From 565168f79dcbbbf66781d37bf294d9d63bf4677b Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Didnelpsun <48906416+Didnelpsun@users.noreply.github.com> Date: Mon, 8 Feb 2021 11:51:49 +0800 Subject: [PATCH] =?UTF-8?q?=E6=9B=B4=E6=8D=A2=E6=9E=81=E9=99=90=E8=A1=A8?= =?UTF-8?q?=E8=BE=BE=E6=96=B9=E5=BC=8F?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- advanced-math/0-perpare/perpare.tex | 10 +- .../function-and-limit.tex | 202 +++++++------- advanced-math/1-limit/limit.tex | 252 +++++++++++------- .../derivatives-and-differential.tex | 58 ++-- ...heorem-and-applications-of-derivatives.tex | 38 +-- 5 files changed, 310 insertions(+), 250 deletions(-) diff --git a/advanced-math/0-perpare/perpare.tex b/advanced-math/0-perpare/perpare.tex index 5f099b8..76984fa 100644 --- a/advanced-math/0-perpare/perpare.tex +++ b/advanced-math/0-perpare/perpare.tex @@ -105,7 +105,7 @@ $y=a^x(a>0,a\neq 1)$： \item 定义域：$(-\infty, +\infty)$，值域：$(0,+\infty)$。 \item 单调性：$a>1$，$y=a^x$单调增，$00,a\neq 1)$为$y=a^x$的反函数： \item 定义域：$(0, +\infty)$，值域：$(-\infty,+\infty)$。 \item 单调性：$a>1$，$y=\log_ax$单调增，$00,u>0)$ \end{enumerate} @@ -213,7 +213,7 @@ $y=log_ax(a>0,a\neq 1)$为$y=a^x$的反函数： 切函数有如下特征： \begin{enumerate} - \item 特殊函数值：$\tan 0=0$，$\tan\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\tan\frac{\pi}{4}=1$，$\tan\frac{\pi}{3}=\sqrt{3}$，$\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\tan x=\infty$，$\tan\pi=0$，$\lim_{x\to\frac{3\pi}{2}}\tan x=\infty$，$\tan 2\pi=0$，$\lim_{x\to 0}\cot x=\infty$，$\cot\dfrac{\pi}{6}=\sqrt{3}$，$\cot\dfrac{\pi}{4}=1$，$\cot\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$，$\cot\dfrac{\pi}{2}=0$，$\lim_{x\to\pi}\cot x=\infty$，$\cot\dfrac{3\pi}{2}=0$，$\lim_{x\to 2\pi}\cot x=\infty$。 + \item 特殊函数值：$\tan 0=0$，$\tan\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\tan\frac{\pi}{4}=1$，$\tan\frac{\pi}{3}=\sqrt{3}$，$\lim\limits_{x\to\frac{\pi}{2}}\tan x=\infty$，$\tan\pi=0$，$\lim\limits_{x\to\frac{3\pi}{2}}\tan x=\infty$，$\tan 2\pi=0$，$\lim\limits_{x\to 0}\cot x=\infty$，$\cot\dfrac{\pi}{6}=\sqrt{3}$，$\cot\dfrac{\pi}{4}=1$，$\cot\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$，$\cot\dfrac{\pi}{2}=0$，$\lim\limits_{x\to\pi}\cot x=\infty$，$\cot\dfrac{3\pi}{2}=0$，$\lim\limits_{x\to 2\pi}\cot x=\infty$。 \item 定义域：$\tan x:x\neq k\pi+\dfrac{\pi}{2}(k\in Z)$，$\cot x:x\neq k\pi(k\in Z)$，值域：$(-\infty,+\infty)$。 \item 奇偶性：定义域内均为奇函数。 \item 周期性：最小正周期为$\pi$。 @@ -435,8 +435,8 @@ $x$为实数，不超过$x$的最大整数称为其整数部分$[x]$，其定义 \begin{enumerate} \item $x-1<[x]\leqslant x$。 - \item $\lim_{x\to 0^+}[x]=0$。 - \item $\lim_{x\to 0^-}[x]=-1$。 + \item $\lim\limits_{x\to 0^+}[x]=0$。 + \item $\lim\limits_{x\to 0^-}[x]=-1$。 \end{enumerate} \begin{tikzpicture}[scale=0.6] diff --git a/advanced-math/1-function-and-limit/function-and-limit.tex b/advanced-math/1-function-and-limit/function-and-limit.tex index d5b3885..9ce7b91 100644 --- a/advanced-math/1-function-and-limit/function-and-limit.tex +++ b/advanced-math/1-function-and-limit/function-and-limit.tex @@ -263,7 +263,7 @@ $f(x+T)=f(x)$，其中T为周期。 \bigskip \section{数列的极限} -极限就是一个无限逼近某个值的过程。如$\dfrac{n}{n+1}$这个分式在$n$无限增大的时候会无限逼近1，这个1叫做极限值，所以写成$\lim_{n\to\infty}\dfrac{n}{n+1}=1$。 +极限就是一个无限逼近某个值的过程。如$\dfrac{n}{n+1}$这个分式在$n$无限增大的时候会无限逼近1，这个1叫做极限值，所以写成$\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{n}{n+1}=1$。 所以从另一个方面更精确的指出一个数$N>0$，使得数列下标大于$N$的项与极限值之间的距离始终保持在$(0,\varepsilon)$之间，即$\dfrac{1}{n+1}<\varepsilon$，即$n>\dfrac{1}{\varepsilon}-1$，所以任意正数都能得到从$N>\dfrac{1}{\varepsilon}-1$项开始之后都有$\left\vert\dfrac{n}{n+1}-1\right\vert<\varepsilon$。 @@ -273,9 +273,9 @@ $f(x+T)=f(x)$，其中T为周期。 \bigskip \subsubsection{数列极限定义} -\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}设$\{x_n\}$为一数列，若存在常数$a$，对于不论任意小的$\varepsilon>0$，总存在正整数$N$，使$n>N$时，$\vert x_n-a\vert<\varepsilon$恒成立，则常数$a$为数列$\{x_n\}$的极限，或$\{x_n\}$收敛于$a$，记为：$\lim_{x\to\infty}x_n=a$或$x_n\to a(n\to\infty)$。 +\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}设$\{x_n\}$为一数列，若存在常数$a$，对于不论任意小的$\varepsilon>0$，总存在正整数$N$，使$n>N$时，$\vert x_n-a\vert<\varepsilon$恒成立，则常数$a$为数列$\{x_n\}$的极限，或$\{x_n\}$收敛于$a$，记为：$\lim\limits_{x\to\infty}x_n=a$或$x_n\to a(n\to\infty)$。 -常用语言（$\varepsilon-N$语言）：$\lim_{x\to\infty}x_n=a\Leftrightarrow\forall\varepsilon>0,\exists N\in N_+$，当$n>N$时，恒有$\vert x_n-a\vert<\varepsilon$。 +常用语言（$\varepsilon-N$语言）：$\lim\limits_{x\to\infty}x_n=a\Leftrightarrow\forall\varepsilon>0,\exists N\in N_+$，当$n>N$时，恒有$\vert x_n-a\vert<\varepsilon$。 如果不存在该数$a$，则称数列$x_n$发散。 @@ -291,7 +291,7 @@ $f(x+T)=f(x)$，其中T为周期。 \bigskip \item 取$N=[g(\varepsilon)]+1$，所以令$n>N$就可以证明。 \end{enumerate} -\textbf{例题：}用定义证明$\lim_{x\to\infty}\left[1+\dfrac{(-1)^n}{n}\right]=1$ +\textbf{例题：}用定义证明$\lim\limits_{x\to\infty}\left[1+\dfrac{(-1)^n}{n}\right]=1$ 证明： @@ -305,7 +305,7 @@ $\therefore\forall\varepsilon>0$，当$n>N$时，就有$n>\dfrac{1}{\varepsilon} $\therefore$证明完毕。 -\textbf{例题：}用定义证明$\lim_{n\to\infty}q^n=0$（$q$为常数且$\vert q\vert<1$）。 +\textbf{例题：}用定义证明$\lim\limits_{n\to\infty}q^n=0$（$q$为常数且$\vert q\vert<1$）。 证明： @@ -317,19 +317,19 @@ $\therefore$证明完毕。 $\therefore$当$n>N$时，必然$n>\dfrac{\ln\varepsilon}{\ln\vert q\vert}$，有$\vert q^n-0\vert<\varepsilon$。 -故$\lim_{n\to\infty}q^n=0$。 +故$\lim\limits_{n\to\infty}q^n=0$。 \subsubsection{数列绝对值} -\textbf{例题：}证明若$\lim_{x\to\infty}a_n=A$，则$\lim_{x\to\infty}\vert a_n\vert=\vert A\vert$。 +\textbf{例题：}证明若$\lim\limits_{x\to\infty}a_n=A$，则$\lim\limits_{x\to\infty}\vert a_n\vert=\vert A\vert$。 -因为$\lim_{n\to\infty}a_n=A\Leftrightarrow\forall\varepsilon>0,\exists N>0,\text{当}n>N$，恒有$\vert a_n-A\vert<\varepsilon$。 +因为$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=A\Leftrightarrow\forall\varepsilon>0,\exists N>0,\text{当}n>N$，恒有$\vert a_n-A\vert<\varepsilon$。 又由重要不等式$\vert\vert a\vert-\vert b\vert\vert\leqslant\vert a-b\vert$，所以$\vert\vert a_n-\vert A\vert\vert\leqslant\varepsilon$。 所以恒成立，证明完毕。 -从这个题推出：$\lim_{n\to\infty}a_n=0\Leftrightarrow\lim_{n\to\infty}\vert a_n\vert=0$。所以如果我们以后需要证明某一数列极限为0，可以证明数列绝对值极限0，而数列绝对值绝对时大于等于0的，所以由夹逼准则，其中小的一头已经固定为0了，所以只用找另一个偏大的数列夹逼所证明数列就可以了。 +从这个题推出：$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=0\Leftrightarrow\lim\limits_{n\to\infty}\vert a_n\vert=0$。所以如果我们以后需要证明某一数列极限为0，可以证明数列绝对值极限0，而数列绝对值绝对时大于等于0的，所以由夹逼准则，其中小的一头已经固定为0了，所以只用找另一个偏大的数列夹逼所证明数列就可以了。 \subsubsection{子数列} @@ -356,17 +356,17 @@ $\therefore$当$n>N$时，必然$n>\dfrac{\ln\varepsilon}{\ln\vert q\vert}$， 证明： -设$\lim_{n\to\infty}a_n=A$且$\lim_{n\to\infty}a_n=B$且$A\neq B$。 +设$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=A$且$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=B$且$A\neq B$。 不如设$A>B$。任意取$\varepsilon=\dfrac{A-B}{2}>0$。 -$\because\lim_{n\to\infty}a_n=A$ +$\because\lim\limits_{n\to\infty}a_n=A$ $\therefore\exists N_1>0$，当$n>N_1$时，$\vert a_n-A\vert<\dfrac{A-B}{2}$。 得到$\dfrac{A+B}{2}0$，当$n>N_2$时，$\vert a_n-B\vert<\dfrac{A-B}{2}$。 @@ -380,13 +380,13 @@ $\therefore\exists N_2>0$，当$n>N_2$时，$\vert a_n-B\vert<\dfrac{A-B}{2}$。 \textcolor{violet}{\textbf{定义：}}若数列$\{x_n\}$极限存在，则数列有界。 -即$\lim_{n\to\infty}a_n=A$，则存在$M>0$，使得$\vert a_n\vert\leqslant M$。 +即$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=A$，则存在$M>0$，使得$\vert a_n\vert\leqslant M$。 证明： 由极限定义，取$\varepsilon=1$。 -$\because\lim_{n\to\infty}a_n=A$ +$\because\lim\limits_{n\to\infty}a_n=A$ $\therefore\exists N>0$，当$n>N$时，$\vert a_n-A\vert<1$。 @@ -406,17 +406,17 @@ $\forall n$，有$\vert a_n\vert\leqslant M$ 较重要。也称为脱帽法。 -\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}若数列$\{x_n\}$存在极限$\lim_{n\to\infty}a_n=a\neq 0$，则存在正整数$N$，当$n>N$时$a_n$都与$a$同号。 +\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}若数列$\{x_n\}$存在极限$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=a\neq 0$，则存在正整数$N$，当$n>N$时$a_n$都与$a$同号。 简单来说，就是极限大于0，后面一部分数列大于0，极限小于0，后面一部分数列小于0。 -推论，戴帽法：若数列$\{a_n\}$从某项开始$a_n\geqslant b$，且$\lim_{n\to\infty}a_n=a$，则$a\geqslant b$。这里一定要带等号。 +推论，戴帽法：若数列$\{a_n\}$从某项开始$a_n\geqslant b$，且$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=a$，则$a\geqslant b$。