From 1cac9195a92fc6a122ec33b4ad587b568167b67f Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Didnelpsun <2675350965@qq.com> Date: Fri, 26 Feb 2021 23:02:53 +0800 Subject: [PATCH] =?UTF-8?q?=E6=9B=B4=E6=96=B0?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- .gitignore | 12 +- README.md | 16 +- advanced-math/exercise/1-limit/limit.tex | 1298 +++++----- .../continuity-and-discontinuity.tex | 288 +-- .../derivative-and-differentiate.tex | 640 ++--- advanced-math/knowledge/0-perpare/perpare.tex | 2154 ++++++++-------- .../function-and-limit.tex | 2230 ++++++++--------- .../derivatives-and-differential.tex | 1302 +++++----- ...heorem-and-applications-of-derivatives.tex | 1232 ++++----- ...efinite-integral-and-definite-integral.tex | 1094 ++++---- ...or-algebra-and-space-analytic-geometry.tex | 66 +- ...ial-calculus-of-multivariate-functions.tex | 66 +- ...ral-calculus-of-multivariate-functions.tex | 66 +- .../8-infinite-series/infinite-series.tex | 70 +- 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-\definecolor{orange}{RGB}{255,127,0} -\usepackage{geometry} -\setcounter{tocdepth}{4} -\setcounter{secnumdepth}{4} -% 设置四级目录与标题 -\geometry{papersize={21cm,29.7cm}} -% 默认大小为A4 -\geometry{left=3.18cm,right=3.18cm,top=2.54cm,bottom=2.54cm} -% 默认页边距为1英尺与1.25英尺 -\usepackage{indentfirst} -\setlength{\parindent}{2.45em} -% 首行缩进2个中文字符 -\usepackage{setspace} -\renewcommand{\baselinestretch}{1.5} -% 1.5倍行距 -\usepackage{amssymb} -% 因为所以 -\usepackage{amsmath} -% 数学公式 -\usepackage{pifont} -% 圆圈序号 -\usepackage{mathtools} -% 有字的长箭头 -\usepackage[colorlinks,linkcolor=black,urlcolor=blue]{hyperref} -% 超链接 -\author{Didnelpsun} -\title{极限} -\date{} -\begin{document} -\maketitle -\thispagestyle{empty} -\tableofcontents -\thispagestyle{empty} -\newpage -\pagestyle{plain} -\setcounter{page}{1} - -\section{极限类型} - -七种：$\dfrac{0}{0},\dfrac{\infty}{\infty},0\cdot\infty,\infty-\infty,\infty^0,0^0,1^\infty$。 - -\medskip - -\ding{172}其中$\dfrac{0}{0}$为洛必达法则的基本型。$\dfrac{\infty}{\infty}$可以类比$\dfrac{0}{0}$的处理方式。$0\cdot\infty$可以转为$\dfrac{0}{\dfrac{1}{\infty}}=\dfrac{0}{0}=\dfrac{\infty}{\dfrac{1}{0}}=\dfrac{\infty}{\infty}$。设置分母有原则，简单因式才下放（简单：幂函数，e为底的指数函数）。 - -\medskip - -\ding{173}$\infty-\infty$可以提取公因式或通分，即和差化积。 - -\medskip - -\ding{174}$\infty^0,0^0,1^\infty$，就是幂指函数。 - -\medskip - -$ -u^v=e^{v\ln u}=\left\{ -\begin{array}{lcl} - \infty^0 & \rightarrow & e^{0\cdot+\infty} \\ - 0^0 & \rightarrow & e^{0\cdot-\infty} \\ - 1^\infty & \rightarrow & e^{\infty\cdot 0} \\ -\end{array} \right. -$ - -\medskip - -$\therefore \lim u^v=e^{\lim v\cdot\ln u}=e^{\lim v(u-1)}$ - -综上，无论什么样的四则形式，都必须最后转换为商的形式。 - -\section{常用化简运算} - -\subsection{对数法则} - -\textbf{例题：}求$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{(e^{x^2}-1)(\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x})}{[\ln(1-x)+\ln(1+x)]\sin\dfrac{x}{x+1}}$。 - -注意在积或商的时候不能把对应的部分替换为0，如分母部分的$[\ln(1-x)+\ln(1+x)]$就无法使用$\ln(1+x)\sim x$替换为$-x+x$，这样底就是0了，无法求得最后的极限。 - -这时可以尝试变形，如对数函数相加等于对数函数内部式子相乘：$\ln(1-x)+\ln(1+x)=\ln(1-x^2)\sim-x^2$。 - -\subsection{指数法则} - -求$\lim\limits_{n\to\infty}n\left[\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{\frac{n}{2}}-\sqrt{e}\right]$。 - -首先对于幂指函数需要取指数，所以$\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{\frac{n}{2}}=e^{\frac{n}{2}\ln(1+\frac{1}{n})}$。\medskip - -而后面的多一个$\sqrt{e}$导致整个式子变为一个复杂的式子，而与$e^x$相关的是$e^x-1\sim x$。 - -所以$e^{\frac{n}{2}\ln(1+\frac{1}{n})}-\sqrt{e}=e^{\frac{1}{2}}\cdot\left(e^{\frac{n}{2}\ln(1+\frac{1}{n})-\frac{1}{2}}-1\right)=e^{\frac{1}{2}}\cdot\left[\dfrac{n}{2}\ln(1+\dfrac{1}{n})-\dfrac{1}{2}\right]$。 - -综上： - -$\lim\limits_{n\to\infty}n\left[\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{\frac{n}{2}}-\sqrt{e}\right]$ \medskip - -$=\lim\limits_{n\to\infty}n\left(e^{\frac{n}{2}\ln(1+\frac{1}{n})}-\sqrt{e}\right)$ \medskip - -$=\lim\limits_{n\to\infty}n\left[e^{\frac{1}{2}}\cdot\left(e^{\frac{n}{2}\ln(1+\frac{1}{n})-\frac{1}{2}}-1\right)\right]$ \medskip - -$=\dfrac{e^{\frac{1}{2}}}{2}\lim\limits_{n\to\infty}n^2\left[\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)-\dfrac{1}{n}\right]$ - -$=\dfrac{e^{\frac{1}{2}}}{2}\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{2n^2}-\dfrac{1}{n}}{\dfrac{1}{n^2}}$ - -$=\dfrac{e^{\frac{1}{2}}}{2}\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right)$ - -$=-\dfrac{\sqrt{e}}{4}$ - -\subsection{三角函数关系式} - -\textbf{例题：}求极限$\lim\limits_{x\to 0}\left(\dfrac{1}{\sin^2x}-\dfrac{\cos^2x}{x^2}\right)$。\medskip - -$\lim\limits_{x\to 0}\left(\dfrac{1}{\sin^2x}-\dfrac{\cos^2x}{x^2}\right)$ \medskip - -$= \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x^2-\sin^2x\cos^2x}{\sin^2x\cdot x^2} (\sin x\sim x)$ \medskip - -$= \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x^2-\sin^2x\cos^2x}{x^4} (\sin x\cos x\sim\dfrac{1}{2}\sin 2x)$ \medskip - -$= \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x^2-\dfrac{1}{4}\sin^22x}{x^4}$ \medskip - -$= \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{2x-\dfrac{1}{4}\cdot 2\sin 2x\cdot\cos 2x\cdot 2}{4x^3} (\sin x\cos x\sim\dfrac{1}{2}\sin 2x)$ \medskip - -$= \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{2x-\dfrac{1}{2}\sin 4x}{4x^3}$ \medskip - -$= \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{2-\dfrac{1}{2}\cos 4x\cdot 4}{12x^2}$ \medskip - -$= \dfrac{1}{6}\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{1-\cos 4x}{x^2} (1-\cos x\sim \dfrac{1}{2}x^2)$ \medskip - -$= \dfrac{4}{3}$ - -\subsection{提取常数因子} - -提取常数因子就是提取出能转换为常数的整个极限式子的因子。这个因子必然在自变量的趋向时会变为非0的常数，那么这个式子就可以作为常数提出。 - -\subsection{提取公因子} - -当作为商的极限式子上下都具有公因子时可以提取公因子然后相除，从而让未知数集中在分子或分母上。 - -\textcolor{orange}{注意：}提取公因子的时候应该注意开平方等情况下符号的问题。如果极限涉及倒正负两边则必须都讨论。 - -当趋向为负且式子中含有根号的时候最好提取负因子，从而让趋向变为正。\medskip - -\textbf{例题：}求$\lim\limits_{x\to-\infty}\left[\sqrt{4x^2+x}\ln\left(2+\dfrac{1}{x}\right)+2\ln 2x\right]$。\medskip - -题目的形式为$\infty-\infty$，所以必须使用后面的倒代换转换为商的形式。\medskip - -$=\lim\limits_{x\to-\infty}-x\left[\sqrt{4+\dfrac{1}{x}}\ln\left(2+\dfrac{1}{x}\right)-2\ln 2\right]$。 \medskip - -这里就需要注意到因为$\sqrt{4x^2+x}$的限制导致这个式子必然为正数，而$x\to-\infty$代表自变量为负数，所以提出来的$x$必然是负数，而原式是正数，所以就需要添加一个负号，而后面的$2\ln 2x$则没有要求，所以直接变成$-2\ln 2$就可以了。 - -将$x$下翻变成分母为$\dfrac{1}{x}$，并令$t=\dfrac{1}{x}$。\medskip - -$=\lim\limits_{t\to 0^-}\dfrac{\sqrt{t+4}\ln\left(2+\dfrac{1}{x}\right)-2\ln 2}{-t}$。\medskip - -幂次不高可以尝试洛必达：\medskip - -$=\lim\limits_{t\to 0^-}\left(\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\ln(2+t)}{\sqrt{t+4}}+\dfrac{\sqrt{t+4}}{2+t}\right)$\medskip - -$=-\left(\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\ln 2}{2}+\dfrac{2}{2}\right)=-\dfrac{\ln 2}{4}-1$。 - -\subsection{幂指函数} - -当出现$f(x)^{g(x)}$的类似幂函数与指数函数类型的式子，需要使用$u^v=e^{v\ln u}$。 - -\textbf{例题：}求极限$\lim\limits_{x\to+\infty}(x+\sqrt{1+x^2})^{\frac{1}{x}}$。\medskip - -$\lim\limits_{x\to+\infty}(x+\sqrt{1+x^2})^{\frac{1}{x}}$ \medskip - -$=e^{\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{\ln(x+\sqrt{1+x^2})}{x}} \left(\ln(x+\sqrt{1+x^2})'=\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}\right)$\medskip - -$=e^{\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}}$ - -$=e^0$ - -$=1$ - -\subsection{有理化} - -当遇到带有根号的式子可以使用等价无穷小，但是只针对形似$(1+x)a-1\sim ax$的式子，而针对$x^a\pm x^b$的式子则无法替换，必须使用有理化来将单个式子变为商的形式。 - -如$\sqrt{a}\pm\sqrt{b}=\dfrac{a+b}{\sqrt{a}\mp\sqrt{b}}$。\medskip - -\textbf{例题：}求极限$\lim\limits_{x\to-\infty}x(\sqrt{x^2+100}+x)$。 - -首先定性分析：$\lim\limits_{x\to-\infty}x\cdot(\sqrt{x^2+100}+x)$。 - -在$x\to-\infty$趋向时，$x$就趋向无穷大，而$\sqrt{x^2+100}$为一次，所以$\sqrt{x^2+100}+x$趋向0。 - -又$\sqrt{x^2+100}$在$x\to-\infty$时本质为根号差，所以有理化： - -$\lim\limits_{x\to-\infty}x(\sqrt{x^2+100}+x)$ - -$=\lim\limits_{x\to-\infty}x\dfrac{x^2+100-x^2}{\sqrt{x^2+100}-x}$\medskip - -$=\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{100x}{\sqrt{x^2+100}-x}$\medskip - -$\xRightarrow{\text{令}x=-t}\lim\limits_{t\to+\infty}\dfrac{-100t}{\sqrt{t^2+100}+t}$\medskip - -$=\lim\limits_{t\to+\infty}\dfrac{-100}{\sqrt{1+\dfrac{100}{t^2}}+1}$ - -$=-50$ - -\subsection{换元法} - -换元法本身没什么技巧性，主要是更方便计算。最重要的是获取到共有的最大因子进行替换。 - -\textbf{例题：}求极限$\lim\limits_{x\to 1^-}\ln x\ln(1-x)$。 - -当$x\to 1^-$时，$\ln x$趋向0，$\ln(1-x)$趋向$-\infty$。 - -又$x\to 0$，$\ln(1+x)\sim x$，所以$x\to 1$，$\ln x\sim x-1$： - -$\lim\limits_{x\to 1^-}\ln x\ln(1-x)$ - -$= \lim\limits_{x\to 1^-}(x-1)\ln(1-x)$ - -$\xRightarrow{令t=1-x} =-\lim\limits_{t\to 0^+}t\ln t$ - -$= -\lim\limits_{t\to 0^+}\dfrac{\ln t}{\dfrac{1}{t}}$ - -$= -\lim\limits_{t\to 0^+}\dfrac{\dfrac{1}{t}}{-\dfrac{1}{t^2}}$ - -$= \lim\limits_{t\to 0^+}t$ - -$= 0$ - -\subsection{倒代换} - -\subsubsection{含有分式} - -当极限式子中含有分式中一般都需要用其倒数，把分式换成整式方便计算。 - -\textbf{例题：}求极限$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{e^{-\frac{1}{x^2}}}{x^{100}}$ - -$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{e^{-\frac{1}{x^2}}}{x^{100}}$\medskip - -$= \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{e^{-\frac{1}{x^2}}\cdot 2x^{-3}}{100x^{99}}$\medskip - -$= \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{1}{50}\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{e^{-\frac{1}{x^2}}}{x^{102}}$ - -\medskip - -使用洛必达法则下更复杂，因为分子的幂次为负数，导致求导后幂次绝对值越来越大，不容易计算。 - -使用倒代换再洛必达降低幂次，令$t=\dfrac{1}{x^2}$ - -$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{e^{-\frac{1}{x^2}}}{x^{100}}$\medskip - -$= \lim\limits_{t\to+\infty}\dfrac{e^{-t}}{t^{-50}}$\medskip - -$= \lim\limits_{t\to+\infty}\dfrac{t^{50}}{e^t}$\medskip - -$= \lim\limits_{t\to+\infty}\dfrac{50t^{49}}{e^t}$ - -$= \cdots$ - -$= \lim\limits_{t\to+\infty}\dfrac{50!}{e^t}$ - -$= 0$ - -\textbf{例题：}求极限$\lim\limits_{x\to+\infty}[x^2(e^{\frac{1}{x}}-1)-x]$。 - -该式子含有分数，所以尝试使用倒数代换：\medskip - -$\lim\limits_{x\to+\infty}[x^2(e^{\frac{1}{x}}-1)-x]$ \medskip - -$\xRightarrow{\text{令}x=\frac{1}{t}}\lim\limits_{t\to 0^+}\left(\dfrac{e^t-1}{t^2}-\dfrac{1}{t}\right)$\medskip - -$\lim\limits_{t\to 0^+}\dfrac{e^t-1-t}{t^2}$ - -$\xRightarrow{\text{泰勒展开}e^t}\lim\limits_{t\to 0^+}\dfrac{\dfrac{1}{2}t^2}{t^2}$ - -$=\dfrac{1}{2}$ - -\subsubsection{\texorpdfstring{$\infty-\infty$}\ 型} - -\subsection{拆项} - -当极限式子中出现不知道项数的$n$时，一般需要使用拆项，把项重新组合。一般的组合是根据等价无穷小。 - -而对于复杂的具有同一结构的式子也可以考虑拆项。 - -\textbf{例题：}求极限$\lim\limits_{x\to 0}\left(\dfrac{e^x+e^{2x}+\cdots+e^{nx}}{n}\right)^{\frac{e}{x}}$。（$n\in N^+$） - -这里可以使用等价无穷小$e^x-1\sim x$。 - -$\lim\limits_{x\to 0}\left(\dfrac{e^x+e^{2x}+\cdots+e^{nx}}{n}\right)^{\frac{e}{x}}$ - -$=e^{\lim\limits_{x\to 0}\frac{e}{x}\ln\left(\frac{e^x+e^{2x}+\cdots+e^{nx}}{n}\right)}$ - -$=e^{\lim\limits_{x\to 0}\frac{e}{x}\left(\frac{e^x+e^{2x}+\cdots+e^{nx}}{n}-1\right)}$ - -$=e^{\lim\limits_{x\to 0}\frac{e}{x}\left(\frac{e^x+e^{2x}+\cdots+e^{nx}-n}{n}\right)}$ - -$=e^{\frac{e}{n}\lim\limits_{x\to 0}\left(\frac{e^x-1}{x}+\frac{e^{2x}-1}{x}+\cdots+\frac{e^{nx}-1}{x}\right)}$ - -$=e^{\frac{e}{n}[1+2+\cdots+n]}$ - -$=e^{\frac{e}{n}\cdot\frac{n(1+n)}{2}}$ - -$=e^{\frac{e(1+n)}{2}}$ - -\textbf{例题：}求$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{1-\cos x\sqrt{\cos 2x}\sqrt[3]{\cos 3x}}{\ln\cos x}$\medskip - -可以使用$\cos x-1\sim\dfrac{x^2}{2}$。\medskip - -$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{1-\cos x\sqrt{\cos 2x}\sqrt[3]{\cos 3x}}{\ln\cos x}$ - -$=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{1-\cos x+\cos x-\cos x\sqrt{\cos 2x}\sqrt[3]{\cos 3x}}{-\dfrac{x^2}{2}}$ - -$=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\dfrac{x^2}{2}}{-\dfrac{x^2}{2}}+\dfrac{\cos x(1-\sqrt{\cos 2x}\sqrt[3]{\cos 3x})}{-\dfrac{x^2}{2}}$ - -$=-1+\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{(1-\sqrt{\cos 2x})+\sqrt{\cos 2x}-\sqrt{\cos 2x}\sqrt[3]{\cos 3x}}{-\dfrac{x^2}{2}}$ - -$=-1+\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{-\dfrac{1}{2}(\cos 2x-1)+\sqrt{\cos 2x}(1-\sqrt[3]{\cos 3x})}{-\dfrac{x^2}{2}}$ - -$=-1+\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{-\dfrac{1}{2}(-\dfrac{4x^2}{2})+\left(-\dfrac{1}{3}\right)\left(-\dfrac{9x^2}{2}\right)}{-\dfrac{x^2}{2}}$ - -$=-6$ - -\section{基本计算方式} - -课本上极限计算可以使用的主要计算方式： - -\subsection{基础四则运算} - -只有式子的极限各自存在才能使用四则运算，使用的频率较少。 - -\subsection{两个重要极限} - -\subsection{导数定义} - -极限转换以及连续性的时候会用到，但是使用的频率也较小。 - -\subsection{等价无穷小替换} - -当看到复杂的式子，且不论要求的极限值的趋向，而只要替换的式子是$\Delta\to 0$时的无穷小，就使用等价无穷小进行替换。 - -\textcolor{orange}{注意：}替换的必然是整个求极限的乘或除的因子，一般加减法与部分的因子不能进行等价无穷小替换。 - -对于无法直接得出变换式子的，可以对对应参数进行凑，以达到目标的可替换的等价无穷小。 - -\subsection{夹逼准则} - -夹逼准则可以用来证明不等式也可以用来计算极限。但是最重要的是找到能夹住目标式子的两个式子。\medskip - -\textbf{例题：}求极限$\lim\limits_{x\to 0}x\left[\dfrac{10}{x}\right]$，其中$[\cdot]$为取整符号。 - -取整函数公式：$x-1<[x]\leqslant x$，所以$\dfrac{10}{x}-1<\left[\dfrac{10}{x}\right]\leqslant\dfrac{10}{x}$。 - -当$x>0$时，$x\to 0^+$，两边都乘以10，$10-x0$时，$x\to 0^-$，同样也是夹逼准则得到极限为10。\medskip - -$\therefore \lim\limits_{x\to 0}x\left[\dfrac{10}{x}\right]=10$。 - -\subsection{拉格朗日中值定理} - -对于形如$f(a)-f(b)$的极限式子就可以使用拉格朗日中值定理，这个$f(x)$为任意的函数。 - -\textbf{例题：}求极限$\lim\limits_{n\to\infty}n^2\left(\arctan\dfrac{2}{n}-\arctan\dfrac{2}{n+1}\right)$。\medskip - -因为式子不算非常复杂，其实也可以通过洛必达法则来完成，但是求导会很复杂。而$\arctan x$可以认定为$f(x)$。 - -从而$\arctan\dfrac{2}{n}-\arctan\dfrac{2}{n+1}$为$f(\dfrac{2}{n})-f(\dfrac{2}{n+1})=f'(\xi)\left(\dfrac{2}{n}-\dfrac{2}{n+1}\right)$。 - -其中$\dfrac{2}{n+1}<\xi<\dfrac{2}{n}$，而当$n\to\infty$时，$f'(\xi)=\dfrac{1}{1+\xi^2}\to 1$。 - -$\therefore\arctan\dfrac{2}{n}-\arctan\dfrac{2}{n+1}\sim\dfrac{2}{n}-\dfrac{2}{n+1}=\dfrac{2}{n(n+1)}$。 - -$\therefore\lim\limits_{n\to\infty}n^2\left(\arctan\dfrac{2}{n}-\arctan\dfrac{2}{n+1}\right)=\lim\limits_{n\to\infty}n^2\cdot\dfrac{2}{n(n+1)}=2$。 - -\subsection{洛必达法则} - -洛必达法则的本质是降低商形式的极限式子的幂次。 - -洛必达在处理一般的极限式子比较好用，但是一旦式子比较复杂最好不要使用洛必达法则，最好是对求导后有规律或幂次较低的式子进行上下求导。 - -对于幂次高的式子必然使用洛必达法则。 - -\subsection{泰勒公式} - -泰勒公式一般会使用趋向0的麦克劳林公式，且一般只作为极限计算的一个小部分，用来替代一个部分。 - -且一般只有麦克劳林公式表上的基本初等函数才会使用倒泰勒公式，复合函数最好不要使用。 - -\textbf{例题：}求极限$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\arcsin x-\arctan x}{\sin x-\tan x}$。\medskip - -分析：该题目使用洛必达法则会比较麻烦且难以计算，所以先考虑是否能用泰勒展开： - -$x\to 0$，$\sin x=x-\dfrac{1}{6}x^3+o(x^3)$，$\tan x=x+\dfrac{1}{3}x^3+o(x^3)$，$\arcsin x=x+\dfrac{1}{6}x^3+o(x^3)$，$\arctan x=x-\dfrac{1}{3}x^3+o(x^3)$。 - -$\therefore \sin x-\tan x=-\dfrac{1}{2}x^3+o(x^3)$，$\arcsin x-\arctan x=\dfrac{1}{2}x^3+o(x^3)$ - -$\therefore \text{原式}=\dfrac{\dfrac{1}{x}x^3+o(x^3)}{-\dfrac{1}{2}x^3+o(x^3)}=-1$。 - -\section{极限计算形式} - -极限相关计算形式主要分为下面六种： - -\begin{enumerate} - \item 未定式：直接根据式子计算极限值。 - \item 极限转换：根据已知的极限值计算目标极限值。 - \item 求参数：已知式子的极限值，计算式子中未知的参数。 - \item 极限存在性：根据式子以及极限存在性计算极限或参数。 - \item 极限唯一性：式子包含参数，根据唯一性计算两侧极限并求出参数与极限值。 - \item 函数连续性：根据连续性与附加条件计算极限值或参数。 - \item 迭代式数列：根据数列迭代式计算极限值。 - \item 变限积分：根据变限积分计算极限值。 -\end{enumerate} - -\subsection{极限转换} - -\subsubsection{整体换元} - -最常用的方式就是将目标值作为一个部分，然后对已知的式子进行替换。 - -\textbf{例题：}已知$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\ln(1-x)+xf(x)}{x^2}=0$，求$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{f(x)-1}{x}$。\medskip - -令目标$\dfrac{f(x)-1}{x}=t$，$\therefore f(x)=tx+1$。\medskip - -$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\ln(1-x)+xf(x)}{x^2}$\medskip - -$=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\ln(1-x)+tx^2+x}{x^2} (\text{泰勒展开})$\medskip - -$=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{-x-\dfrac{x^2}{2}+tx^2+x}{x^2}$\medskip - -$=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\left(t-\dfrac{1}{2}\right)x^2}{x^2}$\medskip - -$=\lim\limits_{x\to 0}\left(t-\dfrac{1}{2}\right)$ - -$=0$ - -$\therefore\lim\limits_{x\to 0}t=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{f(x)-1}{x}=\dfrac{1}{2}$。 - -\subsubsection{关系转换} - -\textbf{例题：}如果$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x-\sin x+f(x)}{x^4}$存在，则$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x^3}{f(x)}$为常数多少？ - -由$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x\sin x+f(x)}{x^4}=A$，而目标是$x^3$，所以需要变形： - -$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x\sin x+f(x)}{x^4}=A$ - -$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x\sin x+f(x)\cdot x}{x^4}=A\cdot\lim\limits_{x\to 0}x=0$ - -$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x-\sin x}{x^3}+\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{f(x)}{x^3}=0$ - -$\text{泰勒展开：}x-\sin x=\dfrac{1}{6}x^3$ - -$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{f(x)}{x^3}=-\dfrac{1}{6}$ - -$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x^3}{f(x)}=-6$ - -\subsubsection{脱帽法} - -$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)\Leftrightarrow f(x)=A+\alpha(x),\lim\limits_{x\to x_0}\alpha(x)=0$。 - -\textbf{例题：}如果$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x-\sin x+f(x)}{x^4}$存在，则$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x^3}{f(x)}$为常数多少？ - -由$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x\sin x+f(x)}{x^4}=A$脱帽：$\dfrac{x\sin x+f(x)}{x^4}=A+\alpha$。 - -得到：$f(x)=Ax^4+\alpha\cdot x^4-(x-\sin x)$。 - -反代入：$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{f(x)}{x^3}=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{Ax^4+\alpha\cdot x^4-x+\sin x}{x^3}=0+0-\dfrac{1}{6}=-\dfrac{1}{6}$。 - -$\therefore \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x^3}{f(x)}=-6$。 - -\subsection{求参数} - -因为求参数类型的题目中式子是未知的，所以求导后也是未知的，所以一般不要使用洛必达法则，而使用泰勒展开。 - -一般极限式子右侧等于一个常数，或是表明高阶或低阶。具体的关系参考无穷小比阶。 - -在求参数的时候要注意与0的关系。\medskip - -\textbf{例题：}设$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\ln(1+x)-(ax+bx^2)}{x^2}=2$，求常数a，b。 - -根据泰勒展开式：$x\to 0,\ln(1+x)=x-\dfrac{x^2}{x}+o(x^2)$，$x-\ln(1+x)\sim\dfrac{1}{2}x^2\sim 1-\cos x$。 - -$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\ln(1+x)-(ax+bx^2)}{x^2}=2$ - -$=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{(1-a)x-\left(\dfrac{1}{2}+b\right)x^2+o(x^2)}{x^2}=2\neq 0$ - -$1-a=0;-\left(\dfrac{1}{2}+b\right)=2$\medskip - -$\therefore a=1;b=-\dfrac{5}{2}$。 - -\subsection{极限存在性} - -一般会给出带有参数的例子，并给定一个点指明在该点极限存在，求参数。 - -若该点极限存在，则该点两侧的极限都相等。\medskip - -\textbf{例题：}设函数$f(x)=\left\{\begin{array}{lcl} - \dfrac{\sin x(b\cos x-1)}{e^x+a}, & & x>0 \\ - \dfrac{\sin x}{\ln(1+3x)}, & & x<0 -\end{array} -\right.$在$x=0$处极限存在，则$a$，$b$分别为。 - -解：首先根据极限在$x=0$存在，且极限的唯一性。分段函数在0两侧的极限值必然相等。 - -$\because\lim\limits_{x\to 0^-}\dfrac{\sin x}{\ln(1+3x)}=\lim\limits_{x\to 0^-}\dfrac{\sin x}{3x}=\dfrac{1}{3}=\lim\limits_{x\to 0^+}\dfrac{\sin x(b\cos x-1)}{e^x+a}$。 - -\medskip - -又$\lim\limits_{x\to 0^+}\dfrac{\sin x(b\cos x-1)}{e^x+a}$的分母的$e^x$当$x\to 0^+$时$e^x\to 1$，假如$a\neq-1$，则$e^x+a\neq 0$，则为一个常数。 - -从而提取常数因子：$\lim\limits_{x\to 0^+}\dfrac{\sin x(b\cos x-1)}{e^x+a}=\dfrac{1}{1+a}\lim\limits_{x\to 0^+}\sin x(b\cos x-1)$，这时候$\sin x$是趋向0的，而$b\cos x-1$无论其中的$b$为何值都是趋向一个常数或0，这时候他们的乘积必然为无穷小，从而无法等于$\dfrac{1}{3}$这个常数。 - -$\therefore a=-1$，从而让极限式子变为一个商的形式：\medskip - -$\lim\limits_{x\to 0^+}\dfrac{\sin x(b\cos x-1)}{e^x+a}$\medskip - -$=\lim\limits_{x\to 0^+}\dfrac{\sin x(b\cos x-1)}{e^x-1}$\medskip - -$=\lim\limits_{x\to 0^+}\dfrac{\sin x(b\cos x-1)}{x}$\medskip - -$=\lim\limits_{x\to 0^+}b\cos x-1$\medskip - -$=b-1=\dfrac{1}{3}$\medskip - -$\therefore a=-1,b=\dfrac{4}{3}$。 - -\subsection{极限唯一性} - -若极限存在则必然唯一。 - -\textbf{例题：}设$a$为常数，$\lim\limits_{x\to 0}\left(\dfrac{e^{\frac{1}{x}}-\pi}{e^{\frac{2}{x}}+1}+a\cdot\arctan\dfrac{1}{x}\right)$存在，求出极限值。 - -因为求$x\to 0$，所以需要分两种情况讨论： - -\medskip - -$\lim\limits_{x\to 0^+}\left(\dfrac{e^{\frac{1}{x}}-\pi}{e^{\frac{2}{x}}+1}+a\cdot\arctan\dfrac{1}{x}\right)$ - -$= \lim\limits_{x\to 0^+}\left(\dfrac{e^{\frac{1}{x}}-\pi}{e^{\frac{2}{x}}+1}\right)+\lim\limits_{x\to 0^+}\left(a\cdot\arctan\dfrac{1}{x}\right)$ - -$= \lim\limits_{x\to 0^+}\left(\dfrac{0\cdot\left(e^{\frac{2}{x}}\right)^2+e^{\frac{1}{x}}-\pi}{1\cdot\left(e^{\frac{2}{x}}\right)^2+1}\right)+a\cdot\dfrac{\pi}{2}$ - -$= a\cdot\dfrac{\pi}{2}$ - -\medskip - -$\lim\limits_{x\to 0^-}\left(\dfrac{e^{\frac{1}{x}}-\pi}{e^{\frac{2}{x}}+1}+a\cdot\arctan\dfrac{1}{x}\right)$ - -$= -\pi+a\cdot\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)$ - -$= -\pi-\dfrac{\pi}{2}\cdot a$ - -因为极限值具有唯一性，所以$-\pi-\dfrac{\pi}{2}a=\dfrac{\pi}{2}a$，所以$a=-1$，极限值为$-\dfrac{\pi}{2}$。 - -\subsection{函数连续性} - -函数的连续性代表：极限值=函数值。 - -\textbf{例题：}函数在$f(x)$在$x=1$处连续，且$f(1)=1$，求$\lim\limits_{x\to+\infty}\ln\left[2+f\left(x^{\frac{1}{x}}\right)\right]$。 - -根据题目，所求的$\lim\limits_{x\to+\infty}\ln\left[2+f\left(x^{\frac{1}{x}}\right)\right]$中，唯一未知的且会随着$x\to+\infty$而变换就是$f\left(x^{\frac{1}{x}}\right)$。如果我们可以求出这个值就可以了。 - -而我们对于$f(x)$的具体的关系是未知的，只知道$f(1)=1$。那么先需要考察$\lim\limits_{x\to+\infty}x^{\frac{1}{x}}$的整数最大值。 - -$\lim\limits_{x\to+\infty}x^{\frac{1}{x}}$ - -$=e^{\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x}}$ - -$=e^{\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{1}{x}}$ - -$=e^0$ - -$=1$ - -$\therefore\lim\limits_{x\to+\infty}f(x^{\frac{1}{x}})=f(1)=1$。 - -\subsection{迭代式数列} - -\subsubsection{数列表达式} - -最重要的是将迭代式进行变形。 - -\textbf{例题：}数列$\{a_n\}$满足$a_0=0,a_1=1,2a_{n+1}=a_n+a_{n-1},n=1,2,\cdots$。计算$\lim\limits_{n\to\infty}a_n$。 - -首先看题目，给出的递推式设计到二阶递推，即存在三个数列变量，所以我们必须先求出对应的数列表达式。因为这个表达式涉及三个变量，所以尝试对其进行变型： - -$a_{n+1}-a_n$ - -$=\dfrac{a_{n-1}-a_n}{2}$ - -$=\left(-\dfrac{1}{2}\right)(a_n-a_{n-1})$ - -$=\left(-\dfrac{1}{2}\right)^2(a_{n-1}-a_{n-2})$ - -$=\cdots$ - -$=\left(-\dfrac{1}{2}\right)^n(a_1-a_0)$ - -$= \left(-\dfrac{1}{2}\right)^n$ - -然后得到了$a_{n+1}-a_n=\left(-\dfrac{1}{2}\right)^n$，而需要求极限，所以使用列项相消法的逆运算： - -$a_n= (a_n-a_{n-1})+(a_{n-1}-a_{n-2})+\cdots+(a_1-a_0)+a_0$\medskip - -$= \left(-\dfrac{1}{2}\right)^{n-1} + \left(-\dfrac{1}{2}\right)^{n-2} + \cdots + \left(-\dfrac{1}{2}\right)^0$\medskip - -$= \dfrac{1\cdot\left(1-\left(-\dfrac{1}{2}\right)^n\right)}{1-\left(-\dfrac{1}{2}\right)}$\medskip - -$= \dfrac{2}{3}\left[1-\left(-\dfrac{1}{2}\right)^n\right]$\medskip - -$\therefore\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\dfrac{2}{3}$ - -\subsubsection{单调有界准则} - -对于无法将关系式通过变形归纳为一般式的关系式，对于其极限就必须使用单调有界准则来求出。 - -单调有界的数列必有极限。需要证明单调性和有界性，然后对式子求极限就能求出目标极限。 - -\textbf{例题：}$x_0=0$，$x_n=\dfrac{1+2x_{n-1}}{1+x_{n-1}}(n\in N*)$，求$\lim\limits_{n\to\infty}x_n$。\medskip - -首先应该知道数列的趋向都是趋向正无穷。 - -然后对关系式进行变形：$x_n=\dfrac{1+2x_{n-1}}{1+x_{n-1}}=1+\dfrac{x_{n-1}}{1+x_{n-1}}=2-\dfrac{1}{1+x_{n-1}}$。 - -首先证明单调性，令$f(x)=2-\dfrac{1}{1+x}$。 - -$\therefore f'(x)=\dfrac{1}{(x+1)^2}>0$，则$f(x)$单调递增。 - -所以不管$x=x_{n-1}$或其他，$f'(x)>0$，$x_n$都是单调递增，则$x_n\geqslant x_0=0$。 - -然后证明有界性，$\because x_n\geqslant 0$且单调，$\therefore x_n=2-\dfrac{1}{1+x_{n-1}}\in[0,2]$。 - -从而$x_n$有界。 - -所以根据单调有界定理，$x_n$的极限存在。 - -对于关系式两边取极限： - -$\lim\limits_{n\to\infty}x_n=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{1+2x_{n-1}}{1+x_{n-1}}=\dfrac{1+2\lim\limits_{n\to\infty}x_{n-1}}{1+\lim\limits_{n\to\infty}x_{n-1}}=\dfrac{1+2\lim\limits_{n\to\infty}x_n}{1+\lim\limits_{n\to\infty}x_n}$。 - -解该一元二次方程：$\lim\limits_{n\to\infty}x_n=\dfrac{1\pm\sqrt{5}}{2}$，又根据保号性，$\lim\limits_{n\to\infty}x_n>0$。 - -$\therefore\lim\limits_{n\to\infty}x_n=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$。 - -\subsection{变限积分极限} - -已知更改区间限制的积分$s(x)=\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)}g(t)\,\textrm{d}x$，$s'(x)=g[\varphi_2(x)]\cdot\varphi_2'(x)-g[\varphi_1(x)]\cdot\varphi_1'(x)$。 - - -\end{document} +\documentclass[UTF8, 12pt]{ctexart} +% UTF8编码，ctexart现实中文 +\usepackage{color} +% 使用颜色 +\definecolor{orange}{RGB}{255,127,0} +\usepackage{geometry} +\setcounter{tocdepth}{4} +\setcounter{secnumdepth}{4} +% 设置四级目录与标题 +\geometry{papersize={21cm,29.7cm}} +% 默认大小为A4 +\geometry{left=3.18cm,right=3.18cm,top=2.54cm,bottom=2.54cm} +% 默认页边距为1英尺与1.25英尺 +\usepackage{indentfirst} +\setlength{\parindent}{2.45em} +% 首行缩进2个中文字符 +\usepackage{setspace} +\renewcommand{\baselinestretch}{1.5} +% 1.5倍行距 +\usepackage{amssymb} +% 因为所以 +\usepackage{amsmath} +% 数学公式 +\usepackage{pifont} +% 圆圈序号 +\usepackage{mathtools} +% 有字的长箭头 +\usepackage[colorlinks,linkcolor=black,urlcolor=blue]{hyperref} +% 超链接 +\author{Didnelpsun} +\title{极限} +\date{} +\begin{document} +\maketitle +\thispagestyle{empty} +\tableofcontents +\thispagestyle{empty} +\newpage +\pagestyle{plain} +\setcounter{page}{1} + +\section{极限类型} + +七种：$\dfrac{0}{0},\dfrac{\infty}{\infty},0\cdot\infty,\infty-\infty,\infty^0,0^0,1^\infty$。 + +\medskip + +\ding{172}其中$\dfrac{0}{0}$为洛必达法则的基本型。$\dfrac{\infty}{\infty}$可以类比$\dfrac{0}{0}$的处理方式。$0\cdot\infty$可以转为$\dfrac{0}{\dfrac{1}{\infty}}=\dfrac{0}{0}=\dfrac{\infty}{\dfrac{1}{0}}=\dfrac{\infty}{\infty}$。设置分母有原则，简单因式才下放（简单：幂函数，e为底的指数函数）。 + +\medskip + +\ding{173}$\infty-\infty$可以提取公因式或通分，即和差化积。 + +\medskip + +\ding{174}$\infty^0,0^0,1^\infty$，就是幂指函数。 + +\medskip + +$ +u^v=e^{v\ln u}=\left\{ +\begin{array}{lcl} + \infty^0 & \rightarrow & e^{0\cdot+\infty} \\ + 0^0 & \rightarrow & e^{0\cdot-\infty} \\ + 1^\infty & \rightarrow & e^{\infty\cdot 0} \\ +\end{array} \right. +$ + +\medskip + +$\therefore \lim u^v=e^{\lim v\cdot\ln u}=e^{\lim v(u-1)}$ + +综上，无论什么样的四则形式，都必须最后转换为商的形式。 + +\section{常用化简运算} + +\subsection{对数法则} + +\textbf{例题：}求$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{(e^{x^2}-1)(\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x})}{[\ln(1-x)+\ln(1+x)]\sin\dfrac{x}{x+1}}$。 + +注意在积或商的时候不能把对应的部分替换为0，如分母部分的$[\ln(1-x)+\ln(1+x)]$就无法使用$\ln(1+x)\sim x$替换为$-x+x$，这样底就是0了，无法求得最后的极限。 + +这时可以尝试变形，如对数函数相加等于对数函数内部式子相乘：$\ln(1-x)+\ln(1+x)=\ln(1-x^2)\sim-x^2$。 + +\subsection{指数法则} + +求$\lim\limits_{n\to\infty}n\left[\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{\frac{n}{2}}-\sqrt{e}\right]$。 + +首先对于幂指函数需要取指数，所以$\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{\frac{n}{2}}=e^{\frac{n}{2}\ln(1+\frac{1}{n})}$。\medskip + +而后面的多一个$\sqrt{e}$导致整个式子变为一个复杂的式子，而与$e^x$相关的是$e^x-1\sim x$。 + +所以$e^{\frac{n}{2}\ln(1+\frac{1}{n})}-\sqrt{e}=e^{\frac{1}{2}}\cdot\left(e^{\frac{n}{2}\ln(1+\frac{1}{n})-\frac{1}{2}}-1\right)=e^{\frac{1}{2}}\cdot\left[\dfrac{n}{2}\ln(1+\dfrac{1}{n})-\dfrac{1}{2}\right]$。 + +综上： + +$\lim\limits_{n\to\infty}n\left[\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{\frac{n}{2}}-\sqrt{e}\right]$ \medskip + +$=\lim\limits_{n\to\infty}n\left(e^{\frac{n}{2}\ln(1+\frac{1}{n})}-\sqrt{e}\right)$ \medskip + +$=\lim\limits_{n\to\infty}n\left[e^{\frac{1}{2}}\cdot\left(e^{\frac{n}{2}\ln(1+\frac{1}{n})-\frac{1}{2}}-1\right)\right]$ \medskip + +$=\dfrac{e^{\frac{1}{2}}}{2}\lim\limits_{n\to\infty}n^2\left[\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)-\dfrac{1}{n}\right]$ + +$=\dfrac{e^{\frac{1}{2}}}{2}\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{2n^2}-\dfrac{1}{n}}{\dfrac{1}{n^2}}$ + +$=\dfrac{e^{\frac{1}{2}}}{2}\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right)$ + +$=-\dfrac{\sqrt{e}}{4}$ + +\subsection{三角函数关系式} + +\textbf{例题：}求极限$\lim\limits_{x\to 0}\left(\dfrac{1}{\sin^2x}-\dfrac{\cos^2x}{x^2}\right)$。\medskip + +$\lim\limits_{x\to 0}\left(\dfrac{1}{\sin^2x}-\dfrac{\cos^2x}{x^2}\right)$ \medskip + +$= \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x^2-\sin^2x\cos^2x}{\sin^2x\cdot x^2} (\sin x\sim x)$ \medskip + +$= \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x^2-\sin^2x\cos^2x}{x^4} (\sin x\cos x\sim\dfrac{1}{2}\sin 2x)$ \medskip + +$= \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x^2-\dfrac{1}{4}\sin^22x}{x^4}$ \medskip + +$= \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{2x-\dfrac{1}{4}\cdot 2\sin 2x\cdot\cos 2x\cdot 2}{4x^3} (\sin x\cos x\sim\dfrac{1}{2}\sin 2x)$ \medskip + +$= \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{2x-\dfrac{1}{2}\sin 4x}{4x^3}$ \medskip + +$= \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{2-\dfrac{1}{2}\cos 4x\cdot 4}{12x^2}$ \medskip + +$= \dfrac{1}{6}\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{1-\cos 4x}{x^2} (1-\cos x\sim \dfrac{1}{2}x^2)$ \medskip + +$= \dfrac{4}{3}$ + +\subsection{提取常数因子} + +提取常数因子就是提取出能转换为常数的整个极限式子的因子。这个因子必然在自变量的趋向时会变为非0的常数，那么这个式子就可以作为常数提出。 + +\subsection{提取公因子} + +当作为商的极限式子上下都具有公因子时可以提取公因子然后相除，从而让未知数集中在分子或分母上。 + +\textcolor{orange}{注意：}提取公因子的时候应该注意开平方等情况下符号的问题。如果极限涉及倒正负两边则必须都讨论。 + +当趋向为负且式子中含有根号的时候最好提取负因子，从而让趋向变为正。\medskip + +\textbf{例题：}求$\lim\limits_{x\to-\infty}\left[\sqrt{4x^2+x}\ln\left(2+\dfrac{1}{x}\right)+2\ln 2x\right]$。\medskip + +题目的形式为$\infty-\infty$，所以必须使用后面的倒代换转换为商的形式。\medskip + +$=\lim\limits_{x\to-\infty}-x\left[\sqrt{4+\dfrac{1}{x}}\ln\left(2+\dfrac{1}{x}\right)-2\ln 2\right]$。 \medskip + +这里就需要注意到因为$\sqrt{4x^2+x}$的限制导致这个式子必然为正数，而$x\to-\infty$代表自变量为负数，所以提出来的$x$必然是负数，而原式是正数，所以就需要添加一个负号，而后面的$2\ln 2x$则没有要求，所以直接变成$-2\ln 2$就可以了。 + +将$x$下翻变成分母为$\dfrac{1}{x}$，并令$t=\dfrac{1}{x}$。\medskip + +$=\lim\limits_{t\to 0^-}\dfrac{\sqrt{t+4}\ln\left(2+\dfrac{1}{x}\right)-2\ln 2}{-t}$。\medskip + +幂次不高可以尝试洛必达：\medskip + +$=\lim\limits_{t\to 0^-}\left(\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\ln(2+t)}{\sqrt{t+4}}+\dfrac{\sqrt{t+4}}{2+t}\right)$\medskip + +$=-\left(\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\ln 2}{2}+\dfrac{2}{2}\right)=-\dfrac{\ln 2}{4}-1$。 + +\subsection{幂指函数} + +当出现$f(x)^{g(x)}$的类似幂函数与指数函数类型的式子，需要使用$u^v=e^{v\ln u}$。 + +\textbf{例题：}求极限$\lim\limits_{x\to+\infty}(x+\sqrt{1+x^2})^{\frac{1}{x}}$。\medskip + +$\lim\limits_{x\to+\infty}(x+\sqrt{1+x^2})^{\frac{1}{x}}$ \medskip + +$=e^{\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{\ln(x+\sqrt{1+x^2})}{x}} \left(\ln(x+\sqrt{1+x^2})'=\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}\right)$\medskip + +$=e^{\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}}$ + +$=e^0$ + +$=1$ + +\subsection{有理化} + +当遇到带有根号的式子可以使用等价无穷小，但是只针对形似$(1+x)a-1\sim ax$的式子，而针对$x^a\pm x^b$的式子则无法替换，必须使用有理化来将单个式子变为商的形式。 + +如$\sqrt{a}\pm\sqrt{b}=\dfrac{a+b}{\sqrt{a}\mp\sqrt{b}}$。\medskip + +\textbf{例题：}求极限$\lim\limits_{x\to-\infty}x(\sqrt{x^2+100}+x)$。 + +首先定性分析：$\lim\limits_{x\to-\infty}x\cdot(\sqrt{x^2+100}+x)$。 + +在$x\to-\infty$趋向时，$x$就趋向无穷大，而$\sqrt{x^2+100}$为一次，所以$\sqrt{x^2+100}+x$趋向0。 + +又$\sqrt{x^2+100}$在$x\to-\infty$时本质为根号差，所以有理化： + +$\lim\limits_{x\to-\infty}x(\sqrt{x^2+100}+x)$ + +$=\lim\limits_{x\to-\infty}x\dfrac{x^2+100-x^2}{\sqrt{x^2+100}-x}$\medskip + +$=\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{100x}{\sqrt{x^2+100}-x}$\medskip + +$\xRightarrow{\text{令}x=-t}\lim\limits_{t\to+\infty}\dfrac{-100t}{\sqrt{t^2+100}+t}$\medskip + +$=\lim\limits_{t\to+\infty}\dfrac{-100}{\sqrt{1+\dfrac{100}{t^2}}+1}$ + +$=-50$ + +\subsection{换元法} + +换元法本身没什么技巧性，主要是更方便计算。最重要的是获取到共有的最大因子进行替换。 + +\textbf{例题：}求极限$\lim\limits_{x\to 1^-}\ln x\ln(1-x)$。 + +当$x\to 1^-$时，$\ln x$趋向0，$\ln(1-x)$趋向$-\infty$。 + +又$x\to 0$，$\ln(1+x)\sim x$，所以$x\to 1$，$\ln x\sim x-1$： + +$\lim\limits_{x\to 1^-}\ln x\ln(1-x)$ + +$= \lim\limits_{x\to 1^-}(x-1)\ln(1-x)$ + +$\xRightarrow{令t=1-x} =-\lim\limits_{t\to 0^+}t\ln t$ + +$= -\lim\limits_{t\to 0^+}\dfrac{\ln t}{\dfrac{1}{t}}$ + +$= -\lim\limits_{t\to 0^+}\dfrac{\dfrac{1}{t}}{-\dfrac{1}{t^2}}$ + +$= \lim\limits_{t\to 0^+}t$ + +$= 0$ + +\subsection{倒代换} + +\subsubsection{含有分式} + +当极限式子中含有分式中一般都需要用其倒数，把分式换成整式方便计算。 + +\textbf{例题：}求极限$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{e^{-\frac{1}{x^2}}}{x^{100}}$ + +$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{e^{-\frac{1}{x^2}}}{x^{100}}$\medskip + +$= \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{e^{-\frac{1}{x^2}}\cdot 2x^{-3}}{100x^{99}}$\medskip + +$= \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{1}{50}\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{e^{-\frac{1}{x^2}}}{x^{102}}$ + +\medskip + +使用洛必达法则下更复杂，因为分子的幂次为负数，导致求导后幂次绝对值越来越大，不容易计算。 + +使用倒代换再洛必达降低幂次，令$t=\dfrac{1}{x^2}$ + +$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{e^{-\frac{1}{x^2}}}{x^{100}}$\medskip + +$= \lim\limits_{t\to+\infty}\dfrac{e^{-t}}{t^{-50}}$\medskip + +$= \lim\limits_{t\to+\infty}\dfrac{t^{50}}{e^t}$\medskip + +$= \lim\limits_{t\to+\infty}\dfrac{50t^{49}}{e^t}$ + +$= \cdots$ + +$= \lim\limits_{t\to+\infty}\dfrac{50!}{e^t}$ + +$= 0$ + +\textbf{例题：}求极限$\lim\limits_{x\to+\infty}[x^2(e^{\frac{1}{x}}-1)-x]$。 + +该式子含有分数，所以尝试使用倒数代换：\medskip + +$\lim\limits_{x\to+\infty}[x^2(e^{\frac{1}{x}}-1)-x]$ \medskip + +$\xRightarrow{\text{令}x=\frac{1}{t}}\lim\limits_{t\to 0^+}\left(\dfrac{e^t-1}{t^2}-\dfrac{1}{t}\right)$\medskip + +$\lim\limits_{t\to 0^+}\dfrac{e^t-1-t}{t^2}$ + +$\xRightarrow{\text{泰勒展开}e^t}\lim\limits_{t\to 0^+}\dfrac{\dfrac{1}{2}t^2}{t^2}$ + +$=\dfrac{1}{2}$ + +\subsubsection{\texorpdfstring{$\infty-\infty$}\ 型} + +\subsection{拆项} + +当极限式子中出现不知道项数的$n$时，一般需要使用拆项，把项重新组合。一般的组合是根据等价无穷小。 + +而对于复杂的具有同一结构的式子也可以考虑拆项。 + +\textbf{例题：}求极限$\lim\limits_{x\to 0}\left(\dfrac{e^x+e^{2x}+\cdots+e^{nx}}{n}\right)^{\frac{e}{x}}$。（$n\in N^+$） + +这里可以使用等价无穷小$e^x-1\sim x$。 + +$\lim\limits_{x\to 0}\left(\dfrac{e^x+e^{2x}+\cdots+e^{nx}}{n}\right)^{\frac{e}{x}}$ + +$=e^{\lim\limits_{x\to 0}\frac{e}{x}\ln\left(\frac{e^x+e^{2x}+\cdots+e^{nx}}{n}\right)}$ + +$=e^{\lim\limits_{x\to 0}\frac{e}{x}\left(\frac{e^x+e^{2x}+\cdots+e^{nx}}{n}-1\right)}$ + +$=e^{\lim\limits_{x\to 0}\frac{e}{x}\left(\frac{e^x+e^{2x}+\cdots+e^{nx}-n}{n}\right)}$ + +$=e^{\frac{e}{n}\lim\limits_{x\to 0}\left(\frac{e^x-1}{x}+\frac{e^{2x}-1}{x}+\cdots+\frac{e^{nx}-1}{x}\right)}$ + +$=e^{\frac{e}{n}[1+2+\cdots+n]}$ + +$=e^{\frac{e}{n}\cdot\frac{n(1+n)}{2}}$ + +$=e^{\frac{e(1+n)}{2}}$ + +\textbf{例题：}求$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{1-\cos x\sqrt{\cos 2x}\sqrt[3]{\cos 3x}}{\ln\cos x}$\medskip + +可以使用$\cos x-1\sim\dfrac{x^2}{2}$。\medskip + +$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{1-\cos x\sqrt{\cos 2x}\sqrt[3]{\cos 3x}}{\ln\cos x}$ + +$=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{1-\cos x+\cos x-\cos x\sqrt{\cos 2x}\sqrt[3]{\cos 3x}}{-\dfrac{x^2}{2}}$ + +$=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\dfrac{x^2}{2}}{-\dfrac{x^2}{2}}+\dfrac{\cos x(1-\sqrt{\cos 2x}\sqrt[3]{\cos 3x})}{-\dfrac{x^2}{2}}$ + +$=-1+\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{(1-\sqrt{\cos 2x})+\sqrt{\cos 2x}-\sqrt{\cos 2x}\sqrt[3]{\cos 3x}}{-\dfrac{x^2}{2}}$ + +$=-1+\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{-\dfrac{1}{2}(\cos 2x-1)+\sqrt{\cos 2x}(1-\sqrt[3]{\cos 3x})}{-\dfrac{x^2}{2}}$ + +$=-1+\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{-\dfrac{1}{2}(-\dfrac{4x^2}{2})+\left(-\dfrac{1}{3}\right)\left(-\dfrac{9x^2}{2}\right)}{-\dfrac{x^2}{2}}$ + +$=-6$ + +\section{基本计算方式} + +课本上极限计算可以使用的主要计算方式： + +\subsection{基础四则运算} + +只有式子的极限各自存在才能使用四则运算，使用的频率较少。 + +\subsection{两个重要极限} + +\subsection{导数定义} + +极限转换以及连续性的时候会用到，但是使用的频率也较小。 + +\subsection{等价无穷小替换} + +当看到复杂的式子，且不论要求的极限值的趋向，而只要替换的式子是$\Delta\to 0$时的无穷小，就使用等价无穷小进行替换。 + +\textcolor{orange}{注意：}替换的必然是整个求极限的乘或除的因子，一般加减法与部分的因子不能进行等价无穷小替换。 + +对于无法直接得出变换式子的，可以对对应参数进行凑，以达到目标的可替换的等价无穷小。 + +\subsection{夹逼准则} + +夹逼准则可以用来证明不等式也可以用来计算极限。但是最重要的是找到能夹住目标式子的两个式子。\medskip + +\textbf{例题：}求极限$\lim\limits_{x\to 0}x\left[\dfrac{10}{x}\right]$，其中$[\cdot]$为取整符号。 + +取整函数公式：$x-1<[x]\leqslant x$，所以$\dfrac{10}{x}-1<\left[\dfrac{10}{x}\right]\leqslant\dfrac{10}{x}$。 + +当$x>0$时，$x\to 0^+$，两边都乘以10，$10-x0$时，$x\to 0^-$，同样也是夹逼准则得到极限为10。\medskip + +$\therefore \lim\limits_{x\to 0}x\left[\dfrac{10}{x}\right]=10$。 + +\subsection{拉格朗日中值定理} + +对于形如$f(a)-f(b)$的极限式子就可以使用拉格朗日中值定理，这个$f(x)$为任意的函数。 + +\textbf{例题：}求极限$\lim\limits_{n\to\infty}n^2\left(\arctan\dfrac{2}{n}-\arctan\dfrac{2}{n+1}\right)$。\medskip + +因为式子不算非常复杂，其实也可以通过洛必达法则来完成，但是求导会很复杂。而$\arctan x$可以认定为$f(x)$。 + +从而$\arctan\dfrac{2}{n}-\arctan\dfrac{2}{n+1}$为$f(\dfrac{2}{n})-f(\dfrac{2}{n+1})=f'(\xi)\left(\dfrac{2}{n}-\dfrac{2}{n+1}\right)$。 + +其中$\dfrac{2}{n+1}<\xi<\dfrac{2}{n}$，而当$n\to\infty$时，$f'(\xi)=\dfrac{1}{1+\xi^2}\to 1$。 + +$\therefore\arctan\dfrac{2}{n}-\arctan\dfrac{2}{n+1}\sim\dfrac{2}{n}-\dfrac{2}{n+1}=\dfrac{2}{n(n+1)}$。 + +$\therefore\lim\limits_{n\to\infty}n^2\left(\arctan\dfrac{2}{n}-\arctan\dfrac{2}{n+1}\right)=\lim\limits_{n\to\infty}n^2\cdot\dfrac{2}{n(n+1)}=2$。 + +\subsection{洛必达法则} + +洛必达法则的本质是降低商形式的极限式子的幂次。 + +洛必达在处理一般的极限式子比较好用，但是一旦式子比较复杂最好不要使用洛必达法则，最好是对求导后有规律或幂次较低的式子进行上下求导。 + +对于幂次高的式子必然使用洛必达法则。 + +\subsection{泰勒公式} + +泰勒公式一般会使用趋向0的麦克劳林公式，且一般只作为极限计算的一个小部分，用来替代一个部分。 + +且一般只有麦克劳林公式表上的基本初等函数才会使用倒泰勒公式，复合函数最好不要使用。 + +\textbf{例题：}求极限$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\arcsin x-\arctan x}{\sin x-\tan x}$。\medskip + +分析：该题目使用洛必达法则会比较麻烦且难以计算，所以先考虑是否能用泰勒展开： + +$x\to 0$，$\sin x=x-\dfrac{1}{6}x^3+o(x^3)$，$\tan x=x+\dfrac{1}{3}x^3+o(x^3)$，$\arcsin x=x+\dfrac{1}{6}x^3+o(x^3)$，$\arctan x=x-\dfrac{1}{3}x^3+o(x^3)$。 + +$\therefore \sin x-\tan x=-\dfrac{1}{2}x^3+o(x^3)$，$\arcsin x-\arctan x=\dfrac{1}{2}x^3+o(x^3)$ + +$\therefore \text{原式}=\dfrac{\dfrac{1}{x}x^3+o(x^3)}{-\dfrac{1}{2}x^3+o(x^3)}=-1$。 + +\section{极限计算形式} + +极限相关计算形式主要分为下面六种： + +\begin{enumerate} + \item 未定式：直接根据式子计算极限值。 + \item 极限转换：根据已知的极限值计算目标极限值。 + \item 求参数：已知式子的极限值，计算式子中未知的参数。 + \item 极限存在性：根据式子以及极限存在性计算极限或参数。 + \item 极限唯一性：式子包含参数，根据唯一性计算两侧极限并求出参数与极限值。 + \item 函数连续性：根据连续性与附加条件计算极限值或参数。 + \item 迭代式数列：根据数列迭代式计算极限值。 + \item 变限积分：根据变限积分计算极限值。 +\end{enumerate} + +\subsection{极限转换} + +\subsubsection{整体换元} + +最常用的方式就是将目标值作为一个部分，然后对已知的式子进行替换。 + +\textbf{例题：}已知$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\ln(1-x)+xf(x)}{x^2}=0$，求$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{f(x)-1}{x}$。\medskip + +令目标$\dfrac{f(x)-1}{x}=t$，$\therefore f(x)=tx+1$。\medskip + +$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\ln(1-x)+xf(x)}{x^2}$\medskip + +$=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\ln(1-x)+tx^2+x}{x^2} (\text{泰勒展开})$\medskip + +$=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{-x-\dfrac{x^2}{2}+tx^2+x}{x^2}$\medskip + +$=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\left(t-\dfrac{1}{2}\right)x^2}{x^2}$\medskip + +$=\lim\limits_{x\to 0}\left(t-\dfrac{1}{2}\right)$ + +$=0$ + +$\therefore\lim\limits_{x\to 0}t=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{f(x)-1}{x}=\dfrac{1}{2}$。 + +\subsubsection{关系转换} + +\textbf{例题：}如果$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x-\sin x+f(x)}{x^4}$存在，则$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x^3}{f(x)}$为常数多少？ + +由$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x\sin x+f(x)}{x^4}=A$，而目标是$x^3$，所以需要变形： + +$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x\sin x+f(x)}{x^4}=A$ + +$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x\sin x+f(x)\cdot x}{x^4}=A\cdot\lim\limits_{x\to 0}x=0$ + +$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x-\sin x}{x^3}+\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{f(x)}{x^3}=0$ + +$\text{泰勒展开：}x-\sin x=\dfrac{1}{6}x^3$ + +$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{f(x)}{x^3}=-\dfrac{1}{6}$ + +$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x^3}{f(x)}=-6$ + +\subsubsection{脱帽法} + +$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)\Leftrightarrow f(x)=A+\alpha(x),\lim\limits_{x\to x_0}\alpha(x)=0$。 + +\textbf{例题：}如果$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x-\sin x+f(x)}{x^4}$存在，则$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x^3}{f(x)}$为常数多少？ + +由$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x\sin x+f(x)}{x^4}=A$脱帽：$\dfrac{x\sin x+f(x)}{x^4}=A+\alpha$。 + +得到：$f(x)=Ax^4+\alpha\cdot x^4-(x-\sin x)$。 + +反代入：$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{f(x)}{x^3}=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{Ax^4+\alpha\cdot x^4-x+\sin x}{x^3}=0+0-\dfrac{1}{6}=-\dfrac{1}{6}$。 + +$\therefore \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x^3}{f(x)}=-6$。 + +\subsection{求参数} + +因为求参数类型的题目中式子是未知的，所以求导后也是未知的，所以一般不要使用洛必达法则，而使用泰勒展开。 + +一般极限式子右侧等于一个常数，或是表明高阶或低阶。具体的关系参考无穷小比阶。 + +在求参数的时候要注意与0的关系。\medskip + +\textbf{例题：}设$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\ln(1+x)-(ax+bx^2)}{x^2}=2$，求常数a，b。 + +根据泰勒展开式：$x\to 0,\ln(1+x)=x-\dfrac{x^2}{x}+o(x^2)$，$x-\ln(1+x)\sim\dfrac{1}{2}x^2\sim 1-\cos x$。 + +$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\ln(1+x)-(ax+bx^2)}{x^2}=2$ + +$=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{(1-a)x-\left(\dfrac{1}{2}+b\right)x^2+o(x^2)}{x^2}=2\neq 0$ + +$1-a=0;-\left(\dfrac{1}{2}+b\right)=2$\medskip + +$\therefore a=1;b=-\dfrac{5}{2}$。 + +\subsection{极限存在性} + +一般会给出带有参数的例子，并给定一个点指明在该点极限存在，求参数。 + +若该点极限存在，则该点两侧的极限都相等。\medskip + +\textbf{例题：}设函数$f(x)=\left\{\begin{array}{lcl} + \dfrac{\sin x(b\cos x-1)}{e^x+a}, & & x>0 \\ + \dfrac{\sin x}{\ln(1+3x)}, & & x<0 +\end{array} +\right.$在$x=0$处极限存在，则$a$，$b$分别为。 + +解：首先根据极限在$x=0$存在，且极限的唯一性。分段函数在0两侧的极限值必然相等。 + +$\because\lim\limits_{x\to 0^-}\dfrac{\sin x}{\ln(1+3x)}=\lim\limits_{x\to 0^-}\dfrac{\sin x}{3x}=\dfrac{1}{3}=\lim\limits_{x\to 0^+}\dfrac{\sin x(b\cos x-1)}{e^x+a}$。 + +\medskip + +又$\lim\limits_{x\to 0^+}\dfrac{\sin x(b\cos x-1)}{e^x+a}$的分母的$e^x$当$x\to 0^+$时$e^x\to 1$，假如$a\neq-1$，则$e^x+a\neq 0$，则为一个常数。 + +从而提取常数因子：$\lim\limits_{x\to 0^+}\dfrac{\sin x(b\cos x-1)}{e^x+a}=\dfrac{1}{1+a}\lim\limits_{x\to 0^+}\sin x(b\cos x-1)$，这时候$\sin x$是趋向0的，而$b\cos x-1$无论其中的$b$为何值都是趋向一个常数或0，这时候他们的乘积必然为无穷小，从而无法等于$\dfrac{1}{3}$这个常数。 + +$\therefore a=-1$，从而让极限式子变为一个商的形式：\medskip + +$\lim\limits_{x\to 0^+}\dfrac{\sin x(b\cos x-1)}{e^x+a}$\medskip + +$=\lim\limits_{x\to 0^+}\dfrac{\sin x(b\cos x-1)}{e^x-1}$\medskip + +$=\lim\limits_{x\to 0^+}\dfrac{\sin x(b\cos x-1)}{x}$\medskip + +$=\lim\limits_{x\to 0^+}b\cos x-1$\medskip + +$=b-1=\dfrac{1}{3}$\medskip + +$\therefore a=-1,b=\dfrac{4}{3}$。 + +\subsection{极限唯一性} + +若极限存在则必然唯一。 + +\textbf{例题：}设$a$为常数，$\lim\limits_{x\to 0}\left(\dfrac{e^{\frac{1}{x}}-\pi}{e^{\frac{2}{x}}+1}+a\cdot\arctan\dfrac{1}{x}\right)$存在，求出极限值。 + +因为求$x\to 0$，所以需要分两种情况讨论： + +\medskip + +$\lim\limits_{x\to 0^+}\left(\dfrac{e^{\frac{1}{x}}-\pi}{e^{\frac{2}{x}}+1}+a\cdot\arctan\dfrac{1}{x}\right)$ + +$= \lim\limits_{x\to 0^+}\left(\dfrac{e^{\frac{1}{x}}-\pi}{e^{\frac{2}{x}}+1}\right)+\lim\limits_{x\to 0^+}\left(a\cdot\arctan\dfrac{1}{x}\right)$ + +$= \lim\limits_{x\to 0^+}\left(\dfrac{0\cdot\left(e^{\frac{2}{x}}\right)^2+e^{\frac{1}{x}}-\pi}{1\cdot\left(e^{\frac{2}{x}}\right)^2+1}\right)+a\cdot\dfrac{\pi}{2}$ + +$= a\cdot\dfrac{\pi}{2}$ + +\medskip + +$\lim\limits_{x\to 0^-}\left(\dfrac{e^{\frac{1}{x}}-\pi}{e^{\frac{2}{x}}+1}+a\cdot\arctan\dfrac{1}{x}\right)$ + +$= -\pi+a\cdot\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)$ + +$= -\pi-\dfrac{\pi}{2}\cdot a$ + +因为极限值具有唯一性，所以$-\pi-\dfrac{\pi}{2}a=\dfrac{\pi}{2}a$，所以$a=-1$，极限值为$-\dfrac{\pi}{2}$。 + +\subsection{函数连续性} + +函数的连续性代表：极限值=函数值。 + +\textbf{例题：}函数在$f(x)$在$x=1$处连续，且$f(1)=1$，求$\lim\limits_{x\to+\infty}\ln\left[2+f\left(x^{\frac{1}{x}}\right)\right]$。 + +根据题目，所求的$\lim\limits_{x\to+\infty}\ln\left[2+f\left(x^{\frac{1}{x}}\right)\right]$中，唯一未知的且会随着$x\to+\infty$而变换就是$f\left(x^{\frac{1}{x}}\right)$。如果我们可以求出这个值就可以了。 + +而我们对于$f(x)$的具体的关系是未知的，只知道$f(1)=1$。那么先需要考察$\lim\limits_{x\to+\infty}x^{\frac{1}{x}}$的整数最大值。 + +$\lim\limits_{x\to+\infty}x^{\frac{1}{x}}$ + +$=e^{\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x}}$ + +$=e^{\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{1}{x}}$ + +$=e^0$ + +$=1$ + +$\therefore\lim\limits_{x\to+\infty}f(x^{\frac{1}{x}})=f(1)=1$。 + +\subsection{迭代式数列} + +\subsubsection{数列表达式} + +最重要的是将迭代式进行变形。 + +\textbf{例题：}数列$\{a_n\}$满足$a_0=0,a_1=1,2a_{n+1}=a_n+a_{n-1},n=1,2,\cdots$。计算$\lim\limits_{n\to\infty}a_n$。 + +首先看题目，给出的递推式设计到二阶递推，即存在三个数列变量，所以我们必须先求出对应的数列表达式。因为这个表达式涉及三个变量，所以尝试对其进行变型： + +$a_{n+1}-a_n$ + +$=\dfrac{a_{n-1}-a_n}{2}$ + +$=\left(-\dfrac{1}{2}\right)(a_n-a_{n-1})$ + +$=\left(-\dfrac{1}{2}\right)^2(a_{n-1}-a_{n-2})$ + +$=\cdots$ + +$=\left(-\dfrac{1}{2}\right)^n(a_1-a_0)$ + +$= \left(-\dfrac{1}{2}\right)^n$ + +然后得到了$a_{n+1}-a_n=\left(-\dfrac{1}{2}\right)^n$，而需要求极限，所以使用列项相消法的逆运算： + +$a_n= (a_n-a_{n-1})+(a_{n-1}-a_{n-2})+\cdots+(a_1-a_0)+a_0$\medskip + +$= \left(-\dfrac{1}{2}\right)^{n-1} + \left(-\dfrac{1}{2}\right)^{n-2} + \cdots + \left(-\dfrac{1}{2}\right)^0$\medskip + +$= \dfrac{1\cdot\left(1-\left(-\dfrac{1}{2}\right)^n\right)}{1-\left(-\dfrac{1}{2}\right)}$\medskip + +$= \dfrac{2}{3}\left[1-\left(-\dfrac{1}{2}\right)^n\right]$\medskip + +$\therefore\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\dfrac{2}{3}$ + +\subsubsection{单调有界准则} + +对于无法将关系式通过变形归纳为一般式的关系式，对于其极限就必须使用单调有界准则来求出。 + +单调有界的数列必有极限。需要证明单调性和有界性，然后对式子求极限就能求出目标极限。 + +\textbf{例题：}$x_0=0$，$x_n=\dfrac{1+2x_{n-1}}{1+x_{n-1}}(n\in N*)$，求$\lim\limits_{n\to\infty}x_n$。\medskip + +首先应该知道数列的趋向都是趋向正无穷。 + +然后对关系式进行变形：$x_n=\dfrac{1+2x_{n-1}}{1+x_{n-1}}=1+\dfrac{x_{n-1}}{1+x_{n-1}}=2-\dfrac{1}{1+x_{n-1}}$。 + +首先证明单调性，令$f(x)=2-\dfrac{1}{1+x}$。 + +$\therefore f'(x)=\dfrac{1}{(x+1)^2}>0$，则$f(x)$单调递增。 + +所以不管$x=x_{n-1}$或其他，$f'(x)>0$，$x_n$都是单调递增，则$x_n\geqslant x_0=0$。 + +然后证明有界性，$\because x_n\geqslant 0$且单调，$\therefore x_n=2-\dfrac{1}{1+x_{n-1}}\in[0,2]$。 + +从而$x_n$有界。 + +所以根据单调有界定理，$x_n$的极限存在。 + +对于关系式两边取极限： + +$\lim\limits_{n\to\infty}x_n=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{1+2x_{n-1}}{1+x_{n-1}}=\dfrac{1+2\lim\limits_{n\to\infty}x_{n-1}}{1+\lim\limits_{n\to\infty}x_{n-1}}=\dfrac{1+2\lim\limits_{n\to\infty}x_n}{1+\lim\limits_{n\to\infty}x_n}$。 + +解该一元二次方程：$\lim\limits_{n\to\infty}x_n=\dfrac{1\pm\sqrt{5}}{2}$，又根据保号性，$\lim\limits_{n\to\infty}x_n>0$。 + +$\therefore\lim\limits_{n\to\infty}x_n=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$。 + +\subsection{变限积分极限} + +已知更改区间限制的积分$s(x)=\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)}g(t)\,\textrm{d}x$，$s'(x)=g[\varphi_2(x)]\cdot\varphi_2'(x)-g[\varphi_1(x)]\cdot\varphi_1'(x)$。 + + +\end{document} diff --git a/advanced-math/exercise/2-continuity-and-discontinuity/continuity-and-discontinuity.tex b/advanced-math/exercise/2-continuity-and-discontinuity/continuity-and-discontinuity.tex index d5259e5..6e89f80 100644 --- a/advanced-math/exercise/2-continuity-and-discontinuity/continuity-and-discontinuity.tex +++ b/advanced-math/exercise/2-continuity-and-discontinuity/continuity-and-discontinuity.tex @@ -1,144 +1,144 @@ -\documentclass[UTF8, 12pt]{ctexart} -% UTF8编码，ctexart现实中文 -\usepackage{color} -% 使用颜色 -\usepackage{geometry} -\setcounter{tocdepth}{4} -\setcounter{secnumdepth}{4} -% 设置四级目录与标题 -\geometry{papersize={21cm,29.7cm}} -% 默认大小为A4 -\geometry{left=3.18cm,right=3.18cm,top=2.54cm,bottom=2.54cm} -% 默认页边距为1英尺与1.25英尺 -\usepackage{indentfirst} -\setlength{\parindent}{2.45em} -% 首行缩进2个中文字符 -\usepackage{setspace} -\renewcommand{\baselinestretch}{1.5} -% 1.5倍行距 -\usepackage{amssymb} -% 因为所以 -\usepackage{amsmath} -% 数学公式 -\usepackage[colorlinks,linkcolor=black,urlcolor=blue]{hyperref} -% 超链接 -\author{Didnelpsun} -\title{连续与间断} -\date{} -\begin{document} -\maketitle -\pagestyle{empty} -\thispagestyle{empty} -\tableofcontents -\thispagestyle{empty} -\newpage -\pagestyle{plain} -\setcounter{page}{1} -\section{连续} - -连续则极限值等于函数值。 - -\subsection{求连续区间} - -若要考察一个函数的连续区间，必须要了解函数的所有部分，一般会给出分段函数，所以要了解分段函数的每段函数的性质。 - -对于函数$f(x)$是个极限表达形式，我们要简化这个极限，最好得到一个$x$的表达式，从而才能判断其连续区间。\medskip - -\textbf{例题：}$f(x)=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{x+x^2e^{nx}}{1+e^{nx}}$，求函数连续区间。\medskip - -注意到函数的形式为一个极限值，其极限趋向的变量为$n$（$n\to\infty$指$n\to+\infty$）。所以在该极限式子中将$x$当作类似$t$的常数。 - -需要先求出极限形式的$f(x)$，而$x$变量的取值会影响到极限，且求的就是$x$的取值范围。所以将其分为三段： - -当$x<0$时，$nx\to-\infty$，$\therefore e^{nx}\to 0$，$x^2$在这个极限式子为一个常数，$\therefore x^2e^{nx}\to 0$，$f(x)=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{x+x^2e^{nx}}{1+e^{nx}}=\dfrac{x+0}{1+0}=x$。\medskip - -当$x=0$时，$f(x)=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{x+x^2e^{nx}}{1+e^{nx}}=\dfrac{0}{2}=0$。\medskip - -当$x>0$时，$e^{nx}$在$n\to\infty$时为$\infty$，上下都有这个无穷大的因子，所以上下都除以$e^{nx}$，$f(x)=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{x+x^2e^{nx}}{1+e^{nx}}=f(x)=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{xe^{-nx}+x^2}{1+e^{-nx}}=\dfrac{0+x^2}{1}=x^2$。\medskip - -从而得到了$f(x)$关于$x$的表达式：\medskip - -$f(x)=\left\{\begin{array}{lcl} - x, & & x<0 \\ - 0, & & x=0 \\ - x^2, & & x>0 -\end{array} -\right.$\medskip - -又$\lim\limits_{x\to 0^-}f(x)=\lim\limits_{x\to 0^-}x=\lim\limits_{x\to 0^+}f(x)=\lim\limits_{x\to 0^-}x^2=f(0)=0$。 - -$f(x)$在$R$上连续。 - -\subsection{已知连续区间求参数} - -一般会给出带有参数的分段函数，要计算参数就必须了解连续区间与函数之间的关系。 - -\textbf{例题：}$f(x)=\left\{\begin{array}{lcl} - 6, & & x\leqslant 0 \\ - \dfrac{e^{ax^3}-1}{x-\arcsin x}, & & x>0 -\end{array} -\right.$，$g(x)=\left\{\begin{array}{lcl} - \dfrac{3\sin(x-1)}{x-1}, & & x<1 \\ - e^{bx}+1, & & x\geqslant 1 -\end{array} -\right.$，\smallskip \\ 若$f(x)+g(x)$在$R$上连续，则求$a,b$。 - -解：已知$f(x)+g(x)$在$R$上连续，但是不能判断$f(x)$与$g(x)$的连续性。 - -所以分开讨论。 - -对于$f(x)$因为左侧为常数函数，所以若是$f(x)$连续，则必然：\medskip - -$\lim\limits_{x\to 0^+}\dfrac{e^{ax^3}-1}{x-\arcsin x}=6$\medskip - -$\therefore\lim\limits_{x\to 0^+}\dfrac{e^{ax^3}-1}{x-\arcsin x}$\medskip - -$=\lim\limits_{x\to 0^+}\dfrac{ax^3}{x-\arcsin x}$\medskip - -$\text{令}t=\arcsin x\Rightarrow=\lim\limits_{x\to 0^+}\dfrac{a\sin^3t}{\sin t-t}$ - -$=a\lim\limits_{x\to 0^+}\dfrac{t^3}{\sin t-t}$\medskip - -$=a\lim\limits_{x\to 0^+}\dfrac{3t^2}{\cos t-1}=-6a=6$。\medskip - -$\therefore a=-1$时$f(x)$在$R$上连续。\medskip - -对于$g(x)$，当$x<1$时，$\lim\limits_{x\to 1^-}\dfrac{3\sin(x-1)}{x-1}=\lim\limits_{t\to 0^-}\dfrac{3\sin t}{t}=3$。\medskip - -$\therefore\lim\limits_{x\to 1^+}e^{bx}+1=e^b+1=3$。\medskip - -$\therefore b=\ln 2$时$g(x)$在$R$上连续。\medskip - -$\therefore a=-1,b=\ln 2$时$f(x)+g(x)$在$R$上连续。而$a\neq -1$时$f(x)+g(x)$在$x=0$时不连续，$b\neq\ln 2$时$f(x)+g(x)$在$x=1$时不连续。 - -\section{间断} - -\subsection{求间断点} - -\subsection{已知间断点求参数} - -这种题目已知间断点，而未知式子中的参数，只用将间断点代入式子并利用极限计算间断点的类型就可以了。 - -\textbf{例题：}$f(x)=\dfrac{e^x-b}{(x-a)(x-b)}$有无穷间断点$x=e$，可去间断点$x=1$，求$ab$的值。 - -已知有两个间断点$x=a,x=b$，其中无穷间断点指极限值为无穷的点，可去间断点表示极限值存在且两侧相等，但是与函数值不相等的点。 - -已经给出两个间断点的值为$x=1$和$x=e$，所以$ab$必然对应其中一个，但是不清楚到底谁是谁。 - -当$a=1,b=e$时，$f(x)=\dfrac{e^x-e}{(x-1)(x-e)}$。\medskip - -当$x\to 1$时，$\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{e^x-e}{(x-1)(x-e)}$$=\dfrac{1}{1-e}\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{e^x-e}{x-1}$$=\dfrac{e}{1-e}\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{e^{x-1}-1}{x-1}$$=\dfrac{e}{1-e}\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{x-1}{x-1}$$=\dfrac{e}{1-e}$。\medskip - -$\therefore x=1$为可去间断点。\medskip - -当$x\to e$时，$\lim\limits_{x\to e}\dfrac{e^x-e}{(x-1)(x-e)}$$=\dfrac{1}{e-1}\lim\limits_{x\to e}\dfrac{e^x-e}{x-e}$$=\dfrac{e}{e-1}\lim\limits_{x\to e}\dfrac{e^{x-1}-1}{x-e}$\medskip$=\dfrac{e}{e-1}\lim\limits_{x\to e}\dfrac{x-1}{x-e}$$=\dfrac{e(e-1)}{e-1}\lim\limits_{x\to e}\dfrac{1}{x-e}=\infty$。\medskip - -$\therefore x=e$为无穷间断点。\medskip - -当$a=e,b=1$时，$f(x)=\dfrac{e^x-1}{(x-e)(x-1)}$。\medskip - -而作为分子的$e^x-1$必然为一个常数，当式子趋向$1$或$e$的时候分母两个不等式中的一个不等式必然为一个常数，从而另一个不等式则变为了无穷小，所以$\lim\limits_{x\to 1}f(x)=\lim\limits_{x\to e}f(x)=\infty$。 - -$\therefore a=1,b=e$。 - -\end{document} +\documentclass[UTF8, 12pt]{ctexart} +% UTF8编码，ctexart现实中文 +\usepackage{color} +% 使用颜色 +\usepackage{geometry} +\setcounter{tocdepth}{4} +\setcounter{secnumdepth}{4} +% 设置四级目录与标题 +\geometry{papersize={21cm,29.7cm}} +% 默认大小为A4 +\geometry{left=3.18cm,right=3.18cm,top=2.54cm,bottom=2.54cm} +% 默认页边距为1英尺与1.25英尺 +\usepackage{indentfirst} +\setlength{\parindent}{2.45em} +% 首行缩进2个中文字符 +\usepackage{setspace} +\renewcommand{\baselinestretch}{1.5} +% 1.5倍行距 +\usepackage{amssymb} +% 因为所以 +\usepackage{amsmath} +% 数学公式 +\usepackage[colorlinks,linkcolor=black,urlcolor=blue]{hyperref} +% 超链接 +\author{Didnelpsun} +\title{连续与间断} +\date{} +\begin{document} +\maketitle +\pagestyle{empty} +\thispagestyle{empty} +\tableofcontents +\thispagestyle{empty} +\newpage +\pagestyle{plain} +\setcounter{page}{1} +\section{连续} + +连续则极限值等于函数值。 + +\subsection{求连续区间} + +若要考察一个函数的连续区间，必须要了解函数的所有部分，一般会给出分段函数，所以要了解分段函数的每段函数的性质。 + +对于函数$f(x)$是个极限表达形式，我们要简化这个极限，最好得到一个$x$的表达式，从而才能判断其连续区间。\medskip + +\textbf{例题：}$f(x)=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{x+x^2e^{nx}}{1+e^{nx}}$，求函数连续区间。\medskip + +注意到函数的形式为一个极限值，其极限趋向的变量为$n$（$n\to\infty$指$n\to+\infty$）。所以在该极限式子中将$x$当作类似$t$的常数。 + +需要先求出极限形式的$f(x)$，而$x$变量的取值会影响到极限，且求的就是$x$的取值范围。所以将其分为三段： + +当$x<0$时，$nx\to-\infty$，$\therefore e^{nx}\to 0$，$x^2$在这个极限式子为一个常数，$\therefore x^2e^{nx}\to 0$，$f(x)=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{x+x^2e^{nx}}{1+e^{nx}}=\dfrac{x+0}{1+0}=x$。\medskip + +当$x=0$时，$f(x)=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{x+x^2e^{nx}}{1+e^{nx}}=\dfrac{0}{2}=0$。\medskip + +当$x>0$时，$e^{nx}$在$n\to\infty$时为$\infty$，上下都有这个无穷大的因子，所以上下都除以$e^{nx}$，$f(x)=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{x+x^2e^{nx}}{1+e^{nx}}=f(x)=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{xe^{-nx}+x^2}{1+e^{-nx}}=\dfrac{0+x^2}{1}=x^2$。\medskip + +从而得到了$f(x)$关于$x$的表达式：\medskip + +$f(x)=\left\{\begin{array}{lcl} + x, & & x<0 \\ + 0, & & x=0 \\ + x^2, & & x>0 +\end{array} +\right.$\medskip + +又$\lim\limits_{x\to 0^-}f(x)=\lim\limits_{x\to 0^-}x=\lim\limits_{x\to 0^+}f(x)=\lim\limits_{x\to 0^-}x^2=f(0)=0$。 + +$f(x)$在$R$上连续。 + +\subsection{已知连续区间求参数} + +一般会给出带有参数的分段函数，要计算参数就必须了解连续区间与函数之间的关系。 + +\textbf{例题：}$f(x)=\left\{\begin{array}{lcl} + 6, & & x\leqslant 0 \\ + \dfrac{e^{ax^3}-1}{x-\arcsin x}, & & x>0 +\end{array} +\right.$，$g(x)=\left\{\begin{array}{lcl} + \dfrac{3\sin(x-1)}{x-1}, & & x<1 \\ + e^{bx}+1, & & x\geqslant 1 +\end{array} +\right.$，\smallskip \\ 若$f(x)+g(x)$在$R$上连续，则求$a,b$。 + +解：已知$f(x)+g(x)$在$R$上连续，但是不能判断$f(x)$与$g(x)$的连续性。 + +所以分开讨论。 + +对于$f(x)$因为左侧为常数函数，所以若是$f(x)$连续，则必然：\medskip + +$\lim\limits_{x\to 0^+}\dfrac{e^{ax^3}-1}{x-\arcsin x}=6$\medskip + +$\therefore\lim\limits_{x\to 0^+}\dfrac{e^{ax^3}-1}{x-\arcsin x}$\medskip + +$=\lim\limits_{x\to 0^+}\dfrac{ax^3}{x-\arcsin x}$\medskip + +$\text{令}t=\arcsin x\Rightarrow=\lim\limits_{x\to 0^+}\dfrac{a\sin^3t}{\sin t-t}$ + +$=a\lim\limits_{x\to 0^+}\dfrac{t^3}{\sin t-t}$\medskip + +$=a\lim\limits_{x\to 0^+}\dfrac{3t^2}{\cos t-1}=-6a=6$。\medskip + +$\therefore a=-1$时$f(x)$在$R$上连续。\medskip + +对于$g(x)$，当$x<1$时，$\lim\limits_{x\to 1^-}\dfrac{3\sin(x-1)}{x-1}=\lim\limits_{t\to 0^-}\dfrac{3\sin t}{t}=3$。\medskip + +$\therefore\lim\limits_{x\to 1^+}e^{bx}+1=e^b+1=3$。\medskip + +$\therefore b=\ln 2$时$g(x)$在$R$上连续。\medskip + +$\therefore a=-1,b=\ln 2$时$f(x)+g(x)$在$R$上连续。而$a\neq -1$时$f(x)+g(x)$在$x=0$时不连续，$b\neq\ln 2$时$f(x)+g(x)$在$x=1$时不连续。 + +\section{间断} + +\subsection{求间断点} + +\subsection{已知间断点求参数} + +这种题目已知间断点，而未知式子中的参数，只用将间断点代入式子并利用极限计算间断点的类型就可以了。 + +\textbf{例题：}$f(x)=\dfrac{e^x-b}{(x-a)(x-b)}$有无穷间断点$x=e$，可去间断点$x=1$，求$ab$的值。 + +已知有两个间断点$x=a,x=b$，其中无穷间断点指极限值为无穷的点，可去间断点表示极限值存在且两侧相等，但是与函数值不相等的点。 + +已经给出两个间断点的值为$x=1$和$x=e$，所以$ab$必然对应其中一个，但是不清楚到底谁是谁。 + +当$a=1,b=e$时，$f(x)=\dfrac{e^x-e}{(x-1)(x-e)}$。\medskip + +当$x\to 1$时，$\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{e^x-e}{(x-1)(x-e)}$$=\dfrac{1}{1-e}\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{e^x-e}{x-1}$$=\dfrac{e}{1-e}\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{e^{x-1}-1}{x-1}$$=\dfrac{e}{1-e}\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{x-1}{x-1}$$=\dfrac{e}{1-e}$。\medskip + +$\therefore x=1$为可去间断点。\medskip + +当$x\to e$时，$\lim\limits_{x\to e}\dfrac{e^x-e}{(x-1)(x-e)}$$=\dfrac{1}{e-1}\lim\limits_{x\to e}\dfrac{e^x-e}{x-e}$$=\dfrac{e}{e-1}\lim\limits_{x\to e}\dfrac{e^{x-1}-1}{x-e}$\medskip$=\dfrac{e}{e-1}\lim\limits_{x\to e}\dfrac{x-1}{x-e}$$=\dfrac{e(e-1)}{e-1}\lim\limits_{x\to e}\dfrac{1}{x-e}=\infty$。\medskip + +$\therefore x=e$为无穷间断点。\medskip + +当$a=e,b=1$时，$f(x)=\dfrac{e^x-1}{(x-e)(x-1)}$。\medskip + +而作为分子的$e^x-1$必然为一个常数，当式子趋向$1$或$e$的时候分母两个不等式中的一个不等式必然为一个常数，从而另一个不等式则变为了无穷小，所以$\lim\limits_{x\to 1}f(x)=\lim\limits_{x\to e}f(x)=\infty$。 + +$\therefore a=1,b=e$。 + +\end{document} diff --git a/advanced-math/exercise/3-derivative-and-differentiate/derivative-and-differentiate.tex b/advanced-math/exercise/3-derivative-and-differentiate/derivative-and-differentiate.tex index 6ff9783..11db9b1 100644 --- a/advanced-math/exercise/3-derivative-and-differentiate/derivative-and-differentiate.tex +++ b/advanced-math/exercise/3-derivative-and-differentiate/derivative-and-differentiate.tex @@ -1,320 +1,320 @@ -\documentclass[UTF8, 12pt]{ctexart} -% UTF8编码，ctexart现实中文 -\usepackage{color} -% 使用颜色 -\usepackage{geometry} -\setcounter{tocdepth}{4} -\setcounter{secnumdepth}{4} -% 设置四级目录与标题 -\geometry{papersize={21cm,29.7cm}} -% 默认大小为A4 -\geometry{left=3.18cm,right=3.18cm,top=2.54cm,bottom=2.54cm} -% 默认页边距为1英尺与1.25英尺 -\usepackage{indentfirst} -\setlength{\parindent}{2.45em} -% 首行缩进2个中文字符 -\usepackage{setspace} -\renewcommand{\baselinestretch}{1.5} -% 1.5倍行距 -\usepackage{amssymb} -% 因为所以 -\usepackage{amsmath} -% 数学公式 -\usepackage[colorlinks,linkcolor=black,urlcolor=blue]{hyperref} -% 超链接 -\author{Didnelpsun} -\title{导数与微分} -\date{} -\begin{document} -\maketitle -\pagestyle{empty} -\thispagestyle{empty} -\tableofcontents -\thispagestyle{empty} -\newpage -\pagestyle{plain} -\setcounter{page}{1} -\section{一阶导数} -\subsection{幂指函数求导} - -形如$f(x)^{g(x)}$的幂指函数求导也可以类似幂指函数的求极限方法。既可以取$e$为底的指数也可以取对数。 - -\textbf{例题：}求$f(x)=x^{\sin x}(x>0)$的导数。 - -取对数： - -$\therefore\ln y=\sin x\ln x$ - -求导： - -$\dfrac{y'}{y}=\cos\ln x+\dfrac{\sin x}{x}$ - -$\therefore y'=x^{\sin x}\left(\cos\ln x+\dfrac{\sin x}{x}\right)$。 - -取指数： - -$x^{\sin x}=e^{\sin x\cdot\ln x}$ - -求导： - -$e^{\sin x\cdot\ln x}(\sin x\cdot\ln x)'=x^{\sin x}\left(\cos\ln x+\dfrac{\sin x}{x}\right)$。 - -\subsection{分段函数导数} - -当给出一个分段函数，要求求出该函数的导数时，最重要的就是分段点是否可导，计算分段点的导数，如果两边的导数不相等，则需要挖去该点。\medskip - -\textbf{例题：}设$f(x)=\left\{\begin{array}{lcl} - \arctan x, & & x\leqslant 1 \\ - \dfrac{1}{2}(e^{x^2-1}-x)+\dfrac{\pi}{4}, & & x>1 -\end{array} -\right.$，求$f'(x)$。 - -当$x\leqslant 1$时，$f'(x)=\dfrac{1}{1+x^2}$，当$x>1$时，$f'(x)=xe^{x^2-1}-\dfrac{1}{2}$。 - -然后需要查看分段点两边的导数是否一样：$f'_-(1)=\dfrac{1}{1+x^2}\,\bigg\vert_{x=1}=\dfrac{1}{1+1}=\dfrac{1}{2}$，$f'_+(1)=xe^{x^2-1}-\dfrac{1}{2}\,\bigg\vert_{x=1}=1\cdot e^{1-1}-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}$。\medskip - -$\therefore f'_-(1)=f'_+(1)$，所以该点可导。\medskip - -$f(x)=\left\{\begin{array}{lcl} - \dfrac{1}{1+x^2}, & & x\leqslant 1 \\ - xe^{x^2-1}-\dfrac{1}{2}, & & x>1 -\end{array} -\right.$。 - -\subsection{导数存在性} - -导数存在即可导。而该点左右导数都相等该点才可导。 - -可导必连续，连续不一定可导。 - -导数的定义：$\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$或$\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$。 - -导数的存在性：若$\lim\limits_{x\to x_0}f'(x)$存在，则$f'(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0}f'(x)$。\medskip - -\textbf{例题：}设$f(x)=\left\{\begin{array}{lcl} - \dfrac{\ln(1+bx)}{x}, & & x\neq 0 \\ - -1, & & x=0 -\end{array} -\right.$，其中$b$为某常数，$f(x)$在定义域上处处可导，求$f'(x)$。 - -首先需要求出参数$b$，而定义域上可导则在分段点$x=0$处也必然可导。 - -而可导必连续，所以当$x=0$时$f(x)$也是连续的，而连续的定义就是两边极限相等，且两边极限等于该点函数值。\medskip - -$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\ln(1+bx)}{x}=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{bx}{x}=b=-1$。从而可以完善函数与定义域。\medskip - -$\therefore f(x)=\left\{\begin{array}{lcl} - \dfrac{\ln(1-x)}{x}, & & x<1,x\neq 0 \\ - -1, & & x=0 -\end{array} -\right.$。 - -这样就能转换为直接求导数问题。 - -对于定义域的$x<1,x\neq 0$部分：\medskip - -$f'(x)=\dfrac{\dfrac{-x}{1-x}-\ln(1-x)}{x^2}=\dfrac{x-(x-1)\ln(1-x)}{x^2(x-1)}\,(x<1,x\neq 0)$。 - -然后需要求分段点$x=0$处的导数。 - -可以由导数的定义：、 - -根据导数的定义是某点偏移量的极限值$\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$： - -$f'(0)=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}$\medskip - -$=\dfrac{\dfrac{\ln(1-x)}{x}-(-1)}{x-0}$\medskip - -$=\dfrac{\dfrac{\ln(1-x)}{x}+1}{x}$\medskip - -$=\dfrac{\ln(1-x)+x}{x^2}$ - -泰勒公式：$=\dfrac{-x-\dfrac{1}{2}x^2+o(x^2)+x}{x^2}=-\dfrac{1}{2}$。\medskip - -$\therefore f'(x)=\left\{\begin{array}{lcl} - \dfrac{x-(x-1)\ln(1-x)}{x^2(x-1)}, & & x<1,x\neq 0 \\ - -\dfrac{1}{2}, & & x=0 -\end{array} -\right.$。\medskip - -同样也可以使用导数的存在性： - -$\because f(x)$在$x=0$处连续，$\therefore x=0$的空心邻域上可导。从而$\lim\limits_{x\to x_0}f'(x)$存在。 - -$\therefore f'(0)=\lim\limits_{x\to 0}f'(x)$。计算过程类似。 - -\subsection{导数连续性} - -导数具有连续性与之前的函数连续性类似，不过要对函数求导数罢了。 - -要求导数两侧的极限并让其相等。\medskip - -\textbf{例题：}设$f(x)=\left\{\begin{array}{lcl} - x^2, & & x\leqslant 0 \\ - x^\alpha\sin\dfrac{1}{x}, & & x>0 -\end{array} -\right.$，若$f'(x)$连续，则$\alpha$应该满足？ - -若导数连续，则两侧导数相等。 - -$\lim\limits_{x\to 0^-}f'(x)=\lim\limits_{x\to 0^-}2x=0$。 - -$\lim\limits_{x\to 0^+}f'(x)=\lim\limits_{x\to 0^+}\alpha x^{\alpha-1}\sin\dfrac{1}{x}-x^{\alpha-2}\cos\dfrac{1}{x}=\lim\limits_{x\to 0^+}x^{\alpha-2}\left(\alpha x\sin\dfrac{1}{x}-\cos\dfrac{1}{x}\right)$。 - -$\because x\to 0^+$时，$\sin\dfrac{1}{x}\in[-1,1]$，$\therefore\alpha x\sin\dfrac{1}{x}=0$，$-\cos\dfrac{1}{x}\in[-1,1]$，$\therefore \alpha x\sin\dfrac{1}{x}-\cos\dfrac{1}{x}$为一个不为0的常数。 - -又$\lim\limits_{x\to 0^+}f'(x)=\lim\limits_{x\to 0^+}x^{\alpha-2}\left(\alpha x\sin\dfrac{1}{x}-\cos\dfrac{1}{x}\right)=\lim\limits_{x\to 0^-}f'(x)=0$。 - -$\therefore\lim\limits_{x\to 0^+}x^{\alpha-2}=0$。 - -$\therefore\alpha-2>0$，从而$\alpha>2$。 - -\subsection{已知导数求极限} - -题目会给出对应的导数以及相关条件，并要求求一个极限，这个极限式子并不是个随机的式子，而一个是与导数定义相关的极限式子，所需要的就是将极限式子转换为导数定义的相关式子。 - -\subsubsection{导数定义式子} - -有时极限式子可以直接转换为导数定义式子，先稍微变换就可以代入导数。 - -\textbf{例题：}设$f(x)$是以3为周期的可导函数，且是偶函数，$f'(-2)=-1$，求$\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{h}{f(5-2\sin h)-f(5)}$。\medskip - -根据导数与函数的基本性质，原函数为偶函数，则其导函数为奇函数，所以$f'(5)=f'(2)=-f'(-2)=1$。 - -然后需要转换目标的极限式子，因为目标式子倒过来的式子类似于导数定义的$f'(x)=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$结构。所以我们可以先求其倒数式子：\medskip - -$=\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(5-2\sin h)-f(5)}{h}$ - -$=\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(5-2\sin h)-f(5)}{-2\sin h}\cdot\dfrac{-2\sin h}{h}$ - -$=-2f'(5)=-2\times 1=-2$ - -$\therefore\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{h}{f(5-2\sin h)-f(5)}=-\dfrac{1}{2}$。 - -\subsubsection{定义近似式子} - -有时候极限式子不为导数定义的近似式子，这时候就需要先根据求极限的计算方式简化目标极限式子。 - -\textbf{例题：}设$f(x)$在$x=0$处可导且$f(0)=1$，$f'(0)=3$，则数列极限$I=\lim\limits_{n\to\infty}\left(f\left(\dfrac{1}{n}\right)\right)^{\frac{\frac{1}{n}}{1-\cos\frac{1}{n}}}$。\medskip - -设$\dfrac{1}{n}=x$，则： - -$=\lim\limits_{x\to 0}(f(x))^{\frac{x}{1-\cos x}}$ - -$=e^{\lim\limits_{x\to 0}\frac{x}{1-\cos x}\ln f(x)}$ - -$=e^{2\lim\limits_{x\to 0}\frac{\ln f(x)}{x}}$ - -$=e^{2\lim\limits_{x\to 0}\frac{f(x)-1}{x}}$ - -$=e^{2\lim\limits_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}}$ - -$=e^{2f'(0)}=e^6$。 - -\section{高阶导数} - -\subsection{导数存在性} - -\subsection{携带未知数的多项式求高阶导} - -当所需要的求导的式子为一个多项式的时候，这个求导必然是有规律的。 - -当所求高阶导数的$x$值为一个常数时，那么这个常数值代入求导的式子必然是会消去一部分的，最常用的常数为$x=0$。 - -\textbf{例题：}已知$f(x)=x^2(x+1)^2(x+2)^2\cdots(x+n)^2$，求$f''(0)$。 - -因为式子中带有未知数$n$，所以结果很可能会带有$n$。 - -而这个式子项数为$n+1$项，所以求导结果必然很大，所以一定会消去一部分。 - -又求导的自变量$x=0$，而0代入很多式子都会被消去，所以这就是个突破口。 - -因为求导是求二阶导数，所以很可能这种求导是消去一部分而不是得到一个规律，因为阶数太低很难看出规律。 - -首先对$f(x)$求一阶导数（需要记住乘积的导数为各项求导的和）： - -$f'(x)=2x(x+1)^2(x+2)^2\cdots(x+n)^2$ - -$\quad\quad\quad+x^22(x+1)(x+2)^2\cdots(x+n)^2$ - -$\quad\quad\quad+x^2(x+1)^22(x+2)\cdots(x+n)^2$ - -$\quad\quad\quad\cdots$ - -$\quad\quad\quad+x^2(x+1)^2(x+2)^2\cdots 2(x+n)$ - -原式子一共1项，一阶导数后变为$n+1$项和，然后求二阶导数，会变为$(n+1)^2$项和。这时候我们应该回头看目标求的式子为$f''(0)$，而根据式子，只要乘积项中含有$x$项，那么这一整个项就都为0。 - -一阶导数中除一项每个项都含有$x^2$，所以求二阶导数的时候，$x^2$会变为$2x$在$x=0$处二阶导数为0，所以求二阶导数的时候一次导数的第一项后面$n$项在$x=0$处都是0，可以不用考虑。 - -而一阶导数的第一项只有对第一个$x$求导时会消去这个$x$变为$2(x+1)^2(x+2)^2\cdots(x+n)^2$，其他的$n$项二阶导数仍然含有$x$的项，所以结果也为0。 - -所以求$f''(0)$时，只有对一阶导数的第一项的第一个$x$求导所得到的导数项不为0，其他都是0，所以最后$f''(0)=2(x+1)^2(x+2)^2\cdots(x+n)^2=2(n!)^2$。 - -\subsection{反函数高阶导数} - -已知一阶导数的时候，反函数的导数为原函数导数的倒数（$g'(x)=\dfrac{1}{f'(x)}$）。 - -因为原函数的一阶导数是$\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}$，而反函数就是对原函数的$xy$对调，所以其反函数的一阶导数为$\dfrac{\textrm{d}x}{\textrm{d}y}$。 - -\textbf{例题：}已知$y=x+e^x$，求其反函数的二阶导数。 - -$y=x+e^x$的反函数的一阶导数为$\dfrac{\textrm{d}x}{\textrm{d}y}=\dfrac{1}{1+e^x}$。 - -所以二阶导数为$\dfrac{\textrm{d}^2x}{\textrm{d}y^2}=\dfrac{\textrm{d}\left(\dfrac{1}{1+e^{x}}\right)}{\textrm{d}y}=\dfrac{\dfrac{\textrm{d}\left(\dfrac{1}{1+e^{x}}\right)}{\textrm{d}x}}{\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}}=-\dfrac{e^x}{(1+e^x)^3}$。 - -\section{微分} - -\section{隐函数与参数方程} - -隐函数与参数方程求导基本上只用记住：\medskip - -$\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}=\dfrac{\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}t}}{\dfrac{\textrm{d}x}{\textrm{d}t}}$。 - -\textbf{例题：}已知$y=y(x)$由参数方程$\left\{\begin{array}{lcl} - x=\dfrac{1}{2}\ln(1+t^2) \\ - y=\arctan t -\end{array} -\right.$确定，求其一阶导数与二阶导数。 - -$\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}=\dfrac{\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}t}}{\dfrac{\textrm{d}x}{\textrm{d}t}}=\dfrac{\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{2t}{1+t^2}}{\dfrac{1}{1+t^2}}=\dfrac{1}{t}$。 - -$\dfrac{\textrm{d}^2y}{\textrm{d}x^2}=\dfrac{\textrm{d}\left(\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}\right)}{\textrm{d}x}=\dfrac{\dfrac{\textrm{d}\left(\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}\right)}{\textrm{d}t}}{\dfrac{\textrm{d}x}{\textrm{d}t}}=\dfrac{-\dfrac{1}{t^2}}{\dfrac{t}{1+t^2}}=-\dfrac{1+t^2}{t^3}$。 - -\section{导数应用} - -\subsection{单调性与凹凸性} - -\subsection{极值与最值} - -\subsection{函数图像} - -\subsection{曲率} - -曲率公式：$k=\left\lvert\dfrac{\textrm{d}\alpha}{\textrm{d}s}\right\rvert=\dfrac{\vert y''\vert}{(1+y'^2)^{\frac{3}{2}}}$。 - -\subsubsection{一般计算} - -\textbf{例题：}求$y=\sin x$在$x=\dfrac{\pi}{4}$对应的曲率 - -$y'=\cos x$，$y'(\dfrac{\pi}{4})=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$。 - -$y''=-\sin x$，$y''(\dfrac{\pi}{4})=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$。 - -$\therefore k=\dfrac{\dfrac{\sqrt{2}}{2}}{\dfrac{3}{2}\cdot\sqrt{\dfrac{3}{2}}}=\dfrac{2\sqrt{3}}{9}$。 - -所以$y=\sin x$在$x=\dfrac{\pi}{4}$的点$(\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\sqrt{2}}{2})$的曲率为$\dfrac{2\sqrt{3}}{9}$。 - -\subsubsection{最值} - -\textbf{例题：}求$y=x^2-4x+11$曲率最大值所在的点。 - -简单得$y'=2x-4$，$y''=2$。 - -曲率为$\dfrac{2}{[1+(2x-4)^2]^{\frac{3}{2}}}$。 - -当$2x-4=0$时即在$(2,7)$时曲率最大为2。 - - - -\end{document} +\documentclass[UTF8, 12pt]{ctexart} +% UTF8编码，ctexart现实中文 +\usepackage{color} +% 使用颜色 +\usepackage{geometry} +\setcounter{tocdepth}{4} +\setcounter{secnumdepth}{4} +% 设置四级目录与标题 +\geometry{papersize={21cm,29.7cm}} +% 默认大小为A4 +\geometry{left=3.18cm,right=3.18cm,top=2.54cm,bottom=2.54cm} +% 默认页边距为1英尺与1.25英尺 +\usepackage{indentfirst} +\setlength{\parindent}{2.45em} +% 首行缩进2个中文字符 +\usepackage{setspace} +\renewcommand{\baselinestretch}{1.5} +% 1.5倍行距 +\usepackage{amssymb} +% 因为所以 +\usepackage{amsmath} +% 数学公式 +\usepackage[colorlinks,linkcolor=black,urlcolor=blue]{hyperref} +% 超链接 +\author{Didnelpsun} +\title{导数与微分} +\date{} +\begin{document} +\maketitle +\pagestyle{empty} +\thispagestyle{empty} +\tableofcontents +\thispagestyle{empty} +\newpage +\pagestyle{plain} +\setcounter{page}{1} +\section{一阶导数} +\subsection{幂指函数求导} + +形如$f(x)^{g(x)}$的幂指函数求导也可以类似幂指函数的求极限方法。既可以取$e$为底的指数也可以取对数。 + +\textbf{例题：}求$f(x)=x^{\sin x}(x>0)$的导数。 + +取对数： + +$\therefore\ln y=\sin x\ln x$ + +求导： + +$\dfrac{y'}{y}=\cos\ln x+\dfrac{\sin x}{x}$ + +$\therefore y'=x^{\sin x}\left(\cos\ln x+\dfrac{\sin x}{x}\right)$。 + +取指数： + +$x^{\sin x}=e^{\sin x\cdot\ln x}$ + +求导： + +$e^{\sin x\cdot\ln x}(\sin x\cdot\ln x)'=x^{\sin x}\left(\cos\ln x+\dfrac{\sin x}{x}\right)$。 + +\subsection{分段函数导数} + +当给出一个分段函数，要求求出该函数的导数时，最重要的就是分段点是否可导，计算分段点的导数，如果两边的导数不相等，则需要挖去该点。\medskip + +\textbf{例题：}设$f(x)=\left\{\begin{array}{lcl} + \arctan x, & & x\leqslant 1 \\ + \dfrac{1}{2}(e^{x^2-1}-x)+\dfrac{\pi}{4}, & & x>1 +\end{array} +\right.$，求$f'(x)$。 + +当$x\leqslant 1$时，$f'(x)=\dfrac{1}{1+x^2}$，当$x>1$时，$f'(x)=xe^{x^2-1}-\dfrac{1}{2}$。 + +然后需要查看分段点两边的导数是否一样：$f'_-(1)=\dfrac{1}{1+x^2}\,\bigg\vert_{x=1}=\dfrac{1}{1+1}=\dfrac{1}{2}$，$f'_+(1)=xe^{x^2-1}-\dfrac{1}{2}\,\bigg\vert_{x=1}=1\cdot e^{1-1}-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}$。\medskip + +$\therefore f'_-(1)=f'_+(1)$，所以该点可导。\medskip + +$f(x)=\left\{\begin{array}{lcl} + \dfrac{1}{1+x^2}, & & x\leqslant 1 \\ + xe^{x^2-1}-\dfrac{1}{2}, & & x>1 +\end{array} +\right.$。 + +\subsection{导数存在性} + +导数存在即可导。而该点左右导数都相等该点才可导。 + +可导必连续，连续不一定可导。 + +导数的定义：$\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$或$\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$。 + +导数的存在性：若$\lim\limits_{x\to x_0}f'(x)$存在，则$f'(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0}f'(x)$。\medskip + +\textbf{例题：}设$f(x)=\left\{\begin{array}{lcl} + \dfrac{\ln(1+bx)}{x}, & & x\neq 0 \\ + -1, & & x=0 +\end{array} +\right.$，其中$b$为某常数，$f(x)$在定义域上处处可导，求$f'(x)$。 + +首先需要求出参数$b$，而定义域上可导则在分段点$x=0$处也必然可导。 + +而可导必连续，所以当$x=0$时$f(x)$也是连续的，而连续的定义就是两边极限相等，且两边极限等于该点函数值。\medskip + +$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\ln(1+bx)}{x}=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{bx}{x}=b=-1$。从而可以完善函数与定义域。\medskip + +$\therefore f(x)=\left\{\begin{array}{lcl} + \dfrac{\ln(1-x)}{x}, & & x<1,x\neq 0 \\ + -1, & & x=0 +\end{array} +\right.$。 + +这样就能转换为直接求导数问题。 + +对于定义域的$x<1,x\neq 0$部分：\medskip + +$f'(x)=\dfrac{\dfrac{-x}{1-x}-\ln(1-x)}{x^2}=\dfrac{x-(x-1)\ln(1-x)}{x^2(x-1)}\,(x<1,x\neq 0)$。 + +然后需要求分段点$x=0$处的导数。 + +可以由导数的定义：、 + +根据导数的定义是某点偏移量的极限值$\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$： + +$f'(0)=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}$\medskip + +$=\dfrac{\dfrac{\ln(1-x)}{x}-(-1)}{x-0}$\medskip + +$=\dfrac{\dfrac{\ln(1-x)}{x}+1}{x}$\medskip + +$=\dfrac{\ln(1-x)+x}{x^2}$ + +泰勒公式：$=\dfrac{-x-\dfrac{1}{2}x^2+o(x^2)+x}{x^2}=-\dfrac{1}{2}$。\medskip + +$\therefore f'(x)=\left\{\begin{array}{lcl} + \dfrac{x-(x-1)\ln(1-x)}{x^2(x-1)}, & & x<1,x\neq 0 \\ + -\dfrac{1}{2}, & & x=0 +\end{array} +\right.$。\medskip + +同样也可以使用导数的存在性： + +$\because f(x)$在$x=0$处连续，$\therefore x=0$的空心邻域上可导。从而$\lim\limits_{x\to x_0}f'(x)$存在。 + +$\therefore f'(0)=\lim\limits_{x\to 0}f'(x)$。计算过程类似。 + +\subsection{导数连续性} + +导数具有连续性与之前的函数连续性类似，不过要对函数求导数罢了。 + +要求导数两侧的极限并让其相等。\medskip + +\textbf{例题：}设$f(x)=\left\{\begin{array}{lcl} + x^2, & & x\leqslant 0 \\ + x^\alpha\sin\dfrac{1}{x}, & & x>0 +\end{array} +\right.$，若$f'(x)$连续，则$\alpha$应该满足？ + +若导数连续，则两侧导数相等。 + +$\lim\limits_{x\to 0^-}f'(x)=\lim\limits_{x\to 0^-}2x=0$。 + +$\lim\limits_{x\to 0^+}f'(x)=\lim\limits_{x\to 0^+}\alpha x^{\alpha-1}\sin\dfrac{1}{x}-x^{\alpha-2}\cos\dfrac{1}{x}=\lim\limits_{x\to 0^+}x^{\alpha-2}\left(\alpha x\sin\dfrac{1}{x}-\cos\dfrac{1}{x}\right)$。 + +$\because x\to 0^+$时，$\sin\dfrac{1}{x}\in[-1,1]$，$\therefore\alpha x\sin\dfrac{1}{x}=0$，$-\cos\dfrac{1}{x}\in[-1,1]$，$\therefore \alpha x\sin\dfrac{1}{x}-\cos\dfrac{1}{x}$为一个不为0的常数。 + +又$\lim\limits_{x\to 0^+}f'(x)=\lim\limits_{x\to 0^+}x^{\alpha-2}\left(\alpha x\sin\dfrac{1}{x}-\cos\dfrac{1}{x}\right)=\lim\limits_{x\to 0^-}f'(x)=0$。 + +$\therefore\lim\limits_{x\to 0^+}x^{\alpha-2}=0$。 + +$\therefore\alpha-2>0$，从而$\alpha>2$。 + +\subsection{已知导数求极限} + +题目会给出对应的导数以及相关条件，并要求求一个极限，这个极限式子并不是个随机的式子，而一个是与导数定义相关的极限式子，所需要的就是将极限式子转换为导数定义的相关式子。 + +\subsubsection{导数定义式子} + +有时极限式子可以直接转换为导数定义式子，先稍微变换就可以代入导数。 + +\textbf{例题：}设$f(x)$是以3为周期的可导函数，且是偶函数，$f'(-2)=-1$，求$\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{h}{f(5-2\sin h)-f(5)}$。\medskip + +根据导数与函数的基本性质，原函数为偶函数，则其导函数为奇函数，所以$f'(5)=f'(2)=-f'(-2)=1$。 + +然后需要转换目标的极限式子，因为目标式子倒过来的式子类似于导数定义的$f'(x)=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$结构。所以我们可以先求其倒数式子：\medskip + +$=\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(5-2\sin h)-f(5)}{h}$ + +$=\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(5-2\sin h)-f(5)}{-2\sin h}\cdot\dfrac{-2\sin h}{h}$ + +$=-2f'(5)=-2\times 1=-2$ + +$\therefore\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{h}{f(5-2\sin h)-f(5)}=-\dfrac{1}{2}$。 + +\subsubsection{定义近似式子} + +有时候极限式子不为导数定义的近似式子，这时候就需要先根据求极限的计算方式简化目标极限式子。 + +\textbf{例题：}设$f(x)$在$x=0$处可导且$f(0)=1$，$f'(0)=3$，则数列极限$I=\lim\limits_{n\to\infty}\left(f\left(\dfrac{1}{n}\right)\right)^{\frac{\frac{1}{n}}{1-\cos\frac{1}{n}}}$。\medskip + +设$\dfrac{1}{n}=x$，则： + +$=\lim\limits_{x\to 0}(f(x))^{\frac{x}{1-\cos x}}$ + +$=e^{\lim\limits_{x\to 0}\frac{x}{1-\cos x}\ln f(x)}$ + +$=e^{2\lim\limits_{x\to 0}\frac{\ln f(x)}{x}}$ + +$=e^{2\lim\limits_{x\to 0}\frac{f(x)-1}{x}}$ + +$=e^{2\lim\limits_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}}$ + +$=e^{2f'(0)}=e^6$。 + +\section{高阶导数} + +\subsection{导数存在性} + +\subsection{携带未知数的多项式求高阶导} + +当所需要的求导的式子为一个多项式的时候，这个求导必然是有规律的。 + +当所求高阶导数的$x$值为一个常数时，那么这个常数值代入求导的式子必然是会消去一部分的，最常用的常数为$x=0$。 + +\textbf{例题：}已知$f(x)=x^2(x+1)^2(x+2)^2\cdots(x+n)^2$，求$f''(0)$。 + +因为式子中带有未知数$n$，所以结果很可能会带有$n$。 + +而这个式子项数为$n+1$项，所以求导结果必然很大，所以一定会消去一部分。 + +又求导的自变量$x=0$，而0代入很多式子都会被消去，所以这就是个突破口。 + +因为求导是求二阶导数，所以很可能这种求导是消去一部分而不是得到一个规律，因为阶数太低很难看出规律。 + +首先对$f(x)$求一阶导数（需要记住乘积的导数为各项求导的和）： + +$f'(x)=2x(x+1)^2(x+2)^2\cdots(x+n)^2$ + +$\quad\quad\quad+x^22(x+1)(x+2)^2\cdots(x+n)^2$ + +$\quad\quad\quad+x^2(x+1)^22(x+2)\cdots(x+n)^2$ + +$\quad\quad\quad\cdots$ + +$\quad\quad\quad+x^2(x+1)^2(x+2)^2\cdots 2(x+n)$ + +原式子一共1项，一阶导数后变为$n+1$项和，然后求二阶导数，会变为$(n+1)^2$项和。这时候我们应该回头看目标求的式子为$f''(0)$，而根据式子，只要乘积项中含有$x$项，那么这一整个项就都为0。 + +一阶导数中除一项每个项都含有$x^2$，所以求二阶导数的时候，$x^2$会变为$2x$在$x=0$处二阶导数为0，所以求二阶导数的时候一次导数的第一项后面$n$项在$x=0$处都是0，可以不用考虑。 + +而一阶导数的第一项只有对第一个$x$求导时会消去这个$x$变为$2(x+1)^2(x+2)^2\cdots(x+n)^2$，其他的$n$项二阶导数仍然含有$x$的项，所以结果也为0。 + +所以求$f''(0)$时，只有对一阶导数的第一项的第一个$x$求导所得到的导数项不为0，其他都是0，所以最后$f''(0)=2(x+1)^2(x+2)^2\cdots(x+n)^2=2(n!)^2$。 + +\subsection{反函数高阶导数} + +已知一阶导数的时候，反函数的导数为原函数导数的倒数（$g'(x)=\dfrac{1}{f'(x)}$）。 + +因为原函数的一阶导数是$\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}$，而反函数就是对原函数的$xy$对调，所以其反函数的一阶导数为$\dfrac{\textrm{d}x}{\textrm{d}y}$。 + +\textbf{例题：}已知$y=x+e^x$，求其反函数的二阶导数。 + +$y=x+e^x$的反函数的一阶导数为$\dfrac{\textrm{d}x}{\textrm{d}y}=\dfrac{1}{1+e^x}$。 + +所以二阶导数为$\dfrac{\textrm{d}^2x}{\textrm{d}y^2}=\dfrac{\textrm{d}\left(\dfrac{1}{1+e^{x}}\right)}{\textrm{d}y}=\dfrac{\dfrac{\textrm{d}\left(\dfrac{1}{1+e^{x}}\right)}{\textrm{d}x}}{\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}}=-\dfrac{e^x}{(1+e^x)^3}$。 + +\section{微分} + +\section{隐函数与参数方程} + +隐函数与参数方程求导基本上只用记住：\medskip + +$\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}=\dfrac{\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}t}}{\dfrac{\textrm{d}x}{\textrm{d}t}}$。 + +\textbf{例题：}已知$y=y(x)$由参数方程$\left\{\begin{array}{lcl} + x=\dfrac{1}{2}\ln(1+t^2) \\ + y=\arctan t +\end{array} +\right.$确定，求其一阶导数与二阶导数。 + +$\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}=\dfrac{\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}t}}{\dfrac{\textrm{d}x}{\textrm{d}t}}=\dfrac{\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{2t}{1+t^2}}{\dfrac{1}{1+t^2}}=\dfrac{1}{t}$。 + +$\dfrac{\textrm{d}^2y}{\textrm{d}x^2}=\dfrac{\textrm{d}\left(\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}\right)}{\textrm{d}x}=\dfrac{\dfrac{\textrm{d}\left(\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}\right)}{\textrm{d}t}}{\dfrac{\textrm{d}x}{\textrm{d}t}}=\dfrac{-\dfrac{1}{t^2}}{\dfrac{t}{1+t^2}}=-\dfrac{1+t^2}{t^3}$。 + +\section{导数应用} + +\subsection{单调性与凹凸性} + +\subsection{极值与最值} + +\subsection{函数图像} + +\subsection{曲率} + +曲率公式：$k=\left\lvert\dfrac{\textrm{d}\alpha}{\textrm{d}s}\right\rvert=\dfrac{\vert y''\vert}{(1+y'^2)^{\frac{3}{2}}}$。 + +\subsubsection{一般计算} + +\textbf{例题：}求$y=\sin x$在$x=\dfrac{\pi}{4}$对应的曲率 + +$y'=\cos x$，$y'(\dfrac{\pi}{4})=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$。 + +$y''=-\sin x$，$y''(\dfrac{\pi}{4})=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$。 + +$\therefore k=\dfrac{\dfrac{\sqrt{2}}{2}}{\dfrac{3}{2}\cdot\sqrt{\dfrac{3}{2}}}=\dfrac{2\sqrt{3}}{9}$。 + +所以$y=\sin x$在$x=\dfrac{\pi}{4}$的点$(\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\sqrt{2}}{2})$的曲率为$\dfrac{2\sqrt{3}}{9}$。 + +\subsubsection{最值} + +\textbf{例题：}求$y=x^2-4x+11$曲率最大值所在的点。 + +简单得$y'=2x-4$，$y''=2$。 + +曲率为$\dfrac{2}{[1+(2x-4)^2]^{\frac{3}{2}}}$。 + +当$2x-4=0$时即在$(2,7)$时曲率最大为2。 + + + +\end{document} diff --git a/advanced-math/knowledge/0-perpare/perpare.tex b/advanced-math/knowledge/0-perpare/perpare.tex index 972c59f..02d520a 100644 --- a/advanced-math/knowledge/0-perpare/perpare.tex +++ b/advanced-math/knowledge/0-perpare/perpare.tex @@ -1,1077 +1,1077 @@ -\documentclass[UTF8, 12pt]{ctexart} -\usepackage{color} -% 颜色 -\definecolor{orange}{RGB}{255,127,0} -\usepackage{amssymb} -% 因为所以 -\usepackage{amsmath} -% 数学公式 -\setcounter{tocdepth}{5} -\setcounter{secnumdepth}{5} -% 设置五级目录 -\usepackage{geometry} -\geometry{papersize={21cm,29.7cm}} -\geometry{left=3.18cm,right=3.18cm,top=2.54cm,bottom=2.54cm} -% 设置页边距 -\usepackage{indentfirst} -\setlength{\parindent}{2.45em} -% 设置首行缩进 -\usepackage{setspace} -\renewcommand{\baselinestretch}{1.5} -% 设置行距 -\usepackage[colorlinks,linkcolor=black,urlcolor=blue]{hyperref} -% 超链接 -\usepackage{tikz} -% 绘图 -\usepackage{xcolor} -% 为了实现不同的颜色 -\usepackage{array} -% 设置表格行距 -\usepackage{pifont} -% 圆圈序号 -\author{Didnelpsun} -\title{考研数学准备} -\date{} -\begin{document} -\renewcommand -\arraystretch{1.5} -% 表格高1.5倍 -\maketitle -\pagestyle{empty} -\thispagestyle{empty} -\tableofcontents -\thispagestyle{empty} -\newpage -\pagestyle{plain} -\setcounter{page}{1} -\section{函数的图像} -\subsection{直角坐标系图像} -\subsubsection{常见图像} -\paragraph{基本初等函数与初等函数} \leavevmode \medskip - -基本初等函数包括：常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数。 - -\subparagraph{常数函数} \leavevmode \medskip - -$y=A$，A为常数，图像平行于x轴： - -\begin{tikzpicture}[domain=-1:5] - \draw[-latex](-1,0) -- (5,0) node[below]{$x$}; - \draw[-latex](0,-0.5) -- (0, 1.5) node[above]{$y$}; - \draw[black, thick](-1,1) -- (5,1) node[right]{$y=A$}; - \filldraw[black] (0,0) node[below]{$O$}; - \filldraw[black] (0,1) circle (2pt) node at(0.75,0.5){$(0,A)$}; -\end{tikzpicture} - -\subparagraph{幂函数} \leavevmode \medskip - -$y=x^{\mu}$，$\mu$为实数，当$x>0$，$y=x^{\mu}$都有定义： - -\begin{tikzpicture}[scale=0.9] - \draw[-latex](-2,0) -- (2,0) node[below]{$x$}; - \draw[-latex](0,-2) -- (0,4) node[above]{$y$}; - \draw[black, thick, smooth, domain=0.3:2] plot (\x,1/\x) node[right]{$\mu =-1$}; - \draw[black, thick, smooth, domain=-2:-0.5] plot (\x,1/\x) node[right]{$\mu =-1$}; - \draw[black, thick, smooth, domain=0.01:2] plot (\x, {sqrt(\x)}) node[right]{$\mu =\dfrac{1}{2}$}; - \draw[black, thick, smooth, domain=-2:2] plot (\x,\x) node[right]{$\mu =1$}; - \draw[black, thick, smooth, domain=-2:2] plot (\x, {\x*\x}) node[right]{$\mu =2$}; - \filldraw[black] (0,0) node[below]{$O$}; - \filldraw[black] (1,1) circle (2pt) node at(1.25,0.5){$(1,1)$}; -\end{tikzpicture} - -所以对于幂函数，可以根据不同幂下相同单调性来研究最值： - -\begin{enumerate} - \item $\sqrt{u}，\sqrt[3]{u}$可以使用$u$来研究。 - \item $\vert u\vert$可以使用$u^2$来研究。 - \item $\dfrac{1}{u},u>0$可以使用$u$来研究，但是最值相反。 - \item $u_1u_2...u_n$可以使用$\sum_{i=1}^{n}\ln u_i$来研究。 -\end{enumerate} - -\subparagraph{指数函数} \leavevmode \medskip - -$y=a^x(a>0,a\neq 1)$： - -\begin{tikzpicture}[scale=0.9] - \draw[-latex](-2,0) -- (2,0) node[below]{$x$}; - \draw[-latex](0,-0.5) -- (0,4) node[above]{$y$}; - \draw[black, thick, domain=-2:2] plot (\x,{pow(1/2,\x)}) node[right]{$01$}; - \filldraw[black] (0,0) node[below]{$O$}; -\end{tikzpicture} - -指数函数具有如下性质： - -\begin{enumerate} - \item 特殊函数值：$a^0=1$。 - \item 定义域：$(-\infty, +\infty)$，值域：$(0,+\infty)$。 - \item 单调性：$a>1$，$y=a^x$单调增，$00,a\neq 1)$为$y=a^x$的反函数： - -\begin{tikzpicture}[scale=0.9] - \draw[-latex](-0.5,0) -- (4,0) node[below]{$x$}; - \draw[-latex](0,-2) -- (0,2) node[above]{$y$}; - \draw[black, thick, domain=0.2:4] plot (\x,{ln(1/\x)}) node[right]{$01$}; - \filldraw[black] (0,0) node[below]{$O$}; -\end{tikzpicture} - -对数函数具有如下性质： - -\begin{enumerate} - \item 特殊函数值：$\log_a1=0$，$log_aa=1,\ln 1=0,\ln e=1$。 - \item 定义域：$(0, +\infty)$，值域：$(-\infty,+\infty)$。 - \item 单调性：$a>1$，$y=\log_ax$单调增，$00,u>0)$ -\end{enumerate} - -\subparagraph{三角函数} \leavevmode \medskip - -正弦函数： - -\begin{tikzpicture}[scale=0.9] - \draw[-latex](-5,0) -- (5,0) node[below]{$x$}; - \draw[-latex](0,-1.5) -- (0,2) node[above]{$y$}; - \draw[black, thick, smooth, domain=-5:5] plot (\x,{sin(\x r)}) node at (0,1.5){$\sin(x)$}; - \draw[black, densely dashed](-5,1) -- (5,1) node[right]{$x=1$}; - \draw[black, densely dashed](-5,-1) -- (5,-1) node[right]{$x=-1$}; - \draw[black, densely dashed](-pi/2*3,1) -- (-pi/2*3,0) node[below]{$-\dfrac{3\pi}{2}$}; - \draw[black, densely dashed](-pi/2,-1) -- (-pi/2,0) node[above]{$-\dfrac{\pi}{2}$}; - \draw[black, densely dashed](pi/2,1) -- (pi/2,0) node[below]{$\dfrac{\pi}{2}$}; - \draw[black](0,0) -- (0,0) node[above]{$O$}; - \filldraw[black] (-pi-0.1,0) node[below]{$-\pi$}; - \filldraw[black] (pi,0) node[below]{$\pi$}; -\end{tikzpicture} - -余弦函数： - -\begin{tikzpicture}[scale=0.9] - \draw[-latex](-5,0) -- (5,0) node[below]{$x$}; - \draw[-latex](0,-1.5) -- (0,2) node[above]{$y$}; - \draw[black, thick, smooth, domain=-5:5] plot (\x,{cos(\x r)}) node at (0,1.5){$\cos(x)$}; - \draw[black, densely dashed](-5,1) -- (5,1) node[right]{$x=1$}; - \draw[black, densely dashed](-5,-1) -- (5,-1) node[right]{$x=-1$}; - \draw[black, densely dashed](-pi,-1) -- (-pi,0) node[above]{$-\pi$}; - \draw[black, densely dashed](pi,-1) -- (pi,0) node[above]{$\pi$}; - \filldraw[black] (0,0) node[below]{$O$}; - \filldraw[black] (-pi/2*3-0.25,0) node[below]{$-\dfrac{3\pi}{2}$}; - \filldraw[black] (-pi/2,0) node[below]{$-\dfrac{\pi}{2}$}; - \filldraw[black] (pi/2,0) node[below]{$\dfrac{\pi}{2}$}; -\end{tikzpicture} - -弦函数有如下特征： - -\begin{enumerate} - \item 特殊函数值：$\sin 0=0$，$\sin\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{1}{2}$，$\sin\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，$\sin\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，$\sin\dfrac{\pi}{2}=1$，$\sin\pi=0$，$\sin\dfrac{3\pi}{2}=-1$，$\sin 2\pi=0$，$\cos 0=1$，$\cos\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，$\cos\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，$\cos\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{1}{2}$，$\cos\dfrac{\pi}{2}=0$，$\cos\pi=-1$，$\cos\dfrac{3\pi}{2}=0$，$\cos 2\pi=1$。 - \item 定义域：$(-\infty, +\infty)$，值域：$[-1,+1]$。 - \item 奇偶性：$y=\sin x$为奇函数，$y=\cos x$为偶函数。 - \item 周期性：最小正周期为$2\pi$。 - \item 有界性：$\vert\sin x\vert\leqslant 1$，$\vert\cos x\vert\leqslant 1$。 -\end{enumerate} - -正切函数： - -\begin{tikzpicture}[scale=0.7] - \draw[-latex](-6,0) -- (6,0) node[below]{$x$}; - \draw[-latex](0,-2) -- (0,2) node[above]{$y$}; - \draw[black, thick, domain=-pi/2+0.5:pi/2-0.5] plot (\x,{tan(\x r)}) node[above]{$\tan(x)$}; - \draw[black, densely dashed](pi/2,2) -- (pi/2,-2); - \draw[black, densely dashed](-pi/2,2) -- (-pi/2,-2); - \draw[black, thick, domain=-pi/2*3+0.5:-pi/2-0.5] plot (\x,{tan(\x r)}) node[above]{$\tan(x)$}; - \draw[black, densely dashed](pi/2*3,2) -- (pi/2*3,-2); - \draw[black, thick, domain=pi/2+0.5:pi/2*3-0.5] plot (\x,{tan(\x r)}) node[above]{$\tan(x)$}; - \draw[black, densely dashed](-pi/2*3,2) -- (-pi/2*3,-2); - \filldraw[black] (0,0) node[below]{$O$}; - \filldraw[black] (pi/2+0.5,-0.75) node{$\dfrac{\pi}{2}$}; - \filldraw[black] (-pi/2-0.75,-0.75) node{$-\dfrac{\pi}{2}$}; - \filldraw[black] (pi/2*3+0.5,-0.75) node{$\dfrac{3\pi}{2}$}; - \filldraw[black] (-pi/2*3-0.75,-0.75) node{$-\dfrac{3\pi}{2}$}; -\end{tikzpicture} - -余切函数： - -\begin{tikzpicture}[scale=0.7] - \draw[-latex](-4,0) -- (4,0) node[below]{$x$}; - \draw[-latex](0,-2) -- (0,2) node[above]{$y$}; - \draw[black, thick, domain=0.5:pi-0.5] plot (\x,{cot(\x r)}) node at(pi-1,2){$\cot(x)$}; - \draw[black, densely dashed](pi,2) -- (pi,-2); - \draw[black, thick, domain=-0.5:-pi+0.5] plot (\x,{cot(\x r)}) node at(-1,2){$\cot(x)$}; - \draw[black, densely dashed](-pi,2) -- (-pi,-2); - \filldraw[black] (0,0) node[below]{$O$}; - \filldraw[black] (pi/2,0) node[below]{$\dfrac{\pi}{2}$}; - \filldraw[black] (pi+0.5,-0.5) node{$\pi$}; - \filldraw[black] (-pi/2-0.25,0) node[below]{$-\dfrac{\pi}{2}$}; - \filldraw[black] (-pi-0.5,-0.5) node{$-\pi$}; -\end{tikzpicture} - -切函数有如下特征： - -\begin{enumerate} - \item 特殊函数值：$\tan 0=0$，$\tan\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\tan\frac{\pi}{4}=1$，$\tan\frac{\pi}{3}=\sqrt{3}$，$\lim\limits_{x\to\frac{\pi}{2}}\tan x=\infty$，$\tan\pi=0$，$\lim\limits_{x\to\frac{3\pi}{2}}\tan x=\infty$，$\tan 2\pi=0$，$\lim\limits_{x\to 0}\cot x=\infty$，$\cot\dfrac{\pi}{6}=\sqrt{3}$，$\cot\dfrac{\pi}{4}=1$，$\cot\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$，$\cot\dfrac{\pi}{2}=0$，$\lim\limits_{x\to\pi}\cot x=\infty$，$\cot\dfrac{3\pi}{2}=0$，$\lim\limits_{x\to 2\pi}\cot x=\infty$。 - \item 定义域：$\tan x:x\neq k\pi+\dfrac{\pi}{2}(k\in Z)$，$\cot x:x\neq k\pi(k\in Z)$，值域：$(-\infty,+\infty)$。 - \item 奇偶性：定义域内均为奇函数。 - \item 周期性：最小正周期为$\pi$。 -\end{enumerate} - -$$ - \sec x=\dfrac{1}{\cos x},\csc x=\dfrac{1}{\sin x} -$$ - -正割函数： - -\begin{tikzpicture}[scale=0.6] - \draw[-latex](-6,0) -- (6,0) node[below]{$x$}; - \draw[-latex](0,-3) -- (0,3) node[above]{$y$}; - \draw[black, thick, domain=-pi/2+0.4:pi/2-0.4] plot (\x,{sec(\x r)}) node[above]{$\sec(x)$}; - \draw[black, thick, domain=-pi/2*3+0.4:-pi/2-0.4] plot (\x,{sec(\x r)}) node[below]{$\sec(x)$}; - \draw[black, thick, domain=pi/2+0.4:pi/2*3-0.4] plot (\x,{sec(\x r)}) node[below]{$\sec(x)$}; - \draw[black, thick, domain=-pi*2:-pi/2*3-0.4] plot (\x,{sec(\x r)}) node[above]{$\sec(x)$}; - \draw[black, thick, domain=pi/2*3+0.4:pi*2] plot (\x,{sec(\x r)}) node at (pi*2,3){$\sec(x)$}; - \draw[black, densely dashed](-6,1) -- (6,1); - \draw[black, densely dashed](-6,-1) -- (6,-1); - \draw[black, densely dashed](-pi/2*3,3) -- (-pi/2*3,-3); - \draw[black, densely dashed](-pi/2,3) -- (-pi/2,-3); - \draw[black, densely dashed](pi/2,3) -- (pi/2,-3); - \draw[black, densely dashed](pi/2*3,3) -- (pi/2*3,-3); - \filldraw[black] (0,0) node[below]{$O$}; - \filldraw[black] (0.5,0.5) node{$1$}; - \filldraw[black] (0.5,-1.5) node{$-1$}; - \filldraw[black] (-pi/2*3-0.75,-0.5) node{$-\dfrac{3\pi}{2}$}; - \filldraw[black] (-pi/2-0.75,-0.5) node{$-\dfrac{\pi}{2}$}; - \filldraw[black] (pi/2+0.5,-0.5) node{$\dfrac{\pi}{2}$}; - \filldraw[black] (pi/2*3+0.5,-0.5) node{$\dfrac{3\pi}{2}$}; -\end{tikzpicture} - -余割函数： - -\begin{tikzpicture}[scale=0.6] - \draw[-latex](-7,0) -- (7,0) node[below]{$x$}; - \draw[-latex](0,-3) -- (0,3) node[above]{$y$}; - \draw[black, thick, domain=0.4:pi-0.4] plot (\x,{1/sin(\x r)}) node[above]{$\csc(x)$}; - \draw[black, thick, domain=pi+0.4:pi*2-0.4] plot (\x,{1/sin(\x r)}) node[below]{$\csc(x)$}; - \draw[black, thick, domain=-pi+0.4:-0.4] plot (\x,{1/sin(\x r)}) node[below]{$\csc(x)$}; - \draw[black, thick, domain=-pi*2+0.4:-pi-0.4] plot (\x,{1/sin(\x r)}) node[above]{$\csc(x)$}; - \draw[black, densely dashed](-7,1) -- (7,1); - \draw[black, densely dashed](-7,-1) -- (7,-1); - \draw[black, densely dashed](-pi,3) -- (-pi,-3); - \draw[black, densely dashed](-pi*2,3) -- (-pi*2,-3); - \draw[black, densely dashed](pi,3) -- (pi,-3); - \draw[black, densely dashed](pi*2,3) -- (pi*2,-3); - \filldraw[black] (0,0) node[below]{$O$}; - \filldraw[black] (0.5,0.5) node{$1$}; - \filldraw[black] (0.5,-1.5) node{$-1$}; - \filldraw[black] (-pi-0.5,-0.5) node{$\pi$}; - \filldraw[black] (-pi*2+0.5,-0.5) node{$2\pi$}; - \filldraw[black] (pi+0.5,-0.5) node{$\pi$}; - \filldraw[black] (pi*2-0.5,-0.5) node{$2\pi$}; -\end{tikzpicture} - -割函数有如下特征： - -\begin{enumerate} - \item 定义域：$\sec x:x\neq k\pi+\dfrac{\pi}{2}(k\in Z)$，$\csc x:x\neq k\pi(k\in Z)$，值域：$(-\infty,-1]\cup [1,+\infty)$。 - \item 奇偶性：$y=\sec x$为偶函数，$y=\csc x$为奇函数。 - \item 周期性：最小正周期为$2\pi$。 -\end{enumerate} - -\subparagraph{反三角函数} \leavevmode \medskip - -反正弦函数： - -\begin{tikzpicture} - \draw[-latex](-1.5,0) -- (1.5,0) node[below]{$x$}; - \draw[-latex](0,-2) -- (0,2) node[above]{$y$}; - \draw[black, thick, domain=-1:1] plot (\x,{rad(asin(\x))}) node[right]{$\arcsin(x)$}; - \draw[black, densely dashed](1,pi/2) -- (0,pi/2) node[left]{$\dfrac{\pi}{2}$}; - \filldraw[black] (0,0) node[below]{$O$}; - \draw[black, densely dashed](1,pi/2) -- (1,0) node[below]{$1$}; - \draw[black, densely dashed](-1,-pi/2) -- (0,-pi/2) node[right]{$-\dfrac{\pi}{2}$}; - \draw[black, densely dashed](-1,-pi/2) -- (-1,0) node[above]{$-1$}; -\end{tikzpicture} - -反余弦函数： - -\begin{tikzpicture} - \draw[-latex](-1.5,0) -- (1.5,0) node[below]{$x$}; - \draw[-latex](0,-0.5) -- (0,4) node[above]{$y$}; - \draw[black, thick, domain=-1:1] plot (\x,{rad(acos(\x)}) node at (-2, pi){$\arccos(x)$}; - \filldraw[black] (0,pi/2+0.5) node[right]{$\dfrac{\pi}{2}$}; - \draw[black](1,0) -- (1,0) node[below]{$1$}; - \filldraw[black] (0,0) node[below]{$O$}; - \draw[black, densely dashed](-1,pi) -- (0,pi) node[right]{$\pi$}; - \draw[black, densely dashed](-1,pi) -- (-1,0) node[below]{$-1$}; -\end{tikzpicture} - -反弦函数有如下特征： - -\begin{enumerate} - \item 特殊函数值：$\arcsin 0=0$，$\arcsin\dfrac{1}{2}=\dfrac{\pi}{6}$，$\arcsin\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{\pi}{4}$，$\arcsin\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{\pi}{3}$，$\arcsin 1=\dfrac{\pi}{2}$，$\arccos 1=0$，$\arccos\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{\pi}{6}$，$\arccos\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{\pi}{4}$，$\arccos\dfrac{1}{2}=\dfrac{\pi}{3}$，$\arccos 0=\dfrac{\pi}{2}$。 - \item 定义域：$(-1, +1)$，值域：$\arcsin x:[-\dfrac{\pi}{2},+\dfrac{\pi}{2}]$，$\arccos x:[0,\pi]$。 - \item 单调性：$y=\arcsin x$单调增，$y=\arccos x$单调减。 - \item 奇偶性：$y=\arcsin x$为奇函数。 - \item 有界性：$\vert\arcsin x\vert\leqslant\dfrac{\pi}{2}$，$0\leqslant\arccos x\leqslant\pi$。 - \item 性质：$\arcsin x+\arccos x=\dfrac{\pi}{2}(-1\leqslant x\leqslant 1)$ -\end{enumerate} - -对反弦函数性质进行证明： - -令$f(x)=\arcsin x+\arccos x$，对其求导得：$f'(x)=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}-\dfrac{1}{1-x^2}=0$，所以$f(x)$是个常数函数。 - -又$f(0)=\dfrac{\pi}{2}$，所以该函数等于$\dfrac{\pi}{2}$。 - -反正切函数： - -\begin{tikzpicture}[scale=0.9] - \draw[-latex](-3,0) -- (3,0) node[below]{$x$}; - \draw[-latex](0,-2) -- (0,2) node[above]{$y$}; - \draw[black, thick, domain=-3:3] plot (\x,{rad(atan(\x))}) node[right]{$\arctan(x)$}; - \filldraw[black] (0,0) node[below]{$O$}; - \draw[black, densely dashed](-3,pi/2) -- (3,pi/2); - \draw[black, densely dashed](-3,-pi/2) -- (3,-pi/2); - \filldraw[black] (0.5,pi/2-0.5) node{$\dfrac{\pi}{2}$}; - \filldraw[black] (0.5,-pi/2-0.5) node{$-\dfrac{\pi}{2}$}; -\end{tikzpicture} - -反余切函数： - -\begin{tikzpicture}[scale=0.9] - \draw[-latex](-3,0) -- (3,0) node[below]{$x$}; - \draw[-latex](0,-0.5) -- (0,4) node[above]{$y$}; - \draw[black, thick, domain=-3:3] plot (\x,{pi/2-rad(atan(\x))}) node[right]{$\textrm{arccot}(x)$}; - \filldraw[black] (0,0) node[below]{$O$}; - \draw[black, densely dashed](-3,pi) -- (3,pi); - \filldraw[black] (-0.5,pi/2-0.5) node{$\dfrac{\pi}{2}$}; -\end{tikzpicture} - -反切函数有如下特征： - -\begin{enumerate} - \item 特殊函数值：$\arctan 0=0$，$\arctan\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}=$，$\arctan 1=\dfrac{\pi}{4}$，$\arctan\sqrt{3}=\dfrac{\pi}{3}$，$\textrm{arccot}\,0=\dfrac{\pi}{2}$，$\textrm{arccot}\,\sqrt{3}=\dfrac{\pi}{6}$，$\textrm{arccot}\,1=\dfrac{\pi}{4}$，$\textrm{arccot}\,\dfrac{\sqrt{3}}{3}=\dfrac{\pi}{3}$。 - \item 定义域：$(-\infty, +\infty)$，值域：$\arctan x:\left[-\dfrac{\pi}{2},+\dfrac{\pi}{2}\right]$，$\textrm{arccot}\,x:[0,\pi]$。 - \item 单调性：$y=\arctan x$单调增，$y=\textrm{arccot}\,x$单调减。 - \item 奇偶性：$y=\arctan x$为奇函数。 - \item 有界性：$\vert\arctan x\vert\leqslant\dfrac{\pi}{2}$，$0\leqslant\textrm{arccot}\,x\leqslant\pi$。 - \item 性质：$\arctan x+\textrm{arccot}\,x=\dfrac{\pi}{2}(-\inftyx_0 \\ - a, & & x=x_0 \\ - \psi_2(x), & & x0 \\ - 0, & & x=0 \\ - -1, & & x<0 - \end{array} - \right. -$ - -\begin{tikzpicture} - \draw[-latex](-2,0) -- (2,0) node[below]{$x$}; - \draw[-latex](0,-1.5) -- (0,1.5) node[above]{$y$}; - \draw[black, thick, domain=0:2] plot (\x,1); - \draw[black, thick, domain=-2:0] plot (\x,-1); - \filldraw[black] (-1.5,1) node{$\textrm{sgn}\,x$}; - \filldraw[black] circle (2pt) (0,0) node[below]{$O$}; - \filldraw[white, draw=black, line width=1pt] (0,1) circle (2pt); - \filldraw[black] (0,1) node[left]{$1$}; - \filldraw[white, draw=black, line width=1pt] (0,-1) circle (2pt); - \filldraw[black] (0,-1) node[right]{$-1$}; -\end{tikzpicture} - -\subparagraph{取整函数} \leavevmode \medskip - -$x$为实数，不超过$x$的最大整数称为其整数部分$[x]$，其定义域为$R$，值域为$Z$。 - -\begin{enumerate} - \item $x-1<[x]\leqslant x$。 - \item $\lim\limits_{x\to 0^+}[x]=0$。 - \item $\lim\limits_{x\to 0^-}[x]=-1$。 -\end{enumerate} - -\begin{tikzpicture}[scale=0.6] - \draw[-latex](-3.5,0) -- (4.5,0) node[below]{$x$}; - \draw[-latex](0,-3.5) -- (0,3.5) node[above]{$y$}; - \draw[black, thick, domain=1:2] plot (\x,1); - \draw[black, thick, domain=2:3] plot (\x,2); - \draw[black, thick, domain=3:4] plot (\x,3); - \draw[black, thick, domain=-1:0] plot (\x,-1); - \draw[black, thick, domain=-2:-1] plot (\x,-2); - \draw[black, thick, domain=-3:-2] plot (\x,-3); - \filldraw[black] (-2,2) node{$[x]$}; - \filldraw[black] circle (2pt) (0,0) node[below]{$O$}; - \foreach \x in {-2,...,4} - \filldraw[white, draw=black, line width=1pt] (\x,\x-1) circle (2pt); - \foreach \x in {3,...,-3} - \filldraw[black] (\x,\x) circle (2pt); - \foreach \x/\xtext in {-3,...,-1} - \filldraw[black] (\x,0) node[below]{\xtext} -- ++(0, 3pt); - \foreach \x/\xtext in {1,...,4} - \filldraw[black] (\x,0) node[below]{\xtext} -- ++(0, 3pt); - \foreach \x/\xtext in {1,...,3} - \filldraw[black] (0,\x) node[left]{\xtext} -- +(3pt, 0); - \foreach \x/\xtext in {-3,...,-1} - \filldraw[black] (0,\x) node[right]{\xtext} -- +(3pt, 0); -\end{tikzpicture} - -\subsubsection{图像变换} -\paragraph{平移变换} -\subparagraph{左右平移} \leavevmode \medskip - -$f(x)$沿$x$轴左移$x_0$个单位长度得到$f(x+x_0)$，向右移动$x_0$个单位则得到$f(x-x_0)$： - -\begin{tikzpicture}[scale=0.9] - \draw[-latex](-4,0) -- (4,0) node[below]{$x$}; - \draw[-latex](0,-2) -- (0,2) node[above]{$y$}; - \filldraw[black] (0,0) node[below]{$O$}; - \draw[black, thick, domain=-1.5:1.5] plot (\x,-\x*\x+1); - \filldraw[black] (0,1.5) node{$-x^2+1$}; - \draw[black, thick, domain=0.5:3.5] plot (\x,{-pow((\x-2),2)+1}); - \filldraw[black] (2.5,1.5) node{$-(x-2)^2+1$}; - \draw[black, thick, domain=-3.5:-0.5] plot (\x,{-pow((\x+2),2)+1}); - \filldraw[black] (-2.5,1.5) node{$-(x+2)^2+1$}; - \filldraw[black] (1,0.5) node{$\rightarrow$}; - \filldraw[black] (-1,0.5) node{$\leftarrow$}; -\end{tikzpicture} - -\subparagraph{上下平移} \leavevmode \medskip - -$f(x)$沿$y$轴上移$y_0$个单位长度得到$f(x)+y_0$，向下移动$y_0$个单位则得到$f(x)-y_0$： - -\begin{tikzpicture}[scale=0.9] - \draw[-latex](-2,0) -- (2,0) node[below]{$x$}; - \draw[-latex](0,-4) -- (0,4) node[above]{$y$}; - \filldraw[black] (0,0) node[below]{$O$}; - \draw[black, thick, domain=-1.5:1.5] plot (\x,-\x*\x+1); - \filldraw[black] (0,-0.75) node{$-x^2+1$}; - \draw[black, thick, domain=-1.5:1.5] plot (\x,{-\x*\x+3}); - \filldraw[black] (0,1.5) node{$-x^2+3$}; - \draw[black, thick, domain=-1.5:1.5] plot (\x,{-\x*\x+-1}); - \filldraw[black] (0,-2.5) node{$-x^2-1$}; - \filldraw[black] (-2,2.5) node{$\uparrow $}; - \filldraw[black] (-2,-2.5) node{$\downarrow $}; -\end{tikzpicture} - -\paragraph{对称变换} -\subparagraph{上下对称} \leavevmode \medskip - -将$f(x)$关于$x$轴对称得到$-f(x)$： - -\begin{tikzpicture} - \draw[-latex](-2,0) -- (2,0) node[below]{$x$}; - \draw[-latex](0,-2) -- (0,2) node[above]{$y$}; - \filldraw[black] (0,0) node[below]{$O$}; - \draw[black, thick, domain=-1.5:1.5] plot (\x,-\x*\x+1); - \filldraw[black] (0,1.5) node{$-x^2+1$}; - \draw[black, thick, domain=-1.5:1.5] plot (\x,\x*\x-1); - \filldraw[black] (0,-1.5) node{$x^2-1$}; -\end{tikzpicture} - -\subparagraph{左右对称} \leavevmode \medskip - -将$f(x)$关于$y$轴对称得到$f(-x)$： - -\begin{tikzpicture}[scale=0.8] - \draw[-latex](-4,0) -- (4,0) node[below]{$x$}; - \draw[-latex](0,-2) -- (0,2) node[above]{$y$}; - \filldraw[black] (0,0) node[below]{$O$}; - \draw[black, thick, domain=0.25:3.5] plot (\x,{ln(\x)}); - \filldraw[black] (1.5,1.5) node{$\ln x$}; - \draw[black, thick, domain=-0.25:-3.5] plot (\x,{ln(-\x)}); - \filldraw[black] (-1.5,1.5) node{$\ln -x$}; -\end{tikzpicture} - -\subparagraph{原点对称} \leavevmode \medskip - -将$f(x)$关于$x$轴$y$轴即关于原点对称得到$-f(-x)$： - -\begin{tikzpicture}[scale=0.8] - \draw[-latex](-4,0) -- (4,0) node[below]{$x$}; - \draw[-latex](0,-2) -- (0,2) node[above]{$y$}; - \filldraw[black] (0,0) node[below]{$O$}; - \draw[black, thick, domain=0.25:3.5] plot (\x,{ln(\x)}); - \filldraw[black] (1.5,1.5) node{$\ln x$}; - \draw[black, thick, domain=-0.25:-3.5] plot (\x,{-ln(-\x)}); - \filldraw[black] (-1.5,-1.5) node{$-\ln -x$}; -\end{tikzpicture} - -\subparagraph{反函数对称} \leavevmode \medskip - -将$f(x)$关于$y=x$轴对称得到$f^{-1}(x)$： - -\begin{tikzpicture}[scale=0.8] - \draw[-latex](-2,0) -- (e,0) node[below]{$x$}; - \draw[-latex](0,-2) -- (0,e) node[above]{$y$}; - \filldraw[black] (0,0) node[below]{$O$}; - \draw[black, thick, domain=0.25:e] plot (\x,{ln(\x)}); - \filldraw[black] (1.5,-1.5) node{$\ln x$}; - \draw[black, thick, domain=-1:1] plot (\x,{exp(\x)}); - \filldraw[black] (-1.5,1.5) node{$e^x$}; - \draw[black, densely dashed] (-2,-2) -- (e-0.5,e-0.5) node[above]{$y=x$}; -\end{tikzpicture} - -\subparagraph{函数绝对值} \leavevmode \medskip - -保留$f(x)$函数值在$[0,\infty]$的部分，并对$[-\infty,0]$部分进行上下对称： - -\begin{tikzpicture} - \draw[-latex](-2,0) -- (2,0) node[below]{$x$}; - \draw[-latex](0,-2) -- (0,2) node[above]{$y$}; - \filldraw[black] (0,0) node[below]{$O$}; - \draw[black, thick, domain=1:1.5] plot (\x,\x*\x-1); - \draw[black, thick, densely dashed, domain=-1:1] plot (\x,\x*\x-1); - \draw[black, thick, domain=-1:1] plot (\x,-\x*\x+1); - \draw[black, thick, domain=-1.5:-1] plot (\x,\x*\x-1); - \filldraw[black] (0,1.5) node{$\vert x^2-1\vert$}; -\end{tikzpicture} - -\subparagraph{自变量绝对值} \leavevmode \medskip - -先只保留$f(x)$定义域在$[0,\infty]$的部分，然后在$[-\infty,0]$部分使用$[0,\infty]$的部分进行左右对称： - -\begin{tikzpicture} - \draw[-latex](-2,0) -- (2,0) node[below]{$x$}; - \draw[-latex](0,-1) -- (0,3) node[above]{$y$}; - \filldraw[black] (0,0) node[below]{$O$}; - \draw[black, thick, domain=0:1.25] plot (\x,{-pow(\x,3)+1}); - \draw[black, thick, densely dashed, domain=-1.25:0] plot (\x,{-pow(\x,3)+1}); - \draw[black, thick, domain=-1.25:0] plot (\x,{-pow(-\x,3)+1}); - \filldraw[black] (1,2) node{$-\vert x\vert^3+1$}; -\end{tikzpicture} - -\paragraph{伸缩变换} -\subparagraph{水平伸缩} \leavevmode \medskip - -纵坐标不变，当$k>1$时，$y=f(kx)$是$y=f(x)$缩短k倍得到，当$00$，周期为$2\pi$。 - -在直角坐标系下表达式：$x^2+y^2+a\cdot x=a\cdot\sqrt{x^2+y^2}$和$x^2+y^2-a\cdot x=a\cdot\sqrt{x^2+y^2}$。 - -参数方程：$x=a\cdot(2\cdot\cos(t)-cos(2\cdot t))$与$y=a\cdot(2\cdot\sin(t)-sin(2\cdot t))$ - -\begin{tikzpicture}[scale=0.8] - \draw[-latex](-5,0) -- (1,0) node[below]{$x$}; - \draw[-latex](0,-3) -- (0,3) node[above]{$y$}; - \draw[black, thick, domain=0:360,smooth,variable=\t, samples=300] plot ({\t}:{2*(1-cos(\t))}); - \filldraw[black] (0,0) node[below]{$O$}; -\end{tikzpicture} - -水平心形线对应参数： \leavevmode \medskip - -\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} - \hline - $\theta$ & $0$ & $\dfrac{\pi}{6}$ & $\dfrac{\pi}{4}$ & $\dfrac{\pi}{3}$ & $\dfrac{\pi}{2}$ & $\dfrac{2\pi}{3}$ & $\dfrac{3\pi}{4}$ & $\dfrac{5\pi}{6}$ & $\pi$ \\ \hline - $r$ & $0$ & $\dfrac{2-\sqrt{3}}{2}a$ & $\dfrac{2-\sqrt{2}}{2}a$ & $\dfrac{1}{2}a$ & $a$ & $\dfrac{3}{2}a$ & $\dfrac{2+\sqrt{2}}{2}a$ & $\dfrac{2+\sqrt{3}}{2}a$ & $2a$ \\ - \hline -\end{tabular} - -\paragraph{玫瑰线} \leavevmode \medskip - -表达式：$r=a\sin(n\theta)$，周期为$\dfrac{2\pi}{n}$。 - -当$n$为3时为三叶，2时为四叶，$\dfrac{3}{2}$为六叶。三叶时周期为$\dfrac{2\pi}{3}$。 - -直角坐标系下表达式：$x=a\cdot\sin(n\cdot\theta)\cdot\cos(\theta)$与$y=a\cdot\sin(n\cdot)\cdot\sin(\theta)$ - -\begin{tikzpicture}[scale=0.8] - \draw[-latex](-3,0) -- (3,0) node[below]{$x$}; - \draw[-latex](0,-pi) -- (0,pi/2) node[above]{$y$}; - \draw[domain=0:180,samples=100] plot (\x:{3*sin(\x*3)}); - \filldraw[black] (0,0) node[below]{$O$}; -\end{tikzpicture} - -三叶玫瑰线对应参数： \leavevmode \medskip - -\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} - \hline - $\theta$ & $0$ & $\dfrac{\pi}{12}$ & $\dfrac{\pi}{6}$ & $\dfrac{\pi}{4}$ & $\dfrac{\pi}{3}$ & $\dfrac{5\pi}{12}$ & $\dfrac{\pi}{2}$ & $\dfrac{7\pi}{12}$ & $\dfrac{3\pi}{2}$ \\ \hline - $r$ & $0$ & $\dfrac{\sqrt{2}}{2}a$ & $a$ & $\dfrac{\sqrt{2}}{2}a$ & $0$ & $-frac{\sqrt{2}}{2}a$ & $-a$ & $-frac{\sqrt{2}}{2}a$ & $0$ \\ - \hline -\end{tabular} - -\paragraph{阿基米德螺线} \leavevmode \medskip - -表达式：$r=a\theta$，其中$a>0$，$\theta\geqslant 0$由0开始增大时$r$也在不断增大。 - -\begin{tikzpicture}[scale=0.2] - \draw[-latex](-10,0) -- (15,0) node[below]{$x$}; - \draw[-latex](0,-15) -- (0,10) node[above]{$y$}; - \draw[domain=0:720,samples=100] plot (\x:{rad(\x)}); - \filldraw[black] (0,0) node[below]{$O$}; -\end{tikzpicture} - -\paragraph{伯努利双扭线} \leavevmode \medskip - -设定线段$F_1F_2$长度为$2a$，伯努利双扭线上所有点M满足$MF_1\cdot MF_2=a^2$。 - -表达式：$r^2=2a^2\cos 2\theta$或$r^2=2a^2\sin 2\theta$。 - -直角坐标系下表达式：$(x^2+y^2)^2=2a^2(x^2-y^2)$。 - -\begin{tikzpicture}[scale=1.5] - \draw[-latex](-1.25,0) -- (1.25,0) node[below]{$x$}; - \draw[-latex](0,-1) -- (0,1) node[above]{$y$}; - \draw[domain=-45:45,samples=100] plot (\x:{sqrt(cos(\x*2))}); - \draw[domain=-45:45,samples=100] plot (\x:{-sqrt(cos(\x*2))}); - \filldraw[black] (0,0) node[below]{$O$}; - \filldraw[black] (0,-1) node{$r^2=2a^2\cos 2\theta$}; -\end{tikzpicture} -\hspace{2.5em} -\begin{tikzpicture}[scale=1.5] - \draw[-latex](-1.25,0) -- (1.25,0) node[below]{$x$}; - \draw[-latex](0,-1) -- (0,1) node[above]{$y$}; - \draw[domain=0:90,samples=100] plot (\x:{sqrt(sin(\x*2))}); - \draw[domain=0:90,samples=100] plot (\x:{-sqrt(sin(\x*2))}); - \filldraw[black] (0,0) node[below]{$O$}; - \filldraw[black] (0,-1) node{$r^2=2a^2\sin 2\theta$}; -\end{tikzpicture} - -\subsubsection{直角坐标系下画极坐标图像} - -令$\theta$为$x$，令$r$为$y$。如心形线$r=2(1-\cos\theta)$： - -\begin{tikzpicture}[scale=0.5] - \draw[-latex](-5,0) -- (5,0) node[below]{$x$}; - \draw[-latex](0,-0.5) -- (0,5) node[above]{$y$}; - \draw[black, thick, smooth, domain=-5:5] plot (\x,{2*(1-cos(\x r))}) node at (0,4){$2(1-\cos(\theta))$}; - \filldraw[black] (0,0) node[below]{$O$}; -\end{tikzpicture} - -按直角坐标系的图就可以计算出对应的$r$从而能画出对应的图像。 - -\subsection{参数法} - -如果很难使用直角坐标或极坐标来表示曲线，那么可以引入一个新的变量参数来表示，即得到参数方程：$ - \left\{ - \begin{array}{lcl} - x=x(t) \\ - y=y(t) - \end{array} - \right. -$ - -\subsubsection{摆线（平摆线）} - -摆线，又称旋轮线、圆滚线，是一个圆沿一条直线滚动时，圆边界上一定点所形成的轨迹。 - -令圆半径为$r$，摆点与圆心所成直线所转动夹角对应弧度为$t$，其中$t\in[0,2\pi]$，所对应参数方程为： - -$$ - \left\{ - \begin{array}{lcl} - x=r(t-\sin t) \\ - y=r(1-\cos t) - \end{array} - \right. -$$ - -\subsubsection{星形线（内摆线）} - -与半径为$r$的定圆内切的半径为$\dfrac{r}{4}$的动圆沿定圆无滑动地滚动，动圆上一点的轨迹称为星形线。 - -令$t$表示摆点与圆心的连线所构成夹角的弧度，其中$t\in[0,2\pi]$，得对应参数方程： - -$$ - \left\{ - \begin{array}{lcl} - x=r\cos^3t \\ - y=r\sin^3t - \end{array} - \right. -$$ - -由$\cos^2t+\sin^2t=1$得到直角坐标方程：$x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=r^{\frac{2}{3}}$ - -\section{常用基础知识} -\subsection{数列} -\subsubsection{等差数列} - -首项为$a_1$，公差为$d(d\neq 0)$的数列：$a_1,a_1+d,a_1+2d\cdots a_1+(n-1)d$。 - -通项公式：$a_n=a_1+(n-1)d$。 - -前$n$项和：$S_n=\dfrac{n}{2}[2a_1+(n-1)d]=\dfrac{n}{2}(a_1+a_n)$ - -\subsubsection{等比数列} - -首项为$a_1$，公比为$q(q\neq 0)$的数列：$a_1,a_1q,a_1a^2\cdots a_1q^{n-1}$。 - -通项公式：$a_n=a_1q^{n-1}$。 - -前$n$项和：$S_n= - \left\{ - \begin{array}{lcl} - na_1, & & r=1 \\ - \dfrac{a_1(1-r^n)}{1-r}, & & r\neq 1 - \end{array} - \right.$ - -若首项为1，则$1+r+r^2+\cdots+r^{n-1}=\dfrac{1-r^n}{1-r}(r\neq 1)$。 - -则对无穷的极限为$\dfrac{1}{1-r}$。 - -\subsubsection{常见数列前\texorpdfstring{$n$}项和} - -\begin{enumerate} - \item $\sum_{k=1}^nk=1+2+\cdots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}$。 - \item $\sum_{k=1}^nk^2=1^2+2^2+\cdots+n^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$。 - \item $\sum_{k=1}^n\dfrac{1}{k(k+1)}=\dfrac{1}{1\times 2}+\dfrac{1}{2\times 3}+\cdots+\dfrac{1}{n(n+1)}=\dfrac{n}{n+1}$。 -\end{enumerate} - -\subsection{三角函数} - -\subsubsection{基本关系} - -$\csc\alpha=\dfrac{1}{\sin\alpha},\sec\alpha=\dfrac{1}{\cos\alpha},\cot\alpha=\dfrac{1}{\tan\alpha},\tan\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha},\cot\alpha=\dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$。 - -$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1,1+\tan^2\alpha=\sec^2\alpha,1+\cot^2\alpha=\csc^2\alpha$。 - -\subsubsection{诱导公式} - -奇变偶不变，符号看象限。奇指前面添加的常数项是否为$\pi$的整数倍，是就需要改变函数，看象限指添加了常数后整体的符号看函数所在象限的符号。 - -\begin{enumerate} - \item $\sin(\dfrac{\pi}{2}\pm\alpha)=\cos\alpha$ - \item $\cos(\dfrac{\pi}{2}\pm\alpha)=\mp\sin\alpha$ - \item $\sin(\pi\pm\alpha)=\mp\sin\alpha$ - \item $\cos(\pi\pm\alpha)=-\cos\alpha$ -\end{enumerate} - -\subsubsection{倍角公式} - -$\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha,\cos 2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=1-2\sin^2\alpha=2\cos^2\alpha-1$。 - -$\sin 3\alpha=-4\sin^3\alpha_3\sin\alpha,\cos 3\alpha=4\cos^3\alpha-3\cos\alpha$。 - -$\tan 2\alpha=\dfrac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha},\cot 2\alpha=\dfrac{\cot^2\alpha-1}{2\cot\alpha}$。 - -\subsubsection{半角公式} - -$\sin^2\dfrac{\alpha}{2}=\dfrac{1}{2}(1-\cos\alpha),\cos^2\dfrac{\alpha}{2}=\dfrac{1}{2}(1+\cos\alpha)\text{（降幂公式）}$。 - -$\sin\dfrac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\dfrac{1-\cos\alpha}{2}},\cos\dfrac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\dfrac{1+\cos\alpha}{2}}$。 - -$\tan\dfrac{\alpha}{2}=\dfrac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}=\dfrac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}=\pm\sqrt{\dfrac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}}=\dfrac{1}{\cot\dfrac{\alpha}{2}}$。 - -\subsubsection{和差公式} - -$\sin$和$\tan$的和差公式更容易考到。 - -$\sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta,\cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta$。 - -$\tan(\alpha\pm\beta)=\dfrac{\tan\alpha\pm\tan\beta}{1\mp\tan\alpha\tan\beta},\cot(\alpha\pm\beta)=\dfrac{\cot\alpha\cot\beta\mp 1}{\cot\beta\pm\cot\alpha}$。 - -\subsubsection{积化和差公式} - -和差化积与积化和差不需要背。 - -$\sin\alpha\cos\beta=\dfrac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)],\cos\alpha\sin\beta=\dfrac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)]$。 - -$\cos\alpha\cos\beta=\dfrac{1}{2}[\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)],\sin\alpha\sin\beta=\dfrac{1}{2}[\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)]$。 - -\subsubsection{和差化积公式} - -$\sin\alpha+\sin\beta=2\sin\dfrac{\alpha+\beta}{2}\cos\dfrac{\alpha-\beta}{2},\sin\alpha-\sin\beta=2\sin\dfrac{\alpha-\beta}{2}\cos\dfrac{\alpha+\beta}{2}$。 - -$\cos\alpha+\cos\beta=2\cos\dfrac{\alpha+\beta}{2}\cos\dfrac{\alpha-\beta}{2},\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\dfrac{\alpha+\beta}{2}\sin\dfrac{\alpha-\beta}{2}$。 - -\subsubsection{万能公式} - -一般不会用到。 - -若$u=\tan\dfrac{x}{2}(-\pi0$。 - -首先因为证明中间项无法进行直接处理，又看到是一个对数，所以进行通分：$\ln(1+\dfrac{1}{x})=\ln\dfrac{x+1}{x}=\ln(x+1)-\ln x$。 - -又因为是证明该中间式在一个区间，所以很明显会想到拉格朗日中值定理：$f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)$。 - -得到原式$=f'(\xi)=(\ln\xi)'=\dfrac{1}{\xi}$，又中值定理下$a<\xi0$，所以$\dfrac{1}{b}<\dfrac{1}{\xi}<\dfrac{1}{a}$，得到$0<\dfrac{1}{x+1}<\dfrac{1}{\xi}<\dfrac{1}{x}$。 - -所以原式$\dfrac{1}{x+1}<\ln(1+\dfrac{1}{x})<\dfrac{1}{x}$成立。 - -\subsection{一元二次方程基础} - -\begin{enumerate} - \item 基本格式为$ax^2+bx+c=0(a\neq 0)$。 - \item 如果$\Delta=\sqrt{b^2-4ac}\geqslant 0$，根的公式为$x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，其中如果等于0为唯一实根，如果大于0为二重实根，如果$\Delta<0$则得到共轭复数根$-\dfrac{b}{2a}\pm\dfrac{\sqrt{4ac-b^2}}{2a}i$。 - \item 根与系数的关系（韦达定理）为$x_1+x_2=-\dfrac{b}{a},x_1x_2=\dfrac{c}{a}$。 - \item 抛物线顶点为$(-\dfrac{b}{2a},c-\dfrac{b^2}{4a})$。 -\end{enumerate} - -\subsection{因式分解公式} - -重点为3、4、7和11的公式。 - -\begin{enumerate} - \item $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$。 - \item $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$。 - \item $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$。 - \item $(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$。 - \item $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$。 - \item $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$。 - \item $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$。 - \item $n$为正整数时，$a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+\cdots+ab^{n-2}+b^{n-1})$。 - \item $n$为正偶数时，$a^n-b^n=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+\cdots+ab^{n-2}-b^{n-1})$。 - \item $n$为正奇数时，$a^n+b^n=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+\cdots-ab^{n-2}+b^{n-1})$。 - \item 二项式定理$(a+b)^n=\sum_{k=0}^nC_n^ka^{n-k}b^k=a^n+na^{n-1}b+\dfrac{n(n-1)}{2!}a^{n-2}b^2+\cdots+\dfrac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!}a^{n-k}b^k+\cdots+nab^{n-1}+b^n$。 -\end{enumerate} - -对于二项式定理需要记忆，后面的幂比较简单，而前面的系数比较困难，可以使用杨辉三角形来记忆： - - -\begin{tikzpicture}[scale=0.9] - \node[black] at (0,0) {$C_0^0$}; - \node[black] at (-1,-1) {$C_1^0$}; - \node[black] at (0,-1) {$C_1^1$}; - \node[black] at (-2,-2) {$C_2^0$}; - \node[black] at (-1,-2) {$C_2^1$}; - \node[black] at (-0,-2) {$C_2^2$}; - \node[black] at (-3,-3) {$C_3^0$}; - \node[black] at (-2,-3) {$C_3^1$}; - \node[black] at (-1,-3) {$C_3^2$}; - \node[black] at (-0,-3) {$C_3^3$}; - \node[black] at (-4,-4) {$C_4^0$}; - \node[black] at (-3,-4) {$C_4^1$}; - \node[black] at (-2,-4) {$C_4^2$}; - \node[black] at (-1,-4) {$C_4^3$}; - \node[black] at (-0,-4) {$C_4^4$}; -\end{tikzpicture} -\hspace{2.5em} -\begin{tikzpicture}[scale=0.9] - \node[black] (0) at (0,0) {1}; - \node[black] (1) at (-1,-1) {1}; - \node[black] (2) at (1,-1) {1}; - \node[black] (3) at (-2,-2) {1}; - \node[black] (4) at (0,-2) {2}; - \node[black] (5) at (2,-2) {1}; - \node[black] (6) at (-3,-3) {1}; - \node[black] (7) at (-1,-3) {3}; - \node[black] (8) at (1,-3) {3}; - \node[black] (9) at (3,-3) {1}; - \node[black] (10) at (-4,-4) {1}; - \node[black] (11) at (-2,-4) {4}; - \node[black] (12) at (0,-4) {6}; - \node[black] (13) at (2,-4) {4}; - \node[black] (14) at (4,-4) {1}; - \draw[-,thick] (0) to (1); - \draw[-,thick] (0) to (2); - \draw[-,thick] (1) to (3); - \draw[-,thick] (1) to (4); - \draw[-,thick] (2) to (4); - \draw[-,thick] (2) to (5); - \draw[-,thick] (3) to (6); - \draw[-,thick] (3) to (7); - \draw[-,thick] (4) to (7); - \draw[-,thick] (4) to (8); - \draw[-,thick] (5) to (8); - \draw[-,thick] (5) to (9); - \draw[-,thick] (6) to (10); - \draw[-,thick] (6) to (11); - \draw[-,thick] (7) to (11); - \draw[-,thick] (7) to (12); - \draw[-,thick] (8) to (12); - \draw[-,thick] (8) to (13); - \draw[-,thick] (9) to (13); - \draw[-,thick] (9) to (14); -\end{tikzpicture} - -\subsection{阶乘与双阶乘} - -\begin{enumerate} - \item $n!=1\times 2\times 3\times\cdots\times n$，其中$0!=1$。 - \item $(2n)!!=2\times 4\times 6\times\cdots\times(2n)=2^n\cdot n!$。 - \item $(2n-1)!!=1\times 3\times 5\times\cdots\times(2n-1)$。 -\end{enumerate} - -以后的华里士公式（点火公式）会使用到，如下面的题目： - -\textbf{例题5：}计算$\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^{10}x\textrm{d}x$与$\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^9x\textrm{d}x$。\medskip - -原式1为偶数次幂，所以$=\dfrac{9}{10}\cdot\dfrac{7}{8}\cdot\dfrac{5}{6}\cdot\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\pi}{2}=\dfrac{\pi}{2}\cdot\dfrac{9!!}{10!!}$。\medskip - -原式2为奇数次幂，所以$=\dfrac{8}{9}\cdot\dfrac{6}{7}\cdot\dfrac{4}{5}\cdot\dfrac{2}{3}=\dfrac{8!!}{9!!}$ - -\subsection{常用不等式} - -非常重要。 - -\subsubsection{绝对值不等式} - -若$a$，$b$为实数，则： - -\begin{enumerate} - \item $\vert a\pm b\vert\leqslant\vert a\vert+\vert b\vert$。 - \item 推广公式一到离散区间：$\vert a_1\pm a_2\pm a_3\pm\cdots\pm a_n\vert\leqslant\vert a_1\vert+\vert a_2\vert+\cdots+\vert a_n\vert$。 - \item 推广公式一到连续区间且$f(x)$在$[a,b](a0$： - -\begin{enumerate} - \item $\sqrt{ab}\leqslant\dfrac{a+b}{2}\leqslant\sqrt{\dfrac{a^2+b^2}{2}}$。 - \item $\sqrt[3]{abc}\leqslant\dfrac{a+b+c}{3}\leqslant\dfrac{a^2+b^2+c^2}{3}$。 -\end{enumerate} - -\textbf{例题6：}证明函数$f(x)=\dfrac{x}{1+x^2}$在$(-\infty,+\infty)$内有界。 - -可以使用极限，若极限存在则函数有界，这里使用有界性定义与不等式来完成。 - -\ding{172}当$x=0$时，$f(0)=\dfrac{0}{1}$，有界。 - -\ding{173}当$x\neq 0$时，原式分式上下都有$x$，所以简化公式：$f(x)=\dfrac{\dfrac{x}{x}}{\dfrac{1+x^2}{x}}=\dfrac{1}{\dfrac{1}{x}+x}$。 - -$\because$需要证明有界性，以及根号不等式下需要参数大于0，所以需要证明$\vert f(x)\vert=\dfrac{1}{\dfrac{1}{\vert x\vert}+\vert x\vert}\leqslant M$ - -又$\because\dfrac{a+b}{2}\geqslant\sqrt{ab}$，$\therefore \dfrac{\dfrac{1}{\vert x\vert}+\vert x\vert}{2}\geqslant\sqrt{\dfrac{1}{\vert x\vert}\cdot\vert x\vert}=1$ - -$\therefore\vert f(x)\vert=\dfrac{1}{\dfrac{1}{\vert x\vert}+\vert x\vert}\leqslant\dfrac{1}{2}$。 - -故整个函数在$R$上有界。 - -\subsubsection{指数不等式} - -设$a>b>0$，则$ -\left\{ -\begin{array}{lcl} - a^n>b^n, & & \text{当}n>0\text{时} \\ - a^n0)$。 - \item $\arctan x\leqslant x\leqslant\arcsin x(0\leqslant x\leqslant 1)$。 -\end{enumerate} - -\subsubsection{对数不等式} - -\begin{enumerate} - \item $x-1\geqslant\ln x(x>0)$。 - \item $\dfrac{1}{1+x}<\ln(1+\dfrac{1}{x})<\dfrac{1}{x}(x>0)$。 -\end{enumerate} - -\end{document} +\documentclass[UTF8, 12pt]{ctexart} +\usepackage{color} +% 颜色 +\definecolor{orange}{RGB}{255,127,0} +\usepackage{amssymb} +% 因为所以 +\usepackage{amsmath} +% 数学公式 +\setcounter{tocdepth}{5} +\setcounter{secnumdepth}{5} +% 设置五级目录 +\usepackage{geometry} +\geometry{papersize={21cm,29.7cm}} +\geometry{left=3.18cm,right=3.18cm,top=2.54cm,bottom=2.54cm} +% 设置页边距 +\usepackage{indentfirst} +\setlength{\parindent}{2.45em} +% 设置首行缩进 +\usepackage{setspace} +\renewcommand{\baselinestretch}{1.5} +% 设置行距 +\usepackage[colorlinks,linkcolor=black,urlcolor=blue]{hyperref} +% 超链接 +\usepackage{tikz} +% 绘图 +\usepackage{xcolor} +% 为了实现不同的颜色 +\usepackage{array} +% 设置表格行距 +\usepackage{pifont} +% 圆圈序号 +\author{Didnelpsun} +\title{考研数学准备} +\date{} +\begin{document} +\renewcommand +\arraystretch{1.5} +% 表格高1.5倍 +\maketitle +\pagestyle{empty} +\thispagestyle{empty} +\tableofcontents +\thispagestyle{empty} +\newpage +\pagestyle{plain} +\setcounter{page}{1} +\section{函数的图像} +\subsection{直角坐标系图像} +\subsubsection{常见图像} +\paragraph{基本初等函数与初等函数} \leavevmode \medskip + +基本初等函数包括：常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数。 + +\subparagraph{常数函数} \leavevmode \medskip + +$y=A$，A为常数，图像平行于x轴： + +\begin{tikzpicture}[domain=-1:5] + \draw[-latex](-1,0) -- (5,0) node[below]{$x$}; + \draw[-latex](0,-0.5) -- (0, 1.5) node[above]{$y$}; + \draw[black, thick](-1,1) -- (5,1) node[right]{$y=A$}; + \filldraw[black] (0,0) node[below]{$O$}; + \filldraw[black] (0,1) circle (2pt) node at(0.75,0.5){$(0,A)$}; +\end{tikzpicture} + +\subparagraph{幂函数} \leavevmode \medskip + +$y=x^{\mu}$，$\mu$为实数，当$x>0$，$y=x^{\mu}$都有定义： + +\begin{tikzpicture}[scale=0.9] + \draw[-latex](-2,0) -- (2,0) node[below]{$x$}; + \draw[-latex](0,-2) -- (0,4) node[above]{$y$}; + \draw[black, thick, smooth, domain=0.3:2] plot (\x,1/\x) node[right]{$\mu =-1$}; + \draw[black, thick, smooth, domain=-2:-0.5] plot (\x,1/\x) node[right]{$\mu =-1$}; + \draw[black, thick, smooth, domain=0.01:2] plot (\x, {sqrt(\x)}) node[right]{$\mu =\dfrac{1}{2}$}; + \draw[black, thick, smooth, domain=-2:2] plot (\x,\x) node[right]{$\mu =1$}; + \draw[black, thick, smooth, domain=-2:2] plot (\x, {\x*\x}) node[right]{$\mu =2$}; + \filldraw[black] (0,0) node[below]{$O$}; + \filldraw[black] (1,1) circle (2pt) node at(1.25,0.5){$(1,1)$}; +\end{tikzpicture} + +所以对于幂函数，可以根据不同幂下相同单调性来研究最值： + +\begin{enumerate} + \item $\sqrt{u}，\sqrt[3]{u}$可以使用$u$来研究。 + \item $\vert u\vert$可以使用$u^2$来研究。 + \item $\dfrac{1}{u},u>0$可以使用$u$来研究，但是最值相反。 + \item $u_1u_2...u_n$可以使用$\sum_{i=1}^{n}\ln u_i$来研究。 +\end{enumerate} + +\subparagraph{指数函数} \leavevmode \medskip + +$y=a^x(a>0,a\neq 1)$： + +\begin{tikzpicture}[scale=0.9] + \draw[-latex](-2,0) -- (2,0) node[below]{$x$}; + \draw[-latex](0,-0.5) -- (0,4) node[above]{$y$}; + \draw[black, thick, domain=-2:2] plot (\x,{pow(1/2,\x)}) node[right]{$01$}; + \filldraw[black] (0,0) node[below]{$O$}; +\end{tikzpicture} + +指数函数具有如下性质： + +\begin{enumerate} + \item 特殊函数值：$a^0=1$。 + \item 定义域：$(-\infty, +\infty)$，值域：$(0,+\infty)$。 + \item 单调性：$a>1$，$y=a^x$单调增，$00,a\neq 1)$为$y=a^x$的反函数： + +\begin{tikzpicture}[scale=0.9] + \draw[-latex](-0.5,0) -- (4,0) node[below]{$x$}; + \draw[-latex](0,-2) -- (0,2) node[above]{$y$}; + \draw[black, thick, domain=0.2:4] plot (\x,{ln(1/\x)}) node[right]{$01$}; + \filldraw[black] (0,0) node[below]{$O$}; +\end{tikzpicture} + +对数函数具有如下性质： + +\begin{enumerate} + \item 特殊函数值：$\log_a1=0$，$log_aa=1,\ln 1=0,\ln e=1$。 + \item 定义域：$(0, +\infty)$，值域：$(-\infty,+\infty)$。 + \item 单调性：$a>1$，$y=\log_ax$单调增，$00,u>0)$ +\end{enumerate} + +\subparagraph{三角函数} \leavevmode \medskip + +正弦函数： + +\begin{tikzpicture}[scale=0.9] + \draw[-latex](-5,0) -- (5,0) node[below]{$x$}; + \draw[-latex](0,-1.5) -- (0,2) node[above]{$y$}; + \draw[black, thick, smooth, domain=-5:5] plot (\x,{sin(\x r)}) node at (0,1.5){$\sin(x)$}; + \draw[black, densely dashed](-5,1) -- (5,1) node[right]{$x=1$}; + \draw[black, densely dashed](-5,-1) -- (5,-1) node[right]{$x=-1$}; + \draw[black, densely dashed](-pi/2*3,1) -- (-pi/2*3,0) node[below]{$-\dfrac{3\pi}{2}$}; + \draw[black, densely dashed](-pi/2,-1) -- (-pi/2,0) node[above]{$-\dfrac{\pi}{2}$}; + \draw[black, densely dashed](pi/2,1) -- (pi/2,0) node[below]{$\dfrac{\pi}{2}$}; + \draw[black](0,0) -- (0,0) node[above]{$O$}; + \filldraw[black] (-pi-0.1,0) node[below]{$-\pi$}; + \filldraw[black] (pi,0) node[below]{$\pi$}; +\end{tikzpicture} + +余弦函数： + +\begin{tikzpicture}[scale=0.9] + \draw[-latex](-5,0) -- (5,0) node[below]{$x$}; + \draw[-latex](0,-1.5) -- (0,2) node[above]{$y$}; + \draw[black, thick, smooth, domain=-5:5] plot (\x,{cos(\x r)}) node at (0,1.5){$\cos(x)$}; + \draw[black, densely dashed](-5,1) -- (5,1) node[right]{$x=1$}; + \draw[black, densely dashed](-5,-1) -- (5,-1) node[right]{$x=-1$}; + \draw[black, densely dashed](-pi,-1) -- (-pi,0) node[above]{$-\pi$}; + \draw[black, densely dashed](pi,-1) -- (pi,0) node[above]{$\pi$}; + \filldraw[black] (0,0) node[below]{$O$}; + \filldraw[black] (-pi/2*3-0.25,0) node[below]{$-\dfrac{3\pi}{2}$}; + \filldraw[black] (-pi/2,0) node[below]{$-\dfrac{\pi}{2}$}; + \filldraw[black] (pi/2,0) node[below]{$\dfrac{\pi}{2}$}; +\end{tikzpicture} + +弦函数有如下特征： + +\begin{enumerate} + \item 特殊函数值：$\sin 0=0$，$\sin\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{1}{2}$，$\sin\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，$\sin\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，$\sin\dfrac{\pi}{2}=1$，$\sin\pi=0$，$\sin\dfrac{3\pi}{2}=-1$，$\sin 2\pi=0$，$\cos 0=1$，$\cos\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，$\cos\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，$\cos\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{1}{2}$，$\cos\dfrac{\pi}{2}=0$，$\cos\pi=-1$，$\cos\dfrac{3\pi}{2}=0$，$\cos 2\pi=1$。 + \item 定义域：$(-\infty, +\infty)$，值域：$[-1,+1]$。 + \item 奇偶性：$y=\sin x$为奇函数，$y=\cos x$为偶函数。 + \item 周期性：最小正周期为$2\pi$。 + \item 有界性：$\vert\sin x\vert\leqslant 1$，$\vert\cos x\vert\leqslant 1$。 +\end{enumerate} + +正切函数： + +\begin{tikzpicture}[scale=0.7] + \draw[-latex](-6,0) -- (6,0) node[below]{$x$}; + \draw[-latex](0,-2) -- (0,2) node[above]{$y$}; + \draw[black, thick, domain=-pi/2+0.5:pi/2-0.5] plot (\x,{tan(\x r)}) node[above]{$\tan(x)$}; + \draw[black, densely dashed](pi/2,2) -- (pi/2,-2); + \draw[black, densely dashed](-pi/2,2) -- (-pi/2,-2); + \draw[black, thick, domain=-pi/2*3+0.5:-pi/2-0.5] plot (\x,{tan(\x r)}) node[above]{$\tan(x)$}; + \draw[black, densely dashed](pi/2*3,2) -- (pi/2*3,-2); + \draw[black, thick, domain=pi/2+0.5:pi/2*3-0.5] plot (\x,{tan(\x r)}) node[above]{$\tan(x)$}; + \draw[black, densely dashed](-pi/2*3,2) -- (-pi/2*3,-2); + \filldraw[black] (0,0) node[below]{$O$}; + \filldraw[black] (pi/2+0.5,-0.75) node{$\dfrac{\pi}{2}$}; + \filldraw[black] (-pi/2-0.75,-0.75) node{$-\dfrac{\pi}{2}$}; + \filldraw[black] (pi/2*3+0.5,-0.75) node{$\dfrac{3\pi}{2}$}; + \filldraw[black] (-pi/2*3-0.75,-0.75) node{$-\dfrac{3\pi}{2}$}; +\end{tikzpicture} + +余切函数： + +\begin{tikzpicture}[scale=0.7] + \draw[-latex](-4,0) -- (4,0) node[below]{$x$}; + \draw[-latex](0,-2) -- (0,2) node[above]{$y$}; + \draw[black, thick, domain=0.5:pi-0.5] plot (\x,{cot(\x r)}) node at(pi-1,2){$\cot(x)$}; + \draw[black, densely dashed](pi,2) -- (pi,-2); + \draw[black, thick, domain=-0.5:-pi+0.5] plot (\x,{cot(\x r)}) node at(-1,2){$\cot(x)$}; + \draw[black, densely dashed](-pi,2) -- (-pi,-2); + \filldraw[black] (0,0) node[below]{$O$}; + \filldraw[black] (pi/2,0) node[below]{$\dfrac{\pi}{2}$}; + \filldraw[black] (pi+0.5,-0.5) node{$\pi$}; + \filldraw[black] (-pi/2-0.25,0) node[below]{$-\dfrac{\pi}{2}$}; + \filldraw[black] (-pi-0.5,-0.5) node{$-\pi$}; +\end{tikzpicture} + +切函数有如下特征： + +\begin{enumerate} + \item 特殊函数值：$\tan 0=0$，$\tan\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\tan\frac{\pi}{4}=1$，$\tan\frac{\pi}{3}=\sqrt{3}$，$\lim\limits_{x\to\frac{\pi}{2}}\tan x=\infty$，$\tan\pi=0$，$\lim\limits_{x\to\frac{3\pi}{2}}\tan x=\infty$，$\tan 2\pi=0$，$\lim\limits_{x\to 0}\cot x=\infty$，$\cot\dfrac{\pi}{6}=\sqrt{3}$，$\cot\dfrac{\pi}{4}=1$，$\cot\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$，$\cot\dfrac{\pi}{2}=0$，$\lim\limits_{x\to\pi}\cot x=\infty$，$\cot\dfrac{3\pi}{2}=0$，$\lim\limits_{x\to 2\pi}\cot x=\infty$。 + \item 定义域：$\tan x:x\neq k\pi+\dfrac{\pi}{2}(k\in Z)$，$\cot x:x\neq k\pi(k\in Z)$，值域：$(-\infty,+\infty)$。 + \item 奇偶性：定义域内均为奇函数。 + \item 周期性：最小正周期为$\pi$。 +\end{enumerate} + +$$ + \sec x=\dfrac{1}{\cos x},\csc x=\dfrac{1}{\sin x} +$$ + +正割函数： + +\begin{tikzpicture}[scale=0.6] + \draw[-latex](-6,0) -- (6,0) node[below]{$x$}; + \draw[-latex](0,-3) -- (0,3) node[above]{$y$}; + \draw[black, thick, domain=-pi/2+0.4:pi/2-0.4] plot (\x,{sec(\x r)}) node[above]{$\sec(x)$}; + \draw[black, thick, domain=-pi/2*3+0.4:-pi/2-0.4] plot (\x,{sec(\x r)}) node[below]{$\sec(x)$}; + \draw[black, thick, domain=pi/2+0.4:pi/2*3-0.4] plot (\x,{sec(\x r)}) node[below]{$\sec(x)$}; + \draw[black, thick, domain=-pi*2:-pi/2*3-0.4] plot (\x,{sec(\x r)}) node[above]{$\sec(x)$}; + \draw[black, thick, domain=pi/2*3+0.4:pi*2] plot (\x,{sec(\x r)}) node at (pi*2,3){$\sec(x)$}; + \draw[black, densely dashed](-6,1) -- (6,1); + \draw[black, densely dashed](-6,-1) -- (6,-1); + \draw[black, densely dashed](-pi/2*3,3) -- (-pi/2*3,-3); + \draw[black, densely dashed](-pi/2,3) -- (-pi/2,-3); + \draw[black, densely dashed](pi/2,3) -- (pi/2,-3); + \draw[black, densely dashed](pi/2*3,3) -- (pi/2*3,-3); + \filldraw[black] (0,0) node[below]{$O$}; + \filldraw[black] (0.5,0.5) node{$1$}; + \filldraw[black] (0.5,-1.5) node{$-1$}; + \filldraw[black] (-pi/2*3-0.75,-0.5) node{$-\dfrac{3\pi}{2}$}; + \filldraw[black] (-pi/2-0.75,-0.5) node{$-\dfrac{\pi}{2}$}; + \filldraw[black] (pi/2+0.5,-0.5) node{$\dfrac{\pi}{2}$}; + \filldraw[black] (pi/2*3+0.5,-0.5) node{$\dfrac{3\pi}{2}$}; +\end{tikzpicture} + +余割函数： + +\begin{tikzpicture}[scale=0.6] + \draw[-latex](-7,0) -- (7,0) node[below]{$x$}; + \draw[-latex](0,-3) -- (0,3) node[above]{$y$}; + \draw[black, thick, domain=0.4:pi-0.4] plot (\x,{1/sin(\x r)}) node[above]{$\csc(x)$}; + \draw[black, thick, domain=pi+0.4:pi*2-0.4] plot (\x,{1/sin(\x r)}) node[below]{$\csc(x)$}; + \draw[black, thick, domain=-pi+0.4:-0.4] plot (\x,{1/sin(\x r)}) node[below]{$\csc(x)$}; + \draw[black, thick, domain=-pi*2+0.4:-pi-0.4] plot (\x,{1/sin(\x r)}) node[above]{$\csc(x)$}; + \draw[black, densely dashed](-7,1) -- (7,1); + \draw[black, densely dashed](-7,-1) -- (7,-1); + \draw[black, densely dashed](-pi,3) -- (-pi,-3); + \draw[black, densely dashed](-pi*2,3) -- (-pi*2,-3); + \draw[black, densely dashed](pi,3) -- (pi,-3); + \draw[black, densely dashed](pi*2,3) -- (pi*2,-3); + \filldraw[black] (0,0) node[below]{$O$}; + \filldraw[black] (0.5,0.5) node{$1$}; + \filldraw[black] (0.5,-1.5) node{$-1$}; + \filldraw[black] (-pi-0.5,-0.5) node{$\pi$}; + \filldraw[black] (-pi*2+0.5,-0.5) node{$2\pi$}; + \filldraw[black] (pi+0.5,-0.5) node{$\pi$}; + \filldraw[black] (pi*2-0.5,-0.5) node{$2\pi$}; +\end{tikzpicture} + +割函数有如下特征： + +\begin{enumerate} + \item 定义域：$\sec x:x\neq k\pi+\dfrac{\pi}{2}(k\in Z)$，$\csc x:x\neq k\pi(k\in Z)$，值域：$(-\infty,-1]\cup [1,+\infty)$。 + \item 奇偶性：$y=\sec x$为偶函数，$y=\csc x$为奇函数。 + \item 周期性：最小正周期为$2\pi$。 +\end{enumerate} + +\subparagraph{反三角函数} \leavevmode \medskip + +反正弦函数： + +\begin{tikzpicture} + \draw[-latex](-1.5,0) -- (1.5,0) node[below]{$x$}; + \draw[-latex](0,-2) -- (0,2) node[above]{$y$}; + \draw[black, thick, domain=-1:1] plot (\x,{rad(asin(\x))}) node[right]{$\arcsin(x)$}; + \draw[black, densely dashed](1,pi/2) -- (0,pi/2) node[left]{$\dfrac{\pi}{2}$}; + \filldraw[black] (0,0) node[below]{$O$}; + \draw[black, densely dashed](1,pi/2) -- (1,0) node[below]{$1$}; + \draw[black, densely dashed](-1,-pi/2) -- (0,-pi/2) node[right]{$-\dfrac{\pi}{2}$}; + \draw[black, densely dashed](-1,-pi/2) -- (-1,0) node[above]{$-1$}; +\end{tikzpicture} + +反余弦函数： + +\begin{tikzpicture} + \draw[-latex](-1.5,0) -- (1.5,0) node[below]{$x$}; + \draw[-latex](0,-0.5) -- (0,4) node[above]{$y$}; + \draw[black, thick, domain=-1:1] plot (\x,{rad(acos(\x)}) node at (-2, pi){$\arccos(x)$}; + \filldraw[black] (0,pi/2+0.5) node[right]{$\dfrac{\pi}{2}$}; + \draw[black](1,0) -- (1,0) node[below]{$1$}; + \filldraw[black] (0,0) node[below]{$O$}; + \draw[black, densely dashed](-1,pi) -- (0,pi) node[right]{$\pi$}; + \draw[black, densely dashed](-1,pi) -- (-1,0) node[below]{$-1$}; +\end{tikzpicture} + +反弦函数有如下特征： + +\begin{enumerate} + \item 特殊函数值：$\arcsin 0=0$，$\arcsin\dfrac{1}{2}=\dfrac{\pi}{6}$，$\arcsin\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{\pi}{4}$，$\arcsin\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{\pi}{3}$，$\arcsin 1=\dfrac{\pi}{2}$，$\arccos 1=0$，$\arccos\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{\pi}{6}$，$\arccos\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{\pi}{4}$，$\arccos\dfrac{1}{2}=\dfrac{\pi}{3}$，$\arccos 0=\dfrac{\pi}{2}$。 + \item 定义域：$(-1, +1)$，值域：$\arcsin x:[-\dfrac{\pi}{2},+\dfrac{\pi}{2}]$，$\arccos x:[0,\pi]$。 + \item 单调性：$y=\arcsin x$单调增，$y=\arccos x$单调减。 + \item 奇偶性：$y=\arcsin x$为奇函数。 + \item 有界性：$\vert\arcsin x\vert\leqslant\dfrac{\pi}{2}$，$0\leqslant\arccos x\leqslant\pi$。 + \item 性质：$\arcsin x+\arccos x=\dfrac{\pi}{2}(-1\leqslant x\leqslant 1)$ +\end{enumerate} + +对反弦函数性质进行证明： + +令$f(x)=\arcsin x+\arccos x$，对其求导得：$f'(x)=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}-\dfrac{1}{1-x^2}=0$，所以$f(x)$是个常数函数。 + +又$f(0)=\dfrac{\pi}{2}$，所以该函数等于$\dfrac{\pi}{2}$。 + +反正切函数： + +\begin{tikzpicture}[scale=0.9] + \draw[-latex](-3,0) -- (3,0) node[below]{$x$}; + \draw[-latex](0,-2) -- (0,2) node[above]{$y$}; + \draw[black, thick, domain=-3:3] plot (\x,{rad(atan(\x))}) node[right]{$\arctan(x)$}; + \filldraw[black] (0,0) node[below]{$O$}; + \draw[black, densely dashed](-3,pi/2) -- (3,pi/2); + \draw[black, densely dashed](-3,-pi/2) -- (3,-pi/2); + \filldraw[black] (0.5,pi/2-0.5) node{$\dfrac{\pi}{2}$}; + \filldraw[black] (0.5,-pi/2-0.5) node{$-\dfrac{\pi}{2}$}; +\end{tikzpicture} + +反余切函数： + +\begin{tikzpicture}[scale=0.9] + \draw[-latex](-3,0) -- (3,0) node[below]{$x$}; + \draw[-latex](0,-0.5) -- (0,4) node[above]{$y$}; + \draw[black, thick, domain=-3:3] plot (\x,{pi/2-rad(atan(\x))}) node[right]{$\textrm{arccot}(x)$}; + \filldraw[black] (0,0) node[below]{$O$}; + \draw[black, densely dashed](-3,pi) -- (3,pi); + \filldraw[black] (-0.5,pi/2-0.5) node{$\dfrac{\pi}{2}$}; +\end{tikzpicture} + +反切函数有如下特征： + +\begin{enumerate} + \item 特殊函数值：$\arctan 0=0$，$\arctan\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}=$，$\arctan 1=\dfrac{\pi}{4}$，$\arctan\sqrt{3}=\dfrac{\pi}{3}$，$\textrm{arccot}\,0=\dfrac{\pi}{2}$，$\textrm{arccot}\,\sqrt{3}=\dfrac{\pi}{6}$，$\textrm{arccot}\,1=\dfrac{\pi}{4}$，$\textrm{arccot}\,\dfrac{\sqrt{3}}{3}=\dfrac{\pi}{3}$。 + \item 定义域：$(-\infty, +\infty)$，值域：$\arctan x:\left[-\dfrac{\pi}{2},+\dfrac{\pi}{2}\right]$，$\textrm{arccot}\,x:[0,\pi]$。 + \item 单调性：$y=\arctan x$单调增，$y=\textrm{arccot}\,x$单调减。 + \item 奇偶性：$y=\arctan x$为奇函数。 + \item 有界性：$\vert\arctan x\vert\leqslant\dfrac{\pi}{2}$，$0\leqslant\textrm{arccot}\,x\leqslant\pi$。 + \item 性质：$\arctan x+\textrm{arccot}\,x=\dfrac{\pi}{2}(-\inftyx_0 \\ + a, & & x=x_0 \\ + \psi_2(x), & & x0 \\ + 0, & & x=0 \\ + -1, & & x<0 + \end{array} + \right. +$ + +\begin{tikzpicture} + \draw[-latex](-2,0) -- (2,0) node[below]{$x$}; + \draw[-latex](0,-1.5) -- (0,1.5) node[above]{$y$}; + \draw[black, thick, domain=0:2] plot (\x,1); + \draw[black, thick, domain=-2:0] plot (\x,-1); + \filldraw[black] (-1.5,1) node{$\textrm{sgn}\,x$}; + \filldraw[black] circle (2pt) (0,0) node[below]{$O$}; + \filldraw[white, draw=black, line width=1pt] (0,1) circle (2pt); + \filldraw[black] (0,1) node[left]{$1$}; + \filldraw[white, draw=black, line width=1pt] (0,-1) circle (2pt); + \filldraw[black] (0,-1) node[right]{$-1$}; +\end{tikzpicture} + +\subparagraph{取整函数} \leavevmode \medskip + +$x$为实数，不超过$x$的最大整数称为其整数部分$[x]$，其定义域为$R$，值域为$Z$。 + +\begin{enumerate} + \item $x-1<[x]\leqslant x$。 + \item $\lim\limits_{x\to 0^+}[x]=0$。 + \item $\lim\limits_{x\to 0^-}[x]=-1$。 +\end{enumerate} + +\begin{tikzpicture}[scale=0.6] + \draw[-latex](-3.5,0) -- (4.5,0) node[below]{$x$}; + \draw[-latex](0,-3.5) -- (0,3.5) node[above]{$y$}; + \draw[black, thick, domain=1:2] plot (\x,1); + \draw[black, thick, domain=2:3] plot (\x,2); + \draw[black, thick, domain=3:4] plot (\x,3); + \draw[black, thick, domain=-1:0] plot (\x,-1); + \draw[black, thick, domain=-2:-1] plot (\x,-2); + \draw[black, thick, domain=-3:-2] plot (\x,-3); + \filldraw[black] (-2,2) node{$[x]$}; + \filldraw[black] circle (2pt) (0,0) node[below]{$O$}; + \foreach \x in {-2,...,4} + \filldraw[white, draw=black, line width=1pt] (\x,\x-1) circle (2pt); + \foreach \x in {3,...,-3} + \filldraw[black] (\x,\x) circle (2pt); + \foreach \x/\xtext in {-3,...,-1} + \filldraw[black] (\x,0) node[below]{\xtext} -- ++(0, 3pt); + \foreach \x/\xtext in {1,...,4} + \filldraw[black] (\x,0) node[below]{\xtext} -- ++(0, 3pt); + \foreach \x/\xtext in {1,...,3} + \filldraw[black] (0,\x) node[left]{\xtext} -- +(3pt, 0); + \foreach \x/\xtext in {-3,...,-1} + \filldraw[black] (0,\x) node[right]{\xtext} -- +(3pt, 0); +\end{tikzpicture} + +\subsubsection{图像变换} +\paragraph{平移变换} +\subparagraph{左右平移} \leavevmode \medskip + +$f(x)$沿$x$轴左移$x_0$个单位长度得到$f(x+x_0)$，向右移动$x_0$个单位则得到$f(x-x_0)$： + +\begin{tikzpicture}[scale=0.9] + \draw[-latex](-4,0) -- (4,0) node[below]{$x$}; + \draw[-latex](0,-2) -- (0,2) node[above]{$y$}; + \filldraw[black] (0,0) node[below]{$O$}; + \draw[black, thick, domain=-1.5:1.5] plot (\x,-\x*\x+1); + \filldraw[black] (0,1.5) node{$-x^2+1$}; + \draw[black, thick, domain=0.5:3.5] plot (\x,{-pow((\x-2),2)+1}); + \filldraw[black] (2.5,1.5) node{$-(x-2)^2+1$}; + \draw[black, thick, domain=-3.5:-0.5] plot (\x,{-pow((\x+2),2)+1}); + \filldraw[black] (-2.5,1.5) node{$-(x+2)^2+1$}; + \filldraw[black] (1,0.5) node{$\rightarrow$}; + \filldraw[black] (-1,0.5) node{$\leftarrow$}; +\end{tikzpicture} + +\subparagraph{上下平移} \leavevmode \medskip + +$f(x)$沿$y$轴上移$y_0$个单位长度得到$f(x)+y_0$，向下移动$y_0$个单位则得到$f(x)-y_0$： + +\begin{tikzpicture}[scale=0.9] + \draw[-latex](-2,0) -- (2,0) node[below]{$x$}; + \draw[-latex](0,-4) -- (0,4) node[above]{$y$}; + \filldraw[black] (0,0) node[below]{$O$}; + \draw[black, thick, domain=-1.5:1.5] plot (\x,-\x*\x+1); + \filldraw[black] (0,-0.75) node{$-x^2+1$}; + \draw[black, thick, domain=-1.5:1.5] plot (\x,{-\x*\x+3}); + \filldraw[black] (0,1.5) node{$-x^2+3$}; + \draw[black, thick, domain=-1.5:1.5] plot (\x,{-\x*\x+-1}); + \filldraw[black] (0,-2.5) node{$-x^2-1$}; + \filldraw[black] (-2,2.5) node{$\uparrow $}; + \filldraw[black] (-2,-2.5) node{$\downarrow $}; +\end{tikzpicture} + +\paragraph{对称变换} +\subparagraph{上下对称} \leavevmode \medskip + +将$f(x)$关于$x$轴对称得到$-f(x)$： + +\begin{tikzpicture} + \draw[-latex](-2,0) -- (2,0) node[below]{$x$}; + \draw[-latex](0,-2) -- (0,2) node[above]{$y$}; + \filldraw[black] (0,0) node[below]{$O$}; + \draw[black, thick, domain=-1.5:1.5] plot (\x,-\x*\x+1); + \filldraw[black] (0,1.5) node{$-x^2+1$}; + \draw[black, thick, domain=-1.5:1.5] plot (\x,\x*\x-1); + \filldraw[black] (0,-1.5) node{$x^2-1$}; +\end{tikzpicture} + +\subparagraph{左右对称} \leavevmode \medskip + +将$f(x)$关于$y$轴对称得到$f(-x)$： + +\begin{tikzpicture}[scale=0.8] + \draw[-latex](-4,0) -- (4,0) node[below]{$x$}; + \draw[-latex](0,-2) -- (0,2) node[above]{$y$}; + \filldraw[black] (0,0) node[below]{$O$}; + \draw[black, thick, domain=0.25:3.5] plot (\x,{ln(\x)}); + \filldraw[black] (1.5,1.5) node{$\ln x$}; + \draw[black, thick, domain=-0.25:-3.5] plot (\x,{ln(-\x)}); + \filldraw[black] (-1.5,1.5) node{$\ln -x$}; +\end{tikzpicture} + +\subparagraph{原点对称} \leavevmode \medskip + +将$f(x)$关于$x$轴$y$轴即关于原点对称得到$-f(-x)$： + +\begin{tikzpicture}[scale=0.8] + \draw[-latex](-4,0) -- (4,0) node[below]{$x$}; + \draw[-latex](0,-2) -- (0,2) node[above]{$y$}; + \filldraw[black] (0,0) node[below]{$O$}; + \draw[black, thick, domain=0.25:3.5] plot (\x,{ln(\x)}); + \filldraw[black] (1.5,1.5) node{$\ln x$}; + \draw[black, thick, domain=-0.25:-3.5] plot (\x,{-ln(-\x)}); + \filldraw[black] (-1.5,-1.5) node{$-\ln -x$}; +\end{tikzpicture} + +\subparagraph{反函数对称} \leavevmode \medskip + +将$f(x)$关于$y=x$轴对称得到$f^{-1}(x)$： + +\begin{tikzpicture}[scale=0.8] + \draw[-latex](-2,0) -- (e,0) node[below]{$x$}; + \draw[-latex](0,-2) -- (0,e) node[above]{$y$}; + \filldraw[black] (0,0) node[below]{$O$}; + \draw[black, thick, domain=0.25:e] plot (\x,{ln(\x)}); + \filldraw[black] (1.5,-1.5) node{$\ln x$}; + \draw[black, thick, domain=-1:1] plot (\x,{exp(\x)}); + \filldraw[black] (-1.5,1.5) node{$e^x$}; + \draw[black, densely dashed] (-2,-2) -- (e-0.5,e-0.5) node[above]{$y=x$}; +\end{tikzpicture} + +\subparagraph{函数绝对值} \leavevmode \medskip + +保留$f(x)$函数值在$[0,\infty]$的部分，并对$[-\infty,0]$部分进行上下对称： + +\begin{tikzpicture} + \draw[-latex](-2,0) -- (2,0) node[below]{$x$}; + \draw[-latex](0,-2) -- (0,2) node[above]{$y$}; + \filldraw[black] (0,0) node[below]{$O$}; + \draw[black, thick, domain=1:1.5] plot (\x,\x*\x-1); + \draw[black, thick, densely dashed, domain=-1:1] plot (\x,\x*\x-1); + \draw[black, thick, domain=-1:1] plot (\x,-\x*\x+1); + \draw[black, thick, domain=-1.5:-1] plot (\x,\x*\x-1); + \filldraw[black] (0,1.5) node{$\vert x^2-1\vert$}; +\end{tikzpicture} + +\subparagraph{自变量绝对值} \leavevmode \medskip + +先只保留$f(x)$定义域在$[0,\infty]$的部分，然后在$[-\infty,0]$部分使用$[0,\infty]$的部分进行左右对称： + +\begin{tikzpicture} + \draw[-latex](-2,0) -- (2,0) node[below]{$x$}; + \draw[-latex](0,-1) -- (0,3) node[above]{$y$}; + \filldraw[black] (0,0) node[below]{$O$}; + \draw[black, thick, domain=0:1.25] plot (\x,{-pow(\x,3)+1}); + \draw[black, thick, densely dashed, domain=-1.25:0] plot (\x,{-pow(\x,3)+1}); + \draw[black, thick, domain=-1.25:0] plot (\x,{-pow(-\x,3)+1}); + \filldraw[black] (1,2) node{$-\vert x\vert^3+1$}; +\end{tikzpicture} + +\paragraph{伸缩变换} +\subparagraph{水平伸缩} \leavevmode \medskip + +纵坐标不变，当$k>1$时，$y=f(kx)$是$y=f(x)$缩短k倍得到，当$00$，周期为$2\pi$。 + +在直角坐标系下表达式：$x^2+y^2+a\cdot x=a\cdot\sqrt{x^2+y^2}$和$x^2+y^2-a\cdot x=a\cdot\sqrt{x^2+y^2}$。 + +参数方程：$x=a\cdot(2\cdot\cos(t)-cos(2\cdot t))$与$y=a\cdot(2\cdot\sin(t)-sin(2\cdot t))$ + +\begin{tikzpicture}[scale=0.8] + \draw[-latex](-5,0) -- (1,0) node[below]{$x$}; + \draw[-latex](0,-3) -- (0,3) node[above]{$y$}; + \draw[black, thick, domain=0:360,smooth,variable=\t, samples=300] plot ({\t}:{2*(1-cos(\t))}); + \filldraw[black] (0,0) node[below]{$O$}; +\end{tikzpicture} + +水平心形线对应参数： \leavevmode \medskip + +\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} + \hline + $\theta$ & $0$ & $\dfrac{\pi}{6}$ & $\dfrac{\pi}{4}$ & $\dfrac{\pi}{3}$ & $\dfrac{\pi}{2}$ & $\dfrac{2\pi}{3}$ & $\dfrac{3\pi}{4}$ & $\dfrac{5\pi}{6}$ & $\pi$ \\ \hline + $r$ & $0$ & $\dfrac{2-\sqrt{3}}{2}a$ & $\dfrac{2-\sqrt{2}}{2}a$ & $\dfrac{1}{2}a$ & $a$ & $\dfrac{3}{2}a$ & $\dfrac{2+\sqrt{2}}{2}a$ & $\dfrac{2+\sqrt{3}}{2}a$ & $2a$ \\ + \hline +\end{tabular} + +\paragraph{玫瑰线} \leavevmode \medskip + +表达式：$r=a\sin(n\theta)$，周期为$\dfrac{2\pi}{n}$。 + +当$n$为3时为三叶，2时为四叶，$\dfrac{3}{2}$为六叶。三叶时周期为$\dfrac{2\pi}{3}$。 + +直角坐标系下表达式：$x=a\cdot\sin(n\cdot\theta)\cdot\cos(\theta)$与$y=a\cdot\sin(n\cdot)\cdot\sin(\theta)$ + +\begin{tikzpicture}[scale=0.8] + \draw[-latex](-3,0) -- (3,0) node[below]{$x$}; + \draw[-latex](0,-pi) -- (0,pi/2) node[above]{$y$}; + \draw[domain=0:180,samples=100] plot (\x:{3*sin(\x*3)}); + \filldraw[black] (0,0) node[below]{$O$}; +\end{tikzpicture} + +三叶玫瑰线对应参数： \leavevmode \medskip + +\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} + \hline + $\theta$ & $0$ & $\dfrac{\pi}{12}$ & $\dfrac{\pi}{6}$ & $\dfrac{\pi}{4}$ & $\dfrac{\pi}{3}$ & $\dfrac{5\pi}{12}$ & $\dfrac{\pi}{2}$ & $\dfrac{7\pi}{12}$ & $\dfrac{3\pi}{2}$ \\ \hline + $r$ & $0$ & $\dfrac{\sqrt{2}}{2}a$ & $a$ & $\dfrac{\sqrt{2}}{2}a$ & $0$ & $-frac{\sqrt{2}}{2}a$ & $-a$ & $-frac{\sqrt{2}}{2}a$ & $0$ \\ + \hline +\end{tabular} + +\paragraph{阿基米德螺线} \leavevmode \medskip + +表达式：$r=a\theta$，其中$a>0$，$\theta\geqslant 0$由0开始增大时$r$也在不断增大。 + +\begin{tikzpicture}[scale=0.2] + \draw[-latex](-10,0) -- (15,0) node[below]{$x$}; + \draw[-latex](0,-15) -- (0,10) node[above]{$y$}; + \draw[domain=0:720,samples=100] plot (\x:{rad(\x)}); + \filldraw[black] (0,0) node[below]{$O$}; +\end{tikzpicture} + +\paragraph{伯努利双扭线} \leavevmode \medskip + +设定线段$F_1F_2$长度为$2a$，伯努利双扭线上所有点M满足$MF_1\cdot MF_2=a^2$。 + +表达式：$r^2=2a^2\cos 2\theta$或$r^2=2a^2\sin 2\theta$。 + +直角坐标系下表达式：$(x^2+y^2)^2=2a^2(x^2-y^2)$。 + +\begin{tikzpicture}[scale=1.5] + \draw[-latex](-1.25,0) -- (1.25,0) node[below]{$x$}; + \draw[-latex](0,-1) -- (0,1) node[above]{$y$}; + \draw[domain=-45:45,samples=100] plot (\x:{sqrt(cos(\x*2))}); + \draw[domain=-45:45,samples=100] plot (\x:{-sqrt(cos(\x*2))}); + \filldraw[black] (0,0) node[below]{$O$}; + \filldraw[black] (0,-1) node{$r^2=2a^2\cos 2\theta$}; +\end{tikzpicture} +\hspace{2.5em} +\begin{tikzpicture}[scale=1.5] + \draw[-latex](-1.25,0) -- (1.25,0) node[below]{$x$}; + \draw[-latex](0,-1) -- (0,1) node[above]{$y$}; + \draw[domain=0:90,samples=100] plot (\x:{sqrt(sin(\x*2))}); + \draw[domain=0:90,samples=100] plot (\x:{-sqrt(sin(\x*2))}); + \filldraw[black] (0,0) node[below]{$O$}; + \filldraw[black] (0,-1) node{$r^2=2a^2\sin 2\theta$}; +\end{tikzpicture} + +\subsubsection{直角坐标系下画极坐标图像} + +令$\theta$为$x$，令$r$为$y$。如心形线$r=2(1-\cos\theta)$： + +\begin{tikzpicture}[scale=0.5] + \draw[-latex](-5,0) -- (5,0) node[below]{$x$}; + \draw[-latex](0,-0.5) -- (0,5) node[above]{$y$}; + \draw[black, thick, smooth, domain=-5:5] plot (\x,{2*(1-cos(\x r))}) node at (0,4){$2(1-\cos(\theta))$}; + \filldraw[black] (0,0) node[below]{$O$}; +\end{tikzpicture} + +按直角坐标系的图就可以计算出对应的$r$从而能画出对应的图像。 + +\subsection{参数法} + +如果很难使用直角坐标或极坐标来表示曲线，那么可以引入一个新的变量参数来表示，即得到参数方程：$ + \left\{ + \begin{array}{lcl} + x=x(t) \\ + y=y(t) + \end{array} + \right. +$ + +\subsubsection{摆线（平摆线）} + +摆线，又称旋轮线、圆滚线，是一个圆沿一条直线滚动时，圆边界上一定点所形成的轨迹。 + +令圆半径为$r$，摆点与圆心所成直线所转动夹角对应弧度为$t$，其中$t\in[0,2\pi]$，所对应参数方程为： + +$$ + \left\{ + \begin{array}{lcl} + x=r(t-\sin t) \\ + y=r(1-\cos t) + \end{array} + \right. +$$ + +\subsubsection{星形线（内摆线）} + +与半径为$r$的定圆内切的半径为$\dfrac{r}{4}$的动圆沿定圆无滑动地滚动，动圆上一点的轨迹称为星形线。 + +令$t$表示摆点与圆心的连线所构成夹角的弧度，其中$t\in[0,2\pi]$，得对应参数方程： + +$$ + \left\{ + \begin{array}{lcl} + x=r\cos^3t \\ + y=r\sin^3t + \end{array} + \right. +$$ + +由$\cos^2t+\sin^2t=1$得到直角坐标方程：$x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=r^{\frac{2}{3}}$ + +\section{常用基础知识} +\subsection{数列} +\subsubsection{等差数列} + +首项为$a_1$，公差为$d(d\neq 0)$的数列：$a_1,a_1+d,a_1+2d\cdots a_1+(n-1)d$。 + +通项公式：$a_n=a_1+(n-1)d$。 + +前$n$项和：$S_n=\dfrac{n}{2}[2a_1+(n-1)d]=\dfrac{n}{2}(a_1+a_n)$ + +\subsubsection{等比数列} + +首项为$a_1$，公比为$q(q\neq 0)$的数列：$a_1,a_1q,a_1a^2\cdots a_1q^{n-1}$。 + +通项公式：$a_n=a_1q^{n-1}$。 + +前$n$项和：$S_n= + \left\{ + \begin{array}{lcl} + na_1, & & r=1 \\ + \dfrac{a_1(1-r^n)}{1-r}, & & r\neq 1 + \end{array} + \right.$ + +若首项为1，则$1+r+r^2+\cdots+r^{n-1}=\dfrac{1-r^n}{1-r}(r\neq 1)$。 + +则对无穷的极限为$\dfrac{1}{1-r}$。 + +\subsubsection{常见数列前\texorpdfstring{$n$}项和} + +\begin{enumerate} + \item $\sum_{k=1}^nk=1+2+\cdots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}$。 + \item $\sum_{k=1}^nk^2=1^2+2^2+\cdots+n^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$。 + \item $\sum_{k=1}^n\dfrac{1}{k(k+1)}=\dfrac{1}{1\times 2}+\dfrac{1}{2\times 3}+\cdots+\dfrac{1}{n(n+1)}=\dfrac{n}{n+1}$。 +\end{enumerate} + +\subsection{三角函数} + +\subsubsection{基本关系} + +$\csc\alpha=\dfrac{1}{\sin\alpha},\sec\alpha=\dfrac{1}{\cos\alpha},\cot\alpha=\dfrac{1}{\tan\alpha},\tan\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha},\cot\alpha=\dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$。 + +$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1,1+\tan^2\alpha=\sec^2\alpha,1+\cot^2\alpha=\csc^2\alpha$。 + +\subsubsection{诱导公式} + +奇变偶不变，符号看象限。奇指前面添加的常数项是否为$\pi$的整数倍，是就需要改变函数，看象限指添加了常数后整体的符号看函数所在象限的符号。 + +\begin{enumerate} + \item $\sin(\dfrac{\pi}{2}\pm\alpha)=\cos\alpha$ + \item $\cos(\dfrac{\pi}{2}\pm\alpha)=\mp\sin\alpha$ + \item $\sin(\pi\pm\alpha)=\mp\sin\alpha$ + \item $\cos(\pi\pm\alpha)=-\cos\alpha$ +\end{enumerate} + +\subsubsection{倍角公式} + +$\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha,\cos 2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=1-2\sin^2\alpha=2\cos^2\alpha-1$。 + +$\sin 3\alpha=-4\sin^3\alpha_3\sin\alpha,\cos 3\alpha=4\cos^3\alpha-3\cos\alpha$。 + +$\tan 2\alpha=\dfrac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha},\cot 2\alpha=\dfrac{\cot^2\alpha-1}{2\cot\alpha}$。 + +\subsubsection{半角公式} + +$\sin^2\dfrac{\alpha}{2}=\dfrac{1}{2}(1-\cos\alpha),\cos^2\dfrac{\alpha}{2}=\dfrac{1}{2}(1+\cos\alpha)\text{（降幂公式）}$。 + +$\sin\dfrac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\dfrac{1-\cos\alpha}{2}},\cos\dfrac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\dfrac{1+\cos\alpha}{2}}$。 + +$\tan\dfrac{\alpha}{2}=\dfrac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}=\dfrac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}=\pm\sqrt{\dfrac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}}=\dfrac{1}{\cot\dfrac{\alpha}{2}}$。 + +\subsubsection{和差公式} + +$\sin$和$\tan$的和差公式更容易考到。 + +$\sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta,\cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta$。 + +$\tan(\alpha\pm\beta)=\dfrac{\tan\alpha\pm\tan\beta}{1\mp\tan\alpha\tan\beta},\cot(\alpha\pm\beta)=\dfrac{\cot\alpha\cot\beta\mp 1}{\cot\beta\pm\cot\alpha}$。 + +\subsubsection{积化和差公式} + +和差化积与积化和差不需要背。 + +$\sin\alpha\cos\beta=\dfrac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)],\cos\alpha\sin\beta=\dfrac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)]$。 + +$\cos\alpha\cos\beta=\dfrac{1}{2}[\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)],\sin\alpha\sin\beta=\dfrac{1}{2}[\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)]$。 + +\subsubsection{和差化积公式} + +$\sin\alpha+\sin\beta=2\sin\dfrac{\alpha+\beta}{2}\cos\dfrac{\alpha-\beta}{2},\sin\alpha-\sin\beta=2\sin\dfrac{\alpha-\beta}{2}\cos\dfrac{\alpha+\beta}{2}$。 + +$\cos\alpha+\cos\beta=2\cos\dfrac{\alpha+\beta}{2}\cos\dfrac{\alpha-\beta}{2},\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\dfrac{\alpha+\beta}{2}\sin\dfrac{\alpha-\beta}{2}$。 + +\subsubsection{万能公式} + +一般不会用到。 + +若$u=\tan\dfrac{x}{2}(-\pi0$。 + +首先因为证明中间项无法进行直接处理，又看到是一个对数，所以进行通分：$\ln(1+\dfrac{1}{x})=\ln\dfrac{x+1}{x}=\ln(x+1)-\ln x$。 + +又因为是证明该中间式在一个区间，所以很明显会想到拉格朗日中值定理：$f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)$。 + +得到原式$=f'(\xi)=(\ln\xi)'=\dfrac{1}{\xi}$，又中值定理下$a<\xi0$，所以$\dfrac{1}{b}<\dfrac{1}{\xi}<\dfrac{1}{a}$，得到$0<\dfrac{1}{x+1}<\dfrac{1}{\xi}<\dfrac{1}{x}$。 + +所以原式$\dfrac{1}{x+1}<\ln(1+\dfrac{1}{x})<\dfrac{1}{x}$成立。 + +\subsection{一元二次方程基础} + +\begin{enumerate} + \item 基本格式为$ax^2+bx+c=0(a\neq 0)$。 + \item 如果$\Delta=\sqrt{b^2-4ac}\geqslant 0$，根的公式为$x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，其中如果等于0为唯一实根，如果大于0为二重实根，如果$\Delta<0$则得到共轭复数根$-\dfrac{b}{2a}\pm\dfrac{\sqrt{4ac-b^2}}{2a}i$。 + \item 根与系数的关系（韦达定理）为$x_1+x_2=-\dfrac{b}{a},x_1x_2=\dfrac{c}{a}$。 + \item 抛物线顶点为$(-\dfrac{b}{2a},c-\dfrac{b^2}{4a})$。 +\end{enumerate} + +\subsection{因式分解公式} + +重点为3、4、7和11的公式。 + +\begin{enumerate} + \item $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$。 + \item $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$。 + \item $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$。 + \item $(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$。 + \item $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$。 + \item $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$。 + \item $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$。 + \item $n$为正整数时，$a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+\cdots+ab^{n-2}+b^{n-1})$。 + \item $n$为正偶数时，$a^n-b^n=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+\cdots+ab^{n-2}-b^{n-1})$。 + \item $n$为正奇数时，$a^n+b^n=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+\cdots-ab^{n-2}+b^{n-1})$。 + \item 二项式定理$(a+b)^n=\sum_{k=0}^nC_n^ka^{n-k}b^k=a^n+na^{n-1}b+\dfrac{n(n-1)}{2!}a^{n-2}b^2+\cdots+\dfrac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!}a^{n-k}b^k+\cdots+nab^{n-1}+b^n$。 +\end{enumerate} + +对于二项式定理需要记忆，后面的幂比较简单，而前面的系数比较困难，可以使用杨辉三角形来记忆： + + +\begin{tikzpicture}[scale=0.9] + \node[black] at (0,0) {$C_0^0$}; + \node[black] at (-1,-1) {$C_1^0$}; + \node[black] at (0,-1) {$C_1^1$}; + \node[black] at (-2,-2) {$C_2^0$}; + \node[black] at (-1,-2) {$C_2^1$}; + \node[black] at (-0,-2) {$C_2^2$}; + \node[black] at (-3,-3) {$C_3^0$}; + \node[black] at (-2,-3) {$C_3^1$}; + \node[black] at (-1,-3) {$C_3^2$}; + \node[black] at (-0,-3) {$C_3^3$}; + \node[black] at (-4,-4) {$C_4^0$}; + \node[black] at (-3,-4) {$C_4^1$}; + \node[black] at (-2,-4) {$C_4^2$}; + \node[black] at (-1,-4) {$C_4^3$}; + \node[black] at (-0,-4) {$C_4^4$}; +\end{tikzpicture} +\hspace{2.5em} +\begin{tikzpicture}[scale=0.9] + \node[black] (0) at (0,0) {1}; + \node[black] (1) at (-1,-1) {1}; + \node[black] (2) at (1,-1) {1}; + \node[black] (3) at (-2,-2) {1}; + \node[black] (4) at (0,-2) {2}; + \node[black] (5) at (2,-2) {1}; + \node[black] (6) at (-3,-3) {1}; + \node[black] (7) at (-1,-3) {3}; + \node[black] (8) at (1,-3) {3}; + \node[black] (9) at (3,-3) {1}; + \node[black] (10) at (-4,-4) {1}; + \node[black] (11) at (-2,-4) {4}; + \node[black] (12) at (0,-4) {6}; + \node[black] (13) at (2,-4) {4}; + \node[black] (14) at (4,-4) {1}; + \draw[-,thick] (0) to (1); + \draw[-,thick] (0) to (2); + \draw[-,thick] (1) to (3); + \draw[-,thick] (1) to (4); + \draw[-,thick] (2) to (4); + \draw[-,thick] (2) to (5); + \draw[-,thick] (3) to (6); + \draw[-,thick] (3) to (7); + \draw[-,thick] (4) to (7); + \draw[-,thick] (4) to (8); + \draw[-,thick] (5) to (8); + \draw[-,thick] (5) to (9); + \draw[-,thick] (6) to (10); + \draw[-,thick] (6) to (11); + \draw[-,thick] (7) to (11); + \draw[-,thick] (7) to (12); + \draw[-,thick] (8) to (12); + \draw[-,thick] (8) to (13); + \draw[-,thick] (9) to (13); + \draw[-,thick] (9) to (14); +\end{tikzpicture} + +\subsection{阶乘与双阶乘} + +\begin{enumerate} + \item $n!=1\times 2\times 3\times\cdots\times n$，其中$0!=1$。 + \item $(2n)!!=2\times 4\times 6\times\cdots\times(2n)=2^n\cdot n!$。 + \item $(2n-1)!!=1\times 3\times 5\times\cdots\times(2n-1)$。 +\end{enumerate} + +以后的华里士公式（点火公式）会使用到，如下面的题目： + +\textbf{例题5：}计算$\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^{10}x\textrm{d}x$与$\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^9x\textrm{d}x$。\medskip + +原式1为偶数次幂，所以$=\dfrac{9}{10}\cdot\dfrac{7}{8}\cdot\dfrac{5}{6}\cdot\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\pi}{2}=\dfrac{\pi}{2}\cdot\dfrac{9!!}{10!!}$。\medskip + +原式2为奇数次幂，所以$=\dfrac{8}{9}\cdot\dfrac{6}{7}\cdot\dfrac{4}{5}\cdot\dfrac{2}{3}=\dfrac{8!!}{9!!}$ + +\subsection{常用不等式} + +非常重要。 + +\subsubsection{绝对值不等式} + +若$a$，$b$为实数，则： + +\begin{enumerate} + \item $\vert a\pm b\vert\leqslant\vert a\vert+\vert b\vert$。 + \item 推广公式一到离散区间：$\vert a_1\pm a_2\pm a_3\pm\cdots\pm a_n\vert\leqslant\vert a_1\vert+\vert a_2\vert+\cdots+\vert a_n\vert$。 + \item 推广公式一到连续区间且$f(x)$在$[a,b](a0$： + +\begin{enumerate} + \item $\sqrt{ab}\leqslant\dfrac{a+b}{2}\leqslant\sqrt{\dfrac{a^2+b^2}{2}}$。 + \item $\sqrt[3]{abc}\leqslant\dfrac{a+b+c}{3}\leqslant\dfrac{a^2+b^2+c^2}{3}$。 +\end{enumerate} + +\textbf{例题6：}证明函数$f(x)=\dfrac{x}{1+x^2}$在$(-\infty,+\infty)$内有界。 + +可以使用极限，若极限存在则函数有界，这里使用有界性定义与不等式来完成。 + +\ding{172}当$x=0$时，$f(0)=\dfrac{0}{1}$，有界。 + +\ding{173}当$x\neq 0$时，原式分式上下都有$x$，所以简化公式：$f(x)=\dfrac{\dfrac{x}{x}}{\dfrac{1+x^2}{x}}=\dfrac{1}{\dfrac{1}{x}+x}$。 + +$\because$需要证明有界性，以及根号不等式下需要参数大于0，所以需要证明$\vert f(x)\vert=\dfrac{1}{\dfrac{1}{\vert x\vert}+\vert x\vert}\leqslant M$ + +又$\because\dfrac{a+b}{2}\geqslant\sqrt{ab}$，$\therefore \dfrac{\dfrac{1}{\vert x\vert}+\vert x\vert}{2}\geqslant\sqrt{\dfrac{1}{\vert x\vert}\cdot\vert x\vert}=1$ + +$\therefore\vert f(x)\vert=\dfrac{1}{\dfrac{1}{\vert x\vert}+\vert x\vert}\leqslant\dfrac{1}{2}$。 + +故整个函数在$R$上有界。 + +\subsubsection{指数不等式} + +设$a>b>0$，则$ +\left\{ +\begin{array}{lcl} + a^n>b^n, & & \text{当}n>0\text{时} \\ + a^n0)$。 + \item $\arctan x\leqslant x\leqslant\arcsin x(0\leqslant x\leqslant 1)$。 +\end{enumerate} + +\subsubsection{对数不等式} + +\begin{enumerate} + \item $x-1\geqslant\ln x(x>0)$。 + \item $\dfrac{1}{1+x}<\ln(1+\dfrac{1}{x})<\dfrac{1}{x}(x>0)$。 +\end{enumerate} + +\end{document} diff --git a/advanced-math/knowledge/1-function-and-limit/function-and-limit.tex b/advanced-math/knowledge/1-function-and-limit/function-and-limit.tex index a975f11..4b5066d 100644 --- a/advanced-math/knowledge/1-function-and-limit/function-and-limit.tex +++ b/advanced-math/knowledge/1-function-and-limit/function-and-limit.tex @@ -1,1115 +1,1115 @@ -\documentclass[UTF8, 12pt]{ctexart} -\usepackage{xcolor} -% 使用颜色 -\definecolor{orange}{RGB}{255,127,0} -\definecolor{violet}{RGB}{192,0,255} -\definecolor{aqua}{RGB}{0,255,255} -\usepackage{geometry} -\setcounter{tocdepth}{5} -\setcounter{secnumdepth}{5} -% 设置四级目录与标题 -\geometry{papersize={21cm,29.7cm}} -% 默认大小为A4 -\geometry{left=3.18cm,right=3.18cm,top=2.54cm,bottom=2.54cm} -% 默认页边距为1英尺与1.25英尺 -\usepackage{indentfirst} -\setlength{\parindent}{2.45em} -% 首行缩进2个中文字符 -\usepackage{amssymb} -% 因为所以与其他数学拓展 -\usepackage{amsmath} -% 数学公式 -\usepackage{setspace} -\renewcommand{\baselinestretch}{1.5} -% 1.5倍行距 -\usepackage{pifont} -% 圆圈序号 -\usepackage{tikz} -% 绘图 -\usepackage{array} -% 设置表格行距 -\usepackage[colorlinks,linkcolor=black,urlcolor=blue]{hyperref} -% 超链接 -\author{Didnelpsun} -\title{函数与极限} -\date{} -\begin{document} -\renewcommand{\arraystretch}{1.5} -% 表格高1.5倍 -\maketitle -\pagestyle{empty} -\thispagestyle{empty} -\tableofcontents -\thispagestyle{empty} -\newpage -\pagestyle{plain} -\setcounter{page}{1} -\section{映射与函数} -\subsection{邻域} -\subsubsection{一维} - -邻域\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}以点$x_0$为中心的任何开区间为点$x_0$的邻域，记为$U(x_0)$。 - -$\delta$邻域\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}设$\delta$为一正数，则称开区间$(x_0-\delta,x_0+\delta)$为点$x_0$的$\delta$邻域，记作$U(x_0,\delta)$。$x_0$称为邻域的中心，$\delta$为邻域的半径。 - -去心$\delta$邻域就是去除$x_0$的$\delta$邻域，记为$\mathring{U}(x_0,\delta)$，左$\delta$邻域就是左侧的去心$\delta$邻域，记为$U^+(x_0,\delta)$，右$\delta$邻域就是右侧的去心$\delta$邻域，记为$U^-(x_0,\delta)$。 - -\subsubsection{二维} - -邻域\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}设点$P_0(x_0,y_0)$为$xOy$平面上的一点，$\delta$为某一个正数，与点$P_0(x_0,y_0)$的距离小于$\delta$的点$P(x,y)$的全体，称为点$P_0$的$\delta$邻域，记为$U(P_0,\delta)$。 - -同理可以得到去心$\delta$邻域的定义。 - -$\delta$邻域的几何意义：以$P_0(x_0,y_0)$为中心，以$\delta>0$为半径的圆内部所有的点。 - -函数的邻域就是一个区间，所以比如函数在某点的某邻域内有定义，就是说明函数在这个点的附近有定义，这个附近的距离没有必要说明。 - -\subsection{函数的概念} -\subsubsection{函数} -\begin{itemize} - \item 函数即$y=f(x),x\in D$，x为自变量，y为因变量，D为定义域 - \item 一个x对应一个y，一个y可能对应多个x。 -\end{itemize} -\subsubsection{反函数} -$y=f(x)$，定义域为$D$，值域为$R$，若对于每一个$y\in R$，必然存在$x\in D$使$y=f(x)$成立，则可以定义一个新函数$x=\psi(y)$，这个函数就是$y=f(x)$的\textbf{反函数}，一般记作$x=f^{-1}(y)$，其定义域为$R$，值域为$D$，对于反函数，原来的函数称为\textbf{直接函数}。 -\begin{enumerate} - \item \textcolor{red}{严格单调}函数必然有反函数，即函数导数恒正或恒负必然有反函数。 - \item $x=f^{-1}(y)$与$y=f(x)$在同一坐标系中完全重合。 - \item $y=f^{-1}(x)$与$y=f(x)$关于$y=x$对称。 - \item $f[f^{-1}(x)]$或$f[\psi(x)]$变为x，称为湮灭。 -\end{enumerate} -\subsubsection{复合函数} -设$y=f(u)$的定义域为$D_1$，函数$u=g(x)$在$D$上有定义且$g(D)\in D$，则由$y=f[g(x)],x\in D$确定的函数称为由函数$u=g(x)$和函数$y=f(u)$构成的复合函数，定义域为D，u为中间变量。 - -\textbf{例题：}设$f(x)=x^2$，$f[\psi(x)]=-x^2+2x+3$，且$\psi(x)\geqslant 0$，求$\psi(x)$以及定义域与值域。 - -广义化：$\because f(x)=x^2$，$\therefore f[\psi(x)]=\psi^2(x)=-x^2+2x+3$ - -又$\because\psi(x)\geqslant 0$， $\therefore\sqrt{\psi^2(x)}=\sqrt{-x^2+2x+3}=\psi(x)\geqslant 0$ - -$\therefore x\in[-1,3]$ - -$\therefore\dfrac{\rm{d}\psi(\textit{x})}{\rm{d}\textit{x}}=(-x^2+2x+3)'=-2x+2=0$ - -$\therefore x=1$，驻点为1 - -又$\because(-x^2+2x+3)''=-2<0$ - -$\therefore$驻点为1时为最大值点，最大值为$\psi(1)=2$ - -又$\because\psi(-1)=\psi(3)=0$，$\therefore$最小值为0 - -$\therefore\psi(x)\in[0,2]$ - -\textcolor{orange}{注意}：$\sqrt{-x^2+2x+3}$为什么最值与$-x^2+2x+3$一致？ - -\textbf{例题：}求函数$y=f(x)=\ln(x+\sqrt{x^2+1})$的反函数$f^{-1}(x)$的表达式及其定义域 - -首先研究$f(x)$本身，因为$\ln(x)$的定义域必然要求大于0，而任意实数x都有下面不等式成立： - -$x+\sqrt{x^2+1}>x+\vert x\vert \geqslant 0$，所以$x\in R$。 - -而研究其奇偶性： - -$f(-x)=\ln(-x+\sqrt{x^2+1})=\ln(\dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}+x})=-\ln(x+\sqrt{x^2+1})=-f(x)$ - -所以该函数为奇函数。 - -对其求单调性，即通过链式法则求导： - -$\dfrac{\rm{d}\textit{y}}{\rm{d}\textit{x}}=\dfrac{1}{x+\sqrt{x^2+1}}\cdot (1+\dfrac{2x}{2\sqrt{x^2+1}})=\dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}}>0$。\medskip - -所以该函数严格单调增。 - -然后求$y$的反函数： - -$\because y=\ln(x+\sqrt{x^2+1})$ - -$e^y=e^{\ln(x+\sqrt{x^2+1})}=x+\sqrt{x^2+1}$ - -$ - \begin{aligned} - \because -y & =-\ln(x+\sqrt{x^2+1}) \\ - & =\ln(\dfrac{1}{x+\sqrt{x^2+1}}) \\ - & =\ln(\sqrt{x^2+1}-x) \\ - e^{-y} & =\sqrt{x^2+1}-x - \end{aligned} -$ - -$ - \begin{aligned} - \therefore e^y-e^{-y} & =2x \\ - x & =\dfrac{e^y-e^{-y}}{2} - \end{aligned} -$ - -解出了用x表示y的函数表达$x=f^{-1}(y)$，即反函数，则$f^{-1}(x)=\dfrac{e^x-e^{-x}}{2}$ - -这种曲线为一种常见曲线： - -\begin{itemize} - \item $\dfrac{e^x-e^{-x}}{2}$：双曲正弦。 - \item $\dfrac{e^x+e^{-x}}{2}$：双曲余弦。（为一种悬链线） - \item $\ln(x+\sqrt{x^2+1})$：反双曲正弦。 - \item $\ln(x+\sqrt{x^2-1})$：反双曲余弦。 -\end{itemize} - -\textbf{例题3：}设$ - f(x)=\left\{ - \begin{array}{lcl} - \ln\sqrt{x}, & & x\geqslant 1 \\ - 2x-1, & & x< 1 - \end{array} - \right. -$，求$f[f(x)]$ - -首先广义化：$ - f[f(x)]=\left\{ - \begin{array}{lcl} - \ln\sqrt{f(x)}, & & f(x)\geqslant 1 \\ - 2f(x)-1, & & x<1 - \end{array} - \right. -$ - -然后画图：\medskip - -\begin{tikzpicture}[domain=-1:9.5] - \draw[-latex](-1.5,0) -- (9.5,0) node[below]{$x$}; - \draw[-latex](0,-1.5) -- (0, 1.5) node[above]{$y$}; - \draw[very thin, gray, densely dashed](-1.5,1.5)grid(9.5,-1.5); - \draw[black, thick](-0.25,-1.5) -- (1,1); - \draw[black, thick,domain=1:9.5] plot (\x, {ln(sqrt(\x))}); - \draw[blue, densely dashed](-1.5,1) -- (9.5,1) node[below]{$x=1$}; - \filldraw[black] (1,1) circle (2pt) node[above]{$(1,1)$}; - \filldraw[black] (e^2,1) circle (2pt) node[above]{$(e^2,1)$}; - \draw[densely dashed](1,1) -- (1, 0) node[below]{$1$}; - \draw[densely dashed](e^2,1) -- (e^2,0) node[below]{$e^2$}; - \filldraw[black] (0,0) node[below]{$O$}; -\end{tikzpicture} - -所以将定义域分为三段：$[-\infty ,1],[1,e^2],[e^2, +\infty]$，然后根据不同定义域对应的不同函数再代回$f[f(x)]$： - -$$ - f[f(x)]=\left\{ - \begin{array}{lcl} - \ln\sqrt{\ln\sqrt{x}}, & & x\geqslant e^2 \\ - \ln x-2, & & 1\geqslant x0 & \Rightarrow & (x_1-x_2)[f(x_1)-f(x_2)]>0 & \Rightarrow & f(x)\nearrow \\ - \dfrac{\rm{d}\textit{y}}{\rm{d}\textit{x}}<0 & \Rightarrow & (x_1-x_2)[f(x_1)-f(x_2)]<0 & \Rightarrow & f(x)\searrow - \end{matrix} -$ - -\subsubsection{奇偶性} - -\begin{enumerate} - \item 奇函数：关于原点对称，$f(-x)=-f(x)$。 - \item 偶函数：关于y轴对称，$f(-x)=f(x)$。 - \item 对于定义在$[-l,l]$上的任意函数$f(x)$，$F_1(x)=f(x)-f(-x)$必为奇函数，$F_2(x)=f(x)+f(-x)$必为偶函数。可以参考上面所说的双曲正弦与双曲余弦函数。 - \item 若奇函数在0处有定义，那么$f(0)=0$。 - \item 若偶函数在0处存在导数，那么$f'(0)=0$，即x=0，曲线必然水平，即导数为0。 - \item 若函数$y=f(x)$的函数关于直线$x=T$对称的充分必要条件是$f(x)=f(2T-x)/f(x+T)=f(x-T)$。（令$T-x=t$进行换元计算得到） -\end{enumerate} - -\subsubsection{周期性} - -$f(x+T)=f(x)$，其中T为周期。 \medskip - -\subsubsection{重要结论} - -\begin{enumerate} - \item 若$f(x)$为可导的偶函数，则$f'(x)$为奇函数。 - \item 若$f(x)$为可导的奇函数，则$f'(x)$为偶函数。 - \item 若$f(x)$为周期函数，则$f'(x)$也为周期函数且周期不变。 - \item 连续的奇函数的一切原函数都是偶函数。 - \item 连续的偶函数的原函数中仅有一个原函数是奇函数。 - \item 若连续函数$f(x)$以T为周期且$\int_{0}^{T}f(x)\rm{d}\textit{x}=0$，则$f(x)$的一切原函数也以T为周期。 - \item 若$f(x)$在有限区间$(a,b)$中可导且$f'(x)$有界，则$f(x)$在$(a,b)$有界。（某一函数在固定区间内变化率是有界的，则变化范围是有界的） -\end{enumerate} - -\textcolor{orange}{注意}：0和1处的函数定义应该注意。 - -如当a为0时：$f(b)-f(a)=f'(\xi )(b-a)=f(b)=bf'(\xi)$ - -如$f(x)>xf(1)$变形为$\dfrac{f(x)}{x}>f(1)$，辅助函数$F(x)=\dfrac{f(x)}{x}$ - -所以加减法警惕0，乘除法警惕1。 - -\section{数列的极限} - -极限就是一个无限逼近某个值的过程。如$\dfrac{n}{n+1}$这个分式在$n$无限增大的时候会无限逼近1，这个1叫做极限值，所以写成$\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{n}{n+1}=1$。 - -所以从另一个方面更精确的指出一个数$N>0$，使得数列下标大于$N$的项与极限值之间的距离始终保持在$(0,\varepsilon)$之间，即$\dfrac{1}{n+1}<\varepsilon$，即$n>\dfrac{1}{\varepsilon}-1$，所以任意正数都能得到从$N>\dfrac{1}{\varepsilon}-1$项开始之后都有$\left\vert\dfrac{n}{n+1}-1\right\vert<\varepsilon$。 - -\subsection{定义} - -通过定义可以证明极限。 - -\subsubsection{数列极限定义} - -\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}设$\{x_n\}$为一数列，若存在常数$a$，对于不论任意小的$\varepsilon>0$，总存在正整数$N$，使$n>N$时，$\vert x_n-a\vert<\varepsilon$恒成立，则常数$a$为数列$\{x_n\}$的极限，或$\{x_n\}$收敛于$a$，记为：$\lim\limits_{x\to\infty}x_n=a$或$x_n\to a(n\to\infty)$。 - -常用语言（$\varepsilon-N$语言）：$\lim\limits_{x\to\infty}x_n=a\Leftrightarrow\forall\varepsilon>0,\exists N\in N_+$，当$n>N$时，恒有$\vert x_n-a\vert<\varepsilon$。 - -如果不存在该数$a$，则称数列$x_n$发散。 - -即无论给出多么小的$\varepsilon$，总可以找到一项从该项之后函数值与极限值之间的差小于$\varepsilon$，即更接近这个极限值而不是其他任何值，所以该数列趋向于极限值。 - -\subsubsection{极限证明} - -令$x_n$为通项，$a$为极限值，$\varepsilon$为任意正数。 - -\begin{enumerate} - \item 写出$\vert x_n-a|<\varepsilon$。 - \item 反解出项数$nN$就可以证明。 -\end{enumerate} - -\textbf{例题：}用定义证明$\lim\limits_{x\to\infty}\left[1+\dfrac{(-1)^n}{n}\right]=1$ - -证明： - -\ding{172}计算距离：$\left\vert 1+\dfrac{(-1)^n}{n}-1\right\vert=\left\vert\dfrac{(-1)^n}{n}\right\vert<\varepsilon$。 - -\ding{173}解得到：$\dfrac{1}{n}<\varepsilon$，反解为$n>\dfrac{1}{\varepsilon}$。 - -\ding{174}取整：$N=\left[\dfrac{1}{\varepsilon}\right]+1$。 - -$\therefore\forall\varepsilon>0$，当$n>N$时，就有$n>\dfrac{1}{\varepsilon}$，使得$\left\vert 1+\dfrac{(-1)^n}{n}-1\right\vert=\left\vert\dfrac{(-1)^n}{n}\right\vert<\varepsilon$。 - -$\therefore$证明完毕。 - -\textbf{例题：}用定义证明$\lim\limits_{n\to\infty}q^n=0$（$q$为常数且$\vert q\vert<1$）。 - -证明： - -\ding{172}$\vert q^n-0\vert<\varepsilon$。 - -\ding{173}$\vert q^n\vert<\varepsilon$，取对数进行反解$n\ln\vert q\vert<\ln\varepsilon$，又因为$\vert q\vert<1$，所以$\ln\vert q\vert<0$，所以得到$n>\dfrac{\ln\varepsilon}{\ln\vert q\vert}$。（若$\varepsilon>1$则$n$就是负数，这样条件必然成立） - -\ding{174}取$N=\left[\dfrac{\ln\varepsilon}{\ln\vert q\vert}\right]+1$。 - -$\therefore$当$n>N$时，必然$n>\dfrac{\ln\varepsilon}{\ln\vert q\vert}$，有$\vert q^n-0\vert<\varepsilon$。 - -故$\lim\limits_{n\to\infty}q^n=0$。 - -\subsubsection{数列绝对值} - -\textbf{例题：}证明若$\lim\limits_{x\to\infty}a_n=A$，则$\lim\limits_{x\to\infty}\vert a_n\vert=\vert A\vert$。 - -因为$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=A\Leftrightarrow\forall\varepsilon>0,\exists N>0,\text{当}n>N$，恒有$\vert a_n-A\vert<\varepsilon$。 - -又由重要不等式$\vert\vert a\vert-\vert b\vert\vert\leqslant\vert a-b\vert$，所以$\vert\vert a_n-\vert A\vert\vert\leqslant\varepsilon$。 - -所以恒成立，证明完毕。 - -从这个题推出：$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=0\Leftrightarrow\lim\limits_{n\to\infty}\vert a_n\vert=0$。所以如果我们以后需要证明某一数列极限为0，可以证明数列绝对值极限0，而数列绝对值绝对时大于等于0的，所以由夹逼准则，其中小的一头已经固定为0了，所以只用找另一个偏大的数列夹逼所证明数列就可以了。 - -\subsubsection{子数列} - -\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}从数列${a_n}:a_1,a_2,\cdots,a_n,\cdots$中选取无穷多项并按原来顺序组成的新数列就称为原数列的子列，记为$\{a_{n_k}\}:a_{n_1},a_{n_2},\cdots,a_{n_k},\cdots$。 - -若$n_k$分别取奇数和偶数，则得到奇数项数列与偶数项数列。 - -\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}若数列$\{a_n\}$收敛，则其任何子列$\{a_{n_k}\}$也收敛，且极限值相同。 - -所以对于其变式我们用到更多： - -\begin{enumerate} - \item 若一个数列$\{a_n\}$能找到一个发散的子列，那该数列发散。 - \item 若一个数列$\{a_n\}$能找到两个极限值不同的收敛子列，那么这个数列发散。 - \item 若一个数列$\{a_n\}$，则其奇数子列与偶数子列都收敛于同一个值。 -\end{enumerate} - -例如对于数列$\{(-1)^n\}$，能找到其奇数子列收敛于-1，偶数子列收敛于1，所以收敛值不同，原数列发散。 - -\subsection{性质} -\subsubsection{唯一性} - -\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}若数列$\{x_n\}$收敛于$a$，则$a$是唯一的。 - -证明： - -设$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=A$且$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=B$且$A\neq B$。 - -不如设$A>B$。任意取$\varepsilon=\dfrac{A-B}{2}>0$。 - -$\because\lim\limits_{n\to\infty}a_n=A$ - -$\therefore\exists N_1>0$，当$n>N_1$时，$\vert a_n-A\vert<\dfrac{A-B}{2}$。 - -得到$\dfrac{A+B}{2}0$，当$n>N_2$时，$\vert a_n-B\vert<\dfrac{A-B}{2}$。 - -得到$\dfrac{3A-B}{2}N$时，式子一二同时成立，而$A\neq B$，则这两个式子不可能同时成立，矛盾。 - -同理$A0$，使得$\vert a_n\vert\leqslant M$。 - -证明： - -由极限定义，取$\varepsilon=1$。 - -$\because\lim\limits_{n\to\infty}a_n=A$ - -$\therefore\exists N>0$，当$n>N$时，$\vert a_n-A\vert<1$。 - -$\because\text{重要不等式}\,\vert\vert a_n\vert-\vert A\vert\vert\leqslant\vert a_n-A\vert$ - -$\therefore n>N$时，$\vert\vert a_n\vert-\vert A\vert\vert<1\Rightarrow\vert a_n\vert<1+\vert A\vert$ - -取$M=\max\{\vert a_1\vert,\vert a_2\vert,\cdots,\vert a_N\vert,1+\vert A\vert\}$ - -$\forall n$，有$\vert a_n\vert\leqslant M$ - -所以数列极限存在则数列有界。 - -但是数列有界不一定极限存在，如$1+(-1)^n$。 - -\subsubsection{保号性} - -较重要。也称为脱帽法。 - -\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}若数列$\{x_n\}$存在极限$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=a\neq 0$，则存在正整数$N$，当$n>N$时$a_n$都与$a$同号。 - -简单来说，就是极限大于0，后面一部分数列大于0，极限小于0，后面一部分数列小于0。 - -推论，戴帽法：若数列$\{a_n\}$从某项开始$a_n\geqslant b$，且$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=a$，则$a\geqslant b$。这里一定要带等号。 - -证明： - -设$A>0$，取$\varepsilon=\dfrac{A}{2}>0$。 - -$\because\lim\limits_{n\to\infty}a_n=A$ - -$\therefore\exists N>0$，当$n>N$时，$\vert a_n-A\vert<\dfrac{A}{2}\Rightarrow a_n>\dfrac{A}{2}>0$ - -同理得证极限值小于0的情况。 - -\subsection{海涅定理（归结原则）} - -设$f(x)$在$\mathring{U}(x_0,\delta)$内有定义，则$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A$存在$\Leftrightarrow$对任何$\mathring{U}(x_0,\delta)$内以$x_0$为极限的数列$\{x_n\}(x_n\neq x_0)$，极限$\lim\limits_{n\to\infty}f(x_n)=A$存在。 - -海涅定理用来连接数列极限与函数极限。在极限存在下他们可以相互转换。 - -\textbf{例题：}求$\lim\limits_{n\to\infty}\left(n\tan\dfrac{1}{n}\right)^{n^2}$（$n\in N^+$）。 - -$\because \lim\limits_{x\to 0}\left(\dfrac{\tan x}{x}\right)^{\frac{1}{x^2}}$ - -又$u^v=e^{v\ln u}$ - -$\therefore =e^{\lim\limits_{x\to 0}\frac{1}{x^2}\ln\frac{\tan x}{x}}$ - -又在$x\to 0$下$\ln (1+x)\sim x$，$\therefore \ln(1+g(x))\sim g(x),g(x)\to 0$。 - -而$\dfrac{\tan x}{x}$在$x\to 0$时趋于1，不满足趋于0的条件。 - -所以正好变形$\ln\left(1+\dfrac{\tan x}{x}-1\right)$。 - -$\therefore \ln\left(1+\dfrac{\tan x}{x}-1\right)\sim\dfrac{\tan x}{x}-1$，$\dfrac{\tan x}{x}-1\to 0$。 - -又根据泰勒展开$\tan x-x=x+\dfrac{x^3}{3}+o(x^3)-x-0\cdot x^3=\dfrac{x^3}{3}$。 - -$\therefore$ \medskip - -$e^{\lim\limits_{x\to 0}\frac{1}{x^2}\ln\frac{\tan x}{x}}$ - -$=e^{\lim\limits_{x\to 0}\frac{1}{x^2}\frac{\tan x-x}{x}}$ - -$=e^{\lim\limits_{x\to 0}\frac{1}{x^2}\cdot\frac{x^2}{3}}$ - -$= e^{\frac{1}{3}}$ - -根据海涅定理：取$x=\dfrac{1}{n},n\to\infty$，$\lim\limits_{n\to\infty}\left(n\tan\dfrac{1}{n}\right)^{n^2}=e^{\frac{1}{3}}$。 - -\section{函数的极限} - -\subsection{函数极限定义} - -\subsubsection{极限定义} - -设函数$f(x)$在点$x_0$的某一个去心邻域有定义，若存在常数$A$，对于任意给定的$\varepsilon>0$，总存在正数$\delta$，使得当$0<\vert x-x_0\vert<\delta$式，对应的函数值$f(x)$都满足不等式$\vert f(x)-A\vert <\varepsilon$，则$A$就是函数$f(x)$当$x\to x_0$时的极限，记作$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A$或$f(x)\rightarrow A(x\rightarrow x_0)$。 - -写成$\varepsilon-\delta$语言：$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A\Leftrightarrow\forall\varepsilon>0,\exists\delta>0,\text{当}0<\vert x-x_0\vert<\delta$时，有$\vert f(x)-A\vert\varepsilon$。 - -而对于趋向无穷时，写成$\varepsilon-X$语言：$\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=A\Leftrightarrow\forall\varepsilon>0,\exists X>0,\text{当}\vert x\vert>X$时，有$\vert f(x)-A\vert<\varepsilon$。 - -\textcolor{orange}{注意：}这里的趋向分为六种：$x\to x_0$、$x\to x_0^+$、$x\to x_0^-$、$x\to\infty$、$x\to\infty^+$、$x\to\infty^-$。 - -\subsubsection{单侧极限} - -当$x\to x_0^-$存在的极限称为左极限，当$x\to x_0^+$存在的极限称为右极限。 - -\subsubsection{函数极限存在条件} - -函数存在的充要条件是： - -\begin{enumerate} - \item $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)\Leftrightarrow\lim\limits_{x\to x_0^-}f(x)=\lim\limits_{x\to x_0^+}f(x)=A$。 - \item 函数脱帽法：$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)\Leftrightarrow f(x)=A+\alpha(x),\lim\limits_{x\to x_0}\alpha(x)=0$，后面的$\alpha(x)$就是函数与极限值的误差。 -\end{enumerate} - -\subsubsection{极限情况总结} - -\begin{center} - \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|} - \hline - 过程 & $n\to\infty$ & $x\to\infty$ & $x\to+\infty$ & $x\to-\infty$ \\ \hline - 时刻 & \multicolumn{4}{c|}{$N$} \\ \hline - 从此时刻以后 & $n>N$ & $\vert x\vert>N$ & $x>N$ & $x<-N$ \\ \hline - $f(x)$ & \multicolumn{4}{c|}{$\vert f(x)-A\vert<\varepsilon$} \\ - \hline - \end{tabular} -\end{center} - -\begin{center} - \begin{tabular}{|c|c|c|c|} - \hline - 过程 & $x\to x_0$ & $x\to x_0^+$ & $x\to x_0^-$ \\ \hline - 时刻 & \multicolumn{3}{c|}{$\delta$} \\ \hline - 从此时刻以后 & $0<\vert x-x_0\vert<\delta$ & $00$，使得当$0<\vert x-x_0\vert<\delta$时，$f(x)$与$A$同号。 - -简单来说，函数值在$x\to x_0$时函数值与极限值同号。 - -证明局部保号性： - -首先根据极限存在定义：$\forall\varepsilon>0,\exists\delta>0,0<\vert x-x_0\vert<\delta$时，恒有$\vert f(x)-A\vert<\varepsilon$。 - -$\Rightarrow -\varepsilon0\Rightarrow f(x)>A-\dfrac{A}{2}=\dfrac{A}{2}>0$。 - -证明完毕。 - -关于$\varepsilon$的取值问题，为什么不能取到令结果为负的值，因为请注意这个取值得到的区间并不是$f(x)$的范围，而是对$f(x)$所在区间的陈述，其是无尽逼近$A$的，所以取多大的区间都无所谓。 - -推论：若函数值在$x\to x_0$时都非负或非正，极限值为$A$，那么$A$与此时函数值同号。不能去除等号。 - -\medskip - -关于三个性质要注意自变量取值的双向性，所以需要留意下面几个函数： - -\begin{enumerate} - \item $\lim\limits_{x\to\infty}e^x$不存在，因为$\lim\limits_{x\to +\infty}e^x=+\infty$，$\lim\limits_{x\to -\infty}e^x=0$。 - \item $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{\vert x\vert}$不存在，因为$\lim\limits_{x\to 0^+}\dfrac{\sin x}{\vert x\vert}=1$，$\lim\limits_{x\to 0^-}\dfrac{\sin x}{\vert x\vert}=-1$。 - \item $\lim\limits_{x\to\infty}\arctan x$不存在，因为$\lim\limits_{x\to +\infty}\arctan x=\dfrac{\pi}{2}$，$\lim\limits_{x\to -\infty}\arctan x=-\dfrac{\pi}{2}$。 - \item $\lim\limits_{x\to 0}[x]$不存在，因为$\lim\limits_{x\to 0^+}[x]=0$，$\lim\limits_{x\to 0^-}[x]=-1$ -\end{enumerate} - -\section{无穷大与无穷小} - -\subsection{无穷定义} - -无穷小\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}当$x\to x_0(\infty)$时，函数$f(x)$极限为0，就称$f(x)$为当$x\to x_0(\infty)$时的无穷小，记为：$\lim\limits_{x\to x_0(\infty)}f(x)=0$。 - -以0为极限的数列称为$n\to\infty$时的无穷小。 - -无穷小是变量，不能与很小的数相等。 - -零可以作为无穷小的唯一的数。 - -\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}$\lim f(x)=A\Leftrightarrow f(x)=A+o(x)$，其中$\lim o(x)=0$。 - -无穷大\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}当$x\to x_0(\infty)$时，函数$\vert f(x)\vert$无限增大，就称$f(x)$为当$x\to x_0(\infty)$时的无穷大，记为：$\lim\limits_{x\to x_0(\infty)}f(x)=\infty$。 - -若$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=\infty$则$x=x_0$为$y=f(x)$的垂直渐进线。 - -若$\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=a$则$y=a$为$y=f(x)$的水平渐进线。 - -\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}若同一极限过程中，$f(x)$为无穷大，则$\dfrac{1}{f(x)}$为无穷小，反之若$f(x)$为无穷小且不为0，则$\dfrac{1}{f(x)}$为无穷大。 - -\section{极限运算法则} - -\begin{enumerate} - \item 有限个无穷小的和是无穷小。 - \item 有界函数与无穷小的乘积是无穷小。 - \item 有限个无穷小的乘积是无穷小。 -\end{enumerate} - -\subsection{数列极限} - -若$\lim\limits_{n\to\infty}x_n=a$，$\lim\limits_{n\to\infty}y_n=b$则： - -\begin{enumerate} - \item $\lim\limits_{n\to\infty}x_n\pm y_n=a\pm b$。 - \item $\lim\limits_{n\to\infty}(x_ny_n)=\lim\limits_{n\to\infty}x_n\lim\limits_{n\to\infty}y_n=ab$。 - \item $\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{x_n}{y_n}=\dfrac{\lim\limits_{n\to\infty}x_n}{\lim\limits_{n\to\infty}y_n}=\dfrac{a}{b}(b\neq 0)$。 -\end{enumerate} - -\textbf{例题：}若$\lim\limits_{n\to\infty}(a_n+b_n)=1$且$\lim\limits_{n\to\infty}(a_n-b_n)=3$，计算$\lim\limits_{n\to\infty}a_n$与$\lim\limits_{n\to\infty}b_n$。 - -首先是不能通过运算法则第一条将两个条件直接加减的，因为不能保证两个极限是否都存在。 - -所以必须先令$u_n=a_n+b_n$，$v_n=a_n-b_n$，所以$\lim\limits_{n\to\infty}u_n=1$，$\lim\limits_{n\to\infty}v_n=3$。 - -因为这两个极限都存在，所以可以进行运算。 - -相加得到$\lim\limits_{n\to\infty}(u_n+v_n)=2\lim\limits_{n\to\infty}a_n=4$。 - -所以得到$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=2$。同理$\lim\limits_{n\to\infty}(u_n-v_n)$得到$\lim\limits_{n\to\infty}b_n=-1$。 - -\subsection{函数极限} - -若$\lim f(x)=A$，$\lim g(x)=B$（即两个极限都存在），则 - -\begin{enumerate} - \item $\lim[k\cdot f(x)\pm l\cdot g(x)]=k\lim f(x)\pm l\cdot g(x)=kA\pm lB$，其中$kl$为常数。 - \item $\lim[f(x)\cdot g(x)]=\lim f(x)\cdot\lim g(x)=A\cdot B$ - \item $\lim[f(x)]^n=[\lim f(x)]^n$，其中$n$为正整数。 - \item $\lim\dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{\lim f(x)}{\lim g(x)}=\dfrac{A}{B}(B\neq 0)$。 - \item $\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0}{b_mx^m+\cdots+b_{m-1}x^{m-1}+\cdots+b_1x+b_0}=\left\{ - \begin{array}{lcl} - \dfrac{a_n}{b_m}, & & n=m \\ - 0, & & nm - \end{array} - \right.$ - \item 若$f(x)\geqslant g(x)$，则$A\geqslant B$。 - \item 若$y=f[g(x)]$由$y=f(u)$与$u=g(x)$复合而成，且$\lim\limits_{x\to x_0}g(x)=u_0$且$\lim\limits_{u\to u_0}f(u)=a$，当$x\in\mathring{U}(x_0,\delta_0)$时，$g(x)\neq u_0$，则$\lim\limits_{x\to x_0}f[g(x)]=a$。 -\end{enumerate} - -对于结论7必须\textcolor{orange}{注意}$g(x)\neq u_0$。 - -假设$f(u)=\dfrac{u^2-1}{u-1}$，所以这个$f(x)$在$x=1$处应无定义。但是这并不影响$\lim\limits_{u\to 1}f(u)=2$。 - -假设$g(x)=\left\{ - \begin{array}{lcl} - 1+x, & & x<0 \\ - 1, & & x>0 - \end{array} -\right.$。 - -则$\lim\limits_{x\to 0}g(x)=1$，所以$\lim\limits_{x\to 0}f[g(x)]=2?$。 - -答案是不，因为当$x>0$时，$u=g(x)=1$，而$1$在$g(x)$中是无定义的，所以复合函数当$x>0$时无定义，从而在$0$处极限不存在。 - -\subsection{存在与不存在运算关系} - -\begin{enumerate} - \item 存在与不存在的和差一定为不存在。 - \item 不存在与不存在的和差不一定存在，如$\sin\dfrac{1}{x}+\sin\dfrac{1}{x}$与$\sin\dfrac{1}{x}+\left(-\sin\dfrac{1}{x}\right)$。 - \item 存在与不存在的乘积不一定存在，如$x\sin\dfrac{1}{x}$与$1\cdot\sin\dfrac{1}{x}$。 - \item 不存在与不存在的乘积不一定存在，如$\dfrac{1}{x}\cdot\dfrac{1}{x}$与$(-1)^n\cdot(-1)^n$。 -\end{enumerate} - -\section{极限存在准则与两个重要极限} - -\subsection{夹逼准则} - -\subsubsection{数列的夹逼准则} - -\begin{enumerate} - \item $y_n\leqslant x_n\leqslant z_n(n=1,2,3,\cdots)$。 - \item $\lim\limits_{n\to\infty}y_n=a,\lim\limits_{n\to\infty}z_n=a$。 - \item 则$\lim\limits_{n\to\infty}x_n=a$。 -\end{enumerate} - -证明： - -由于$\lim\limits_{n\to\infty}y_n=a,\lim\limits_{n\to\infty}z_n=a$。 - -则$\forall\varepsilon>0$，$\exists N$，当$n>N$时，$\vert y_n<\varepsilon$，$\vert z_n<\varepsilon$。 - -$\therefore a-\varepsilon0$，证明$a_{n+1}=\dfrac{1}{2}\left(a_n+\dfrac{2}{a_n}\right)$的极限存在并求出。 - -$\because a_1=a>0$，且递推式中没有负数与减的操作，所以$a_n>0$。 - -由重要不等式$\dfrac{a+b}{2}\geqslant\sqrt{ab}$，所以$a_{n+1}=\dfrac{1}{2}\left(a_n+\dfrac{2}{a_n}\right)\geqslant\sqrt{a_n\cdot\dfrac{2}{a_n}})=\sqrt{2}$ - -$\therefore$数列$\{a_n\}$有下界$\sqrt{2}$。 - -又$a_{n+1}-a_n=\dfrac{2-a_n^2}{2a_n}$，且由上面证明已知$a_n^2\geqslant\sqrt{2}$，所以该式子小于等于0。 - -$\therefore a_{n+1}\leqslant a_n$，得到数列单调减少。 - -由单调有界准则，$\lim\limits_{n\to\infty}a_n$存在并记为$A$。 - -将$A$代入递推式并两边求极限：$A=\dfrac{1}{2}(A+\dfrac{2}{A})$，得到$A=\pm\sqrt{2}$。 - -又因为保号性，数列下界为$\sqrt{2}$，所以$A=\sqrt{2}$。 - -\textbf{例题：}求证$x_{n+1}=\sin x_n$极限存在，$00\Rightarrow\{a_n\}\nearrow$ - -$ -\begin{aligned} - \text{\ding{173}}a_n & =\dfrac{1}{1\cdot 1}+\dfrac{1}{2\cdot 2}+\cdots+\dfrac{1}{n\cdot n} \\ - & \text{裂项相消} \\ - < & 1+\dfrac{1}{1\cdot 2}+\cdots+\dfrac{1}{(n-1)\cdot(n)} \\ - = & 1+(1-\dfrac{1}{2})+(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3})+\cdots+(\dfrac{1}{n-1}-\dfrac{1}{n}) \\ - = & 2-\dfrac{1}{n} \\ - < & 2 \text{ （上界）} -\end{aligned} -$ - -单调增且有上界，所以必然有极限。 - -\subsection{\texorpdfstring{$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}=1$}{}} - -证明：当$x\to 0$时$x\in[0,\dfrac{\pi}{2}]$。 - -\begin{tikzpicture}[scale=1.5] - \draw (0,0) circle (1); - \filldraw[black] (0,0) node[below]{$O$}; - \draw[black](0,0) -- (1,0) node[right]{$A$}; - \draw[black](0,0) -- (1/2,{sqrt(3)/2}) node[above]{$B$}; - \draw[black](1/2,{sqrt(3)/2}) -- (1/2,0) node[below]{$D$}; - \draw[black](1,0) -- (1,{sqrt(3)}) node[above]{$C$}; - \draw[black](1,0) -- (1/2,{sqrt(3)/2}); - \draw[black](1,{sqrt(3)}) -- (1/2,{sqrt(3)/2}); -\end{tikzpicture} - -设$\angle AOB$的弧度为$x$，圆$O$的半径为$1$，则$OD=\sin x$。 - -则$S_\vartriangle AOB=\dfrac{\sin x}{2}$。根据扇形面积公式：$S_{\text{扇形}}AOB=\dfrac{x}{2}$。 - -又$\because CA=\tan x$，则$S_\vartriangle AOC=\dfrac{\tan x}{2}$。 - -根据图，在$x\in[0,\dfrac{\pi}{2}]$，$\sin x0 - \end{array} \right. -$在$(-\infty,+\infty)$内连续，求$a$。 - -因为连续，所以$f(0)=\lim\limits_{x\to 0^+}f(x)=\lim\limits_{x\to 0^-}f(x)$。 - -$\therefore a=1$。 - -\textbf{例题：}若函数$f(x)=\dfrac{\ln\vert x\vert}{\vert x-1\vert}\sin x$，则x的间断点类型是？\medskip - -由式子的分式部分可知有两个无定义的间断点：$x=0$，$x=1$。\medskip - -$\lim\limits_{x\to 1}f(x)=\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{x-1}{\vert x-1\vert}\sin x=\left\{ - \begin{array}{lcl} - x\to 1^+ & \rightarrow & \sin 1 \\ - x\to 1^- & \rightarrow & -\sin 1 - \end{array} \right. -$。 - -所以$x=1$跳跃间断点。 - -$\lim\limits_{x\to 0}f(x)=\lim\limits_{x\to 0}\ln\vert x\vert\cdot\sin x=\lim\limits_{x\to 0}x\ln\vert x\vert=0$。 - -而$x=0$未定义，所以其为可去间断点。 - -\subsection{函数连续性} - -\subsubsection{连续函数四则运算的连续性} - -若两个函数在某点连续，则这两个函数的和差积商在该点都连续。但是如果两个在某点不连续的函数，其和差积商在某点的连续性都是不一定的，所以反过来，如果一个函数的和差积商是在某点连续的，不能说明这个组成的多个函数在该点是连续的。 - -\subsubsection{反函数的连续性} - -若函数在定义域是严格单调的函数，则其反函数在其原值域上也是连续的。 - -\subsubsection{复合函数的连续性} - -若$y=f(g(x))$由$y=f(u)$与$u=g(x)$复合而成，若$g(x)$在$x_0$处连续，$f(u)$在$u_0$处连续，且$u_0=g(x_0)$，则$f(g(x))$在$x_0$处连续。 - -\subsubsection{初等函数的连续性} - -基本初等函数在定义域上是连续的。 - -初等函数在定义区间上是连续的。 - -定义区间是定义域的子集。 - -\section{闭区间上连续函数的性质} - -设$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，则： - -\begin{enumerate} - \item 最大最小值定理：$f(x)$在$[a,b]$上必有最大值和最小值。 - \item 有界性定理：$f(x)$在$[a,b]$上必有界。 - \item 零点定理：若$f(a)f(b)<0$，则$\exists\,\xi\in[a,b]$使得$f(\xi)=0$。 - \item 介值定理：若$f(a)\neq f(b)$，$\mu$为介于$f(a)$与$f(b)$之间的任何值，那么至少存在$\xi\in[a,b]$使得$f(\xi)=\mu$。 -\end{enumerate} - -\textbf{例题：}证明方程$x=a\sin x+b(a>0,b>0)$中至少有一个正根，并且不超过$a+b$。 - -令$f(x)=x-a\sin x-b$，其中$f(0)=-b<0$，$f(a+b)=a+b=a\sin(a+b)-b=a[1-\sin(a+b)]\geqslant 0$。 - -若$\sin(a+b)=1$，则根为$a$，结论成立。 - -若$\sin(a+b)<1$，$\because f(a+b)\cdot f(0)<0$根据零点定理$\exists\,\xi\in[0,a+b]$使得$f(\xi)=0$，从而得证。 - - -\end{document} +\documentclass[UTF8, 12pt]{ctexart} +\usepackage{xcolor} +% 使用颜色 +\definecolor{orange}{RGB}{255,127,0} +\definecolor{violet}{RGB}{192,0,255} +\definecolor{aqua}{RGB}{0,255,255} +\usepackage{geometry} +\setcounter{tocdepth}{5} +\setcounter{secnumdepth}{5} +% 设置四级目录与标题 +\geometry{papersize={21cm,29.7cm}} +% 默认大小为A4 +\geometry{left=3.18cm,right=3.18cm,top=2.54cm,bottom=2.54cm} +% 默认页边距为1英尺与1.25英尺 +\usepackage{indentfirst} +\setlength{\parindent}{2.45em} +% 首行缩进2个中文字符 +\usepackage{amssymb} +% 因为所以与其他数学拓展 +\usepackage{amsmath} +% 数学公式 +\usepackage{setspace} +\renewcommand{\baselinestretch}{1.5} +% 1.5倍行距 +\usepackage{pifont} +% 圆圈序号 +\usepackage{tikz} +% 绘图 +\usepackage{array} +% 设置表格行距 +\usepackage[colorlinks,linkcolor=black,urlcolor=blue]{hyperref} +% 超链接 +\author{Didnelpsun} +\title{函数与极限} +\date{} +\begin{document} +\renewcommand{\arraystretch}{1.5} +% 表格高1.5倍 +\maketitle +\pagestyle{empty} +\thispagestyle{empty} +\tableofcontents +\thispagestyle{empty} +\newpage +\pagestyle{plain} +\setcounter{page}{1} +\section{映射与函数} +\subsection{邻域} +\subsubsection{一维} + +邻域\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}以点$x_0$为中心的任何开区间为点$x_0$的邻域，记为$U(x_0)$。 + +$\delta$邻域\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}设$\delta$为一正数，则称开区间$(x_0-\delta,x_0+\delta)$为点$x_0$的$\delta$邻域，记作$U(x_0,\delta)$。$x_0$称为邻域的中心，$\delta$为邻域的半径。 + +去心$\delta$邻域就是去除$x_0$的$\delta$邻域，记为$\mathring{U}(x_0,\delta)$，左$\delta$邻域就是左侧的去心$\delta$邻域，记为$U^+(x_0,\delta)$，右$\delta$邻域就是右侧的去心$\delta$邻域，记为$U^-(x_0,\delta)$。 + +\subsubsection{二维} + +邻域\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}设点$P_0(x_0,y_0)$为$xOy$平面上的一点，$\delta$为某一个正数，与点$P_0(x_0,y_0)$的距离小于$\delta$的点$P(x,y)$的全体，称为点$P_0$的$\delta$邻域，记为$U(P_0,\delta)$。 + +同理可以得到去心$\delta$邻域的定义。 + +$\delta$邻域的几何意义：以$P_0(x_0,y_0)$为中心，以$\delta>0$为半径的圆内部所有的点。 + +函数的邻域就是一个区间，所以比如函数在某点的某邻域内有定义，就是说明函数在这个点的附近有定义，这个附近的距离没有必要说明。 + +\subsection{函数的概念} +\subsubsection{函数} +\begin{itemize} + \item 函数即$y=f(x),x\in D$，x为自变量，y为因变量，D为定义域 + \item 一个x对应一个y，一个y可能对应多个x。 +\end{itemize} +\subsubsection{反函数} +$y=f(x)$，定义域为$D$，值域为$R$，若对于每一个$y\in R$，必然存在$x\in D$使$y=f(x)$成立，则可以定义一个新函数$x=\psi(y)$，这个函数就是$y=f(x)$的\textbf{反函数}，一般记作$x=f^{-1}(y)$，其定义域为$R$，值域为$D$，对于反函数，原来的函数称为\textbf{直接函数}。 +\begin{enumerate} + \item \textcolor{red}{严格单调}函数必然有反函数，即函数导数恒正或恒负必然有反函数。 + \item $x=f^{-1}(y)$与$y=f(x)$在同一坐标系中完全重合。 + \item $y=f^{-1}(x)$与$y=f(x)$关于$y=x$对称。 + \item $f[f^{-1}(x)]$或$f[\psi(x)]$变为x，称为湮灭。 +\end{enumerate} +\subsubsection{复合函数} +设$y=f(u)$的定义域为$D_1$，函数$u=g(x)$在$D$上有定义且$g(D)\in D$，则由$y=f[g(x)],x\in D$确定的函数称为由函数$u=g(x)$和函数$y=f(u)$构成的复合函数，定义域为D，u为中间变量。 + +\textbf{例题：}设$f(x)=x^2$，$f[\psi(x)]=-x^2+2x+3$，且$\psi(x)\geqslant 0$，求$\psi(x)$以及定义域与值域。 + +广义化：$\because f(x)=x^2$，$\therefore f[\psi(x)]=\psi^2(x)=-x^2+2x+3$ + +又$\because\psi(x)\geqslant 0$， $\therefore\sqrt{\psi^2(x)}=\sqrt{-x^2+2x+3}=\psi(x)\geqslant 0$ + +$\therefore x\in[-1,3]$ + +$\therefore\dfrac{\rm{d}\psi(\textit{x})}{\rm{d}\textit{x}}=(-x^2+2x+3)'=-2x+2=0$ + +$\therefore x=1$，驻点为1 + +又$\because(-x^2+2x+3)''=-2<0$ + +$\therefore$驻点为1时为最大值点，最大值为$\psi(1)=2$ + +又$\because\psi(-1)=\psi(3)=0$，$\therefore$最小值为0 + +$\therefore\psi(x)\in[0,2]$ + +\textcolor{orange}{注意}：$\sqrt{-x^2+2x+3}$为什么最值与$-x^2+2x+3$一致？ + +\textbf{例题：}求函数$y=f(x)=\ln(x+\sqrt{x^2+1})$的反函数$f^{-1}(x)$的表达式及其定义域 + +首先研究$f(x)$本身，因为$\ln(x)$的定义域必然要求大于0，而任意实数x都有下面不等式成立： + +$x+\sqrt{x^2+1}>x+\vert x\vert \geqslant 0$，所以$x\in R$。 + +而研究其奇偶性： + +$f(-x)=\ln(-x+\sqrt{x^2+1})=\ln(\dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}+x})=-\ln(x+\sqrt{x^2+1})=-f(x)$ + +所以该函数为奇函数。 + +对其求单调性，即通过链式法则求导： + +$\dfrac{\rm{d}\textit{y}}{\rm{d}\textit{x}}=\dfrac{1}{x+\sqrt{x^2+1}}\cdot (1+\dfrac{2x}{2\sqrt{x^2+1}})=\dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}}>0$。\medskip + +所以该函数严格单调增。 + +然后求$y$的反函数： + +$\because y=\ln(x+\sqrt{x^2+1})$ + +$e^y=e^{\ln(x+\sqrt{x^2+1})}=x+\sqrt{x^2+1}$ + +$ + \begin{aligned} + \because -y & =-\ln(x+\sqrt{x^2+1}) \\ + & =\ln(\dfrac{1}{x+\sqrt{x^2+1}}) \\ + & =\ln(\sqrt{x^2+1}-x) \\ + e^{-y} & =\sqrt{x^2+1}-x + \end{aligned} +$ + +$ + \begin{aligned} + \therefore e^y-e^{-y} & =2x \\ + x & =\dfrac{e^y-e^{-y}}{2} + \end{aligned} +$ + +解出了用x表示y的函数表达$x=f^{-1}(y)$，即反函数，则$f^{-1}(x)=\dfrac{e^x-e^{-x}}{2}$ + +这种曲线为一种常见曲线： + +\begin{itemize} + \item $\dfrac{e^x-e^{-x}}{2}$：双曲正弦。 + \item $\dfrac{e^x+e^{-x}}{2}$：双曲余弦。（为一种悬链线） + \item $\ln(x+\sqrt{x^2+1})$：反双曲正弦。 + \item $\ln(x+\sqrt{x^2-1})$：反双曲余弦。 +\end{itemize} + +\textbf{例题3：}设$ + f(x)=\left\{ + \begin{array}{lcl} + \ln\sqrt{x}, & & x\geqslant 1 \\ + 2x-1, & & x< 1 + \end{array} + \right. +$，求$f[f(x)]$ + +首先广义化：$ + f[f(x)]=\left\{ + \begin{array}{lcl} + \ln\sqrt{f(x)}, & & f(x)\geqslant 1 \\ + 2f(x)-1, & & x<1 + \end{array} + \right. +$ + +然后画图：\medskip + +\begin{tikzpicture}[domain=-1:9.5] + \draw[-latex](-1.5,0) -- (9.5,0) node[below]{$x$}; + \draw[-latex](0,-1.5) -- (0, 1.5) node[above]{$y$}; + \draw[very thin, gray, densely dashed](-1.5,1.5)grid(9.5,-1.5); + \draw[black, thick](-0.25,-1.5) -- (1,1); + \draw[black, thick,domain=1:9.5] plot (\x, {ln(sqrt(\x))}); + \draw[blue, densely dashed](-1.5,1) -- (9.5,1) node[below]{$x=1$}; + \filldraw[black] (1,1) circle (2pt) node[above]{$(1,1)$}; + \filldraw[black] (e^2,1) circle (2pt) node[above]{$(e^2,1)$}; + \draw[densely dashed](1,1) -- (1, 0) node[below]{$1$}; + \draw[densely dashed](e^2,1) -- (e^2,0) node[below]{$e^2$}; + \filldraw[black] (0,0) node[below]{$O$}; +\end{tikzpicture} + +所以将定义域分为三段：$[-\infty ,1],[1,e^2],[e^2, +\infty]$，然后根据不同定义域对应的不同函数再代回$f[f(x)]$： + +$$ + f[f(x)]=\left\{ + \begin{array}{lcl} + \ln\sqrt{\ln\sqrt{x}}, & & x\geqslant e^2 \\ + \ln x-2, & & 1\geqslant x0 & \Rightarrow & (x_1-x_2)[f(x_1)-f(x_2)]>0 & \Rightarrow & f(x)\nearrow \\ + \dfrac{\rm{d}\textit{y}}{\rm{d}\textit{x}}<0 & \Rightarrow & (x_1-x_2)[f(x_1)-f(x_2)]<0 & \Rightarrow & f(x)\searrow + \end{matrix} +$ + +\subsubsection{奇偶性} + +\begin{enumerate} + \item 奇函数：关于原点对称，$f(-x)=-f(x)$。 + \item 偶函数：关于y轴对称，$f(-x)=f(x)$。 + \item 对于定义在$[-l,l]$上的任意函数$f(x)$，$F_1(x)=f(x)-f(-x)$必为奇函数，$F_2(x)=f(x)+f(-x)$必为偶函数。可以参考上面所说的双曲正弦与双曲余弦函数。 + \item 若奇函数在0处有定义，那么$f(0)=0$。 + \item 若偶函数在0处存在导数，那么$f'(0)=0$，即x=0，曲线必然水平，即导数为0。 + \item 若函数$y=f(x)$的函数关于直线$x=T$对称的充分必要条件是$f(x)=f(2T-x)/f(x+T)=f(x-T)$。（令$T-x=t$进行换元计算得到） +\end{enumerate} + +\subsubsection{周期性} + +$f(x+T)=f(x)$，其中T为周期。 \medskip + +\subsubsection{重要结论} + +\begin{enumerate} + \item 若$f(x)$为可导的偶函数，则$f'(x)$为奇函数。 + \item 若$f(x)$为可导的奇函数，则$f'(x)$为偶函数。 + \item 若$f(x)$为周期函数，则$f'(x)$也为周期函数且周期不变。 + \item 连续的奇函数的一切原函数都是偶函数。 + \item 连续的偶函数的原函数中仅有一个原函数是奇函数。 + \item 若连续函数$f(x)$以T为周期且$\int_{0}^{T}f(x)\rm{d}\textit{x}=0$，则$f(x)$的一切原函数也以T为周期。 + \item 若$f(x)$在有限区间$(a,b)$中可导且$f'(x)$有界，则$f(x)$在$(a,b)$有界。（某一函数在固定区间内变化率是有界的，则变化范围是有界的） +\end{enumerate} + +\textcolor{orange}{注意}：0和1处的函数定义应该注意。 + +如当a为0时：$f(b)-f(a)=f'(\xi )(b-a)=f(b)=bf'(\xi)$ + +如$f(x)>xf(1)$变形为$\dfrac{f(x)}{x}>f(1)$，辅助函数$F(x)=\dfrac{f(x)}{x}$ + +所以加减法警惕0，乘除法警惕1。 + +\section{数列的极限} + +极限就是一个无限逼近某个值的过程。如$\dfrac{n}{n+1}$这个分式在$n$无限增大的时候会无限逼近1，这个1叫做极限值，所以写成$\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{n}{n+1}=1$。 + +所以从另一个方面更精确的指出一个数$N>0$，使得数列下标大于$N$的项与极限值之间的距离始终保持在$(0,\varepsilon)$之间，即$\dfrac{1}{n+1}<\varepsilon$，即$n>\dfrac{1}{\varepsilon}-1$，所以任意正数都能得到从$N>\dfrac{1}{\varepsilon}-1$项开始之后都有$\left\vert\dfrac{n}{n+1}-1\right\vert<\varepsilon$。 + +\subsection{定义} + +通过定义可以证明极限。 + +\subsubsection{数列极限定义} + +\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}设$\{x_n\}$为一数列，若存在常数$a$，对于不论任意小的$\varepsilon>0$，总存在正整数$N$，使$n>N$时，$\vert x_n-a\vert<\varepsilon$恒成立，则常数$a$为数列$\{x_n\}$的极限，或$\{x_n\}$收敛于$a$，记为：$\lim\limits_{x\to\infty}x_n=a$或$x_n\to a(n\to\infty)$。 + +常用语言（$\varepsilon-N$语言）：$\lim\limits_{x\to\infty}x_n=a\Leftrightarrow\forall\varepsilon>0,\exists N\in N_+$，当$n>N$时，恒有$\vert x_n-a\vert<\varepsilon$。 + +如果不存在该数$a$，则称数列$x_n$发散。 + +即无论给出多么小的$\varepsilon$，总可以找到一项从该项之后函数值与极限值之间的差小于$\varepsilon$，即更接近这个极限值而不是其他任何值，所以该数列趋向于极限值。 + +\subsubsection{极限证明} + +令$x_n$为通项，$a$为极限值，$\varepsilon$为任意正数。 + +\begin{enumerate} + \item 写出$\vert x_n-a|<\varepsilon$。 + \item 反解出项数$nN$就可以证明。 +\end{enumerate} + +\textbf{例题：}用定义证明$\lim\limits_{x\to\infty}\left[1+\dfrac{(-1)^n}{n}\right]=1$ + +证明： + +\ding{172}计算距离：$\left\vert 1+\dfrac{(-1)^n}{n}-1\right\vert=\left\vert\dfrac{(-1)^n}{n}\right\vert<\varepsilon$。 + +\ding{173}解得到：$\dfrac{1}{n}<\varepsilon$，反解为$n>\dfrac{1}{\varepsilon}$。 + +\ding{174}取整：$N=\left[\dfrac{1}{\varepsilon}\right]+1$。 + +$\therefore\forall\varepsilon>0$，当$n>N$时，就有$n>\dfrac{1}{\varepsilon}$，使得$\left\vert 1+\dfrac{(-1)^n}{n}-1\right\vert=\left\vert\dfrac{(-1)^n}{n}\right\vert<\varepsilon$。 + +$\therefore$证明完毕。 + +\textbf{例题：}用定义证明$\lim\limits_{n\to\infty}q^n=0$（$q$为常数且$\vert q\vert<1$）。 + +证明： + +\ding{172}$\vert q^n-0\vert<\varepsilon$。 + +\ding{173}$\vert q^n\vert<\varepsilon$，取对数进行反解$n\ln\vert q\vert<\ln\varepsilon$，又因为$\vert q\vert<1$，所以$\ln\vert q\vert<0$，所以得到$n>\dfrac{\ln\varepsilon}{\ln\vert q\vert}$。（若$\varepsilon>1$则$n$就是负数，这样条件必然成立） + +\ding{174}取$N=\left[\dfrac{\ln\varepsilon}{\ln\vert q\vert}\right]+1$。 + +$\therefore$当$n>N$时，必然$n>\dfrac{\ln\varepsilon}{\ln\vert q\vert}$，有$\vert q^n-0\vert<\varepsilon$。 + +故$\lim\limits_{n\to\infty}q^n=0$。 + +\subsubsection{数列绝对值} + +\textbf{例题：}证明若$\lim\limits_{x\to\infty}a_n=A$，则$\lim\limits_{x\to\infty}\vert a_n\vert=\vert A\vert$。 + +因为$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=A\Leftrightarrow\forall\varepsilon>0,\exists N>0,\text{当}n>N$，恒有$\vert a_n-A\vert<\varepsilon$。 + +又由重要不等式$\vert\vert a\vert-\vert b\vert\vert\leqslant\vert a-b\vert$，所以$\vert\vert a_n-\vert A\vert\vert\leqslant\varepsilon$。 + +所以恒成立，证明完毕。 + +从这个题推出：$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=0\Leftrightarrow\lim\limits_{n\to\infty}\vert a_n\vert=0$。所以如果我们以后需要证明某一数列极限为0，可以证明数列绝对值极限0，而数列绝对值绝对时大于等于0的，所以由夹逼准则，其中小的一头已经固定为0了，所以只用找另一个偏大的数列夹逼所证明数列就可以了。 + +\subsubsection{子数列} + +\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}从数列${a_n}:a_1,a_2,\cdots,a_n,\cdots$中选取无穷多项并按原来顺序组成的新数列就称为原数列的子列，记为$\{a_{n_k}\}:a_{n_1},a_{n_2},\cdots,a_{n_k},\cdots$。 + +若$n_k$分别取奇数和偶数，则得到奇数项数列与偶数项数列。 + +\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}若数列$\{a_n\}$收敛，则其任何子列$\{a_{n_k}\}$也收敛，且极限值相同。 + +所以对于其变式我们用到更多： + +\begin{enumerate} + \item 若一个数列$\{a_n\}$能找到一个发散的子列，那该数列发散。 + \item 若一个数列$\{a_n\}$能找到两个极限值不同的收敛子列，那么这个数列发散。 + \item 若一个数列$\{a_n\}$，则其奇数子列与偶数子列都收敛于同一个值。 +\end{enumerate} + +例如对于数列$\{(-1)^n\}$，能找到其奇数子列收敛于-1，偶数子列收敛于1，所以收敛值不同，原数列发散。 + +\subsection{性质} +\subsubsection{唯一性} + +\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}若数列$\{x_n\}$收敛于$a$，则$a$是唯一的。 + +证明： + +设$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=A$且$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=B$且$A\neq B$。 + +不如设$A>B$。任意取$\varepsilon=\dfrac{A-B}{2}>0$。 + +$\because\lim\limits_{n\to\infty}a_n=A$ + +$\therefore\exists N_1>0$，当$n>N_1$时，$\vert a_n-A\vert<\dfrac{A-B}{2}$。 + +得到$\dfrac{A+B}{2}0$，当$n>N_2$时，$\vert a_n-B\vert<\dfrac{A-B}{2}$。 + +得到$\dfrac{3A-B}{2}N$时，式子一二同时成立，而$A\neq B$，则这两个式子不可能同时成立，矛盾。 + +同理$A0$，使得$\vert a_n\vert\leqslant M$。 + +证明： + +由极限定义，取$\varepsilon=1$。 + +$\because\lim\limits_{n\to\infty}a_n=A$ + +$\therefore\exists N>0$，当$n>N$时，$\vert a_n-A\vert<1$。 + +$\because\text{重要不等式}\,\vert\vert a_n\vert-\vert A\vert\vert\leqslant\vert a_n-A\vert$ + +$\therefore n>N$时，$\vert\vert a_n\vert-\vert A\vert\vert<1\Rightarrow\vert a_n\vert<1+\vert A\vert$ + +取$M=\max\{\vert a_1\vert,\vert a_2\vert,\cdots,\vert a_N\vert,1+\vert A\vert\}$ + +$\forall n$，有$\vert a_n\vert\leqslant M$ + +所以数列极限存在则数列有界。 + +但是数列有界不一定极限存在，如$1+(-1)^n$。 + +\subsubsection{保号性} + +较重要。也称为脱帽法。 + +\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}若数列$\{x_n\}$存在极限$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=a\neq 0$，则存在正整数$N$，当$n>N$时$a_n$都与$a$同号。 + +简单来说，就是极限大于0，后面一部分数列大于0，极限小于0，后面一部分数列小于0。 + +推论，戴帽法：若数列$\{a_n\}$从某项开始$a_n\geqslant b$，且$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=a$，则$a\geqslant b$。这里一定要带等号。 + +证明： + +设$A>0$，取$\varepsilon=\dfrac{A}{2}>0$。 + +$\because\lim\limits_{n\to\infty}a_n=A$ + +$\therefore\exists N>0$，当$n>N$时，$\vert a_n-A\vert<\dfrac{A}{2}\Rightarrow a_n>\dfrac{A}{2}>0$ + +同理得证极限值小于0的情况。 + +\subsection{海涅定理（归结原则）} + +设$f(x)$在$\mathring{U}(x_0,\delta)$内有定义，则$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A$存在$\Leftrightarrow$对任何$\mathring{U}(x_0,\delta)$内以$x_0$为极限的数列$\{x_n\}(x_n\neq x_0)$，极限$\lim\limits_{n\to\infty}f(x_n)=A$存在。 + +海涅定理用来连接数列极限与函数极限。在极限存在下他们可以相互转换。 + +\textbf{例题：}求$\lim\limits_{n\to\infty}\left(n\tan\dfrac{1}{n}\right)^{n^2}$（$n\in N^+$）。 + +$\because \lim\limits_{x\to 0}\left(\dfrac{\tan x}{x}\right)^{\frac{1}{x^2}}$ + +又$u^v=e^{v\ln u}$ + +$\therefore =e^{\lim\limits_{x\to 0}\frac{1}{x^2}\ln\frac{\tan x}{x}}$ + +又在$x\to 0$下$\ln (1+x)\sim x$，$\therefore \ln(1+g(x))\sim g(x),g(x)\to 0$。 + +而$\dfrac{\tan x}{x}$在$x\to 0$时趋于1，不满足趋于0的条件。 + +所以正好变形$\ln\left(1+\dfrac{\tan x}{x}-1\right)$。 + +$\therefore \ln\left(1+\dfrac{\tan x}{x}-1\right)\sim\dfrac{\tan x}{x}-1$，$\dfrac{\tan x}{x}-1\to 0$。 + +又根据泰勒展开$\tan x-x=x+\dfrac{x^3}{3}+o(x^3)-x-0\cdot x^3=\dfrac{x^3}{3}$。 + +$\therefore$ \medskip + +$e^{\lim\limits_{x\to 0}\frac{1}{x^2}\ln\frac{\tan x}{x}}$ + +$=e^{\lim\limits_{x\to 0}\frac{1}{x^2}\frac{\tan x-x}{x}}$ + +$=e^{\lim\limits_{x\to 0}\frac{1}{x^2}\cdot\frac{x^2}{3}}$ + +$= e^{\frac{1}{3}}$ + +根据海涅定理：取$x=\dfrac{1}{n},n\to\infty$，$\lim\limits_{n\to\infty}\left(n\tan\dfrac{1}{n}\right)^{n^2}=e^{\frac{1}{3}}$。 + +\section{函数的极限} + +\subsection{函数极限定义} + +\subsubsection{极限定义} + +设函数$f(x)$在点$x_0$的某一个去心邻域有定义，若存在常数$A$，对于任意给定的$\varepsilon>0$，总存在正数$\delta$，使得当$0<\vert x-x_0\vert<\delta$式，对应的函数值$f(x)$都满足不等式$\vert f(x)-A\vert <\varepsilon$，则$A$就是函数$f(x)$当$x\to x_0$时的极限，记作$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A$或$f(x)\rightarrow A(x\rightarrow x_0)$。 + +写成$\varepsilon-\delta$语言：$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A\Leftrightarrow\forall\varepsilon>0,\exists\delta>0,\text{当}0<\vert x-x_0\vert<\delta$时，有$\vert f(x)-A\vert\varepsilon$。 + +而对于趋向无穷时，写成$\varepsilon-X$语言：$\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=A\Leftrightarrow\forall\varepsilon>0,\exists X>0,\text{当}\vert x\vert>X$时，有$\vert f(x)-A\vert<\varepsilon$。 + +\textcolor{orange}{注意：}这里的趋向分为六种：$x\to x_0$、$x\to x_0^+$、$x\to x_0^-$、$x\to\infty$、$x\to\infty^+$、$x\to\infty^-$。 + +\subsubsection{单侧极限} + +当$x\to x_0^-$存在的极限称为左极限，当$x\to x_0^+$存在的极限称为右极限。 + +\subsubsection{函数极限存在条件} + +函数存在的充要条件是： + +\begin{enumerate} + \item $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)\Leftrightarrow\lim\limits_{x\to x_0^-}f(x)=\lim\limits_{x\to x_0^+}f(x)=A$。 + \item 函数脱帽法：$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)\Leftrightarrow f(x)=A+\alpha(x),\lim\limits_{x\to x_0}\alpha(x)=0$，后面的$\alpha(x)$就是函数与极限值的误差。 +\end{enumerate} + +\subsubsection{极限情况总结} + +\begin{center} + \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|} + \hline + 过程 & $n\to\infty$ & $x\to\infty$ & $x\to+\infty$ & $x\to-\infty$ \\ \hline + 时刻 & \multicolumn{4}{c|}{$N$} \\ \hline + 从此时刻以后 & $n>N$ & $\vert x\vert>N$ & $x>N$ & $x<-N$ \\ \hline + $f(x)$ & \multicolumn{4}{c|}{$\vert f(x)-A\vert<\varepsilon$} \\ + \hline + \end{tabular} +\end{center} + +\begin{center} + \begin{tabular}{|c|c|c|c|} + \hline + 过程 & $x\to x_0$ & $x\to x_0^+$ & $x\to x_0^-$ \\ \hline + 时刻 & \multicolumn{3}{c|}{$\delta$} \\ \hline + 从此时刻以后 & $0<\vert x-x_0\vert<\delta$ & $00$，使得当$0<\vert x-x_0\vert<\delta$时，$f(x)$与$A$同号。 + +简单来说，函数值在$x\to x_0$时函数值与极限值同号。 + +证明局部保号性： + +首先根据极限存在定义：$\forall\varepsilon>0,\exists\delta>0,0<\vert x-x_0\vert<\delta$时，恒有$\vert f(x)-A\vert<\varepsilon$。 + +$\Rightarrow -\varepsilon0\Rightarrow f(x)>A-\dfrac{A}{2}=\dfrac{A}{2}>0$。 + +证明完毕。 + +关于$\varepsilon$的取值问题，为什么不能取到令结果为负的值，因为请注意这个取值得到的区间并不是$f(x)$的范围，而是对$f(x)$所在区间的陈述，其是无尽逼近$A$的，所以取多大的区间都无所谓。 + +推论：若函数值在$x\to x_0$时都非负或非正，极限值为$A$，那么$A$与此时函数值同号。不能去除等号。 + +\medskip + +关于三个性质要注意自变量取值的双向性，所以需要留意下面几个函数： + +\begin{enumerate} + \item $\lim\limits_{x\to\infty}e^x$不存在，因为$\lim\limits_{x\to +\infty}e^x=+\infty$，$\lim\limits_{x\to -\infty}e^x=0$。 + \item $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{\vert x\vert}$不存在，因为$\lim\limits_{x\to 0^+}\dfrac{\sin x}{\vert x\vert}=1$，$\lim\limits_{x\to 0^-}\dfrac{\sin x}{\vert x\vert}=-1$。 + \item $\lim\limits_{x\to\infty}\arctan x$不存在，因为$\lim\limits_{x\to +\infty}\arctan x=\dfrac{\pi}{2}$，$\lim\limits_{x\to -\infty}\arctan x=-\dfrac{\pi}{2}$。 + \item $\lim\limits_{x\to 0}[x]$不存在，因为$\lim\limits_{x\to 0^+}[x]=0$，$\lim\limits_{x\to 0^-}[x]=-1$ +\end{enumerate} + +\section{无穷大与无穷小} + +\subsection{无穷定义} + +无穷小\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}当$x\to x_0(\infty)$时，函数$f(x)$极限为0，就称$f(x)$为当$x\to x_0(\infty)$时的无穷小，记为：$\lim\limits_{x\to x_0(\infty)}f(x)=0$。 + +以0为极限的数列称为$n\to\infty$时的无穷小。 + +无穷小是变量，不能与很小的数相等。 + +零可以作为无穷小的唯一的数。 + +\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}$\lim f(x)=A\Leftrightarrow f(x)=A+o(x)$，其中$\lim o(x)=0$。 + +无穷大\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}当$x\to x_0(\infty)$时，函数$\vert f(x)\vert$无限增大，就称$f(x)$为当$x\to x_0(\infty)$时的无穷大，记为：$\lim\limits_{x\to x_0(\infty)}f(x)=\infty$。 + +若$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=\infty$则$x=x_0$为$y=f(x)$的垂直渐进线。 + +若$\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=a$则$y=a$为$y=f(x)$的水平渐进线。 + +\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}若同一极限过程中，$f(x)$为无穷大，则$\dfrac{1}{f(x)}$为无穷小，反之若$f(x)$为无穷小且不为0，则$\dfrac{1}{f(x)}$为无穷大。 + +\section{极限运算法则} + +\begin{enumerate} + \item 有限个无穷小的和是无穷小。 + \item 有界函数与无穷小的乘积是无穷小。 + \item 有限个无穷小的乘积是无穷小。 +\end{enumerate} + +\subsection{数列极限} + +若$\lim\limits_{n\to\infty}x_n=a$，$\lim\limits_{n\to\infty}y_n=b$则： + +\begin{enumerate} + \item $\lim\limits_{n\to\infty}x_n\pm y_n=a\pm b$。 + \item $\lim\limits_{n\to\infty}(x_ny_n)=\lim\limits_{n\to\infty}x_n\lim\limits_{n\to\infty}y_n=ab$。 + \item $\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{x_n}{y_n}=\dfrac{\lim\limits_{n\to\infty}x_n}{\lim\limits_{n\to\infty}y_n}=\dfrac{a}{b}(b\neq 0)$。 +\end{enumerate} + +\textbf{例题：}若$\lim\limits_{n\to\infty}(a_n+b_n)=1$且$\lim\limits_{n\to\infty}(a_n-b_n)=3$，计算$\lim\limits_{n\to\infty}a_n$与$\lim\limits_{n\to\infty}b_n$。 + +首先是不能通过运算法则第一条将两个条件直接加减的，因为不能保证两个极限是否都存在。 + +所以必须先令$u_n=a_n+b_n$，$v_n=a_n-b_n$，所以$\lim\limits_{n\to\infty}u_n=1$，$\lim\limits_{n\to\infty}v_n=3$。 + +因为这两个极限都存在，所以可以进行运算。 + +相加得到$\lim\limits_{n\to\infty}(u_n+v_n)=2\lim\limits_{n\to\infty}a_n=4$。 + +所以得到$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=2$。同理$\lim\limits_{n\to\infty}(u_n-v_n)$得到$\lim\limits_{n\to\infty}b_n=-1$。 + +\subsection{函数极限} + +若$\lim f(x)=A$，$\lim g(x)=B$（即两个极限都存在），则 + +\begin{enumerate} + \item $\lim[k\cdot f(x)\pm l\cdot g(x)]=k\lim f(x)\pm l\cdot g(x)=kA\pm lB$，其中$kl$为常数。 + \item $\lim[f(x)\cdot g(x)]=\lim f(x)\cdot\lim g(x)=A\cdot B$ + \item $\lim[f(x)]^n=[\lim f(x)]^n$，其中$n$为正整数。 + \item $\lim\dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{\lim f(x)}{\lim g(x)}=\dfrac{A}{B}(B\neq 0)$。 + \item $\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0}{b_mx^m+\cdots+b_{m-1}x^{m-1}+\cdots+b_1x+b_0}=\left\{ + \begin{array}{lcl} + \dfrac{a_n}{b_m}, & & n=m \\ + 0, & & nm + \end{array} + \right.$ + \item 若$f(x)\geqslant g(x)$，则$A\geqslant B$。 + \item 若$y=f[g(x)]$由$y=f(u)$与$u=g(x)$复合而成，且$\lim\limits_{x\to x_0}g(x)=u_0$且$\lim\limits_{u\to u_0}f(u)=a$，当$x\in\mathring{U}(x_0,\delta_0)$时，$g(x)\neq u_0$，则$\lim\limits_{x\to x_0}f[g(x)]=a$。 +\end{enumerate} + +对于结论7必须\textcolor{orange}{注意}$g(x)\neq u_0$。 + +假设$f(u)=\dfrac{u^2-1}{u-1}$，所以这个$f(x)$在$x=1$处应无定义。但是这并不影响$\lim\limits_{u\to 1}f(u)=2$。 + +假设$g(x)=\left\{ + \begin{array}{lcl} + 1+x, & & x<0 \\ + 1, & & x>0 + \end{array} +\right.$。 + +则$\lim\limits_{x\to 0}g(x)=1$，所以$\lim\limits_{x\to 0}f[g(x)]=2?$。 + +答案是不，因为当$x>0$时，$u=g(x)=1$，而$1$在$g(x)$中是无定义的，所以复合函数当$x>0$时无定义，从而在$0$处极限不存在。 + +\subsection{存在与不存在运算关系} + +\begin{enumerate} + \item 存在与不存在的和差一定为不存在。 + \item 不存在与不存在的和差不一定存在，如$\sin\dfrac{1}{x}+\sin\dfrac{1}{x}$与$\sin\dfrac{1}{x}+\left(-\sin\dfrac{1}{x}\right)$。 + \item 存在与不存在的乘积不一定存在，如$x\sin\dfrac{1}{x}$与$1\cdot\sin\dfrac{1}{x}$。 + \item 不存在与不存在的乘积不一定存在，如$\dfrac{1}{x}\cdot\dfrac{1}{x}$与$(-1)^n\cdot(-1)^n$。 +\end{enumerate} + +\section{极限存在准则与两个重要极限} + +\subsection{夹逼准则} + +\subsubsection{数列的夹逼准则} + +\begin{enumerate} + \item $y_n\leqslant x_n\leqslant z_n(n=1,2,3,\cdots)$。 + \item $\lim\limits_{n\to\infty}y_n=a,\lim\limits_{n\to\infty}z_n=a$。 + \item 则$\lim\limits_{n\to\infty}x_n=a$。 +\end{enumerate} + +证明： + +由于$\lim\limits_{n\to\infty}y_n=a,\lim\limits_{n\to\infty}z_n=a$。 + +则$\forall\varepsilon>0$，$\exists N$，当$n>N$时，$\vert y_n<\varepsilon$，$\vert z_n<\varepsilon$。 + +$\therefore a-\varepsilon0$，证明$a_{n+1}=\dfrac{1}{2}\left(a_n+\dfrac{2}{a_n}\right)$的极限存在并求出。 + +$\because a_1=a>0$，且递推式中没有负数与减的操作，所以$a_n>0$。 + +由重要不等式$\dfrac{a+b}{2}\geqslant\sqrt{ab}$，所以$a_{n+1}=\dfrac{1}{2}\left(a_n+\dfrac{2}{a_n}\right)\geqslant\sqrt{a_n\cdot\dfrac{2}{a_n}})=\sqrt{2}$ + +$\therefore$数列$\{a_n\}$有下界$\sqrt{2}$。 + +又$a_{n+1}-a_n=\dfrac{2-a_n^2}{2a_n}$，且由上面证明已知$a_n^2\geqslant\sqrt{2}$，所以该式子小于等于0。 + +$\therefore a_{n+1}\leqslant a_n$，得到数列单调减少。 + +由单调有界准则，$\lim\limits_{n\to\infty}a_n$存在并记为$A$。 + +将$A$代入递推式并两边求极限：$A=\dfrac{1}{2}(A+\dfrac{2}{A})$，得到$A=\pm\sqrt{2}$。 + +又因为保号性，数列下界为$\sqrt{2}$，所以$A=\sqrt{2}$。 + +\textbf{例题：}求证$x_{n+1}=\sin x_n$极限存在，$00\Rightarrow\{a_n\}\nearrow$ + +$ +\begin{aligned} + \text{\ding{173}}a_n & =\dfrac{1}{1\cdot 1}+\dfrac{1}{2\cdot 2}+\cdots+\dfrac{1}{n\cdot n} \\ + & \text{裂项相消} \\ + < & 1+\dfrac{1}{1\cdot 2}+\cdots+\dfrac{1}{(n-1)\cdot(n)} \\ + = & 1+(1-\dfrac{1}{2})+(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3})+\cdots+(\dfrac{1}{n-1}-\dfrac{1}{n}) \\ + = & 2-\dfrac{1}{n} \\ + < & 2 \text{ （上界）} +\end{aligned} +$ + +单调增且有上界，所以必然有极限。 + +\subsection{\texorpdfstring{$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}=1$}{}} + +证明：当$x\to 0$时$x\in[0,\dfrac{\pi}{2}]$。 + +\begin{tikzpicture}[scale=1.5] + \draw (0,0) circle (1); + \filldraw[black] (0,0) node[below]{$O$}; + \draw[black](0,0) -- (1,0) node[right]{$A$}; + \draw[black](0,0) -- (1/2,{sqrt(3)/2}) node[above]{$B$}; + \draw[black](1/2,{sqrt(3)/2}) -- (1/2,0) node[below]{$D$}; + \draw[black](1,0) -- (1,{sqrt(3)}) node[above]{$C$}; + \draw[black](1,0) -- (1/2,{sqrt(3)/2}); + \draw[black](1,{sqrt(3)}) -- (1/2,{sqrt(3)/2}); +\end{tikzpicture} + +设$\angle AOB$的弧度为$x$，圆$O$的半径为$1$，则$OD=\sin x$。 + +则$S_\vartriangle AOB=\dfrac{\sin x}{2}$。根据扇形面积公式：$S_{\text{扇形}}AOB=\dfrac{x}{2}$。 + +又$\because CA=\tan x$，则$S_\vartriangle AOC=\dfrac{\tan x}{2}$。 + +根据图，在$x\in[0,\dfrac{\pi}{2}]$，$\sin x0 + \end{array} \right. +$在$(-\infty,+\infty)$内连续，求$a$。 + +因为连续，所以$f(0)=\lim\limits_{x\to 0^+}f(x)=\lim\limits_{x\to 0^-}f(x)$。 + +$\therefore a=1$。 + +\textbf{例题：}若函数$f(x)=\dfrac{\ln\vert x\vert}{\vert x-1\vert}\sin x$，则x的间断点类型是？\medskip + +由式子的分式部分可知有两个无定义的间断点：$x=0$，$x=1$。\medskip + +$\lim\limits_{x\to 1}f(x)=\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{x-1}{\vert x-1\vert}\sin x=\left\{ + \begin{array}{lcl} + x\to 1^+ & \rightarrow & \sin 1 \\ + x\to 1^- & \rightarrow & -\sin 1 + \end{array} \right. +$。 + +所以$x=1$跳跃间断点。 + +$\lim\limits_{x\to 0}f(x)=\lim\limits_{x\to 0}\ln\vert x\vert\cdot\sin x=\lim\limits_{x\to 0}x\ln\vert x\vert=0$。 + +而$x=0$未定义，所以其为可去间断点。 + +\subsection{函数连续性} + +\subsubsection{连续函数四则运算的连续性} + +若两个函数在某点连续，则这两个函数的和差积商在该点都连续。但是如果两个在某点不连续的函数，其和差积商在某点的连续性都是不一定的，所以反过来，如果一个函数的和差积商是在某点连续的，不能说明这个组成的多个函数在该点是连续的。 + +\subsubsection{反函数的连续性} + +若函数在定义域是严格单调的函数，则其反函数在其原值域上也是连续的。 + +\subsubsection{复合函数的连续性} + +若$y=f(g(x))$由$y=f(u)$与$u=g(x)$复合而成，若$g(x)$在$x_0$处连续，$f(u)$在$u_0$处连续，且$u_0=g(x_0)$，则$f(g(x))$在$x_0$处连续。 + +\subsubsection{初等函数的连续性} + +基本初等函数在定义域上是连续的。 + +初等函数在定义区间上是连续的。 + +定义区间是定义域的子集。 + +\section{闭区间上连续函数的性质} + +设$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，则： + +\begin{enumerate} + \item 最大最小值定理：$f(x)$在$[a,b]$上必有最大值和最小值。 + \item 有界性定理：$f(x)$在$[a,b]$上必有界。 + \item 零点定理：若$f(a)f(b)<0$，则$\exists\,\xi\in[a,b]$使得$f(\xi)=0$。 + \item 介值定理：若$f(a)\neq f(b)$，$\mu$为介于$f(a)$与$f(b)$之间的任何值，那么至少存在$\xi\in[a,b]$使得$f(\xi)=\mu$。 +\end{enumerate} + +\textbf{例题：}证明方程$x=a\sin x+b(a>0,b>0)$中至少有一个正根，并且不超过$a+b$。 + +令$f(x)=x-a\sin x-b$，其中$f(0)=-b<0$，$f(a+b)=a+b=a\sin(a+b)-b=a[1-\sin(a+b)]\geqslant 0$。 + +若$\sin(a+b)=1$，则根为$a$，结论成立。 + +若$\sin(a+b)<1$，$\because f(a+b)\cdot f(0)<0$根据零点定理$\exists\,\xi\in[0,a+b]$使得$f(\xi)=0$，从而得证。 + + +\end{document} diff --git a/advanced-math/knowledge/2-derivatives-and-differential/derivatives-and-differential.tex b/advanced-math/knowledge/2-derivatives-and-differential/derivatives-and-differential.tex index a98f43d..afc0e93 100644 --- a/advanced-math/knowledge/2-derivatives-and-differential/derivatives-and-differential.tex +++ b/advanced-math/knowledge/2-derivatives-and-differential/derivatives-and-differential.tex @@ -1,651 +1,651 @@ -\documentclass[UTF8, 12pt]{ctexart} -% UTF8编码，ctexart现实中文 -\usepackage{xcolor} -% 使用颜色 -\definecolor{orange}{RGB}{255,127,0} -\definecolor{violet}{RGB}{192,0,255} -\definecolor{aqua}{RGB}{0,255,255} -\usepackage{geometry} -\setcounter{tocdepth}{4} -\setcounter{secnumdepth}{4} -% 设置四级目录与标题 -\geometry{papersize={21cm,29.7cm}} -% 默认大小为A4 -\geometry{left=3.18cm,right=3.18cm,top=2.54cm,bottom=2.54cm} -% 默认页边距为1英尺与1.25英尺 -\usepackage{indentfirst} -\setlength{\parindent}{2.45em} -% 首行缩进2个中文字符 -\usepackage{amssymb} -% 因为所以与其他数学拓展 -\usepackage{amsmath} -% 数学公式 -\usepackage[colorlinks,linkcolor=black,urlcolor=blue]{hyperref} -% 超链接 -\usepackage{setspace} -\renewcommand{\baselinestretch}{1.5} -% 1.5倍行距 -\usepackage{pifont} -% 圆圈序号 -\usepackage{tikz} -% 绘图 -\usepackage{array} -% 设置表格行距 -\author{Didnelpsun} -\title{导数与微分} -\date{} -\begin{document} -\renewcommand{\arraystretch}{1.5} -% 表格高1.5倍 -\maketitle -\thispagestyle{empty} -\tableofcontents -\thispagestyle{empty} -\newpage -\pagestyle{plain} -\setcounter{page}{1} -\section{导数概念} -\subsection{引例} - -设$f(x)$下$x$在$x_0$的邻域内，$\alpha$为切线所成夹角。 - -$\tan\alpha=f'(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=k$。 - -导数的本质是增量比的极限。 - -\subsection{定义} - -设$y=f(x)$定义在区间$I$上，让自变量在$x=x_0$处加一个增量$\Delta x$，其中$x_0\in I$，$x_0+\Delta x\in I$，则可得函数的增量$\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$。若函数增量$\Delta y$与自变量增量$\Delta x$的比值在$\Delta x\to 0$时的极限存在，则称函数$y=f(x)$在$x_0$处可导，并称这个极限为$y=f(x)$在点$x_0$处的导数，记作$f'(x)$，即$f'(x)=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$。\medskip - -下面三句话等价： - -\begin{enumerate} - \item $y=f(x)$在$x_0$处可导。 - \item $y=f(x)$在$x_0$处导数存在。 - \item $f'(x)=A$。（$A$为有限数） -\end{enumerate} - -单侧导数分为左导数和右导数。\medskip - -$f'_-(x)=\lim\limits_{\Delta x\to 0^-}\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$ - -$f'_+(x)=\lim\limits_{\Delta x\to 0^+}\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$\medskip - -所以$f(x)$在$x_0$处可导的充要条件是其左导数和右导数存在且相等。 - -若$f(x)$在$x_0$的左右，如$y=\vert x\vert$在$0$的左右出现了单侧的不同的切线，那这个$x_0$就是一个\textbf{角点}，该角点处不可导。 - -若$f(x)$在$x_0$处导数为无穷，如$y=x^{\frac{1}{3}}$在$0$处利用导数的极限定义计算得到为正无穷，那么该点的导数为无穷导数，在考研中被认为是不存在的。 - -\textbf{例题：}证明若$f(x)$为可导的偶函数，则$f'(x)$为奇函数，若$f(x)$为可导的奇函数，则$f'(x)$为偶函数。 - -该证明是准备部分的定理。 - -首先已知$f(-x)=f(x)$，证明$f'(-x)=-f'(x)$。 - -$\therefore$ - -$ -\begin{aligned} - f'(-x) &=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(-x+\Delta x)-f(-x)}{\Delta x} \\ - & =\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(x+(-\Delta x))}{\Delta x} \\ - & =-\lim\limits_{-\Delta x\to 0}\dfrac{f(x+(-\Delta x))}{-\Delta x} \\ - & =-f'(x) -\end{aligned} -$ - -同理得证$f(-x)=-f(x)\Rightarrow f'(-x)=f'(x)$。 - -\textbf{例题：}证明$f(x)$为可导的周期为$T$的周期函数，则$f'(x)$也是以$T$为周期的周期函数。 - -已知$f(x+T)=f(x)$，求证$f'(x+T)=f'(x)$。\medskip - -$\therefore f'(x+T)=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(x+T+\Delta x)-f(x+T)}{\Delta x}$ - -$=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}=f'(x)$。 - -\textbf{例题：}设$f(x)$是二阶可导的以2为周期的奇函数，且$f(\dfrac{1}{2})>0$，$f'(\dfrac{1}{2})>0$，比较$f(-\dfrac{1}{2})$、$f'(\dfrac{3}{2})$、$f''(0)$的大小。\medskip - -$\because f(x)$为二阶奇函数，$\therefore f(x)\text{奇函数}\Rightarrow f'(x)\text{偶函数}\Rightarrow f''(x)\text{奇函数}\Rightarrow f''(0)=0$。 - -$\therefore f(-\dfrac{1}{2})=-f(\dfrac{1}{2})<0$。 - -$\because f(x)T=2\Rightarrow f'(x)T=2$，$\therefore f'(\dfrac{3}{2})=f'(\dfrac{3}{2}-2)=f'(-\dfrac{1}{2})=f'(\dfrac{1}{2})>0$。 - -$\therefore f'(\dfrac{3}{2})>f''(0)>f(-\dfrac{1}{2})$。\medskip - -\textbf{例题：}$\left(x^\alpha\right)'=\alpha x^{\alpha-1}(x>0)$。\medskip - -$\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$\medskip - -$=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{\left(x+\Delta x\right)^\alpha-x^\alpha}{\Delta x}$\medskip - -$=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{x^\alpha\left[\left(1+\dfrac{\Delta x}{x}\right)^\alpha-1\right]}{\Delta x}$\medskip - -$=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{x^\alpha\cdot\alpha\cdot\dfrac{\Delta x}{x}}{\Delta x}$\medskip - -$=\alpha x^{\alpha-1}$ - -\subsection{导数的几何意义} - -导数$f'(x_0)$在几何上就是曲线$y=f(x)$在点$(x_0,f(x_0))$处切线的斜率。 - -切线方程：$y-y_0=f'(x_0)(x-x_0)$。 - -法线方程：$y-y_0=-\dfrac{1}{f'(x_0)}(x-x_0)$。 - -\subsection{可导与连续的关系} - -可导必连续，连续不一定可导。 - -\textbf{例题：}证明可导必连续。 - -已知连续定义：$\lim\limits_{\Delta x\to 0}f(x+\Delta x)=f(x)$，即$\lim\limits_{\Delta x\to 0}f(x+\Delta x)-f(x)=0$。 - -可导定义：$f'(x)=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} = A$ - -$\lim\limits_{\Delta x\to 0}f(x+\Delta x)-f(x)$ - -$=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\cdot\Delta x$ - -$=A\cdot 0$ - -$=0$ - -\textbf{例题：}若$f(x)$在$x=x_0$处连续，且$\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f(x)}{x-x_0}=A$，则$f(x_0)=0$且$f'(x_0)=A$。 - -证明：$\because\text{连续，}\therefore f(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f(x)}{x-x_0}(x-x_0)=A\cdot 0=0$。 - -又$f'(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f(x)}{x-x_0}=A$。 - -如$\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{f(x)}{x-1}=2$且$f(x)$连续，可以推出$f(1)=0$与$f'(1)=2$。 - - -\section{函数求导法则} - -\subsection{四则运算} - -若函数可导： - -\begin{enumerate} - \item 和差的导数：$[u(x)\pm v(x)]'=u'(x)\pm v'(x)$。 - \item 积的导数：$[u(x)v(x)]'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)$，\\ $[u(x)v(x)w(x)]'=u'(x)v(x)w(x)+u(x)v'(x)w(x)+u(x)v(x)+w'(x)$。 - \item 商的导数：$\left[\dfrac{u(x)}{v(x)}\right]'=\dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}$，$v(x)\neq 0$。 -\end{enumerate} - -\textbf{例题：}证明$(uv)'=u'v+uv'$。 - -令$f(x)=u(x)v(x)$。 - -$(u\cdot v)'$ - -$=f'(x)$ - -$=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$ - -$=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{u(x+\Delta x)v(x+\Delta x)-u(x)v(x)}{\Delta x}$ - -$=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{u(x+\Delta x)v(x+\Delta x)-u(x)v(x+\Delta x)+u(x)v(x+\Delta x)-u(x)v(x)}{\Delta x}$ - -$=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{u(x+\Delta x)-u(x)}{\Delta x}v(x+\Delta x) +\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{v(x+\Delta x)-v(x)}{\Delta x}u(x)$ - -$=u'(x)v(x)+v'(x)u(x)$ - -\subsection{反函数导数} - -\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}$y=f(x)$可导，且$f'(x)\neq 0$， - -则存在反函数$x=\varphi(y)$，且$\dfrac{\textrm{d}x}{\textrm{d}y}=\dfrac{1}{\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}}$，即$\varphi'(x)=\dfrac{1}{f'(x)}$。\medskip - -$y=f(x)$可导，且$f'(x)\neq 0$就是指严格单调，而严格单调必有反函数。 - -\textbf{例题：}求$y=\arcsin x,x\in(-1,1)$与$y=\arctan x$的导数。 - -首先反三角函数就是三角函数的反函数。 - -求$y=\arcsin x$，即$x=\sin y$。\medskip - -$\therefore\dfrac{\textrm{d}\arcsin x}{\textrm{d}x}=\dfrac{1}{\dfrac{\textrm{d}\sin y}{\textrm{d}y}}=\dfrac{1}{\cos y}=\dfrac{1}{\sqrt{1-\sin^2y}}=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$。\medskip - -求$y=\arctan x$，就$x=\tan y$。\medskip - -$\therefore\dfrac{\textrm{d}\arctan x}{\textrm{d}x}=\dfrac{1}{\dfrac{\textrm{d}\tan y}{\textrm{d}y}}=\dfrac{1}{\sec^2y}=\dfrac{1}{1+\tan^2y}=\dfrac{1}{1+x^2}$。\medskip - -二阶反函数导数\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}： - -$f''(x)$ - -$=y''_{xx}$\medskip - -$=\dfrac{\textrm{d}\left(\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}\right)}{\textrm{d}x}$\medskip - -$=\dfrac{\textrm{d}^2y}{\textrm{d}x^2}$\medskip - -$=\dfrac{\textrm{d}\left(\dfrac{1}{\varphi'(y)}\right)}{\textrm{d}x}$\medskip - -$=\dfrac{\textrm{d}\left(\dfrac{1}{\varphi'(y)}\right)}{\textrm{d}y}\cdot\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}$\medskip - -$=-\dfrac{x_{yy}''}{(x_y')^2}\cdot\dfrac{1}{x_y'}$\medskip - -$=-\dfrac{x_{yy}''}{(x_y')^3}$\medskip - -其中$\textrm{d}x\cdot\textrm{d}x=(\textrm{d}x)^2=\textrm{d}x^2$称为微分的幂，而$\textrm{d}(x^2)$叫幂的微分。 - -\textbf{例题：}设$y=f(x)$的反函数是$x=\varphi(y)$，且$f(x)=\int_1^{2x}e^{t^2}\textrm{d}t+1$，求$\varphi''(1)$。 - -$\because y=f(x)$，$\therefore x=\varphi(y)$，$x_{yy}''=\varphi''(y)=-\dfrac{y_{xx}''}{(y_x')^3}=-\dfrac{f''(x)}{[f'(x)]^3}$。\medskip - -其中根据变限积分求导公式：$f'(x)=2e^{4x^2}$，$f''(x)=2e^{4x^2}\cdot 8x=16xe^{4x^2}$。\medskip - -又$y=1\Rightarrow x=\dfrac{1}{2}\Rightarrow\varphi''(1)=-\dfrac{f''\left(\dfrac{1}{2}\right)}{\left[f'\left(\dfrac{1}{2}\right)\right]^3}=-\dfrac{1}{e^2}$。 - -\subsection{复合函数的导数} - -$u=g(x)$在$x$可导，$y=f(u)$在$u=g(x)$处可导，则$\{f[g(x)]\}'=f'[g(x)]g'(x)$。 - -\textbf{例题：}设$f(x)=\prod\limits_{n=1}^{100}\left(\tan\dfrac{\pi x^a}{4}-n\right)$，则$f'(1)$为？ - -原式=$\left(\tan\dfrac{\pi x}{4}-1\right)\left(\tan\dfrac{\pi x^2}{4}-2\right)\cdots\left(\tan\dfrac{\pi x^100}{4}-100\right)$。 - -令$\left(\tan\dfrac{\pi x^2}{4}-2\right)\cdots\left(\tan\dfrac{\pi x^100}{4}-100\right)=g(x)$。\medskip - -$\therefore f(x)=\left(\tan\dfrac{\pi x}{4}-1\right)\cdot g(x)$。\medskip - -$\therefore f'(x)=\sec^2\dfrac{\pi x}{4}\cdot\dfrac{\pi}{4}\cdot g(x)+\left(\tan\dfrac{\pi x}{4}-1\right)\cdot g'(x)$。\medskip - -$\therefore$根据导数的四则运算，需要导数的乘积为每一项求导乘以其他不求导项的和，而$\tan\dfrac{\pi x}{4}-1$当$x=1$时为0，只要它不求导，其他的项都必然是0，所以原式的后面的结果都是0。 - -$\therefore$ - -$f'(1)$ - -$=f'(x)\vert_{x=1}$\medskip - -$=\dfrac{\pi}{2}\cdot g(1)+0\cdot g'(x)$\medskip - -$=\dfrac{\pi}{2}\cdot g(1)$\medskip - -$=\dfrac{\pi}{2}(-1)(-2)\cdots(-99)$ - -$=-\dfrac{\pi}{2}\cdot 99!$ - -\subsection{分段函数的导数} - -设$f(x)=\left\{ - \begin{array}{lcl} - f_1(x), & & x\geqslant x_0 \\ - f_2(x), & & xx_0,f'(x)=f_1'(x),x<0，f'(x)=f_2'(x)$。 - -\subsection{对数求导法} - -对于多项相乘、相除、开方、乘方的式子，一般先取对数再求导，设$y=f(x)(f(x)>0)$，则\ding{172}等式两边取对数：$\ln y=\ln f(x)$。\ding{173}两边对自变量$x$求导，得$\dfrac{1}{y}y'=[\ln f(x)]'\Rightarrow y'=y[\ln f(x)]'$。 - -\textbf{例题：}求$y=\sqrt[3]{\dfrac{(x+1)(2x-1)^2}{(4-3x)^5}}$的导数。 - -取对数：$\ln\vert y\vert=\dfrac{1}{3}[\ln\vert x+1\vert+2\ln\vert 2x-1\vert-5\ln\vert 4-3x\vert]$。 - -$\because \ln\vert y\vert'=\ln y'$。 - -两边对x求导：\medskip - -$\dfrac{y'}{y}=\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{4}{2x-1}-\dfrac{5}{4-3x}\cdot(-3)\right)$ - -$\therefore y'=\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{4}{2x-1}-\dfrac{5}{4-3x}\cdot(-3)\right)y$ - -\subsection{幂指函数求导法} - -非常重要。 - -对于$u(x)^{v(x)}(u(x)>0,u(x)\neq 1)$，除了对数求导法外还可以使用指数函数$u(x)^{v(x)}=e^{v(x)\ln u(x)}$。 - -然后求导得到$[u(x)^{v(x)}]'=[e^{v(x)\ln u(x)}]'$ - -$=u(x)^{v(x)}\left[v'(x)\ln u(x)+v(x)\cdot\dfrac{u'(x)}{u(x)}\right]$。 - -\textbf{例题：}求$y=x^x(x>0)$的导数。 - -$\because x^x=e^{x\ln x}$，$\therefore (x^x)'=(e^{x\ln x})'=x^x\cdot(\ln x+1)$。 - -\textbf{例题：}求解$y=x^{\frac{1}{x}}(x>0)$的整数最大值。 - -$\because y=x^{\frac{1}{x}}=e^{\frac{1}{x}\ln x}$。 - -$\therefore y'=\left(x^{\frac{1}{x}}\right)=\left(e^{\frac{1}{x}\ln x}\right)'=x^{\frac{1}{x}}\cdot\dfrac{1-\ln x}{x^2}$。 - -令导数结果为0，因为$x^{\frac{1}{x}}$与$x^2$在$x>0$时都不为0，所以只有一个驻点$x=e$。 - -$0e$时函数在区间减。 - -研究驻点左侧情况，求对应的极限：$e^{\lim\limits_{x\to 0^+}\frac{\ln x}{x}}=e^{-\infty}\to 0$。 - -研究驻点右侧情况，求对应的极限：$e^{\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x}}=e^0\to 1$。 - -\begin{tikzpicture}[scale=0.5] - \draw[-latex](-0.5,0) -- (10,0) node[below]{$x$}; - \draw[-latex](0,-0.5) -- (0,3) node[above]{$y$}; - \draw[black, thick, domain=0.1:10] plot (\x,{pow(\x,pow(\x,-1))}); - \filldraw[black] (8,2.5) node{$y=x^{\frac{1}{x}}$}; - \filldraw[white, draw=black, line width=1pt] (0,0) circle (4pt); - \filldraw[black] (0,0) node[below]{$O$}; - \filldraw[black] (e,1.5) circle (4pt); - \filldraw[black] (e,1.5) node[above]{$(e,\sqrt[e]{e})$}; - \draw[black, densely dashed](e,1.5) -- (e,0) node[below]{$e$}; - \draw[black, densely dashed](10,1.5) -- (0,1.5) node[left]{$\sqrt[e]{e})$}; -\end{tikzpicture} - -所以必然在$\sqrt{2}$与$\sqrt[3]{3}$两点取得整数最大值，而全部六次方后$\sqrt{2}^6=8<\sqrt[3]{3}=9$，所以$\sqrt[3]{3}$为最大整数解。 - -\section{高阶导数} - -\subsection{定义} - -高阶导数\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}$f^{(n)}(x_0)=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{f^{(n-1)}(x_0+\Delta x)-f^{(n-1)}(x_0)}{\Delta x}$，其中$n\geqslant 2$且$n\in N^+$，$f^{(n-1)}(x)$在$x_0$的某领域内有定义，$x_0+\Delta x$也在该邻域内。 - -若$f^{(n)}(x)$在区间$I$上连续，称$f(x)$在$I$上$n$阶连续可导。 - -\begin{itemize} - \item $(e^x)^{(n)}=e^x$。 - \item $(\sin x)^{(n)}=\sin(x+n\dfrac{\pi}{2})$。 - \item $(\cos x)^{(n)}=\cos(x+n\dfrac{\pi}{2})$。 - \item $(\ln(1+x))^{(n)}=(-1)^{n-1}\dfrac{(n-1)!}{(1+x)^n}$。 -\end{itemize} - -\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}} - -设$u,v$都是$n$阶可导，则： - -\begin{itemize} - \item $(u\pm v)^{(n)}=u^{(n)}\pm v^{(n)}$。 - \item 莱布尼兹公式：$(uv)^{(n)}=\sum_{k=0}^nC_n^ku^{(n-k)}v^{(k)}$。 -\end{itemize} - -\subsection{归纳法} - -即依次求导得出规律。 - -$(a^x)^n=a^x(\ln a)^{(n)}$，如$y=2^x$，则$y'=2^x\ln 2$，$y''=2^x(\ln 2)^2\cdots$得到$y^{(n)}=2^x(\ln 2)^n,n\in N$。 - -\textbf{例题：}求$\sin x$的$n$阶导数。 - -$\because \sin x'=\cos x$而不断求导会发现正负号会++--++--地变化而难以归纳为公式，所以需要另想办法。 - -使用诱导公式： - -$y'=\cos x=\sin(x+\dfrac{\pi}{2})$ - -$y''=\cos(x+\dfrac{\pi}{2})=\sin(x+\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{\pi}{2})$ - -$\cdots$ - -$y^{(n)}=\sin(x+\dfrac{\pi}{2}\cdot n)$ - -\subsection{莱布尼茨公式} - -设$u=u(x)$，$v=v(x)$均$n$阶可导，则$(uv)^{(n)}=\sum_{k=0}^nC_n^ku^{(n-k)}v^{(k)}$。 - -展开：$(uv)^{(n)}=C_n^0u^{(n)}v^{(0)}+C_n^1u^{(n-1)}v'+\cdots+C_n^nu^{(0)}v^{(n)}$。 - -莱布尼兹公式里的系数与考研数学准备章节的因式分解公式的二次项公式的系数一致，可以使用杨辉三角形来记忆： - -\begin{tikzpicture}[scale=0.9] - \node[black] at (0,0) {$C_0^0$}; - \node[black] at (-1,-1) {$C_1^0$}; - \node[black] at (0,-1) {$C_1^1$}; - \node[black] at (-2,-2) {$C_2^0$}; - \node[black] at (-1,-2) {$C_2^1$}; - \node[black] at (-0,-2) {$C_2^2$}; - \node[black] at (-3,-3) {$C_3^0$}; - \node[black] at (-2,-3) {$C_3^1$}; - \node[black] at (-1,-3) {$C_3^2$}; - \node[black] at (-0,-3) {$C_3^3$}; - \node[black] at (-4,-4) {$C_4^0$}; - \node[black] at (-3,-4) {$C_4^1$}; - \node[black] at (-2,-4) {$C_4^2$}; - \node[black] at (-1,-4) {$C_4^3$}; - \node[black] at (-0,-4) {$C_4^4$}; -\end{tikzpicture} -\hspace{2.5em} -\begin{tikzpicture}[scale=0.9] - \node[black] (0) at (0,0) {1}; - \node[black] (1) at (-1,-1) {1}; - \node[black] (2) at (1,-1) {1}; - \node[black] (3) at (-2,-2) {1}; - \node[black] (4) at (0,-2) {2}; - \node[black] (5) at (2,-2) {1}; - \node[black] (6) at (-3,-3) {1}; - \node[black] (7) at (-1,-3) {3}; - \node[black] (8) at (1,-3) {3}; - \node[black] (9) at (3,-3) {1}; - \node[black] (10) at (-4,-4) {1}; - \node[black] (11) at (-2,-4) {4}; - \node[black] (12) at (0,-4) {6}; - \node[black] (13) at (2,-4) {4}; - \node[black] (14) at (4,-4) {1}; - \draw[-,thick] (0) to (1); - \draw[-,thick] (0) to (2); - \draw[-,thick] (1) to (3); - \draw[-,thick] (1) to (4); - \draw[-,thick] (2) to (4); - \draw[-,thick] (2) to (5); - \draw[-,thick] (3) to (6); - \draw[-,thick] (3) to (7); - \draw[-,thick] (4) to (7); - \draw[-,thick] (4) to (8); - \draw[-,thick] (5) to (8); - \draw[-,thick] (5) to (9); - \draw[-,thick] (6) to (10); - \draw[-,thick] (6) to (11); - \draw[-,thick] (7) to (11); - \draw[-,thick] (7) to (12); - \draw[-,thick] (8) to (12); - \draw[-,thick] (8) to (13); - \draw[-,thick] (9) to (13); - \draw[-,thick] (9) to (14); -\end{tikzpicture} - -\textbf{例题：}已知函数$y=e^x\cos x$，求$y^{(4)}$。 - -根据莱布尼兹公式： - -$(e^x\cos x)^{(4)}$ - -$=C_4^0e^x\cos x+C_4^1e^x(-\sin x)+C_4^2e^x(-\cos x)+C_4^3e^x(\sin x)+C_4^4e^x(\cos x)$ - -$=e^x\cos x+4e^x(-\sin x)+6e^x(-\cos x)+4e^x\sin x+e^x\cos x$ - -$=-4e^x\cos x$ - -\section{隐函数与参数方程的导数以及相关变化率} - -\subsection{隐函数求导法} - -设函数$y=y(x)$由方程$F(x,y)=0$确定的可导函数，则\ding{172}方程两边对自变量$x$求导，（$y=y(x)$就是将$y$看作中间变量）得到一个关于$y'$的方程。\ding{173}解该方程就可以得出$y'$。 - -\textbf{例题：}设$y=y(x)$是由方程$\sin(xy)=\ln\dfrac{x+e}{y}+1$确定的隐函数，求$y'(0)$。 - -两边求导： - -$ -\begin{aligned} - \sin(xy) &=\ln(x+e)-\ln(y)+1 \\ - \cos(xy)(y+xy') &=\dfrac{1}{x+e}-\dfrac{y'}{y} \\ - \because\text{将0代入} & x=0, y=e^2 \\ - e^2&=\dfrac{1}{e}-\dfrac{y'(0)}{e^2} \\ - y'(0) & =e-e^4 -\end{aligned} -$ - -\subsection{参数方程函数导数} - -设函数$y=y(x)$由参数方程$\left\{ - \begin{array}{l} - x=\varphi(t) \\ - y=\psi(t) - \end{array} -\}\right.$确定，其中$t$为参数，且$\varphi(t)\psi(t)$对于$t$都可导，$\varphi(t)\neq 0$，则： - -\medskip - -一阶导数：$\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}=\dfrac{\textrm{d}y/\textrm{d}t}{\textrm{d}x/\textrm{d}t}=\dfrac{\psi'(t)}{\varphi'(t)}=u(t)$。 - -二阶导数：$\dfrac{\textrm{d}^2y}{\textrm{d}x^2}=\dfrac{\textrm{d}\left(\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}\right)}{\textrm{d}x}=\dfrac{\textrm{d}\left(\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}\right)/\textrm{d}t}{\textrm{d}x/\textrm{d}t}=\dfrac{\textrm{d}u/\textrm{d}t}{\textrm{d}x/\textrm{d}t}=\dfrac{u'_t}{x'_t}$ - -\textbf{例题：}设$y=y(x)$由方程$\left\{ -\begin{array}{l} - x=\sin t \\ - y=t\sin t+\cos t -\end{array} -\right. -$（$t$为参数）确定，求$\dfrac{\textrm{d}^2y}{\textrm{d}x^2}\vert_{t=\frac{\pi}{4}}$。 - -求参数方程的二阶导数首先就要求出其一阶导数：\medskip - -$\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}=\dfrac{y_t'}{x_t'}=\dfrac{t\cos t}{\cos t}=t$。\medskip - -$\therefore\dfrac{\textrm{d}^2y}{\textrm{d}x^2}=\dfrac{\textrm{d}\left(\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}\right)}{\textrm{d}x}=\dfrac{t_t'}{(\sin t)_t'}=\dfrac{1}{\cos t}$\medskip - -$\therefore \sqrt{2}$。 - -当所求是极坐标方程时，可以使用$x=\rho(\theta)\cos\theta$和$y=\rho(\theta)\sin\theta$进行转换为参数方程然后进行求导。 - -\subsection{相关变化率} - -列出依赖于$t$的相关变化率关系式，然后等式两端对$t$求导。 - -\section{函数微分} - -\subsection{定义} - -有一个边长为$x$的正方形，变化了$\Delta x$，其面积$\Delta S=(x+\Delta x)^2-x^2=2x\Delta x+(\Delta x)^2$。 - -当$\Delta x\to 0$时，将这个变化定义为$2x\cdot\Delta x+o(\Delta x)$，前项为线性主部，后面为误差。这个就是$S$的微分。 - -增量$\Delta y=f(x_0+\Delta)-f(x_0)=A\Delta x+o(\Delta x)$，这个$A\Delta x$定义为$\textrm{d}y$，叫做$y$的微分。 - -$\therefore \textrm{d}y\vert_{x=x_0}=A\Delta x=y'(x_0)\cdot\Delta x=y'(x_0)\cdot\textrm{d}x$ - -由此，可导必可微，可微必可导。 - -\begin{tikzpicture}[scale=0.9] - \draw[-latex](-0.5,0) -- (4.5,0) node[below]{$x$}; - \draw[-latex](0,-0.5) -- (0,4) node[above]{$y$}; - \draw[black, thick, domain=-0.5:3] plot (\x,{pow(\x-1,2)/2+1}) node[above]{$y(x)$}; - \filldraw[black] (0,0) node[below]{$O$}; - \draw[black, densely dashed](1.5,1.125) -- (1.5,0) node[below]{$x_0$}; - \draw[black, densely dashed](1.5,1.125) -- (0,1.125) node[left]{$y_0$}; - \draw[black, densely dashed](3,3) -- (3,0) node[below]{$x_0+\Delta x$}; - \draw[black, densely dashed](3,3) -- (0,3) node[left]{$y_0+\Delta x$}; - \draw[black, densely dashed](3,1.875) -- (0,0.375) node[left]{$\textrm{d}y\cdot x+b$}; - \draw[<->, black](1.5,1.125) -- (3,1.125); - \draw[<->, black](4,1.125) -- (4,3); - \draw[<->, black](3.25,1.125) -- (3.25,1.875); - \draw[<->, black](3.25,3) -- (3.25,1.875); - \draw[black](3,3) -- (4.5,3); - \draw[black](3,1.125) -- (4.5,1.125); - \draw[black](3,1.875) -- (3.75,1.875); - \filldraw[black] (2.25,0.75) node{$\Delta x$}; - \filldraw[black] (4.3,2) node{$\Delta y$}; - \filldraw[black] (3.5,1.5) node{\scriptsize{$\textrm{d}y$}}; - \filldraw[black] (3.5,2.5) node{\scriptsize{$o(\Delta x)$}}; -\end{tikzpicture} - -所以可微就是用简单线性取代复杂线性，如图用直线取替代曲线。微分就是瞬时改变量，而导数就是瞬时改变速率。 - -\subsection{基本运算} - -\subsubsection{四则运算} - -若函数可导： - -\begin{enumerate} - \item 和差的微分：$\textrm{d}[u(x)\pm v(x)]=\textrm{d}u(x)\pm\textrm{d}v(x)$。 - \item 积的微分：$\textrm{d}[u(x)v(x)]=u(x)\textrm{d}v(x)+v(x)\textrm{d}u(x)$。 - \item 商的微分：$\textrm{d}\left[\dfrac{u(x)}{v(x)}\right]=\dfrac{v(x)\textrm{d}u(x)-u(x)\textrm{d}v(x)}{[v(x)]^2}$，$v(x)\neq 0$。 - \item 复合函数的微分：链式求导法则$\dfrac{\textrm{d}u}{\textrm{d}x}=\dfrac{\textrm{d}u}{\textrm{d}y}\cdot\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}$。 -\end{enumerate} - -\subsubsection{微分形式不变性} - -设$y=f(u)$可微，$u=g(x)$可微，则$y=f(g(x))$可微，且$\textrm{d}y=y'_{x}\textrm{d}x=y'_{u}\textrm{d}u$。即对哪个变量求导都是一样的，即$\textrm{d}\{f\,[g(x)]\}=f\,'[g(x)]g'(x)\textrm{d}x$。 - -一阶微分形式不变性指：$\textrm{d}f\,(\varsigma)=f\,'(\varsigma)\textrm{d}\varsigma$，无论$\varsigma$是什么（类似导数的链式求导法则）。 - -\textbf{例题：}设$y=e^{\sin(\ln x)}$，求$\textrm{d}y$。 - -$\because y=e^{\sin(\ln x)} \therefore$ - -$ -\begin{aligned} - \textrm{d}y &=\textrm{d}e^{\sin(\ln x)} \\ - & =e^{\sin(\ln x)}\cdot\textrm{d}(\sin(\ln x)) \\ - & =e^{\sin(\ln x)}\cdot\cos(\ln x)\cdot\textrm{d}\ln x \\ - & =e^{\sin(\ln x)}\cdot\cos(\ln x)\cdot\dfrac{1}{x}\textrm{d}x -\end{aligned} -$ - -\section{基本求导公式} - -\subsection{对幂指函数} - -\begin{center} - \begin{tabular}{|c|c|c|c|} - \hline - 原函数 & 导函数 & 原函数 & 导函数\\ \hline - $C$ & $0$ & $n^x$ & $n^x\ln n$ \\ \hline - $\log_ax$ & $\dfrac{1}{x\ln a}$ & $\ln x=\ln\vert x\vert$ & $\dfrac{1}{x}$ \\ \hline - $x^n$ & $nx^{n-1}$ & $\sqrt[n]{x}$ & $\dfrac{x^{-\frac{n-1}{n}}}{n}$ \\ \hline - $\dfrac{1}{x^n}$ & $-\dfrac{n}{x^{n+1}}$ & & \\ - \hline - \end{tabular} -\end{center} - -\subsection{三角与反三角函数} - -\begin{center} - \begin{tabular}{|c|c|c|c|} - \hline - 原函数 & 导函数 & 原函数 & 导函数\\ \hline - $\sin x$ & $\cos x$ & $\cos x$ & $-\sin x$ \\ \hline - $\tan x$ & $\dfrac{1}{\cos^2x}=\sec^2x$ & $\cot x$ & $\dfrac{1}{\sin^2x}=\csc^2x$ \\ \hline - $\sec x$ & $\sec x\tan x$ & $\csc x$ & $-\csc x\cot x$ \\ \hline - $\arcsin x$ & $\dfrac{1}{1-x^2}$ & $\arccos x$ & $-\dfrac{1}{1-x^2}$ \\ \hline - $\arctan x$ & $\dfrac{1}{1+x^2}$ & $\textrm{arccot}\,x$ & $-\dfrac{1}{1+x^2}$ \\ \hline - $\textrm{arcsec}\,x$ & $\dfrac{1}{x\sqrt{x^2-1}}$ & $\textrm{arccsc}\,x$ & $-\dfrac{1}{x\sqrt{x^2-1}}$ \\ \hline - \hline - \end{tabular} -\end{center} - -\subsection{双曲与反双曲函数} - -\begin{itemize} - \item 双曲正弦：$\textrm{sinh}\,x=\textrm{sh}\,x=\dfrac{e^{x}-e^{-x}}{2}$。 - \item 双曲余弦：$\textrm{cosh}\,x=\textrm{ch}\,x=\dfrac{e^{x}+e^{-x}}{2}$。 - \item 双曲正切：$\textrm{tanh}\,x=\textrm{th}\,x=\dfrac{\textrm{sinh}\,x}{\textrm{cosh}\,x}=\dfrac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}$。 - \item 双曲余切：$\textrm{coth}\,x=\dfrac{\textrm{cosh}\,x}{\textrm{sinh}\,x}=\dfrac{e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}$。 - \item 双曲正割：$\textrm{sech}\,x=\dfrac{1}{\textrm{cosh}\,x}=\dfrac{2}{e^{x}+e^{-x}}$。 - \item 双曲余割：$\textrm{csch}\,x=\dfrac{1}{\textrm{sinh}\,x}=\dfrac{2}{e^{x}-e^{-x}}$。 - \item 反双曲正弦：$\textrm{arcsinh}\,x=\ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)$。 - \item 反双曲余弦：$\textrm{arccosh}\,x=\ln\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)$。 - \item 反双曲正切：$\textrm{arctanh}\,x=\dfrac{1}{2}\ln\left(\dfrac{1+x}{1-x}\right)$。 -\end{itemize} - -\begin{center} - \begin{tabular}{|c|c|c|c|} - \hline - 原函数 & 导函数 & 原函数 & 导函数\\ \hline - $\textrm{sinh}\,x$ & $\textrm{cosh}\,x$ & $\textrm{cosh}\,x$ & $\textrm{sinh}\,x$ \\ \hline - $\textrm{tanh}\,x$ & $\dfrac{1}{\textrm{cosh}\,x^2}$ & $\textrm{arcsinh}\,x$ & $\dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}}$ \\ \hline - $\textrm{arccosh}\,x$ & $\dfrac{1}{\sqrt{x^2-1}}$ & $\textrm{arctan}\,x$ & $\dfrac{1}{1-x^2}$ \\ - \hline - \end{tabular} -\end{center} - -\end{document} +\documentclass[UTF8, 12pt]{ctexart} +% UTF8编码，ctexart现实中文 +\usepackage{xcolor} +% 使用颜色 +\definecolor{orange}{RGB}{255,127,0} +\definecolor{violet}{RGB}{192,0,255} +\definecolor{aqua}{RGB}{0,255,255} +\usepackage{geometry} +\setcounter{tocdepth}{4} +\setcounter{secnumdepth}{4} +% 设置四级目录与标题 +\geometry{papersize={21cm,29.7cm}} +% 默认大小为A4 +\geometry{left=3.18cm,right=3.18cm,top=2.54cm,bottom=2.54cm} +% 默认页边距为1英尺与1.25英尺 +\usepackage{indentfirst} +\setlength{\parindent}{2.45em} +% 首行缩进2个中文字符 +\usepackage{amssymb} +% 因为所以与其他数学拓展 +\usepackage{amsmath} +% 数学公式 +\usepackage[colorlinks,linkcolor=black,urlcolor=blue]{hyperref} +% 超链接 +\usepackage{setspace} +\renewcommand{\baselinestretch}{1.5} +% 1.5倍行距 +\usepackage{pifont} +% 圆圈序号 +\usepackage{tikz} +% 绘图 +\usepackage{array} +% 设置表格行距 +\author{Didnelpsun} +\title{导数与微分} +\date{} +\begin{document} +\renewcommand{\arraystretch}{1.5} +% 表格高1.5倍 +\maketitle +\thispagestyle{empty} +\tableofcontents +\thispagestyle{empty} +\newpage +\pagestyle{plain} +\setcounter{page}{1} +\section{导数概念} +\subsection{引例} + +设$f(x)$下$x$在$x_0$的邻域内，$\alpha$为切线所成夹角。 + +$\tan\alpha=f'(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=k$。 + +导数的本质是增量比的极限。 + +\subsection{定义} + +设$y=f(x)$定义在区间$I$上，让自变量在$x=x_0$处加一个增量$\Delta x$，其中$x_0\in I$，$x_0+\Delta x\in I$，则可得函数的增量$\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$。若函数增量$\Delta y$与自变量增量$\Delta x$的比值在$\Delta x\to 0$时的极限存在，则称函数$y=f(x)$在$x_0$处可导，并称这个极限为$y=f(x)$在点$x_0$处的导数，记作$f'(x)$，即$f'(x)=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$。\medskip + +下面三句话等价： + +\begin{enumerate} + \item $y=f(x)$在$x_0$处可导。 + \item $y=f(x)$在$x_0$处导数存在。 + \item $f'(x)=A$。（$A$为有限数） +\end{enumerate} + +单侧导数分为左导数和右导数。\medskip + +$f'_-(x)=\lim\limits_{\Delta x\to 0^-}\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$ + +$f'_+(x)=\lim\limits_{\Delta x\to 0^+}\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$\medskip + +所以$f(x)$在$x_0$处可导的充要条件是其左导数和右导数存在且相等。 + +若$f(x)$在$x_0$的左右，如$y=\vert x\vert$在$0$的左右出现了单侧的不同的切线，那这个$x_0$就是一个\textbf{角点}，该角点处不可导。 + +若$f(x)$在$x_0$处导数为无穷，如$y=x^{\frac{1}{3}}$在$0$处利用导数的极限定义计算得到为正无穷，那么该点的导数为无穷导数，在考研中被认为是不存在的。 + +\textbf{例题：}证明若$f(x)$为可导的偶函数，则$f'(x)$为奇函数，若$f(x)$为可导的奇函数，则$f'(x)$为偶函数。 + +该证明是准备部分的定理。 + +首先已知$f(-x)=f(x)$，证明$f'(-x)=-f'(x)$。 + +$\therefore$ + +$ +\begin{aligned} + f'(-x) &=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(-x+\Delta x)-f(-x)}{\Delta x} \\ + & =\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(x+(-\Delta x))}{\Delta x} \\ + & =-\lim\limits_{-\Delta x\to 0}\dfrac{f(x+(-\Delta x))}{-\Delta x} \\ + & =-f'(x) +\end{aligned} +$ + +同理得证$f(-x)=-f(x)\Rightarrow f'(-x)=f'(x)$。 + +\textbf{例题：}证明$f(x)$为可导的周期为$T$的周期函数，则$f'(x)$也是以$T$为周期的周期函数。 + +已知$f(x+T)=f(x)$，求证$f'(x+T)=f'(x)$。\medskip + +$\therefore f'(x+T)=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(x+T+\Delta x)-f(x+T)}{\Delta x}$ + +$=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}=f'(x)$。 + +\textbf{例题：}设$f(x)$是二阶可导的以2为周期的奇函数，且$f(\dfrac{1}{2})>0$，$f'(\dfrac{1}{2})>0$，比较$f(-\dfrac{1}{2})$、$f'(\dfrac{3}{2})$、$f''(0)$的大小。\medskip + +$\because f(x)$为二阶奇函数，$\therefore f(x)\text{奇函数}\Rightarrow f'(x)\text{偶函数}\Rightarrow f''(x)\text{奇函数}\Rightarrow f''(0)=0$。 + +$\therefore f(-\dfrac{1}{2})=-f(\dfrac{1}{2})<0$。 + +$\because f(x)T=2\Rightarrow f'(x)T=2$，$\therefore f'(\dfrac{3}{2})=f'(\dfrac{3}{2}-2)=f'(-\dfrac{1}{2})=f'(\dfrac{1}{2})>0$。 + +$\therefore f'(\dfrac{3}{2})>f''(0)>f(-\dfrac{1}{2})$。\medskip + +\textbf{例题：}$\left(x^\alpha\right)'=\alpha x^{\alpha-1}(x>0)$。\medskip + +$\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$\medskip + +$=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{\left(x+\Delta x\right)^\alpha-x^\alpha}{\Delta x}$\medskip + +$=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{x^\alpha\left[\left(1+\dfrac{\Delta x}{x}\right)^\alpha-1\right]}{\Delta x}$\medskip + +$=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{x^\alpha\cdot\alpha\cdot\dfrac{\Delta x}{x}}{\Delta x}$\medskip + +$=\alpha x^{\alpha-1}$ + +\subsection{导数的几何意义} + +导数$f'(x_0)$在几何上就是曲线$y=f(x)$在点$(x_0,f(x_0))$处切线的斜率。 + +切线方程：$y-y_0=f'(x_0)(x-x_0)$。 + +法线方程：$y-y_0=-\dfrac{1}{f'(x_0)}(x-x_0)$。 + +\subsection{可导与连续的关系} + +可导必连续，连续不一定可导。 + +\textbf{例题：}证明可导必连续。 + +已知连续定义：$\lim\limits_{\Delta x\to 0}f(x+\Delta x)=f(x)$，即$\lim\limits_{\Delta x\to 0}f(x+\Delta x)-f(x)=0$。 + +可导定义：$f'(x)=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} = A$ + +$\lim\limits_{\Delta x\to 0}f(x+\Delta x)-f(x)$ + +$=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\cdot\Delta x$ + +$=A\cdot 0$ + +$=0$ + +\textbf{例题：}若$f(x)$在$x=x_0$处连续，且$\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f(x)}{x-x_0}=A$，则$f(x_0)=0$且$f'(x_0)=A$。 + +证明：$\because\text{连续，}\therefore f(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f(x)}{x-x_0}(x-x_0)=A\cdot 0=0$。 + +又$f'(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f(x)}{x-x_0}=A$。 + +如$\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{f(x)}{x-1}=2$且$f(x)$连续，可以推出$f(1)=0$与$f'(1)=2$。 + + +\section{函数求导法则} + +\subsection{四则运算} + +若函数可导： + +\begin{enumerate} + \item 和差的导数：$[u(x)\pm v(x)]'=u'(x)\pm v'(x)$。 + \item 积的导数：$[u(x)v(x)]'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)$，\\ $[u(x)v(x)w(x)]'=u'(x)v(x)w(x)+u(x)v'(x)w(x)+u(x)v(x)+w'(x)$。 + \item 商的导数：$\left[\dfrac{u(x)}{v(x)}\right]'=\dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}$，$v(x)\neq 0$。 +\end{enumerate} + +\textbf{例题：}证明$(uv)'=u'v+uv'$。 + +令$f(x)=u(x)v(x)$。 + +$(u\cdot v)'$ + +$=f'(x)$ + +$=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$ + +$=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{u(x+\Delta x)v(x+\Delta x)-u(x)v(x)}{\Delta x}$ + +$=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{u(x+\Delta x)v(x+\Delta x)-u(x)v(x+\Delta x)+u(x)v(x+\Delta x)-u(x)v(x)}{\Delta x}$ + +$=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{u(x+\Delta x)-u(x)}{\Delta x}v(x+\Delta x) +\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{v(x+\Delta x)-v(x)}{\Delta x}u(x)$ + +$=u'(x)v(x)+v'(x)u(x)$ + +\subsection{反函数导数} + +\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}$y=f(x)$可导，且$f'(x)\neq 0$， + +则存在反函数$x=\varphi(y)$，且$\dfrac{\textrm{d}x}{\textrm{d}y}=\dfrac{1}{\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}}$，即$\varphi'(x)=\dfrac{1}{f'(x)}$。\medskip + +$y=f(x)$可导，且$f'(x)\neq 0$就是指严格单调，而严格单调必有反函数。 + +\textbf{例题：}求$y=\arcsin x,x\in(-1,1)$与$y=\arctan x$的导数。 + +首先反三角函数就是三角函数的反函数。 + +求$y=\arcsin x$，即$x=\sin y$。\medskip + +$\therefore\dfrac{\textrm{d}\arcsin x}{\textrm{d}x}=\dfrac{1}{\dfrac{\textrm{d}\sin y}{\textrm{d}y}}=\dfrac{1}{\cos y}=\dfrac{1}{\sqrt{1-\sin^2y}}=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$。\medskip + +求$y=\arctan x$，就$x=\tan y$。\medskip + +$\therefore\dfrac{\textrm{d}\arctan x}{\textrm{d}x}=\dfrac{1}{\dfrac{\textrm{d}\tan y}{\textrm{d}y}}=\dfrac{1}{\sec^2y}=\dfrac{1}{1+\tan^2y}=\dfrac{1}{1+x^2}$。\medskip + +二阶反函数导数\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}： + +$f''(x)$ + +$=y''_{xx}$\medskip + +$=\dfrac{\textrm{d}\left(\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}\right)}{\textrm{d}x}$\medskip + +$=\dfrac{\textrm{d}^2y}{\textrm{d}x^2}$\medskip + +$=\dfrac{\textrm{d}\left(\dfrac{1}{\varphi'(y)}\right)}{\textrm{d}x}$\medskip + +$=\dfrac{\textrm{d}\left(\dfrac{1}{\varphi'(y)}\right)}{\textrm{d}y}\cdot\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}$\medskip + +$=-\dfrac{x_{yy}''}{(x_y')^2}\cdot\dfrac{1}{x_y'}$\medskip + +$=-\dfrac{x_{yy}''}{(x_y')^3}$\medskip + +其中$\textrm{d}x\cdot\textrm{d}x=(\textrm{d}x)^2=\textrm{d}x^2$称为微分的幂，而$\textrm{d}(x^2)$叫幂的微分。 + +\textbf{例题：}设$y=f(x)$的反函数是$x=\varphi(y)$，且$f(x)=\int_1^{2x}e^{t^2}\textrm{d}t+1$，求$\varphi''(1)$。 + +$\because y=f(x)$，$\therefore x=\varphi(y)$，$x_{yy}''=\varphi''(y)=-\dfrac{y_{xx}''}{(y_x')^3}=-\dfrac{f''(x)}{[f'(x)]^3}$。\medskip + +其中根据变限积分求导公式：$f'(x)=2e^{4x^2}$，$f''(x)=2e^{4x^2}\cdot 8x=16xe^{4x^2}$。\medskip + +又$y=1\Rightarrow x=\dfrac{1}{2}\Rightarrow\varphi''(1)=-\dfrac{f''\left(\dfrac{1}{2}\right)}{\left[f'\left(\dfrac{1}{2}\right)\right]^3}=-\dfrac{1}{e^2}$。 + +\subsection{复合函数的导数} + +$u=g(x)$在$x$可导，$y=f(u)$在$u=g(x)$处可导，则$\{f[g(x)]\}'=f'[g(x)]g'(x)$。 + +\textbf{例题：}设$f(x)=\prod\limits_{n=1}^{100}\left(\tan\dfrac{\pi x^a}{4}-n\right)$，则$f'(1)$为？ + +原式=$\left(\tan\dfrac{\pi x}{4}-1\right)\left(\tan\dfrac{\pi x^2}{4}-2\right)\cdots\left(\tan\dfrac{\pi x^100}{4}-100\right)$。 + +令$\left(\tan\dfrac{\pi x^2}{4}-2\right)\cdots\left(\tan\dfrac{\pi x^100}{4}-100\right)=g(x)$。\medskip + +$\therefore f(x)=\left(\tan\dfrac{\pi x}{4}-1\right)\cdot g(x)$。\medskip + +$\therefore f'(x)=\sec^2\dfrac{\pi x}{4}\cdot\dfrac{\pi}{4}\cdot g(x)+\left(\tan\dfrac{\pi x}{4}-1\right)\cdot g'(x)$。\medskip + +$\therefore$根据导数的四则运算，需要导数的乘积为每一项求导乘以其他不求导项的和，而$\tan\dfrac{\pi x}{4}-1$当$x=1$时为0，只要它不求导，其他的项都必然是0，所以原式的后面的结果都是0。 + +$\therefore$ + +$f'(1)$ + +$=f'(x)\vert_{x=1}$\medskip + +$=\dfrac{\pi}{2}\cdot g(1)+0\cdot g'(x)$\medskip + +$=\dfrac{\pi}{2}\cdot g(1)$\medskip + +$=\dfrac{\pi}{2}(-1)(-2)\cdots(-99)$ + +$=-\dfrac{\pi}{2}\cdot 99!$ + +\subsection{分段函数的导数} + +设$f(x)=\left\{ + \begin{array}{lcl} + f_1(x), & & x\geqslant x_0 \\ + f_2(x), & & xx_0,f'(x)=f_1'(x),x<0，f'(x)=f_2'(x)$。 + +\subsection{对数求导法} + +对于多项相乘、相除、开方、乘方的式子，一般先取对数再求导，设$y=f(x)(f(x)>0)$，则\ding{172}等式两边取对数：$\ln y=\ln f(x)$。\ding{173}两边对自变量$x$求导，得$\dfrac{1}{y}y'=[\ln f(x)]'\Rightarrow y'=y[\ln f(x)]'$。 + +\textbf{例题：}求$y=\sqrt[3]{\dfrac{(x+1)(2x-1)^2}{(4-3x)^5}}$的导数。 + +取对数：$\ln\vert y\vert=\dfrac{1}{3}[\ln\vert x+1\vert+2\ln\vert 2x-1\vert-5\ln\vert 4-3x\vert]$。 + +$\because \ln\vert y\vert'=\ln y'$。 + +两边对x求导：\medskip + +$\dfrac{y'}{y}=\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{4}{2x-1}-\dfrac{5}{4-3x}\cdot(-3)\right)$ + +$\therefore y'=\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{4}{2x-1}-\dfrac{5}{4-3x}\cdot(-3)\right)y$ + +\subsection{幂指函数求导法} + +非常重要。 + +对于$u(x)^{v(x)}(u(x)>0,u(x)\neq 1)$，除了对数求导法外还可以使用指数函数$u(x)^{v(x)}=e^{v(x)\ln u(x)}$。 + +然后求导得到$[u(x)^{v(x)}]'=[e^{v(x)\ln u(x)}]'$ + +$=u(x)^{v(x)}\left[v'(x)\ln u(x)+v(x)\cdot\dfrac{u'(x)}{u(x)}\right]$。 + +\textbf{例题：}求$y=x^x(x>0)$的导数。 + +$\because x^x=e^{x\ln x}$，$\therefore (x^x)'=(e^{x\ln x})'=x^x\cdot(\ln x+1)$。 + +\textbf{例题：}求解$y=x^{\frac{1}{x}}(x>0)$的整数最大值。 + +$\because y=x^{\frac{1}{x}}=e^{\frac{1}{x}\ln x}$。 + +$\therefore y'=\left(x^{\frac{1}{x}}\right)=\left(e^{\frac{1}{x}\ln x}\right)'=x^{\frac{1}{x}}\cdot\dfrac{1-\ln x}{x^2}$。 + +令导数结果为0，因为$x^{\frac{1}{x}}$与$x^2$在$x>0$时都不为0，所以只有一个驻点$x=e$。 + +$0e$时函数在区间减。 + +研究驻点左侧情况，求对应的极限：$e^{\lim\limits_{x\to 0^+}\frac{\ln x}{x}}=e^{-\infty}\to 0$。 + +研究驻点右侧情况，求对应的极限：$e^{\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x}}=e^0\to 1$。 + +\begin{tikzpicture}[scale=0.5] + \draw[-latex](-0.5,0) -- (10,0) node[below]{$x$}; + \draw[-latex](0,-0.5) -- (0,3) node[above]{$y$}; + \draw[black, thick, domain=0.1:10] plot (\x,{pow(\x,pow(\x,-1))}); + \filldraw[black] (8,2.5) node{$y=x^{\frac{1}{x}}$}; + \filldraw[white, draw=black, line width=1pt] (0,0) circle (4pt); + \filldraw[black] (0,0) node[below]{$O$}; + \filldraw[black] (e,1.5) circle (4pt); + \filldraw[black] (e,1.5) node[above]{$(e,\sqrt[e]{e})$}; + \draw[black, densely dashed](e,1.5) -- (e,0) node[below]{$e$}; + \draw[black, densely dashed](10,1.5) -- (0,1.5) node[left]{$\sqrt[e]{e})$}; +\end{tikzpicture} + +所以必然在$\sqrt{2}$与$\sqrt[3]{3}$两点取得整数最大值，而全部六次方后$\sqrt{2}^6=8<\sqrt[3]{3}=9$，所以$\sqrt[3]{3}$为最大整数解。 + +\section{高阶导数} + +\subsection{定义} + +高阶导数\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}$f^{(n)}(x_0)=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{f^{(n-1)}(x_0+\Delta x)-f^{(n-1)}(x_0)}{\Delta x}$，其中$n\geqslant 2$且$n\in N^+$，$f^{(n-1)}(x)$在$x_0$的某领域内有定义，$x_0+\Delta x$也在该邻域内。 + +若$f^{(n)}(x)$在区间$I$上连续，称$f(x)$在$I$上$n$阶连续可导。 + +\begin{itemize} + \item $(e^x)^{(n)}=e^x$。 + \item $(\sin x)^{(n)}=\sin(x+n\dfrac{\pi}{2})$。 + \item $(\cos x)^{(n)}=\cos(x+n\dfrac{\pi}{2})$。 + \item $(\ln(1+x))^{(n)}=(-1)^{n-1}\dfrac{(n-1)!}{(1+x)^n}$。 +\end{itemize} + +\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}} + +设$u,v$都是$n$阶可导，则： + +\begin{itemize} + \item $(u\pm v)^{(n)}=u^{(n)}\pm v^{(n)}$。 + \item 莱布尼兹公式：$(uv)^{(n)}=\sum_{k=0}^nC_n^ku^{(n-k)}v^{(k)}$。 +\end{itemize} + +\subsection{归纳法} + +即依次求导得出规律。 + +$(a^x)^n=a^x(\ln a)^{(n)}$，如$y=2^x$，则$y'=2^x\ln 2$，$y''=2^x(\ln 2)^2\cdots$得到$y^{(n)}=2^x(\ln 2)^n,n\in N$。 + +\textbf{例题：}求$\sin x$的$n$阶导数。 + +$\because \sin x'=\cos x$而不断求导会发现正负号会++--++--地变化而难以归纳为公式，所以需要另想办法。 + +使用诱导公式： + +$y'=\cos x=\sin(x+\dfrac{\pi}{2})$ + +$y''=\cos(x+\dfrac{\pi}{2})=\sin(x+\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{\pi}{2})$ + +$\cdots$ + +$y^{(n)}=\sin(x+\dfrac{\pi}{2}\cdot n)$ + +\subsection{莱布尼茨公式} + +设$u=u(x)$，$v=v(x)$均$n$阶可导，则$(uv)^{(n)}=\sum_{k=0}^nC_n^ku^{(n-k)}v^{(k)}$。 + +展开：$(uv)^{(n)}=C_n^0u^{(n)}v^{(0)}+C_n^1u^{(n-1)}v'+\cdots+C_n^nu^{(0)}v^{(n)}$。 + +莱布尼兹公式里的系数与考研数学准备章节的因式分解公式的二次项公式的系数一致，可以使用杨辉三角形来记忆： + +\begin{tikzpicture}[scale=0.9] + \node[black] at (0,0) {$C_0^0$}; + \node[black] at (-1,-1) {$C_1^0$}; + \node[black] at (0,-1) {$C_1^1$}; + \node[black] at (-2,-2) {$C_2^0$}; + \node[black] at (-1,-2) {$C_2^1$}; + \node[black] at (-0,-2) {$C_2^2$}; + \node[black] at (-3,-3) {$C_3^0$}; + \node[black] at (-2,-3) {$C_3^1$}; + \node[black] at (-1,-3) {$C_3^2$}; + \node[black] at (-0,-3) {$C_3^3$}; + \node[black] at (-4,-4) {$C_4^0$}; + \node[black] at (-3,-4) {$C_4^1$}; + \node[black] at (-2,-4) {$C_4^2$}; + \node[black] at (-1,-4) {$C_4^3$}; + \node[black] at (-0,-4) {$C_4^4$}; +\end{tikzpicture} +\hspace{2.5em} +\begin{tikzpicture}[scale=0.9] + \node[black] (0) at (0,0) {1}; + \node[black] (1) at (-1,-1) {1}; + \node[black] (2) at (1,-1) {1}; + \node[black] (3) at (-2,-2) {1}; + \node[black] (4) at (0,-2) {2}; + \node[black] (5) at (2,-2) {1}; + \node[black] (6) at (-3,-3) {1}; + \node[black] (7) at (-1,-3) {3}; + \node[black] (8) at (1,-3) {3}; + \node[black] (9) at (3,-3) {1}; + \node[black] (10) at (-4,-4) {1}; + \node[black] (11) at (-2,-4) {4}; + \node[black] (12) at (0,-4) {6}; + \node[black] (13) at (2,-4) {4}; + \node[black] (14) at (4,-4) {1}; + \draw[-,thick] (0) to (1); + \draw[-,thick] (0) to (2); + \draw[-,thick] (1) to (3); + \draw[-,thick] (1) to (4); + \draw[-,thick] (2) to (4); + \draw[-,thick] (2) to (5); + \draw[-,thick] (3) to (6); + \draw[-,thick] (3) to (7); + \draw[-,thick] (4) to (7); + \draw[-,thick] (4) to (8); + \draw[-,thick] (5) to (8); + \draw[-,thick] (5) to (9); + \draw[-,thick] (6) to (10); + \draw[-,thick] (6) to (11); + \draw[-,thick] (7) to (11); + \draw[-,thick] (7) to (12); + \draw[-,thick] (8) to (12); + \draw[-,thick] (8) to (13); + \draw[-,thick] (9) to (13); + \draw[-,thick] (9) to (14); +\end{tikzpicture} + +\textbf{例题：}已知函数$y=e^x\cos x$，求$y^{(4)}$。 + +根据莱布尼兹公式： + +$(e^x\cos x)^{(4)}$ + +$=C_4^0e^x\cos x+C_4^1e^x(-\sin x)+C_4^2e^x(-\cos x)+C_4^3e^x(\sin x)+C_4^4e^x(\cos x)$ + +$=e^x\cos x+4e^x(-\sin x)+6e^x(-\cos x)+4e^x\sin x+e^x\cos x$ + +$=-4e^x\cos x$ + +\section{隐函数与参数方程的导数以及相关变化率} + +\subsection{隐函数求导法} + +设函数$y=y(x)$由方程$F(x,y)=0$确定的可导函数，则\ding{172}方程两边对自变量$x$求导，（$y=y(x)$就是将$y$看作中间变量）得到一个关于$y'$的方程。\ding{173}解该方程就可以得出$y'$。 + +\textbf{例题：}设$y=y(x)$是由方程$\sin(xy)=\ln\dfrac{x+e}{y}+1$确定的隐函数，求$y'(0)$。 + +两边求导： + +$ +\begin{aligned} + \sin(xy) &=\ln(x+e)-\ln(y)+1 \\ + \cos(xy)(y+xy') &=\dfrac{1}{x+e}-\dfrac{y'}{y} \\ + \because\text{将0代入} & x=0, y=e^2 \\ + e^2&=\dfrac{1}{e}-\dfrac{y'(0)}{e^2} \\ + y'(0) & =e-e^4 +\end{aligned} +$ + +\subsection{参数方程函数导数} + +设函数$y=y(x)$由参数方程$\left\{ + \begin{array}{l} + x=\varphi(t) \\ + y=\psi(t) + \end{array} +\}\right.$确定，其中$t$为参数，且$\varphi(t)\psi(t)$对于$t$都可导，$\varphi(t)\neq 0$，则： + +\medskip + +一阶导数：$\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}=\dfrac{\textrm{d}y/\textrm{d}t}{\textrm{d}x/\textrm{d}t}=\dfrac{\psi'(t)}{\varphi'(t)}=u(t)$。 + +二阶导数：$\dfrac{\textrm{d}^2y}{\textrm{d}x^2}=\dfrac{\textrm{d}\left(\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}\right)}{\textrm{d}x}=\dfrac{\textrm{d}\left(\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}\right)/\textrm{d}t}{\textrm{d}x/\textrm{d}t}=\dfrac{\textrm{d}u/\textrm{d}t}{\textrm{d}x/\textrm{d}t}=\dfrac{u'_t}{x'_t}$ + +\textbf{例题：}设$y=y(x)$由方程$\left\{ +\begin{array}{l} + x=\sin t \\ + y=t\sin t+\cos t +\end{array} +\right. +$（$t$为参数）确定，求$\dfrac{\textrm{d}^2y}{\textrm{d}x^2}\vert_{t=\frac{\pi}{4}}$。 + +求参数方程的二阶导数首先就要求出其一阶导数：\medskip + +$\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}=\dfrac{y_t'}{x_t'}=\dfrac{t\cos t}{\cos t}=t$。\medskip + +$\therefore\dfrac{\textrm{d}^2y}{\textrm{d}x^2}=\dfrac{\textrm{d}\left(\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}\right)}{\textrm{d}x}=\dfrac{t_t'}{(\sin t)_t'}=\dfrac{1}{\cos t}$\medskip + +$\therefore \sqrt{2}$。 + +当所求是极坐标方程时，可以使用$x=\rho(\theta)\cos\theta$和$y=\rho(\theta)\sin\theta$进行转换为参数方程然后进行求导。 + +\subsection{相关变化率} + +列出依赖于$t$的相关变化率关系式，然后等式两端对$t$求导。 + +\section{函数微分} + +\subsection{定义} + +有一个边长为$x$的正方形，变化了$\Delta x$，其面积$\Delta S=(x+\Delta x)^2-x^2=2x\Delta x+(\Delta x)^2$。 + +当$\Delta x\to 0$时，将这个变化定义为$2x\cdot\Delta x+o(\Delta x)$，前项为线性主部，后面为误差。这个就是$S$的微分。 + +增量$\Delta y=f(x_0+\Delta)-f(x_0)=A\Delta x+o(\Delta x)$，这个$A\Delta x$定义为$\textrm{d}y$，叫做$y$的微分。 + +$\therefore \textrm{d}y\vert_{x=x_0}=A\Delta x=y'(x_0)\cdot\Delta x=y'(x_0)\cdot\textrm{d}x$ + +由此，可导必可微，可微必可导。 + +\begin{tikzpicture}[scale=0.9] + \draw[-latex](-0.5,0) -- (4.5,0) node[below]{$x$}; + \draw[-latex](0,-0.5) -- (0,4) node[above]{$y$}; + \draw[black, thick, domain=-0.5:3] plot (\x,{pow(\x-1,2)/2+1}) node[above]{$y(x)$}; + \filldraw[black] (0,0) node[below]{$O$}; + \draw[black, densely dashed](1.5,1.125) -- (1.5,0) node[below]{$x_0$}; + \draw[black, densely dashed](1.5,1.125) -- (0,1.125) node[left]{$y_0$}; + \draw[black, densely dashed](3,3) -- (3,0) node[below]{$x_0+\Delta x$}; + \draw[black, densely dashed](3,3) -- (0,3) node[left]{$y_0+\Delta x$}; + \draw[black, densely dashed](3,1.875) -- (0,0.375) node[left]{$\textrm{d}y\cdot x+b$}; + \draw[<->, black](1.5,1.125) -- (3,1.125); + \draw[<->, black](4,1.125) -- (4,3); + \draw[<->, black](3.25,1.125) -- (3.25,1.875); + \draw[<->, black](3.25,3) -- (3.25,1.875); + \draw[black](3,3) -- (4.5,3); + \draw[black](3,1.125) -- (4.5,1.125); + \draw[black](3,1.875) -- (3.75,1.875); + \filldraw[black] (2.25,0.75) node{$\Delta x$}; + \filldraw[black] (4.3,2) node{$\Delta y$}; + \filldraw[black] (3.5,1.5) node{\scriptsize{$\textrm{d}y$}}; + \filldraw[black] (3.5,2.5) node{\scriptsize{$o(\Delta x)$}}; +\end{tikzpicture} + +所以可微就是用简单线性取代复杂线性，如图用直线取替代曲线。微分就是瞬时改变量，而导数就是瞬时改变速率。 + +\subsection{基本运算} + +\subsubsection{四则运算} + +若函数可导： + +\begin{enumerate} + \item 和差的微分：$\textrm{d}[u(x)\pm v(x)]=\textrm{d}u(x)\pm\textrm{d}v(x)$。 + \item 积的微分：$\textrm{d}[u(x)v(x)]=u(x)\textrm{d}v(x)+v(x)\textrm{d}u(x)$。 + \item 商的微分：$\textrm{d}\left[\dfrac{u(x)}{v(x)}\right]=\dfrac{v(x)\textrm{d}u(x)-u(x)\textrm{d}v(x)}{[v(x)]^2}$，$v(x)\neq 0$。 + \item 复合函数的微分：链式求导法则$\dfrac{\textrm{d}u}{\textrm{d}x}=\dfrac{\textrm{d}u}{\textrm{d}y}\cdot\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}$。 +\end{enumerate} + +\subsubsection{微分形式不变性} + +设$y=f(u)$可微，$u=g(x)$可微，则$y=f(g(x))$可微，且$\textrm{d}y=y'_{x}\textrm{d}x=y'_{u}\textrm{d}u$。即对哪个变量求导都是一样的，即$\textrm{d}\{f\,[g(x)]\}=f\,'[g(x)]g'(x)\textrm{d}x$。 + +一阶微分形式不变性指：$\textrm{d}f\,(\varsigma)=f\,'(\varsigma)\textrm{d}\varsigma$，无论$\varsigma$是什么（类似导数的链式求导法则）。 + +\textbf{例题：}设$y=e^{\sin(\ln x)}$，求$\textrm{d}y$。 + +$\because y=e^{\sin(\ln x)} \therefore$ + +$ +\begin{aligned} + \textrm{d}y &=\textrm{d}e^{\sin(\ln x)} \\ + & =e^{\sin(\ln x)}\cdot\textrm{d}(\sin(\ln x)) \\ + & =e^{\sin(\ln x)}\cdot\cos(\ln x)\cdot\textrm{d}\ln x \\ + & =e^{\sin(\ln x)}\cdot\cos(\ln x)\cdot\dfrac{1}{x}\textrm{d}x +\end{aligned} +$ + +\section{基本求导公式} + +\subsection{对幂指函数} + +\begin{center} + \begin{tabular}{|c|c|c|c|} + \hline + 原函数 & 导函数 & 原函数 & 导函数\\ \hline + $C$ & $0$ & $n^x$ & $n^x\ln n$ \\ \hline + $\log_ax$ & $\dfrac{1}{x\ln a}$ & $\ln x=\ln\vert x\vert$ & $\dfrac{1}{x}$ \\ \hline + $x^n$ & $nx^{n-1}$ & $\sqrt[n]{x}$ & $\dfrac{x^{-\frac{n-1}{n}}}{n}$ \\ \hline + $\dfrac{1}{x^n}$ & $-\dfrac{n}{x^{n+1}}$ & & \\ + \hline + \end{tabular} +\end{center} + +\subsection{三角与反三角函数} + +\begin{center} + \begin{tabular}{|c|c|c|c|} + \hline + 原函数 & 导函数 & 原函数 & 导函数\\ \hline + $\sin x$ & $\cos x$ & $\cos x$ & $-\sin x$ \\ \hline + $\tan x$ & $\dfrac{1}{\cos^2x}=\sec^2x$ & $\cot x$ & $\dfrac{1}{\sin^2x}=\csc^2x$ \\ \hline + $\sec x$ & $\sec x\tan x$ & $\csc x$ & $-\csc x\cot x$ \\ \hline + $\arcsin x$ & $\dfrac{1}{1-x^2}$ & $\arccos x$ & $-\dfrac{1}{1-x^2}$ \\ \hline + $\arctan x$ & $\dfrac{1}{1+x^2}$ & $\textrm{arccot}\,x$ & $-\dfrac{1}{1+x^2}$ \\ \hline + $\textrm{arcsec}\,x$ & $\dfrac{1}{x\sqrt{x^2-1}}$ & $\textrm{arccsc}\,x$ & $-\dfrac{1}{x\sqrt{x^2-1}}$ \\ \hline + \hline + \end{tabular} +\end{center} + +\subsection{双曲与反双曲函数} + +\begin{itemize} + \item 双曲正弦：$\textrm{sinh}\,x=\textrm{sh}\,x=\dfrac{e^{x}-e^{-x}}{2}$。 + \item 双曲余弦：$\textrm{cosh}\,x=\textrm{ch}\,x=\dfrac{e^{x}+e^{-x}}{2}$。 + \item 双曲正切：$\textrm{tanh}\,x=\textrm{th}\,x=\dfrac{\textrm{sinh}\,x}{\textrm{cosh}\,x}=\dfrac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}$。 + \item 双曲余切：$\textrm{coth}\,x=\dfrac{\textrm{cosh}\,x}{\textrm{sinh}\,x}=\dfrac{e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}$。 + \item 双曲正割：$\textrm{sech}\,x=\dfrac{1}{\textrm{cosh}\,x}=\dfrac{2}{e^{x}+e^{-x}}$。 + \item 双曲余割：$\textrm{csch}\,x=\dfrac{1}{\textrm{sinh}\,x}=\dfrac{2}{e^{x}-e^{-x}}$。 + \item 反双曲正弦：$\textrm{arcsinh}\,x=\ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)$。 + \item 反双曲余弦：$\textrm{arccosh}\,x=\ln\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)$。 + \item 反双曲正切：$\textrm{arctanh}\,x=\dfrac{1}{2}\ln\left(\dfrac{1+x}{1-x}\right)$。 +\end{itemize} + +\begin{center} + \begin{tabular}{|c|c|c|c|} + \hline + 原函数 & 导函数 & 原函数 & 导函数\\ \hline + $\textrm{sinh}\,x$ & $\textrm{cosh}\,x$ & $\textrm{cosh}\,x$ & $\textrm{sinh}\,x$ \\ \hline + $\textrm{tanh}\,x$ & $\dfrac{1}{\textrm{cosh}\,x^2}$ & $\textrm{arcsinh}\,x$ & $\dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}}$ \\ \hline + $\textrm{arccosh}\,x$ & $\dfrac{1}{\sqrt{x^2-1}}$ & $\textrm{arctan}\,x$ & $\dfrac{1}{1-x^2}$ \\ + \hline + \end{tabular} +\end{center} + +\end{document} diff --git a/advanced-math/knowledge/3-differential-mean-value-theorem-and-applications-of-derivatives/differential-mean-value-theorem-and-applications-of-derivatives.tex b/advanced-math/knowledge/3-differential-mean-value-theorem-and-applications-of-derivatives/differential-mean-value-theorem-and-applications-of-derivatives.tex index 98ead1e..e077b21 100644 --- a/advanced-math/knowledge/3-differential-mean-value-theorem-and-applications-of-derivatives/differential-mean-value-theorem-and-applications-of-derivatives.tex +++ b/advanced-math/knowledge/3-differential-mean-value-theorem-and-applications-of-derivatives/differential-mean-value-theorem-and-applications-of-derivatives.tex @@ -1,616 +1,616 @@ -\documentclass[UTF8, 12pt]{ctexart} -% UTF8编码，ctexart现实中文 -\usepackage{xcolor} -% 使用颜色 -\definecolor{orange}{RGB}{255,127,0} -\definecolor{violet}{RGB}{192,0,255} -\definecolor{aqua}{RGB}{0,255,255} -\usepackage{geometry} -\setcounter{tocdepth}{4} -\setcounter{secnumdepth}{4} -% 设置四级目录与标题 -\geometry{papersize={21cm,29.7cm}} -% 默认大小为A4 -\geometry{left=3.18cm,right=3.18cm,top=2.54cm,bottom=2.54cm} -% 默认页边距为1英尺与1.25英尺 -\usepackage{indentfirst} -\setlength{\parindent}{2.45em} -% 首行缩进2个中文字符 -\usepackage{amssymb} -% 因为所以与其他数学拓展 -\usepackage{amsmath} -% 数学公式 -\usepackage[colorlinks,linkcolor=black,urlcolor=blue]{hyperref} -% 超链接 -\usepackage{tikz} -% 绘图 -\usepackage{setspace} -\renewcommand{\baselinestretch}{1.5} -% 1.5倍行距 -\usepackage{pifont} -% 圆圈序号 -\usepackage{mathtools} -% 有字的长箭头 -\usepackage{yhmath} -% 弧线标识 -\usetikzlibrary{decorations.pathreplacing} -% tikz的大括号 -\author{Didnelpsun} -\title{微分中值定理与导数的应用} -\date{} -\begin{document} -\maketitle -\pagestyle{empty} -\thispagestyle{empty} -\tableofcontents -\thispagestyle{empty} -\newpage -\pagestyle{plain} -\setcounter{page}{1} - -\section{微分中值定理} - -三个定理都是建立局部与整体的关系，利用导数控制函数，反之不能使用函数控制导数。 - -$\text{罗尔定理}\xrightleftharpoons[\text{特例：}f(a)=f(b)]{\text{泛化：任意端点值}}\text{拉格朗日中值定理}\xrightleftharpoons[\text{特例：}F(x)=x]{\text{泛化：参数方程}}\text{柯西中值定理}$ - -\subsection{罗尔定理} - -极值\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}若$\exists\delta>0$，使$\forall x\in U(x_0,\delta)$恒有$f(x)\geqslant f(x_0)$，则$f(x)$在$x_0$处取极小值，恒有$f(x)\leqslant f(x_0)$，则$f(x)$在$x_0$处取极大值。 - -费马引理\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}若$f(x)$在$x_0$处取得极值，且$f(x)$在$x_0$处可导，则$f'(x_0)=0$。 - -罗尔定理\textcolor{violet}{\textbf{定义：}} - -\begin{enumerate} - \item $f(x)$在$[a,b]$上连续。 - \item $f(x)$在$(a,b)$内可导。 - \item $f(a)=f(b)$。 -\end{enumerate} - -则$\exists\,\xi\in(a,b)$，使得$f'(\xi)=0$。 - -\begin{tikzpicture}[scale=0.7] - \draw[-latex](-0.5,0) -- (8,0) node[below]{$x$}; - \draw[-latex](0,-0.5) -- (0, 4) node[above]{$y$}; - \filldraw[black] (0,0) node[below]{$O$}; - \draw[black, thick,domain=-0.5:8] plot (\x, {sin((\x-0.5) r)+2}); - \filldraw[black] (6,3.5) node {$y=f(x)$}; - \draw[densely dashed](0.5,2) -- (0.5+2*pi, 2); - \draw[densely dashed](0.5,2) -- (0.5, 0) node[below]{$a$}; - \draw[densely dashed](0.5+2*pi,2) -- (0.5+2*pi, 0) node[below]{$b$}; - \draw[densely dashed](0.5+pi/2,3) -- (0.5+pi/2, 0) node[below]{$\xi_1$}; - \draw[densely dashed](0.5+pi/2*3,1) -- (0.5+pi/2*3, 0) node[below]{$\xi_2$}; - \draw[black](pi/2-0.5,3) -- (1.5+pi/2,3); - \draw[black](pi/2*3-0.5,1) -- (1.5+pi/2*3,1); -\end{tikzpicture} - -\subsection{拉格朗日中值定理} - -\begin{enumerate} - \item $f(x)$在$[a,b]$上连续。 - \item $f(x)$在$(a,b)$内可导。 -\end{enumerate} - -则$\exists\,\xi\in(a,b)$，使得$f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)$。 - -其中$f(b)-f(a)=f'[a+\theta(b-a)](b-a)(0<\theta<1)$，$\because f'(\xi)=f'[a+(\xi-a)]=f'[a+\dfrac{\xi-a}{b-a}(b-a)]$。\medskip - -有限增量公式\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}$\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)=f'[x_0+\theta\Delta x]\Delta x(0<\theta<1)$。 - -推论：$f(x)$在$I$上连续且可导，则$I$上$f(x)=C\Leftrightarrow f'(x)\equiv 0$ - -\textbf{例题：}证明$x>0$时，$\dfrac{x}{1+x}<\ln(1+x)0$时，$x-\dfrac{x^3}{6}<\sin xf(0)=0$，即$x>\sin x$。 - -令$g(x)=\sin x-x-\dfrac{x^3}{6}$，而$g(0)=0$。 - -$g'(x)=\cos x-1+\dfrac{x^2}{2}\geqslant 0$，则$g(x)$在$R$上递增。 - -$\therefore$在$(0,+\infty]$上$g(x)>g(0)=0$，即$\sin x>x-\dfrac{x^3}{6}$。 - -得证。 - -\subsection{曲线凹凸性与拐点} - -\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}若函数$f(x)$在区间$I$上连续，且对$I$上任意两点$x_1,x_2$恒有： - -\begin{enumerate} - \item $f(\dfrac{x_1+x_2}{2})<\dfrac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$，则$f(x)$在$I$上凹。 - \item $f(\dfrac{x_1+x_2}{2})>\dfrac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$，则$f(x)$在$I$上凸。 -\end{enumerate} - -而当凹凸性发生改变的点就是拐点。 - -\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}} - -\begin{enumerate} - \item 函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内二阶可导。 - \item 若$(a,b)$内$f''(x)>0$，则$f(x)$在$[a,b]$上凹。 - \item 若$(a,b)$内$f'(x)<0$，则$f(x)$在$[a,b]$上凸。 -\end{enumerate} - -拐点的二阶导数等于0，或拐点在二阶导数不存在的点。 - -\textbf{例题：}证明凹凸性与二阶导数的关系。 - -不妨先证明凹函数与二阶导数的关系。已知$f''(x)>0$ - -不妨设$x_10$ - -$\therefore f''(x)>0\Rightarrow f(\dfrac{x_1+x_2}{2})<\dfrac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$。 - -\section{函数极值与最值} - -\subsection{函数极值} - -极值\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}若$\exists\,\delta>0$，使 - -$\forall x\in U(x_0,\delta)$恒有$f(x)\geqslant f(x_0)$，则$f(x)$在$x_0$取极小值。 - -$\forall x\in U(x_0,\delta)$恒有$f(x)\leqslant f(x_0)$，则$f(x)$在$x_0$取极大值。 - -\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}（极值必要条件） - -若$f(x)$在$x_0$处可导，且$x_0$处取得极值，则$f'(x_0)=0$。 - -\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}（极值第一充分条件） - -设$f(x)$在$\mathring{U}(x_0,\delta)$内可导，且$f'(x_0)=0$或在$x_0$连续。 - -\begin{enumerate} - \item 若$xx_0$时$f'(x)\leqslant 0$，则$x_0$取得极大值。 - \item 若$x>x_0$时，$f'(x)\geqslant 0$，$x0$，则$f(x)$在$x_0$取极小值。 -\end{enumerate} - -\subsection{函数最值} - -\subsubsection{连续函数闭区间最值} - -\begin{enumerate} - \item 求出$f(x)$在$(a,b)$内的驻点和不可导的点$x_1,x_2\cdots,x_n$。 - \item 求出函数值$f(x_1),f(x_2)\cdots,f(x_n)$与端点值$f(a),f(b)$。 - \item 比较求出最值。 -\end{enumerate} - -\subsubsection{最值应用题} - -\begin{enumerate} - \item 建立目标函数并确定定义域。 - \item 求出驻点并计算值。 -\end{enumerate} - -\section{函数图像绘制} - -\subsection{基本步骤} - -\begin{enumerate} - \item 确定函数定义域，并考察其奇偶性与周期性。 - \item 求出一阶导数与二阶导数，并计算导数为0与不存在的点。 - \item 根据导数判断增减性与凹凸性，并求出极值与拐点。 - \item 求出渐近线。 - \item 确定另外的特殊点。 -\end{enumerate} - -\subsection{函数渐近线} - -\begin{itemize} - \item 若$\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=A$，那么$y=A$就是水平渐近线。 - \item 若$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=\infty$，那么$x=x_0$就是垂直渐近线。 - \item 若$\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{f(x)}{x}=a,b=\lim\limits_{x\to\infty}(f(x)-ax)$，那么$y=ax+b$就是斜渐近线。 -\end{itemize} - -\section{弧微分与曲率} - -\subsection{弧微分} - -\begin{minipage}{0.5\linewidth} - \begin{tikzpicture}[scale=3] - \draw[-latex](-0.1,0) -- (1.25,0) node[below]{$x$}; - \draw[-latex](0,-0.1) -- (0,1.25) node[above]{$y$}; - \filldraw[black] (0,0) node[below]{$O$}; - \draw[black, thick,domain=0.4:1.1] plot (\x, \x*\x); - \filldraw[black] (0.5,1) node {$y=f(x)$}; - \draw[densely dashed](0.5,0.25) -- (0.5, 0) node[below]{$x$}; - \draw[densely dashed](1,1) -- (1, 0) node[below]{$x+\Delta x$}; - \draw[densely dashed](0.5,0.25) -- (1,0.25); - \filldraw[black](0.5,0.35) node{$y$}; - \filldraw[black](0.95,1.1) node{$y_0$}; - \filldraw[black](0.75,0.35) node{$\Delta x$}; - \filldraw[black](1.1,0.6) node{$\Delta y$}; - \end{tikzpicture} -\end{minipage} -\hfill -\begin{minipage}{0.4\linewidth} - $\vert\wideparen{yy_0}\vert=S(x)$ - - $\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)$ - - $(\Delta s)^2\approx(\Delta x)^2+(\Delta y)^2$ -\end{minipage}\medskip - -当偏移量无穷小时，$y=f(x)$所构成的线段就是一条直线，所以： - -\begin{minipage}{0.5\linewidth} - \begin{tikzpicture}[scale=3] - \draw[-latex](-0.1,0) -- (1.25,0) node[below]{$x$}; - \draw[-latex](0,-0.1) -- (0,1.25) node[above]{$y$}; - \filldraw[black] (0,0) node[below]{$O$}; - \draw[black, thick,domain=0.4:1.1] plot (\x, \x); - \filldraw[black] (0.5,1) node {$y=f(x)$}; - \draw[densely dashed](0.5,0.5) -- (0.5, 0) node[below]{$x$}; - \draw[densely dashed](1,1) -- (1, 0) node[below]{$x+\textrm{d}x$}; - \draw[densely dashed](0.5,0.5) -- (1,0.5); - \filldraw[black](0.5,0.6) node{$y$}; - \filldraw[black](0.95,1.1) node{$y_0$}; - \filldraw[black](0.75,0.35) node{$\textrm{d}x$}; - \filldraw[black](1.1,0.6) node{$\textrm{d}y$}; - \end{tikzpicture} -\end{minipage} -\hfill -\begin{minipage}{0.4\linewidth} - $\textrm{d}y=f\,(x+\textrm{d}x)-f\,(x)$ - - $(\textrm{d}s)^2=(\textrm{d}x)^2+(\textrm{d}y)^2$ - - $\textrm{d}s=\sqrt{(\textrm{d}x)^2+(\textrm{d}y)^2}$（弧微分） -\end{minipage} - -对于弧微分： - -\begin{itemize} - \item 若直角坐标系下$y=f(x)$，$\textrm{d}s=\sqrt{1+\left(\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}\right)^2}\textrm{d}x=\sqrt{1+f'^2(x)}\textrm{d}x$，即$\textrm{d}s=\sqrt{1+f'^2(x)}\textrm{d}x$。 - \item 若参数方程下：$x=\phi(t),y=\psi(t)$，$\textrm{d}s=\sqrt{\left(\dfrac{\textrm{d}x}{\textrm{d}t}\right)^2+\left(\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}t}\right)^2}\textrm{d}t$\medskip\\$=\sqrt{\psi'^2(t)+\phi'^2(t)}\textrm{d}t$，即$\textrm{d}s=\sqrt{\psi'^2(t)+\phi'^2(t)}\textrm{d}t$。 -\end{itemize} - -\subsection{曲率} - -曲率\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}表明曲线在某一点的弯曲程度的数值，针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率，通过微分来定义，表明曲线偏离直线的程度。曲率越大，表示曲线的弯曲程度越大。 - -曲率的倒数就是曲率半径。\medskip - -\begin{minipage}{0.5\linewidth} - 两点切线改变角相同时，弯曲程度与两点之间的弧长度成反比。 - - 两点之间的弧长度相同时，弯曲程度与两点切线改变角成正比。 -\end{minipage} -\hfill -\begin{minipage}{0.2\linewidth} - \begin{tikzpicture}[scale=0.6] - \draw[black, thick,domain=-2:2] plot (\x, {\x*\x}); - \filldraw[black] (-1,1) circle (2pt) node[left]{$M_1$}; - \filldraw[black] (1,1) circle (2pt) node[right]{$N_1$}; - \draw[black](2,3) -- (0,-1); - \draw[black](-2,3) -- (0,-1); - \end{tikzpicture} -\end{minipage} -\hfill -\begin{minipage}{0.2\linewidth} - \begin{tikzpicture}[scale=0.6] - \draw[black, thick,domain=-1.5:1.5] plot (\x, {2*\x*\x}); - \filldraw[black] (-1/2,1/2) circle (2pt) node[left]{$M_2$}; - \filldraw[black] (1/2,1/2) circle (2pt) node[right]{$N_2$}; - \draw[black](2,3.5) -- (0,-1/2); - \draw[black](-2,3.5) -- (0,-1/2); - \end{tikzpicture} -\end{minipage} - -\begin{minipage}{0.3\linewidth} - \begin{tikzpicture}[scale=3] - \draw[-latex](-0.1,0) -- (1.25,0) node[below]{$x$}; - \draw[-latex](0,-0.1) -- (0,1.25) node[above]{$y$}; - \filldraw[black] (0,0) node[below]{$O$}; - \draw[black, thick,domain=-0.1:1.1] plot (\x, \x*\x); - \draw[densely dashed](0.5,0.25) -- (0.5, 0) node[below]{$x$}; - \draw[densely dashed](1,1) -- (1, 0) node[below]{$x+\Delta x$}; - \filldraw[black](0.5,0.35) node{$y$}; - \filldraw[black](0.95,1.1) node{$y_0$}; - \filldraw[black] (1/2,1/4) circle (0.5pt); - \filldraw[black] (1,1) circle (0.5pt); - \draw[black](1,3/4) -- (1/4,0); - \draw[black](0.6,0.2) -- (9/8,5/4); - \draw[line width=0.1] (0.85,0.7) arc (50:0:0.1); - \filldraw[black](1,0.8) node{$\Delta\alpha$}; - \filldraw[black](0.5,0.8) node{$\vert\wideparen{yy_0}\vert=\Delta s$}; - \end{tikzpicture} -\end{minipage} -\hfill -\begin{minipage}{0.6\linewidth} - $y-y_0$平均曲率：$\hat{k}=\dfrac{\vert\Delta\alpha\vert}{\vert\Delta s\vert}$。\medskip - - $y$曲率：$k=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\left\lvert\dfrac{\Delta\alpha}{\Delta s}\right\rvert=\left\lvert\dfrac{\textrm{d}\alpha}{\textrm{d}s}\right\rvert$（$\alpha$为$y$处切线与$x$轴所成角）。 -\end{minipage}\medskip - -需要对曲率公式进行化简，得到$s$与$\alpha$关于$x$的表示。根据弧微分的定义：$\textrm{d}s=\sqrt{1+f'^2(x)}\textrm{d}x$。 - -而对于$\alpha$：$\tan\alpha=y'=f'(x)$。 - -两边对$x$求导：$\sec^2\alpha\cdot\dfrac{\textrm{d}\alpha}{\textrm{d}x}=y''=f''(x)$。 - -又$\because\sec^2\alpha=1+\tan^2\alpha=1+y'^2$。 - -$\therefore\dfrac{\textrm{d}\alpha}{\textrm{d}x}=\dfrac{y''}{1+y'^2}\Rightarrow\textrm{d}\alpha=\dfrac{y''}{1+y\,'^2}\textrm{d}x$。 - -$\therefore k=\left\lvert\dfrac{\textrm{d}\alpha}{\textrm{d}s}\right\rvert=\dfrac{\vert y''\vert}{(1+y'^2)^{\frac{3}{2}}}$。 - -\subsection{曲率半径} - -\begin{minipage}{0.5\linewidth} - $\bigcirc O$为函数$L$在点$X$处的曲率圆，该圆与$L$在$X$处相切，切线为$T$。 - - 该点的曲率半径为$R$，其中$R=\dfrac{1}{K}$。 -\end{minipage} -\hfill -\begin{minipage}{0.4\linewidth} - \begin{tikzpicture}[scale=2] - \draw (-1,0) -- (1,0); - \node (X) at (0,0)[below]{X}; - \node (O) at (0,0.5)[above]{O}; - \draw[densely dashed] (X) -- (O); - \filldraw[black] (0.75,0.25) node{$L$}; - \draw[decorate,decoration={brace,mirror,raise=2pt}] (X) -- (O); - \filldraw[black] (0.2,0.25) node{$R$}; - \filldraw[black] (-0.75,0) node{$T$}; - \draw[black, thick,domain=-1:1] plot (\x, \x*\x); - \draw[black] (0,0.5) circle (0.5); - \end{tikzpicture} -\end{minipage} - -\end{document} +\documentclass[UTF8, 12pt]{ctexart} +% UTF8编码，ctexart现实中文 +\usepackage{xcolor} +% 使用颜色 +\definecolor{orange}{RGB}{255,127,0} +\definecolor{violet}{RGB}{192,0,255} +\definecolor{aqua}{RGB}{0,255,255} +\usepackage{geometry} +\setcounter{tocdepth}{4} +\setcounter{secnumdepth}{4} +% 设置四级目录与标题 +\geometry{papersize={21cm,29.7cm}} +% 默认大小为A4 +\geometry{left=3.18cm,right=3.18cm,top=2.54cm,bottom=2.54cm} +% 默认页边距为1英尺与1.25英尺 +\usepackage{indentfirst} +\setlength{\parindent}{2.45em} +% 首行缩进2个中文字符 +\usepackage{amssymb} +% 因为所以与其他数学拓展 +\usepackage{amsmath} +% 数学公式 +\usepackage[colorlinks,linkcolor=black,urlcolor=blue]{hyperref} +% 超链接 +\usepackage{tikz} +% 绘图 +\usepackage{setspace} +\renewcommand{\baselinestretch}{1.5} +% 1.5倍行距 +\usepackage{pifont} +% 圆圈序号 +\usepackage{mathtools} +% 有字的长箭头 +\usepackage{yhmath} +% 弧线标识 +\usetikzlibrary{decorations.pathreplacing} +% tikz的大括号 +\author{Didnelpsun} +\title{微分中值定理与导数的应用} +\date{} +\begin{document} +\maketitle +\pagestyle{empty} +\thispagestyle{empty} +\tableofcontents +\thispagestyle{empty} +\newpage +\pagestyle{plain} +\setcounter{page}{1} + +\section{微分中值定理} + +三个定理都是建立局部与整体的关系，利用导数控制函数，反之不能使用函数控制导数。 + +$\text{罗尔定理}\xrightleftharpoons[\text{特例：}f(a)=f(b)]{\text{泛化：任意端点值}}\text{拉格朗日中值定理}\xrightleftharpoons[\text{特例：}F(x)=x]{\text{泛化：参数方程}}\text{柯西中值定理}$ + +\subsection{罗尔定理} + +极值\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}若$\exists\delta>0$，使$\forall x\in U(x_0,\delta)$恒有$f(x)\geqslant f(x_0)$，则$f(x)$在$x_0$处取极小值，恒有$f(x)\leqslant f(x_0)$，则$f(x)$在$x_0$处取极大值。 + +费马引理\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}若$f(x)$在$x_0$处取得极值，且$f(x)$在$x_0$处可导，则$f'(x_0)=0$。 + +罗尔定理\textcolor{violet}{\textbf{定义：}} + +\begin{enumerate} + \item $f(x)$在$[a,b]$上连续。 + \item $f(x)$在$(a,b)$内可导。 + \item $f(a)=f(b)$。 +\end{enumerate} + +则$\exists\,\xi\in(a,b)$，使得$f'(\xi)=0$。 + +\begin{tikzpicture}[scale=0.7] + \draw[-latex](-0.5,0) -- (8,0) node[below]{$x$}; + \draw[-latex](0,-0.5) -- (0, 4) node[above]{$y$}; + \filldraw[black] (0,0) node[below]{$O$}; + \draw[black, thick,domain=-0.5:8] plot (\x, {sin((\x-0.5) r)+2}); + \filldraw[black] (6,3.5) node {$y=f(x)$}; + \draw[densely dashed](0.5,2) -- (0.5+2*pi, 2); + \draw[densely dashed](0.5,2) -- (0.5, 0) node[below]{$a$}; + \draw[densely dashed](0.5+2*pi,2) -- (0.5+2*pi, 0) node[below]{$b$}; + \draw[densely dashed](0.5+pi/2,3) -- (0.5+pi/2, 0) node[below]{$\xi_1$}; + \draw[densely dashed](0.5+pi/2*3,1) -- (0.5+pi/2*3, 0) node[below]{$\xi_2$}; + \draw[black](pi/2-0.5,3) -- (1.5+pi/2,3); + \draw[black](pi/2*3-0.5,1) -- (1.5+pi/2*3,1); +\end{tikzpicture} + +\subsection{拉格朗日中值定理} + +\begin{enumerate} + \item $f(x)$在$[a,b]$上连续。 + \item $f(x)$在$(a,b)$内可导。 +\end{enumerate} + +则$\exists\,\xi\in(a,b)$，使得$f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)$。 + +其中$f(b)-f(a)=f'[a+\theta(b-a)](b-a)(0<\theta<1)$，$\because f'(\xi)=f'[a+(\xi-a)]=f'[a+\dfrac{\xi-a}{b-a}(b-a)]$。\medskip + +有限增量公式\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}$\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)=f'[x_0+\theta\Delta x]\Delta x(0<\theta<1)$。 + +推论：$f(x)$在$I$上连续且可导，则$I$上$f(x)=C\Leftrightarrow f'(x)\equiv 0$ + +\textbf{例题：}证明$x>0$时，$\dfrac{x}{1+x}<\ln(1+x)0$时，$x-\dfrac{x^3}{6}<\sin xf(0)=0$，即$x>\sin x$。 + +令$g(x)=\sin x-x-\dfrac{x^3}{6}$，而$g(0)=0$。 + +$g'(x)=\cos x-1+\dfrac{x^2}{2}\geqslant 0$，则$g(x)$在$R$上递增。 + +$\therefore$在$(0,+\infty]$上$g(x)>g(0)=0$，即$\sin x>x-\dfrac{x^3}{6}$。 + +得证。 + +\subsection{曲线凹凸性与拐点} + +\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}若函数$f(x)$在区间$I$上连续，且对$I$上任意两点$x_1,x_2$恒有： + +\begin{enumerate} + \item $f(\dfrac{x_1+x_2}{2})<\dfrac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$，则$f(x)$在$I$上凹。 + \item $f(\dfrac{x_1+x_2}{2})>\dfrac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$，则$f(x)$在$I$上凸。 +\end{enumerate} + +而当凹凸性发生改变的点就是拐点。 + +\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}} + +\begin{enumerate} + \item 函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内二阶可导。 + \item 若$(a,b)$内$f''(x)>0$，则$f(x)$在$[a,b]$上凹。 + \item 若$(a,b)$内$f'(x)<0$，则$f(x)$在$[a,b]$上凸。 +\end{enumerate} + +拐点的二阶导数等于0，或拐点在二阶导数不存在的点。 + +\textbf{例题：}证明凹凸性与二阶导数的关系。 + +不妨先证明凹函数与二阶导数的关系。已知$f''(x)>0$ + +不妨设$x_10$ + +$\therefore f''(x)>0\Rightarrow f(\dfrac{x_1+x_2}{2})<\dfrac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$。 + +\section{函数极值与最值} + +\subsection{函数极值} + +极值\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}若$\exists\,\delta>0$，使 + +$\forall x\in U(x_0,\delta)$恒有$f(x)\geqslant f(x_0)$，则$f(x)$在$x_0$取极小值。 + +$\forall x\in U(x_0,\delta)$恒有$f(x)\leqslant f(x_0)$，则$f(x)$在$x_0$取极大值。 + +\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}（极值必要条件） + +若$f(x)$在$x_0$处可导，且$x_0$处取得极值，则$f'(x_0)=0$。 + +\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}（极值第一充分条件） + +设$f(x)$在$\mathring{U}(x_0,\delta)$内可导，且$f'(x_0)=0$或在$x_0$连续。 + +\begin{enumerate} + \item 若$xx_0$时$f'(x)\leqslant 0$，则$x_0$取得极大值。 + \item 若$x>x_0$时，$f'(x)\geqslant 0$，$x0$，则$f(x)$在$x_0$取极小值。 +\end{enumerate} + +\subsection{函数最值} + +\subsubsection{连续函数闭区间最值} + +\begin{enumerate} + \item 求出$f(x)$在$(a,b)$内的驻点和不可导的点$x_1,x_2\cdots,x_n$。 + \item 求出函数值$f(x_1),f(x_2)\cdots,f(x_n)$与端点值$f(a),f(b)$。 + \item 比较求出最值。 +\end{enumerate} + +\subsubsection{最值应用题} + +\begin{enumerate} + \item 建立目标函数并确定定义域。 + \item 求出驻点并计算值。 +\end{enumerate} + +\section{函数图像绘制} + +\subsection{基本步骤} + +\begin{enumerate} + \item 确定函数定义域，并考察其奇偶性与周期性。 + \item 求出一阶导数与二阶导数，并计算导数为0与不存在的点。 + \item 根据导数判断增减性与凹凸性，并求出极值与拐点。 + \item 求出渐近线。 + \item 确定另外的特殊点。 +\end{enumerate} + +\subsection{函数渐近线} + +\begin{itemize} + \item 若$\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=A$，那么$y=A$就是水平渐近线。 + \item 若$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=\infty$，那么$x=x_0$就是垂直渐近线。 + \item 若$\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{f(x)}{x}=a,b=\lim\limits_{x\to\infty}(f(x)-ax)$，那么$y=ax+b$就是斜渐近线。 +\end{itemize} + +\section{弧微分与曲率} + +\subsection{弧微分} + +\begin{minipage}{0.5\linewidth} + \begin{tikzpicture}[scale=3] + \draw[-latex](-0.1,0) -- (1.25,0) node[below]{$x$}; + \draw[-latex](0,-0.1) -- (0,1.25) node[above]{$y$}; + \filldraw[black] (0,0) node[below]{$O$}; + \draw[black, thick,domain=0.4:1.1] plot (\x, \x*\x); + \filldraw[black] (0.5,1) node {$y=f(x)$}; + \draw[densely dashed](0.5,0.25) -- (0.5, 0) node[below]{$x$}; + \draw[densely dashed](1,1) -- (1, 0) node[below]{$x+\Delta x$}; + \draw[densely dashed](0.5,0.25) -- (1,0.25); + \filldraw[black](0.5,0.35) node{$y$}; + \filldraw[black](0.95,1.1) node{$y_0$}; + \filldraw[black](0.75,0.35) node{$\Delta x$}; + \filldraw[black](1.1,0.6) node{$\Delta y$}; + \end{tikzpicture} +\end{minipage} +\hfill +\begin{minipage}{0.4\linewidth} + $\vert\wideparen{yy_0}\vert=S(x)$ + + $\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)$ + + $(\Delta s)^2\approx(\Delta x)^2+(\Delta y)^2$ +\end{minipage}\medskip + +当偏移量无穷小时，$y=f(x)$所构成的线段就是一条直线，所以： + +\begin{minipage}{0.5\linewidth} + \begin{tikzpicture}[scale=3] + \draw[-latex](-0.1,0) -- (1.25,0) node[below]{$x$}; + \draw[-latex](0,-0.1) -- (0,1.25) node[above]{$y$}; + \filldraw[black] (0,0) node[below]{$O$}; + \draw[black, thick,domain=0.4:1.1] plot (\x, \x); + \filldraw[black] (0.5,1) node {$y=f(x)$}; + \draw[densely dashed](0.5,0.5) -- (0.5, 0) node[below]{$x$}; + \draw[densely dashed](1,1) -- (1, 0) node[below]{$x+\textrm{d}x$}; + \draw[densely dashed](0.5,0.5) -- (1,0.5); + \filldraw[black](0.5,0.6) node{$y$}; + \filldraw[black](0.95,1.1) node{$y_0$}; + \filldraw[black](0.75,0.35) node{$\textrm{d}x$}; + \filldraw[black](1.1,0.6) node{$\textrm{d}y$}; + \end{tikzpicture} +\end{minipage} +\hfill +\begin{minipage}{0.4\linewidth} + $\textrm{d}y=f\,(x+\textrm{d}x)-f\,(x)$ + + $(\textrm{d}s)^2=(\textrm{d}x)^2+(\textrm{d}y)^2$ + + $\textrm{d}s=\sqrt{(\textrm{d}x)^2+(\textrm{d}y)^2}$（弧微分） +\end{minipage} + +对于弧微分： + +\begin{itemize} + \item 若直角坐标系下$y=f(x)$，$\textrm{d}s=\sqrt{1+\left(\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}\right)^2}\textrm{d}x=\sqrt{1+f'^2(x)}\textrm{d}x$，即$\textrm{d}s=\sqrt{1+f'^2(x)}\textrm{d}x$。 + \item 若参数方程下：$x=\phi(t),y=\psi(t)$，$\textrm{d}s=\sqrt{\left(\dfrac{\textrm{d}x}{\textrm{d}t}\right)^2+\left(\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}t}\right)^2}\textrm{d}t$\medskip\\$=\sqrt{\psi'^2(t)+\phi'^2(t)}\textrm{d}t$，即$\textrm{d}s=\sqrt{\psi'^2(t)+\phi'^2(t)}\textrm{d}t$。 +\end{itemize} + +\subsection{曲率} + +曲率\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}表明曲线在某一点的弯曲程度的数值，针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率，通过微分来定义，表明曲线偏离直线的程度。曲率越大，表示曲线的弯曲程度越大。 + +曲率的倒数就是曲率半径。\medskip + +\begin{minipage}{0.5\linewidth} + 两点切线改变角相同时，弯曲程度与两点之间的弧长度成反比。 + + 两点之间的弧长度相同时，弯曲程度与两点切线改变角成正比。 +\end{minipage} +\hfill +\begin{minipage}{0.2\linewidth} + \begin{tikzpicture}[scale=0.6] + \draw[black, thick,domain=-2:2] plot (\x, {\x*\x}); + \filldraw[black] (-1,1) circle (2pt) node[left]{$M_1$}; + \filldraw[black] (1,1) circle (2pt) node[right]{$N_1$}; + \draw[black](2,3) -- (0,-1); + \draw[black](-2,3) -- (0,-1); + \end{tikzpicture} +\end{minipage} +\hfill +\begin{minipage}{0.2\linewidth} + \begin{tikzpicture}[scale=0.6] + \draw[black, thick,domain=-1.5:1.5] plot (\x, {2*\x*\x}); + \filldraw[black] (-1/2,1/2) circle (2pt) node[left]{$M_2$}; + \filldraw[black] (1/2,1/2) circle (2pt) node[right]{$N_2$}; + \draw[black](2,3.5) -- (0,-1/2); + \draw[black](-2,3.5) -- (0,-1/2); + \end{tikzpicture} +\end{minipage} + +\begin{minipage}{0.3\linewidth} + \begin{tikzpicture}[scale=3] + \draw[-latex](-0.1,0) -- (1.25,0) node[below]{$x$}; + \draw[-latex](0,-0.1) -- (0,1.25) node[above]{$y$}; + \filldraw[black] (0,0) node[below]{$O$}; + \draw[black, thick,domain=-0.1:1.1] plot (\x, \x*\x); + \draw[densely dashed](0.5,0.25) -- (0.5, 0) node[below]{$x$}; + \draw[densely dashed](1,1) -- (1, 0) node[below]{$x+\Delta x$}; + \filldraw[black](0.5,0.35) node{$y$}; + \filldraw[black](0.95,1.1) node{$y_0$}; + \filldraw[black] (1/2,1/4) circle (0.5pt); + \filldraw[black] (1,1) circle (0.5pt); + \draw[black](1,3/4) -- (1/4,0); + \draw[black](0.6,0.2) -- (9/8,5/4); + \draw[line width=0.1] (0.85,0.7) arc (50:0:0.1); + \filldraw[black](1,0.8) node{$\Delta\alpha$}; + \filldraw[black](0.5,0.8) node{$\vert\wideparen{yy_0}\vert=\Delta s$}; + \end{tikzpicture} +\end{minipage} +\hfill +\begin{minipage}{0.6\linewidth} + $y-y_0$平均曲率：$\hat{k}=\dfrac{\vert\Delta\alpha\vert}{\vert\Delta s\vert}$。\medskip + + $y$曲率：$k=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\left\lvert\dfrac{\Delta\alpha}{\Delta s}\right\rvert=\left\lvert\dfrac{\textrm{d}\alpha}{\textrm{d}s}\right\rvert$（$\alpha$为$y$处切线与$x$轴所成角）。 +\end{minipage}\medskip + +需要对曲率公式进行化简，得到$s$与$\alpha$关于$x$的表示。根据弧微分的定义：$\textrm{d}s=\sqrt{1+f'^2(x)}\textrm{d}x$。 + +而对于$\alpha$：$\tan\alpha=y'=f'(x)$。 + +两边对$x$求导：$\sec^2\alpha\cdot\dfrac{\textrm{d}\alpha}{\textrm{d}x}=y''=f''(x)$。 + +又$\because\sec^2\alpha=1+\tan^2\alpha=1+y'^2$。 + +$\therefore\dfrac{\textrm{d}\alpha}{\textrm{d}x}=\dfrac{y''}{1+y'^2}\Rightarrow\textrm{d}\alpha=\dfrac{y''}{1+y\,'^2}\textrm{d}x$。 + +$\therefore k=\left\lvert\dfrac{\textrm{d}\alpha}{\textrm{d}s}\right\rvert=\dfrac{\vert y''\vert}{(1+y'^2)^{\frac{3}{2}}}$。 + +\subsection{曲率半径} + +\begin{minipage}{0.5\linewidth} + $\bigcirc O$为函数$L$在点$X$处的曲率圆，该圆与$L$在$X$处相切，切线为$T$。 + + 该点的曲率半径为$R$，其中$R=\dfrac{1}{K}$。 +\end{minipage} +\hfill +\begin{minipage}{0.4\linewidth} + \begin{tikzpicture}[scale=2] + \draw (-1,0) -- (1,0); + \node (X) at (0,0)[below]{X}; + \node (O) at (0,0.5)[above]{O}; + \draw[densely dashed] (X) -- (O); + \filldraw[black] (0.75,0.25) node{$L$}; + \draw[decorate,decoration={brace,mirror,raise=2pt}] (X) -- (O); + \filldraw[black] (0.2,0.25) node{$R$}; + \filldraw[black] (-0.75,0) node{$T$}; + \draw[black, thick,domain=-1:1] plot (\x, \x*\x); + \draw[black] (0,0.5) circle (0.5); + \end{tikzpicture} +\end{minipage} + +\end{document} diff --git a/advanced-math/knowledge/4-indefinite-integral-and-definite-integral/indefinite-integral-and-definite-integral.tex b/advanced-math/knowledge/4-indefinite-integral-and-definite-integral/indefinite-integral-and-definite-integral.tex index 0f0a72a..233d2e0 100644 --- a/advanced-math/knowledge/4-indefinite-integral-and-definite-integral/indefinite-integral-and-definite-integral.tex +++ b/advanced-math/knowledge/4-indefinite-integral-and-definite-integral/indefinite-integral-and-definite-integral.tex @@ -1,547 +1,547 @@ -\documentclass[UTF8, 12pt]{ctexart} -% UTF8编码，ctexart现实中文 -\usepackage{color} -% 使用颜色 -\definecolor{orange}{RGB}{255,127,0} -\definecolor{violet}{RGB}{192,0,255} -\definecolor{aqua}{RGB}{0,255,255} -\usepackage{geometry} -\setcounter{tocdepth}{4} -\setcounter{secnumdepth}{4} -% 设置四级目录与标题 -\geometry{papersize={21cm,29.7cm}} -% 默认大小为A4 -\geometry{left=3.18cm,right=3.18cm,top=2.54cm,bottom=2.54cm} -% 默认页边距为1英尺与1.25英尺 -\usepackage{indentfirst} -\setlength{\parindent}{2.45em} -% 首行缩进2个中文字符 -\usepackage{setspace} -\renewcommand{\baselinestretch}{1.5} -% 1.5倍行距 -\usepackage{amssymb} -% 因为所以 -\usepackage{amsmath} -% 数学公式 -\usepackage[colorlinks,linkcolor=black,urlcolor=blue]{hyperref} -% 超链接 -\author{Didnelpsun} -\title{不定积分与定积分} -\date{} -\begin{document} -\maketitle -\pagestyle{empty} -\thispagestyle{empty} -\tableofcontents -\thispagestyle{empty} -\newpage -\pagestyle{plain} -\setcounter{page}{1} -\section{不定积分} - -\subsection{定义} - -设$f(x)$定义在区间$I$上，若存在可导函数$F(x)$，使得$F'(x)=f(x)$对于任意$x\in I$都成立，则称$F(x)$为$f(x)$在区间$I$上的一个原函数。对于全体的原函数集合，就称为不定积分。 - -连续函数必有原函数。 - -在区间$I$上，函数$f(x)$带有任意常数项的原函数称为$f(x)/f(x)\,\textrm{d}x$在该区间上的不定积分，记为$\int f(x)\,\textrm{d}x$，其中$\int$为积分号，$f(x)$为被积函数，$f(x)\,\textrm{d}x$为被积表达式，$x$为积分变量。 - -积分就是导数的逆运算。$\int f(x)\,\textrm{d}x=F(x)+C$，$F'(x)=f(x)$。 - -\subsection{性质与积分运算} - -积分运算就可以将原来求导的方式进行逆运算。其中隐函数求导法与参数方程求导法都可以看作复合函数求导法则的变式。 - -积分运算具有两个性质： - -\begin{enumerate} - \item $\int[f(x)+g(x)]\textrm{d}x=\int f(x)\textrm{d}x+\int g(x)\textrm{d}x$，就是分项积分法。 - \item $\int kf(x)\textrm{d}x=k\int f(x)\textrm{d}x$。 -\end{enumerate} - -复合函数的求导法则的逆运算，就是换元积分法。 - -函数乘积的求导法则的逆运算，就是分部积分法。 - -\subsection{换元积分法} - -\subsubsection{第一类换元法（凑微分法）} - -\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}$\int f(u)\,\textrm{d}u=F(u)+C$，则$\int f[\varphi(x)]\varphi'(x)\,\textrm{d}x=\int f[\varphi(x)]\,\textrm{d}\varphi(x)=F[\varphi(x)]+C$。 - -$\displaystyle{\int\dfrac{\textrm{d}x}{a^2+x^2}}=\displaystyle{\dfrac{1}{a}\int\dfrac{\textrm{d}\dfrac{x}{a}}{1+\left(\dfrac{x}{a}\right)^2}}=\dfrac{1}{a}\arctan\dfrac{x}{a}+C$。\medskip - -$\displaystyle{\int\dfrac{\textrm{d}x}{\sqrt{a^2-x^2}}}=\displaystyle{\int\dfrac{\textrm{d}\dfrac{x}{a}}{\sqrt{1-\left(\dfrac{x}{a}\right)^2}}}=\arcsin\dfrac{x}{a}+C$。\medskip - -如$\displaystyle{\int\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}\textrm{d}x=\dfrac{1}{2}\int\dfrac{\textrm{d}(1+x^2)}{\sqrt{1+x^2}}}=\sqrt{1+x^2}+C$。\medskip - -凑微分法适用于式子比较简单的情况，所凑微分的形式必须符合一个简单积分公式的式子，且有一定的式子可以提出来到微分号后面。 - -\textbf{例题：} - -$\int(1+3x)^{100}\,\textrm{d}x=\dfrac{1}{3}\int(1+3x)^{100}\,\textrm{d}(1+3x)=\dfrac{1}{303}(1+3x)^{101}+C$。 - -$\int\cos^2x\,\textrm{d}x=\dfrac{1}{2}\int(1+\cos 2x)\,\textrm{d}x=\dfrac{1}{2}\left(x+\dfrac{1}{2}\sin 2x\right)+C$。 - -$\int\cos^3x\,\textrm{d}x=\int\cos^2\,\textrm{d}\sin x=\int(1-\sin^2x)\,\textrm{d}\sin x=\sin x-\dfrac{1}{3}\sin^3x+C$。 - -$\displaystyle{\int\dfrac{\textrm{d}x}{x\sqrt{1+\ln x}}=\int\dfrac{\textrm{d}(1+\ln x)}{\sqrt{1+\ln x}}}=2\sqrt{1+\ln x}+C$。 - -$\displaystyle{\int\dfrac{\textrm{d}x}{\sqrt{x}(1+x)}=2\int\dfrac{\textrm{d}\sqrt{x}}{1+(\sqrt{x})^2}}=2\arctan\sqrt{x}+C$。 - -$\displaystyle{\int\dfrac{\arcsin\sqrt{x}}{\sqrt{x(1-x)}}\,\textrm{d}x=\int\dfrac{\arcsin\sqrt{x}}{1-x}\cdot\dfrac{\textrm{d}x}{\sqrt{x}}=2\int\dfrac{\arcsin\sqrt{x}}{1-(\sqrt{x})^2}\,\textrm{d}\sqrt{x}}$ - -$=2\int\arcsin\sqrt{x}\,\textrm{d}\arcsin\sqrt{x}=(\arcsin\sqrt{x})^2+C$。 - -\subsubsection{第二类换元法} - -\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}设$x=\varphi(t)$为单调可导函数，且$\varphi'(t)\neq 0$，$\int f[\varphi(t)\varphi'(t)]\,\textrm{d}t=F(t)+C$，则$\int f(x)\textrm{d}x=\int f[\varphi(t)\varphi'(t)]\,\textrm{d}t=F(t)+C=F[\varphi^{-1}(x)]+C$。 - -第二类换元法适用于无法适用第一类换元法的情况，但是最重要的还是对于中间变量的取值，这个中间变量必须要让原式子更简单，且还要注意到变量取值范围。 - -\textcolor{orange}{注意：}$\varphi'(t)\neq 0$是为了保证中间变量函数具有反函数，而单调函数必然有反函数，所以只要能证明这个中间变量函数必然单调，那么其实$\varphi'(t)$也可以等于0。 - -\textbf{例题：}求$\int\sqrt{a^2-x^2}\,\textrm{d}x(a>0)$。 - -首先看题目，如果使用凑微分法，那必须从式子中提取出一个式子放到微分后面，且提取后的式子满足一个简单的积分公式。 - -这个式子一般就只能提取出$x$到平方号外面，但是提取后式子仍不能变为一个简单微分公式，所以说第一种凑微分法就无法使用，就只能使用第二类换元法。 - -这个式子是一个平方取开平方的式子，所以取中间变量后最好让这个式子能被开平方。又涉及到一个常数$a$，所以我们很容易就想到是否可以通过三角函数来作为中间变量。 - -所以取$x=a\sin t$，从而$\sqrt{a^2-x^2}=a\cos t$。 - -并且还要注意到这个$t$的取值范围。 - -因为$x=\varphi(t)$是一个单调可导的函数。所以$\sin t$必须取在单调区间上。 - -又$\sqrt{a^2-x^2}$要求$-a\leqslant x\leqslant a$，$-a\leqslant a\sin t\leqslant a$，从而$-1\leqslant\sin t\leqslant 1$。 - -且$\varphi'(t)\neq 0$，所以$\cos t\neq 0$。 - -所以综上三个条件从而得到一个$t$的定义域：$t\in\left[-\dfrac{\pi}{2},0\right)\cup\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right]$。 - -但是在$\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right]$上$\varphi'(t)=a\sin t$是严格单调递增的，单调函数必然存在反函数，所以$\varphi'(t)$可以等于0，从而$t\in\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right]$。 - -$\int\sqrt{a^2-x^2}\,\textrm{d}x=a\int\cos t\,\textrm{d}a\sin t=a^2\int\cos^2t\textrm{d}t=\dfrac{a^2}{2}\int(1+\cos 2t)\textrm{d}t=\dfrac{a^2}{2}\left(t+\dfrac{1}{2}\sin 2t\right)+C=\dfrac{a^2}{2}\left(\arcsin\dfrac{x}{a}+\dfrac{x}{a}\sqrt{1-\dfrac{x^2}{a^2}}\right)+C$。 - -\textbf{例题：} - -已知$\tan^2x+1=\sec^2x$。 - -$\displaystyle{\int\dfrac{\textrm{d}x}{\sqrt{a^2+x^2}}}(a>0)$。 - -令$x=a\tan t$。 - -原式$=\displaystyle{\int\dfrac{a\sec^2t}{a\sec t}\,\textrm{d}t=\int\sec t\,\textrm{d}t}=\ln\vert\sec t+\tan t\vert+C=\ln\bigg\vert\sqrt{1+\dfrac{x^2}{a^2}}+\dfrac{x}{a}\bigg\vert+C$。 - -$\displaystyle{\int\dfrac{\textrm{d}x}{\sqrt{x^2-a^2}}}(a>0)$。 - -令$x=a\sec t$。 - -原式$=\displaystyle{\int\dfrac{a\sec t\tan t}{a\tan t}\,\textrm{d}t}=\ln\bigg\vert\sec t+\tan t\bigg\vert+C=\ln\bigg\vert\dfrac{x}{a}+\sqrt{\dfrac{x^2}{a^2}-1}\vert+C$。\medskip - -所以常用的换元积分替换方式： - -\begin{enumerate} - \item $\sqrt{a^2-x^2}$：$x=a\sin t(a\cos t)$。 - \item $\sqrt{a^2+x^2}$：$x=a\tan t$。 - \item $\sqrt{x^2-a^2}$：$x=a\sec t$。 -\end{enumerate} - -换元法本质是将式子转换为我们已知的积分公式，所以换元积分法只适合于能转换为积分公式的简单式子上，如果式子比较复杂或形式与大部分积分公式不一致，那么也无法换元了。 - -\subsection{分部积分法} - -已知$(uv)'=uv'+u'v$，所以$uv'=(uv)'-u'v$，从而$\int uv'\,\textrm{d}x=\int(uv)'\,\textrm{d}x-\int vu'\,\textrm{d}x$，即$\int u\,\textrm{d}v=uv-\int v\,\textrm{d}u$。 - -所以分部积分法的公式就是：$\int u\,\textrm{d}v=uv-\int v\,\textrm{d}u$。 - -所以分部积分法的适用方式就是所求积分的式子是一个可拆分为两项不同函数的式子，式子的分式中一个式子不好积分，另一个式子好积分，就可以用好积分的式子来积分计算。 - -\subsubsection{基本分部积分} - -\textbf{例题：} - -$\int xe^x\,\textrm{d}x=\int x\,\textrm{d}e^x=xe^x-\int e^x\textrm{d}x=xe^x-e^x+C$。 - -$\int x\sin x\,\textrm{d}x=-\int x\,\textrm{d}\cos x=-[x\cos x-\int\cos x\,\textrm{d}x]=-[x\cos x-\sin x]+C=\sin x-x\cos x+C$。 - -$\int x\ln x\,\textrm{d}x=\dfrac{1}{2}\int\ln x\textrm{d}x^2=\dfrac{1}{2}[x^2\ln x-\ln x^2\textrm{d}\ln x]=\dfrac{1}{2}[x^2\ln x-\ln x\textrm{d}x]=\dfrac{1}{2}x^2\ln x-\dfrac{1}{4}x^2+C$。 - -$\int x\arctan x\textrm{d}x=\dfrac{1}{2}\int\arctan x\textrm{d}x^2=\dfrac{1}{2}\left[x^2\arctan x-\displaystyle{\int\dfrac{x^2}{1+x^2}\textrm{d}x}\right]=\\ \dfrac{1}{2}[x^2\arctan x-x+\arctan x]+C$。 - -\subsubsection{多次分部积分还原} - -当式子中含有$\sin x$，$\cos x$，$e^x$这种积分后变化不大的因式时，可以适用多步分部积分，然后在右边计算的式子中得到左边目标式子一样的因式，然后移到一边就能得到目标式子的表达式。 - -\textbf{例题：}\medskip - -$ -\begin{aligned} - \int e^x\sin x\,\textrm{d}x & =\int\sin x\,\textrm{d}e^x \\ - & =e^x\sin x-\int e^x\cos x\,\textrm{d}x \\ - & =e^x\sin x-\int\cos x\,\textrm{d}e^x \\ - & =e^x\sin x-\left[e^x\cos x+\int e^x\sin\,\textrm{d}x\right] \\ - 2\int e^x\sin x\,\textrm{d}x & =e^x\sin x-e^x\cos x -\end{aligned} -$ - -$\therefore\int e^x\sin x\,\textrm{d}x=\dfrac{e^x\sin x-e^x\cos}{2}+C$。 - -$ -\begin{aligned} - \int\sec^3x\,\textrm{d}x =&\int\sec x\,\textrm{d}\tan x \\ - & =\sec x\tan x-\int\tan^2x\sec x\,\textrm{d}x \\ - & =\sec x\tan x-\int\sec^3x\textrm{d}x+\int\sec x\textrm{d}x \\ - 2\int\sec^3x\,\textrm{d}x =&[\sec x\tan x+\ln\vert\sec x+\tan x\vert] -\end{aligned} -$ - -$\therefore\int\sec^3x\,\textrm{d}x =\dfrac{\sec x\tan x+\ln\vert\sec x+\tan x\vert}{2}+C$。 - -如上所说分部积分的方法就是找到目标式子中两个因式好求的一部分进行积分，其中好求是指$\textrm{d}v$微分后这个结果会简化整个式子。 - -其中$e^x$，$\sin x$，$\cos x$这三个因式求微分后无法简化，所以无法对其微分，除非需要多次分部积分还原间接求出；$x^n$微分后会降幂，所以一般可以积分；而$\ln x$，$\arctan x$，$\arcsin x$微分会转换为幂函数相关的式子降低幂次，如果不对其微分则无法消去这三个函数，所以如果出现这三个因式必然优先微分。 - -所以常用的分部积分方式： - -\begin{enumerate} - \item $\int x^ne^x\,\textrm{d}x$、$\int x^n\sin x\,\textrm{d}x$，$\int x^n\cos x\,\textrm{d}x$：对非幂函数的部分，即对$e^x$或三角函数进行分部。 - \item $\int x^n\ln x\,\textrm{d}x$，$\int x^n\arctan x\,\textrm{d}x$，$\int x^n\arcsin x\,\textrm{d}x$：对幂函数的部分，即对$x^n$进行分部。 - \item $\int e^x\sin x\,\textrm{d}x$，$\int e^x\cos x\,\textrm{d}x$：对哪个部分进行分部都可以，而$e^x$进行分部积分时没有正负号的改变，所以对$e^x$进行分部积分，需要多次分部积分还原。 -\end{enumerate} - -\subsection{有理函数的积分} - -两个多项式的商$\dfrac{P(x)}{Q(x)}$被称为有理函数，或有理分式。 - -假设该多项式之间没有公因式，当$P(x)$的次数小于$Q(x)$的次数时村各位真分式，否则称为假分式。 - -假分式可以分解为多项式与真分式之和。 - -真分式$\dfrac{P(x)}{Q(x)}$若可以分解为两个多项式的乘积：$\dfrac{P(x)}{Q(x)}=\dfrac{P_1(x)}{Q_1(x)}+\dfrac{P_2(x)}{Q_2(x)}$，则称为将真分式化为部分分式之和。 - -通过这种化简方式，可以在求以商的形式的有利函数的式子的积分时拆分因式，从而简化积分运算。 - -\section{定积分} - -定积分是积分的一种，是函数在一个区间上积分和的极限。已知$f(x)$为速度函数，则$f'(x)$为速度变化率函数，$\textrm{d}f(x)$为瞬时位移，则$\int_{a}^bf(x)\,\textrm{d}x$为位移函数。 - -\subsection{定义} - -设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，将区间分割为$n$个子区间：$[x_0,x_1],(x_1,x_2],$\\$(x_2,x_3],\cdots,(x_{n-1},x_n]$，其中$x_0=a$，$x_n=b$。并可知各区间长度为$\Delta x_1=x_1-x_0\cdots$，在每个子区间$(x_{i-1},x_i]$上任意取一点$\xi_i(i=1,2,\cdots,n)$，做累计和$\sum\limits_{i=1}^nf(\xi_i)\Delta x_i$，这个式子被称为积分和。 - -设$\lambda=\max{\Delta x_1,\Delta x_2,\cdots,\Delta x_n}$，从而$\lambda$为最大的区间长度，若$\lambda\to 0$时积分和极限存在，则这个极限就是函数在区间$[a,b]$的定积分，记为$\int_a^bf(x)\,\textrm{d}x$，并称函数$f(x)$在区间$[a,b]$上可积。 - -其中$a$为积分下限，$b$为积分上限，区间$[a,b]$为积分区间，函数$f(x)$为被积函数，$x$是积分变量，$f(x)\,\textrm{d}x$为被积表达式，$\int$为积分号。 - -\subsection{性质} - -设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，则： - -\begin{enumerate} - \item 当$a=b$时，$\int_a^bf(x)\,\textrm{d}x=0$。 - \item 当$a>b$时，$\int_a^bf(x)\,\textrm{d}x=-\int_b^af(x)\,\textrm{d}x$。 - \item $\int_a^bkf(x)\,\textrm{d}x=k\int_a^bf(x)\,\textrm{d}x$。 - \item $\int_a^b[f(x)\pm g(x)]\,\textrm{d}x=\int_a^bf(x)\,\textrm{d}x\pm\int_a^bg(x)\,\textrm{d}x$。 - \item $\int_a^bf(x)\,\textrm{d}x=\int_a^cf(x)\,\textrm{d}x+\int_c^bf(x)\,\textrm{d}x$，若$c$处于函数的可积区间。 - \item 若$[a,b]$上$f(x)\geqslant 0$，则$\int_a^bf(x)\,\textrm{d}x\geqslant 0$。 - \item 若$[a,b]$上$f(x)\leqslant g(x)$，则$\int_a^bf(x)\,\textrm{d}x\leqslant\int_a^bg(x)\,\textrm{d}x$。 - \item 积分中值定理：$\exists\,\varepsilon\in[a,b]$，使得$\int_a^bf(x)\,\textrm{d}x=f(\varepsilon)(b-a)$。 -\end{enumerate} - -证明积分中值定理： - -设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，因为闭区间上连续函数必然有最大最小值，所以设最大值为$M$，最小值为$m$，$M\geqslant m$。 - -对$m\leqslant f(x)\leqslant M$两边积分得到：$m(b-a)\leqslant\int_a^bf(x)\,\textrm{d}x\leqslant M(b-a)$。 - -同时除以$b-a$得到：$m\leqslant\dfrac{1}{b-a}\int_a^bf(x)\,\textrm{d}x\leqslant M$。 - -由连续函数的介值定理，必然存在一个$\varepsilon$，使得$f(\varepsilon)=\dfrac{1}{b-a}\int_a^bf(x)\,\textrm{d}x$。 - -从而得到$\exists\,\varepsilon\in[a,b]$，使得$\int_a^bf(x)\,\textrm{d}x=f(\varepsilon)(b-a)$。 - -对于定积分的存在性： - -\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，则$f(x)$在该区间上可积。 - -\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上有界，且只有有限个间断点，则$f(x)$在该区间上可积。 - -\subsection{变限积分} - -设$f(x)$在$[a,b]$上连续，且$\Phi(x)=\int_a^xf(t)\,\textrm{d}t(x\in[a,b])$，这个函数就是积分上限函数或叫积分变限函数。 - -\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}设$f(x)$在$[a,b]$上连续，则$\int_a^xf(t)\,\textrm{d}t$在$[a,b]$上$(\int_a^xf(t)\,\textrm{d}t)'=f(x)$。 - -证明：设$x\in(a,b)$。 - -则$\dfrac{\Phi(x+\Delta x)-\Phi(x)}{\Delta x}=\dfrac{\int_a^{x+\Delta x}f(t)\,\textrm{d}t-\int_a^xf(t)\,\textrm{d}t}{\Delta x}=\dfrac{\int_x^{x+\Delta x}f(t)\,\textrm{d}t}{\Delta x}$。 - -由积分中值定理存在$\xi$使得原式$=\dfrac{\Delta x\,f(\xi)}{\Delta x}=f(\xi)$。 - -从而$\Phi'(x)=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{\Phi(x+\Delta x)-\Phi(x)}{\Delta x}=f(x)$。 - -同理当$x=a,\Delta x>0$与$x=b,\Delta x<0$时也同样成立。 - -\textbf{例题：}求$F(x)=\int_0^{x^2}e^{-t^2}\,\textrm{d}t$的导数。 - -由定理，可以将式子看作复合函数求导（注意定理中积分上限为$x$，而这里不是$x$，但是对$x$求导，所以必须看作为一个复合函数求导）。 - -$F(x)=\int_0^ue^{-t^2}\,\textrm{d}t$，$u=x^2$。 - -$\therefore F'_x(x)=F'_u(x)\cdot u'_x=e^{-u^2}\cdot 2x=2xe^{-x^4}$。 - -同理，如果是变下限的变限积分，则可以看作负的变上限积分进行运算，本质是一样的。 - -也同理，如果上限下限都在变化，则可以利用积分区间的可加性，将这个积分的区间插入一个常数（一般为0），将一个积分式子变为两个积分式子，再分别进行运算。 - -所以变限积分\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}若$\phi(x)$与$\psi(x)$都可导，$f(x)$连续，则$\dfrac{\textrm{d}}{\textrm{d}x}\int_{\psi(x)}^{\phi(x)}=f(\psi(x))\psi'(x)-f(\phi(x))\phi'(x)$。 - -\textbf{例题：}求极限$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\int_0^{\sin^2x}\ln(1+t)\,\textrm{d}t}{x(\sqrt{1+x^3}-1)}$。 - -原式$=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\ln(1+\sin^2x)2\sin x\cos x}{x(\sqrt{1+x^3}-1)}=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x^2\cdot 2x\cdot 1}{\dfrac{4}{3}x^3}=\dfrac{3}{2}$。\smallskip - -\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}设$f(x)$在$[a,b]$上连续，则$\int_a^xf(t)\,\textrm{d}t$是$f(x)$在$[a,b]$上的一个原函数。 - -\subsection{牛顿-莱布尼茨公式} - -\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}（微积分基本定理/牛顿-莱布尼茨公式）若函数$F(x)$是连续函数$f(x)$在区间$[a,b]$上的一个原函数，则$\int_a^bf(x)\,\textrm{d}x=F(b)-F(a)$。 - -利用牛莱公式证明积分中值定理： - -已知$F'(x)=f(x)$。 - -$\int_a^bf(x)\,\textrm{d}x=F(b)-F(a)=F'(\xi)(b-a)=f(\xi)(b-a)(a<\xi b)$。 - -牛-莱公式连接了微分学和积分学之间的关系。 - -\subsection{换元积分法与分部积分法} - -定积分的换元积分法与分部积分法就是在定积分的换元积分法与分部积分法上代入了牛-莱公式。 - -\subsubsection{换元积分法} - -\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}设$f(x)$在$[a,b]$上连续，函数$x=\varphi(t)$满足(1)$\varphi(\alpha)=a,\varphi(\beta)=b$，(2)$\varphi(t)$在$[\alpha,\beta]$上具有连续导数，且其值域$R_\varphi=[a,b]$，则有$\int_a^bf(x)\,\textrm{d}x=\int_\alpha^\beta f[\varphi(t)]\varphi'(t)\,\textrm{d}t$。 - -\subsubsection{分部积分法} - -\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}$\int_a^bu\,\textrm{d}v=[uv]_a^b-\int_a^bv\,\textrm{d}u$。 - -\subsection{反常积分} - -当积分区间为无穷区间，或被积函数为无界函数，那么定积分就无法“定”下来，所以这种积分就是反常积分。 - -\subsubsection{无穷限} - -设函数$f(x)$在区间$[a,+\infty)$上连续，任取$t>a$，做定积分$\int_a^tf(x)\,\textrm{d}x$，对这种变上限积分的极限$\lim\limits_{t\to+\infty}\int_a^tf(x)\,\textrm{d}x$就是$f(x)$在无穷区间$[a,+\infty)$上的反常积分，记为$\int_a^{+\infty}f(x)\,\textrm{d}x$。 - -\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}若函数$f(x)$在区间$[a,+\infty)$上连续，且极限$\lim\limits_{t\to+\infty}\int_a^tf(x)\,\textrm{d}x$存在，则称反常积分$\int_a^{+\infty}f(x)\,\textrm{d}x$收敛，且这极限就是该反常积分的值，若该极限不存在，则反常积分$\int_a^{+\infty}f(x)\,\textrm{d}x$发散。 - -同理可以给出定义$\int_{-\infty}^af(x)\,\textrm{d}x=\lim\limits_{t\to-\infty}\int_t^af(x)\,\textrm{d}x$。 - -无穷限反常积分$\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\,\textrm{d}x=\int_{-\infty}^0f(x)\,\textrm{d}x+\int_0^{+\infty}f(x)\,\textrm{d}x$。 - -\subsubsection{无界函数} - -若$f(x)$在点$a$的任意一个邻域内都无界，则$a$就是$f(x)$的瑕点（无界间断点），无界函数的反常积分又称为瑕积分。 - -设$f(x)$在区间$(a,b]$上连续，点$a$为$f(x)$的瑕点，任取$t>a$，作定积分$\int_t^bf(x)\,\textrm{d}x$，则对变下限的定积分求极限的$\lim\limits_{t\to a^+}\int_t^bf(x)\,\textrm{d}x$就是函数$f(x)$在区间$(a,b]$上的反常积分，记为$\int_a^bf(x)\,\textrm{d}x$。 - -\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}若$f(x)$在区间$(a,b]$上连续，$a$为$f(x)$的瑕点，若极限$\lim\limits_{t\to a^+}\int_t^bf(x)\,\textrm{d}x$存在，则称反常积分$\int_a^bf(x)\,\textrm{d}x$收敛，并称为此极限为该反常积分的值，若不存在，则反常积分$\int_a^bf(x)\,\textrm{d}x$发散。 - -同理可得$\int_a^bf(x)\,\textrm{d}x=\lim\limits_{t\to b^-}\int_a^tf(x)\,\textrm{d}x$ - -若$f(x)$在区间$[a,c)\cup(c,b]$上连续，$c$为瑕点，则$\int_a^bf(x)\,\textrm{d}x=\int_a^cf(x)\,\textrm{d}x+\int_c^bf(x)\,\textrm{d}x$。 - -\subsection{反常积分的判敛} - -\subsection{不定积分与定积分的区别与联系} - -区别： - -不定积分最后结果是一类函数的集合；定积分的结果是一个数，或是关于积分上下限的二元函数或运算。 - -不定积分概念建立于原函数上，定积分的概念建立于求曲边图形面积上。 - -一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分，也可以存在定积分，而没有不定积分。连续函数，一定存在定积分和不定积分；若在有限区间$[a,b]$上只有有限个间断点且函数有界，则定积分存在；若有跳跃、可去、无穷间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。 - -联系： - -定积分的计算建立于不定积分。且方法都是类似的。 - -可以通过牛-莱公式转换定积分与不定积分。 - -\section{定积分应用} - -对比不定积分的直接数学计算，定积分的实际应用要广许多，往往可以用来解决几何、物理等问题。 - -对于定积分概念的引入就是对求面积采用元素法，即将曲边多边形无限次的分割得到每一片的平均值再求和得到近似解。 - -元素法也叫微元法，是分析、解决物理问题中的常用方法，也是从部分到整体的思维方法。用该方法可以使一些复杂的物理过程用我们熟悉的物理规律迅速地加以解决，使所求的问题简单化。在使用元素法处理问题时，需将其分解为众多微小的“元过程”，而且每个“元过程”所遵循的规律是相同的，这样，我们只需分析这些“元过程”，然后再将“元过程”进行必要的数学方法或物理思想处理，进而使问题求解。 - -\subsection{几何应用} - -\subsubsection{面积} - -\paragraph{直角坐标系} \leavevmode \medskip - -\textbf{例题：}求曲线$y^2=x$与$y=x^2$所围成面积。 - -首先确定$x$的范围，是$x\in[0,1]$。 - -第二步确立微元，即切割的微小元素，是$\textrm{d}S=[\sqrt{x}-x^2]\textrm{d}x$（也可以对$y$积分：$S=\int_0^1(\sqrt{y}-y^2)\,\textrm{d}y$）。 - -最后一步对其积分：$S=\int_0^1(\sqrt{x}-x^2)\,\textrm{d}x=\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{3}$。 - -\textbf{例题：}求曲线$y^2=2x$与$y=x-4$围成面积。 - -首先确定范围，将$y=x-4$代入$y^2=2x$，从而得到$x\in[0,8]$，$y\in[-2,4]$。 - -若是对$x$确立微元，则对于不同的区间，面积有不同的表达式： - -$S=\int_0^22\sqrt{2x}\,\textrm{d}x+\int_2^8(\sqrt{2x}-x+4)\,\textrm{d}x$。 - -这显然很麻烦，然而如果对$y$确立微元，那么$y^2=2x$在$y\in[-2,4]$上总是在$y=x-4$下面，所以这个面积只要一个表达式就能表达出来： - -$\textrm{d}S=\left[(y+4)-\dfrac{y^2}{2}\right]\textrm{d}y$。 - -所以$S=\displaystyle{\int_{-2}^4\left[(y+4)-\dfrac{y^2}{2}\right]\textrm{d}y}$ - -\paragraph{参数方程} \leavevmode \medskip - -\textbf{例题：}求摆线一拱$\left\{\begin{array}{l} - x=a(t-\sin t) \\ - y=a(1-\cos t) -\end{array} -\right.$$(0\leqslant t\leqslant 2\pi)$与$x$轴所围成的面积。\medskip - -首先计算范围，代入$2\pi$，得到$x\in[0,2a\pi]$。 - -然后是找微元，这里是对$x$确立：$\textrm{d}S=y(x)\,\textrm{d}x$。 - -从而$S=\int_0^{2a\pi}y(x)\,\textrm{d}x$。 - -因为无法计算对于$x$的表达式，所以使用参数方程代入，并改变上下限$S$： - -$=\int_0^{2\pi}a(1-\cos t)\,\textrm{d}[a(t-\sin t)]$ - -$=\int_0^{2\pi}a^2(1-\cos t)^2\,\textrm{d}t$ - -$=a^2\displaystyle{\int_0^{2\pi}\left(2\sin^2\dfrac{t}{2}\right)^2\textrm{d}t}$（消去里面的1） - -$=4a^2\displaystyle{\int_0^{2\pi}\sin^4\dfrac{t}{2}\,\textrm{d}t}$ - -令$u=\dfrac{t}{2}$，从而$\textrm{d}t=2\textrm{d}u$，从而$u\in[0,\pi]$。 - -$=8a^2\int_0^\pi\sin^4u\,\textrm{d}u$ - -$=16a^2\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^4u\,\textrm{d}u$（积分可加性拆分为两个相同限的项） - -$=16a^2\cdot\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\pi}{2}=3a^2\pi$（点火公式）。 - -\paragraph{极坐标} \leavevmode \medskip - -已知极径函数$\rho=\rho(\theta)$，极角$\theta\in[\alpha,\beta]$，极坐标所围成面积就是初始角所在射线与结束角所在射线以及函数所围成的图形。所以微元计算时所围成的图形可以近似看作扇形。 - -从而根据扇形公式得到微元：$\textrm{d}S=\dfrac{1}{2}\rho^2(\theta)\,\textrm{d}\theta$。 - -最后$S=\dfrac{1}{2}\int_\alpha^\beta\rho^2(\theta)\,\textrm{d}\theta$。 - -\textbf{例题：}求心形线$\rho=a(1+\cos\theta)(a>0)$所围成面积。 - -极角发生变化时，可以计算到心形线必然会穿过$(2a,0),(0,a),(0,0)$这三个点，而$\cos x$是一个偶函数，所以心形线图形是上下对称的。如果要求心形线的面积，可以只用求上半部分就可以了。 - -所以可以根据公式$S=2\dfrac{1}{2}\int_0^\pi a^2(1+\cos\theta)^2\,\textrm{d}\theta$。 - -$=a^2\displaystyle{\int_0^\pi\left(2\cos^2\dfrac{\theta}{2}\right)^2\textrm{d}\theta}$ - -$=4a^2\displaystyle{\int_0^\pi\cos^4\dfrac{\theta}{2}\,\textrm{d}\theta}$ - -令$\dfrac{\theta}{2}=t$，所以$\textrm{d}\theta=2\textrm{d}t$，同时上下限缩小一半： - -$=8a^2\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^4t\,\textrm{d}t$ - -根据华理士公式：$=8a^2\cdot\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\pi}{2}=\dfrac{3}{2}a^2\pi$。 - -\subsubsection{体积} - -\paragraph{旋转体} \leavevmode \medskip - -当绕$x$轴进行旋转，可以看作从$x$轴沿$y$轴水平切割旋转体，就得到了以$x$轴为中心的一个圆柱，底边半径为$f(x)$，高度为$\textrm{d}x$，所以$\textrm{d}V_x=\pi f^2(x)\,\textrm{d}x$，所以$V_x=\pi\int_a^bf^2(x)\,\textrm{d}x$（如果用$y(x)$表达，就是$V_x=\pi\int_c^d\varphi^2(y)\,\textrm{d}y$）。 - -当绕$y$轴进行旋转，可以看作从旋转中心向外围按同样的半径切割环形体，这个环形体从里到外半径与体积都在不断变大，然后将这个环形体展开为长方体来计算体积，其中长度为原来圆周$2\pi x$，宽度为$f(x)$，高度为$\textrm{d}x$，所以$\textrm{d}V_y=2\pi xf(x)\,\textrm{d}x$，所以$V_y=2\pi\int_a^bxf(x)\,\textrm{d}x$。 - -\textbf{例题：}计算由椭圆$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$所围成的图形绕$x$轴旋转一周而成的体积。 - -由式子得到$y^2=b^2\left(1-\dfrac{x^2}{b^2}\right)$。 - -所以旋转体体积就是两倍的第一象限的旋转体积，直接计算第一象限部分就可以了。 - -$V_x=2\pi\displaystyle{\int_0^ab^2\left(1-\dfrac{x^2}{a^2}\right)\,\textrm{d}x}=2\pi b^2\left(a-\dfrac{a}{3}\right)=\dfrac{4\pi ab^2}{3}$。 - -\textbf{例题：}计算摆线$\left\{\begin{array}{l} - x=a(t-\sin t) \\ - y=a(1-\cos t) -\end{array} -\right.$$(0\leqslant t\leqslant 2\pi)$与$x$轴，$y$轴所旋转得到的体积。 - -$\because t\in[0,2\pi]$，$\therefore x\in[0,2a\pi]$。 - -$V_x=\pi\int_0^{2a\pi}y^2\,\textrm{d}x$ - -代入参数方程并改变上下限： - -$=\pi\int_0^{2\pi}a^2(1-\cos t)^2\,\textrm{d}[a(t-\sin t)]$ - -$=a^3\pi\int_0^{2\pi}(1-\cos t)^3\,\textrm{d}t$ - -$=a^3\pi\displaystyle{\int_0^{2\pi}\left(2\sin^2\dfrac{t}{2}\right)^3\textrm{d}t}$ - -$=8a^3\pi\displaystyle{\int_0^{2\pi}\sin^6\dfrac{t}{2}\textrm{d}t}$ - -令$\dfrac{\theta}{2}=t$，所以$\textrm{d}\theta=2\textrm{d}t$，同时上下限缩小一半： - -$=16a^3\pi\int_0^\pi\sin^6u\,\textrm{d}u$ - -$=32a^3\pi\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^6u\,\textrm{d}u$ - -华理士公式得到最后$=5a^3\pi^2$。 - -同理可得$y$轴旋转体积为$V_y=2\pi\int_0^{2\pi}xy(x)\,\textrm{d}x$ - -$=2\pi\int_0^{2\pi}a(t-\sin t)a^2(1-\cos t)^2\,\textrm{d}t$ - -$=2a^3\pi\int_0^{2\pi}(t-\sin t)\cdot 4\sin^4\dfrac{t}{2}\,\textrm{d}t$ - -然后拆开分别进行凑微分法，得到$6a^3\pi^3$。 - -\paragraph{平行截面已知的立体体积} \leavevmode \medskip - -已知截面面积可以通过对应的高得到立体体积：$V=\int_a^bS(x)\,\textrm{d}x$。 - -\textbf{例题：}计算由$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2}=1$所围成的椭球体的体积。 - -已知$\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2}=1-\dfrac{x^2}{a^2}$. - -$S(x)=\pi bc\left(1-\dfrac{x^2}{a^2}\right)$ - -$V=2\int_0^a\pi bc\left(1-\dfrac{x^2}{a^2}\right)\,\textrm{d}x$。 - -解得$V=\dfrac{4}{3}\pi abc$。 - -\subsubsection{弧长} - -在弧长中插入$n$个点$M_1,M_2,\cdots,M_{i-1},M_i,\cdots,M_n$。 - -$S_n=\sum\limits_{i=1}^n\Vert\overline{M_{i-1}M_{i}}\Vert$，$S=\lim\limits_{\delta\to 0}S_n=\lim\limits_{\delta\to 0}\sum\limits_{i=1}^n\Vert\overline{M_{i-1}M_{i}}\Vert$。 - -对于弧长采用弧微分的方式进行计算：$S=\int_a^b\sqrt{1+y'^2}\,\textrm{d}x$。 - -如果是参数方程，则$S=\int_\alpha^\beta\sqrt{x'^2+y'^2}\,\textrm{d}t$。 - -如果是极坐标方程，则$S=\int_\alpha^\beta\sqrt{\rho^2+\rho'^2}\,\textrm{d}\theta$。 - -\end{document} +\documentclass[UTF8, 12pt]{ctexart} +% UTF8编码，ctexart现实中文 +\usepackage{color} +% 使用颜色 +\definecolor{orange}{RGB}{255,127,0} +\definecolor{violet}{RGB}{192,0,255} +\definecolor{aqua}{RGB}{0,255,255} +\usepackage{geometry} +\setcounter{tocdepth}{4} +\setcounter{secnumdepth}{4} +% 设置四级目录与标题 +\geometry{papersize={21cm,29.7cm}} +% 默认大小为A4 +\geometry{left=3.18cm,right=3.18cm,top=2.54cm,bottom=2.54cm} +% 默认页边距为1英尺与1.25英尺 +\usepackage{indentfirst} +\setlength{\parindent}{2.45em} +% 首行缩进2个中文字符 +\usepackage{setspace} +\renewcommand{\baselinestretch}{1.5} +% 1.5倍行距 +\usepackage{amssymb} +% 因为所以 +\usepackage{amsmath} +% 数学公式 +\usepackage[colorlinks,linkcolor=black,urlcolor=blue]{hyperref} +% 超链接 +\author{Didnelpsun} +\title{不定积分与定积分} +\date{} +\begin{document} +\maketitle +\pagestyle{empty} +\thispagestyle{empty} +\tableofcontents +\thispagestyle{empty} +\newpage +\pagestyle{plain} +\setcounter{page}{1} +\section{不定积分} + +\subsection{定义} + +设$f(x)$定义在区间$I$上，若存在可导函数$F(x)$，使得$F'(x)=f(x)$对于任意$x\in I$都成立，则称$F(x)$为$f(x)$在区间$I$上的一个原函数。对于全体的原函数集合，就称为不定积分。 + +连续函数必有原函数。 + +在区间$I$上，函数$f(x)$带有任意常数项的原函数称为$f(x)/f(x)\,\textrm{d}x$在该区间上的不定积分，记为$\int f(x)\,\textrm{d}x$，其中$\int$为积分号，$f(x)$为被积函数，$f(x)\,\textrm{d}x$为被积表达式，$x$为积分变量。 + +积分就是导数的逆运算。$\int f(x)\,\textrm{d}x=F(x)+C$，$F'(x)=f(x)$。 + +\subsection{性质与积分运算} + +积分运算就可以将原来求导的方式进行逆运算。其中隐函数求导法与参数方程求导法都可以看作复合函数求导法则的变式。 + +积分运算具有两个性质： + +\begin{enumerate} + \item $\int[f(x)+g(x)]\textrm{d}x=\int f(x)\textrm{d}x+\int g(x)\textrm{d}x$，就是分项积分法。 + \item $\int kf(x)\textrm{d}x=k\int f(x)\textrm{d}x$。 +\end{enumerate} + +复合函数的求导法则的逆运算，就是换元积分法。 + +函数乘积的求导法则的逆运算，就是分部积分法。 + +\subsection{换元积分法} + +\subsubsection{第一类换元法（凑微分法）} + +\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}$\int f(u)\,\textrm{d}u=F(u)+C$，则$\int f[\varphi(x)]\varphi'(x)\,\textrm{d}x=\int f[\varphi(x)]\,\textrm{d}\varphi(x)=F[\varphi(x)]+C$。 + +$\displaystyle{\int\dfrac{\textrm{d}x}{a^2+x^2}}=\displaystyle{\dfrac{1}{a}\int\dfrac{\textrm{d}\dfrac{x}{a}}{1+\left(\dfrac{x}{a}\right)^2}}=\dfrac{1}{a}\arctan\dfrac{x}{a}+C$。\medskip + +$\displaystyle{\int\dfrac{\textrm{d}x}{\sqrt{a^2-x^2}}}=\displaystyle{\int\dfrac{\textrm{d}\dfrac{x}{a}}{\sqrt{1-\left(\dfrac{x}{a}\right)^2}}}=\arcsin\dfrac{x}{a}+C$。\medskip + +如$\displaystyle{\int\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}\textrm{d}x=\dfrac{1}{2}\int\dfrac{\textrm{d}(1+x^2)}{\sqrt{1+x^2}}}=\sqrt{1+x^2}+C$。\medskip + +凑微分法适用于式子比较简单的情况，所凑微分的形式必须符合一个简单积分公式的式子，且有一定的式子可以提出来到微分号后面。 + +\textbf{例题：} + +$\int(1+3x)^{100}\,\textrm{d}x=\dfrac{1}{3}\int(1+3x)^{100}\,\textrm{d}(1+3x)=\dfrac{1}{303}(1+3x)^{101}+C$。 + +$\int\cos^2x\,\textrm{d}x=\dfrac{1}{2}\int(1+\cos 2x)\,\textrm{d}x=\dfrac{1}{2}\left(x+\dfrac{1}{2}\sin 2x\right)+C$。 + +$\int\cos^3x\,\textrm{d}x=\int\cos^2\,\textrm{d}\sin x=\int(1-\sin^2x)\,\textrm{d}\sin x=\sin x-\dfrac{1}{3}\sin^3x+C$。 + +$\displaystyle{\int\dfrac{\textrm{d}x}{x\sqrt{1+\ln x}}=\int\dfrac{\textrm{d}(1+\ln x)}{\sqrt{1+\ln x}}}=2\sqrt{1+\ln x}+C$。 + +$\displaystyle{\int\dfrac{\textrm{d}x}{\sqrt{x}(1+x)}=2\int\dfrac{\textrm{d}\sqrt{x}}{1+(\sqrt{x})^2}}=2\arctan\sqrt{x}+C$。 + +$\displaystyle{\int\dfrac{\arcsin\sqrt{x}}{\sqrt{x(1-x)}}\,\textrm{d}x=\int\dfrac{\arcsin\sqrt{x}}{1-x}\cdot\dfrac{\textrm{d}x}{\sqrt{x}}=2\int\dfrac{\arcsin\sqrt{x}}{1-(\sqrt{x})^2}\,\textrm{d}\sqrt{x}}$ + +$=2\int\arcsin\sqrt{x}\,\textrm{d}\arcsin\sqrt{x}=(\arcsin\sqrt{x})^2+C$。 + +\subsubsection{第二类换元法} + +\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}设$x=\varphi(t)$为单调可导函数，且$\varphi'(t)\neq 0$，$\int f[\varphi(t)\varphi'(t)]\,\textrm{d}t=F(t)+C$，则$\int f(x)\textrm{d}x=\int f[\varphi(t)\varphi'(t)]\,\textrm{d}t=F(t)+C=F[\varphi^{-1}(x)]+C$。 + +第二类换元法适用于无法适用第一类换元法的情况，但是最重要的还是对于中间变量的取值，这个中间变量必须要让原式子更简单，且还要注意到变量取值范围。 + +\textcolor{orange}{注意：}$\varphi'(t)\neq 0$是为了保证中间变量函数具有反函数，而单调函数必然有反函数，所以只要能证明这个中间变量函数必然单调，那么其实$\varphi'(t)$也可以等于0。 + +\textbf{例题：}求$\int\sqrt{a^2-x^2}\,\textrm{d}x(a>0)$。 + +首先看题目，如果使用凑微分法，那必须从式子中提取出一个式子放到微分后面，且提取后的式子满足一个简单的积分公式。 + +这个式子一般就只能提取出$x$到平方号外面，但是提取后式子仍不能变为一个简单微分公式，所以说第一种凑微分法就无法使用，就只能使用第二类换元法。 + +这个式子是一个平方取开平方的式子，所以取中间变量后最好让这个式子能被开平方。又涉及到一个常数$a$，所以我们很容易就想到是否可以通过三角函数来作为中间变量。 + +所以取$x=a\sin t$，从而$\sqrt{a^2-x^2}=a\cos t$。 + +并且还要注意到这个$t$的取值范围。 + +因为$x=\varphi(t)$是一个单调可导的函数。所以$\sin t$必须取在单调区间上。 + +又$\sqrt{a^2-x^2}$要求$-a\leqslant x\leqslant a$，$-a\leqslant a\sin t\leqslant a$，从而$-1\leqslant\sin t\leqslant 1$。 + +且$\varphi'(t)\neq 0$，所以$\cos t\neq 0$。 + +所以综上三个条件从而得到一个$t$的定义域：$t\in\left[-\dfrac{\pi}{2},0\right)\cup\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right]$。 + +但是在$\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right]$上$\varphi'(t)=a\sin t$是严格单调递增的，单调函数必然存在反函数，所以$\varphi'(t)$可以等于0，从而$t\in\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right]$。 + +$\int\sqrt{a^2-x^2}\,\textrm{d}x=a\int\cos t\,\textrm{d}a\sin t=a^2\int\cos^2t\textrm{d}t=\dfrac{a^2}{2}\int(1+\cos 2t)\textrm{d}t=\dfrac{a^2}{2}\left(t+\dfrac{1}{2}\sin 2t\right)+C=\dfrac{a^2}{2}\left(\arcsin\dfrac{x}{a}+\dfrac{x}{a}\sqrt{1-\dfrac{x^2}{a^2}}\right)+C$。 + +\textbf{例题：} + +已知$\tan^2x+1=\sec^2x$。 + +$\displaystyle{\int\dfrac{\textrm{d}x}{\sqrt{a^2+x^2}}}(a>0)$。 + +令$x=a\tan t$。 + +原式$=\displaystyle{\int\dfrac{a\sec^2t}{a\sec t}\,\textrm{d}t=\int\sec t\,\textrm{d}t}=\ln\vert\sec t+\tan t\vert+C=\ln\bigg\vert\sqrt{1+\dfrac{x^2}{a^2}}+\dfrac{x}{a}\bigg\vert+C$。 + +$\displaystyle{\int\dfrac{\textrm{d}x}{\sqrt{x^2-a^2}}}(a>0)$。 + +令$x=a\sec t$。 + +原式$=\displaystyle{\int\dfrac{a\sec t\tan t}{a\tan t}\,\textrm{d}t}=\ln\bigg\vert\sec t+\tan t\bigg\vert+C=\ln\bigg\vert\dfrac{x}{a}+\sqrt{\dfrac{x^2}{a^2}-1}\vert+C$。\medskip + +所以常用的换元积分替换方式： + +\begin{enumerate} + \item $\sqrt{a^2-x^2}$：$x=a\sin t(a\cos t)$。 + \item $\sqrt{a^2+x^2}$：$x=a\tan t$。 + \item $\sqrt{x^2-a^2}$：$x=a\sec t$。 +\end{enumerate} + +换元法本质是将式子转换为我们已知的积分公式，所以换元积分法只适合于能转换为积分公式的简单式子上，如果式子比较复杂或形式与大部分积分公式不一致，那么也无法换元了。 + +\subsection{分部积分法} + +已知$(uv)'=uv'+u'v$，所以$uv'=(uv)'-u'v$，从而$\int uv'\,\textrm{d}x=\int(uv)'\,\textrm{d}x-\int vu'\,\textrm{d}x$，即$\int u\,\textrm{d}v=uv-\int v\,\textrm{d}u$。 + +所以分部积分法的公式就是：$\int u\,\textrm{d}v=uv-\int v\,\textrm{d}u$。 + +所以分部积分法的适用方式就是所求积分的式子是一个可拆分为两项不同函数的式子，式子的分式中一个式子不好积分，另一个式子好积分，就可以用好积分的式子来积分计算。 + +\subsubsection{基本分部积分} + +\textbf{例题：} + +$\int xe^x\,\textrm{d}x=\int x\,\textrm{d}e^x=xe^x-\int e^x\textrm{d}x=xe^x-e^x+C$。 + +$\int x\sin x\,\textrm{d}x=-\int x\,\textrm{d}\cos x=-[x\cos x-\int\cos x\,\textrm{d}x]=-[x\cos x-\sin x]+C=\sin x-x\cos x+C$。 + +$\int x\ln x\,\textrm{d}x=\dfrac{1}{2}\int\ln x\textrm{d}x^2=\dfrac{1}{2}[x^2\ln x-\ln x^2\textrm{d}\ln x]=\dfrac{1}{2}[x^2\ln x-\ln x\textrm{d}x]=\dfrac{1}{2}x^2\ln x-\dfrac{1}{4}x^2+C$。 + +$\int x\arctan x\textrm{d}x=\dfrac{1}{2}\int\arctan x\textrm{d}x^2=\dfrac{1}{2}\left[x^2\arctan x-\displaystyle{\int\dfrac{x^2}{1+x^2}\textrm{d}x}\right]=\\ \dfrac{1}{2}[x^2\arctan x-x+\arctan x]+C$。 + +\subsubsection{多次分部积分还原} + +当式子中含有$\sin x$，$\cos x$，$e^x$这种积分后变化不大的因式时，可以适用多步分部积分，然后在右边计算的式子中得到左边目标式子一样的因式，然后移到一边就能得到目标式子的表达式。 + +\textbf{例题：}\medskip + +$ +\begin{aligned} + \int e^x\sin x\,\textrm{d}x & =\int\sin x\,\textrm{d}e^x \\ + & =e^x\sin x-\int e^x\cos x\,\textrm{d}x \\ + & =e^x\sin x-\int\cos x\,\textrm{d}e^x \\ + & =e^x\sin x-\left[e^x\cos x+\int e^x\sin\,\textrm{d}x\right] \\ + 2\int e^x\sin x\,\textrm{d}x & =e^x\sin x-e^x\cos x +\end{aligned} +$ + +$\therefore\int e^x\sin x\,\textrm{d}x=\dfrac{e^x\sin x-e^x\cos}{2}+C$。 + +$ +\begin{aligned} + \int\sec^3x\,\textrm{d}x =&\int\sec x\,\textrm{d}\tan x \\ + & =\sec x\tan x-\int\tan^2x\sec x\,\textrm{d}x \\ + & =\sec x\tan x-\int\sec^3x\textrm{d}x+\int\sec x\textrm{d}x \\ + 2\int\sec^3x\,\textrm{d}x =&[\sec x\tan x+\ln\vert\sec x+\tan x\vert] +\end{aligned} +$ + +$\therefore\int\sec^3x\,\textrm{d}x =\dfrac{\sec x\tan x+\ln\vert\sec x+\tan x\vert}{2}+C$。 + +如上所说分部积分的方法就是找到目标式子中两个因式好求的一部分进行积分，其中好求是指$\textrm{d}v$微分后这个结果会简化整个式子。 + +其中$e^x$，$\sin x$，$\cos x$这三个因式求微分后无法简化，所以无法对其微分，除非需要多次分部积分还原间接求出；$x^n$微分后会降幂，所以一般可以积分；而$\ln x$，$\arctan x$，$\arcsin x$微分会转换为幂函数相关的式子降低幂次，如果不对其微分则无法消去这三个函数，所以如果出现这三个因式必然优先微分。 + +所以常用的分部积分方式： + +\begin{enumerate} + \item $\int x^ne^x\,\textrm{d}x$、$\int x^n\sin x\,\textrm{d}x$，$\int x^n\cos x\,\textrm{d}x$：对非幂函数的部分，即对$e^x$或三角函数进行分部。 + \item $\int x^n\ln x\,\textrm{d}x$，$\int x^n\arctan x\,\textrm{d}x$，$\int x^n\arcsin x\,\textrm{d}x$：对幂函数的部分，即对$x^n$进行分部。 + \item $\int e^x\sin x\,\textrm{d}x$，$\int e^x\cos x\,\textrm{d}x$：对哪个部分进行分部都可以，而$e^x$进行分部积分时没有正负号的改变，所以对$e^x$进行分部积分，需要多次分部积分还原。 +\end{enumerate} + +\subsection{有理函数的积分} + +两个多项式的商$\dfrac{P(x)}{Q(x)}$被称为有理函数，或有理分式。 + +假设该多项式之间没有公因式，当$P(x)$的次数小于$Q(x)$的次数时村各位真分式，否则称为假分式。 + +假分式可以分解为多项式与真分式之和。 + +真分式$\dfrac{P(x)}{Q(x)}$若可以分解为两个多项式的乘积：$\dfrac{P(x)}{Q(x)}=\dfrac{P_1(x)}{Q_1(x)}+\dfrac{P_2(x)}{Q_2(x)}$，则称为将真分式化为部分分式之和。 + +通过这种化简方式，可以在求以商的形式的有利函数的式子的积分时拆分因式，从而简化积分运算。 + +\section{定积分} + +定积分是积分的一种，是函数在一个区间上积分和的极限。已知$f(x)$为速度函数，则$f'(x)$为速度变化率函数，$\textrm{d}f(x)$为瞬时位移，则$\int_{a}^bf(x)\,\textrm{d}x$为位移函数。 + +\subsection{定义} + +设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，将区间分割为$n$个子区间：$[x_0,x_1],(x_1,x_2],$\\$(x_2,x_3],\cdots,(x_{n-1},x_n]$，其中$x_0=a$，$x_n=b$。并可知各区间长度为$\Delta x_1=x_1-x_0\cdots$，在每个子区间$(x_{i-1},x_i]$上任意取一点$\xi_i(i=1,2,\cdots,n)$，做累计和$\sum\limits_{i=1}^nf(\xi_i)\Delta x_i$，这个式子被称为积分和。 + +设$\lambda=\max{\Delta x_1,\Delta x_2,\cdots,\Delta x_n}$，从而$\lambda$为最大的区间长度，若$\lambda\to 0$时积分和极限存在，则这个极限就是函数在区间$[a,b]$的定积分，记为$\int_a^bf(x)\,\textrm{d}x$，并称函数$f(x)$在区间$[a,b]$上可积。 + +其中$a$为积分下限，$b$为积分上限，区间$[a,b]$为积分区间，函数$f(x)$为被积函数，$x$是积分变量，$f(x)\,\textrm{d}x$为被积表达式，$\int$为积分号。 + +\subsection{性质} + +设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，则： + +\begin{enumerate} + \item 当$a=b$时，$\int_a^bf(x)\,\textrm{d}x=0$。 + \item 当$a>b$时，$\int_a^bf(x)\,\textrm{d}x=-\int_b^af(x)\,\textrm{d}x$。 + \item $\int_a^bkf(x)\,\textrm{d}x=k\int_a^bf(x)\,\textrm{d}x$。 + \item $\int_a^b[f(x)\pm g(x)]\,\textrm{d}x=\int_a^bf(x)\,\textrm{d}x\pm\int_a^bg(x)\,\textrm{d}x$。 + \item $\int_a^bf(x)\,\textrm{d}x=\int_a^cf(x)\,\textrm{d}x+\int_c^bf(x)\,\textrm{d}x$，若$c$处于函数的可积区间。 + \item 若$[a,b]$上$f(x)\geqslant 0$，则$\int_a^bf(x)\,\textrm{d}x\geqslant 0$。 + \item 若$[a,b]$上$f(x)\leqslant g(x)$，则$\int_a^bf(x)\,\textrm{d}x\leqslant\int_a^bg(x)\,\textrm{d}x$。 + \item 积分中值定理：$\exists\,\varepsilon\in[a,b]$，使得$\int_a^bf(x)\,\textrm{d}x=f(\varepsilon)(b-a)$。 +\end{enumerate} + +证明积分中值定理： + +设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，因为闭区间上连续函数必然有最大最小值，所以设最大值为$M$，最小值为$m$，$M\geqslant m$。 + +对$m\leqslant f(x)\leqslant M$两边积分得到：$m(b-a)\leqslant\int_a^bf(x)\,\textrm{d}x\leqslant M(b-a)$。 + +同时除以$b-a$得到：$m\leqslant\dfrac{1}{b-a}\int_a^bf(x)\,\textrm{d}x\leqslant M$。 + +由连续函数的介值定理，必然存在一个$\varepsilon$，使得$f(\varepsilon)=\dfrac{1}{b-a}\int_a^bf(x)\,\textrm{d}x$。 + +从而得到$\exists\,\varepsilon\in[a,b]$，使得$\int_a^bf(x)\,\textrm{d}x=f(\varepsilon)(b-a)$。 + +对于定积分的存在性： + +\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，则$f(x)$在该区间上可积。 + +\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上有界，且只有有限个间断点，则$f(x)$在该区间上可积。 + +\subsection{变限积分} + +设$f(x)$在$[a,b]$上连续，且$\Phi(x)=\int_a^xf(t)\,\textrm{d}t(x\in[a,b])$，这个函数就是积分上限函数或叫积分变限函数。 + +\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}设$f(x)$在$[a,b]$上连续，则$\int_a^xf(t)\,\textrm{d}t$在$[a,b]$上$(\int_a^xf(t)\,\textrm{d}t)'=f(x)$。 + +证明：设$x\in(a,b)$。 + +则$\dfrac{\Phi(x+\Delta x)-\Phi(x)}{\Delta x}=\dfrac{\int_a^{x+\Delta x}f(t)\,\textrm{d}t-\int_a^xf(t)\,\textrm{d}t}{\Delta x}=\dfrac{\int_x^{x+\Delta x}f(t)\,\textrm{d}t}{\Delta x}$。 + +由积分中值定理存在$\xi$使得原式$=\dfrac{\Delta x\,f(\xi)}{\Delta x}=f(\xi)$。 + +从而$\Phi'(x)=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{\Phi(x+\Delta x)-\Phi(x)}{\Delta x}=f(x)$。 + +同理当$x=a,\Delta x>0$与$x=b,\Delta x<0$时也同样成立。 + +\textbf{例题：}求$F(x)=\int_0^{x^2}e^{-t^2}\,\textrm{d}t$的导数。 + +由定理，可以将式子看作复合函数求导（注意定理中积分上限为$x$，而这里不是$x$，但是对$x$求导，所以必须看作为一个复合函数求导）。 + +$F(x)=\int_0^ue^{-t^2}\,\textrm{d}t$，$u=x^2$。 + +$\therefore F'_x(x)=F'_u(x)\cdot u'_x=e^{-u^2}\cdot 2x=2xe^{-x^4}$。 + +同理，如果是变下限的变限积分，则可以看作负的变上限积分进行运算，本质是一样的。 + +也同理，如果上限下限都在变化，则可以利用积分区间的可加性，将这个积分的区间插入一个常数（一般为0），将一个积分式子变为两个积分式子，再分别进行运算。 + +所以变限积分\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}若$\phi(x)$与$\psi(x)$都可导，$f(x)$连续，则$\dfrac{\textrm{d}}{\textrm{d}x}\int_{\psi(x)}^{\phi(x)}=f(\psi(x))\psi'(x)-f(\phi(x))\phi'(x)$。 + +\textbf{例题：}求极限$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\int_0^{\sin^2x}\ln(1+t)\,\textrm{d}t}{x(\sqrt{1+x^3}-1)}$。 + +原式$=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\ln(1+\sin^2x)2\sin x\cos x}{x(\sqrt{1+x^3}-1)}=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x^2\cdot 2x\cdot 1}{\dfrac{4}{3}x^3}=\dfrac{3}{2}$。\smallskip + +\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}设$f(x)$在$[a,b]$上连续，则$\int_a^xf(t)\,\textrm{d}t$是$f(x)$在$[a,b]$上的一个原函数。 + +\subsection{牛顿-莱布尼茨公式} + +\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}（微积分基本定理/牛顿-莱布尼茨公式）若函数$F(x)$是连续函数$f(x)$在区间$[a,b]$上的一个原函数，则$\int_a^bf(x)\,\textrm{d}x=F(b)-F(a)$。 + +利用牛莱公式证明积分中值定理： + +已知$F'(x)=f(x)$。 + +$\int_a^bf(x)\,\textrm{d}x=F(b)-F(a)=F'(\xi)(b-a)=f(\xi)(b-a)(a<\xi b)$。 + +牛-莱公式连接了微分学和积分学之间的关系。 + +\subsection{换元积分法与分部积分法} + +定积分的换元积分法与分部积分法就是在定积分的换元积分法与分部积分法上代入了牛-莱公式。 + +\subsubsection{换元积分法} + +\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}设$f(x)$在$[a,b]$上连续，函数$x=\varphi(t)$满足(1)$\varphi(\alpha)=a,\varphi(\beta)=b$，(2)$\varphi(t)$在$[\alpha,\beta]$上具有连续导数，且其值域$R_\varphi=[a,b]$，则有$\int_a^bf(x)\,\textrm{d}x=\int_\alpha^\beta f[\varphi(t)]\varphi'(t)\,\textrm{d}t$。 + +\subsubsection{分部积分法} + +\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}$\int_a^bu\,\textrm{d}v=[uv]_a^b-\int_a^bv\,\textrm{d}u$。 + +\subsection{反常积分} + +当积分区间为无穷区间，或被积函数为无界函数，那么定积分就无法“定”下来，所以这种积分就是反常积分。 + +\subsubsection{无穷限} + +设函数$f(x)$在区间$[a,+\infty)$上连续，任取$t>a$，做定积分$\int_a^tf(x)\,\textrm{d}x$，对这种变上限积分的极限$\lim\limits_{t\to+\infty}\int_a^tf(x)\,\textrm{d}x$就是$f(x)$在无穷区间$[a,+\infty)$上的反常积分，记为$\int_a^{+\infty}f(x)\,\textrm{d}x$。 + +\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}若函数$f(x)$在区间$[a,+\infty)$上连续，且极限$\lim\limits_{t\to+\infty}\int_a^tf(x)\,\textrm{d}x$存在，则称反常积分$\int_a^{+\infty}f(x)\,\textrm{d}x$收敛，且这极限就是该反常积分的值，若该极限不存在，则反常积分$\int_a^{+\infty}f(x)\,\textrm{d}x$发散。 + +同理可以给出定义$\int_{-\infty}^af(x)\,\textrm{d}x=\lim\limits_{t\to-\infty}\int_t^af(x)\,\textrm{d}x$。 + +无穷限反常积分$\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\,\textrm{d}x=\int_{-\infty}^0f(x)\,\textrm{d}x+\int_0^{+\infty}f(x)\,\textrm{d}x$。 + +\subsubsection{无界函数} + +若$f(x)$在点$a$的任意一个邻域内都无界，则$a$就是$f(x)$的瑕点（无界间断点），无界函数的反常积分又称为瑕积分。 + +设$f(x)$在区间$(a,b]$上连续，点$a$为$f(x)$的瑕点，任取$t>a$，作定积分$\int_t^bf(x)\,\textrm{d}x$，则对变下限的定积分求极限的$\lim\limits_{t\to a^+}\int_t^bf(x)\,\textrm{d}x$就是函数$f(x)$在区间$(a,b]$上的反常积分，记为$\int_a^bf(x)\,\textrm{d}x$。 + +\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}若$f(x)$在区间$(a,b]$上连续，$a$为$f(x)$的瑕点，若极限$\lim\limits_{t\to a^+}\int_t^bf(x)\,\textrm{d}x$存在，则称反常积分$\int_a^bf(x)\,\textrm{d}x$收敛，并称为此极限为该反常积分的值，若不存在，则反常积分$\int_a^bf(x)\,\textrm{d}x$发散。 + +同理可得$\int_a^bf(x)\,\textrm{d}x=\lim\limits_{t\to b^-}\int_a^tf(x)\,\textrm{d}x$ + +若$f(x)$在区间$[a,c)\cup(c,b]$上连续，$c$为瑕点，则$\int_a^bf(x)\,\textrm{d}x=\int_a^cf(x)\,\textrm{d}x+\int_c^bf(x)\,\textrm{d}x$。 + +\subsection{反常积分的判敛} + +\subsection{不定积分与定积分的区别与联系} + +区别： + +不定积分最后结果是一类函数的集合；定积分的结果是一个数，或是关于积分上下限的二元函数或运算。 + +不定积分概念建立于原函数上，定积分的概念建立于求曲边图形面积上。 + +一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分，也可以存在定积分，而没有不定积分。连续函数，一定存在定积分和不定积分；若在有限区间$[a,b]$上只有有限个间断点且函数有界，则定积分存在；若有跳跃、可去、无穷间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。 + +联系： + +定积分的计算建立于不定积分。且方法都是类似的。 + +可以通过牛-莱公式转换定积分与不定积分。 + +\section{定积分应用} + +对比不定积分的直接数学计算，定积分的实际应用要广许多，往往可以用来解决几何、物理等问题。 + +对于定积分概念的引入就是对求面积采用元素法，即将曲边多边形无限次的分割得到每一片的平均值再求和得到近似解。 + +元素法也叫微元法，是分析、解决物理问题中的常用方法，也是从部分到整体的思维方法。用该方法可以使一些复杂的物理过程用我们熟悉的物理规律迅速地加以解决，使所求的问题简单化。在使用元素法处理问题时，需将其分解为众多微小的“元过程”，而且每个“元过程”所遵循的规律是相同的，这样，我们只需分析这些“元过程”，然后再将“元过程”进行必要的数学方法或物理思想处理，进而使问题求解。 + +\subsection{几何应用} + +\subsubsection{面积} + +\paragraph{直角坐标系} \leavevmode \medskip + +\textbf{例题：}求曲线$y^2=x$与$y=x^2$所围成面积。 + +首先确定$x$的范围，是$x\in[0,1]$。 + +第二步确立微元，即切割的微小元素，是$\textrm{d}S=[\sqrt{x}-x^2]\textrm{d}x$（也可以对$y$积分：$S=\int_0^1(\sqrt{y}-y^2)\,\textrm{d}y$）。 + +最后一步对其积分：$S=\int_0^1(\sqrt{x}-x^2)\,\textrm{d}x=\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{3}$。 + +\textbf{例题：}求曲线$y^2=2x$与$y=x-4$围成面积。 + +首先确定范围，将$y=x-4$代入$y^2=2x$，从而得到$x\in[0,8]$，$y\in[-2,4]$。 + +若是对$x$确立微元，则对于不同的区间，面积有不同的表达式： + +$S=\int_0^22\sqrt{2x}\,\textrm{d}x+\int_2^8(\sqrt{2x}-x+4)\,\textrm{d}x$。 + +这显然很麻烦，然而如果对$y$确立微元，那么$y^2=2x$在$y\in[-2,4]$上总是在$y=x-4$下面，所以这个面积只要一个表达式就能表达出来： + +$\textrm{d}S=\left[(y+4)-\dfrac{y^2}{2}\right]\textrm{d}y$。 + +所以$S=\displaystyle{\int_{-2}^4\left[(y+4)-\dfrac{y^2}{2}\right]\textrm{d}y}$ + +\paragraph{参数方程} \leavevmode \medskip + +\textbf{例题：}求摆线一拱$\left\{\begin{array}{l} + x=a(t-\sin t) \\ + y=a(1-\cos t) +\end{array} +\right.$$(0\leqslant t\leqslant 2\pi)$与$x$轴所围成的面积。\medskip + +首先计算范围，代入$2\pi$，得到$x\in[0,2a\pi]$。 + +然后是找微元，这里是对$x$确立：$\textrm{d}S=y(x)\,\textrm{d}x$。 + +从而$S=\int_0^{2a\pi}y(x)\,\textrm{d}x$。 + +因为无法计算对于$x$的表达式，所以使用参数方程代入，并改变上下限$S$： + +$=\int_0^{2\pi}a(1-\cos t)\,\textrm{d}[a(t-\sin t)]$ + +$=\int_0^{2\pi}a^2(1-\cos t)^2\,\textrm{d}t$ + +$=a^2\displaystyle{\int_0^{2\pi}\left(2\sin^2\dfrac{t}{2}\right)^2\textrm{d}t}$（消去里面的1） + +$=4a^2\displaystyle{\int_0^{2\pi}\sin^4\dfrac{t}{2}\,\textrm{d}t}$ + +令$u=\dfrac{t}{2}$，从而$\textrm{d}t=2\textrm{d}u$，从而$u\in[0,\pi]$。 + +$=8a^2\int_0^\pi\sin^4u\,\textrm{d}u$ + +$=16a^2\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^4u\,\textrm{d}u$（积分可加性拆分为两个相同限的项） + +$=16a^2\cdot\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\pi}{2}=3a^2\pi$（点火公式）。 + +\paragraph{极坐标} \leavevmode \medskip + +已知极径函数$\rho=\rho(\theta)$，极角$\theta\in[\alpha,\beta]$，极坐标所围成面积就是初始角所在射线与结束角所在射线以及函数所围成的图形。所以微元计算时所围成的图形可以近似看作扇形。 + +从而根据扇形公式得到微元：$\textrm{d}S=\dfrac{1}{2}\rho^2(\theta)\,\textrm{d}\theta$。 + +最后$S=\dfrac{1}{2}\int_\alpha^\beta\rho^2(\theta)\,\textrm{d}\theta$。 + +\textbf{例题：}求心形线$\rho=a(1+\cos\theta)(a>0)$所围成面积。 + +极角发生变化时，可以计算到心形线必然会穿过$(2a,0),(0,a),(0,0)$这三个点，而$\cos x$是一个偶函数，所以心形线图形是上下对称的。如果要求心形线的面积，可以只用求上半部分就可以了。 + +所以可以根据公式$S=2\dfrac{1}{2}\int_0^\pi a^2(1+\cos\theta)^2\,\textrm{d}\theta$。 + +$=a^2\displaystyle{\int_0^\pi\left(2\cos^2\dfrac{\theta}{2}\right)^2\textrm{d}\theta}$ + +$=4a^2\displaystyle{\int_0^\pi\cos^4\dfrac{\theta}{2}\,\textrm{d}\theta}$ + +令$\dfrac{\theta}{2}=t$，所以$\textrm{d}\theta=2\textrm{d}t$，同时上下限缩小一半： + +$=8a^2\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^4t\,\textrm{d}t$ + +根据华理士公式：$=8a^2\cdot\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\pi}{2}=\dfrac{3}{2}a^2\pi$。 + +\subsubsection{体积} + +\paragraph{旋转体} \leavevmode \medskip + +当绕$x$轴进行旋转，可以看作从$x$轴沿$y$轴水平切割旋转体，就得到了以$x$轴为中心的一个圆柱，底边半径为$f(x)$，高度为$\textrm{d}x$，所以$\textrm{d}V_x=\pi f^2(x)\,\textrm{d}x$，所以$V_x=\pi\int_a^bf^2(x)\,\textrm{d}x$（如果用$y(x)$表达，就是$V_x=\pi\int_c^d\varphi^2(y)\,\textrm{d}y$）。 + +当绕$y$轴进行旋转，可以看作从旋转中心向外围按同样的半径切割环形体，这个环形体从里到外半径与体积都在不断变大，然后将这个环形体展开为长方体来计算体积，其中长度为原来圆周$2\pi x$，宽度为$f(x)$，高度为$\textrm{d}x$，所以$\textrm{d}V_y=2\pi xf(x)\,\textrm{d}x$，所以$V_y=2\pi\int_a^bxf(x)\,\textrm{d}x$。 + +\textbf{例题：}计算由椭圆$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$所围成的图形绕$x$轴旋转一周而成的体积。 + +由式子得到$y^2=b^2\left(1-\dfrac{x^2}{b^2}\right)$。 + +所以旋转体体积就是两倍的第一象限的旋转体积，直接计算第一象限部分就可以了。 + +$V_x=2\pi\displaystyle{\int_0^ab^2\left(1-\dfrac{x^2}{a^2}\right)\,\textrm{d}x}=2\pi b^2\left(a-\dfrac{a}{3}\right)=\dfrac{4\pi ab^2}{3}$。 + +\textbf{例题：}计算摆线$\left\{\begin{array}{l} + x=a(t-\sin t) \\ + y=a(1-\cos t) +\end{array} +\right.$$(0\leqslant t\leqslant 2\pi)$与$x$轴，$y$轴所旋转得到的体积。 + +$\because t\in[0,2\pi]$，$\therefore x\in[0,2a\pi]$。 + +$V_x=\pi\int_0^{2a\pi}y^2\,\textrm{d}x$ + +代入参数方程并改变上下限： + +$=\pi\int_0^{2\pi}a^2(1-\cos t)^2\,\textrm{d}[a(t-\sin t)]$ + +$=a^3\pi\int_0^{2\pi}(1-\cos t)^3\,\textrm{d}t$ + +$=a^3\pi\displaystyle{\int_0^{2\pi}\left(2\sin^2\dfrac{t}{2}\right)^3\textrm{d}t}$ + +$=8a^3\pi\displaystyle{\int_0^{2\pi}\sin^6\dfrac{t}{2}\textrm{d}t}$ + +令$\dfrac{\theta}{2}=t$，所以$\textrm{d}\theta=2\textrm{d}t$，同时上下限缩小一半： + +$=16a^3\pi\int_0^\pi\sin^6u\,\textrm{d}u$ + +$=32a^3\pi\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^6u\,\textrm{d}u$ + +华理士公式得到最后$=5a^3\pi^2$。 + +同理可得$y$轴旋转体积为$V_y=2\pi\int_0^{2\pi}xy(x)\,\textrm{d}x$ + +$=2\pi\int_0^{2\pi}a(t-\sin t)a^2(1-\cos t)^2\,\textrm{d}t$ + +$=2a^3\pi\int_0^{2\pi}(t-\sin t)\cdot 4\sin^4\dfrac{t}{2}\,\textrm{d}t$ + +然后拆开分别进行凑微分法，得到$6a^3\pi^3$。 + +\paragraph{平行截面已知的立体体积} \leavevmode \medskip + +已知截面面积可以通过对应的高得到立体体积：$V=\int_a^bS(x)\,\textrm{d}x$。 + +\textbf{例题：}计算由$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2}=1$所围成的椭球体的体积。 + +已知$\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2}=1-\dfrac{x^2}{a^2}$. + +$S(x)=\pi bc\left(1-\dfrac{x^2}{a^2}\right)$ + +$V=2\int_0^a\pi bc\left(1-\dfrac{x^2}{a^2}\right)\,\textrm{d}x$。 + +解得$V=\dfrac{4}{3}\pi abc$。 + +\subsubsection{弧长} + +在弧长中插入$n$个点$M_1,M_2,\cdots,M_{i-1},M_i,\cdots,M_n$。 + +$S_n=\sum\limits_{i=1}^n\Vert\overline{M_{i-1}M_{i}}\Vert$，$S=\lim\limits_{\delta\to 0}S_n=\lim\limits_{\delta\to 0}\sum\limits_{i=1}^n\Vert\overline{M_{i-1}M_{i}}\Vert$。 + +对于弧长采用弧微分的方式进行计算：$S=\int_a^b\sqrt{1+y'^2}\,\textrm{d}x$。 + +如果是参数方程，则$S=\int_\alpha^\beta\sqrt{x'^2+y'^2}\,\textrm{d}t$。 + +如果是极坐标方程，则$S=\int_\alpha^\beta\sqrt{\rho^2+\rho'^2}\,\textrm{d}\theta$。 + +\end{document} diff --git a/advanced-math/knowledge/5-vector-algebra-and-space-analytic-geometry/vector-algebra-and-space-analytic-geometry.tex b/advanced-math/knowledge/5-vector-algebra-and-space-analytic-geometry/vector-algebra-and-space-analytic-geometry.tex index 525db8b..65958c4 100644 --- a/advanced-math/knowledge/5-vector-algebra-and-space-analytic-geometry/vector-algebra-and-space-analytic-geometry.tex +++ b/advanced-math/knowledge/5-vector-algebra-and-space-analytic-geometry/vector-algebra-and-space-analytic-geometry.tex @@ -1,33 +1,33 @@ -\documentclass[UTF8, 12pt]{ctexart} -% UTF8编码，ctexart现实中文 -\usepackage{color} -% 使用颜色 -\usepackage{geometry} -\setcounter{tocdepth}{4} -\setcounter{secnumdepth}{4} -% 设置四级目录与标题 -\geometry{papersize={21cm,29.7cm}} -% 默认大小为A4 -\geometry{left=3.18cm,right=3.18cm,top=2.54cm,bottom=2.54cm} -% 默认页边距为1英尺与1.25英尺 -\usepackage{indentfirst} -\setlength{\parindent}{2.45em} -% 首行缩进2个中文字符 -\usepackage{setspace} -\renewcommand{\baselinestretch}{1.5} -% 1.5倍行距 -\author{Didnelpsun} -\title{向量代数与空间解析几何} -\date{} -\begin{document} -\maketitle -\pagestyle{empty} -\thispagestyle{empty} -\tableofcontents -\thispagestyle{empty} -\newpage -\pagestyle{plain} -\setcounter{page}{1} -\section{} - -\end{document} +\documentclass[UTF8, 12pt]{ctexart} +% UTF8编码，ctexart现实中文 +\usepackage{color} +% 使用颜色 +\usepackage{geometry} +\setcounter{tocdepth}{4} +\setcounter{secnumdepth}{4} +% 设置四级目录与标题 +\geometry{papersize={21cm,29.7cm}} +% 默认大小为A4 +\geometry{left=3.18cm,right=3.18cm,top=2.54cm,bottom=2.54cm} +% 默认页边距为1英尺与1.25英尺 +\usepackage{indentfirst} +\setlength{\parindent}{2.45em} +% 首行缩进2个中文字符 +\usepackage{setspace} +\renewcommand{\baselinestretch}{1.5} +% 1.5倍行距 +\author{Didnelpsun} +\title{向量代数与空间解析几何} +\date{} +\begin{document} +\maketitle +\pagestyle{empty} +\thispagestyle{empty} +\tableofcontents +\thispagestyle{empty} +\newpage +\pagestyle{plain} +\setcounter{page}{1} +\section{} + +\end{document} diff --git a/advanced-math/knowledge/6-differential-calculus-of-multivariate-functions/differential-calculus-of-multivariate-functions.tex b/advanced-math/knowledge/6-differential-calculus-of-multivariate-functions/differential-calculus-of-multivariate-functions.tex index 1689af9..2f4bdcf 100644 --- 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12pt]{ctexart} +% UTF8编码，ctexart现实中文 +\usepackage{color} +% 使用颜色 +\usepackage{geometry} +\setcounter{tocdepth}{4} +\setcounter{secnumdepth}{4} +% 设置四级目录与标题 +\geometry{papersize={21cm,29.7cm}} +% 默认大小为A4 +\geometry{left=3.18cm,right=3.18cm,top=2.54cm,bottom=2.54cm} +% 默认页边距为1英尺与1.25英尺 +\usepackage{indentfirst} +\setlength{\parindent}{2.45em} +% 首行缩进2个中文字符 +\usepackage{setspace} +\renewcommand{\baselinestretch}{1.5} +% 1.5倍行距 +\author{Didnelpsun} +\title{多元函数微分学} +\date{} +\begin{document} +\maketitle +\pagestyle{empty} +\thispagestyle{empty} +\tableofcontents +\thispagestyle{empty} +\newpage +\pagestyle{plain} +\setcounter{page}{1} +\section{} + +\end{document} diff --git a/advanced-math/knowledge/7-integral-calculus-of-multivariate-functions/integral-calculus-of-multivariate-functions.tex b/advanced-math/knowledge/7-integral-calculus-of-multivariate-functions/integral-calculus-of-multivariate-functions.tex index 75fdb63..7146f86 100644 --- a/advanced-math/knowledge/7-integral-calculus-of-multivariate-functions/integral-calculus-of-multivariate-functions.tex +++ b/advanced-math/knowledge/7-integral-calculus-of-multivariate-functions/integral-calculus-of-multivariate-functions.tex @@ -1,33 +1,33 @@ -\documentclass[UTF8, 12pt]{ctexart} -% UTF8编码，ctexart现实中文 -\usepackage{color} -% 使用颜色 -\usepackage{geometry} -\setcounter{tocdepth}{4} -\setcounter{secnumdepth}{4} -% 设置四级目录与标题 -\geometry{papersize={21cm,29.7cm}} -% 默认大小为A4 -\geometry{left=3.18cm,right=3.18cm,top=2.54cm,bottom=2.54cm} -% 默认页边距为1英尺与1.25英尺 -\usepackage{indentfirst} -\setlength{\parindent}{2.45em} -% 首行缩进2个中文字符 -\usepackage{setspace} -\renewcommand{\baselinestretch}{1.5} -% 1.5倍行距 -\author{Didnelpsun} -\title{多元函数积分学} -\date{} -\begin{document} -\maketitle -\pagestyle{empty} -\thispagestyle{empty} -\tableofcontents -\thispagestyle{empty} -\newpage -\pagestyle{plain} -\setcounter{page}{1} -\section{} - -\end{document} +\documentclass[UTF8, 12pt]{ctexart} +% 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