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Binary files a/advanced-math/exercise/4-indefinite-integral-and-definite-integral/indefinite-integral-and-definite-integral.pdf and b/advanced-math/exercise/4-indefinite-integral-and-definite-integral/indefinite-integral-and-definite-integral.pdf differ
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@@ -95,9 +95,21 @@ $=\displaystyle{\int(\sec^2x-1)}\tan x\sec x\,\textrm{d}x=\displaystyle{\int(\se
 
 需要利用到有理积分的高阶多项式分配与低阶多项式因式分解。
 
+\paragraph{反三角换元} \leavevmode \medskip
+
+当积分式子中存在$\arcsin x$、$\arccos x$、$\arctan x$这种反三角函数时，可以考虑将其令为$t$来进行简化计算。从而$x$分别为$\sin t$、$\cos t$、$\tan t$。
+
+\paragraph{指对换元} \leavevmode \medskip
+
+当积分式子存在指数函数$e^x$或对数函数$\ln x$时，可以考虑令其为$t$，从而$x$分别为$\ln t$和$e^t$。
+
+\paragraph{倒数换元} \leavevmode \medskip
+
+当被积函数的分母的幂次要比分子高两次以及以上时，令$x=\dfrac{1}{t}$。
+
 \paragraph{有理换元} \leavevmode \medskip
 
-书上这个类型属于有理函数部分，我这里移动到第一类换元中。即将无理因式设为一个变量，从而提高式子的阶数，消除无理式变为有理式。
+书上这个类型属于有理函数部分，我这里移动到第一类换元中。即将无理因式直接设为一个变量，从而提高式子的阶数，消除无理式变为有理式。
 
 有理换元时无理因式中的$x$必须是一阶的，如$\sqrt[3]{x+6}=u$，若是二阶需要利用第二类换元（三角换元），否则则无法消去无理因式项，因为$x$不能用单个的$u$来表示，如$\sqrt{x^3+6}=u$，$u=\sqrt[3]{u^2-6}$。
 
@@ -243,12 +255,20 @@ $I_1-I_2=\displaystyle{\int\dfrac{\cos t-\sin t}{\sin t+\cos t}\textrm{d}t=\int\
 
 同理$t\in(-\dfrac{\pi}{2},-\dfrac{\pi}{4})$也得到同样结果。
 
+\paragraph{\texorpdfstring{$\sqrt{ax^2+bx+c}$}\ } \leavevmode \medskip
+
+当被积函数含有根式$\sqrt{ax^2+bx+c}$时，需要对其配方变成$\sqrt{\varphi^2(x)+k^2}$、$\sqrt{\varphi^2(x)-k^2}$、$\sqrt{k^2-\varphi^2(x)}$三种形式再进行三角函数换元。
+
 \subsection{分部积分}
 
 因为分部积分法使用$\int u\,\textrm{d}v=uv-\int v\,\textrm{d}u$，所以基本上用于两项乘积形式的积分式子。
 
+函数积分难度为：反三角函数、对数函数、幂函数、指数函数、三角函数。越往右求导越难，左边更应该当$u$进行求导，而右边更适合做$v$进行积分。
+
 \subsubsection{基本分部}
 
+如果不是多次分部就是基本分部，目的都是为了降低积分式子幂次。
+
 \paragraph{非幂函数优先} \leavevmode \medskip
 
 当幂函数与一些微分后能降低幂函数幂次的函数在一起时，先对非幂函数优先分部积分，结果与幂函数相乘可以消去幂次，以达到降低幂次的作用。
@@ -277,7 +297,7 @@ $=\int x(\sec^2-1)\,\textrm{d}x=\int x\,\textrm{d}(\tan x)-\dfrac{x^2}{2}=x\tan
 
 \subsubsection{多次分部}
 
-对于一部分通过微分形式不会发生变化的函数，所以需要多次积分，然后利用等式求出目标值。
+对于一部分通过微分形式不会发生变化的函数，所以需要多次积分，然后利用等式求出目标值。即三角函数和指数函数，这两种积分形式不变，指数函数一次积分保持不变，而三角函数两次积分保持不变。
 
 如：$\int e^x\sin x\,\textrm{d}x$，$\int e^x\cos x\,\textrm{d}x$。
 
@@ -307,6 +327,14 @@ $=\sin^2x\cdot e^x-\sin2x\cdot e^x+2e^x\cos2x+4\sin2x\cdot e^x-8\int e^x\cdot\co
 
 $=\dfrac{e^x(5\sin^2x-\sin2x+2\cos2x)}{5}+C=e^x\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{5}\sin2x-\dfrac{1}{10}\cos2x\right)+C$
 
