diff --git a/linear-algebra/exercise/3-vector/vector.pdf b/linear-algebra/exercise/3-vector/vector.pdf index c9e6b5c..9fd310d 100644 Binary files a/linear-algebra/exercise/3-vector/vector.pdf and b/linear-algebra/exercise/3-vector/vector.pdf differ diff --git a/linear-algebra/exercise/3-vector/vector.tex b/linear-algebra/exercise/3-vector/vector.tex index ab5cbc7..3e81c44 100644 --- a/linear-algebra/exercise/3-vector/vector.tex +++ b/linear-algebra/exercise/3-vector/vector.tex @@ -2,6 +2,7 @@ % UTF8编码，ctexart现实中文 \usepackage{color} % 使用颜色 +\definecolor{orange}{RGB}{255,127,0} \usepackage{geometry} \setcounter{tocdepth}{4} \setcounter{secnumdepth}{4} @@ -22,6 +23,8 @@ % 数学公式 \usepackage[colorlinks,linkcolor=black,urlcolor=blue]{hyperref} % 超链接 +\usepackage{arydshln} +% 增广矩阵长虚线 \author{Didnelpsun} \title{向量} \date{} @@ -37,8 +40,146 @@ \section{线性相关性} +\subsection{代入重组} + +若要求线性相关的式子由其他向量构成，则将式子代入表示目标式子。 + +\textbf{例题：}设$\alpha_1$，$\alpha_2$，$\beta_1$，$\beta_2$，$\beta_3$都是$n$维向量，$n\geqslant3$，且$\beta_1=\alpha_1+\alpha_2$，$\beta_2=\alpha_1-2\alpha_2$，$\beta_3=3\alpha+1+2\alpha_2$，证明向量组$\beta_1$，$\beta_2$，$\beta_3$线性相关。 + +证明：若存在$k_1,k_2,k_3$使得$k_1\beta_1+k_2\beta_2+k_3\beta_3=0$。 + +代入$\alpha$表示$\beta$的式子：$k_1(\alpha_1+\alpha_2)+k_2(\alpha_1-2\alpha_2)+k_3(3\alpha_1+2\alpha_2)=0$。 + +$\therefore(k_1+k_2+3k_3)\alpha_1+(k_1-2k_2+2k_3)\alpha_2=0$。 + +$\therefore k_1+k_2+3k_3=0$，且$k_1-2k_2+2k_3=0$即可。 + +而未知数的个数大于方程个数，所以有无穷多解，从而必然有非零解，从而$\beta_1$，$\beta_2$，$\beta_3$线性相关。 + +\subsection{同乘} + +若要求线性相关的式子存在一定的乘积关系，则可以用同乘一步步消去系数。 + \textbf{例题：}设$A$是$n$阶矩阵，若存在正整数$k$，使得线性方程组$A^kx=0$有解向量$\alpha$，且$A^{k-1}\alpha\neq0$，证明向量组$\alpha,A\alpha,\cdots,A^{k-1}\alpha$线性无关。 -证明： +证明：假设$\alpha,A\alpha,\cdots,A^{k-1}\alpha$线性相关，则设存在系数$\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_k$使得$\lambda_1\alpha+\lambda_2A\alpha+\cdots+\lambda_kA^{k-1}\alpha=0$。 + +$\because A^kx=0$的解为$\alpha$，$\therefore A^k\alpha=0$，$\therefore\cdots=A^{k+2}\alpha=A^{k+1}\alpha=A^k\alpha=0$。 + +左乘$A^{k-1}$，得到$\lambda_1A^{k-1}\alpha+\lambda_2A^k\alpha+\cdots+\lambda_kA^{2k-2}\alpha=\lambda_1A^{k-1}\alpha=0$。 + +$\because A^{k-1}\alpha\neq0$，$\therefore\lambda_1=0$，消去$\lambda_1$：$\lambda_2A\alpha+\lambda_3A^2\alpha+\cdots+\lambda_kA^{k-1}\alpha=0$。 + +左乘$A^{k-2}$，得到$\lambda_2A^{k-1}\alpha+\lambda_3A^k\alpha+\cdots+\lambda_kA^{2k-3}\alpha=\lambda_2A^{k-1}\alpha=0$。 + +$\because A^{k-1}\alpha\neq0$，$\therefore\lambda_2=0$，消去$\lambda_2$：$\lambda_3A^2\alpha+\lambda_4A^3\alpha+\cdots+\lambda_kA^{k-1}\alpha=0$。 + +同理依次左乘$A^n$，所以$\lambda_1=\lambda_2=\cdots=\lambda_k=0$，所以$\alpha,A\alpha,\cdots,A^{k-1}\alpha$线性无关。 + +\subsection{行列式} + +对向量的线性相关性可以从其向量组组成的行列式来计算，若行列式值为0则线性相关，若行列式值不为0则线性无关。 + +\textbf{例题：}设$a_1,a_2,\cdots,a_s$是$s$个互不相同的数，探究$s$个$n$维列向量$\alpha_i=[1,a_i,a_i^a,\cdots,a_i^{n-1}]^T$（$i=1,2,\cdots,s$）的线性相关性。 + +解：当$s>n$时，有$n$个方程$s$个未知数，所以必然存在自由变量，从而必然线性相关性。 + +当$s=n$时，$\vert\alpha_1 \alpha_2 \cdots \alpha_n\vert=\left|\begin{array}{cccc} + 1 & 1 & \cdots & 1 \\ + a_1 & a_2 & \cdots & a_n \\ + \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ + a_1^{n-1} & a_2^{n-1} & \cdots & a_n^{n-1} +\end{array}\right|=\prod\limits_{1\leqslant j\leqslant i\leqslant n}(a_i-a_j)\neq0$。所以线性无关。 + +当$sn$时线性相关，$s\leqslant n$时线性无关。 + +\section{极大线性无关组与向量组秩} + +极大线性无关组一般与向量组秩在一起使用。一般解出极大线性无关组与秩，还要用极大线性无关组表示出其余的向量，基本步骤： + +\begin{enumerate} + \item 将向量组拼接为矩阵$A$，对$A$进行初等行变换，化为最简行阶梯形矩阵，确定矩阵秩$r(A)$。 + \item 在最简行阶梯矩阵中按列找出一个秩为$r(A)$的子矩阵，即在每个台阶上找一列列向量，找$r(A)$列构成一个新矩阵，其就是一个极大线性无关组。 + \item 将其余向量依次与极大线性无关组进行对比解出表示方法。 +\end{enumerate} + +\textcolor{orange}{注意：}求向量组的秩可以进行初等变换，包括行变换和列变换。但是求极大线性无关组时最好只使用行变换，因为列变换会改变方程的解。从而解方程组只能做行变换。 + +\section{等价向量组} + +$r(A)=r(B)=r(A|B)$，所以需要计算三个向量组构成的矩阵的秩就可以了。 + +\textbf{例题：}设向量组$\alpha$：$\alpha_1=[1,0,2]^T$，$\alpha_2=[0,1,1]^T$，$\alpha_3=[2,-1,a+4]^T$，向量组$\beta$：$\beta_1=[1,2,4]^T$，$\beta_2=[1,-1,a+2]^T$，$\beta_3=[3,3,10]^T$。 + +矩阵$A=\left(\begin{array}{ccc} + 1 & 0 & 2 \\ + 0 & 1 & -1 \\ + 2 & 1 & a+4 +\end{array}\right)$，$B=\left(\begin{array}{ccc} + 1 & 1 & 3 \\ + 2 & -1 & 3 \\ + 4 & a+2 & 10 +\end{array}\right)$。\medskip + +(1)$AB$是否等价。 + +(2)向量组$AB$是否等价。 + +(1)解：化简$A=\left(\begin{array}{ccc} + 1 & 0 & 2 \\ + 0 & 1 & -1 \\ + 0 & 0 & a+1 +\end{array}\right)$，$B=\left(\begin{array}{ccc} + 1 & 3 & 1 \\ + 0 & 1 & 1 \\ + 0 & 0 & a +\end{array}\right)$ + +若$a\neq-1$，则$r(A)=3$，且$a\neq0$，则$r(B)=3$，此时$AB$等价。 + +若$a=-1$，则$r(A)=2$，$r(B)=3$，$AB$不等价。 + +若$a=0$，则$r(B)=2$，$r(A)=2$，$AB$不等价。 + +(2)解：因为向量组$\alpha$拼接在一起就是$A$，$\beta$拼接在一起就是$B$，所以$r(\alpha)=r(A)$，$r(\beta)=r(B)$，$r(\alpha|\beta)=r(A|B)$。 + +将$AB$拼在一起做行变换，得到$(A|B)=\left(\begin{array}{c:c} + \begin{matrix} + 1 & 0 & 2 \\ + 0 & 1 & -1 \\ + 0 & 0 & a+1 + \end{matrix}& + \begin{matrix} + 1 & 1 & 3 \\ + 2 & -1 & 3 \\ + 0 & a+1 & 1 + \end{matrix} +\end{array}\right)$。