这里一定要带等号。 证明： 设$A>0$，取$\varepsilon=\dfrac{A}{2}>0$。 -$\because\lim_{n\to\infty}a_n=A$ +$\because\lim\limits_{n\to\infty}a_n=A$ $\therefore\exists N>0$，当$n>N$时，$\vert a_n-A\vert<\dfrac{A}{2}\Rightarrow a_n>\dfrac{A}{2}>0$ @@ -424,17 +424,17 @@ $\therefore\exists N>0$，当$n>N$时，$\vert a_n-A\vert<\dfrac{A}{2}\Rightarro \subsection{海涅定理（归结原则）} -设$f(x)$在$\mathring{U}(x_0,\delta)$内有定义，则$\lim_{x\to x_0}f(x)=A$存在$\Leftrightarrow$对任何$\mathring{U}(x_0,\delta)$内以$x_0$为极限的数列$\{x_n\}(x_n\neq x_0)$，极限$\lim_{n\to\infty}f(x_n)=A$存在。 +设$f(x)$在$\mathring{U}(x_0,\delta)$内有定义，则$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A$存在$\Leftrightarrow$对任何$\mathring{U}(x_0,\delta)$内以$x_0$为极限的数列$\{x_n\}(x_n\neq x_0)$，极限$\lim\limits_{n\to\infty}f(x_n)=A$存在。 海涅定理用来连接数列极限与函数极限。在极限存在下他们可以相互转换。 -\textbf{例题：}求$\lim_{n\to\infty}\left(n\tan\dfrac{1}{n}\right)^{n^2}$（$n\in N^+$）。 +\textbf{例题：}求$\lim\limits_{n\to\infty}\left(n\tan\dfrac{1}{n}\right)^{n^2}$（$n\in N^+$）。 -$\because \lim_{x\to 0}\left(\dfrac{\tan x}{x}\right)^{\frac{1}{x^2}}$ +$\because \lim\limits_{x\to 0}\left(\dfrac{\tan x}{x}\right)^{\frac{1}{x^2}}$ 又$u^v=e^{v\ln u}$ -$\therefore =e^{\lim_{x\to 0}\frac{1}{x^2}\ln\frac{\tan x}{x}}$ +$\therefore =e^{\lim\limits_{x\to 0}\frac{1}{x^2}\ln\frac{\tan x}{x}}$ 又在$x\to 0$下$\ln (1+x)\sim x$，$\therefore \ln(1+g(x))\sim g(x),g(x)\to 0$。 @@ -450,14 +450,14 @@ $\therefore$ \bigskip $ \begin{aligned} - & e^{\lim_{x\to 0}\frac{1}{x^2}\ln\frac{\tan x}{x}} \\ - & =e^{\lim_{x\to 0}\frac{1}{x^2}\frac{\tan x-x}{x}} \\ - & =e^{\lim_{x\to 0}\frac{1}{x^2}\cdot\frac{x^2}{3}} \\ + & e^{\lim\limits_{x\to 0}\frac{1}{x^2}\ln\frac{\tan x}{x}} \\ + & =e^{\lim\limits_{x\to 0}\frac{1}{x^2}\frac{\tan x-x}{x}} \\ + & =e^{\lim\limits_{x\to 0}\frac{1}{x^2}\cdot\frac{x^2}{3}} \\ & = e^{\frac{1}{3}} \end{aligned} $ -根据海涅定理：取$x=\dfrac{1}{n},n\to\infty$，$\lim_{n\to\infty}\left(n\tan\dfrac{1}{n}\right)^{n^2}=e^{\frac{1}{3}}$。 +根据海涅定理：取$x=\dfrac{1}{n},n\to\infty$，$\lim\limits_{n\to\infty}\left(n\tan\dfrac{1}{n}\right)^{n^2}=e^{\frac{1}{3}}$。 \section{函数的极限} @@ -465,11 +465,11 @@ $ \subsubsection{极限定义} -设函数$f(x)$在点$x_0$的某一个去心邻域有定义，若存在常数$A$，对于任意给定的$\varepsilon>0$，总存在正数$\delta$，使得当$0<\vert x-x_0\vert<\delta$式，对应的函数值$f(x)$都满足不等式$\vert f(x)-A\vert <\varepsilon$，则$A$就是函数$f(x)$当$x\to x_0$时的极限，记作$\lim_{x\to x_0}f(x)=A$或$f(x)\rightarrow A(x\rightarrow x_0)$。 +设函数$f(x)$在点$x_0$的某一个去心邻域有定义，若存在常数$A$，对于任意给定的$\varepsilon>0$，总存在正数$\delta$，使得当$0<\vert x-x_0\vert<\delta$式，对应的函数值$f(x)$都满足不等式$\vert f(x)-A\vert <\varepsilon$，则$A$就是函数$f(x)$当$x\to x_0$时的极限，记作$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A$或$f(x)\rightarrow A(x\rightarrow x_0)$。 -写成$\varepsilon-\delta$语言：$\lim_{x\to x_0}f(x)=A\Leftrightarrow\forall\varepsilon>0,\exists\delta>0,\text{当}0<\vert x-x_0\vert<\delta$时，有$\vert f(x)-A\vert\varepsilon$。 +写成$\varepsilon-\delta$语言：$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A\Leftrightarrow\forall\varepsilon>0,\exists\delta>0,\text{当}0<\vert x-x_0\vert<\delta$时，有$\vert f(x)-A\vert\varepsilon$。 -而对于趋向无穷时，写成$\varepsilon-X$语言：$\lim_{x\to\infty}f(x)=A\Leftrightarrow\forall\varepsilon>0,\exists X>0,\text{当}\vert x\vert>X$时，有$\vert f(x)-A\vert<\varepsilon$。 +而对于趋向无穷时，写成$\varepsilon-X$语言：$\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=A\Leftrightarrow\forall\varepsilon>0,\exists X>0,\text{当}\vert x\vert>X$时，有$\vert f(x)-A\vert<\varepsilon$。 \textcolor{orange}{注意：}这里的趋向分为六种：$x\to x_0$、$x\to x_0^+$、$x\to x_0^-$、$x\to\infty$、$x\to\infty^+$、$x\to\infty^-$。 @@ -482,8 +482,8 @@ $ 函数存在的充要条件是： \begin{enumerate} - \item $\lim_{x\to x_0}f(x)\Leftrightarrow\lim_{x\to x_0^-}f(x)=\lim_{x\to x_0^+}f(x)=A$。 - \item 函数脱帽法：$\lim_{x\to x_0}f(x)\Leftrightarrow f(x)=A+\alpha(x),\lim_{x\to x_0}\alpha(x)=0$，后面的$\alpha(x)$就是函数与极限值的误差。 + \item $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)\Leftrightarrow\lim\limits_{x\to x_0^-}f(x)=\lim\limits_{x\to x_0^+}f(x)=A$。 + \item 函数脱帽法：$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)\Leftrightarrow f(x)=A+\alpha(x),\lim\limits_{x\to x_0}\alpha(x)=0$，后面的$\alpha(x)$就是函数与极限值的误差。 \end{enumerate} \subsubsection{极限情况总结} @@ -518,7 +518,7 @@ $ 若极限存在，则极限唯一。 -\textbf{例题：}设$a$为常数，$\lim_{x\to 0}\left(\dfrac{e^{\frac{1}{x}}-\pi}{e^{\frac{2}{x}}+1}+a\cdot\arctan\dfrac{1}{x}\right)$存在，求出极限值。 +\textbf{例题：}设$a$为常数，$\lim\limits_{x\to 0}\left(\dfrac{e^{\frac{1}{x}}-\pi}{e^{\frac{2}{x}}+1}+a\cdot\arctan\dfrac{1}{x}\right)$存在，求出极限值。 因为求$x\to 0$，所以需要分两种情况讨论： @@ -526,16 +526,16 @@ $ $ \begin{aligned} - & \lim_{x\to 0^+}\left(\dfrac{e^{\frac{1}{x}}-\pi}{e^{\frac{2}{x}}+1}+a\cdot\arctan\dfrac{1}{x}\right) \\ - & = \lim_{x\to 0^+}\left(\dfrac{e^{\frac{1}{x}}-\pi}{e^{\frac{2}{x}}+1}\right)+\lim_{x\to 0^+}\left(a\cdot\arctan\dfrac{1}{x}\right) \\ - & = \lim_{x\to 0^+}\left(\dfrac{0\cdot\left(e^{\frac{2}{x}}\right)^2+e^{\frac{1}{x}}-\pi}{1\cdot\left(e^{\frac{2}{x}}\right)^2+1}\right)+a\cdot\dfrac{\pi}{2} \\ + & \lim\limits_{x\to 0^+}\left(\dfrac{e^{\frac{1}{x}}-\pi}{e^{\frac{2}{x}}+1}+a\cdot\arctan\dfrac{1}{x}\right) \\ + & = \lim\limits_{x\to 0^+}\left(\dfrac{e^{\frac{1}{x}}-\pi}{e^{\frac{2}{x}}+1}\right)+\lim\limits_{x\to 0^+}\left(a\cdot\arctan\dfrac{1}{x}\right) \\ + & = \lim\limits_{x\to 0^+}\left(\dfrac{0\cdot\left(e^{\frac{2}{x}}\right)^2+e^{\frac{1}{x}}-\pi}{1\cdot\left(e^{\frac{2}{x}}\right)^2+1}\right)+a\cdot\dfrac{\pi}{2} \\ & = a\cdot\dfrac{\pi}{2} \end{aligned} $ $ \begin{aligned} - & \lim_{x\to 0^-}\left(\dfrac{e^{\frac{1}{x}}-\pi}{e^{\frac{2}{x}}+1}+a\cdot\arctan\dfrac{1}{x}\right) \\ + & \lim\limits_{x\to 0^-}\left(\dfrac{e^{\frac{1}{x}}-\pi}{e^{\frac{2}{x}}+1}+a\cdot\arctan\dfrac{1}{x}\right) \\ & = -\pi+a\cdot\left(-\dfrac{\pi}{2}\right) \\ & = -\pi-\dfrac{\pi}{2}\cdot a \end{aligned} @@ -579,31 +579,31 @@ $A.(-1,0)$\qquad$B.(0,1)$\qquad$C.(1,2)$\qquad$D.(2,3)$ 解：看选项，0，1，2出现次数较多，所以从$B$选项开始检查是否有界： -$\lim_{x\to 0^-}\dfrac{\vert x\vert\sin(x-2)}{x(x-1)(x-2)^2}=(-1)\cdot\dfrac{-\sin 2}{(-1)\cdot 4}=-\dfrac{\sin 2}{4}$ +$\lim\limits_{x\to 0^-}\dfrac{\vert x\vert\sin(x-2)}{x(x-1)(x-2)^2}=(-1)\cdot\dfrac{-\sin 2}{(-1)\cdot 4}=-\dfrac{\sin 2}{4}$ 所以趋于$0^-$的一段有界。 -同理$\lim_{x\to 0^+}\dfrac{\vert x\vert\sin(x-2)}{x(x-1)(x-2)^2}=\dfrac{\sin 2}{4}$。 +同理$\lim\limits_{x\to 0^+}\dfrac{\vert x\vert\sin(x-2)}{x(x-1)(x-2)^2}=\dfrac{\sin 2}{4}$。 所以趋于$0^+$的一段有界。 -$\lim_{x\to 1^-}\dfrac{\vert x\vert\sin(x-2)}{x(x-1)(x-2)^2}$中$(x-1)$为0且在分母位置，所以极限为$\infty$，无界。 +$\lim\limits_{x\to 1^-}\dfrac{\vert x\vert\sin(x-2)}{x(x-1)(x-2)^2}$中$(x-1)$为0且在分母位置，所以极限为$\infty$，无界。 所以$(0,1)$无界，$B$排除。 -同理$\lim_{x\to 1^+}\dfrac{\vert x\vert\sin(x-2)}{x(x-1)(x-2)^2}$也无穷大而无界。 +同理$\lim\limits_{x\to 1^+}\dfrac{\vert x\vert\sin(x-2)}{x(x-1)(x-2)^2}$也无穷大而无界。 所以$(1,2)$无界，$C$排除。 -$\lim_{x\to 2^+}\dfrac{\vert x\vert\sin(x-2)}{x(x-1)(x-2)^2}$中不管前面的项，而看到后面的$\dfrac{\sin(x-2)}{(x-2)^2}$。 +$\lim\limits_{x\to 2^+}\dfrac{\vert x\vert\sin(x-2)}{x(x-1)(x-2)^2}$中不管前面的项，而看到后面的$\dfrac{\sin(x-2)}{(x-2)^2}$。 -因为$\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}=1$，所以对于$\lim_{x\to 2}\dfrac{\sin(x-2)}{(x-2)}=1$，所以下面还有一个$x-2$，所以还是为$\infty$。 +因为$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}=1$，所以对于$\lim\limits_{x\to 2}\dfrac{\sin(x-2)}{(x-2)}=1$，所以下面还有一个$x-2$，所以还是为$\infty$。 所以$(2,3)$无界，$D$排除。 验证-1处是否有界： -$\lim_{x\to -1}\dfrac{\vert x\vert\sin(x-2)}{x(x-1)(x-2)^2}=-\dfrac{\sin 3}{18}$。 +$\lim\limits_{x\to -1}\dfrac{\vert x\vert\sin(x-2)}{x(x-1)(x-2)^2}=-\dfrac{\sin 3}{18}$。 所以该处有界，所以选$A$。 @@ -634,17 +634,17 @@ $\Rightarrow A-\varepsilon0$时，$u=g(x)=1$，而$1$在$g(x)$中是无定义的，所以复合函数当$x>0$时无定义，从而在$0$处极限不存在。 @@ -744,13 +744,13 @@ $\Rightarrow A-\varepsilon0$，$\exists N$，当$n>N$时，$\vert y_n<\varepsilon$，$\vert z_n<\varepsilon$。 @@ -760,13 +760,13 @@ $\therefore a-\varepsilon0$时，$x\to 0^-$，同样也是夹逼准则得到极限为10。 -$\therefore \lim_{x\to 0}x\left[\dfrac{10}{x}\right]=10$。 +$\therefore \lim\limits_{x\to 0}x\left[\dfrac{10}{x}\right]=10$。 \subsection{拉格朗日中值定理} 对于形如$f(a)-f(b)$的极限式子就可以使用拉格朗日中值定理，这个$f(x)$为任意的函数。 -\textbf{例题：}求极限$\lim_{n\to\infty}n^2\left(\arctan\dfrac{2}{n}-\arctan\dfrac{2}{n+1}\right)$。 +\textbf{例题：}求极限$\lim\limits_{n\to\infty}n^2\left(\arctan\dfrac{2}{n}-\arctan\dfrac{2}{n+1}\right)$。 因为式子不算非常复杂，其实也可以通过洛必达法则来完成，但是求导会很复杂。而$\arctan x$可以认定为$f(x)$。 @@ -317,7 +374,7 @@ $\therefore \lim_{x\to 0}x\left[\dfrac{10}{x}\right]=10$。 $\therefore\arctan\dfrac{2}{n}-\arctan\dfrac{2}{n+1}\sim\dfrac{2}{n}-\dfrac{2}{n+1}=\dfrac{2}{n(n+1)}$。 -$\therefore\lim_{n\to\infty}n^2\left(\arctan\dfrac{2}{n}-\arctan\dfrac{2}{n+1}\right)=\lim_{n\to\infty}n^2\cdot\dfrac{2}{n(n+1)}=2$。 +$\therefore\lim\limits_{n\to\infty}n^2\left(\arctan\dfrac{2}{n}-\arctan\dfrac{2}{n+1}\right)=\lim\limits_{n\to\infty}n^2\cdot\dfrac{2}{n(n+1)}=2$。 \subsection{洛必达法则} @@ -333,7 +390,7 @@ $\therefore\lim_{n\to\infty}n^2\left(\arctan\dfrac{2}{n}-\arctan\dfrac{2}{n+1}\r 且一般只有麦克劳林公式表上的基本初等函数才会使用倒泰勒公式，复合函数最好不要使用。 -\textbf{例题：}求极限$\lim_{x\to 0}\dfrac{\arcsin x-\arctan x}{\sin x-\tan x}$。 +\textbf{例题：}求极限$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\arcsin x-\arctan x}{\sin x-\tan x}$。 分析：该题目使用洛必达法则会比较麻烦且难以计算，所以先考虑是否能用泰勒展开： @@ -363,53 +420,53 @@ $\therefore \text{原式}=\dfrac{\dfrac{1}{x}x^3+o(x^3)}{-\dfrac{1}{2}x^3+o(x^3) 最常用的方式就是将目标值作为一个部分，然后对已知的式子进行替换。 -\textbf{例题：}已知$\lim_{x\to 0}\dfrac{\ln(1-x)+xf(x)}{x^2}=0$，求$\lim_{x\to 0}\dfrac{f(x)-1}{x}$。 +\textbf{例题：}已知$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\ln(1-x)+xf(x)}{x^2}=0$，求$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{f(x)-1}{x}$。 令目标$\dfrac{f(x)-1}{x}=t$，$\therefore f(x)=tx+1$。 $ \begin{aligned} - & \lim_{x\to 0}\dfrac{\ln(1-x)+xf(x)}{x^2} \\ - & =\lim_{x\to 0}\dfrac{\ln(1-x)+tx^2+x}{x^2} (\text{泰勒展开}) \\ - & =\lim_{x\to 0}\dfrac{-x-\dfrac{x^2}{2}+tx^2+x}{x^2} \\ - & =\lim_{x\to 0}\dfrac{\left(t-\dfrac{1}{2}\right)x^2}{x^2} \\ - & ==\lim_{x\to 0}\left(t-\dfrac{1}{2}\right) \\ + & \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\ln(1-x)+xf(x)}{x^2} \\ + & =\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\ln(1-x)+tx^2+x}{x^2} (\text{泰勒展开}) \\ + & =\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{-x-\dfrac{x^2}{2}+tx^2+x}{x^2} \\ + & =\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\left(t-\dfrac{1}{2}\right)x^2}{x^2} \\ + & ==\lim\limits_{x\to 0}\left(t-\dfrac{1}{2}\right) \\ & =0 \end{aligned} $ -$\therefore\lim_{x\to 0}t=\lim_{x\to 0}\dfrac{f(x)-1}{x}=\dfrac{1}{2}$。 +$\therefore\lim\limits_{x\to 0}t=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{f(x)-1}{x}=\dfrac{1}{2}$。 \subsubsection{关系转换} -\textbf{例题：}如果$\lim_{x\to 0}\dfrac{x-\sin x+f(x)}{x^4}$存在，则$\lim_{x\to 0}\dfrac{x^3}{f(x)}$为常数多少？ +\textbf{例题：}如果$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x-\sin x+f(x)}{x^4}$存在，则$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x^3}{f(x)}$为常数多少？ -由$\lim_{x\to 0}\dfrac{x\sin x+f(x)}{x^4}=A$，而目标是$x^3$，所以需要变形： +由$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x\sin x+f(x)}{x^4}=A$，而目标是$x^3$，所以需要变形： $ \begin{aligned} - & \lim_{x\to 0}\dfrac{x\sin x+f(x)}{x^4}=A \\ - & \lim_{x\to 0}\dfrac{x\sin x+f(x)\cdot x}{x^4}=A\cdot\lim_{x\to 0}x=0 \\ - & \lim_{x\to 0}\dfrac{x-\sin x}{x^3}+\lim_{x\to 0}\dfrac{f(x)}{x^3}=0 \\ + & \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x\sin x+f(x)}{x^4}=A \\ + & \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x\sin x+f(x)\cdot x}{x^4}=A\cdot\lim\limits_{x\to 0}x=0 \\ + & \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x-\sin x}{x^3}+\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{f(x)}{x^3}=0 \\ & \text{泰勒展开：}x-\sin x=\dfrac{1}{6}x^3 \\ - & \lim_{x\to 0}\dfrac{f(x)}{x^3}=-\dfrac{1}{6} \\ - & \lim_{x\to 0}\dfrac{x^3}{f(x)}=-6 + & \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{f(x)}{x^3}=-\dfrac{1}{6} \\ + & \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x^3}{f(x)}=-6 \end{aligned} $ \subsubsection{脱帽法} -$\lim_{x\to x_0}f(x)\Leftrightarrow f(x)=A+\alpha(x),\lim_{x\to x_0}\alpha(x)=0$。 +$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)\Leftrightarrow f(x)=A+\alpha(x),\lim\limits_{x\to x_0}\alpha(x)=0$。 -\textbf{例题：}如果$\lim_{x\to 0}\dfrac{x-\sin x+f(x)}{x^4}$存在，则$\lim_{x\to 0}\dfrac{x^3}{f(x)}$为常数多少？ +\textbf{例题：}如果$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x-\sin x+f(x)}{x^4}$存在，则$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x^3}{f(x)}$为常数多少？ -由$\lim_{x\to 0}\dfrac{x\sin x+f(x)}{x^4}=A$脱帽：$\dfrac{x\sin x+f(x)}{x^4}=A+\alpha$。 +由$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x\sin x+f(x)}{x^4}=A$脱帽：$\dfrac{x\sin x+f(x)}{x^4}=A+\alpha$。 得到：$f(x)=Ax^4+\alpha\cdot x^4-(x-\sin x)$。 -反代入：$\lim_{x\to 0}\dfrac{f(x)}{x^3}=\lim_{x\to 0}\dfrac{Ax^4+\alpha\cdot x^4-x+\sin x}{x^3}=0+0-\dfrac{1}{6}=-\dfrac{1}{6}$。 +反代入：$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{f(x)}{x^3}=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{Ax^4+\alpha\cdot x^4-x+\sin x}{x^3}=0+0-\dfrac{1}{6}=-\dfrac{1}{6}$。 -$\therefore \lim_{x\to 0}\dfrac{x^3}{f(x)}=-6$。 +$\therefore \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x^3}{f(x)}=-6$。 \subsection{求参数} @@ -417,14 +474,16 @@ $\therefore \lim_{x\to 0}\dfrac{x^3}{f(x)}=-6$。 一般极限式子右侧等于一个常数，或是表明高阶或低阶。具体的关系参考无穷小比阶。 -\textbf{例题：}设$\lim_{x\to 0}\dfrac{\ln(1+x)-(ax+bx^2)}{x^2}=2$，求常数a，b。 +在求参数的时候要注意与0的关系。 + +\textbf{例题：}设$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\ln(1+x)-(ax+bx^2)}{x^2}=2$，求常数a，b。 根据泰勒展开式：$x\to 0,\ln(1+x)=x-\dfrac{x^2}{x}+o(x^2)$。 $ \begin{aligned} - & \lim_{x\to 0}\dfrac{\ln(1+x)-(ax+bx^2)}{x^2}=2 \\ - & =\lim_{x\to 0}\dfrac{(1-a)x-\left(\dfrac{1}{2}+b\right)x^2+o(x^2)}{x^2}=2\neq 0 \\ + & \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\ln(1+x)-(ax+bx^2)}{x^2}=2 \\ + & =\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{(1-a)x-\left(\dfrac{1}{2}+b\right)x^2+o(x^2)}{x^2}=2\neq 0 \\ & 1-a=0;-\left(\dfrac{1}{2}+b\right)=2 \\ & \therefore a=1;b=-\dfrac{5}{2} \end{aligned} @@ -438,23 +497,23 @@ $ 函数的连续性代表：极限值=函数值。 -\textbf{例题：}函数在$f(x)$在$x=1$处连续，且$f(1)=1$，求$\lim_{x\to+\infty}\ln\left[2+f\left(x^{\frac{1}{x}}\right)\right]$。 +\textbf{例题：}函数在$f(x)$在$x=1$处连续，且$f(1)=1$，求$\lim\limits_{x\to+\infty}\ln\left[2+f\left(x^{\frac{1}{x}}\right)\right]$。 -根据题目，所求的$\lim_{x\to+\infty}\ln\left[2+f\left(x^{\frac{1}{x}}\right)\right]$中，唯一未知的且会随着$x\to+\infty$而变换就是$f\left(x^{\frac{1}{x}}\right)$。如果我们可以求出这个值就可以了。 +根据题目，所求的$\lim\limits_{x\to+\infty}\ln\left[2+f\left(x^{\frac{1}{x}}\right)\right]$中，唯一未知的且会随着$x\to+\infty$而变换就是$f\left(x^{\frac{1}{x}}\right)$。如果我们可以求出这个值就可以了。 -而我们对于$f(x)$的具体的关系是未知的，只知道$f(1)=1$。那么先需要考察$\lim_{x\to+\infty}x^{\frac{1}{x}}$的整数最大值。 +而我们对于$f(x)$的具体的关系是未知的，只知道$f(1)=1$。那么先需要考察$\lim\limits_{x\to+\infty}x^{\frac{1}{x}}$的整数最大值。 $ \begin{aligned} - & \lim_{x\to+\infty}x^{\frac{1}{x}} \\ - & e^{\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x}} \\ - & e^{\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x}} \\ + & \lim\limits_{x\to+\infty}x^{\frac{1}{x}} \\ + & e^{\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x}} \\ + & e^{\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{1}{x}} \\ & =e^0 \\ & =1 \end{aligned} $ -$\therefore\lim_{x\to+\infty}f(x^{\frac{1}{x}})=f(1)=1$。 +$\therefore\lim\limits_{x\to+\infty}f(x^{\frac{1}{x}})=f(1)=1$。 \subsection{迭代式数列} @@ -462,7 +521,7 @@ $\therefore\lim_{x\to+\infty}f(x^{\frac{1}{x}})=f(1)=1$。 最重要的是将迭代式进行变形。 -\textbf{例题：}数列$\{a_n\}$满足$a_0=0,a_1=1,2a_{n+1}=a_n+a_{n-1},n=1,2,\cdots$。计算$\lim_{n\to\infty}a_n$。 +\textbf{例题：}数列$\{a_n\}$满足$a_0=0,a_1=1,2a_{n+1}=a_n+a_{n-1},n=1,2,\cdots$。计算$\lim\limits_{n\to\infty}a_n$。 首先看题目，给出的递推式设计到二阶递推，即存在三个数列变量，所以我们必须先求出对应的数列表达式。