diff --git a/.gitignore b/.gitignore index 96c48c7..cd72809 100644 --- a/.gitignore +++ b/.gitignore @@ -7,3 +7,5 @@ *.out *.fdb_latexmk *.fls +*.tex.bak + diff --git a/linear-algebra/exercise/2-matrix/matrix.pdf b/linear-algebra/exercise/2-matrix/matrix.pdf index dd50850..ab6df50 100644 Binary files a/linear-algebra/exercise/2-matrix/matrix.pdf and b/linear-algebra/exercise/2-matrix/matrix.pdf differ diff --git a/linear-algebra/exercise/2-matrix/matrix.tex b/linear-algebra/exercise/2-matrix/matrix.tex index 4b815b7..24ac72f 100644 --- a/linear-algebra/exercise/2-matrix/matrix.tex +++ b/linear-algebra/exercise/2-matrix/matrix.tex @@ -160,7 +160,7 @@ $=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 -\end{array}\right)$，当$A\thicksim B$时，求$P$使得$PA=B$。. +\end{array}\right)$，当$A\sim B$时，求$P$使得$PA=B$。. 解：目标是将$A$变为$B$，所以第一步将第一列的第二行的-1变为0。即将第一行加到第二行。 @@ -240,10 +240,10 @@ $\therefore (A+B)^{-1}=B^{-1}(B^{-1}+A^{-1})^{-1}A^{-1}$。 \subsection{初等变换} -$\left[A\vdots B\right]\overset{r}{\thicksim}\left[E\vdots A^{-1}\right]$，$\left[\begin{array}{c} +$\left[A\vdots B\right]\overset{r}{\sim}\left[E\vdots A^{-1}\right]$，$\left[\begin{array}{c} A \\ B -\end{array}\right]\overset{c}{\thicksim}\left[\begin{array}{c} +\end{array}\right]\overset{c}{\sim}\left[\begin{array}{c} E \\ A^{-1} \end{array}\right]$。 diff --git a/linear-algebra/exercise/5-similar/similar.pdf b/linear-algebra/exercise/5-similar/similar.pdf index 2378f81..17a307e 100644 Binary files a/linear-algebra/exercise/5-similar/similar.pdf and b/linear-algebra/exercise/5-similar/similar.pdf differ diff --git a/linear-algebra/exercise/5-similar/similar.tex b/linear-algebra/exercise/5-similar/similar.tex index 7a8f77b..8f803d9 100644 --- a/linear-algebra/exercise/5-similar/similar.tex +++ b/linear-algebra/exercise/5-similar/similar.tex @@ -38,4 +38,21 @@ 特征值往往与前面的内容进行混合考察。 \section{特征值与迹} + +\textbf{例题：}已知$A$是3阶方阵，特征值为1，2，3，求$\vert A\vert$的元素$a_{11},a_{22},a_{33}$的代数余子式$A_{11},A_{22},A_{33}$的和$\sum\limits_{i=1}^3A_{ii}$。 + +解：首先代数余子式的和$A_{11},A_{22},A_{33}$一般在行列式展开定理中使用，但是这里给出的不是一行或一列的代数余子式，而是主对角线上的代数余子式，这就无法使用代数余子式来表达行列式的值了。 + +而另一个提到代数余子式的地方就是伴随矩阵$A^*$，所求的正好是伴随矩阵的迹$tr(A^*)=A_{11}+A_{22}+A_{33}$。 + +又根据特征值性质，特征值的和为矩阵的迹，特征值的积为矩阵行列式的值，所以$tr(A^*)=A_{11}+A_{22}+A_{33}=\lambda_1^*+\lambda_2^*+\lambda_3^*$ + +$=\sum\limits_{i=1}^3\dfrac{\vert A\vert}{\lambda_i}=\sum\limits_{i=1}^3\dfrac{\lambda_1\lambda_2\lambda_3}{\lambda_i}=\lambda_2\lambda_3+\lambda_1\lambda_3+\lambda_1\lambda_2=2+3+6=11$。 + +\section{相似对角化} + +\section{判断相似对角化} + +可以使用相似对角化的四个条件，但是最基本的使用还是$A$有$n$个无关的特征向量$\xi$。 + \end{document} diff --git a/linear-algebra/knowledge/2-matrix/matrix.pdf b/linear-algebra/knowledge/2-matrix/matrix.pdf index c5a1bd4..0fb706e 100644 Binary files a/linear-algebra/knowledge/2-matrix/matrix.pdf and b/linear-algebra/knowledge/2-matrix/matrix.pdf differ diff --git a/linear-algebra/knowledge/2-matrix/matrix.tex b/linear-algebra/knowledge/2-matrix/matrix.tex index 498a4ac..769f225 100644 --- a/linear-algebra/knowledge/2-matrix/matrix.tex +++ b/linear-algebra/knowledge/2-matrix/matrix.tex @@ -583,14 +583,14 @@ $\therefore A=O$。 