\medskip + +若$a\neq-1\neq0$，则$r(A)=r(B)=r(A|B)$。向量组等价。 + +若$a=-1$或$a=0$，则$r(A)\neq r(B)$，所以不等价。 + +\section{向量空间} + +\textbf{例题：}设$R^3$中有两个基$A$：$\alpha_1=[1,1,0]^T$，$\alpha_2=[0,1,1]^T$，$\alpha_3=[1,0,1]^T$，基$B$：$\beta_1=[1,0,0]^T$，$\beta_2=[1,1,0]^T$，$\beta_3=[1,1,1]^T$。 + +(1)求基$B$到基$A$的过渡矩阵。 + +(2)已知$\xi$在基$B$下的坐标为$[1,0,2]^T$，求$\xi$在基$A$下的坐标。 + +(1)解：过渡矩阵为$A=BC$，即$B^{-1}A=C$。 + +(2)解：令在基$A$下的坐标为$(x_1,x_2,x_3)^T$。 + +$\therefore\xi=A(x_1,x_2,x_3)^T=B(1,0,2)^T$，$(x_1,x_2,x_3)^T=A^{-1}B(1,0,2)^T$。 \end{document} diff --git a/linear-algebra/knowledge/2-matrix/matrix.pdf b/linear-algebra/knowledge/2-matrix/matrix.pdf index a926e1b..987d694 100644 Binary files a/linear-algebra/knowledge/2-matrix/matrix.pdf and b/linear-algebra/knowledge/2-matrix/matrix.pdf differ diff --git a/linear-algebra/knowledge/2-matrix/matrix.tex b/linear-algebra/knowledge/2-matrix/matrix.tex index e9f170b..812b75d 100644 --- a/linear-algebra/knowledge/2-matrix/matrix.tex +++ b/linear-algebra/knowledge/2-matrix/matrix.tex @@ -28,6 +28,7 @@ \usepackage{multicol} % 分栏 \usepackage{arydshln} +% 增广矩阵长虚线 \setlength{\dashlinegap}{1pt} \setlength{\dashlinedash}{1pt} % 阶梯矩阵的虚线 @@ -510,195 +511,6 @@ $=a_{1j}^2+a_{2j}^2+\cdots+a_{mj}^2=0$，所以$a_{1j}=a_{2j}=\cdots+a_{mj}=0$ $\therefore A=O$。 -\section{线性方程组} - -矩阵是根据线性方程组得到。 - -\subsection{线性方程组与矩阵} - -\begin{multicols}{2} - - $\begin{cases} - a_{11}x_1+\cdots+a_{1n}x_n=0 \\ - \cdots \\ - a_{m1}x_1+\cdots+a_{mn}x_n=0 - \end{cases}$ \medskip - - $n$元齐次线性方程组。 - - $\begin{cases} - a_{11}x_1+\cdots+a_{1n}x_n=b_1 \\ - \cdots \\ - a_{m1}x_1+\cdots+a_{mn}x_n=b_n - \end{cases}$ \medskip - - $n$元非齐次线性方程组。 - -\end{multicols} - -对于齐次方程，$x_1=\cdots=x_n=0$一定是其解，称为其\textbf{零解}，若有一组不全为零的解，则称为其\textbf{非零解}。其一定有零解，但是不一定有非零解。 - -对于非齐次方程，只有$b_1\cdots b_n$不全为零才是。\medskip - -令\textbf{系数矩阵}$A_{m\times n}=\left( - \begin{array}{ccc} - a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ - \cdots \\ - a_{m1} & \cdots & a_{mn} - \end{array} -\right)$，\textbf{未知数矩阵}$x_{n\times 1}=\left( - \begin{array}{c} - x_1 \\ - \cdots \\ - x_n - \end{array} -\right)$，\textbf{常数项矩阵}$b_{m\times 1}=\left( - \begin{array}{c} - b_1 \\ - \cdots \\ - b_m - \end{array} -\right)$，\textbf{增广矩阵}$B_{m\times(n+1)}=\left( - \begin{array}{c:c} - \begin{matrix} - a_{11} & \cdots & a_{1n}\\ - \cdots \\ - a_{m1} & \cdots & a_{mn} - \end{matrix}& - \begin{matrix} - b_1\\ - \\ - b_n - \end{matrix} - \end{array} -\right)$。 - -所以$AX=\left( - \begin{array}{c} - a_11x_1+\cdots+a_{1n}x_n \\ - \cdots \\ - a_{m1}x_1+\cdots+a_{mn}x_n - \end{array} -\right)$。 - -从而$AX=b$等价于$\begin{cases} - a_{11}x_1+\cdots+a_{1n}x_n=b_1 \\ - \cdots \\ - a_{m1}x_1+\cdots+a_{mn}x_n=b_n -\end{cases}$，当$b=O$就是齐次线性方程。 - -从而矩阵可以简单表示线性方程。 - -\subsection{矩阵乘法与线性变换} - -矩阵乘法实际上就是线性方程组的线性变换，将一个变量关于另一个变量的关系式代入原方程组，得到与另一个变量的关系。 - -$\begin{cases} - y_1=a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1s}x_s \\ - \cdots \\ - y_m=a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\cdots+a_{ms}x_s -\end{cases}\begin{cases} - x_1=b_{11}t_1+b_{12}t_2+\cdots+b_{1n}t_n \\ - \cdots \\ - x_s=b_{s1}t_1+b_{s2}t_2+\cdots+b_{sn}t_n -\end{cases}$\medskip - -原本是线性方程分别是$y$与$x$和$x$与$t$的关系式，而如果将$t$关于$x$的关系式代入$x$关于$y$的关系式中，就会得到$t$关于$y$的关系式：\medskip - -$\begin{cases} - y_1=a_{11}(b_{11}t_1+\cdots+b_{1n}t_n)+\cdots+a_{1s}(b_{s1}t_1+b_{s2}t_2+\cdots+b_{sn}t_n) \\ - \cdots \\ - y_m=a_{m1}(b_{11}t_1+\cdots+b_{1n}t_n)+\cdots+a_{ms}(b_{s1}t_1+b_{s2}t_2+\cdots+b_{sn}t_n) -\end{cases}$ - -$=\begin{cases} - y_1=(a_{11}b_{11}+\cdots+a_{1s}b_{s1})t_1+\cdots+(a_{11}b_{1n}+\cdots+a_{1s}b_{sn})t_n \\ - \cdots \\ - y_m=(a_{m1}b_{11}+\cdots+a_{ms}b_{s1})t_1+\cdots+(a_{m1}b_{1n}+\cdots+a_{ms}b_{sn})t_m -\end{cases}$ \medskip - -这可以看作上面两个线性方程组相乘，也可以将线性方程组表示为矩阵，进行相乘就得到乘积，从而了解矩阵乘积与线性方程组的关系：\medskip - - -$\left(\begin{array}{ccc} - a_{11} & \cdots & a_{1s} \\ - \vdots & \ddots & \vdots \\ - a_{m1} & \cdots & a_{ms} -\end{array}\right)_{m\times s}\left(\begin{array}{ccc} - b_{11} & \cdots & a_{1n} \\ - \vdots & \ddots & \vdots \\ - b_{s1} & \cdots & b_{sn} -\end{array}\right)_{s\times n}$ - -$=\left(\begin{array}{ccc} - a_{11}b_{11}+\cdots+a_{1s}b_{s1} & \cdots & a_{11}b_{1n}+\cdots+a_{1s}b_{sn} \\ - \vdots & \ddots & \vdots \\ - a_{m1}b_{11}+\cdots+a_{ms}b_{s1} & \cdots & a_{m1}b_{1n}+\cdots+a_{ms}b_{sn} -\end{array}\right)_{m\times n}\text{。}$ - -\subsection{线性方程组的解} - -对于一元一次线性方程：$ax=b$： - -\begin{itemize} - \item 当$a\neq 0$时，可以解得$x=\dfrac{b}{a}$。 - \item 当$a=0$时，若$b\neq 0$时，无解，若$b=0$时，无数解。 -\end{itemize} - -当推广到多元一次线性方程组：$Ax=b$，如何求出$x$这一系列的$x$的解？ - -从数学逻辑上看，已知多元一次方程，有$m$个约束方程，有$n$个未知数，假定$m\leqslant n$。 - -当$ms$，则$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$线性相关。（以少表多，多的相关）若向量组$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$可由向量组$\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_s$线性表示，$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$线性无关，则$n\leqslant s$。 + \item 设$m$个$n$维向量$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m$，其中$\alpha_1=[a_{11},a_{12},\cdots,a_{m1}]^T$，$\cdots$，$\alpha_m=[a_{1m},a_{2m},\cdots,a_{mm}]^T$，则向量组$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m$线性相关的充要条件是齐次线性方程$Ax=0$有非零解，其中$A=[\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m]$，$x=[x_1,x_2,\cdots,x_m]^T$。$m$个$n$维向量$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m$线性无关的充要条件是齐次线性方程$Ax=0$只有零解。 + \item 向量$\beta$可由向量组$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$表出，则向量组$\alpha_1x_1+\alpha_2x_2+\cdots+\alpha_nx_n=[\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n][x_1,x_2,\cdots,x_n]^T=\beta$有解，即$r([\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n])=r([\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n,\beta])$。否则则不能表出，则方程无解，$r([\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n])+1=r([\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n,\beta])$ + \item 向量组$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$存在一部分向量线性相关，则整个向量组线性相关。若$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$线性无关，则任意一部分向量组线性无关。 + \item 设$m$个$n$维向量$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m$线性无关，则把这些向量中每个各任意添加$s$个分量所得到的新向量组（$n+s$维）$\alpha_1^*,\alpha_2^*,\cdots,\alpha_m^*$也是线性无关的；如果$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m$线性相关，则每个各去掉相同的若干分量得到的新向量组也线性相关。（原来无关延长无关，原来相关缩短相关） +\end{enumerate} + +\section{极大线性无关组} + +\subsection{概念} + +极大线性无关组\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}在向量组$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$中，若存在部分$a_i,a_j,\cdots,a_k$满足：\ding{172}$a_i,a_j,\cdots,a_k$线性无关。\ding{173}向量组中任一向量$a_s$（$i=1,2,\cdots,n$）均可由$a_i,a_j,\cdots,a_k$线性表出。则称向量组$a_i,a_j,\cdots,a_k$为原向量组的极大线性无关组。 + +不包含无用约束方程的最简方程组的系数矩阵就是极大线性无关组。 + +向量组的极大线性无关组一般不唯一，只由一个零向量组成的向量组不存在极大线性无关组，一个线性无关向量组的极大线性无关组就是其本身。 + +\section{向量组秩} + +向量组构成矩阵的秩等于行向量组的秩等于列向量组的秩。 + +若$A$通过初等行变换为$B$，则$AB$的行向量组是等价向量组，任何对应的部分列向量组都具有同样的线性相关性。 + +若向量组$B$均可由$A$线性表出，则$r(B)\leqslant r(A)$。 + +\section{等价向量组} + +任何一个组都可以由其极大线性无关组来代表。 + +\subsection{定义} + +设两个向量组$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$和$\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_m$，若这两个向量组可以互相线性表出，则称其为等价向量组，记为$\alpha\cong\beta$。 + +具有的性质： + +\begin{enumerate} + \item $A\cong A$（反身性）。 + \item $A\cong B$，则$B\cong A$（对称性）。 + \item $A\cong B$，$B\cong C$，则$A\cong C$（传递性）。 +\end{enumerate} + +向量组和其极大线性无关组是等价向量组。 + +\subsection{判定} + +若$r(A)=r(B)=r(A|B)$，则向量组等价。 + +\subsection{与等价矩阵区别} + +对于矩阵而言，若$A\cong B$，则$AB$同型且$r(A)=r(B)$。 + +对于向量组而言，若$A\cong B$，则$AB$同维（行数相同）且$r(A)=r(B)=r(A|B)$。 + +\section{向量空间} + +\subsection{基本概念} + +若$\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_n$是$n$维向量空间$R^n$中的线性无关的有序向量组，则任意向量$\alpha\in R^n$均可由$\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_n$线性表出，记为$\alpha=a_1\xi_1+a_2\xi_2+\cdots+a_n\xi_n$，类似一个极大线性无关组，则称有序向量组$\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_n$为$R^n$的一个\textbf{基}，基向量的个数$n$为向量空间的\textbf{维数}，而$[a_1,a_2,\cdots,a_n]([a_1,a_2,\cdots,a_n]^T)$为向量$\alpha$在基$\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_n$下的\textbf{坐标}，或称为$\alpha$的坐标行列向量。 + +\subsection{基变换与坐标变换} + +若$\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_n$和$\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_n$是$R^n$中两个基，且有关系：$[\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_n]=[\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_n]C_{n\times n}$，则这个式子称为基$\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_n$到基$\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_n$的\textbf{基变换公式}，矩阵$C$就是基$\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_n$到基$\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_n$的\textbf{过渡矩阵}，$C$可逆，$C$的第$i$列就是$\eta_i$在基$\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_n$下的坐标列向量。 + +$\alpha$在基$\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_n$和基$\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_n$下坐标分别为$x=[x_1,x_2,\cdots,x_n]^T$，$y=[y_1,y_2,\cdots,y_n]^T$，即$\alpha=[\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_n]x=[\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_n]y$。又$C$是基$\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_n$到基$\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_n$的过渡矩阵，则$[\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_n]=[\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_n]C$，则$\alpha=[\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_n]x=[\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_n]y=[\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_n]Cy$，从而$x=Cy$或$y=C^{-1}x$，这个就是\textbf{坐标变换公式}。 + \end{document} diff --git a/linear-algebra/knowledge/4-linear-equations-system/linear-equations-system.pdf b/linear-algebra/knowledge/4-linear-equations-system/linear-equations-system.pdf new file mode 100644 index 0000000..c65ef8b Binary files /dev/null and b/linear-algebra/knowledge/4-linear-equations-system/linear-equations-system.pdf differ diff --git a/linear-algebra/knowledge/4-linear-equations-system/linear-equations-system.tex b/linear-algebra/knowledge/4-linear-equations-system/linear-equations-system.tex new file mode 100644 index 0000000..34b39b7 --- /dev/null +++ b/linear-algebra/knowledge/4-linear-equations-system/linear-equations-system.tex @@ -0,0 +1,264 @@ +\documentclass[UTF8, 12pt]{ctexart} +% UTF8编码，ctexart现实中文 +\usepackage{color} +% 使用颜色 +\usepackage{geometry} +\setcounter{tocdepth}{4} +\setcounter{secnumdepth}{4} +% 设置四级目录与标题 +\geometry{papersize={21cm,29.7cm}} +% 默认大小为A4 +\geometry{left=3.18cm,right=3.18cm,top=2.54cm,bottom=2.54cm} +% 默认页边距为1英尺与1.25英尺 +\usepackage{indentfirst} +\setlength{\parindent}{2.45em} +% 首行缩进2个中文字符 +\usepackage{setspace} +\renewcommand{\baselinestretch}{1.5} +% 1.5倍行距 +\usepackage{amssymb} +% 因为所以 +\usepackage{amsmath} +% 数学公式 +\usepackage[colorlinks,linkcolor=black,urlcolor=blue]{hyperref} +% 超链接 +\usepackage{multicol} +% 分栏 +\usepackage{arydshln} +% 增广矩阵长虚线 +\author{Didnelpsun} +\title{线性方程组} +\date{} +\begin{document} +\maketitle +\pagestyle{empty} +\thispagestyle{empty} +\tableofcontents +\thispagestyle{empty} +\newpage +\pagestyle{plain} +\setcounter{page}{1} +\section{基本概念} + +矩阵是根据线性方程组得到。线性方程组和向量组本质上是一致的。 + +\subsection{线性方程组与矩阵} + +\begin{multicols}{2} + + $\begin{cases} + a_{11}x_1+\cdots+a_{1n}x_n=0 \\ + \cdots \\ + a_{m1}x_1+\cdots+a_{mn}x_n=0 + \end{cases}$ \medskip + + $n$元齐次线性方程组。 + + $\begin{cases} + a_{11}x_1+\cdots+a_{1n}x_n=b_1 \\ + \cdots \\ + a_{m1}x_1+\cdots+a_{mn}x_n=b_n + \end{cases}$ \medskip + + $n$元非齐次线性方程组。 + +\end{multicols} + +$m$是方程个数，即方程组行数，$n$是方程未知数个数，即类似方程组的列数。 + +对于齐次方程，$x_1=\cdots=x_n=0$一定是其解，称为其\textbf{零解}，若有一组不全为零的解，则称为其\textbf{非零解}。其一定有零解，但是不一定有非零解。 + +对于非齐次方程，只有$b_1\cdots b_n$不全为零才是。\medskip + +令\textbf{系数矩阵}$A_{m\times n}=\left( + \begin{array}{ccc} + a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ + \cdots \\ + a_{m1} & \cdots & a_{mn} + \end{array} +\right)$，\textbf{未知数矩阵}$x_{n\times 1}=\left( + \begin{array}{c} + x_1 \\ + \cdots \\ + x_n + \end{array} +\right)$，\textbf{常数项矩阵}$b_{m\times 1}=\left( + \begin{array}{c} + b_1 \\ + \cdots \\ + b_m + \end{array} +\right)$，\textbf{增广矩阵}$B_{m\times(n+1)}=\left( + \begin{array}{c:c} + \begin{matrix} + a_{11} & \cdots & a_{1n}\\ + \cdots \\ + a_{m1} & \cdots & a_{mn} + \end{matrix}& + \begin{matrix} + b_1\\ + \\ + b_n + \end{matrix} + \end{array} +\right)$。 + +所以$AX=\left( + \begin{array}{c} + a_11x_1+\cdots+a_{1n}x_n \\ + \cdots \\ + a_{m1}x_1+\cdots+a_{mn}x_n + \end{array} +\right)$。 + +从而$AX=b$等价于$\begin{cases} + a_{11}x_1+\cdots+a_{1n}x_n=b_1 \\ + \cdots \\ + a_{m1}x_1+\cdots+a_{mn}x_n=b_n +\end{cases}$，当$b=O$就是齐次线性方程。 + +从而矩阵可以简单表示线性方程。 + +\subsection{矩阵乘法与线性变换} + +矩阵乘法实际上就是线性方程组的线性变换，将一个变量关于另一个变量的关系式代入原方程组，得到与另一个变量的关系。 + +$\begin{cases} + y_1=a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1s}x_s \\ + \cdots \\ + y_m=a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\cdots+a_{ms}x_s +\end{cases}\begin{cases} + x_1=b_{11}t_1+b_{12}t_2+\cdots+b_{1n}t_n \\ + \cdots \\ + x_s=b_{s1}t_1+b_{s2}t_2+\cdots+b_{sn}t_n +\end{cases}$\medskip + +原本是线性方程分别是$y$与$x$和$x$与$t$的关系式，而如果将$t$关于$x$的关系式代入$x$关于$y$的关系式中，就会得到$t$关于$y$的关系式：\medskip + +$\begin{cases} + y_1=a_{11}(b_{11}t_1+\cdots+b_{1n}t_n)+\cdots+a_{1s}(b_{s1}t_1+b_{s2}t_2+\cdots+b_{sn}t_n) \\ + \cdots \\ + y_m=a_{m1}(b_{11}t_1+\cdots+b_{1n}t_n)+\cdots+a_{ms}(b_{s1}t_1+b_{s2}t_2+\cdots+b_{sn}t_n) +\end{cases}$ + +$=\begin{cases} + y_1=(a_{11}b_{11}+\cdots+a_{1s}b_{s1})t_1+\cdots+(a_{11}b_{1n}+\cdots+a_{1s}b_{sn})t_n \\ + \cdots \\ + y_m=(a_{m1}b_{11}+\cdots+a_{ms}b_{s1})t_1+\cdots+(a_{m1}b_{1n}+\cdots+a_{ms}b_{sn})t_m +\end{cases}$ \medskip + +这可以看作上面两个线性方程组相乘，也可以将线性方程组表示为矩阵，进行相乘就得到乘积，从而了解矩阵乘积与线性方程组的关系：\medskip + + +$\left(\begin{array}{ccc} + a_{11} & \cdots & a_{1s} \\ + \vdots & \ddots & \vdots \\ + a_{m1} & \cdots & a_{ms} +\end{array}\right)_{m\times s}\left(\begin{array}{ccc} + b_{11} & \cdots & a_{1n} \\ + \vdots & \ddots & \vdots \\ + b_{s1} & \cdots & b_{sn} +\end{array}\right)_{s\times n}$ + +$=\left(\begin{array}{ccc} + a_{11}b_{11}+\cdots+a_{1s}b_{s1} & \cdots & a_{11}b_{1n}+\cdots+a_{1s}b_{sn} \\ + \vdots & \ddots & \vdots \\ + a_{m1}b_{11}+\cdots+a_{ms}b_{s1} & \cdots & a_{m1}b_{1n}+\cdots+a_{ms}b_{sn} +\end{array}\right)_{m\times n}\text{。}$ + +\subsection{线性方程组的解} + +对于一元一次线性方程：$ax=b$： + +\begin{itemize} + \item 当$a\neq 0$时，可以解得$x=\dfrac{b}{a}$。 + \item 当$a=0$时，若$b\neq 0$时，无解，若$b=0$时，无数解。 +\end{itemize} + +当推广到多元一次线性方程组：$Ax=b$，如何求出$x$这一系列的$x$的解？ + +从数学逻辑上看，已知多元一次方程，有$m$个约束方程，有$n$个未知数，假定$m\leqslant n$。 + +当$m