因为这个表达式涉及三个变量，所以尝试对其进行变型： @@ -485,10 +544,11 @@ $ & = \left(-\dfrac{1}{2}\right)^{n-1} + \left(-\dfrac{1}{2}\right)^{n-2} + \cdots + \left(-\dfrac{1}{2}\right)^0 \\ & = \dfrac{1\cdot\left(1-\left(-\dfrac{1}{2}\right)^n\right)}{1-\left(-\dfrac{1}{2}\right)} \\ & = \dfrac{2}{3}\left[1-\left(-\dfrac{1}{2}\right)^n\right] \\ - \lim_{n\to\infty}a_n & =\dfrac{2}{3} \end{aligned} $ +$\therefore\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\dfrac{2}{3}$ + \subsubsection{单调有界准则} \subsection{变限积分极限} diff --git a/advanced-math/2-derivatives-and-differential/derivatives-and-differential.tex b/advanced-math/2-derivatives-and-differential/derivatives-and-differential.tex index a2c656c..3bdd808 100644 --- a/advanced-math/2-derivatives-and-differential/derivatives-and-differential.tex +++ b/advanced-math/2-derivatives-and-differential/derivatives-and-differential.tex @@ -49,13 +49,13 @@ 设$f(x)$下$x$在$x_0$的邻域内，$\alpha$为切线所成夹角。 -$\tan\alpha=f'(x_0)=\lim_{x\to x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=k$。 +$\tan\alpha=f'(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=k$。 导数的本质是增量比的极限。 \subsection{定义} -设$y=f(x)$定义在区间$I$上，让自变量在$x=x_0$处加一个增量$\Delta x$，其中$x_0\in I$，$x_0+\Delta x\in I$，则可得函数的增量$\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$。若函数增量$\Delta y$与自变量增量$\Delta x$的比值在$\Delta x\to 0$时的极限存在，则称函数$y=f(x)$在$x_0$处可导，并称这个极限为$y=f(x)$在点$x_0$处的导数，记作$f'(x)$，即$f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$。 +设$y=f(x)$定义在区间$I$上，让自变量在$x=x_0$处加一个增量$\Delta x$，其中$x_0\in I$，$x_0+\Delta x\in I$，则可得函数的增量$\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$。若函数增量$\Delta y$与自变量增量$\Delta x$的比值在$\Delta x\to 0$时的极限存在，则称函数$y=f(x)$在$x_0$处可导，并称这个极限为$y=f(x)$在点$x_0$处的导数，记作$f'(x)$，即$f'(x)=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$。 下面三句话等价： @@ -67,9 +67,9 @@ $\tan\alpha=f'(x_0)=\lim_{x\to x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=k$。 单侧导数分为左导数和右导数。 -$f'_-(x)=\lim_{\Delta x\to 0^-}\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$ +$f'_-(x)=\lim\limits_{\Delta x\to 0^-}\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$ -$f'_+(x)=\lim_{\Delta x\to 0^+}\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$ +$f'_+(x)=\lim\limits_{\Delta x\to 0^+}\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$ 所以$f(x)$在$x_0$处可导的充要条件是其左导数和右导数存在且相等。 @@ -87,9 +87,9 @@ $\therefore$ $ \begin{aligned} - f'(-x) &=\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(-x+\Delta x)-f(-x)}{\Delta x} \\ - & =\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(x+(-\Delta x))}{\Delta x} \\ - & =-\lim_{-\Delta x\to 0}\dfrac{f(x+(-\Delta x))}{-\Delta x} \\ + f'(-x) &=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(-x+\Delta x)-f(-x)}{\Delta x} \\ + & =\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(x+(-\Delta x))}{\Delta x} \\ + & =-\lim\limits_{-\Delta x\to 0}\dfrac{f(x+(-\Delta x))}{-\Delta x} \\ & =-f'(x) \end{aligned} $ @@ -100,9 +100,9 @@ $ 已知$f(x+T)=f(x)$，求证$f'(x+T)=f'(x)$。 -$\therefore f'(x+T)=\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(x+T+\Delta x)-f(x+T)}{\Delta x}$ +$\therefore f'(x+T)=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(x+T+\Delta x)-f(x+T)}{\Delta x}$ -$=\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}=f'(x)$。 +$=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}=f'(x)$。 \textbf{例题：}设$f(x)$是二阶可导的以2为周期的奇函数，且$f(\dfrac{1}{2})>0$，$f'(\dfrac{1}{2})>0$，比较$f(-\dfrac{1}{2})$、$f'(\dfrac{3}{2})$、$f''(0)$的大小。 @@ -118,10 +118,10 @@ $\therefore f'(\dfrac{3}{2})>f''(0)>f(-\dfrac{1}{2})$。 $ \begin{aligned} - & \lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} \\ - & =\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{\left(x+\Delta x\right)^\alpha-x^\alpha}{\Delta x} \\ - & =\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{x^\alpha\left[\left(1+\dfrac{\Delta x}{x}\right)^\alpha-1\right]}{\Delta x} \\ - & =\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{x^\alpha\cdot\alpha\cdot\dfrac{\Delta x}{x}}{\Delta x} \\ + & \lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} \\ + & =\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{\left(x+\Delta x\right)^\alpha-x^\alpha}{\Delta x} \\ + & =\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{x^\alpha\left[\left(1+\dfrac{\Delta x}{x}\right)^\alpha-1\right]}{\Delta x} \\ + & =\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{x^\alpha\cdot\alpha\cdot\dfrac{\Delta x}{x}}{\Delta x} \\ & =\alpha x^{\alpha-1} \end{aligned} $ @@ -140,26 +140,26 @@ $ \textbf{例题：}证明可导必连续。 -已知连续定义：$\lim_{\Delta x\to 0}f(x+\Delta x)=f(x)$，即$\lim_{\Delta x\to 0}f(x+\Delta x)-f(x)=0$。 +已知连续定义：$\lim\limits_{\Delta x\to 0}f(x+\Delta x)=f(x)$，即$\lim\limits_{\Delta x\to 0}f(x+\Delta x)-f(x)=0$。 -可导定义：$f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} = A$ +可导定义：$f'(x)=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} = A$ $ \begin{aligned} - & \lim_{\Delta x\to 0}f(x+\Delta x)-f(x) \\ - & =\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\cdot\Delta x \\ + & \lim\limits_{\Delta x\to 0}f(x+\Delta x)-f(x) \\ + & =\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\cdot\Delta x \\ & =A\cdot 0 \\ & =0 \end{aligned} $ -\textbf{例题：}若$f(x)$在$x=x_0$处连续，且$\lim_{x\to x_0}\dfrac{f(x)}{x-x_0}=A$，则$f(x_0)=0$且$f'(x_0)=A$。 +\textbf{例题：}若$f(x)$在$x=x_0$处连续，且$\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f(x)}{x-x_0}=A$，则$f(x_0)=0$且$f'(x_0)=A$。 -证明：$\because\text{连续，}\therefore f(x_0)=\lim_{x\to x_0}f(x)=\lim_{x\to x_0}\dfrac{f(x)}{x-x_0}(x-x_0)=A\cdot 0=0$。 +证明：$\because\text{连续，}\therefore f(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f(x)}{x-x_0}(x-x_0)=A\cdot 0=0$。 -又$f'(x_0)=\lim_{x\to x_0\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}=\lim_{x\to x_0}\dfrac{f(x)}{x-x_0}=A$。 +又$f'(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}=\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f(x)}{x-x_0}=A$。 -如$\lim_{x\to 1}\dfrac{f(x)}{x-1}=2$且$f(x)$连续，可以推出$f(1)=0$与$f'(1)=2$。 +如$\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{f(x)}{x-1}=2$且$f(x)$连续，可以推出$f(1)=0$与$f'(1)=2$。 \section{函数求导法则} @@ -182,10 +182,10 @@ $ \begin{aligned} & (u\cdot v)' \\ & =f'(x) \\ - & =\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} \\ - & =\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{u(x+\Delta x)v(x+\Delta x)-u(x)v(x)}{\Delta x} \\ - & =\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{u(x+\Delta x)v(x+\Delta x)-u(x)v(x+\Delta x)+u(x)v(x+\Delta x)-u(x)v(x)}{\Delta x} \\ - & =\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{u(x+\Delta x)-u(x)}{\Delta x}v(x+\Delta x) +\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{v(x+\Delta x)-v(x)}{\Delta x}u(x) \\ + & =\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} \\ + & =\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{u(x+\Delta x)v(x+\Delta x)-u(x)v(x)}{\Delta x} \\ + & =\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{u(x+\Delta x)v(x+\Delta x)-u(x)v(x+\Delta x)+u(x)v(x+\Delta x)-u(x)v(x)}{\Delta x} \\ + & =\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{u(x+\Delta x)-u(x)}{\Delta x}v(x+\Delta x) +\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{v(x+\Delta x)-v(x)}{\Delta x}u(x) \\ & =u'(x)v(x)+v'(x)u(x) \end{aligned} $ @@ -273,7 +273,7 @@ $ 在分段点用定义： -判断$f'_+(x_0)=\lim_{x\to x_0^+}\dfrac{f_1(x)-f(x_0)}{x-x_0}\overset{?}{=}\lim_{x\to x_0^-}\dfrac{f_2(x)-f(x_0)}{x-x_0}$。 +判断$f'_+(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0^+}\dfrac{f_1(x)-f(x_0)}{x-x_0}\overset{?}{=}\lim\limits_{x\to x_0^-}\dfrac{f_2(x)-f(x_0)}{x-x_0}$。 非分段点使用导数公式求导：$x>x_0,f'(x)=f_1'(x),x<0，f'(x)=f_2'(x)$。 @@ -317,9 +317,9 @@ $\therefore y'=\left(x^{\frac{1}{x}}\right)=\left(e^{\frac{1}{x}\ln x}\right)'=x $0e$时函数在区间减。 -研究驻点左侧情况，求对应的极限：$e^{\lim_{x\to 0^+}\frac{\ln x}{x}}=e^{-\infty}\to 0$。 +研究驻点左侧情况，求对应的极限：$e^{\lim\limits_{x\to 0^+}\frac{\ln x}{x}}=e^{-\infty}\to 0$。 -研究驻点右侧情况，求对应的极限：$e^{\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x}}=e^0\to 1$。 +研究驻点右侧情况，求对应的极限：$e^{\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x}}=e^0\to 1$。 \begin{tikzpicture}[scale=0.5] \draw[-latex](-0.5,0) -- (10,0) node[below]{$x$}; @@ -340,7 +340,7 @@ $0