+$\int uv'''\,\textrm{d}x=\int u\,\textrm{d}(v'')=uv''-\int v''u'\,\textrm{d}x$
+
+$\int u'v''\,\textrm{d}x=\int u'\,\textrm{d}(v')=u'v'-\int v'u''\,\textrm{d}x$
+
+$\int u''v'\,\textrm{d}x=\int u''\,\textrm{d}v=u''v-\int vu'''\,\textrm{d}x$
+
+$\therefore\int uv'''\,\textrm{d}x=uv''-u'v'+u''v-\int u'''v\,\textrm{d}x$。
+
 \subsubsection{分部与换元}
 
 分部积分法和换元积分法经常一起使用。
@@ -479,7 +507,7 @@ $\lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{i=1}^n\dfrac{1}{n+i}=\lim\limits_{n\to\inf
 
 $=\displaystyle{\int_0^1\dfrac{1+x}{1+x^2}\textrm{d}x}=\displaystyle{\int_0^1\dfrac{1}{1+x^2}\textrm{d}x+\int_0^1\dfrac{x}{1+x^2}\textrm{d}x}$
 
-$=\left[\arctan x+\dfrac{1}{2}\ln(1+x^2)\right]_0^1$。
+$=\left[\arctan x+\dfrac{1}{2}\ln(1+x^2)\right]_0^1=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{1}{2}\ln2$。
 
 \subsection{变限积分}
 
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@@ -321,14 +321,15 @@ $\dfrac{P}{x^n}=\dfrac{A}{x}+\dfrac{B_0x+B_1}{x^2}+\cdots+\dfrac{N_0x^{n-1}+\cdo
     \item $\int_a^bkf(x)\,\textrm{d}x=k\int_a^bf(x)\,\textrm{d}x$。
     \item $\int_a^b[f(x)\pm g(x)]\,\textrm{d}x=\int_a^bf(x)\,\textrm{d}x\pm\int_a^bg(x)\,\textrm{d}x$。
     \item $\int_a^bf(x)\,\textrm{d}x=\int_a^cf(x)\,\textrm{d}x+\int_c^bf(x)\,\textrm{d}x$，若$c$处于函数的可积区间。
-    \item 若$[a,b]$上$f(x)\geqslant 0$，则$\int_a^bf(x)\,\textrm{d}x\geqslant 0$。
+    \item 若$[a,b]$上$f(x)\geqslant 0$，则$\int_a^bf(x)\,\textrm{d}x\geqslant 0$。当$f(x)\equiv0$时等号成立。
     \item 若$[a,b]$上$f(x)\leqslant g(x)$，则$\int_a^bf(x)\,\textrm{d}x\leqslant\int_a^bg(x)\,\textrm{d}x$。
     \item $\left\vert\int_a^bf(x)\,\textrm{d}x\right\vert\leqslant\int_a^b\vert f(x)\vert\,\textrm{d}x$。
     \item 已知$f(x)\in[m,M]$在$[a,b]$上成立，则$m(b-a)\leqslant\int_a^bf(x)\,\textrm{d}x\leqslant M(a-b)$。
+    \item 估值定理：当$M$，$m$分别为$f(x)$在$[a,b]$上的最大值和最小值，则$m(b-a)\leqslant\int_a^bf(x)\,\textrm{d}x\leqslant M(b-a)$。
     \item 积分中值定理：$\exists\,\xi\in[a,b]$，使得$\int_a^bf(x)\,\textrm{d}x=f(\xi)(b-a)$。
 \end{enumerate}
 
-证明积分中值定理：
+证明第十一条积分中值定理：
 
 设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，因为闭区间上连续函数必然有最大最小值，所以设最大值为$M$，最小值为$m$，$M\geqslant m$。
 
@@ -340,10 +341,18 @@ $\dfrac{P}{x^n}=\dfrac{A}{x}+\dfrac{B_0x+B_1}{x^2}+\cdots+\dfrac{N_0x^{n-1}+\cdo
 
 从而得到$\exists\,\varepsilon\in[a,b]$，使得$\int_a^bf(x)\,\textrm{d}x=f(\varepsilon)(b-a)$。
 
+也可以使用下面的变限积分来证明：
+
+因为$f(x)$连续，所以有积分，设$F(x)=\int_a^xf(t)\,\textrm{d}t$。
+
+对$F(x)$使用拉格朗日中值定理：$F(b)-F(a)=F'(\xi)(b-a)$，即$\int_a^bf(x)\,\textrm{d}x=f(\xi)(b-a)$，其中$\xi\in(a,b)\subset[a,b]$。
+
 对于定积分的存在性：
 
