diff --git a/advanced-math/exercise/1-function-and-limit/function-and-limit.pdf b/advanced-math/exercise/1-function-and-limit/function-and-limit.pdf deleted file mode 100644 index a1d3d95..0000000 Binary files a/advanced-math/exercise/1-function-and-limit/function-and-limit.pdf and /dev/null differ diff --git a/advanced-math/exercise/1-limit/limit.pdf b/advanced-math/exercise/1-limit/limit.pdf new file mode 100644 index 0000000..597b359 Binary files /dev/null and b/advanced-math/exercise/1-limit/limit.pdf differ diff --git a/advanced-math/exercise/1-function-and-limit/function-and-limit.tex b/advanced-math/exercise/1-limit/limit.tex similarity index 84% rename from advanced-math/exercise/1-function-and-limit/function-and-limit.tex rename to advanced-math/exercise/1-limit/limit.tex index 251cffe..f5c78df 100644 --- a/advanced-math/exercise/1-function-and-limit/function-and-limit.tex +++ b/advanced-math/exercise/1-limit/limit.tex @@ -28,7 +28,7 @@ \usepackage[colorlinks,linkcolor=black,urlcolor=blue]{hyperref} % 超链接 \author{Didnelpsun} -\title{函数与极限} +\title{极限} \date{} \begin{document} \maketitle @@ -39,99 +39,15 @@ \pagestyle{plain} \setcounter{page}{1} -\section{函数} - -\subsection{中值定理} - -中值定理一般用于判断不等式。 - -\subsubsection{罗尔定理} - -罗尔定理在判断不等式时一般用于零点的状况。 - -\paragraph{直接式子} \leavevmode \medskip - -需要证明所给式子的导数是否在该区间为0即可。 - -\textbf{例题：}证明多项式$f(x)=x^3-3x+a$在$[0,1]$上不可能有两个零点。 - -证明：假设$f(x)=x^3-3x+a$在$[0,1]$有两个零点$x_1$和$x_2$，其中$x_1b>0$，证明：$\dfrac{a-b}{a}<\ln\dfrac{a}{b}<\dfrac{a-b}{b}$。 - -证明：因为$\ln\dfrac{a}{b}=\ln a-\ln b$，所以令$f(x)=\ln x$。 - -所以根据拉格朗日中值定理：$\ln a-\ln b=f'(\xi)(a-b)$（$\xi\in(b,a)$）。 - -又$f'(\xi)=\dfrac{1}{\xi}$，所以$\ln a-\ln b=\dfrac{a-b}{\xi}$。 - -又$\xi\in(b,a)$，所以$\dfrac{1}{\xi}\in(\dfrac{1}{a},\dfrac{1}{b})$。 - -所以$\dfrac{a-b}{a}<\dfrac{a-b}{\xi}<\dfrac{a-b}{b}$，从而$\dfrac{a-b}{a}<\ln\dfrac{a}{b}<\dfrac{a-b}{b}$，得证。 - -\paragraph{查找特定值} \leavevmode \medskip - -对于证明一种不等式，如果里面没有差式，也无法转换为差式，那么就可以考虑制造差式，对于$f(x)$一般选择更高阶的，$a$选择$x$，$b$要根据题目和不等式设置一个常数。 - -一般是0或1。可以先尝试1。 - -\textbf{例题：}当$x>1$时，证明$e^x>ex$。 - -证明：题目中没有差式，所以需要选择一个函数作为基准函数，里面有一个指数函数和一个幂函数，所以选择$e^x$作为基准函数。 - -然后选择一个常数作为$b$值，可以先选一个1作为$b$值：$f(x)-f(1)=f'(\xi)(x-1)$。 - -从而$e^x-e=e^\xi(x-1)$，$\xi\in(1,x)$，所以$e^x-e>e(x-1)$，即$e^x>ex$，得证。 - -\subsubsection{柯西中值定理} - -需要找到两个函数，使得$\dfrac{f(b)-f(a)}{F(b)-F(a)}=\dfrac{f'(\xi)}{F'(\xi)}$。 - -\textbf{例题：}设$00$时，$e^{nx}$在$n\to\infty$时为$\infty$，上下都有这个无穷大的因子，所以上下都除以$e^{nx}$，$f(x)=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{x+x^2e^{nx}}{1+e^{nx}}=f(x)=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{xe^{-nx}+x^2}{1+e^{-nx}}=\dfrac{0+x^2}{1}=x^2$。\medskip - -从而得到了$f(x)$关于$x$的表达式：\medskip - -$f(x)=\left\{\begin{array}{lcl} - x, & & x<0 \\ - 0, & & x=0 \\ - x^2, & & x>0 - \end{array} - \right.$\medskip - -又$\lim\limits_{x\to 0^-}f(x)=\lim\limits_{x\to 0^-}x=\lim\limits_{x\to 0^+}f(x)=\lim\limits_{x\to 0^-}x^2=f(0)=0$。 - -$f(x)$在$R$上连续。 - -\subsection{已知连续区间求参数} - -一般会给出带有参数的分段函数，要计算参数就必须了解连续区间与函数之间的关系。 - -\textbf{例题：}$f(x)=\left\{\begin{array}{lcl} - 6, & & x\leqslant 0 \\ - \dfrac{e^{ax^3}-1}{x-\arcsin x}, & & x>0 - \end{array} - \right.$，$g(x)=\left\{\begin{array}{lcl} - \dfrac{3\sin(x-1)}{x-1}, & & x<1 \\ - e^{bx}+1, & & x\geqslant 1 - \end{array} - \right.$，\smallskip \\ 若$f(x)+g(x)$在$R$上连续，则求$a,b$。 - -解：已知$f(x)+g(x)$在$R$上连续，但是不能判断$f(x)$与$g(x)$的连续性。 - -所以分开讨论。 - -对于$f(x)$因为左侧为常数函数，所以若是$f(x)$连续，则必然：\medskip - -$\lim\limits_{x\to 0^+}\dfrac{e^{ax^3}-1}{x-\arcsin x}=6$\medskip - -$\therefore\lim\limits_{x\to 0^+}\dfrac{e^{ax^3}-1}{x-\arcsin x}=\lim\limits_{x\to 0^+}\dfrac{ax^3}{x-\arcsin x}$\medskip - -$\text{令}t=\arcsin x\Rightarrow=\lim\limits_{x\to 0^+}\dfrac{a\sin^3t}{\sin t-t}=a\lim\limits_{x\to 0^+}\dfrac{t^3}{\sin t-t}=a\lim\limits_{x\to 0^+}\dfrac{3t^2}{\cos t-1}$ - -$=-6a=6$。 - -$\therefore a=-1$时$f(x)$在$R$上连续。\medskip - -对于$g(x)$，当$x<1$时，$\lim\limits_{x\to 1^-}\dfrac{3\sin(x-1)}{x-1}=\lim\limits_{t\to 0^-}\dfrac{3\sin t}{t}=3$。\medskip - -$\therefore\lim\limits_{x\to 1^+}e^{bx}+1=e^b+1=3$。\medskip - -$\therefore b=\ln 2$时$g(x)$在$R$上连续。\medskip - -$\therefore a=-1,b=\ln 2$时$f(x)+g(x)$在$R$上连续。而$a\neq -1$时$f(x)+g(x)$在$x=0$时不连续，$b\neq\ln 2$时$f(x)+g(x)$在$x=1$时不连续。 - -\section{间断} - -\subsection{求间断点} - -求间断点需要首先分析函数的表达形式。 - -\textbf{例题：}设$f(x)=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{1+x}{1+x^{2n}}$，求其间断点并分析其类型。 - -解：根据函数形式，我们需要首先回顾一下幂函数的性质，幂函数的变化趋势取决于底数。 - -当$x=1$时，$x^n\equiv 1$，当$x\in(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)$时，当$n\to\infty$时，$x^n\to\infty$，而$x\in(-1,1)$时，当$n\to\infty$时，$x^n\to 0$。 - -$\therefore\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{1+x}{1+x^{2n}}=\left\{\begin{array}{lcl} - 0, & & x\in(-\infty,-1]\cup(1,+\infty) \\ - 1, & & x=1 \\ - x+1, & & x\in(-1,1) - \end{array} - \right.$ - -所以分段点为$x=\pm 1$。 - -当$x=-1$时，$f(-1^+)=f(-1^-)=f(-1)=0$，所以在此处连续。 - -当$x=1$时，$f(1^+)=0\neq f(1^-)=2$，所以在此处简短，为跳跃间断点。 - -\subsection{已知间断点求参数} - -这种题目已知间断点，而未知式子中的参数，只用将间断点代入式子并利用极限计算间断点的类型就可以了。 - -\textbf{例题：}$f(x)=\dfrac{e^x-b}{(x-a)(x-b)}$有无穷间断点$x=e$，可去间断点$x=1$，求$ab$的值。 - -解：已知有两个间断点$x=a,x=b$，其中无穷间断点指极限值为无穷的点，可去间断点表示极限值存在且两侧相等，但是与函数值不相等的点。 - -已经给出两个间断点的值为$x=1$和$x=e$，所以$ab$必然对应其中一个，但是不清楚到底谁是谁。 - -当$a=1,b=e$时，$f(x)=\dfrac{e^x-e}{(x-1)(x-e)}$。\medskip - -当$x\to 1$时，$\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{e^x-e}{(x-1)(x-e)}$$=\dfrac{1}{1-e}\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{e^x-e}{x-1}$$=\dfrac{e}{1-e}\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{e^{x-1}-1}{x-1}$$=\dfrac{e}{1-e}\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{x-1}{x-1}$$=\dfrac{e}{1-e}$。\medskip - -$\therefore x=1$为可去间断点。\medskip - - 当$x\to e$时，$\lim\limits_{x\to e}\dfrac{e^x-e}{(x-1)(x-e)}$$=\dfrac{1}{e-1}\lim\limits_{x\to e}\dfrac{e^x-e}{x-e}$$=\dfrac{e}{e-1}\lim\limits_{x\to e}\dfrac{e^{x-1}-1}{x-e}$\medskip$=\dfrac{e}{e-1}\lim\limits_{x\to e}\dfrac{x-1}{x-e}$$=\dfrac{e(e-1)}{e-1}\lim\limits_{x\to e}\dfrac{1}{x-e}=\infty$。\medskip - -$\therefore x=e$为无穷间断点。\medskip - - 当$a=e,b=1$时，$f(x)=\dfrac{e^x-1}{(x-e)(x-1)}$。\medskip - - 而作为分子的$e^x-1$必然为一个常数，当式子趋向$1$或$e$的时候分母两个不等式中的一个不等式必然为一个常数，从而另一个不等式则变为了无穷小，所以$\lim\limits_{x\to 1}f(x)=\lim\limits_{x\to e}f(x)=\infty$。 - -$\therefore a=1,b=e$。 - -\end{document} diff --git a/advanced-math/exercise/2-function/function.pdf b/advanced-math/exercise/2-function/function.pdf new file mode 100644 index 0000000..a29a99c Binary files /dev/null and b/advanced-math/exercise/2-function/function.pdf differ diff --git a/advanced-math/exercise/2-function/function.tex b/advanced-math/exercise/2-function/function.tex new file mode 100644 index 0000000..4de6ea3 --- /dev/null +++ b/advanced-math/exercise/2-function/function.tex @@ -0,0 +1,381 @@ +\documentclass[UTF8, 12pt]{ctexart} +% UTF8编码，ctexart现实中文 +\usepackage{color} +% 使用颜色 +\usepackage{geometry} +\setcounter{tocdepth}{4} +\setcounter{secnumdepth}{4} +% 设置四级目录与标题 +\geometry{papersize={21cm,29.7cm}} +% 默认大小为A4 +\geometry{left=3.18cm,right=3.18cm,top=2.54cm,bottom=2.54cm} +% 默认页边距为1英尺与1.25英尺 +\usepackage{indentfirst} +\setlength{\parindent}{2.45em} +% 首行缩进2个中文字符 +\usepackage{setspace} +\renewcommand{\baselinestretch}{1.5} +% 1.5倍行距 +\usepackage{amssymb} +% 因为所以 +\usepackage{amsmath} +% 数学公式 +\usepackage[colorlinks,linkcolor=black,urlcolor=blue]{hyperref} +% 超链接 +\author{Didnelpsun} +\title{函数} +\date{} +\begin{document} +\maketitle +\pagestyle{empty} +\thispagestyle{empty} +\tableofcontents +\thispagestyle{empty} +\newpage +\pagestyle{plain} +\setcounter{page}{1} +\section{函数连续性} + +\subsection{连续} + +连续则极限值等于函数值。 + +\subsubsection{求连续区间} + +若要考察一个函数的连续区间，必须要了解函数的所有部分，一般会给出分段函数，所以要了解分段函数的每段函数的性质。 + +对于函数$f(x)$是个极限表达形式，我们要简化这个极限，最好得到一个$x$的表达式，从而才能判断其连续区间。\medskip + +\textbf{例题：}$f(x)=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{x+x^2e^{nx}}{1+e^{nx}}$，求函数连续区间。\medskip + +解：注意到函数的形式为一个极限值，其极限趋向的变量为$n$（$n\to\infty$指$n\to+\infty$）。所以在该极限式子中将$x$当作类似$t$的常数。 + +需要先求出极限形式的$f(x)$，而$x$变量的取值会影响到极限，且求的就是$x$的取值范围。所以将其分为三段： + +当$x<0$时，$nx\to-\infty$，$\therefore e^{nx}\to 0$，$x^2$在这个极限式子为一个常数，$\therefore x^2e^{nx}\to 0$，$f(x)=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{x+x^2e^{nx}}{1+e^{nx}}=\dfrac{x+0}{1+0}=x$。\medskip + +当$x=0$时，$f(x)=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{x+x^2e^{nx}}{1+e^{nx}}=\dfrac{0}{2}=0$。\medskip + +当$x>0$时，$e^{nx}$在$n\to\infty$时为$\infty$，上下都有这个无穷大的因子，所以上下都除以$e^{nx}$，$f(x)=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{x+x^2e^{nx}}{1+e^{nx}}=f(x)=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{xe^{-nx}+x^2}{1+e^{-nx}}=\dfrac{0+x^2}{1}=x^2$。\medskip + +从而得到了$f(x)$关于$x$的表达式：\medskip + +$f(x)=\left\{\begin{array}{lcl} + x, & & x<0 \\ + 0, & & x=0 \\ + x^2, & & x>0 + \end{array} + \right.$\medskip + +又$\lim\limits_{x\to 0^-}f(x)=\lim\limits_{x\to 0^-}x=\lim\limits_{x\to 0^+}f(x)=\lim\limits_{x\to 0^-}x^2=f(0)=0$。 + +$f(x)$在$R$上连续。 + +\subsubsection{已知连续区间求参数} + +一般会给出带有参数的分段函数，要计算参数就必须了解连续区间与函数之间的关系。 + +\textbf{例题：}$f(x)=\left\{\begin{array}{lcl} + 6, & & x\leqslant 0 \\ + \dfrac{e^{ax^3}-1}{x-\arcsin x}, & & x>0 + \end{array} + \right.$，$g(x)=\left\{\begin{array}{lcl} + \dfrac{3\sin(x-1)}{x-1}, & & x<1 \\ + e^{bx}+1, & & x\geqslant 1 + \end{array} + \right.$，\smallskip \\ 若$f(x)+g(x)$在$R$上连续，则求$a,b$。 + +解：已知$f(x)+g(x)$在$R$上连续，但是不能判断$f(x)$与$g(x)$的连续性。 + +所以分开讨论。 + +对于$f(x)$因为左侧为常数函数，所以若是$f(x)$连续，则必然：\medskip + +$\lim\limits_{x\to 0^+}\dfrac{e^{ax^3}-1}{x-\arcsin x}=6$\medskip + +$\therefore\lim\limits_{x\to 0^+}\dfrac{e^{ax^3}-1}{x-\arcsin x}=\lim\limits_{x\to 0^+}\dfrac{ax^3}{x-\arcsin x}$\medskip + +$\text{令}t=\arcsin x\Rightarrow=\lim\limits_{x\to 0^+}\dfrac{a\sin^3t}{\sin t-t}=a\lim\limits_{x\to 0^+}\dfrac{t^3}{\sin t-t}=a\lim\limits_{x\to 0^+}\dfrac{3t^2}{\cos t-1}$ + +$=-6a=6$。 + +$\therefore a=-1$时$f(x)$在$R$上连续。\medskip + +对于$g(x)$，当$x<1$时，$\lim\limits_{x\to 1^-}\dfrac{3\sin(x-1)}{x-1}=\lim\limits_{t\to 0^-}\dfrac{3\sin t}{t}=3$。\medskip + +$\therefore\lim\limits_{x\to 1^+}e^{bx}+1=e^b+1=3$。\medskip + +$\therefore b=\ln 2$时$g(x)$在$R$上连续。\medskip + +$\therefore a=-1,b=\ln 2$时$f(x)+g(x)$在$R$上连续。而$a\neq -1$时$f(x)+g(x)$在$x=0$时不连续，$b\neq\ln 2$时$f(x)+g(x)$在$x=1$时不连续。 + +\subsection{间断} + +\subsubsection{求间断点} + +求间断点需要首先分析函数的表达形式。 + +\textbf{例题：}设$f(x)=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{1+x}{1+x^{2n}}$，求其间断点并分析其类型。 + +解：根据函数形式，我们需要首先回顾一下幂函数的性质，幂函数的变化趋势取决于底数。 + +当$x=1$时，$x^n\equiv 1$，当$x\in(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)$时，当$n\to\infty$时，$x^n\to\infty$，而$x\in(-1,1)$时，当$n\to\infty$时，$x^n\to 0$。 + +$\therefore\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{1+x}{1+x^{2n}}=\left\{\begin{array}{lcl} + 0, & & x\in(-\infty,-1]\cup(1,+\infty) \\ + 1, & & x=1 \\ + x+1, & & x\in(-1,1) + \end{array} + \right.$ + +所以分段点为$x=\pm 1$。 + +当$x=-1$时，$f(-1^+)=f(-1^-)=f(-1)=0$，所以在此处连续。 + +当$x=1$时，$f(1^+)=0\neq f(1^-)=2$，所以在此处简短，为跳跃间断点。 + +\subsubsection{已知间断点求参数} + +这种题目已知间断点，而未知式子中的参数，只用将间断点代入式子并利用极限计算间断点的类型就可以了。 + +\textbf{例题：}$f(x)=\dfrac{e^x-b}{(x-a)(x-b)}$有无穷间断点$x=e$，可去间断点$x=1$，求$ab$的值。 + +解：已知有两个间断点$x=a,x=b$，其中无穷间断点指极限值为无穷的点，可去间断点表示极限值存在且两侧相等，但是与函数值不相等的点。 + +已经给出两个间断点的值为$x=1$和$x=e$，所以$ab$必然对应其中一个，但是不清楚到底谁是谁。 + +当$a=1,b=e$时，$f(x)=\dfrac{e^x-e}{(x-1)(x-e)}$。\medskip + +当$x\to 1$时，$\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{e^x-e}{(x-1)(x-e)}$$=\dfrac{1}{1-e}\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{e^x-e}{x-1}$$=\dfrac{e}{1-e}\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{e^{x-1}-1}{x-1}$$=\dfrac{e}{1-e}\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{x-1}{x-1}$$=\dfrac{e}{1-e}$。\medskip + +$\therefore x=1$为可去间断点。\medskip + + 当$x\to e$时，$\lim\limits_{x\to e}\dfrac{e^x-e}{(x-1)(x-e)}$$=\dfrac{1}{e-1}\lim\limits_{x\to e}\dfrac{e^x-e}{x-e}$$=\dfrac{e}{e-1}\lim\limits_{x\to e}\dfrac{e^{x-1}-1}{x-e}$\medskip$=\dfrac{e}{e-1}\lim\limits_{x\to e}\dfrac{x-1}{x-e}$$=\dfrac{e(e-1)}{e-1}\lim\limits_{x\to e}\dfrac{1}{x-e}=\infty$。\medskip + +$\therefore x=e$为无穷间断点。\medskip + + 当$a=e,b=1$时，$f(x)=\dfrac{e^x-1}{(x-e)(x-1)}$。\medskip + + 而作为分子的$e^x-1$必然为一个常数，当式子趋向$1$或$e$的时候分母两个不等式中的一个不等式必然为一个常数，从而另一个不等式则变为了无穷小，所以$\lim\limits_{x\to 1}f(x)=\lim\limits_{x\to e}f(x)=\infty$。 + +$\therefore a=1,b=e$。 + +\section{中值定理} + +中值定理一般用于判断不等式。 + +\subsection{罗尔定理} + +罗尔定理在判断不等式时一般用于零点的状况。 + +\subsubsection{直接式子} + +需要证明所给式子的导数是否在该区间为0即可。 + +\textbf{例题：}证明多项式$f(x)=x^3-3x+a$在$[0,1]$上不可能有两个零点。 + +证明：假设$f(x)=x^3-3x+a$在$[0,1]$有两个零点$x_1$和$x_2$，其中$x_1b>0$，证明：$\dfrac{a-b}{a}<\ln\dfrac{a}{b}<\dfrac{a-b}{b}$。 + +证明：因为$\ln\dfrac{a}{b}=\ln a-\ln b$，所以令$f(x)=\ln x$。 + +所以根据拉格朗日中值定理：$\ln a-\ln b=f'(\xi)(a-b)$（$\xi\in(b,a)$）。 + +又$f'(\xi)=\dfrac{1}{\xi}$，所以$\ln a-\ln b=\dfrac{a-b}{\xi}$。 + +又$\xi\in(b,a)$，所以$\dfrac{1}{\xi}\in(\dfrac{1}{a},\dfrac{1}{b})$。 + +所以$\dfrac{a-b}{a}<\dfrac{a-b}{\xi}<\dfrac{a-b}{b}$，从而$\dfrac{a-b}{a}<\ln\dfrac{a}{b}<\dfrac{a-b}{b}$，得证。 + +\subsubsection{查找特定值} + +对于证明一种不等式，如果里面没有差式，也无法转换为差式，那么就可以考虑制造差式，对于$f(x)$一般选择更高阶的，$a$选择$x$，$b$要根据题目和不等式设置一个常数。 + +一般是0或1。可以先尝试1。 + +\textbf{例题：}当$x>1$时，证明$e^x>ex$。 + +证明：题目中没有差式，所以需要选择一个函数作为基准函数，里面有一个指数函数和一个幂函数，所以选择$e^x$作为基准函数。 + +然后选择一个常数作为$b$值，可以先选一个1作为$b$值：$f(x)-f(1)=f'(\xi)(x-1)$。 + +从而$e^x-e=e^\xi(x-1)$，$\xi\in(1,x)$，所以$e^x-e>e(x-1)$，即$e^x>ex$，得证。 + +\subsection{柯西中值定理} + +需要找到两个函数，使得$\dfrac{f(b)-f(a)}{F(b)-F(a)}=\dfrac{f'(\xi)}{F'(\xi)}$。 + +\textbf{例题：}设$00$，所以函数在区间上单调递增。 + +当$x\in\left[n\pi+\dfrac{\pi}{3},n\pi+\dfrac{\pi}{2}\right]$，$y'<0$，所以函数在区间上单调递减。 + +当$x\in\left[n\pi+\dfrac{\pi}{2},x=n\pi+\dfrac{5\pi}{6}\right]$，$y'>0$，所以函数在区间上单调递增。 + +当$x\in\left[x=n\pi+\dfrac{5\pi}{6},(n+1)\pi\right]$，$y'<0$，所以函数在区间上单调递减。 + +从而函数在$\left[\dfrac{k\pi}{2},\dfrac{k\pi}{2}+\dfrac{\pi}{3}\right]$时单调增加，在$\left[\dfrac{k\pi}{2}+\dfrac{\pi}{3},\dfrac{k\pi}{2}+\dfrac{\pi}{2}\right]$上单调减少（$k=0,\pm 1,\pm2,\cdots$）。 + +\subsection{凹凸性} + +二阶导数为0处就是拐点。 + +\textbf{例题：}决定曲线$y=ax^3+bx^2+cx+d$中参数，使得$x=-2$处曲线有水平切线，$(1,-10)$为拐点，且点$(-2,44)$在曲线上。 + +解：$y'=3ax^2+2bx+c$，$y''=6ax+2b$。 + +因为$x=-2$处曲线有水平切线，即$y'\vert_{x=-2}=12a-4b+c=0$。 + +$(1,-10)$为拐点，代入：$y''\vert_{x=1}=6a+2b=0$，$y\vert_{x=1}=a+b+c+d=-10$。 + +又点$(-2,44)$在曲线上，所以$y\vert_{x=-2}=-8a+4b-2c+d=44$。 + +解得四个方程：$a=1$，$b=-3$，$c=-24$，$d=16$。 + +\subsection{极值与最值} + +求极值需要考虑$y'$与点两边正负号，如果$y''$存在则可以考虑，$y''<0$则取极大值，$y''>0$则取极小值。 + +对于最值需要考虑极值和闭区间端点两个部分。 + +\subsection{函数图像} + +\subsection{零点问题} + +\subsubsection{零点定理} + +若$f(x)$在$[a,b]$上连续，且$f(a)f(b)<0$，则$f(x)=0$在$(a,b)$内至少有一个根。其中$ab$是具体数也可以是无穷大。 + +用于证明存在某一个零点。 + +\subsubsection{单调性} + +若$f(x)$在$(a,b)$内单调（$f'(x)$存在且不恒等于0），则$f(x)=0$在$(a,b)$内至多有一个根。 + +用于证明只有一个零点。 + +\subsubsection{罗尔原话} + +若$f^{(n)}(x)=0$至多有$k$个根，则$f(x)=0$至多有$k+n$个根。是罗尔定理的推论。 + +即若$f(x)=0$至少有两个根，则$f'(x)$至少有一个根。 + +\textbf{例题：}证明方程$2^x-x^2=1$有且仅有3个实根。 + +解：令$f(x)=2^x-x^2-1$，则$f'(x)=\ln22^x-2x$，$f''(x)=(\ln2)^22^x-2$，$f'''(x)=(\ln2)^32^x\neq 0$。 + +所以$f'''(x)=0$至多0个根。所以根据罗尔原话$f(x)=0$至多三个根。 + +又观察法$f(0)=0$，$f(1)=0$得到两个实根。 + +$f(4)=-1$，$f(5)=6$，所以$(4,5)$内存在一个实根，从而一共与三个根。 + +\subsubsection{实系数奇次方程} + +实系数奇次方程至少与一个实根。即$x^{2n+1}+a_1x^{2n}+\cdots+a_{2n}x+a_{2n+1}=0$至少与一个实根。 + +\textbf{例题：}若$3a^2-5b<0$，则方程$x^5+2ax^3+3bx+4c=0$()。 + +$A.\text{无实根}$\qquad$B.\text{有唯一实根}$\qquad$C.\text{有三个不同实根}$\qquad$D.\text{与五个不同实根}$ + +解：令$f(x)=x^5+2ax^3+3bx+4c$，该实系数奇次方程至少有一个根。 + +$f'(x)=5x^4+6ax^2+3b$，令$t=x^2$，$5t^2+6at+3b=0$。 + +$\Delta=36a^2-4\cdot5\cdot3b=36a^2-60b=12(3a^2-5b)<0$。 + +$\therefore f'(x)$无实根，所以$t=x^2$解不出来，所以$f'(x)\neq0$。 + +$f'(x)=0$至多0个根。所以根据罗尔原话$f(x)=0$至多一个根，又由上面至少一个根，所以只有一个根，选择$B$。 + +\subsubsection{函数含参导数不含参} + +参数是一个加在式子上的常数，函数求导后参数就被消掉了，所以可以在计算过程中不考虑参数，等到了最后的结果再讨论参数。 + +\textbf{例题：}设常数$k>0$，函数$f(x)=\ln x-\dfrac{x}{e}+k$在$(0,+\infty)$内的零点个数为()。 + +$A.3$\qquad$B.2$\qquad$C.1$\qquad$D.0$ + +解：$f'(x)=\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{e}$，令其为0，则$x=e$。 + +$x\in(0,e)$，$f'(x)>0$，$f(x)\nearrow$，$x\in(e,+\infty)$，$f'(x)<0$，$f(x)\searrow$。 + +又$f(e)=k>0$，$\lim\limits_{x\to0^+}f(x)=\lim\limits_{x\to0^+}(\ln x-\dfrac{x}{e}+k)=-\infty$，所以左边有一个根，$\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to+\infty}(\ln x-\dfrac{x}{e}+k)=-\infty$，所以一共有两个根。 + +\subsubsection{函数导数含参} + +参数与自变量进行运算，从而求导后参数仍在式子中，计算时需要携带参数来思考。 + +\textbf{例题：}求方程$k\arctan x-x=0$的不同实根的个数，其中$k$为参数。 + +解：令$f(x)=k\arctan x-x$$，\because f(-x)=-f(x)$，所以$f(x)$是一个奇函数，所以可以只要考虑一边的情况。$x=0$是函数的一个根。 + +$f'(x)=\dfrac{k}{1+x^2}-1=\dfrac{k-1-x^2}{1+x^2}$。 + +若$k-1\leqslant0$即$k<1$则$f'(x)\leqslant0$，所以$f(x)$单调减少，从而只有一个根。 + +若$k-1>0$即$k>1$，令$f'(x)=0$，即$k-1-x^2=0$，$x=\sqrt{k-1}$。 + +$x\in(0,\sqrt{k-1})$，$f'(x)>0$，$f(x)\nearrow$。$x\in(\sqrt{k-1},+\infty)$，$f'(x)<0$，$f(x)\searrow$。 + +$\lim\limits_{x\to+\infty}(k\arctan x-x)=-\infty$，所以在0的右侧一定存在一个零点，同理左边也因为奇函数对称存在一个零点，所以一共有三个根。 + +\end{document} diff --git a/advanced-math/exercise/3-derivative-and-differentiate/derivative-and-differentiate.pdf b/advanced-math/exercise/3-derivative-and-differentiate/derivative-and-differentiate.pdf deleted file mode 100644 index 69db600..0000000 Binary files a/advanced-math/exercise/3-derivative-and-differentiate/derivative-and-differentiate.pdf and /dev/null differ diff --git a/advanced-math/exercise/3-differentiation-of-functions-of-single-variable/differentiation-of-functions-of-single-variable.pdf b/advanced-math/exercise/3-differentiation-of-functions-of-single-variable/differentiation-of-functions-of-single-variable.pdf new file mode 100644 index 0000000..8267e58 Binary files /dev/null and b/advanced-math/exercise/3-differentiation-of-functions-of-single-variable/differentiation-of-functions-of-single-variable.pdf differ diff --git a/advanced-math/exercise/3-derivative-and-differentiate/derivative-and-differentiate.tex b/advanced-math/exercise/3-differentiation-of-functions-of-single-variable/differentiation-of-functions-of-single-variable.tex similarity index 74% rename from advanced-math/exercise/3-derivative-and-differentiate/derivative-and-differentiate.tex rename to advanced-math/exercise/3-differentiation-of-functions-of-single-variable/differentiation-of-functions-of-single-variable.tex index 4aeff2d..c479af0 100644 --- a/advanced-math/exercise/3-derivative-and-differentiate/derivative-and-differentiate.tex +++ b/advanced-math/exercise/3-differentiation-of-functions-of-single-variable/differentiation-of-functions-of-single-variable.tex @@ -1,563 +1,449 @@ -\documentclass[UTF8, 12pt]{ctexart} -% UTF8编码，ctexart现实中文 -\usepackage{color} -% 使用颜色 -\usepackage{geometry} -\setcounter{tocdepth}{4} -\setcounter{secnumdepth}{4} -% 设置四级目录与标题 -\geometry{papersize={21cm,29.7cm}} -% 默认大小为A4 -\geometry{left=3.18cm,right=3.18cm,top=2.54cm,bottom=2.54cm} -% 默认页边距为1英尺与1.25英尺 -\usepackage{indentfirst} -\setlength{\parindent}{2.45em} -% 首行缩进2个中文字符 -\usepackage{setspace} -\renewcommand{\baselinestretch}{1.5} -% 1.5倍行距 -\usepackage{amssymb} -% 因为所以 -\usepackage{amsmath} -% 数学公式 -\usepackage[colorlinks,linkcolor=black,urlcolor=blue]{hyperref} -% 超链接 -\author{Didnelpsun} -\title{导数与微分} -\date{} -\begin{document} -\maketitle -\pagestyle{empty} -\thispagestyle{empty} -\tableofcontents -\thispagestyle{empty} -\newpage -\pagestyle{plain} -\setcounter{page}{1} -\section{一阶导数} -\subsection{幂指函数导数} - -形如$f(x)^{g(x)}$的幂指函数求导也可以类似幂指函数的求极限方法。