把对应的行换为列就得到初等列变换，将$r$改为$c$。其逆变换也是一种初等变换。初等行变换和初等列变换都是\textbf{初等变换}。 -\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}若$A$经过有限次行变换得到$B$，则称$AB$行等价，记为$A\overset{r}{\thicksim}B$；若$A$经过有限次列变换得到$B$，则称$AB$行等价，记为$A\overset{c}{\thicksim}B$；若$A$经过有限次初等变换得到$B$，则称$AB$行等价，记为$A\thicksim B$。 +\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}若$A$经过有限次行变换得到$B$，则称$AB$行等价，记为$A\overset{r}{\sim}B$；若$A$经过有限次列变换得到$B$，则称$AB$行等价，记为$A\overset{c}{\sim}B$；若$A$经过有限次初等变换得到$B$，则称$AB$行等价，记为$A\sim B$。 矩阵之间的等价关系： \begin{enumerate} - \item 反身性：$A\thicksim A$。 - \item 对称性：若$A\thicksim B$，则$B\thicksim A$。 - \item 传递性：若$A\thicksim B$，$B\thicksim C$，则$A\thicksim C$。 + \item 反身性：$A\sim A$。 + \item 对称性：若$A\sim B$，则$B\sim A$。 + \item 传递性：若$A\sim B$，$B\sim C$，则$A\sim C$。 \end{enumerate} 若是解方程组，则使用初等行变换解不会发生改变，若使用初等列变换则会改变解。 @@ -627,9 +627,9 @@ $\therefore A=O$。 \subsection{初等变换性质} \textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}设$AB$都是$m\times n$矩阵，初等变换与矩阵乘积关系：\begin{enumerate} - \item $A\overset{r}{\thicksim}B$的充要条件是存在$m$阶可逆矩阵$P$，使得$PA=B$。 - \item $A\overset{c}{\thicksim}B$的充要条件是存在$n$阶可逆矩阵$Q$，使得$AQ=B$。 - \item $A\thicksim B$的充要条件是存在$m$阶可逆矩阵$P$和$n$阶可逆矩阵$Q$，使得$PAQ=B$。 + \item $A\overset{r}{\sim}B$的充要条件是存在$m$阶可逆矩阵$P$，使得$PA=B$。 + \item $A\overset{c}{\sim}B$的充要条件是存在$n$阶可逆矩阵$Q$，使得$AQ=B$。 + \item $A\sim B$的充要条件是存在$m$阶可逆矩阵$P$和$n$阶可逆矩阵$Q$，使得$PAQ=B$。 \end{enumerate} 初等变换具有如下性质： @@ -638,7 +638,7 @@ $\therefore A=O$。 \item 设$A$是一个$m\times n$矩阵，对$A$进行一次初等行变换，相当于在$A$左乘对应$m$阶初等矩阵；对$A$进行一次列变换，相当于在$A$右乘对应$n$阶初等矩阵。 \item 方阵$A$可逆的充分必要条件是存在有限个初等矩阵$P_i$使得$A=\prod\limits_{i=1}^nP_i$。 \item 可逆方阵$A$一定可以通过有限次初等变换化为同阶单位矩阵$E$。 - \item 方阵$A$可逆的充要条件是$A\overset{r}{\thicksim}E$。（即$A$方阵所代表的线性方程组能通过初等计算得到最后的解） + \item 方阵$A$可逆的充要条件是$A\overset{r}{\sim}E$。（即$A$方阵所代表的线性方程组能通过初等计算得到最后的解） \end{itemize} 对于$A_{m\times n}$进行初等变换：\begin{enumerate} @@ -692,10 +692,10 @@ $\therefore A=O$。 $\because P_i\cdots P_2P_1A=E$，$P_i\cdots P_2P_1E=A^{-1}$。 -$\left[A\vdots B\right]\overset{r}{\thicksim}\left[E\vdots A^{-1}\right]$，$\left[\begin{array}{c} +$\left[A\vdots B\right]\overset{r}{\sim}\left[E\vdots A^{-1}\right]$，$\left[\begin{array}{c} A \\ B -\end{array}\right]\overset{c}{\thicksim}\left[\begin{array}{c} +\end{array}\right]\overset{c}{\sim}\left[\begin{array}{c} E \\ A^{-1} \end{array}\right]$。 @@ -716,17 +716,17 @@ $(A,B)=\left(\begin{array}{ccccc} 2 & 1 & -3 & 1 & -1 \\ 1 & 2 & -2 & 2 & 0 \\ -1 & 3 & 2 & -2 & 5 -\end{array}\right)\thicksim\left(\begin{array}{ccccc} +\end{array}\right)\sim\left(\begin{array}{ccccc} 1 & 2 & -2 & 2 & 0 \\ 0 & -3 & 1 & -3 & -1 \\ 0 & 5 & 0 & 0 & 5 \end{array}\right)$ -$\thicksim\left(\begin{array}{ccccc} +$\sim\left(\begin{array}{ccccc} 1 & 2 & -2 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -3 & 2 -\end{array}\right)\thicksim\left(\begin{array}{ccccc} +\end{array}\right)\sim\left(\begin{array}{ccccc} 1 & 0 & 0 & -4 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -3 & 2 diff --git a/linear-algebra/knowledge/2-matrix/matrix.tex.bak b/linear-algebra/knowledge/2-matrix/matrix.tex.bak deleted file mode 100644 index 2207bca..0000000 --- a/linear-algebra/knowledge/2-matrix/matrix.tex.bak +++ /dev/null @@ -1,930 +0,0 @@ -\documentclass[UTF8, 12pt]{ctexart} -% UTF8编码，ctexart现实中文 -\usepackage{color} -% 使用颜色 -\definecolor{orange}{RGB}{255,127,0} -\definecolor{violet}{RGB}{192,0,255} -\definecolor{aqua}{RGB}{0,255,255} -\usepackage{geometry} -\setcounter{tocdepth}{4} -\setcounter{secnumdepth}{4} -% 设置四级目录与标题 -\geometry{papersize={21cm,29.7cm}} -% 默认大小为A4 -\geometry{left=3.18cm,right=3.18cm,top=2.54cm,bottom=2.54cm} -% 默认页边距为1英尺与1.25英尺 -\usepackage{indentfirst} -\setlength{\parindent}{2.45em} -% 首行缩进2个中文字符 -\usepackage{setspace} -\renewcommand{\baselinestretch}{1.5} -% 1.5倍行距 -\usepackage{amssymb} -% 因为所以 -\usepackage{amsmath} -% 数学公式 -\usepackage[colorlinks,linkcolor=black,urlcolor=blue]{hyperref} -% 超链接 -\usepackage{multicol} -% 分栏 -\usepackage{arydshln} -\setlength{\dashlinegap}{1pt} -\setlength{\dashlinedash}{1pt} -% 阶梯矩阵的虚线 -\author{Didnelpsun} -\title{矩阵} -\date{} -\begin{document} -\maketitle -\pagestyle{empty} -\thispagestyle{empty} -\tableofcontents -\thispagestyle{empty} -\newpage -\pagestyle{plain} -\setcounter{page}{1} - -矩阵本质是一个表格。 - -\section{矩阵定义} - -\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}$m\times n$矩阵是由$m\times n$个数$a_{ij}$（元素）排成的$m$行$n$列的数表。 - -元素是实数的矩阵称为\textbf{实矩阵}，元素是复数的矩阵是\textbf{复矩阵}。 - -行数列数都为$n$的就是\textbf{$n$阶矩阵}或\textbf{方阵}，记为$A_n$。 - -行矩阵或行向量\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}只有一行的矩阵$A=(a_1a_2\cdots a_n)$。 - -列矩阵或列向量\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}只有一列的矩阵$B= -\left(\begin{array}{c} - b_1 \\ - b_2 \\ - \cdots \\ - b_m -\end{array}\right)$。 - -同型矩阵\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}两个矩阵行数、列数相等。 - -相等矩阵\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}是同型矩阵，且对应元素相等的矩阵。记为$A=B$。 - -零矩阵\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}元素都是零的矩阵，记为$O$，但是不同型的零矩阵不相等。 - -\begin{multicols}{2} - - - 对角矩阵或对角阵\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}从左上角到右下角的直线（对角线）以外的元素都是0的矩阵，记为$\varLambda=\textrm{diag}(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n)$。 - - $\varLambda=\left( - \begin{array}{cccc} - \lambda_1 & 0 & \cdots & 0 \\ - 0 & \lambda_2 & \cdots & 0 \\ - \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ - 0 & 0 & \cdots & \lambda_n - \end{array} - \right)$ - - 单位矩阵或单位阵\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}$\lambda_1=\lambda_2=\cdots=\lambda_n=1$的对角矩阵，记为$E$。这种线性变换叫做恒等变换，$AE=A$。 \medskip - - $E=\left( - \begin{array}{cccc} - 1 & 0 & \cdots & 0 \\ - 0 & 1 & \cdots & 0 \\ - \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ - 0 & 0 & \cdots & 1 - \end{array} - \right)$ - -\end{multicols} - -\section{矩阵运算} - -\subsection{矩阵加法减法} - -设与两个矩阵都是同型矩阵$m\times n$，$A=(a_{ij})$和$B=(b_{ij})$，则其加法就是$A+B$。 - -$A+B=\left( - \begin{array}{cccc} - a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} & \cdots & a_{1n}+b_{1n} \\ - a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22} & \cdots & a_{2n}+b_{2n} \\ - \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ - a_{m1}+b_{m1} & a_{m2}+b_{m2} & \cdots & a_{m+n}+b_{m+n} - \end{array} -\right)$ - -\begin{itemize} - \item $A+B=B+A$。 - \item $(A+B)+C=A+(B+C)$。 -\end{itemize} - -若$-A=(-a_{ij})$，则$-A$是$A$的负矩阵，$A+(-A)=O$。 - -从而矩阵的减法为$A-B=A+(-B)$。 - -\subsection{数乘矩阵} - -数$\lambda$与矩阵$A$的乘积记为$\lambda A$或$A\lambda$，规定：\medskip - -$\lambda A=A\lambda=\left( - \begin{array}{cccc} - \lambda a_{11} & \lambda a_{12} & \cdots & \lambda a_{1n} \\ - \lambda a_{21} & \lambda a_{22} & \cdots & \lambda a_{2n} \\ - \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ - \lambda a_{m1} & \lambda a_{m2} & \cdots & \lambda a_{mn} - \end{array} -\right)$ \medskip - -假设$A$、$B$都是$m\times n$的矩阵，$\lambda$、$\mu$为数： - -\begin{itemize} - \item $(\lambda\mu)A=\lambda(\mu A)$。 - \item $(\lambda+\mu)A=\lambda A+\mu A$。 - \item $\lambda(A+B)=\lambda A+\lambda B$。 -\end{itemize} - -矩阵加法与数乘矩阵都是矩阵的线性运算。 - -\subsection{矩阵相乘} - -设$A=(a_{ij})$是一个$m\times s$的矩阵，$B=(b_{ij})$是一个$s\times n$的矩阵，那么$A\times B=AB=C_{m\times n}=(c_{ij})$。即：$c_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\cdots+a_{is}b_{sj}=\sum\limits_{k=1}^sa_{ik}b_{kj}\,\text{（}i=1,2,\cdots,m;j=1,2,\cdots,n\text{）}$。 - -即前一个矩阵的行乘后一个矩阵的列就得到当前元素的值。 - -所以按此定义一个$1\times s$行矩阵与$s\times 1$列矩阵的乘积就是一个1阶方针即一个数： - -$(a_{i1},a_{i2},\cdots,a_{is})\left( - \begin{array}{c} - b_{1j} \\ - b_{2j} \\ - \cdots \\ - b_{sj} - \end{array} -\right)=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\cdots+a_{is}b_{sj}=\sum\limits_{k=1}^sa_{ik}b_{kj}=c_{ij}$。\medskip - -从而$AB=C$的$c_{ij}$就是$A$的第$i$行与$B$的$j$列的乘积。 - -当$A$左边乘$P$为$PA$，称为\textbf{左乘}$P$，若右边乘$P$为$AP$，则称为\textbf{右乘}$P$。 - -\textcolor{orange}{注意：}只有左矩阵的列数等于右矩阵的行数才能相乘。 - -只有$AB$都是方阵的时候才能$AB$与$BA$。 - -矩阵的左乘与右乘不一定相等，即$AB\neq BA$。 - -\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}若方阵$AB$乘积满足$AB=BA$，则表示其是\textbf{可交换}的。 - -$A\neq O$，$B\neq O$，但是不能推出$AB\neq O$或$BA\neq O$。 - -$AB=O$不能推出$A=O$或$B=O$。 - -$A(X-Y)=O$当$A\neq O$也不能推出$X=Y$。 - -\begin{itemize} - \item $(AB)C=A(BC)$。 - \item $\lambda(AB)=(\lambda A)B=A(\lambda B)$。 - \item $A(B+C)=AB+AC$。 - \item $(B+C)A=BA+CA$。 - \item $EA=AE=A$。 -\end{itemize} - -$\lambda E$称为\textbf{纯量阵}，$(\lambda E_n)A_n=\lambda A_n=A_n(\lambda E_n)$。 - -若$A_{m\times s}$，$B_{s\times n}=(\beta_1,\cdots,\beta_s)$，其中$\beta$为$n$行的列矩阵，则： - -$AB=A(\beta_1,\cdots,\beta_s)=(A\beta_1,\cdots,A\beta_n)$。 - -\subsection{矩阵幂} - -只有方阵才能连乘，从而只有方阵才有幂。 - -若$A$是$n$阶方阵，所以： - -$A^1=A\text{，}A^2=A^1A^1\text{，}\cdots\text{，}A^{k+1}=A^kA^1$ - -\begin{itemize} - \item $A^kA^l=A^{k+l}$。 - \item $(A^k)^l=A^{kl}$。 -\end{itemize} - -因为矩阵乘法一般不满足交换率，所以$(AB)^k\neq A^kB^k$。只有$AB$可交换时才相等。 - -若$A\neq 0$不能推出$A^k\neq 0$，如：\medskip - -$A=\left( - \begin{array}{cc} - 0 & 2 \\ - 0 & 0 - \end{array} -\right)\neq 0$。$A^2=\left( - \begin{array}{cc} - 0 & 2 \\ - 0 & 0 - \end{array} -\right)\left( - \begin{array}{cc} - 0 & 2 \\ - 0 & 0 - \end{array} -\right)=\left( - \begin{array}{cc} - 0 & 0 \\ - 0 & 0 - \end{array} -\right)=O$。\medskip - -$A=\left( - \begin{array}{ccc} - 0 & 1 & 1 \\ - 0 & 0 & 1 \\ - 0 & 0 & 0 - \end{array} -\right)$，$A^3=O$。\medskip - -矩阵幂可以同普通多项式进行处理。 - -如$f(x)=a_nx^n+\cdots+a_1x+n$，对于$A$就是$f(A)=a_nA^n+\cdots+a_1A+a_nE$。 - -$f(A)=A^2-A-6E=(A+2E)(A-3E)$。 - -\subsection{矩阵转置} - -把矩阵$A$的行换成同序数的列就得到一个新矩阵，就是$A$的转置矩阵$A^T$。若$A$为$m\times n$，则$A^T$为$n\times m$。 - -\begin{itemize} - \item $(A^T)^T=A$。 - \item $(A+B)^T=A^T+B^T$。 - \item $(\lambda A)^T=\lambda A^T$。 - \item $(AB)^T=B^TA^T$。 - \item 若$m=n$，$\vert A\vert=\vert A^T\vert$。 -\end{itemize} - -对称矩阵或对称阵\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}矩阵$A$是方阵，且元素以对角线为对称轴对应相等，$A=A^T$。 - -反对称矩阵\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}矩阵$A$是方阵，且满足$-A=A^T$。即$\left\{\begin{array}{l} - a_{ij}=-a_{ji},i\neq j \\ - a_{ii}=0 -\end{array}\right.$。 - -正交矩阵\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}矩阵$A$是方阵，且满足$A^TA=E$。 - -\subsection{方阵行列式} - -由$n$阶方阵$A$的元素所构成的行列式称为矩阵$A$的行列式，记为$\textrm{det}\,A$或$\vert A\vert$。 - -\begin{itemize} - \item $\vert A^T\vert=\vert A\vert$。 - \item $\vert\lambda A\vert=\lambda^n\vert A\vert$。 - \item $\vert AB\vert=\vert A\vert\cdot\vert B\vert=\vert BA\vert$。 -\end{itemize} - -一般而言：$\vert A+B\vert\neq\vert A\vert+\vert B\vert$，$\vert A\vert\neq O\nRightarrow\vert A\vert\neq0$，$A\neq B\nRightarrow\vert A\vert\neq\vert B\vert$。 - -\subsection{伴随矩阵} - -伴随矩阵或伴随阵\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}行列式$\vert A\vert$各个元素的代数余子式$A_{ij}$转置构成的矩阵。 - -$A^*=\left( - \begin{array}{cccc} - A_{11} & A_{21} & \cdots & A_{n1} \\ - A_{12} & A_{22} & \cdots & A_{n2} \\ - \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ - A_{1n} & A_{2n} & \cdots & A_{nn} - \end{array} -\right)$ - -\begin{itemize} - \item 任何方阵都有伴随矩阵，其中$AA^*=A^*A=\vert A\vert E$。 - \item $A^*=\vert A\vert A^{-1}$，$A^{-1}=\dfrac{1}{\vert A\vert}A^*$，$A=\vert A\vert(A^*)^{-1}$。 - \item $\vert A^*\vert=\vert A\vert^{n-1}$，$(kA)(kA)^*=\vert kA\vert E$，$A^T(A^T)^*=\vert A^T\vert E$，$A^{-1}(A^{-1})^*=\vert A^{-1}\vert E$，$A^*(A^*)^*=\vert A^*\vert E$。 - \item $(A^T)^*=(A^*)^T$，$(A^{-1})^*=(A^*)^{-1}$，$(AB)^*=B^*A^*$，$(A^*)^*=\vert A\vert^{n-2}A$。 -\end{itemize} - -\textbf{例题：}假设$A$为$n$阶方阵，求$\vert A^*\vert$与$(A^*)^*$。 - -解：$\because AA^*=A^*A=\vert A\vert E$，$\therefore A^*(A^*)^*=\vert A^*\vert E$。 - -$(A^*)^{-1}A^*(A^*)^*=(A^*)^*=(A^*)^{-1}\vert A^*\vert E$，又$AA^*=\vert A\vert E$，$\vert AA^*\vert=\vert\vert A\vert E\vert$， - -$\therefore\vert A\vert\vert A^*\vert=\vert A\vert^n\vert E\vert$，$\therefore\vert A^*\vert=\vert A\vert^{n-1}$。 - -又$AA^*=\vert A\vert E$，$\therefore A^*=\vert A\vert A^{-1}$，$(A^*)^{-1}=(\vert A\vert A^{-1})^{-1}=\dfrac{1}{\vert A\vert}A$。 - -$\because(A^*)^*=(A^*)^{-1}\vert A^*\vert E$，$\therefore=\dfrac{1}{\vert A\vert}A\vert A^*\vert=\dfrac{1}{\vert A\vert}A\vert A\vert^{n-1}=\vert A\vert^{n-2}A$。 - -\textbf{例题：}假设$A$为$n$阶方阵，求$(kA)^*$。 - -解：根据$AA^*=\vert A\vert E$，$\therefore (kA)(kA)^*=\vert kA\vert E$，推出$(kA)^*=\vert kA\vert(kA)^{-1}$。 - -$=k^n\vert A\vert\dfrac{1}{k}A^{-1}=k^{n-1}\vert A\vert A^{-1}=k^{n-1}A^*$。 - -\subsection{分块矩阵} - -在行列式的时候提到了分块行列式，分块行列式计算时要求对应的零行列式必须是行列数相等的，而对于分块矩阵而言则不要求，且不一定要零矩阵。 - -对于行列数较多的矩阵常使用\textbf{分块法}，将大矩阵化为小矩阵。将矩阵用横纵线分为多个小矩阵，每个矩阵成为矩阵的\textbf{子块}，以子块为元素的矩阵就是\textbf{分块矩阵}。 - -\subsubsection{分块矩阵计算} - -分块矩阵的计算法则与普通矩阵计算类似。 - -\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}若$AB$矩阵行列数相同，采用相同的分块法，则 \medskip - -$A=\left( - \begin{array}{ccc} - A_{11} & \cdots & A_{1r} \\ - \vdots & & \vdots \\ - A_{s1} & \cdots & A_{sr} - \end{array} -\right)\text{，}B=\left( - \begin{array}{ccc} - B_{11} & \cdots & B_{1r} \\ - \vdots & & \vdots \\ - B_{s1} & \cdots & B_{sr} - \end{array} -\right)$ - -$A+B=\left( - \begin{array}{ccc} - A_{11}+B_{11} & \cdots & A_{1r}+B_{1r} \\ - \vdots & & \vdots \\ - A_{s1}+B_{s1} & \cdots & A_{sr}+B_{sr} - \end{array} -\right)\text{。}$ - -\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}设$A=\left( - \begin{array}{ccc} - A_{11} & \cdots & A_{1r} \\ - \vdots & & \vdots \\ - A_{s1} & \cdots & A_{sr} - \end{array} -\right)$，$\lambda$为数，则$\lambda A=\left( - \begin{array}{ccc} - \lambda A_{11} & \cdots & \lambda A_{1r} \\ - \vdots & & \vdots \\ - \lambda A_{s1} & \cdots & \lambda A_{sr} - \end{array} -\right)$。\medskip - -\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}若$A_{m\times l}$，$B_{l\times n}$，采用相同的分块法，则 \medskip - -$A=\left( - \begin{array}{ccc} - A_{11} & \cdots & A_{1t} \\ - \vdots & & \vdots \\ - A_{s1} & \cdots & A_{st} - \end{array} -\right)\text{，}B=\left( - \begin{array}{ccc} - B_{11} & \cdots & B_{1t} \\ - \vdots & & \vdots \\ - B_{t1} & \cdots & B_{sr} - \end{array} -\right)$ - -$AB=\left( - \begin{array}{ccc} - C_{11} & \cdots & C_{1r} \\ - \vdots & & \vdots \\ - C_{s1} & \cdots & C_{sr} - \end{array} -\right)\text{，}C_{ij}=\sum\limits_{k=1}^tA_{ik}B_{kj}\text{。}$ - -\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}设$A=\left( - \begin{array}{ccc} - A_{11} & \cdots & A_{1r} \\ - \vdots & & \vdots \\ - A_{s1} & \cdots & A_{sr} - \end{array} -\right)$，则$A^T=\left( - \begin{array}{ccc} - A_{11}^T & \cdots & A_{s1}^T \\ - \vdots & & \vdots \\ - A_{1r}^T & \cdots & A_{sr}^T - \end{array} -\right)$。 \medskip - -\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}设$A$为$n$阶方阵，$A$的分块矩阵只有对角线上才有非零子块且都是方阵，其余子块都是零矩阵，即$A=\left( - \begin{array}{cccc} - A_1 & & & O \\ - & A_2 & \\ - & & \ddots & \\ - O & & & A_s - \end{array} -\right)$，称为\textbf{分块对角矩阵}。