$。 + \end{document} diff --git a/advanced-math/knowledge/0-perpare/perpare.pdf b/advanced-math/knowledge/0-perpare/perpare.pdf index 075843c..bbbd538 100644 Binary files a/advanced-math/knowledge/0-perpare/perpare.pdf and b/advanced-math/knowledge/0-perpare/perpare.pdf differ diff --git a/advanced-math/knowledge/0-perpare/perpare.tex b/advanced-math/knowledge/0-perpare/perpare.tex index 91d200e..a225cfb 100644 --- a/advanced-math/knowledge/0-perpare/perpare.tex +++ b/advanced-math/knowledge/0-perpare/perpare.tex @@ -53,64 +53,10 @@ 基本初等函数包括：常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数。 -\subparagraph{反函数} \leavevmode \medskip - -反函数的求法： - -\begin{enumerate} - \item 求值域。 - \item 求解。（用$y$表示$x$） - \item 互换$xy$。 -\end{enumerate} - -已知$f(f^{-1}(x))=x$，$f^{-1}(f(x))=x$。为什么是这样？可以验算一下。 - -已知$y=e^x$和$y=\ln x$是一对反函数，$y=\ln e^x=f^{-1}(f(x))=x$。 - -\textbf{例题：}若函数$y=f(x)$的反函数为$y=f^{-1}(x)$，则求$y=f(2x-1)+1$的反函数的解析式。 - -解：整理$y=f(2x-1)+1$，得到$f(2x-1)=y-1$，所以求反函数就是交换$xy$。 - -这里将$2x-1$当作$x$，$y-1$当作$y$，所以得到反函数$2x-1=f^{-1}(y-1)$。 - -所以得到$x=\dfrac{f^{-1}(y-1)+1}{2}$。 - -所以交换表示方法其反函数就是$y=\dfrac{f^{-1}(x-1)+1}{2}$。 - -\textbf{例题：}已知$f(x)=\dfrac{1}{1-x^2}$（$x<-1$），求$f^{-1}(-\dfrac{1}{3})$。 - -解：由于是反函数，所以$x$对应$y$，$y$对应$x$。 - -求$f^{-1}(-\dfrac{1}{3})$的值，对应反函数的$x=-\dfrac{1}{3}$，$y=f^{-1}(-\dfrac{1}{3})$的值。 - -即求原函数的$y=-\dfrac{1}{3}$，$x=f(-\dfrac{1}{3})$的值。 - -所以$\dfrac{1}{1-x^2}=-\dfrac{1}{3}$求$x$的值。 - -即$1-x^2=-3$，$x=\pm2$，又$x<-1$，则$x=-2$。 - -\textbf{例题：}已知$f(x)=\dfrac{1-2x}{1+x}$，函数$g(x)$的图像与函数$y=f^{-1}(x+1)$的图像关于$y=x$对称，求$g(5)$。 - -解：由于函数$g(x)$的图像与函数$y=f^{-1}(x+1)$的图像关于$y=x$对称，所以$g(x)$与$f^{-1}(x+1)$也是反函数。 - -所以要求$g(x)$，就要求$f^{-1}(x+1)$。 - -$\because y=f^{-1}(x+1)$，$\therefore x+1=f(y)$，$x=f(y)-1$，即$y=f(x)-1$。 - -$\therefore g(x)=y=f(x)-1$，$g(5)=f(5)-1=-\dfrac{5}{2}$。 - -\textbf{例题：}已知$f(x)=\dfrac{1}{2}(x^2+\sqrt{x+1})$（$x\geqslant0$）的反函数为$f^{-1}(x)$，求不等式$f^{-1}(x+1)>3$的解集。 - -解：当$x\geqslant0$时，$f(x)$明显是一个单调递增函数，所以根据反函数性质，其反函数在这个区间上增减性不变也是递增的。 - -$f(0)=\dfrac{1}{2}$，即$f^{-1}(x)$在定义域$[\dfrac{1}{2},+\infty)$上也是递增函数。 - -又$f^{-1}(x+1)>3$，对其求反函数：$f(f^{-1}(x+1))>f(3)$，即$x+1>f(3)$，且$x+1\geqslant\dfrac{1}{2}$，得出$x>\dfrac{9}{2}$。 - \subparagraph{常数函数} \leavevmode \medskip \begin{minipage}{0.35\linewidth} - $y=A$，A为常数，图像平行于x轴。 + $y=A$，$A$为常数，图像平行于$x$轴。 \end{minipage} \hfill \begin{minipage}{0.55\linewidth} @@ -1080,7 +1026,7 @@ $\tan(\alpha\pm\beta)=\dfrac{\tan\alpha\pm\tan\beta}{1\mp\tan\alpha\tan\beta},\c \subsubsection{积化和差公式} -和差化积与积化和差不需要背。 +和差化积与积化和差不需要背，都是和差公式的推导。 $\sin\alpha\cos\beta=\dfrac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)],\cos\alpha\sin\beta=\dfrac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)]$。 @@ -1092,7 +1038,13 @@ $\sin\alpha+\sin\beta=2\sin\dfrac{\alpha+\beta}{2}\cos\dfrac{\alpha-\beta}{2},\s $\cos\alpha+\cos\beta=2\cos\dfrac{\alpha+\beta}{2}\cos\dfrac{\alpha-\beta}{2},\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\dfrac{\alpha+\beta}{2}\sin\dfrac{\alpha-\beta}{2}$。 -推理和差化积公式： +推理和差化积公式，如第一个： + +$\sin\alpha+\sin\beta=\sin\left(\dfrac{\alpha+\beta}{2}+\dfrac{\alpha-\beta}{2}\right)+\sin\left(\dfrac{\alpha+\beta}{2}-\dfrac{\alpha-\beta}{2}\right)=$ + +$\sin\dfrac{\alpha+\beta}{2}\cos\dfrac{\alpha-\beta}{2}+\cos\dfrac{\alpha+\beta}{2}\sin\dfrac{\alpha-\beta}{2}+\sin\dfrac{\alpha+\beta}{2}\cos\dfrac{\alpha-\beta}{2}$ + +$-\cos\dfrac{\alpha+\beta}{2}\sin\dfrac{\alpha-\beta}{2}=2\sin\dfrac{\alpha+\beta}{2}\cos\dfrac{\alpha-\beta}{2}$ \subsubsection{万能公式} @@ -1100,6 +1052,26 @@ $\cos\alpha+\cos\beta=2\cos\dfrac{\alpha+\beta}{2}\cos\dfrac{\alpha-\beta}{2},\c 若$u=\tan\dfrac{x}{2}(-\pi0$为半 \subsection{函数的概念} \subsubsection{函数} + \begin{itemize} - \item 函数即$y=f(x),x\in D$，x为自变量，y为因变量，D为定义域 - \item 一个x对应一个y，一个y可能对应多个x。 + \item 函数即$y=f(x),x\in D$，$x$为自变量，$y$为因变量，$D$为定义域。 + \item 一个$x$对应一个$y$，一个$y$可能对应多个$x$。 \end{itemize} \subsubsection{反函数} + $y=f(x)$，定义域为$D$，值域为$R$，若对于每一个$y\in R$，必然存在$x\in D$使$y=f(x)$成立，则可以定义一个新函数$x=\psi(y)$，这个函数就是$y=f(x)$的\textbf{反函数}，一般记作$x=f^{-1}(y)$，其定义域为$R$，值域为$D$，对于反函数，原来的函数称为\textbf{直接函数}。 \begin{enumerate} \item \textcolor{red}{严格单调}函数必然有反函数，即函数导数恒正或恒负必然有反函数。 \item $x=f^{-1}(y)$与$y=f(x)$在同一坐标系中完全重合。 \item $y=f^{-1}(x)$与$y=f(x)$关于$y=x$对称。 - \item $f[f^{-1}(x)]$或$f[\psi(x)]$变为x，称为湮灭。 + \item $f[f^{-1}(x)]$（$f[\psi(x)]$）或$f^{-1}[f(x)]=x$（$\psi[f(x)]$）变为$x$，称为湮灭。 \end{enumerate} + +可以验算一下性质四。 + +已知$y=e^x$和$y=\ln x$是一对反函数，$y=\ln e^x=f^{-1}(f(x))=x$。 + +反函数的求法： + +\begin{enumerate} + \item 求值域。 + \item 求解。（用$y$表示$x$） + \item 互换$xy$。 +\end{enumerate} + +\textbf{例题：}若函数$y=f(x)$的反函数为$y=f^{-1}(x)$，则求$y=f(2x-1)+1$的反函数的解析式。 + +解：整理$y=f(2x-1)+1$，得到$f(2x-1)=y-1$，所以求反函数就是交换$xy$。 + +这里将$2x-1$当作$x$，$y-1$当作$y$，所以得到反函数$2x-1=f^{-1}(y-1)$。 + +所以得到$x=\dfrac{f^{-1}(y-1)+1}{2}$。 + +所以交换表示方法其反函数就是$y=\dfrac{f^{-1}(x-1)+1}{2}$。 + +\textbf{例题：}已知$f(x)=\dfrac{1}{1-x^2}$（$x<-1$），求$f^{-1}(-\dfrac{1}{3})$。 + +解：由于是反函数，所以$x$对应$y$，$y$对应$x$。 + +求$f^{-1}(-\dfrac{1}{3})$的值，对应反函数的$x=-\dfrac{1}{3}$，$y=f^{-1}(-\dfrac{1}{3})$的值。 + +即求原函数的$y=-\dfrac{1}{3}$，$x=f(-\dfrac{1}{3})$的值。 + +所以$\dfrac{1}{1-x^2}=-\dfrac{1}{3}$求$x$的值。 + +即$1-x^2=-3$，$x=\pm2$，又$x<-1$，则$x=-2$。 + +\textbf{例题：}已知$f(x)=\dfrac{1-2x}{1+x}$，函数$g(x)$的图像与函数$y=f^{-1}(x+1)$的图像关于$y=x$对称，求$g(5)$。 + +解：由于函数$g(x)$的图像与函数$y=f^{-1}(x+1)$的图像关于$y=x$对称，所以$g(x)$与$f^{-1}(x+1)$也是反函数。 + +所以要求$g(x)$，就要求$f^{-1}(x+1)$。 + +$\because y=f^{-1}(x+1)$，$\therefore x+1=f(y)$，$x=f(y)-1$，即$y=f(x)-1$。 + +$\therefore g(x)=y=f(x)-1$，$g(5)=f(5)-1=-\dfrac{5}{2}$。 + +\textbf{例题：}已知$f(x)=\dfrac{1}{2}(x^2+\sqrt{x+1})$（$x\geqslant0$）的反函数为$f^{-1}(x)$，求不等式$f^{-1}(x+1)>3$的解集。 + +解：当$x\geqslant0$时，$f(x)$明显是一个单调递增函数，所以根据反函数性质，其反函数在这个区间上增减性不变也是递增的。 + +$f(0)=\dfrac{1}{2}$，即$f^{-1}(x)$在定义域$[\dfrac{1}{2},+\infty)$上也是递增函数。 + +又$f^{-1}(x+1)>3$，对其求反函数：$f(f^{-1}(x+1))>f(3)$，即$x+1>f(3)$，且$x+1\geqslant\dfrac{1}{2}$，得出$x>\dfrac{9}{2}$。 + +\textbf{例题：}求函数$y=f(x)=\ln(x+\sqrt{x^2+1})$的反函数$f^{-1}(x)$的表达式及其定义域。 + +解：首先研究$f(x)$本身，因为$\ln(x)$的定义域必然要求大于0，而任意实数$x$都有下面不等式成立： + +$x+\sqrt{x^2+1}>x+\vert x\vert \geqslant 0$，所以$x\in R$。 + +而研究其奇偶性： + +$f(-x)=\ln(-x+\sqrt{x^2+1})=\ln(\dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}+x})=-\ln(x+\sqrt{x^2+1})=-f(x)$ + +所以该函数为奇函数。 + +对其求单调性，即通过链式法则求导： + +$\dfrac{\rm{d}\textit{y}}{\rm{d}\textit{x}}=\dfrac{1}{x+\sqrt{x^2+1}}\cdot (1+\dfrac{2x}{2\sqrt{x^2+1}})=\dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}}>0$。\medskip + +所以该函数严格单调增。 + +然后求$y$的反函数： + +$\because y=\ln(x+\sqrt{x^2+1})$，对于对数函数就要把它变为指数函数： + +$e^y=e^{\ln(x+\sqrt{x^2+1})}=x+\sqrt{x^2+1}$ + +$ + \begin{aligned} + \because -y & =-\ln(x+\sqrt{x^2+1}) \\ + & =\ln(\dfrac{1}{x+\sqrt{x^2+1}}) \\ + & =\ln(\sqrt{x^2+1}-x) \\ + e^{-y} & =\sqrt{x^2+1}-x + \end{aligned} +$ + +$ + \begin{aligned} + \therefore e^y-e^{-y} & =2x \\ + x & =\dfrac{e^y-e^{-y}}{2} + \end{aligned} +$ + +解出了用$x$表示$y$的函数表达$x=f^{-1}(y)$，即反函数，则$f^{-1}(x)=\dfrac{e^x-e^{-x}}{2}$ + +这种曲线为一种常见曲线： + +\begin{itemize} + \item $\dfrac{e^x-e^{-x}}{2}$：双曲正弦。 + \item $\dfrac{e^x+e^{-x}}{2}$：双曲余弦。（为一种悬链线） + \item $\ln(x+\sqrt{x^2+1})$：反双曲正弦。 + \item $\ln(x+\sqrt{x^2-1})$：反双曲余弦。 +\end{itemize} + \subsubsection{复合函数} -设$y=f(u)$的定义域为$D_1$，函数$u=g(x)$在$D$上有定义且$g(D)\in D$，则由$y=f[g(x)],x\in D$确定的函数称为由函数$u=g(x)$和函数$y=f(u)$构成的复合函数，定义域为D，u为中间变量。 +设$y=f(u)$的定义域为$D_1$，函数$u=g(x)$在$D$上有定义且$g(D)\in D$，则由$y=f[g(x)],x\in D$确定的函数称为由函数$u=g(x)$和函数$y=f(u)$构成的复合函数，定义域为$D$，$u$为中间变量。 \textbf{例题：}设$f(x)=x^2$，$f[\psi(x)]=-x^2+2x+3$，且$\psi(x)\geqslant 0$，求$\psi(x)$以及定义域与值域。 @@ -103,58 +209,7 @@ $\therefore\psi(x)\in[0,2]$ \textcolor{orange}{注意}：$\sqrt{-x^2+2x+3}$为什么最值与$-x^2+2x+3$一致？ -\textbf{例题：}求函数$y=f(x)=\ln(x+\sqrt{x^2+1})$的反函数$f^{-1}(x)$的表达式及其定义域 - -解：首先研究$f(x)$本身，因为$\ln(x)$的定义域必然要求大于0，而任意实数x都有下面不等式成立： - -$x+\sqrt{x^2+1}>x+\vert x\vert \geqslant 0$，所以$x\in R$。 - -而研究其奇偶性： - -$f(-x)=\ln(-x+\sqrt{x^2+1})=\ln(\dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}+x})=-\ln(x+\sqrt{x^2+1})=-f(x)$ - -所以该函数为奇函数。 - -对其求单调性，即通过链式法则求导： - -$\dfrac{\rm{d}\textit{y}}{\rm{d}\textit{x}}=\dfrac{1}{x+\sqrt{x^2+1}}\cdot (1+\dfrac{2x}{2\sqrt{x^2+1}})=\dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}}>0$。\medskip - -所以该函数严格单调增。 - -然后求$y$的反函数： - -$\because y=\ln(x+\sqrt{x^2+1})$ - -$e^y=e^{\ln(x+\sqrt{x^2+1})}=x+\sqrt{x^2+1}$ - -$ - \begin{aligned} - \because -y & =-\ln(x+\sqrt{x^2+1}) \\ - & =\ln(\dfrac{1}{x+\sqrt{x^2+1}}) \\ - & =\ln(\sqrt{x^2+1}-x) \\ - e^{-y} & =\sqrt{x^2+1}-x - \end{aligned} -$ - -$ - \begin{aligned} - \therefore e^y-e^{-y} & =2x \\ - x & =\dfrac{e^y-e^{-y}}{2} - \end{aligned} -$ - -解出了用x表示y的函数表达$x=f^{-1}(y)$，即反函数，则$f^{-1}(x)=\dfrac{e^x-e^{-x}}{2}$ - -这种曲线为一种常见曲线： - -\begin{itemize} - \item $\dfrac{e^x-e^{-x}}{2}$：双曲正弦。 - \item $\dfrac{e^x+e^{-x}}{2}$：双曲余弦。（为一种悬链线） - \item $\ln(x+\sqrt{x^2+1})$：反双曲正弦。 - \item $\ln(x+\sqrt{x^2-1})$：反双曲余弦。 -\end{itemize} - -\textbf{例题3：}设$ +\textbf{例题：}设$ f(x)=\left\{ \begin{array}{lcl} \ln\sqrt{x}, & & x\geqslant 1 \\ @@ -172,7 +227,7 @@ $，求$f[f(x)]$ \right. $ -然后画图：\medskip +分段点为$1$，然后对$f(x)$画图：\medskip \begin{tikzpicture}[domain=-1:9.5] \draw[-latex](-1.5,0) -- (9.5,0) node[below]{$x$}; @@ -212,7 +267,7 @@ $$ \subsubsection{单调性} -\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}$y=f(x)\,x\in D$，如果$\forall x_1,x_2\in D$且$x_1N$时，必然$n>\dfrac{\ln\varepsilon}{\ln\vert q\vert}$， 证明：$\because\lim\limits_{n\to\infty}a_n=A\Leftrightarrow\forall\varepsilon>0,\exists N>0,\text{当}n>N$，恒有$\vert a_n-A\vert<\varepsilon$。 -又由重要不等式$\vert\vert a\vert-\vert b\vert\vert\leqslant\vert a-b\vert$，所以$\vert\vert a_n-\vert A\vert\vert\leqslant\varepsilon$。 +又由重要不等式$\vert\vert a\vert-\vert b\vert\vert\leqslant\vert a-b\vert$，所以$\vert\vert a_n\vert-\vert A\vert\vert\leqslant\varepsilon$。 所以恒成立，证明完毕。 @@ -366,7 +421,7 @@ $\therefore\exists N_2>0$，当$n>N_2$时，$\vert a_n-B\vert<\dfrac{A-B}{2}$。 取$N=\max\{N_1,N_2\}$，当$n>N$时，式子一二同时成立，而$A\neq B$，则这两个式子不可能同时成立，矛盾。 -同理$A0$，当$n>N$时，$\vert a_n-A\vert<\dfrac{A}{2}\Rightarro \textbf{例题：}求$\lim\limits_{n\to\infty}\left(n\tan\dfrac{1}{n}\right)^{n^2}$（$n\in N^+$）。 -解：$\because \lim\limits_{x\to 0}\left(\dfrac{\tan x}{x}\right)^{\frac{1}{x^2}}$ +解：首先将式子由数列极限变为函数极限，并取$x=\dfrac{1}{n}$：$\lim\limits_{x\to 0}\left(\dfrac{\tan x}{x}\right)^{\frac{1}{x^2}}$。 -又$u^v=e^{v\ln u}$ +又$u^v=e^{v\ln u}$，对式子取指数$\therefore =e^{\lim\limits_{x\to 0}\frac{1}{x^2}\ln\frac{\tan x}{x}}$ -$\therefore =e^{\lim\limits_{x\to 0}\frac{1}{x^2}\ln\frac{\tan x}{x}}$ +又在$x\to 0$下使用等价无穷小$\ln (1+x)\sim x$，$\therefore \ln(1+g(x))\sim g(x),g(x)\to 0$。 -又在$x\to 0$下$\ln (1+x)\sim x$，$\therefore \ln(1+g(x))\sim g(x),g(x)\to 0$。 +而在$x\to 0$时，根据等价无穷小$\tan x\sim x$，所以$\dfrac{\tan x}{x}$趋于1，不满足趋于0的条件。 -而$\dfrac{\tan x}{x}$在$x\to 0$时趋于1，不满足趋于0的条件。 - -所以正好变形$\ln\left(1+\dfrac{\tan x}{x}-1\right)$。 +所以正好将$\ln\dfrac{\tan x}{x}$变形$\ln\left(1+\dfrac{\tan x}{x}-1\right)$。 $\therefore \ln\left(1+\dfrac{\tan x}{x}-1\right)\sim\dfrac{\tan x}{x}-1$，$\dfrac{\tan x}{x}-1\to 0$。 @@ -446,7 +499,7 @@ $\therefore e^{\lim\limits_{x\to 0}\frac{1}{x^2}\ln\frac{\tan x}{x}}=e^{\lim\lim \textcolor{violet}{\textbf{定义：}}设函数$f(x)$在点$x_0$的某一个去心邻域有定义，若存在常数$A$，对于任意给定的$\varepsilon>0$，总存在正数$\delta$，使得当$0<\vert x-x_0\vert<\delta$式，对应的函数值$f(x)$都满足不等式$\vert f(x)-A\vert <\varepsilon$，则$A$就是函数$f(x)$当$x\to x_0$时的极限，记作$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A$或$f(x)\rightarrow A(x\rightarrow x_0)$。 -写成$\varepsilon-\delta$语言：$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A\Leftrightarrow\forall\varepsilon>0,\exists\delta>0,\text{当}0<\vert x-x_0\vert<\delta$时，有$\vert f(x)-A\vert\varepsilon$。 +写成$\varepsilon-\delta$语言：$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A\Leftrightarrow\forall\varepsilon>0,\exists\delta>0,\text{当}0<\vert x-x_0\vert<\delta$时，有$\vert f(x)-A\vert<\varepsilon$。 而对于趋向无穷时，写成$\varepsilon-X$语言：$\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=A\Leftrightarrow\forall\varepsilon>0,\exists X>0,\text{当}\vert x\vert>X$时，有$\vert f(x)-A\vert<\varepsilon$。