From 27964d368b31646992b2d66c128e1bfee3851fd7 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Didnelpsun <2675350965@qq.com> Date: Sat, 20 Mar 2021 23:55:59 +0800 Subject: [PATCH] =?UTF-8?q?=E5=A4=8D=E4=B9=A0=E6=9E=81=E9=99=90=E4=B8=8E?= =?UTF-8?q?=E5=AF=BC=E6=95=B0?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- .../function-and-limit.tex | 69 +++++++++++++++++-- .../derivatives-and-differential.tex | 14 ++-- ...heorem-and-applications-of-derivatives.tex | 15 +++- 3 files changed, 82 insertions(+), 16 deletions(-) diff --git a/advanced-math/knowledge/1-function-and-limit/function-and-limit.tex b/advanced-math/knowledge/1-function-and-limit/function-and-limit.tex index 1e2913f..bc27e2b 100644 --- a/advanced-math/knowledge/1-function-and-limit/function-and-limit.tex +++ b/advanced-math/knowledge/1-function-and-limit/function-and-limit.tex @@ -1108,15 +1108,20 @@ $\lim\limits_{x\to 0}f(x)=\lim\limits_{x\to 0}\ln\vert x\vert\cdot\sin x=\lim\li 设$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，则： -\begin{enumerate} - \item 最大最小值定理：$f(x)$在$[a,b]$上必有最大值和最小值。 - \item 有界性定理：$f(x)$在$[a,b]$上必有界。 - \item 零点定理：若$f(a)f(b)<0$，则$\exists\,\xi\in[a,b]$使得$f(\xi)=0$。 - \item 介值定理：若$f(a)\neq f(b)$，$\mu$为介于$f(a)$与$f(b)$之间的任何值，那么至少存在$\xi\in[a,b]$使得$f(\xi)=\mu$。 -\end{enumerate} +\subsection{有界性与最大最小值定理} + +最大最小值\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}：$f(x)$在$[a,b]$上必有最大值和最小值。 + +有界性\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}$f(x)$在$[a,b]$上必有界。 如果是开区间连续则不能保证有界性，因为可能开区间两边的端点为函数的间断点（如$\dfrac{1}{x}$在$x=0$处）。 +\subsection{零点与介值定理} + +零点\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}若$f(a)f(b)<0$，则$\exists\,\xi\in[a,b]$使得$f(\xi)=0$。 + +介值\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}若$f(a)\neq f(b)$，$\mu$为介于$f(a)$与$f(b)$之间的任何值，那么至少存在$\xi\in[a,b]$使得$f(\xi)=\mu$。 + \textbf{例题：}证明方程$x=a\sin x+b(a>0,b>0)$中至少有一个正根，并且不超过$a+b$。 令$f(x)=x-a\sin x-b$，其中$f(0)=-b<0$，$f(a+b)=a+b=a\sin(a+b)-b=a[1-\sin(a+b)]\geqslant 0$。 @@ -1125,4 +1130,56 @@ $\lim\limits_{x\to 0}f(x)=\lim\limits_{x\to 0}\ln\vert x\vert\cdot\sin x=\lim\li 若$\sin(a+b)<1$，$\because f(a+b)\cdot f(0)<0$根据零点定理$\exists\,\xi\in[0,a+b]$使得$f(\xi)=0$，从而得证。 +\subsection{*一致连续性} + +\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}设函数$f(x)$在区间$I$上有定义，若对于任意给定的正数$\varepsilon$，总存在正数$\delta$，使得对于区间$I$上的任意两点$x_1x_2$，当$\vert x_1-x_2\vert<\delta$时，有$\vert f(x_1)-f(x_2)\vert<\varepsilon$，则函数$f(x)$在区间$I$上一致连续。 + +对于连续性的定义：设函数$f(x)$在区间$I$上有定义，若对于任意给定的正数$\varepsilon$，总存在正数$\delta$，使得对于区间$I$上的任意一点$x$，当$\vert x-x_0\vert<\delta$时，有$\vert f(x)-f(x_0)\vert<\varepsilon$，则称函数$f(x)$在区间$I$上连续。 + +对比连续性与一致连续性，可以知道定义上就只有一个差别，连续性只有一个动点$x$($x_0$会相对于$x$而变化)，而一致连续性有两个动点$x_1x_2$。但是就是这种小变化会带来很大不同的定义结果。 + +可以利用几何图形来分析，对于图像上的任意一点，连续性与一致连续性都是在一个过程中固定一个$\varepsilon$，来求对应的$\delta$。所导致的就是函数差值是固定的。 + +根据连续定义，函数上任意取一个$x$，再在$x$的左边或右边取一个$x_0$，使得$\vert f(x)-f(x_0)\vert<\varepsilon$，现在需要求一个$\delta$，使得$\delta$，使得$\vert x-x_0\vert<\delta$，所以我们可以根据这个条件，作一个竖直距离为$\varepsilon$，水平距离为$\delta$的长方形，长方形内部的所有点的$x$坐标代表的$\delta$都满足条件，其中一个正对角点坐标为$(x,f(x))$，另一个则为$(x_0,f(x_0))$。