既可以取$e$为底的指数也可以取对数。 - -\textbf{例题：}求$f(x)=x^{\sin x}(x>0)$的导数。 - -解：取对数： - -$\therefore\ln y=\sin x\ln x$ - -求导： - -$\dfrac{y'}{y}=\cos\ln x+\dfrac{\sin x}{x}$ - -$\therefore y'=x^{\sin x}\left(\cos\ln x+\dfrac{\sin x}{x}\right)$。 - -取指数： - -$x^{\sin x}=e^{\sin x\cdot\ln x}$ - -求导： - -$e^{\sin x\cdot\ln x}(\sin x\cdot\ln x)'=x^{\sin x}\left(\cos\ln x+\dfrac{\sin x}{x}\right)$。 - -\subsection{分段函数导数} - -当给出一个分段函数，要求求出该函数的导数时，最重要的就是分段点是否可导，计算分段点的导数，如果两边的导数不相等，则需要挖去该点。\medskip - -\textbf{例题：}设$f(x)=\left\{\begin{array}{lcl} - \arctan x, & & x\leqslant 1 \\ -解： \dfrac{1}{2}(e^{x^2-1}-x)+\dfrac{\pi}{4}, & & x>1 -\end{array} -\right.$，求$f'(x)$。 - -当$x\leqslant 1$时，$f'(x)=\dfrac{1}{1+x^2}$，当$x>1$时，$f'(x)=xe^{x^2-1}-\dfrac{1}{2}$。 - -然后需要查看分段点两边的导数是否一样：$f'_-(1)=\dfrac{1}{1+x^2}\,\bigg\vert_{x=1}=\dfrac{1}{1+1}=\dfrac{1}{2}$，$f'_+(1)=xe^{x^2-1}-\dfrac{1}{2}\,\bigg\vert_{x=1}=1\cdot e^{1-1}-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}$。\medskip - -$\therefore f'_-(1)=f'_+(1)$，所以该点可导。\medskip - -$f(x)=\left\{\begin{array}{lcl} - \dfrac{1}{1+x^2}, & & x\leqslant 1 \\ - xe^{x^2-1}-\dfrac{1}{2}, & & x>1 -\end{array} -\right.$。 - -\subsection{导数存在性} - -导数存在即可导。而该点左右导数都相等该点才可导。 - -可导必连续，连续不一定可导。 - -导数的定义：$\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$或$\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$。 - -导数的存在性：若$\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$存在，则$f'(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$。\medskip - -\textbf{例题：}设$f(x)=\left\{\begin{array}{lcl} - \dfrac{\ln(1+bx)}{x}, & & x\neq 0 \\ - -1, & & x=0 -\end{array} -\right.$，其中$b$为某常数，$f(x)$在定义域上处处可导，求$f'(x)$。 - -解：首先需要求出参数$b$，而定义域上可导则在分段点$x=0$处也必然可导。 - -而可导必连续，所以当$x=0$时$f(x)$也是连续的，而连续的定义就是两边极限相等，且两边极限等于该点函数值。\medskip - -$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\ln(1+bx)}{x}=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{bx}{x}=b=-1$。从而可以完善函数与定义域。\medskip - -$\therefore f(x)=\left\{\begin{array}{lcl} - \dfrac{\ln(1-x)}{x}, & & x<1,x\neq 0 \\ - -1, & & x=0 -\end{array} -\right.$。 - -这样就能转换为直接求导数问题。 - -对于定义域的$x<1,x\neq 0$部分：\medskip - -$f'(x)=\dfrac{\dfrac{-x}{1-x}-\ln(1-x)}{x^2}=\dfrac{x-(x-1)\ln(1-x)}{x^2(x-1)}\,(x<1,x\neq 0)$。 - -然后需要求分段点$x=0$处的导数。 - -可以由导数的定义： - -根据导数的定义是某点偏移量的极限值$\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$： - -$f'(0)=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}=\dfrac{\dfrac{\ln(1-x)}{x}-(-1)}{x-0}=\dfrac{\dfrac{\ln(1-x)}{x}+1}{x}$\medskip - -$=\dfrac{\ln(1-x)+x}{x^2}$ - -泰勒公式：$=\dfrac{-x-\dfrac{1}{2}x^2+o(x^2)+x}{x^2}=-\dfrac{1}{2}$。\medskip - -$\therefore f'(x)=\left\{\begin{array}{lcl} - \dfrac{x-(x-1)\ln(1-x)}{x^2(x-1)}, & & x<1,x\neq 0 \\ - -\dfrac{1}{2}, & & x=0 -\end{array} -\right.$。\medskip - -同样也可以使用导数的存在性： - -$\because f(x)$在$x=0$处连续，$\therefore x=0$的空心邻域上可导。从而$\lim\limits_{x\to x_0}f'(x)$存在。 - -$\therefore f'(0)=\lim\limits_{x\to 0}f'(x)$。计算过程类似。 - -\subsection{导数连续性} - -导数具有连续性与之前的函数连续性类似，不过要对函数求导数罢了。 - -要求导数两侧的极限并让其相等。\medskip - -\textbf{例题：}设$f(x)=\left\{\begin{array}{lcl} - x^2, & & x\leqslant 0 \\ - x^\alpha\sin\dfrac{1}{x}, & & x>0 -\end{array} -\right.$，若$f'(x)$连续，则$\alpha$应该满足？ - -解：若导数连续，则两侧导数相等。 - -$\lim\limits_{x\to 0^-}f'(x)=\lim\limits_{x\to 0^-}2x=0$。 - -$\lim\limits_{x\to 0^+}f'(x)=\lim\limits_{x\to 0^+}\alpha x^{\alpha-1}\sin\dfrac{1}{x}-x^{\alpha-2}\cos\dfrac{1}{x}=\lim\limits_{x\to 0^+}x^{\alpha-2}\left(\alpha x\sin\dfrac{1}{x}-\cos\dfrac{1}{x}\right)$。 - -$\because x\to 0^+$时，$\sin\dfrac{1}{x}\in[-1,1]$，$\therefore\alpha x\sin\dfrac{1}{x}=0$，$-\cos\dfrac{1}{x}\in[-1,1]$，$\therefore \alpha x\sin\dfrac{1}{x}-\cos\dfrac{1}{x}$为一个不为0的常数。 - -又$\lim\limits_{x\to 0^+}f'(x)=\lim\limits_{x\to 0^+}x^{\alpha-2}\left(\alpha x\sin\dfrac{1}{x}-\cos\dfrac{1}{x}\right)=\lim\limits_{x\to 0^-}f'(x)=0$。 - -$\therefore\lim\limits_{x\to 0^+}x^{\alpha-2}=0$。 - -$\therefore\alpha-2>0$，从而$\alpha>2$。 - -\section{极限与导数} - -导数的定义由极限产生，所以其之间是可以互相转换的，当求一个导数时可以寻找是否能求出其极限。 - -\subsection{极限求导数} - -在导数这一章中的极限不会直接给出极限，而是会给出导数或函数的相关定义，来求极限，再根据导数定义转换为导数。同时要注意这里不止会有导数定义，还会有函数等性质。 - -\textbf{例题：}已知$f(x)$是周期为5的连续函数，它在$x=0$的某个邻域内满足关系式：$f(1+\sin x)-3f(1-\sin x)= 8x+o(x)$，且$f(x)$在$x=1$处可导，求曲线$y=f(x)$在点$(6,f(6))$处的切线方程。 - -解：因为这是个函数等式，而我们最后要求的是一个导数，所以先尝试对其直接求极限，令$x\to0$： - -$f(1)-3f(1)=0$，从而得到了一个函数值$f(1)=0$。 - -然后再对这个式子思考，等式右边为$8x$，而除以$x$就变成了8，而再对其求极限，右边就彻底变成了一个常数8： - -$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{f(1+\sin x)-3f(1-\sin x)}{x}=8$。对式子左边进行变形： - -$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{f(1+\sin x)-3f(1-\sin x)}{x}=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{f(1+\sin x)-3f(1-\sin x)}{\sin x}$。 - -令$t=\sin x$： - -$=\lim\limits_{t\to 0}\dfrac{f(1+t)-3f(1-t)}{t}=\lim\limits_{t\to 0}\dfrac{f(1+t)-f(1)}{t}+3\lim\limits_{t\to 0}\dfrac{f(1-t)-f(1)}{-t}$。 - -因为$t\to 0$，所以$1-t$和$1+t$都是$t=1$时的导数$f'(x)$的定义：$=4f'(1)=8$，从而$f'(1)=2$。 - -由$f(x)$的周期为5，所以$f(6)=f(1)=0$，$f'(6)=f'(1)=2$，所以曲线$y=f(x)$在$(6,f(6))$即$(6,0)$处的切线方程为$y-0=2(x-6)$即$2x-y-12=0$。 - -15.当正在高度H水平飞行的飞机开始向机场跑道下降时，如图2-16所示从飞机到北场的水平地面距离为L.假设飞机下降的路径为三次函 - -数y=ax' +bx2 +cx+d的图形,其中yl..=H.y1..o=0.试 - -确定飞机的降落路径. - -16.甲船以6 km/h的速率向东行驶,乙船以8 km/h - -的速事向南行驶在中午十二点整,乙船位于甲船之北 - -L01 - -16 km处问下午一点整两船相离的速率为多少? - -\subsection{导数求极限} - -题目会给出对应的导数以及相关条件，并要求求一个极限，这个极限式子并不是个随机的式子，而一个是与导数定义相关的极限式子，所需要的就是将极限式子转换为导数定义的相关式子。 - -\subsubsection{导数定义式子} - -有时极限式子可以直接转换为导数定义式子，先稍微变换就可以代入导数。 - -\textbf{例题：}设$f(x)$是以3为周期的可导函数，且是偶函数，$f'(-2)=-1$，求$\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{h}{f(5-2\sin h)-f(5)}$。\medskip - -解：根据导数与函数的基本性质，原函数为偶函数，则其导函数为奇函数，所以$f'(5)=f'(2)=-f'(-2)=1$。 - -然后需要转换目标的极限式子，因为目标式子倒过来的式子类似于导数定义的$f'(x)=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$结构。所以我们可以先求其倒数式子：\medskip - -$=\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(5-2\sin h)-f(5)}{h}=\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(5-2\sin h)-f(5)}{-2\sin h}\cdot\dfrac{-2\sin h}{h}$ - -$=-2f'(5)=-2\times 1=-2$ - -$\therefore\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{h}{f(5-2\sin h)-f(5)}=-\dfrac{1}{2}$。 - -\subsubsection{定义近似式子} - -有时候极限式子不为导数定义的近似式子，这时候就需要先根据求极限的计算方式简化目标极限式子。 - -\textbf{例题：}设$f(x)$在$x=0$处可导且$f(0)=1$，$f'(0)=3$，则数列极限$I=\lim\limits_{n\to\infty}\left(f\left(\dfrac{1}{n}\right)\right)^{\frac{\frac{1}{n}}{1-\cos\frac{1}{n}}}$。\medskip - -解：设$\dfrac{1}{n}=x$，则： - -$=\lim\limits_{x\to 0}(f(x))^{\frac{x}{1-\cos x}}=e^{\lim\limits_{x\to 0}\frac{x}{1-\cos x}\ln f(x)}=e^{2\lim\limits_{x\to 0}\frac{\ln f(x)}{x}}=e^{2\lim\limits_{x\to 0}\frac{f(x)-1}{x}}$ - -$=e^{2\lim\limits_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}}=e^{2f'(0)}=e^6$。 - -\section{高阶导数} - -求高阶导数基本上使用归纳法或莱布尼茨公式。 - -高阶导数基本公式： - -\begin{enumerate} - \item $(e^x)^{(n)}=e^x$。 - \item $(a^x)^{(n)}=a^x(\ln a)^n$。 - \item $(\ln x)^{(n)}=(-1)^{n-1}(n-1)!x^{-n}$。 - \item $\left(\dfrac{1}{1+x}\right)^{(n)}=(-1)^n\dfrac{n!}{(1+x)^n}$。 - \item $\left(\dfrac{1}{1-x}\right)^{(n)}=\dfrac{n!}{(1-x)^n}$。 - \item $(\sin x)^{(n)}=\sin\left(x+\dfrac{n\pi}{2}\right)$。 - \item $(\cos x)^{(n)}=\cos\left(x+\dfrac{n\pi}{2}\right)$。 - \item $\{f(ax+b)\}^{(n)}=a^nf^{(n)}(ax+b)$。 -\end{enumerate} - -\subsection{高阶导数存在性} - -\subsection{携带未知数的多项式求高阶导} - -当所需要的求导的式子为一个多项式的时候，这个求导必然是有规律的。 - -当所求高阶导数的$x$值为一个常数时，那么这个常数值代入求导的式子必然是会消去一部分的，最常用的常数为$x=0$。 - -\textbf{例题：}已知$f(x)=x^2(x+1)^2(x+2)^2\cdots(x+n)^2$，求$f''(0)$。 - -解：因为式子中带有未知数$n$，所以结果很可能会带有$n$。 - -而这个式子项数为$n+1$项，所以求导结果必然很大，所以一定会消去一部分。 - -又求导的自变量$x=0$，而0代入很多式子都会被消去，所以这就是个突破口。 - -因为求导是求二阶导数，所以很可能这种求导是消去一部分而不是得到一个规律，因为阶数太低很难看出规律。 - -首先对$f(x)$求一阶导数（需要记住乘积的导数为各项求导的和）： - -$f'(x)=2x(x+1)^2(x+2)^2\cdots(x+n)^2$ - -$\quad\quad\quad+x^22(x+1)(x+2)^2\cdots(x+n)^2$ - -$\quad\quad\quad+x^2(x+1)^22(x+2)\cdots(x+n)^2$ - -$\quad\quad\quad\cdots$ - -$\quad\quad\quad+x^2(x+1)^2(x+2)^2\cdots 2(x+n)$ - -原式子一共1项，一阶导数后变为$n+1$项和，然后求二阶导数，会变为$(n+1)^2$项和。这时候我们应该回头看目标求的式子为$f''(0)$，而根据式子，只要乘积项中含有$x$项，那么这一整个项就都为0。 - -一阶导数中除一项每个项都含有$x^2$，所以求二阶导数的时候，$x^2$会变为$2x$在$x=0$处二阶导数为0，所以求二阶导数的时候一次导数的第一项后面$n$项在$x=0$处都是0，可以不用考虑。 - -而一阶导数的第一项只有对第一个$x$求导时会消去这个$x$变为$2(x+1)^2(x+2)^2\cdots(x+n)^2$，其他的$n$项二阶导数仍然含有$x$的项，所以结果也为0。 - -所以求$f''(0)$时，只有对一阶导数的第一项的第一个$x$求导所得到的导数项不为0，其他都是0，所以最后$f''(0)=2(x+1)^2(x+2)^2\cdots(x+n)^2=2(n!)^2$。 - -\subsection{反函数高阶导数} - -已知一阶导数的时候，反函数的导数为原函数导数的倒数（$g'(x)=\dfrac{1}{f'(x)}$）。 - -因为原函数的一阶导数是$\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}$，而反函数就是对原函数的$xy$对调，所以其反函数的一阶导数为$\dfrac{\textrm{d}x}{\textrm{d}y}$。 - -当求反函数的高阶导数时需要将分子分母同时除以$\textrm{d}x$。 - -\textbf{例题：}已知$y=x+e^x$，求其反函数的二阶导数。 - -解：$y=x+e^x$的反函数的一阶导数为$\dfrac{\textrm{d}x}{\textrm{d}y}=\dfrac{1}{1+e^x}$。\medskip - -所以二阶导数为$\dfrac{\textrm{d}^2x}{\textrm{d}y^2}=\dfrac{\textrm{d}\left(\dfrac{1}{1+e^{x}}\right)}{\textrm{d}y}=\dfrac{\dfrac{\textrm{d}\left(\dfrac{1}{1+e^{x}}\right)}{\textrm{d}x}}{\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}}=-\dfrac{e^x}{(1+e^x)^3}$。 - -\textbf{例题：}已知$\dfrac{\textrm{d}x}{\textrm{d}y}=\dfrac{1}{y'}$，求$\dfrac{\textrm{d}^2x}{\textrm{d}y^2}$和$\dfrac{\textrm{d}^3x}{\textrm{d}y^3}$。 - -解：其实就是求$\dfrac{\textrm{d}^2x}{\textrm{d}y^2}$和$\dfrac{\textrm{d}^3x}{\textrm{d}y^3}$，$\dfrac{\textrm{d}x}{\textrm{d}y}=\dfrac{1}{y'}$这个条件只是让我们用$y'$来表示结果而已。 - -$\dfrac{\textrm{d}^2x}{\textrm{d}y^2}=\dfrac{\textrm{d}\dfrac{\textrm{d}x}{\textrm{d}y}}{\textrm{d}y}=\dfrac{\dfrac{\textrm{d}\dfrac{\textrm{d}x}{\textrm{d}y}}{\textrm{d}x}}{\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}}=\dfrac{-\dfrac{y''}{(y')^2}}{y'}=-\dfrac{y''}{(y')^3}$。