From 75d10af95b513da5e145998d255228c93ba99b12 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Didnelpsun <48906416+Didnelpsun@users.noreply.github.com> Date: Sun, 14 Feb 2021 23:09:06 +0800 Subject: [PATCH] =?UTF-8?q?=E5=AF=BC=E6=95=B0=E4=BE=8B=E9=A2=98=E6=9B=B4?= =?UTF-8?q?=E6=96=B0?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- .../continuity-and-discontinuity.tex | 27 ++++- .../derivative-and-differentiate.tex | 106 +++++++++++++++++- 2 files changed, 130 insertions(+), 3 deletions(-) diff --git a/advanced-math/exercise/2-continuity-and-discontinuity/continuity-and-discontinuity.tex b/advanced-math/exercise/2-continuity-and-discontinuity/continuity-and-discontinuity.tex index 34343d8..2b66829 100644 --- a/advanced-math/exercise/2-continuity-and-discontinuity/continuity-and-discontinuity.tex +++ b/advanced-math/exercise/2-continuity-and-discontinuity/continuity-and-discontinuity.tex @@ -38,11 +38,34 @@ \subsection{求连续区间} -若要考察一个函数的连续区间，必须要了解函数的所有部分，一般会给出分段函数，所以要了解分段函数的每段函数的性质。\medskip +若要考察一个函数的连续区间，必须要了解函数的所有部分，一般会给出分段函数，所以要了解分段函数的每段函数的性质。 + +对于函数$f(x)$是个极限表达形式，我们要简化这个极限，最好得到一个$x$的表达式，从而才能判断其连续区间。\medskip \textbf{例题：}$f(x)=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{x+x^2e^{nx}}{1+e^{nx}}$，求函数连续区间。\medskip -注意到函数的形式为一个极限值，其极限趋向的变量为$n$（$n\to\infty$指$n\to+\infty$）。 +注意到函数的形式为一个极限值，其极限趋向的变量为$n$（$n\to\infty$指$n\to+\infty$）。所以在该极限式子中将$x$当作类似$t$的常数。 + +需要先求出极限形式的$f(x)$，而$x$变量的取值会影响到极限，且求的就是$x$的取值范围。所以将其分为三段： + +当$x<0$时，$nx\to-\infty$，$\therefore e^{nx}\to 0$，$x^2$在这个极限式子为一个常数，$\therefore x^2e^{nx}\to 0$，$f(x)=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{x+x^2e^{nx}}{1+e^{nx}}=\dfrac{x+0}{1+0}=x$。\medskip + +当$x=0$时，$f(x)=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{x+x^2e^{nx}}{1+e^{nx}}=\dfrac{0}{2}=0$。\medskip + +当$x>0$时，$e^{nx}$在$n\to\infty$时为$\infty$，上下都有这个无穷大的因子，所以上下都除以$e^{nx}$，$f(x)=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{x+x^2e^{nx}}{1+e^{nx}}=f(x)=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{xe^{-nx}+x^2}{1+e^{-nx}}=\dfrac{0+x^2}{1}=x^2$。\medskip + +从而得到了$f(x)$关于$x$的表达式：\medskip + +$f(x)=\left\{\begin{array}{lcl} + x, & & x<0 \\ + 0, & & x=0 \\ + x^2, & & x>0 +\end{array} +\right.$\medskip + +又$\lim\limits_{x\to 0^-}f(x)=\lim\limits_{x\to 0^-}x=\lim\limits_{x\to 0^+}f(x)=\lim\limits_{x\to 0^-}x^2=f(0)=0$。 + +$f(x)$在$R$上连续。 \subsection{已知连续区间求参数} diff --git a/advanced-math/exercise/3-derivative-and-differentiate/derivative-and-differentiate.tex b/advanced-math/exercise/3-derivative-and-differentiate/derivative-and-differentiate.tex index 353a1a7..7ffb96e 100644 --- a/advanced-math/exercise/3-derivative-and-differentiate/derivative-and-differentiate.tex +++ b/advanced-math/exercise/3-derivative-and-differentiate/derivative-and-differentiate.tex @@ -34,12 +34,116 @@ \setcounter{page}{1} \section{一阶导数} +\subsection{分段函数导数} + +当给出一个分段函数，要求求出该函数的导数时，最重要的就是分段点是否可导，计算分段点的导数，如果两边的导数不相等，则需要挖去该点。\medskip + +\textbf{例题：}设$f(x)=\left\{\begin{array}{lcl} + \arctan x, & & x\leqslant 1 \\ + \dfrac{1}{2}(e^{x^2-1}-x)+\dfrac{\pi}{4}, & & x>1 +\end{array} +\right.$，求$f'(x)$。 + +当$x\leqslant 1$时，$f'(x)=\dfrac{1}{1+x^2}$，当$x>1$时，$f'(x)=xe^{x^2-1}-\dfrac{1}{2}$。 + +然后需要查看分段点两边的导数是否一样：$f'_-(1)=\dfrac{1}{1+x^2}\,\bigg\vert_{x=1}=\dfrac{1}{1+1}=\dfrac{1}{2}$，$f'_+(1)=xe^{x^2-1}-\dfrac{1}{2}\,\bigg\vert_{x=1}=1\cdot e^{1-1}-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}$。\medskip + +$\therefore f'_-(1)=f'_+(1)$，所以该点可导。\medskip + +$f(x)=\left\{\begin{array}{lcl} + \dfrac{1}{1+x^2}, & & x\leqslant 1 \\ + xe^{x^2-1}-\dfrac{1}{2}, & & x>1 +\end{array} +\right.$。 + \subsection{导数存在性} -导数存在即可导。 +导数存在即可导。而该点左右导数都相等该点才可导。 + +可导必连续，连续不一定可导。 + +导数的定义：$\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$。 + +导数的存在性：若$\lim\limits_{x\to x_0}f'(x)$存在，则$f'(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0}f'(x)$。\medskip + +\textbf{例题：}设$f(x)=\left\{\begin{array}{lcl} + \dfrac{\ln(1+bx)}{x}, & & x\neq 0 \\ + -1, & & x=0 +\end{array} +\right.$，其中$b$为某常数，$f(x)$在定义域上处处可导，求$f'(x)$。 + +首先需要求出参数$b$，而定义域上可导则在分段点$x=0$处也必然可导。 + +而可导必连续，所以当$x=0$时$f(x)$也是连续的，而连续的定义就是两边极限相等，且两边极限等于该点函数值。\medskip + +$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\ln(1+bx)}{x}=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{bx}{x}=b=-1$。从而可以完善函数与定义域。\medskip + +$\therefore f(x)=\left\{\begin{array}{lcl} + \dfrac{\ln(1-x)}{x}, & & x<1,x\neq 0 \\ + -1, & & x=0 +\end{array} +\right.$。 + +这样就能转换为直接求导数问题。 + +对于定义域的$x<1,x\neq 0$部分：\medskip + +$f'(x)=\dfrac{\dfrac{-x}{1-x}-\ln(1-x)}{x^2}=\dfrac{x-(x-1)\ln(1-x)}{x^2(x-1)}\,(x<1,x\neq 0)$。 + +然后需要求分段点$x=0$处的导数。 + +可以由导数的定义：、 + +根据导数的定义是某点偏移量的极限值$\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$： + +$f'(0)=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}$\medskip + +$=\dfrac{\dfrac{\ln(1-x)}{x}-(-1)}{x-0}$\medskip + +$=\dfrac{\dfrac{\ln(1-x)}{x}+1}{x}$\medskip + +$=\dfrac{\ln(1-x)+x}{x^2}$ + +泰勒公式：$=\dfrac{-x-\dfrac{1}{2}x^2+o(x^2)+x}{x^2}=-\dfrac{1}{2}$。\medskip + +$\therefore f'(x)=\left\{\begin{array}{lcl} + \dfrac{x-(x-1)\ln(1-x)}{x^2(x-1)}, & & x<1,x\neq 0 \\ + -\dfrac{1}{2}, & & x=0 +\end{array} +\right.$。\medskip + +同样也可以使用导数的存在性： + +$\because f(x)$在$x=0$处连续，$\therefore x=0$的空心邻域上可导。从而$\lim\limits_{x\to x_0}f'(x)$存在。 + +$\therefore f'(0)=\lim\limits_{x\to 0}f'(x)$。计算过程类似。 \subsection{导数连续性} +导数具有连续性与之前的函数连续性类似，不过要对函数求导数罢了。 + +要求导数两侧的极限并让其相等。\medskip + +\textbf{例题：}设$f(x)=\left\{\begin{array}{lcl} + x^2, & & x\leqslant 0 \\ + x^\alpha\sin\dfrac{1}{x}, & & x>0 +\end{array} +\right.$，若$f'(x)$连续，则$\alpha$应该满足？ + +若导数连续，则两侧导数相等。 + +$\lim\limits_{x\to 0^-}f'(x)=\lim\limits_{x\to 0^-}2x=0$。 + +$\lim\limits_{x\to 0^+}f'(x)=\lim\limits_{x\to 0^+}\alpha x^{\alpha-1}\sin\dfrac{1}{x}-x^{\alpha-2}\cos\dfrac{1}{x}=\lim\limits_{x\to 0^+}x^{\alpha-2}\left(\alpha x\sin\dfrac{1}{x}-\cos\dfrac{1}{x}\right)$。 + +$\because x\to 0^+$时，$\sin\dfrac{1}{x}\in[-1,1]$，$\therefore\alpha x\sin\dfrac{1}{x}=0$，$-\cos\dfrac{1}{x}\in[-1,1]$，$\therefore \alpha x\sin\dfrac{1}{x}-\cos\dfrac{1}{x}$为一个不为0的常数。 + +又$\lim\limits_{x\to 0^+}f'(x)=\lim\limits_{x\to 0^+}x^{\alpha-2}\left(\alpha x\sin\dfrac{1}{x}-\cos\dfrac{1}{x}\right)=\lim\limits_{x\to 0^-}f'(x)=0$。 + +$\therefore\lim\limits_{x\to 0^+}x^{\alpha-2}=0$。 + +$\therefore\alpha-2>0$，从而$\alpha>2$。 + \subsection{已知导数求极限} \section{高阶导数}