$\vert A\vert=\vert A_1\vert\vert A_2\vert\cdots\vert A_s\vert$。 - -若$\vert A_i\vert\neq0$，则$\vert A\vert\neq0$，且$A^{-1}=\left( - \begin{array}{cccc} - A_1^{-1} & & & O \\ - & A_2^{-1} & \\ - & & \ddots & \\ - O & & & A_s^{-1} - \end{array} -\right)$。 - -\subsubsection{按行按列分块} - -对于$m\times n$的矩阵$A$，其$n$列称为$A$的$n$个列向量，若第$j$列记为$a_j=\left( - \begin{array}{c} - a_{1j} \\ - a_{2j} \\ - \vdots \\ - a_{mj} - \end{array} -\right)$，则$A$可以按列分块为$A=(a_1,a_2,\cdots,a_n)$。\medskip - -其$m$行称为$A$的$m$个行向量，若第$i$行记为$a_i^T=(a_{i1},a_{i2},\cdots,a_{in})$，则$A$可以按行分块为$A=\left(\begin{array}{c} - a_1^T \\ - a_2^T \\ - \vdots \\ - a_{m}^T -\end{array}\right)$。 - -若对于$A_{m\times s}$与$B_{s\times n}$的乘积矩阵$AB=C=(c_{ij})_{m\times n}$，若将$A$按行分为$m$块，$B$按列分为$n$块，则有：\medskip - -$AB=\left( - \begin{array}{c} - a_1^T \\ - a_2^T \\ - \vdots \\ - a_{m}^T - \end{array} -\right)(b_1,b_2,\cdots,b_n)$ - -$=\left( - \begin{array}{cccc} - a_1^Tb_1 & a_1^Tb_2 & \cdots & a_1^Tb_n \\ - a_2^Tb_1 & a_2^Tb_2 & \cdots & a_2^Tb_n \\ - \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ - a_{m}^Tb_1 & a_{m}^Tb_2 & \cdots & a_{m}^Tb_n - \end{array} -\right)=(c_{ij})_{m\times n}\text{。}$ - -其中：$c_{ij}=a_i^Tb_j=(a_{i1},a_{i2},\cdots,a_{is})\left(\begin{array}{c} - b_{1j} \\ - b_{2j} \\ - \vdots \\ - b_{sj} -\end{array}\right)=\sum\limits_{k=1}^s=a_{ik}b_{kj}\text{。}$ - -\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}$A=O$的充要条件是$A^TA=O$。 - -证明：$\because A=O$，$\therefore A^T=O$，$A^TA=O$。 - -设$A=(a_{ij})_{m\times n}$，将$A$按列分块为$A=(a_1,a_2,\cdots,a_n)$，则 \medskip - -$A^TA=\left( - \begin{array}{c} - a_1^T \\ - a_2^T \\ - \vdots \\ - a_{m}^T - \end{array} -\right)(a_1,a_2,\cdots,a_n)=\left( - \begin{array}{cccc} - a_1^Ta_1 & a_1^Ta_2 & \cdots & a_1^Ta_n \\ - a_2^Ta_1 & a_2^Ta_2 & \cdots & a_2^Ta_n \\ - \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ - a_{m}^Ta_1 & a_{m}^Ta_2 & \cdots & a_{m}^Ta_n - \end{array} -\right)\text{。}$\medskip - -所以$A^TA$的元为$a^T_ia_j$，又$\because A^TA=O$，$\therefore a^T_ia_j=0$（$i,j=1,2,\cdots n$）。 - -$\therefore a^T_ja_j=0$（$j=1,2,\cdots n$），对角线元素全部为0。\medskip - -且$a^T_ja_j=\left( - \begin{array}{cccc} - a_1^Ta_1 & & & \\ - & a_2^Ta_2 & & \\ - & & \ddots & \\ - & & & a_{m}^Ta_n - \end{array} -\right)=(a_{1j},a_{2j},\cdots,a_{mj})\left(\begin{array}{c} - a_{1j} \\ - a_{2j} \\ - \vdots \\ - a_{mj} -\end{array}\right)$ \medskip - -$=a_{1j}^2+a_{2j}^2+\cdots+a_{mj}^2=0$，所以$a_{1j}=a_{2j}=\cdots+a_{mj}=0$。 - -$\therefore A=O$。 - -\section{线性方程组} - -矩阵是根据线性方程组得到。 - -\subsection{线性方程组与矩阵} - -\begin{multicols}{2} - - $\begin{cases} - a_{11}x_1+\cdots+a_{1n}x_n=0 \\ - \cdots \\ - a_{m1}x_1+\cdots+a_{mn}x_n=0 - \end{cases}$ \medskip - - $n$元齐次线性方程组。 - - $\begin{cases} - a_{11}x_1+\cdots+a_{1n}x_n=b_1 \\ - \cdots \\ - a_{m1}x_1+\cdots+a_{mn}x_n=b_n - \end{cases}$ \medskip - - $n$元非齐次线性方程组。 - -\end{multicols} - -对于齐次方程，$x_1=\cdots=x_n=0$一定是其解，称为其\textbf{零解}，若有一组不全为零的解，则称为其\textbf{非零解}。其一定有零解，但是不一定有非零解。 - -对于非齐次方程，只有$b_1\cdots b_n$不全为零才是。\medskip - -令\textbf{系数矩阵}$A_{m\times n}=\left( - \begin{array}{ccc} - a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ - \cdots \\ - a_{m1} & \cdots & a_{mn} - \end{array} -\right)$，\textbf{未知数矩阵}$x_{n\times 1}=\left( - \begin{array}{c} - x_1 \\ - \cdots \\ - x_n - \end{array} -\right)$，\textbf{常数项矩阵}$b_{m\times 1}=\left( - \begin{array}{c} - b_1 \\ - \cdots \\ - b_m - \end{array} -\right)$，\textbf{增广矩阵}$B_{m\times(n+1)}=\left( - \begin{array}{c:c} - \begin{matrix} - a_{11} & \cdots & a_{1n}\\ - \cdots \\ - a_{m1} & \cdots & a_{mn} - \end{matrix}& - \begin{matrix} - b_1\\ - \\ - b_n - \end{matrix} - \end{array} -\right)$。 - -所以$AX=\left( - \begin{array}{c} - a_11x_1+\cdots+a_{1n}x_n \\ - \cdots \\ - a_{m1}x_1+\cdots+a_{mn}x_n - \end{array} -\right)$。 - -从而$AX=b$等价于$\begin{cases} - a_{11}x_1+\cdots+a_{1n}x_n=b_1 \\ - \cdots \\ - a_{m1}x_1+\cdots+a_{mn}x_n=b_n -\end{cases}$，当$b=O$就是齐次线性方程。 - -从而矩阵可以简单表示线性方程。 - -\subsection{矩阵乘法与线性变换} - -矩阵乘法实际上就是线性方程组的线性变换，将一个变量关于另一个变量的关系式代入原方程组，得到与另一个变量的关系。 - -$\begin{cases} - y_1=a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1s}x_s \\ - \cdots \\ - y_m=a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\cdots+a_{ms}x_s -\end{cases}\begin{cases} - x_1=b_{11}t_1+b_{12}t_2+\cdots+b_{1n}t_n \\ - \cdots \\ - x_s=b_{s1}t_1+b_{s2}t_2+\cdots+b_{sn}t_n -\end{cases}$\medskip - -原本是线性方程分别是$y$与$x$和$x$与$t$的关系式，而如果将$t$关于$x$的关系式代入$x$关于$y$的关系式中，就会得到$t$关于$y$的关系式：\medskip - -$\begin{cases} - y_1=a_{11}(b_{11}t_1+\cdots+b_{1n}t_n)+\cdots+a_{1s}(b_{s1}t_1+b_{s2}t_2+\cdots+b_{sn}t_n) \\ - \cdots \\ - y_m=a_{m1}(b_{11}t_1+\cdots+b_{1n}t_n)+\cdots+a_{ms}(b_{s1}t_1+b_{s2}t_2+\cdots+b_{sn}t_n) -\end{cases}$ - -$=\begin{cases} - y_1=(a_{11}b_{11}+\cdots+a_{1s}b_{s1})t_1+\cdots+(a_{11}b_{1n}+\cdots+a_{1s}b_{sn})t_n \\ - \cdots \\ - y_m=(a_{m1}b_{11}+\cdots+a_{ms}b_{s1})t_1+\cdots+(a_{m1}b_{1n}+\cdots+a_{ms}b_{sn})t_m -\end{cases}$ \medskip - -这可以看作上面两个线性方程组相乘，也可以将线性方程组表示为矩阵，进行相乘就得到乘积，从而了解矩阵乘积与线性方程组的关系：\medskip - - -$\left(\begin{array}{ccc} - a_{11} & \cdots & a_{1s} \\ - \vdots & \ddots & \vdots \\ - a_{m1} & \cdots & a_{ms} -\end{array}\right)_{m\times s}\left(\begin{array}{ccc} - b_{11} & \cdots & a_{1n} \\ - \vdots & \ddots & \vdots \\ - b_{s1} & \cdots & b_{sn} -\end{array}\right)_{s\times n}$ - -$=\left(\begin{array}{ccc} - a_{11}b_{11}+\cdots+a_{1s}b_{s1} & \cdots & a_{11}b_{1n}+\cdots+a_{1s}b_{sn} \\ - \vdots & \ddots & \vdots \\ - a_{m1}b_{11}+\cdots+a_{ms}b_{s1} & \cdots & a_{m1}b_{1n}+\cdots+a_{ms}b_{sn} -\end{array}\right)_{m\times n}\text{。}$ - -\subsection{线性方程组的解} - -对于一元一次线性方程：$ax=b$： - -\begin{itemize} - \item 当$a\neq 0$时，可以解得$x=\dfrac{b}{a}$。 - \item 当$a=0$时，若$b\neq 0$时，无解，若$b=0$时，无数解。 -\end{itemize} - -当推广到多元一次线性方程组：$Ax=b$，如何求出$x$这一系列的$x$的解？ - -从数学逻辑上看，已知多元一次方程，有$m$个约束方程，有$n$个未知数，假定$m\leqslant n$。 - -当$m