 \textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，则$f(x)$在该区间上可积。
 
+\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上单调，则$f(x)$在该区间上可积。
+
 \textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上有界，且只有有限个间断点，则$f(x)$在该区间上可积。
 
 \textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}若函数$f(x)$是周期函数且周期为$T$，$\int_a^{a+T}f(x)\,\textrm{d}x=\int_0^Tf(x)\,\textrm{d}x$对于$\forall a$成立。
@@ -398,7 +407,7 @@ $\therefore F'_x(x)=F'_u(x)\cdot u'_x=e^{-u^2}\cdot 2x=2xe^{-x^4}$。
 
 也同理，如果上限下限都在变化，则可以利用积分区间的可加性，将这个积分的区间插入一个常数（一般为0），将一个积分式子变为两个积分式子，再分别进行运算。
 
-所以变限积分\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}若$\phi(x)$与$\psi(x)$都可导，$f(x)$连续，则$\dfrac{\textrm{d}\int_{\psi(x)}^{\phi(x)}f(t)\,\textrm{d}t}{\textrm{d}x}=f(\psi(x))\psi'(x)-f(\phi(x))\phi'(x)$。
+所以变限为函数的积分求导\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}若$\phi(x)$与$\psi(x)$都可导，$f(x)$连续，则$\dfrac{\textrm{d}\int_{\psi(x)}^{\phi(x)}f(t)\,\textrm{d}t}{\textrm{d}x}=f(\psi(x))\psi'(x)-f(\phi(x))\phi'(x)$。
 
 \textbf{例题：}求极限$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\int_0^{\sin^2x}\ln(1+t)\,\textrm{d}t}{x(\sqrt{1+x^3}-1)}$。
 
@@ -464,9 +473,11 @@ $\int_a^bf(x)\,\textrm{d}x=F(b)-F(a)=F'(\xi)(b-a)=f(\xi)(b-a)(a<\xi b)$。
 
 \subsection{反常积分}
 
+无论是定限积分还是变限积分，有一部分的区间是固定不变的。
+
 当积分区间为无穷区间，或被积函数为无界函数，那么定积分就无法“定”下来，所以这种积分就是反常积分。
 
-\subsubsection{无穷限}
+\subsubsection{无穷区间}
 
 设函数$f(x)$在区间$[a,+\infty)$上连续，任取$t>a$，做定积分$\int_a^tf(x)\,\textrm{d}x$，对这种变上限积分的极限$\lim\limits_{t\to+\infty}\int_a^tf(x)\,\textrm{d}x$就是$f(x)$在无穷区间$[a,+\infty)$上的反常积分，记为$\int_a^{+\infty}f(x)\,\textrm{d}x$。
 
@@ -476,9 +487,11 @@ $\int_a^bf(x)\,\textrm{d}x=F(b)-F(a)=F'(\xi)(b-a)=f(\xi)(b-a)(a<\xi b)$。
 
 无穷限反常积分\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}$\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\,\textrm{d}x=\int_{-\infty}^0f(x)\,\textrm{d}x+\int_0^{+\infty}f(x)\,\textrm{d}x$。
 
+对于无穷区间的反常积分要求的就是$\lim\limits_{x\to\infty}f(x)$。
+
 \subsubsection{无界函数}
 
-若$f(x)$在点$a$的任意一个邻域内都无界，则$a$就是$f(x)$的瑕点（无界间断点），无界函数的反常积分又称为瑕积分。
+若$f(x)$在点$a$的任意一个邻域内都无界，则$a$就是$f(x)$的瑕点（无穷间断点），无界函数的反常积分又称为瑕积分。
 
 设$f(x)$在区间$(a,b]$上连续，点$a$为$f(x)$的瑕点，任取$t>a$，作定积分$\int_t^bf(x)\,\textrm{d}x$，则对变下限的定积分求极限的$\lim\limits_{t\to a^+}\int_t^bf(x)\,\textrm{d}x$就是函数$f(x)$在区间$(a,b]$上的反常积分，记为$\int_a^bf(x)\,\textrm{d}x$。
 
@@ -488,6 +501,8 @@ $\int_a^bf(x)\,\textrm{d}x=F(b)-F(a)=F'(\xi)(b-a)=f(\xi)(b-a)(a<\xi b)$。
 
 若$f(x)$在区间$[a,c)\cup(c,b]$上连续，$c$为瑕点，则$\int_a^bf(x)\,\textrm{d}x=\int_a^cf(x)\,\textrm{d}x+\int_c^bf(x)\,\textrm{d}x$。
 
+对于无界函数的反常积分要求的就是$\lim\limits_{x\to a}f(x)$。
+
 \subsection{* 反常积分的判敛}
 
 \subsection{不定积分与定积分的区别与联系}