\medskip - -$\dfrac{\textrm{d}^3x}{\textrm{d}y^3}=\dfrac{\textrm{d}\dfrac{\textrm{d}^2x}{\textrm{d}^2y}}{\textrm{d}y}=\dfrac{\dfrac{\textrm{d}\dfrac{\textrm{d}^2x}{\textrm{d}^2y}}{\textrm{d}x}}{\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}}=\dfrac{-\dfrac{y'''y'-3(y'')^2}{(y')^4}}{y'}=\dfrac{3(y'')^2-y'y'''}{(y')^5}$。 - -\section{微分} - -微分若是出单独的计算很可能是物理应用问题，如计算速度增量、面积增量等，但是对于数一而言单独考的概率不大。 - -微分一般都是微分不等式的形式进行出题，即含有微分的不等式证明。 - -\subsection{函数性态} - -包括单调性、凹凸性与最值。 - -\textbf{例题：}证明当$x>0$时$\ln\left(1+\dfrac{1}{x}\right)<\dfrac{1}{\sqrt{x(x+1)}}$。 - -证明：令$F(x)=\ln\left(1+\dfrac{1}{x}\right)-\dfrac{1}{\sqrt{x(x+1)}}$。 - -即证明$\sqrt{x(x+1)}\ln\left(1+\dfrac{1}{x}\right)<1$。 - -令$t=\dfrac{1}{x}$，即证$\ln(1+t)\sqrt{\dfrac{1}{t}\left(\dfrac{1}{t}+1\right)}<1$，$\ln(1+t)\sqrt{1+t}0$。\medskip - -则$F'(t)=1-\dfrac{\sqrt{1+t}}{1+t}-\dfrac{\ln(1+t)}{2\sqrt{1+t}}=1-\dfrac{2+\ln(1+t)}{2\sqrt{1+t}}>0$。 - -$F(t)$递增，所以$F(t)>F(0)=0$。 - -\subsection{常数变量} - -如果不等式中都是常数，可以将其中的一个或几个常数变量化再利用导数去证明。 - -\textbf{例题：}设$02\dfrac{b-a}{a+b}$。 - -因为左边含有$\dfrac{b}{a}$不好处理，所以右边分子分母同时除以$a$全部变成统一变量：$\ln\dfrac{b}{a}>2\dfrac{\dfrac{b}{a}-1}{1+\dfrac{b}{a}}$。然后令$x=\dfrac{b}{a}$，所以即需要证明$\ln x>2\dfrac{x-1}{1+x}$，$x>1$。 - -\subsection{中值定理} - -一般使用拉格朗日中值定理或泰勒公式。 - -\textbf{例题：}设$f(x)$在闭区间$[0,c]$上连续，其导数$f'(x)$在开区间$(0,c)$内存在且单调减少，又$f(0)=0$，证明$f(a+b)\leqslant f(a)+f(b)$，$0\leqslant a\leqslant b\leqslant a+b\leqslant c$。 - -因为所要证明的式子中含有$a$、$b$、$a+b$，$f(0)=0$，所以对这几个区间进行拉格朗日中值定理。 - -$f(a)-f(0)=f'(\xi_1)(a-0)$，$f(a+b)-f(b)=f'(\xi_2)(a+b-b)$。 - -从而$f(a)=f'(\xi_1)a$，$f(a+b)-f(b)=f'(\xi_2)a$。 - -又$f'(x)$单调减少，所以$f'(\xi_1)>f'(\xi_2)$。 - -$f(a)\geqslant f(a+b)-f(b)$，所以$f(a+b)\leqslant f(a)+f(b)$。 - -\section{隐函数与参数方程} - -隐函数与参数方程求导基本上只用记住：\medskip - -$\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}=\dfrac{\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}t}}{\dfrac{\textrm{d}x}{\textrm{d}t}}$。 - -\subsection{隐函数应用} - -对于隐函数的应用题，最重要的是找到等价于$\textrm{d}x$和$\textrm{d}y$的两个相关变量。最简单的就是根据题目最后面的所求问题所涉及的变量设置其为变量和因变量。 - -\textbf{例题：}落在平静水面上的石头，产生同心波纹。若最外一圈波半径的增大速率总是6m/s，问在2s末扰动水面面积增大的速率为多少？ - -解：首先根据题目最后的要求的是面积，所以肯定要设一个面积变量，随时间变动而改变，所以也一定会设一个时间变量，同时还给出一个条件是半径增大速度，所以也会有一个半径的变量。同时要求的是面积增大速率，正好跟另外两个变量相关，时间跟半径和面积都相关，所以时间就是中间变量。 - -从而设最外一圈波的半径为$r=r(t)$，圆的面积$S=S(t)$。根据$S$和$r$的公式$S=\pi r^2$，因为求的是随时间变化的速率，所以其两端分别对$t$求导，得： - -$\dfrac{\textrm{d}S}{\textrm{d}t}=2\pi r\dfrac{\textrm{d}r}{\textrm{d}t}$。当$t=2$时，$r=6\times2=12$，代入上式得：\medskip - -$\dfrac{\textrm{d}S}{\textrm{d}t}\bigg|_{t=2}=2\pi\cdot12\cdot6=144\pi$。 - -\subsection{分段参数方程} - -\textbf{例题：}已知$y=y(x)$由参数方程$\left\{\begin{array}{lcl} - x=\dfrac{1}{2}\ln(1+t^2) \\ - y=\arctan t -\end{array} -\right.$确定，求其一阶导数与二阶导数。 - -解：$\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}=\dfrac{\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}t}}{\dfrac{\textrm{d}x}{\textrm{d}t}}=\dfrac{\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{2t}{1+t^2}}{\dfrac{1}{1+t^2}}=\dfrac{1}{t}$。 - -$\dfrac{\textrm{d}^2y}{\textrm{d}x^2}=\dfrac{\textrm{d}\left(\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}\right)}{\textrm{d}x}=\dfrac{\dfrac{\textrm{d}\left(\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}\right)}{\textrm{d}t}}{\dfrac{\textrm{d}x}{\textrm{d}t}}=\dfrac{-\dfrac{1}{t^2}}{\dfrac{t}{1+t^2}}=-\dfrac{1+t^2}{t^3}$。 - -\section{导数应用} - -\subsection{单调性} - -\textbf{例题：}求$y=x+\vert\sin 2x\vert$的单调区间。 - -解：因为函数的定义域为$R$。 - -又$y=\left\{\begin{array}{lcl} - x+\sin 2x, & & n\pi\leqslant x\leqslant n\pi+\dfrac{\pi}{2} \\ - x-\sin 2x, & &n\pi+\dfrac{\pi}{2}\leqslant x\leqslant (n+1)\pi -\end{array}\right.$（$n=0,\pm 1,\pm2,\cdots$）。 - -$\therefore y'=\left\{\begin{array}{lcl} - 1+2\cos 2x, & & n\pi\leqslant x\leqslant n\pi+\dfrac{\pi}{2} \\ - 1-2\cos 2x, & &n\pi+\dfrac{\pi}{2}\leqslant x\leqslant (n+1)\pi -\end{array}\right.$（$n=0,\pm 1,\pm2,\cdots$）。 - -令$y'=0$，所以得到驻点为$x=n\pi+\dfrac{\pi}{3}$和$x=n\pi+\dfrac{5\pi}{6}$。 - -分割区间：$\left[n\pi,n\pi+\dfrac{\pi}{3}\right]$，$\left[n\pi+\dfrac{\pi}{3},n\pi+\dfrac{\pi}{2}\right]$，$\left[n\pi+\dfrac{\pi}{2},x=n\pi+\dfrac{5\pi}{6}\right]$， - -$\left[x=n\pi+\dfrac{5\pi}{6},(n+1)\pi\right]$（$n=0,\pm 1,\pm2,\cdots$）。 - -当$x\in\left[n\pi,n\pi+\dfrac{\pi}{3}\right]$，$y'>0$，所以函数在区间上单调递增。 - -当$x\in\left[n\pi+\dfrac{\pi}{3},n\pi+\dfrac{\pi}{2}\right]$，$y'<0$，所以函数在区间上单调递减。 - -当$x\in\left[n\pi+\dfrac{\pi}{2},x=n\pi+\dfrac{5\pi}{6}\right]$，$y'>0$，所以函数在区间上单调递增。 - -当$x\in\left[x=n\pi+\dfrac{5\pi}{6},(n+1)\pi\right]$，$y'<0$，所以函数在区间上单调递减。 - -从而函数在$\left[\dfrac{k\pi}{2},\dfrac{k\pi}{2}+\dfrac{\pi}{3}\right]$时单调增加，在$\left[\dfrac{k\pi}{2}+\dfrac{\pi}{3},\dfrac{k\pi}{2}+\dfrac{\pi}{2}\right]$上单调减少（$k=0,\pm 1,\pm2,\cdots$）。 - -\subsection{凹凸性} - -二阶导数为0处就是拐点。 - -\textbf{例题：}决定曲线$y=ax^3+bx^2+cx+d$中参数，使得$x=-2$处曲线有水平切线，$(1,-10)$为拐点，且点$(-2,44)$在曲线上。 - -解：$y'=3ax^2+2bx+c$，$y''=6ax+2b$。 - -因为$x=-2$处曲线有水平切线，即$y'\vert_{x=-2}=12a-4b+c=0$。 - -$(1,-10)$为拐点，代入：$y''\vert_{x=1}=6a+2b=0$，$y\vert_{x=1}=a+b+c+d=-10$。 - -又点$(-2,44)$在曲线上，所以$y\vert_{x=-2}=-8a+4b-2c+d=44$。 - -解得四个方程：$a=1$，$b=-3$，$c=-24$，$d=16$。 - -\subsection{极值与最值} - -求极值需要考虑$y'$与点两边正负号，如果$y''$存在则可以考虑，$y''<0$则取极大值，$y''>0$则取极小值。 - -对于最值需要考虑极值和闭区间端点两个部分。 - -\subsection{函数图像} - -\subsection{曲率} - -曲率公式：$k=\left\lvert\dfrac{\textrm{d}\alpha}{\textrm{d}s}\right\rvert=\dfrac{\vert y''\vert}{(1+y'^2)^{\frac{3}{2}}}$。 - -\subsubsection{一般计算} - -\textbf{例题：}求$y=\sin x$在$x=\dfrac{\pi}{4}$对应的曲率 - -解：$y'=\cos x$，$y'(\dfrac{\pi}{4})=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$。 - -$y''=-\sin x$，$y''(\dfrac{\pi}{4})=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$。 - -$\therefore k=\dfrac{\dfrac{\sqrt{2}}{2}}{\dfrac{3}{2}\cdot\sqrt{\dfrac{3}{2}}}=\dfrac{2\sqrt{3}}{9}$。 - -所以$y=\sin x$在$x=\dfrac{\pi}{4}$的点$(\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\sqrt{2}}{2})$的曲率为$\dfrac{2\sqrt{3}}{9}$。 - -\subsubsection{最值} - -\textbf{例题：}求$y=x^2-4x+11$曲率最大值所在的点。 - -解：简单得$y'=2x-4$，$y''=2$。 - -曲率为$\dfrac{2}{[1+(2x-4)^2]^{\frac{3}{2}}}$。 - -当$2x-4=0$时即在$(2,7)$时曲率最大为2。 - -\subsection{零点问题} - -\subsubsection{零点定理} - -若$f(x)$在$[a,b]$上连续，且$f(a)f(b)<0$，则$f(x)=0$在$(a,b)$内至少有一个根。其中$ab$是具体数也可以是无穷大。 - -用于证明存在某一个零点。 - -\subsubsection{单调性} - -若$f(x)$在$(a,b)$内单调（$f'(x)$存在且不恒等于0），则$f(x)=0$在$(a,b)$内至多有一个根。 - -用于证明只有一个零点。 - -\subsubsection{罗尔原话} - -若$f^{(n)}(x)=0$至多有$k$个根，则$f(x)=0$至多有$k+n$个根。是罗尔定理的推论。 - -即若$f(x)=0$至少有两个根，则$f'(x)$至少有一个根。 - -\textbf{例题：}证明方程$2^x-x^2=1$有且仅有3个实根。 - -解：令$f(x)=2^x-x^2-1$，则$f'(x)=\ln22^x-2x$，$f''(x)=(\ln2)^22^x-2$，$f'''(x)=(\ln2)^32^x\neq 0$。 - -所以$f'''(x)=0$至多0个根。所以根据罗尔原话$f(x)=0$至多三个根。 - -又观察法$f(0)=0$，$f(1)=0$得到两个实根。 - -$f(4)=-1$，$f(5)=6$，所以$(4,5)$内存在一个实根，从而一共与三个根。 - -\subsubsection{实系数奇次方程} - -实系数奇次方程至少与一个实根。即$x^{2n+1}+a_1x^{2n}+\cdots+a_{2n}x+a_{2n+1}=0$至少与一个实根。 - -\textbf{例题：}若$3a^2-5b<0$，则方程$x^5+2ax^3+3bx+4c=0$()。 - -$A.\text{无实根}$\qquad$B.\text{有唯一实根}$\qquad$C.\text{有三个不同实根}$\qquad$D.\text{与五个不同实根}$ - -解：令$f(x)=x^5+2ax^3+3bx+4c$，该实系数奇次方程至少有一个根。 - -$f'(x)=5x^4+6ax^2+3b$，令$t=x^2$，$5t^2+6at+3b=0$。 - -$\Delta=36a^2-4\cdot5\cdot3b=36a^2-60b=12(3a^2-5b)<0$。 - -$\therefore f'(x)$无实根，所以$t=x^2$解不出来，所以$f'(x)\neq0$。 - -$f'(x)=0$至多0个根。所以根据罗尔原话$f(x)=0$至多一个根，又由上面至少一个根，所以只有一个根，选择$B$。 - -\subsubsection{函数含参导数不含参} - -参数是一个加在式子上的常数，函数求导后参数就被消掉了，所以可以在计算过程中不考虑参数，等到了最后的结果再讨论参数。 - -\textbf{例题：}设常数$k>0$，函数$f(x)=\ln x-\dfrac{x}{e}+k$在$(0,+\infty)$内的零点个数为()。 - -$A.3$\qquad$B.2$\qquad$C.1$\qquad$D.0$ - -解：$f'(x)=\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{e}$，令其为0，则$x=e$。 - -$x\in(0,e)$，$f'(x)>0$，$f(x)\nearrow$，$x\in(e,+\infty)$，$f'(x)<0$，$f(x)\searrow$。 - -又$f(e)=k>0$，$\lim\limits_{x\to0^+}f(x)=\lim\limits_{x\to0^+}(\ln x-\dfrac{x}{e}+k)=-\infty$，所以左边有一个根，$\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to+\infty}(\ln x-\dfrac{x}{e}+k)=-\infty$，所以一共有两个根。 - -\subsubsection{函数导数含参} - -参数与自变量进行运算，从而求导后参数仍在式子中，计算时需要携带参数来思考。 - -\textbf{例题：}求方程$k\arctan x-x=0$的不同实根的个数，其中$k$为参数。 - -解：令$f(x)=k\arctan x-x$$，\because f(-x)=-f(x)$，所以$f(x)$是一个奇函数，所以可以只要考虑一边的情况。$x=0$是函数的一个根。 - -$f'(x)=\dfrac{k}{1+x^2}-1=\dfrac{k-1-x^2}{1+x^2}$。 - -若$k-1\leqslant0$即$k<1$则$f'(x)\leqslant0$，所以$f(x)$单调减少，从而只有一个根。 - -若$k-1>0$即$k>1$，令$f'(x)=0$，即$k-1-x^2=0$，$x=\sqrt{k-1}$。 - -$x\in(0,\sqrt{k-1})$，$f'(x)>0$，$f(x)\nearrow$。$x\in(\sqrt{k-1},+\infty)$，$f'(x)<0$，$f(x)\searrow$。 - -$\lim\limits_{x\to+\infty}(k\arctan x-x)=-\infty$，所以在0的右侧一定存在一个零点，同理左边也因为奇函数对称存在一个零点，所以一共有三个根。 - -\end{document} +\documentclass[UTF8, 12pt]{ctexart} +% UTF8编码，ctexart现实中文 +\usepackage{color} +% 使用颜色 +\usepackage{geometry} +\setcounter{tocdepth}{4} +\setcounter{secnumdepth}{4} +% 设置四级目录与标题 +\geometry{papersize={21cm,29.7cm}} +% 默认大小为A4 +\geometry{left=3.18cm,right=3.18cm,top=2.54cm,bottom=2.54cm} +% 默认页边距为1英尺与1.25英尺 +\usepackage{indentfirst} +\setlength{\parindent}{2.45em} +% 首行缩进2个中文字符 +\usepackage{setspace} +\renewcommand{\baselinestretch}{1.5} +% 1.5倍行距 +\usepackage{amssymb} +% 因为所以 +\usepackage{amsmath} +% 数学公式 +\usepackage[colorlinks,linkcolor=black,urlcolor=blue]{hyperref} +% 超链接 +\author{Didnelpsun} +\title{一元函数微分学} +\date{} +\begin{document} +\maketitle +\pagestyle{empty} +\thispagestyle{empty} +\tableofcontents +\thispagestyle{empty} +\newpage +\pagestyle{plain} +\setcounter{page}{1} +\section{一阶导数} +\subsection{幂指函数导数} + +形如$f(x)^{g(x)}$的幂指函数求导也可以类似幂指函数的求极限方法。既可以取$e$为底的指数也可以取对数。 + +\textbf{例题：}求$f(x)=x^{\sin x}(x>0)$的导数。 + +解：取对数： + +$\therefore\ln y=\sin x\ln x$ + +求导： + +$\dfrac{y'}{y}=\cos\ln x+\dfrac{\sin x}{x}$ + +$\therefore y'=x^{\sin x}\left(\cos\ln x+\dfrac{\sin x}{x}\right)$。 + +取指数： + +$x^{\sin x}=e^{\sin x\cdot\ln x}$ + +求导： + +$e^{\sin x\cdot\ln x}(\sin x\cdot\ln x)'=x^{\sin x}\left(\cos\ln x+\dfrac{\sin x}{x}\right)$。 + +\subsection{分段函数导数} + +当给出一个分段函数，要求求出该函数的导数时，最重要的就是分段点是否可导，计算分段点的导数，如果两边的导数不相等，则需要挖去该点。\medskip + +\textbf{例题：}设$f(x)=\left\{\begin{array}{lcl} + \arctan x, & & x\leqslant 1 \\ +解： \dfrac{1}{2}(e^{x^2-1}-x)+\dfrac{\pi}{4}, & & x>1 +\end{array} +\right.$，求$f'(x)$。 + +当$x\leqslant 1$时，$f'(x)=\dfrac{1}{1+x^2}$，当$x>1$时，$f'(x)=xe^{x^2-1}-\dfrac{1}{2}$。 + +然后需要查看分段点两边的导数是否一样：$f'_-(1)=\dfrac{1}{1+x^2}\,\bigg\vert_{x=1}=\dfrac{1}{1+1}=\dfrac{1}{2}$，$f'_+(1)=xe^{x^2-1}-\dfrac{1}{2}\,\bigg\vert_{x=1}=1\cdot e^{1-1}-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}$。\medskip + +$\therefore f'_-(1)=f'_+(1)$，所以该点可导。\medskip + +$f(x)=\left\{\begin{array}{lcl} + \dfrac{1}{1+x^2}, & & x\leqslant 1 \\ + xe^{x^2-1}-\dfrac{1}{2}, & & x>1 +\end{array} +\right.$。 + +\subsection{导数存在性} + +导数存在即可导。而该点左右导数都相等该点才可导。 + +可导必连续，连续不一定可导。 + +导数的定义：$\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$或$\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$。 + +导数的存在性：若$\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$存在，则$f'(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$。\medskip + +\textbf{例题：}设$f(x)=\left\{\begin{array}{lcl} + \dfrac{\ln(1+bx)}{x}, & & x\neq 0 \\ + -1, & & x=0 +\end{array} +\right.$，其中$b$为某常数，$f(x)$在定义域上处处可导，求$f'(x)$。 + +解：首先需要求出参数$b$，而定义域上可导则在分段点$x=0$处也必然可导。 + +而可导必连续，所以当$x=0$时$f(x)$也是连续的，而连续的定义就是两边极限相等，且两边极限等于该点函数值。\medskip + +$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\ln(1+bx)}{x}=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{bx}{x}=b=-1$。从而可以完善函数与定义域。\medskip + +$\therefore f(x)=\left\{\begin{array}{lcl} + \dfrac{\ln(1-x)}{x}, & & x<1,x\neq 0 \\ + -1, & & x=0 +\end{array} +\right.$。 + +这样就能转换为直接求导数问题。 + +对于定义域的$x<1,x\neq 0$部分：\medskip + +$f'(x)=\dfrac{\dfrac{-x}{1-x}-\ln(1-x)}{x^2}=\dfrac{x-(x-1)\ln(1-x)}{x^2(x-1)}\,(x<1,x\neq 0)$。 + +然后需要求分段点$x=0$处的导数。 + +可以由导数的定义： + +根据导数的定义是某点偏移量的极限值$\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$： + +$f'(0)=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}=\dfrac{\dfrac{\ln(1-x)}{x}-(-1)}{x-0}=\dfrac{\dfrac{\ln(1-x)}{x}+1}{x}$\medskip + +$=\dfrac{\ln(1-x)+x}{x^2}$ + +泰勒公式：$=\dfrac{-x-\dfrac{1}{2}x^2+o(x^2)+x}{x^2}=-\dfrac{1}{2}$。\medskip + +$\therefore f'(x)=\left\{\begin{array}{lcl} + \dfrac{x-(x-1)\ln(1-x)}{x^2(x-1)}, & & x<1,x\neq 0 \\ + -\dfrac{1}{2}, & & x=0 +\end{array} +\right.$。\medskip + +同样也可以使用导数的存在性： + +$\because f(x)$在$x=0$处连续，$\therefore x=0$的空心邻域上可导。从而$\lim\limits_{x\to x_0}f'(x)$存在。 + +$\therefore f'(0)=\lim\limits_{x\to 0}f'(x)$。计算过程类似。 + +\subsection{导数连续性} + +导数具有连续性与之前的函数连续性类似，不过要对函数求导数罢了。 + +要求导数两侧的极限并让其相等。\medskip + +\textbf{例题：}设$f(x)=\left\{\begin{array}{lcl} + x^2, & & x\leqslant 0 \\ + x^\alpha\sin\dfrac{1}{x}, & & x>0 +\end{array} +\right.$，若$f'(x)$连续，则$\alpha$应该满足？ + +解：若导数连续，则两侧导数相等。 + +$\lim\limits_{x\to 0^-}f'(x)=\lim\limits_{x\to 0^-}2x=0$。 + +$\lim\limits_{x\to 0^+}f'(x)=\lim\limits_{x\to 0^+}\alpha x^{\alpha-1}\sin\dfrac{1}{x}-x^{\alpha-2}\cos\dfrac{1}{x}=\lim\limits_{x\to 0^+}x^{\alpha-2}\left(\alpha x\sin\dfrac{1}{x}-\cos\dfrac{1}{x}\right)$。 + +$\because x\to 0^+$时，$\sin\dfrac{1}{x}\in[-1,1]$，$\therefore\alpha x\sin\dfrac{1}{x}=0$，$-\cos\dfrac{1}{x}\in[-1,1]$，$\therefore \alpha x\sin\dfrac{1}{x}-\cos\dfrac{1}{x}$为一个不为0的常数。 + +又$\lim\limits_{x\to 0^+}f'(x)=\lim\limits_{x\to 0^+}x^{\alpha-2}\left(\alpha x\sin\dfrac{1}{x}-\cos\dfrac{1}{x}\right)=\lim\limits_{x\to 0^-}f'(x)=0$。 + +$\therefore\lim\limits_{x\to 0^+}x^{\alpha-2}=0$。 + +$\therefore\alpha-2>0$，从而$\alpha>2$。 + +\section{极限与导数} + +导数的定义由极限产生，所以其之间是可以互相转换的，当求一个导数时可以寻找是否能求出其极限。 + +\subsection{极限求导数} + +在导数这一章中的极限不会直接给出极限，而是会给出导数或函数的相关定义，来求极限，再根据导数定义转换为导数。同时要注意这里不止会有导数定义，还会有函数等性质。 + +\textbf{例题：}已知$f(x)$是周期为5的连续函数，它在$x=0$的某个邻域内满足关系式：$f(1+\sin x)-3f(1-\sin x)= 8x+o(x)$，且$f(x)$在$x=1$处可导，求曲线$y=f(x)$在点$(6,f(6))$处的切线方程。 + +解：因为这是个函数等式，而我们最后要求的是一个导数，所以先尝试对其直接求极限，令$x\to0$： + +$f(1)-3f(1)=0$，从而得到了一个函数值$f(1)=0$。 + +然后再对这个式子思考，等式右边为$8x$，而除以$x$就变成了8，而再对其求极限，右边就彻底变成了一个常数8： + +$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{f(1+\sin x)-3f(1-\sin x)}{x}=8$。对式子左边进行变形： + +$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{f(1+\sin x)-3f(1-\sin x)}{x}=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{f(1+\sin x)-3f(1-\sin x)}{\sin x}$。 + +令$t=\sin x$： + +$=\lim\limits_{t\to 0}\dfrac{f(1+t)-3f(1-t)}{t}=\lim\limits_{t\to 0}\dfrac{f(1+t)-f(1)}{t}+3\lim\limits_{t\to 0}\dfrac{f(1-t)-f(1)}{-t}$。 + +因为$t\to 0$，所以$1-t$和$1+t$都是$t=1$时的导数$f'(x)$的定义：$=4f'(1)=8$，从而$f'(1)=2$。 + +由$f(x)$的周期为5，所以$f(6)=f(1)=0$，$f'(6)=f'(1)=2$，所以曲线$y=f(x)$在$(6,f(6))$即$(6,0)$处的切线方程为$y-0=2(x-6)$即$2x-y-12=0$。 + +15.当正在高度H水平飞行的飞机开始向机场跑道下降时，如图2-16所示从飞机到北场的水平地面距离为L.假设飞机下降的路径为三次函 + +数y=ax' +bx2 +cx+d的图形,其中yl..=H.y1..o=0.试 + +确定飞机的降落路径. + +16.甲船以6 km/h的速率向东行驶,乙船以8 km/h + +的速事向南行驶在中午十二点整,乙船位于甲船之北 + +L01 + +16 km处问下午一点整两船相离的速率为多少? + +\subsection{导数求极限} + +题目会给出对应的导数以及相关条件，并要求求一个极限，这个极限式子并不是个随机的式子，而一个是与导数定义相关的极限式子，所需要的就是将极限式子转换为导数定义的相关式子。 + +\subsubsection{导数定义式子} + +有时极限式子可以直接转换为导数定义式子，先稍微变换就可以代入导数。 + +\textbf{例题：}设$f(x)$是以3为周期的可导函数，且是偶函数，$f'(-2)=-1$，求$\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{h}{f(5-2\sin h)-f(5)}$。\medskip + +解：根据导数与函数的基本性质，原函数为偶函数，则其导函数为奇函数，所以$f'(5)=f'(2)=-f'(-2)=1$。 + +然后需要转换目标的极限式子，因为目标式子倒过来的式子类似于导数定义的$f'(x)=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$结构。所以我们可以先求其倒数式子：\medskip + +$=\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(5-2\sin h)-f(5)}{h}=\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(5-2\sin h)-f(5)}{-2\sin h}\cdot\dfrac{-2\sin h}{h}$ + +$=-2f'(5)=-2\times 1=-2$ + +$\therefore\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{h}{f(5-2\sin h)-f(5)}=-\dfrac{1}{2}$。 + +\subsubsection{定义近似式子} + +有时候极限式子不为导数定义的近似式子，这时候就需要先根据求极限的计算方式简化目标极限式子。 + +\textbf{例题：}设$f(x)$在$x=0$处可导且$f(0)=1$，$f'(0)=3$，则数列极限$I=\lim\limits_{n\to\infty}\left(f\left(\dfrac{1}{n}\right)\right)^{\frac{\frac{1}{n}}{1-\cos\frac{1}{n}}}$。\medskip + +解：设$\dfrac{1}{n}=x$，则： + +$=\lim\limits_{x\to 0}(f(x))^{\frac{x}{1-\cos x}}=e^{\lim\limits_{x\to 0}\frac{x}{1-\cos x}\ln f(x)}=e^{2\lim\limits_{x\to 0}\frac{\ln f(x)}{x}}=e^{2\lim\limits_{x\to 0}\frac{f(x)-1}{x}}$ + +$=e^{2\lim\limits_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}}=e^{2f'(0)}=e^6$。 + +\section{高阶导数} + +求高阶导数基本上使用归纳法或莱布尼茨公式。 + +高阶导数基本公式： + +\begin{enumerate} + \item $(e^x)^{(n)}=e^x$。 + \item $(a^x)^{(n)}=a^x(\ln a)^n$。 + \item $(\ln x)^{(n)}=(-1)^{n-1}(n-1)!x^{-n}$。 + \item $\left(\dfrac{1}{1+x}\right)^{(n)}=(-1)^n\dfrac{n!}{(1+x)^n}$。 + \item $\left(\dfrac{1}{1-x}\right)^{(n)}=\dfrac{n!}{(1-x)^n}$。 + \item $(\sin x)^{(n)}=\sin\left(x+\dfrac{n\pi}{2}\right)$。 + \item $(\cos x)^{(n)}=\cos\left(x+\dfrac{n\pi}{2}\right)$。 + \item $\{f(ax+b)\}^{(n)}=a^nf^{(n)}(ax+b)$。 +\end{enumerate} + +\subsection{高阶导数存在性} + +\subsection{携带未知数的多项式求高阶导} + +当所需要的求导的式子为一个多项式的时候，这个求导必然是有规律的。 + +当所求高阶导数的$x$值为一个常数时，那么这个常数值代入求导的式子必然是会消去一部分的，最常用的常数为$x=0$。 + +\textbf{例题：}已知$f(x)=x^2(x+1)^2(x+2)^2\cdots(x+n)^2$，求$f''(0)$。 + +解：因为式子中带有未知数$n$，所以结果很可能会带有$n$。 + +而这个式子项数为$n+1$项，所以求导结果必然很大，所以一定会消去一部分。 + +又求导的自变量$x=0$，而0代入很多式子都会被消去，所以这就是个突破口。 + +因为求导是求二阶导数，所以很可能这种求导是消去一部分而不是得到一个规律，因为阶数太低很难看出规律。 + +首先对$f(x)$求一阶导数（需要记住乘积的导数为各项求导的和）： + +$f'(x)=2x(x+1)^2(x+2)^2\cdots(x+n)^2$ + +$\quad\quad\quad+x^22(x+1)(x+2)^2\cdots(x+n)^2$ + +$\quad\quad\quad+x^2(x+1)^22(x+2)\cdots(x+n)^2$ + +$\quad\quad\quad\cdots$ + +$\quad\quad\quad+x^2(x+1)^2(x+2)^2\cdots 2(x+n)$ + +原式子一共1项，一阶导数后变为$n+1$项和，然后求二阶导数，会变为$(n+1)^2$项和。这时候我们应该回头看目标求的式子为$f''(0)$，而根据式子，只要乘积项中含有$x$项，那么这一整个项就都为0。 + +一阶导数中除一项每个项都含有$x^2$，所以求二阶导数的时候，$x^2$会变为$2x$在$x=0$处二阶导数为0，所以求二阶导数的时候一次导数的第一项后面$n$项在$x=0$处都是0，可以不用考虑。 + +而一阶导数的第一项只有对第一个$x$求导时会消去这个$x$变为$2(x+1)^2(x+2)^2\cdots(x+n)^2$，其他的$n$项二阶导数仍然含有$x$的项，所以结果也为0。 + +所以求$f''(0)$时，只有对一阶导数的第一项的第一个$x$求导所得到的导数项不为0，其他都是0，所以最后$f''(0)=2(x+1)^2(x+2)^2\cdots(x+n)^2=2(n!)^2$。 + +\subsection{反函数高阶导数} + +已知一阶导数的时候，反函数的导数为原函数导数的倒数（$g'(x)=\dfrac{1}{f'(x)}$）。 + +因为原函数的一阶导数是$\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}$，而反函数就是对原函数的$xy$对调，所以其反函数的一阶导数为$\dfrac{\textrm{d}x}{\textrm{d}y}$。 + +当求反函数的高阶导数时需要将分子分母同时除以$\textrm{d}x$。 + +\textbf{例题：}已知$y=x+e^x$，求其反函数的二阶导数。 + +解：$y=x+e^x$的反函数的一阶导数为$\dfrac{\textrm{d}x}{\textrm{d}y}=\dfrac{1}{1+e^x}$。\medskip + +所以二阶导数为$\dfrac{\textrm{d}^2x}{\textrm{d}y^2}=\dfrac{\textrm{d}\left(\dfrac{1}{1+e^{x}}\right)}{\textrm{d}y}=\dfrac{\dfrac{\textrm{d}\left(\dfrac{1}{1+e^{x}}\right)}{\textrm{d}x}}{\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}}=-\dfrac{e^x}{(1+e^x)^3}$。 + +\textbf{例题：}已知$\dfrac{\textrm{d}x}{\textrm{d}y}=\dfrac{1}{y'}$，求$\dfrac{\textrm{d}^2x}{\textrm{d}y^2}$和$\dfrac{\textrm{d}^3x}{\textrm{d}y^3}$。 + +解：其实就是求$\dfrac{\textrm{d}^2x}{\textrm{d}y^2}$和$\dfrac{\textrm{d}^3x}{\textrm{d}y^3}$，$\dfrac{\textrm{d}x}{\textrm{d}y}=\dfrac{1}{y'}$这个条件只是让我们用$y'$来表示结果而已。 + +$\dfrac{\textrm{d}^2x}{\textrm{d}y^2}=\dfrac{\textrm{d}\dfrac{\textrm{d}x}{\textrm{d}y}}{\textrm{d}y}=\dfrac{\dfrac{\textrm{d}\dfrac{\textrm{d}x}{\textrm{d}y}}{\textrm{d}x}}{\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}}=\dfrac{-\dfrac{y''}{(y')^2}}{y'}=-\dfrac{y''}{(y')^3}$。\medskip + +$\dfrac{\textrm{d}^3x}{\textrm{d}y^3}=\dfrac{\textrm{d}\dfrac{\textrm{d}^2x}{\textrm{d}^2y}}{\textrm{d}y}=\dfrac{\dfrac{\textrm{d}\dfrac{\textrm{d}^2x}{\textrm{d}^2y}}{\textrm{d}x}}{\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}}=\dfrac{-\dfrac{y'''y'-3(y'')^2}{(y')^4}}{y'}=\dfrac{3(y'')^2-y'y'''}{(y')^5}$。 + +\section{微分} + +微分若是出单独的计算很可能是物理应用问题，如计算速度增量、面积增量等，但是对于数一而言单独考的概率不大。 + +微分一般都是微分不等式的形式进行出题，即含有微分的不等式证明。 + +\subsection{函数性态} + +包括单调性、凹凸性与最值。 + +\textbf{例题：}证明当$x>0$时$\ln\left(1+\dfrac{1}{x}\right)<\dfrac{1}{\sqrt{x(x+1)}}$。 + +证明：令$F(x)=\ln\left(1+\dfrac{1}{x}\right)-\dfrac{1}{\sqrt{x(x+1)}}$。 + +即证明$\sqrt{x(x+1)}\ln\left(1+\dfrac{1}{x}\right)<1$。 + +令$t=\dfrac{1}{x}$，即证$\ln(1+t)\sqrt{\dfrac{1}{t}\left(\dfrac{1}{t}+1\right)}<1$，$\ln(1+t)\sqrt{1+t}0$。\medskip + +则$F'(t)=1-\dfrac{\sqrt{1+t}}{1+t}-\dfrac{\ln(1+t)}{2\sqrt{1+t}}=1-\dfrac{2+\ln(1+t)}{2\sqrt{1+t}}>0$。 + +$F(t)$递增，所以$F(t)>F(0)=0$。 + +\subsection{常数变量} + +如果不等式中都是常数，可以将其中的一个或几个常数变量化再利用导数去证明。 + +\textbf{例题：}设$02\dfrac{b-a}{a+b}$。 + +因为左边含有$\dfrac{b}{a}$不好处理，所以右边分子分母同时除以$a$全部变成统一变量：$\ln\dfrac{b}{a}>2\dfrac{\dfrac{b}{a}-1}{1+\dfrac{b}{a}}$。然后令$x=\dfrac{b}{a}$，所以即需要证明$\ln x>2\dfrac{x-1}{1+x}$，$x>1$。 + +\subsection{中值定理} + +一般使用拉格朗日中值定理或泰勒公式。 + +\textbf{例题：}设$f(x)$在闭区间$[0,c]$上连续，其导数$f'(x)$在开区间$(0,c)$内存在且单调减少，又$f(0)=0$，证明$f(a+b)\leqslant f(a)+f(b)$，$0\leqslant a\leqslant b\leqslant a+b\leqslant c$。 + +因为所要证明的式子中含有$a$、$b$、$a+b$，$f(0)=0$，所以对这几个区间进行拉格朗日中值定理。 + +$f(a)-f(0)=f'(\xi_1)(a-0)$，$f(a+b)-f(b)=f'(\xi_2)(a+b-b)$。 + +从而$f(a)=f'(\xi_1)a$，$f(a+b)-f(b)=f'(\xi_2)a$。 + +又$f'(x)$单调减少，所以$f'(\xi_1)>f'(\xi_2)$。 + +$f(a)\geqslant f(a+b)-f(b)$，所以$f(a+b)\leqslant f(a)+f(b)$。 + +\section{隐函数与参数方程} + +隐函数与参数方程求导基本上只用记住：\medskip + +$\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}=\dfrac{\textrm{d}y/\textrm{d}t}{\textrm{d}x/\textrm{d}t}$。 + +\subsection{隐函数应用} + +对于隐函数的应用题，最重要的是找到等价于$\textrm{d}x$和$\textrm{d}y$的两个相关变量。最简单的就是根据题目最后面的所求问题所涉及的变量设置其为变量和因变量。 + +\textbf{例题：}落在平静水面上的石头，产生同心波纹。若最外一圈波半径的增大速率总是6m/s，问在2s末扰动水面面积增大的速率为多少？ + +解：首先根据题目最后的要求的是面积，所以肯定要设一个面积变量，随时间变动而改变，所以也一定会设一个时间变量，同时还给出一个条件是半径增大速度，所以也会有一个半径的变量。同时要求的是面积增大速率，正好跟另外两个变量相关，时间跟半径和面积都相关，所以时间就是中间变量。 + +从而设最外一圈波的半径为$r=r(t)$，圆的面积$S=S(t)$。根据$S$和$r$的公式$S=\pi r^2$，因为求的是随时间变化的速率，所以其两端分别对$t$求导，得： + +$\dfrac{\textrm{d}S}{\textrm{d}t}=2\pi r\dfrac{\textrm{d}r}{\textrm{d}t}$。当$t=2$时，$r=6\times2=12$，代入上式得：\medskip + +$\dfrac{\textrm{d}S}{\textrm{d}t}\bigg|_{t=2}=2\pi\cdot12\cdot6=144\pi$。 + +\subsection{分段参数方程} + +\textbf{例题：}已知$y=y(x)$由参数方程$\left\{\begin{array}{lcl} + x=\dfrac{1}{2}\ln(1+t^2) \\ + y=\arctan t +\end{array} +\right.$确定，求其一阶导数与二阶导数。 + +解：$\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}=\dfrac{\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}t}}{\dfrac{\textrm{d}x}{\textrm{d}t}}=\dfrac{\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{2t}{1+t^2}}{\dfrac{1}{1+t^2}}=\dfrac{1}{t}$。 + +$\dfrac{\textrm{d}^2y}{\textrm{d}x^2}=\dfrac{\textrm{d}\left(\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}\right)}{\textrm{d}x}=\dfrac{\dfrac{\textrm{d}\left(\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}\right)}{\textrm{d}t}}{\dfrac{\textrm{d}x}{\textrm{d}t}}=\dfrac{-\dfrac{1}{t^2}}{\dfrac{t}{1+t^2}}=-\dfrac{1+t^2}{t^3}$。 + +\section{一元函数微分应用} + +\subsection{物理应用} + +考的可能性不大。 + +如$v=\lim\limits_{\Delta t\to0}\dfrac{\Delta s}{\Delta t}=s'(t)$，加速度$a(t)=\lim\limits_{\Delta t\to0}\dfrac{\Delta v}{\Delta t}=v'(t)=s''(t)$。 + +\subsection{相关变化律} + +这个部分在书上主要是跟隐函数共同出现。 + +相关变化率含有一个最终的自变量$t$，$xy$都是关于$t$的函数。即隐函数$\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}t}=\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}\dfrac{\textrm{d}x}{\textrm{d}t}$。 + +\textbf{例题：}已知动点$P$在曲线$y=x^3$上运动，记坐标原点与点$P$之间的距离为$l$。若点$P$的横坐标对事件的变化率为常数$v_0$，则当$P$运动到点$(1,1)$时，求$l$对时间的变化率。 + +解：求$l$对时间的变化率就是求$\dfrac{\textrm{d}l}{\textrm{d}t}$，即求$\dfrac{\textrm{d}l}{\textrm{d}x}\dfrac{\textrm{d}x}{\textrm{d}t}$，且已知$\dfrac{\textrm{d}x}{\textrm{d}t}=v_0$。 + +又$l=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{x^2+x^6}=x\sqrt{1+x^4}$。 + +$\therefore\dfrac{\textrm{d}l}{\textrm{d}x}=\dfrac{1+3x^4}{\sqrt{1+x^4}}$，所以$\dfrac{\textrm{d}l}{\textrm{d}t}=\dfrac{1+3x^4}{\sqrt{1+x^4}}v_0$，代入$(1,1)$得到：$2\sqrt{2}v_0$。 + +\subsection{几何应用} + +主要是曲率的应用。 + +曲率公式：$k=\left\lvert\dfrac{\textrm{d}\alpha}{\textrm{d}s}\right\rvert=\dfrac{\vert y''\vert}{(1+y'^2)^{\frac{3}{2}}}$。曲率半径：$r=\dfrac{1}{k}$。 + +\subsubsection{一般计算} + +\textbf{例题：}求$y=\sin x$在$x=\dfrac{\pi}{4}$对应的曲率 + +解：$y'=\cos x$，$y'(\dfrac{\pi}{4})=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$。 + +$y''=-\sin x$，$y''(\dfrac{\pi}{4})=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$。 + +$\therefore k=\dfrac{\dfrac{\sqrt{2}}{2}}{\dfrac{3}{2}\cdot\sqrt{\dfrac{3}{2}}}=\dfrac{2\sqrt{3}}{9}$。 + +所以$y=\sin x$在$x=\dfrac{\pi}{4}$的点$(\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\sqrt{2}}{2})$的曲率为$\dfrac{2\sqrt{3}}{9}$。 + +\subsubsection{最值} + +\textbf{例题：}求$y=x^2-4x+11$曲率最大值所在的点。 + +解：简单得$y'=2x-4$，$y''=2$。 + +曲率为$\dfrac{2}{[1+(2x-4)^2]^{\frac{3}{2}}}$。 + +当$2x-4=0$时即在$(2,7)$时曲率最大为2。 + +\end{document} diff --git a/advanced-math/exercise/4-indefinite-integral-and-definite-integral/indefinite-integral-and-definite-integral.pdf b/advanced-math/exercise/4-indefinite-integral-and-definite-integral/indefinite-integral-and-definite-integral.pdf deleted file mode 100644 index 7599732..0000000 Binary files a/advanced-math/exercise/4-indefinite-integral-and-definite-integral/indefinite-integral-and-definite-integral.pdf and /dev/null differ diff --git a/advanced-math/exercise/4-integal-of-functions-of-single-variable/integal-of-functions-of-single-variable.pdf b/advanced-math/exercise/4-integal-of-functions-of-single-variable/integal-of-functions-of-single-variable.pdf new file mode 100644 index 0000000..8cd0db7 Binary files /dev/null and b/advanced-math/exercise/4-integal-of-functions-of-single-variable/integal-of-functions-of-single-variable.pdf differ diff --git a/advanced-math/exercise/4-indefinite-integral-and-definite-integral/indefinite-integral-and-definite-integral.tex b/advanced-math/exercise/4-integal-of-functions-of-single-variable/integal-of-functions-of-single-variable.tex similarity index 89% rename from advanced-math/exercise/4-indefinite-integral-and-definite-integral/indefinite-integral-and-definite-integral.tex rename to advanced-math/exercise/4-integal-of-functions-of-single-variable/integal-of-functions-of-single-variable.tex index 74f1341..b83b009 100644 --- a/advanced-math/exercise/4-indefinite-integral-and-definite-integral/indefinite-integral-and-definite-integral.tex +++ b/advanced-math/exercise/4-integal-of-functions-of-single-variable/integal-of-functions-of-single-variable.tex @@ -25,7 +25,7 @@ \usepackage[colorlinks,linkcolor=black,urlcolor=blue]{hyperref} % 超链接 \author{Didnelpsun} -\title{不定积分与定积分} +\title{一元函数积分学} \date{} \begin{document} \maketitle @@ -623,15 +623,81 @@ $\therefore F''(x)=f(x)$。 \subsection{反常积分} -\section{积分应用} +\section{一元函数积分应用} -\subsection{面积} +\subsection{几何应用} -\subsection{体积} +重点是形心公式和弧长公式。 -\subsection{平均值} +\subsubsection{面积} -\subsection{弧长} +\subsubsection{体积} + +\subsubsection{平均值} + +\subsubsection{弧长} + +利用勾股定理求弧长。 + +若平面光滑曲线表达式为： + +\begin{itemize} + \item 直角坐标系$y=y(x)$（$a\leqslant x\leqslant b)$，则$s=\int_a^b\sqrt{1+[y'(x)]^2}\,\textrm{d}x$。 + \item 参数方程$x=x(t),y=y(t)$（$\alpha\leqslant t\leqslant\beta)$，则$s=\int_\alpha^\beta\sqrt{[x'(x)]^2+[y'(t)]^2}\,\textrm{d}t$。 + \item 极坐标系$r=r(\theta)$（$\alpha\leqslant\theta\leqslant\beta)$给出，则$s=\int_a^b\sqrt{[r(\theta)]^2+[r'(\theta)]^2}\,\textrm{d}\theta$。 +\end{itemize} + +\subsubsection{旋转曲面表面积} + +使用弧长而不是$\textrm{d}x$来计算。 + +曲线$y=y(x)$在区间$[a,b]$上的曲线弧段绕$x$轴旋转一周所得的旋转曲面的表面积$S=2\pi\int_a^b\vert y(x)\vert\sqrt{1+[y'(x)]^2}\,\textrm{d}x$。 + +曲线$x=x(t)$，$y=y(t)$（$\alpha\leqslant t\leqslant\beta$，$x'(t)\neq0$）在区间$[\alpha,\beta]$上的曲线弧段绕$x$轴旋转一周所得到的旋转曲面的表面积$S=2\pi\int_\alpha^\beta\vert y(t)\vert\sqrt{[x'(t)]^2+[y'(t)]^2}\,\textrm{d}t$。 + +\subsubsection{形心坐标公式} + +设曲边梯形平面区域$D=\{(x,y)|0\leqslant y\leqslant f(x),a\leqslant x\leqslant b\}$，$f(x)$在$[a,b]$上连续，则$D$的形心坐标计算公式为： + +$\overline{x}=\dfrac{\iint\limits_Dx\,\textrm{d}\sigma}{\iint\limits_D\textrm{d}\sigma}=\dfrac{\int_a^b\textrm{d}x\int_0^{f(x)}x\textrm{d}y}{\int_a^b\textrm{d}x\int_0^{f(x)}\,\textrm{d}y}=\dfrac{\int_a^bxf(x)\,\textrm{d}x}{\int_a^bf(x)\,\textrm{d}x}$。 + +$\overline{y}=\dfrac{\iint\limits_Dy\,\textrm{d}\sigma}{\iint\limits_D\textrm{d}\sigma}=\dfrac{\int_a^b\textrm{d}x\int_0^{f(x)}y\textrm{d}y}{\int_a^b\textrm{d}x\int_0^{f(x)}\,\textrm{d}y}=\dfrac{\int_a^bf^2(x)\,\textrm{d}x}{2\int_a^bf(x)\,\textrm{d}x}$。 + +\textbf{例题：}设曲线$L$的方程为$y=\dfrac{1}{4}x^2-\dfrac{1}{2}\ln x$，$1\leqslant x\leqslant e$，$D$是由曲线$L$，直线$x=1$，$x=e$及$x$轴围成的平面图形，求$D$的形心横坐标。 + +解：代入$\overline{x}=\dfrac{\int_a^bxf(x)\,\textrm{d}x}{\int_a^bf(x)\,\textrm{d}x}=\dfrac{\int_1^ex\left(\dfrac{1}{4}x^2-\dfrac{1}{2}\ln x\right)\,\textrm{d}x}{\int_1^e\left(\dfrac{1}{4}x^2-\dfrac{1}{2}\ln x\right)\,\textrm{d}x}=\dfrac{3(e^2+1)(e^2-3)}{4(e^3-7)}$。 + +\subsubsection{平行截面已知的立体体积} + +\subsection{物理应用} + +\subsubsection{变力沿直线做功} + +设方向沿$x$轴正向的力函数为$F(x)$（$a\leqslant x\leqslant b$），则物体沿$x$轴从点$a$移动到点$b$时，变力$F(x)$所做的功为$W=\int_a^bF(x)\,\textrm{d}x$，功的元素$\textrm{d}W=F(x)\,\textrm{d}x$。 + +\subsubsection{抽水做功} + +将容器中的水全部抽出所做的功为$W=\rho g\int_a^bxA(x)\,\textrm{d}x$，其中$\rho$为水的密度，$g$为重力加速度。 + +功的元素$\textrm{d}W=\rho gxA(x)\,\textrm{d}x$为位于$x$处厚度为$\textrm{d}x$，水平截面面积为$A(x)$的一层水被抽出（路径为$x$）所做的功。 + +\textbf{例题：}有一个半径为$4m$的半球形水池蓄满了水，现在要将水全部抽取到距水池原水面$6m$高的水箱中，求需要做多少功。（水的密度为$1000kg/m^3$，重力加速度$g=9.8m/s^2$） + +解：令水池是竖直的，所以以$y$为积分的方向。 + +根据原水平面为半径为4的圆的面积，得到$x^2+y^2=16$，解得$x^2=16-y^2$，$A(y)=\pi x^2=\pi(16-y^2)$。 + +$\rho gA(y)\,\textrm{d}y=\rho g\pi(16-y^2)\,\textrm{d}y$ + +要将水提到$6m$，即路径为$6-y$，所以$\rho g\pi(16-y^2)(6-y)\,\textrm{d}y$。 + +又$y$从最开始的0到抽干的-4，所以得到$w=\int_{-4}^0\rho g\pi(16-y^2)(6-y)\,\textrm{d}y$。 + +\subsubsection{水压力} + +垂直浸没于水中的平板$ABCD$的一侧收到的水压力为$P=\rho g\int_a^bx[f(x)-h(x)]\,\textrm{d}x$，其中$\rho$为水的密度，$g$为重力加速度。 + +压力元素$\textrm{d}P=\rho gx[f(x)-h(x)]\,\textrm{d}x$是受到的压力，$x$表示水深，$f(x)-h(x)$是矩形的宽度，$\textrm{d}x$是矩形的高度，总高度为$\vert a-b\vert$。 \section{积分等式} @@ -693,8 +759,6 @@ $\therefore=\dfrac{f(x)x-f(\xi)x}{x^2}=\dfrac{f(x)-f(\xi)}{x}$，因为$f(x)$在 所以$F'(x)<0$，所以$F(x)$单调递减，从而$F(\lambda)\geqslant F(1)$，所以得证。 - - \subsection{拉格朗日中值定理} 多用于所给条件为“$f(x)$一阶可导”且某一端点值较简单甚至为0的题目。 diff --git a/advanced-math/exercise/8-infinite-series/infinite-series.pdf b/advanced-math/exercise/8-infinite-series/infinite-series.pdf index a0062c3..5fe4149 100644 Binary files a/advanced-math/exercise/8-infinite-series/infinite-series.pdf and b/advanced-math/exercise/8-infinite-series/infinite-series.pdf differ diff --git a/advanced-math/exercise/8-infinite-series/infinite-series.tex b/advanced-math/exercise/8-infinite-series/infinite-series.tex index 5034ec0..20b9d3c 100644 --- a/advanced-math/exercise/8-infinite-series/infinite-series.tex +++ b/advanced-math/exercise/8-infinite-series/infinite-series.tex @@ -34,8 +34,31 @@ \newpage \pagestyle{plain} \setcounter{page}{1} -\section{} +\section{求和函数} + +可以利用展开式求和函数，但是很多展开式的通项都不是公式中的，就需要对通项进行变形。 + +\subsection{先导后积} + +$n$在分母上，先导后积。使用变限积分：$\int_{x_0}^xS'(t)\,\textrm{d}t=S(x)-S(x_0)$，即$S(x)=S(x_0)+\int_{x_0}^xS'(t)\,\textrm{d}t$。一般选择$x_0$为展开点。 + +\textbf{例题：}求级数$\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{x^n}{n}$的和函数。 + +解：已知$\sum\limits_{n=0}^\infty x^n=\dfrac{1}{1-x}$，而这里求和是$\dfrac{x^n}{n}$，所以需要对其进行转换。 + +对$\dfrac{x^n}{n}$求导就得到了$x^{n-1}$消去了分母的$n$，所以使用先导后积的方法。 + +记$S(x)=\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{x^n}{n}$，则$x^n=(x-0)^n$，取$x_0=0$。 + +$\therefore S(x)=S(0)+\displaystyle{\int_0^x\left(\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{t^n}{n}\right)_t'\,\textrm{d}t}=0+\int_0^x(\sum\limits_{n=1}^\infty t^{n-1})\,\textrm{d}t=\displaystyle{\int_0^x\dfrac{1}{1-t}\textrm{d}t}=-\ln(1-x)$。收敛域为$(-1,1)$。 +\subsection{先积后导} + +$n$在分子上，先积后导。$(\int S(x)\,\textrm{d}x)'=S(x)$。 + +\textbf{例题：}求级数$\sum\limits_{n=1}^\infty nx^n$的和函数。 + +解：记$S(x)=\sum\limits_{n=1}^\infty nx^n=x\sum\limits_{n=1}^\infty x^{n-1}=x(\int\sum\limits_{n=1}^\infty nx^{n-1}\,\textrm{d}x)'=x(\sum\limits_{n=1}^\infty x^n)'=x\left(\dfrac{x}{1-x}\right)'=\dfrac{x}{(1-x)^2}$。收敛域为$[-1,1]$。 \end{document} diff --git a/advanced-math/exercise/9-differential-equation/differential-equation.pdf b/advanced-math/exercise/9-differential-equation/differential-equation.pdf index d81be83..ff85839 100644 Binary files a/advanced-math/exercise/9-differential-equation/differential-equation.pdf and b/advanced-math/exercise/9-differential-equation/differential-equation.pdf differ diff --git a/advanced-math/exercise/9-differential-equation/differential-equation.tex b/advanced-math/exercise/9-differential-equation/differential-equation.tex index abca49b..549c44b 100644 --- a/advanced-math/exercise/9-differential-equation/differential-equation.tex +++ b/advanced-math/exercise/9-differential-equation/differential-equation.tex @@ -192,4 +192,18 @@ $A.$取得最大值\qquad$B.$取得最小值\qquad$C.$某个邻域内单调增 $y''(x_0)=-4y(x_0)<0$，所以该点为极大值点。 +\section{欧拉方程} + +\section{微分方程物理应用} + +\subsection{牛顿第二定律} + +$F=ma$，物体质量$m$，力$f$，加速度$a=\dfrac{\textrm{d}^x}{\textrm{d}t^2}=\dfrac{\textrm{d}v}{\textrm{d}t}=\dfrac{\textrm{d}v}{\textrm{d}x}\dfrac{\textrm{d}x}{\textrm{d}t}=v\dfrac{\textrm{d}v}{\textrm{d}x}$。 + +\subsection{变化率} + +考的可能性较大，提法多为$t$时刻某量$y$对$t$的变化率与$t$时刻某量成正比。 + +如冷却定律，$k$时刻物体温度$T(t)$对时间的变化率与$t$时刻物体与介质的温差$T-T_0$成正比，应写为$\dfrac{\textrm{d}T}{\textrm{d}t}=-k(x-x_0)$。 + \end{document} diff --git a/advanced-math/knowledge/4-indefinite-integral-and-definite-integral/indefinite-integral-and-definite-integral.pdf b/advanced-math/knowledge/4-indefinite-integral-and-definite-integral/indefinite-integral-and-definite-integral.pdf index a440449..ba2df35 100644 Binary files a/advanced-math/knowledge/4-indefinite-integral-and-definite-integral/indefinite-integral-and-definite-integral.pdf and b/advanced-math/knowledge/4-indefinite-integral-and-definite-integral/indefinite-integral-and-definite-integral.pdf differ diff --git a/advanced-math/knowledge/4-indefinite-integral-and-definite-integral/indefinite-integral-and-definite-integral.tex b/advanced-math/knowledge/4-indefinite-integral-and-definite-integral/indefinite-integral-and-definite-integral.tex index acf93a6..2d6f3b9 100644 --- a/advanced-math/knowledge/4-indefinite-integral-and-definite-integral/indefinite-integral-and-definite-integral.tex +++ b/advanced-math/knowledge/4-indefinite-integral-and-definite-integral/indefinite-integral-and-definite-integral.tex @@ -743,7 +743,7 @@ $=2\pi\int_0^{2\pi}a(t-\sin t)a^2(1-\cos t)^2\,\textrm{d}t=2a^3\pi\int_0^{2\pi}( \subsubsection{平行截面已知的立体体积} -已知截面面积可以通过对应的高得到立体体积：$V=\int_a^bS(x)\,\textrm{d}x$。 +已知截面面积可以通过对应的高得到立体体积，在区间$[a,b]$上，垂直于$x$轴的平面截例题所得到的截面面积为$x$的连续函数$S(x)$，则体积为：$V=\int_a^bS(x)\,\textrm{d}x$。 \textbf{例题：}计算由$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2}=1$所围成的椭球体的体积。 diff --git a/advanced-math/knowledge/8-infinite-series/infinite-series.pdf b/advanced-math/knowledge/8-infinite-series/infinite-series.pdf index e944727..6340875 100644 Binary files a/advanced-math/knowledge/8-infinite-series/infinite-series.pdf and b/advanced-math/knowledge/8-infinite-series/infinite-series.pdf differ diff --git a/advanced-math/knowledge/8-infinite-series/infinite-series.tex b/advanced-math/knowledge/8-infinite-series/infinite-series.tex index 3daa7e4..5e2a8fe 100644 --- a/advanced-math/knowledge/8-infinite-series/infinite-series.tex +++ b/advanced-math/knowledge/8-infinite-series/infinite-series.tex @@ -87,6 +87,11 @@ $S_n=u_1+u_2+\cdots+u_n$称为级数的\textbf{部分和}，$\{S_n\}$是级数 基本就是使用放缩法判断是否有界。 +\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}等比级数（几何级数）：$\sum\limits_{n=21}^\infty\dfrac{1}aq^{n-1}\left\{\begin{array}{l} + \vert q\vert<1, \text{收敛} \\ + \vert q\vert\geqslant 1, \text{发散} +\end{array}\right.$。 + \textbf{例题：}判断级数$\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{1}{\sqrt{n}}$的敛散性。 解：$S_n=1+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}}+\cdots+\dfrac{1}{\sqrt{n}}>n\dfrac{1}{\sqrt{n}}=\sqrt{n}$，当$n\to\infty$时$\sqrt{n}\to\infty$，无上界所以发散。 @@ -144,54 +149,282 @@ $\therefore\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{\dfrac{1}{n}-\sin\dfrac{1}{n}}{\dfrac{ \textbf{例题：}判断级数$\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{\vert a\vert^nn!}{n^n}$的敛散性，其中$a$为非零常数。 -解： +解：记$u_n=\dfrac{\vert a\vert^nn!}{n^n}$，$\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\vert a\vert\lim\limits_{n\to\infty}\left(\dfrac{n}{n+1}\right)^n=\vert a\vert e^{\lim\limits_{n\to\infty}n\ln\frac{n}{n+1}}=\vert a\vert e^{\lim\limits_{n\to\infty}n(\frac{n}{n+1}-1)}=\vert a\vert e^{\lim\limits_{n\to\infty}(\frac{-n}{n+1}-1)}=\vert a\vert e^{-1}=\dfrac{\vert a\vert}{e}$。 + +若$0<\vert a\verte$，所以发散；若$\vert a\vert=e$，则回代得到比值$e\left(\dfrac{n}{n+1}\right)^n=\dfrac{e}{(1+\dfrac{1}{n})^n}\to1^+$，且$u_1=e$，$\therefore u_n>u_1>0$，所以发散。 \paragraph{根值判别法} \leavevmode \medskip 也称为柯西判别法。 -\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}$\sum\limits_{n=1}^\infty u_n$ +\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}给出正项级数$\sum\limits_{n=1}^\infty u_n$，若$\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{u_n}=\rho$，则\ding{172}若$\rho<1$，则$\sum\limits_{n=1}^\infty u_n$收敛；若$\rho>1$，则$\sum\limits_{n=1}^\infty u_n$发散。 + +适用于含有$a^n$，$n^n$的通项。 + +同理$\rho=1$也会失效。 + +\textbf{例题：}判断级数$\sum\limits_{n=1}^\infty\left(n\sin\dfrac{1}{n}\right)^{n^3}$的敛散性。 + +解：记$u=\left(n\sin\dfrac{1}{n}\right)^{n^3}$，则$\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{u_n}=\lim\limits_{n\to\infty}\left(n\sin\dfrac{1}{n}\right)^{n^2}=e^{\lim\limits_{n\to\infty}n^(n\sin\frac{1}{n}-1)}=e^{\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{\sin\frac{1}{n}-\frac{1}{n}}{\frac{1}{n^3}}}=e^{-\frac{1}{6}}<1$，所以收敛。 \subsubsection{交错级数} \paragraph{概念} \leavevmode \medskip +\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}若级数各项\textbf{正负相间}出现，则这样的级数是\textbf{交错级数}，一般写为$\sum\limits_{n=1}^\infty(-1)^{n-1}u_n=u_1-u_2+u_3-u_4+\cdots+(-1)^{n-1}u_n+\cdots$，其中$u_n>0$。 + \paragraph{莱布尼兹判别法} \leavevmode \medskip +\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}给出一交错级数$\sum\limits_{n=1}^\infty(-1)^{n-1}u_n$，$u_n>0$，$n=1,2,\cdots$，若$\{u_n\}$\textbf{单调不增}$u_n\geqslant u_{n+1}$且$\lim\limits_{n\to\infty}=0$，则该级数收敛。 + +\textbf{例题：}判断交错调和级数$\sum\limits_{n=1}^\infty(-1)^{n-1}\dfrac{1}{n}$的敛散性。 + +解：$\because\lim\limits_{n\to\infty}u_n=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{1}{n}=0$。 + +且$\dfrac{1}{n}>\dfrac{1}{n+1}$，所以级数收敛。 + +\textbf{例题：}判断级数$\sum\limits_{n=1}^\infty\sin(\pi\sqrt{n^2+a^2})$的敛散性，其中$a$为非零常数。 + +解：$\because\sin(\alpha+n\pi)=(-1)^n\sin\alpha$。$\therefore\sin(\pi\sqrt{n^2+a^2})=$ + +$\sin(\pi\sqrt{n^2+a^2-n\pi+n\pi})=(-1)^n\sin\left(\dfrac{a^2\pi}{\sqrt{n^2+a^2}+n}\right)$。 + +记$u_n=\sin\left(\dfrac{a^2\pi}{\sqrt{n^2+a^2}+n}\right)$，又$n\to\infty$时$\dfrac{a^2\pi}{\sqrt{n^2+a^2}+n}\to0^+$且单调不增，$\sin x$在$x\to0^+$时也是单调函数，所以$\lim\limits_{n\to\infty}u_n=0$且单调不增。 + +所以收敛。 + +\textbf{例题：}判断级数$\sum\limits_{n=1}^\infty(-1)^n\dfrac{\ln(1+n)}{1+n})$的敛散性。 + +解：$\lim\limits_{n\to\infty}u_n=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{\ln(1+n)}{1+n}=\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\ln(1+x)}{1+x}=\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{1}{1+x}=0$。 + +对$\dfrac{\ln(1+n)}{1+n})$进行比较有些麻烦，所以令$f(x)=\dfrac{\ln(1+x)}{1+x})$。 + +$f'(x)=\dfrac{1-\ln(1+x)}{(1+x)^2}$，当$x\to+\infty$时，$f'(x)<0$，$\{u_n\}$单调减少，所以收敛。 + \subsubsection{任意项级数} +\paragraph{概念} \leavevmode \medskip + +\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}若级数$\sum\limits_{n=1}^\infty(-1)^{n-1}u_n$各项可为正可为负，可为零，则这种级数就是\textbf{任意项级数}。 + +给任意项级数每一项加上绝对值$\sum\limits_{n=1}^\infty(-1)^{n-1}\vert u_n\vert$，就得到了正项级数，称为原级数的\textbf{绝对值级数}。 + \paragraph{绝对收敛} \leavevmode \medskip +\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}设$\sum\limits_{n=1}^\infty(-1)^{n-1}u_n$为任意项级数，若$\sum\limits_{n=1}^\infty(-1)^{n-1}\vert u_n\vert$收敛，则称$\sum\limits_{n=1}^\infty$\\$(-1)^{n-1}u_n$\textbf{绝对收敛}。 + \paragraph{条件收敛} \leavevmode \medskip +\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}设$\sum\limits_{n=1}^\infty(-1)^{n-1}u_n$为任意项级数，若$\sum\limits_{n=1}^\infty(-1)^{n-1}u_n$收敛，但$\sum\limits_{n=1}^\infty(-1)^{n-1}$\\$\vert u_n\vert$发散，则称$\sum\limits_{n=1}^\infty(-1)^{n-1}u_n$\textbf{条件收敛}。 + +\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}若$\sum\limits_{n=1}^\infty(-1)^{n-1}\vert u_n\vert$收敛，则$\sum\limits_{n=1}^\infty(-1)^{n-1}u_n$必收敛。（绝对收敛则收敛） + +\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}收敛级数的项任意加括号后所得的新级数仍收敛，且其和不变。 + +\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}若原级数绝对收敛，不论将其项如何排列，则所得的新级数也收敛，且其和不变。（绝对收敛的级数具有可交换性） + +\textbf{例题：}若级数$\sum\limits_{n=1}^\infty u_n$收敛，则下面级数必收敛的是()。 + +$A.\sum\limits_{n=1}^\infty(-1)\dfrac{u_n}{n}$\qquad$B.\sum\limits_{n=1}^\infty u_n^2$\qquad$C.\sum\limits_{n=1}^\infty(u_{2n-1}-u_{2n})$\qquad$D.\sum\limits_{n=1}^\infty(u_n+u_{n+1})$ + +解：对于$A$，取$u_n=(-1)^n\dfrac{1}{\ln n}$，则原来$\dfrac{u_n}{n}=(-1)^n\dfrac{1}{\ln n}$收敛，但是乘上$(-1)^n$就不一定收敛，得到$\dfrac{1}{n\ln n}$。 + +\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}广义$p$级数：$\sum\limits_{n=2}^\infty\dfrac{1}{n(\ln n)^p}\left\{\begin{array}{l} + p>1, \text{收敛} \\ + p\leqslant1, \text{发散} +\end{array}\right.$。（$n=1$无意义，从$n=2$开始不影响其敛散性） + +所以$A$发散。 + +对于$B$，取$u_n=(-1)^n\dfrac{1}{\sqrt{n}}$，则$u_n^2=\dfrac{1}{n}$，调和级数不收敛。 + +对于$C$，取$u_n=(-1)^{n-1}\dfrac{1}{n}$，则得到$u_{2n-1}-u_{2n}=\dfrac{1}{n}$，调和级数不收敛。 + +对于$D$，由于$u_n$收敛，则$u_{n+1}$也收敛，所以相加也收敛，选$D$。 + +\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}若$u_n^2$收敛，则$\dfrac{u_n}{n}$绝对收敛。 + +证明：因为不等式$\vert a\vert\vert b\vert\leqslant\dfrac{\vert a\vert^2+\vert b\vert^2}{2}$，$\therefore0\leqslant\vert u_n\dfrac{1}{n}\vert\leqslant\dfrac{u_n^2+\dfrac{1}{n^2}}{2}$。 + +且$u_n^2$收敛，则$\dfrac{u_n^2+\dfrac{1}{n^2}}{2}$也收敛，根据性质得证。 + \section{幂级数} -\subsection{概念与收敛域} +\subsection{概念} -\subsubsection{概念} +\subsubsection{定义} + +\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}设函数列$\{u_n(x)\}$定义在区间$I$上，称$u_1(x)+u_2(x)+\cdots+u_n(x)+\cdots$为定义在区间$I$上的\textbf{函数项级数}，记为$\sum\limits_{n=1}^\infty u_n(x)$，当$x$取确定的值$x_0$时，$\sum\limits_{n=1}^\infty$成为常数项级数$\lim\limits_{n=1}^\infty u_n(x_0)$。 + +\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}若$\sum\limits_{n=1}^\infty u_0(x)$的一般项$u_0(x)$为$n$次幂函数，则称$\sum\limits_{n=1}^\infty u_0(x)$为\textbf{幂级数}，是一种常用的函数项级数，一般形式为$\sum\limits_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+\cdots+a_n(x-x_0)^n+\cdots$，其标准形式为$\sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^x+\cdots$，其中$a_n$（$n=0,1,2,\cdot$）为\textbf{幂级数的系数}。 + +幂级数也称为泰勒级数，与泰勒展开式一样的结构。 + +\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}若给定$x_0\in I$，有$\sum\limits_{n=1}^\infty u_0(x)$收敛，则称点$x_0$为幂级数$\sum\limits_{n=1}^\infty u_0(x)$的\textbf{收敛点}；若给定$x_0\in I$，有$\sum\limits_{n=1}^\infty u_0(x)$发散，则点$x_0$为幂级数$\sum\limits_{n=1}^\infty u_0(x)$的\textbf{发散点}。 \subsubsection{阿贝尔定理} +\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}当幂级数$\sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n$在点$x=x_1$（$x_1\neq0$）处收敛时，对于满足$\vert x\vert<\vert x_1\vert$的一切$x$，幂级数\textbf{绝对收敛}；当幂级数$\sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n$在$x=x_2$（$x_2\neq0$）处发散时，对于满足$\vert x\vert>\vert x_2\vert$的一切$x$，幂级数\textbf{发散}。 + +所以一定存在一个点$R$，在$\vert x\vert<\vert R\vert$中绝对收敛，在$\vert x\vert>\vert R\vert$中发散，$R$称为\textbf{收敛半径}。对于点$\pm R$需要代入幂级数变成常数项级数进行计算，判别其敛散性。 + \subsubsection{收敛域} +\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}函数项级数$\sum\limits_{n=1}^\infty u_0(x)$的所有收敛点的集合就是其\textbf{收敛域}。 + +\paragraph{具体型} \leavevmode \medskip + +收敛域的求法： + +\begin{enumerate} + \item 若$\lim\limits_{n\to\infty}\left\vert\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right\vert=\rho$，则$\sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n$收敛半径$R$的表达式为$\left\{\begin{array}{ll} + \dfrac{1}{\rho}, & \rho\neq0 \\ + +\infty, & \rho=0 \\ + 0, & \rho=+\infty + \end{array}\right.$。 + \item 开区间$(-R,R)$为幂级数$\sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n$的收敛区间。 + \item 代入$R$判断该点的敛散性，最后组合得到收敛域。 +\end{enumerate} + +但是这种方法有一点不方便，如若只知道$a_n$和$a_{n+2}$的关系则求$\rho=\dfrac{1}{R}$比较麻烦。 + +收敛域的统一求法： + +\begin{enumerate} + \item 取绝对值$\vert u_0(x)\vert\geqslant0$，从而可以使用正项级数的判别法。 + \item 根据比值判别法或根值判别法，求$\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{\vert u_{n+1}(x)\vert}{\vert u_n(x)\vert}=\rho$或$\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\vert u_n(x)\vert}=\rho$，令其小于1，得到收敛区间$x\in(a,b)$。 + \item 单独讨论$x=a$，$x=b$处的敛散性，得到收敛域。 +\end{enumerate} + +\textbf{例题：}求幂级数$\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{x^n}{n}$的收敛域。 + +解：令$\vert u_n(x)\vert=\left\vert\dfrac{x^n}{n}\right\vert$。由于含有$x^n$，所以使用比值判别法。 + +$\therefore\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{\vert u_{n+1}(x)\vert}{\vert u_n(x)\vert}=\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{\vert x^{n+1}\vert}{n+1}\dfrac{n}{\vert x^n\vert}=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{n}{n+1}\vert x\vert=\vert x\vert$。\medskip + +令其小于1，即$\vert x\vert<1$，$-10 + \end{array}\right.$。 +\end{enumerate} + \subsection{函数展开为幂级数} \subsubsection{概念} +\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}若函数$f(x)$在$x=x_0$处存在任意阶导数，则称$f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\dfrac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots+\dfrac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+\cdots$为函数$f(x)$在$x_0$处的\textbf{泰勒级数}，则$f(x)=\sum\limits_{n=0}^\infty\dfrac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n$。 + +当$x_0=0$时，称$f(0)+f'(0)x+\dfrac{f''(0)}{2!}x^2+\cdots+\dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n+\cdots$为函数$f(x)$的\textbf{麦克劳林级数}，若收敛，则$f(x)=\sum\limits_{n=0}^\infty\dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$。 + +都是函数展开成幂级数。 + \subsubsection{求法} \paragraph{直接法} \leavevmode \medskip +逐个计算$a_n=\dfrac{f^{(n)}(x_0)}{n!}$并代入，但是一般很麻烦。 + \paragraph{间接法} \leavevmode \medskip +利用已知的七个幂级数展开式，通过变量代换、四则运算、逐项求导、逐项积分和待定系数等得到。 + +\textbf{例题：}求函数$f(x)=\arctan x$在$x=0$处的幂级数展开。 + +解：$f'(x)=(\arctan x)'=\dfrac{1}{1+x^2}=\dfrac{1}{1-(-x^2)}=\sum\limits_{n=0}^\infty(-1)^nx^{2n}$，$\vert-x^2\vert<1$。 + +已经求得求导后的函数的幂级数展开，所以求原函数的幂级数展开只需要积分，利用先导后积公式：$f(x)=f(0)+\int_0^xf'(t)\,\textrm{d}t=\int_0^x\sum\limits_{n=0}^\infty(-1)^nt^{2n}\,\textrm{d}t=\sum\limits_{n=0}^\infty(-1)^n\dfrac{t^{2n+1}}{2n+1}\bigg|_0^x=\sum\limits_{n=0}^\infty(-1)^n\dfrac{x^{2n+1}}{2n+1}$。 + +求导的级数要求$\vert x\vert<1$，代入$x=\pm1$到最后结果得到两个交错级数，所以收敛域其实为$[-1,1]$（可以不写）。 + +\section{傅里叶级数} + \end{document} diff --git a/advanced-math/knowledge/9-differential-equation/differential-equation.pdf b/advanced-math/knowledge/9-differential-equation/differential-equation.pdf index 2f91a87..265834a 100644 Binary files a/advanced-math/knowledge/9-differential-equation/differential-equation.pdf and b/advanced-math/knowledge/9-differential-equation/differential-equation.pdf differ diff --git a/advanced-math/knowledge/9-differential-equation/differential-equation.tex b/advanced-math/knowledge/9-differential-equation/differential-equation.tex index 0702a50..e53e795 100644 --- a/advanced-math/knowledge/9-differential-equation/differential-equation.tex +++ b/advanced-math/knowledge/9-differential-equation/differential-equation.tex @@ -334,4 +334,16 @@ $f(x)-f(x)=0$，所以得证。 \end{array}\right.$。 \end{enumerate} +\section{欧拉方程} + +\subsection{概念} + +\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}形如$x^2\dfrac{\textrm{d}^2y}{\textrm{d}x^2}+px\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}+qy=f(x)$的方程称为\textbf{欧拉方程}，其中$pq$为常数，$f(x)$为已知函数。 + +\subsection{解法} + +当$x>0$时，令$x=e^t$，则$t=\ln x$，$\dfrac{\textrm{d}t}{\textrm{d}x}=\dfrac{1}{x}$，$\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}=\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}t}\dfrac{\textrm{d}t}{\textrm{d}x}=\dfrac{1}{x}\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}t}$，$\dfrac{\textrm{d}^2y}{\textrm{d}x^2}=\dfrac{\textrm{d}}{\textrm{d}x}\left(\dfrac{1}{x}\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}t}\right)=-\dfrac{1}{x^2}\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}t}+\dfrac{1}{x}\dfrac{\textrm{d}}{\textrm{d}x}\left(\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}t}\right)=-\dfrac{1}{x^2}\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}t}+\dfrac{1}{x^2}\dfrac{\textrm{d}^2y}{\textrm{d}t^2}$，方程化为$\dfrac{\textrm{d}^2y}{\textrm{d}t^2}+(p-1)\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}t}+qy=f(e^t)$，解出结果，组后用$t=\ln x$回代。 + +当$x<0$是，令$x=-e^t$，同理可得。 + \end{document}