$\varepsilon$是固定的，要根据不同的$x$找到不同的$\delta$，即不同的$x+\delta=x_0$。 + +假定函数为$y=\dfrac{1}{x}$，$\varepsilon=1$，任意取一点$x$，求出对应的$\delta$，将会得到下面第一张图。其中虚线里的所有点都是满足要求的点。而随着$x$上移，长方形水平长度会无限接近于0，而向下，长方形水平长度会无限接近于$+\infty$。 + +\begin{tikzpicture}[scale=1] + \draw[-latex](-0.5,0) -- (5,0) node[below]{$x$}; + \draw[-latex](0,-0.5) -- (0,5) node[above]{$y$}; + \filldraw[black] (0,0) node[below]{$O$}; + \draw[black, densely dashed](1,2) -- (1,1) node[right]{$x$}; + \draw[black, densely dashed](1/2,1) -- (1/2,2); + \draw[black, densely dashed](1,2) -- (1/2,2) node[left]{$x_0$}; + \draw[black, densely dashed](1,1) -- (1/2,1); + \draw[black, thick, smooth, domain=0.2:5] plot (\x,{pow(\x,-1)}); +\end{tikzpicture} +\begin{tikzpicture}[scale=1] + \draw[-latex](-0.5,0) -- (5,0) node[below]{$x$}; + \draw[-latex](0,-0.5) -- (0,5) node[above]{$y$}; + \filldraw[black] (0,0) node[below]{$O$}; + \draw[black, densely dashed](1,2) -- (1,1); + \draw[black, densely dashed](1/2,1) -- (1/2,2); + \draw[black, densely dashed](1,2) -- (1/2,2); + \draw[black, densely dashed](1,1) -- (1/2,1); + \draw[black, thick, smooth, domain=0.25:5] plot (\x,{pow(\x,-1)+1}); + \draw[black, thick, smooth, domain=0.175:1] plot (\x,{pow(\x,-1)-1}); + \filldraw[white, draw=black, line width=1pt] (1,0) circle (2pt) ; + \filldraw[black] (1.25,0.5) node{$\dfrac{1}{\varepsilon}$}; +\end{tikzpicture} + +所以长方形的两对角点变动轨迹如图二所示，当$x$无限接近$+\infty$时，$x_0$无限接近$\dfrac{1}{\varepsilon}$，因为$\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{1}{\dfrac{1}{x}+\varepsilon}=\dfrac{1}{\varepsilon}$。 + +所以连续性下总能找到一个$\delta$使得虚线长方形存在，从而函数$\dfrac{1}{x}$是具有连续性的。 + +而对于连续一致性，则规定了两个变量$x_1x_2$，其实对比连续性类似，但是这时候虚线长方形的两个角都是被约束的，而不是连续性的时候$x_0$是不受约束的，对应到图形上，就是要找到一个长方形，使得无论$x_1x_2$在哪里都在长方形中。 + +而对于函数$\dfrac{1}{x}$，由图像二可知虚线长方形的面积是从0一直变大到$+\infty$，所以不存在一个固定的长方形（面积为常数）。从而该函数不具有一致连续性。 + +所以综上只有变化率变化不大的函数才在\textbf{整个定义域}上具有一致连续性。如一次线性函数，$\sin x$，$\cos x$，而对数函数，指数函数都不具有一致连续性。 + +\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}若函数在闭区间上连续，则一定在该区间上一致连续。 + +\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}若函数在某区间上一致连续，则一定在该区间上连续。 + \end{document} diff --git a/advanced-math/knowledge/2-derivatives-and-differential/derivatives-and-differential.tex b/advanced-math/knowledge/2-derivatives-and-differential/derivatives-and-differential.tex index afc0e93..d020c73 100644 --- a/advanced-math/knowledge/2-derivatives-and-differential/derivatives-and-differential.tex +++ b/advanced-math/knowledge/2-derivatives-and-differential/derivatives-and-differential.tex @@ -243,11 +243,11 @@ $\because y=f(x)$，$\therefore x=\varphi(y)$，$x_{yy}''=\varphi''(y)=-\dfrac{y $u=g(x)$在$x$可导，$y=f(u)$在$u=g(x)$处可导，则$\{f[g(x)]\}'=f'[g(x)]g'(x)$。 -\textbf{例题：}设$f(x)=\prod\limits_{n=1}^{100}\left(\tan\dfrac{\pi x^a}{4}-n\right)$，则$f'(1)$为？ +\textbf{例题：}设$f(x)=\prod\limits_{n=1}^{100}\left(\tan\dfrac{\pi x^n}{4}-n\right)$，则$f'(1)$为？ -原式=$\left(\tan\dfrac{\pi x}{4}-1\right)\left(\tan\dfrac{\pi x^2}{4}-2\right)\cdots\left(\tan\dfrac{\pi x^100}{4}-100\right)$。 +原式=$\left(\tan\dfrac{\pi x}{4}-1\right)\left(\tan\dfrac{\pi x^2}{4}-2\right)\cdots\left(\tan\dfrac{\pi x^{100}}{4}-100\right)$。 -令$\left(\tan\dfrac{\pi x^2}{4}-2\right)\cdots\left(\tan\dfrac{\pi x^100}{4}-100\right)=g(x)$。\medskip +令$\left(\tan\dfrac{\pi x^2}{4}-2\right)\cdots\left(\tan\dfrac{\pi x^{100}}{4}-100\right)=g(x)$。\medskip $\therefore f(x)=\left(\tan\dfrac{\pi x}{4}-1\right)\cdot g(x)$。\medskip @@ -255,9 +255,7 @@ $\therefore f'(x)=\sec^2\dfrac{\pi x}{4}\cdot\dfrac{\pi}{4}\cdot g(x)+\left(\tan $\therefore$根据导数的四则运算，需要导数的乘积为每一项求导乘以其他不求导项的和，而$\tan\dfrac{\pi x}{4}-1$当$x=1$时为0，只要它不求导，其他的项都必然是0，所以原式的后面的结果都是0。 -$\therefore$ - -$f'(1)$ +$\therefore f'(1)$ $=f'(x)\vert_{x=1}$\medskip @@ -518,6 +516,8 @@ $\therefore \sqrt{2}$。 \subsection{相关变化率} +已知$x=x(t)$与$y=y(t)$都是可导函数，而变量$xy$之间存在一定的关系，从而导致变化率$\dfrac{\textrm{d}x}{\textrm{d}t}$与$\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}t}$之间也存在一定关系，这就是相关变化率。。 + 列出依赖于$t$的相关变化率关系式，然后等式两端对$t$求导。 \section{函数微分} @@ -566,7 +566,7 @@ $\therefore \textrm{d}y\vert_{x=x_0}=A\Delta x=y'(x_0)\cdot\Delta x=y'(x_0)\cdot 若函数可导： \begin{enumerate} - \item 和差的微分：$\textrm{d}[u(x)\pm v(x)]=\textrm{d}u(x)\pm\textrm{d}v(x)$。 + \item 和差的微分：$\textrm{d}[ku(x)\pm lv(x)]=k\textrm{d}u(x)\pm l\textrm{d}v(x)$。 \item 积的微分：$\textrm{d}[u(x)v(x)]=u(x)\textrm{d}v(x)+v(x)\textrm{d}u(x)$。 \item 商的微分：$\textrm{d}\left[\dfrac{u(x)}{v(x)}\right]=\dfrac{v(x)\textrm{d}u(x)-u(x)\textrm{d}v(x)}{[v(x)]^2}$，$v(x)\neq 0$。 \item 复合函数的微分：链式求导法则$\dfrac{\textrm{d}u}{\textrm{d}x}=\dfrac{\textrm{d}u}{\textrm{d}y}\cdot\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}$。 diff --git a/advanced-math/knowledge/3-differential-mean-value-theorem-and-applications-of-derivatives/differential-mean-value-theorem-and-applications-of-derivatives.tex b/advanced-math/knowledge/3-differential-mean-value-theorem-and-applications-of-derivatives/differential-mean-value-theorem-and-applications-of-derivatives.tex index e077b21..dc9c3a5 100644 --- a/advanced-math/knowledge/3-differential-mean-value-theorem-and-applications-of-derivatives/differential-mean-value-theorem-and-applications-of-derivatives.tex +++ b/advanced-math/knowledge/3-differential-mean-value-theorem-and-applications-of-derivatives/differential-mean-value-theorem-and-applications-of-derivatives.tex @@ -35,6 +35,8 @@ % 弧线标识 \usetikzlibrary{decorations.pathreplacing} % tikz的大括号 +\usepackage{yhmath} +% 圆弧 \author{Didnelpsun} \title{微分中值定理与导数的应用} \date{} @@ -94,10 +96,14 @@ $\text{罗尔定理}\xrightleftharpoons[\text{特例：}f(a)=f(b)]{\text{泛化 则$\exists\,\xi\in(a,b)$，使得$f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)$。 +拉格朗日中值定理的几何意义：若连续曲线$y=f(x)$的弧$\wideparen{AB}$上除端点外处处具有不垂直于$x$轴的切线，则这弧上至少有一点$C$使曲线在该点处的切线平行于弦$AB$。 + 其中$f(b)-f(a)=f'[a+\theta(b-a)](b-a)(0<\theta<1)$，$\because f'(\xi)=f'[a+(\xi-a)]=f'[a+\dfrac{\xi-a}{b-a}(b-a)]$。\medskip 有限增量公式\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}$\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)=f'[x_0+\theta\Delta x]\Delta x(0<\theta<1)$。 +有限增量公式中的$\Delta x$不一定很小，这个是一个增量的准确公式。 + 推论：$f(x)$在$I$上连续且可导，则$I$上$f(x)=C\Leftrightarrow f'(x)\equiv 0$ \textbf{例题：}证明$x>0$时，$\dfrac{x}{1+x}<\ln(1+x)