diff --git a/1.1-perpare/perpare.tex b/1.1-perpare/perpare.tex index cd5e408..de1fab0 100644 --- a/1.1-perpare/perpare.tex +++ b/1.1-perpare/perpare.tex @@ -6,15 +6,25 @@ % 因为所以 \usepackage{amsmath} % 数学公式 -\usepackage{geometry} \setcounter{tocdepth}{4} \setcounter{secnumdepth}{4} +% 设置四级目录 +\usepackage{geometry} \geometry{papersize={21cm,29.7cm}} \geometry{left=3.18cm,right=3.18cm,top=2.54cm,bottom=2.54cm} +% 设置页边距 \usepackage{indentfirst} \setlength{\parindent}{2.45em} +% 设置首行缩进 \usepackage{setspace} \renewcommand{\baselinestretch}{1.5} +% 设置行距 +\usepackage{tikz} +% 绘图 +\usetikzlibrary{positioning} +% 为了实现相对位置的设定 +\usepackage{xcolor} +% 为了实现不同的颜色 \author{Didnelpsun} \title{考研数学准备} \begin{document} @@ -35,7 +45,7 @@ $y=f(x)$，定义域为$D$，值域为$R$，若对于每一个$y\in R$，必然存在$x\in D$使$y=f(x)$成立，则可以定义一个新函数$x=\psi(y)$，这个函数就是$y=f(x)$的\textbf{反函数}，一般记作$x=f^{-1}(y)$，其定义域为$R$，值域为$D$，对于反函数，原来的函数称为\textbf{直接函数}。 \begin{enumerate} \item \textcolor{red}{严格单调}函数必然有反函数，即函数导数恒正或恒负必然有反函数。 - \item $x=f^{-1}(y)$与$y=f(x)$在同一坐标系中完全重合 + \item $x=f^{-1}(y)$与$y=f(x)$在同一坐标系中完全重合。 \item $y=f^{-1}(x)$与$y=f(x)$关于$y=x$对称。 \item $f[f^{-1}(x)]$或$f[\psi(x)]$变为x，称为湮灭。 \end{enumerate} @@ -50,7 +60,7 @@ $y=f(x)$，定义域为$D$，值域为$R$，若对于每一个$y\in R$，必然 $\therefore x\in[-1,3]$ -$\therefore\frac{d\psi(x)}{dx}=(-x^2+2x+3)'=-2x+2=0$ +$\therefore\frac{\rm{d}\psi(x)}{\rm{d}x}=(-x^2+2x+3)'=-2x+2=0$ $\therefore x=1$，驻点为1 @@ -78,34 +88,34 @@ $f(-x)=\ln(-x+\sqrt{x^2+1})=\ln(\frac{1}{\sqrt{x^2+1}+x})=-\ln(x+\sqrt{x^2+1})=- 对其求单调性，即通过链式法则求导： -$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x+\sqrt{x^2+1}}\cdot (1+\frac{2x}{2\sqrt{x^2+1}})=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}>0$ +$\frac{\rm{d}y}{\rm{d}x}=\frac{1}{x+\sqrt{x^2+1}}\cdot (1+\frac{2x}{2\sqrt{x^2+1}})=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}>0$ 所以该函数严格单调增。 -然后求$y$的反函数。 +然后求$y$的反函数： $$ -\begin{aligned} - \because y&=\ln(x+\sqrt{x^2+1}) \\ - e^y&=e^{\ln(x+\sqrt{x^2+1})} \\ - &=x+\sqrt{x^2+1} -\end{aligned} + \begin{aligned} + \because y & =\ln(x+\sqrt{x^2+1}) \\ + e^y & =e^{\ln(x+\sqrt{x^2+1})} \\ + & =x+\sqrt{x^2+1} + \end{aligned} $$ $$ -\begin{aligned} - \because -y&=-\ln(x+\sqrt{x^2+1}) \\ - &=\ln(\frac{1}{x+\sqrt{x^2+1}}) \\ - &=\ln(\sqrt{x^2+1}-x) \\ - e^{-y}&=\sqrt{x^2+1}-x -\end{aligned} + \begin{aligned} + \because -y & =-\ln(x+\sqrt{x^2+1}) \\ + & =\ln(\frac{1}{x+\sqrt{x^2+1}}) \\ + & =\ln(\sqrt{x^2+1}-x) \\ + e^{-y} & =\sqrt{x^2+1}-x + \end{aligned} $$ $$ -\begin{aligned} - \therefore e^y-e^{-y}&=2x \\ - x&=\frac{e^y-e^{-y}}{2} -\end{aligned} + \begin{aligned} + \therefore e^y-e^{-y} & =2x \\ + x & =\frac{e^y-e^{-y}}{2} + \end{aligned} $$ 解出了用x表示y的函数表达$x=f^{-1}(y)$，即反函数，则$f^{-1}(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$ @@ -120,21 +130,126 @@ $$ \end{itemize} \textbf{例题3：}设$ -f(x)=\left\{ -\begin{array}{rcl} -\ln\sqrt{x} & & {x\geqslant 1}\\ -2x-1 & & {x< 1} -\end{array} \right. + f(x)=\left\{ + \begin{array}{rcl} + \ln\sqrt{x}, & & x\geqslant 1 \\ + 2x-1, & & x< 1 + \end{array} + \right. $，求$f[f(x)]$ +首先广义化：$ + f[f(x)]=\left\{ + \begin{array}{rcl} + \ln\sqrt{f(x)}, & & f(x)\geqslant 1 \\ + 2f(x)-1, & & x<1 + \end{array} + \right. +$ + +然后画图：\\ + +\begin{tikzpicture}[domain=-1:9.5] + \draw[-latex](-1.5,0) -- (9.5,0) node[below]{$x-axis$}; + \draw[-latex](0,-1.5) -- (0, 1.5) node[above]{$y-aixs$}; + \draw[very thin, gray, densely dashed](-1.5,1.5)grid(9.5,-1.5); + \draw [black, thick](-0.25,-1.5) -- (1,1); + \draw[black, thick,domain=1:9.5] plot (\x, {ln(sqrt(\x))}); + \draw [red, densely dashed](-1.5,1) -- (9.5,1) node[below]{$x=1$}; + \filldraw [black] (1,1) circle (2pt) node[above]{$(1,1)$}; + \filldraw [black] (e^2,1) circle (2pt) node[above]{$(e^2,1)$}; + \draw[densely dashed](1,1) -- (1, 0) node[below]{$1$}; + \draw[densely dashed](e^2,1) -- (e^2,0) node[below]{$e^2$}; +\end{tikzpicture} + +所以将定义域分为三段：$[-\infty ,1],[1,e^2],[e^2, +\infty]$，然后根据不同定义域对应的不同函数再代回$f[f(x)]$： + +$$ + f[f(x)]=\left\{ + \begin{array}{rcl} + \ln\sqrt{\ln\sqrt{x}}, & & x\geqslant e^2 \\ + \ln x-2, & & 1\geqslant x0 & \Rightarrow & (x_1-x_2)[f(x_1)-f(x_2)]>0 & \Rightarrow & f(x)\nearrow \\ + \frac{\rm{d}y}{\rm{d}x}<0 & \Rightarrow & (x_1-x_2)[f(x_1)-f(x_2)]<0 & \Rightarrow &f(x)\searrow + \end{matrix} +$ + \subsection{奇偶性} + +\begin{enumerate} + \item 奇函数：关于原点对称，$f(-x)=-f(x)$。 + \item 偶函数：关于y轴对称，$f(-x)=f(x)$。 + \item 对于定义在$[-l,l]$上的任意函数$f(x)$，$F_1(x)=f(x)-f(-x)$必为奇函数，$F_2(x)=f(x)+f(-x)$必为偶函数。可以参考上面所说的双曲正弦与双曲余弦函数。 + \item 若奇函数在0处有定义，那么$f(0)=0$。 + \item 若偶函数在0处存在导数，那么$f'(0)=0$，即x=0，曲线必然水平，即导数为0。 + \item 若函数$y=f(x)$的函数关于直线$x=T$对称的充分必要条件是$f(x)=f(2T-x)/f(x+T)=f(x-T)$。（令$T-x=t$进行换元计算得到） +\end{enumerate} + +\textcolor{orange}{注意}：0和1处的函数定义应该注意。 + +如当a为0时：$f(b)-f(a)=f'(\xi )(b-a)=f(b)=bf'(\xi)$ + +如$f(x)>xf(1)$变形为$\frac{f(x)}{x}>f(1)$，辅助函数$F(x)=\frac{f(x)}{x}$ + +所以加减法警惕0，乘除法警惕1。 + \subsection{周期性} + +$f(x+T)=f(x)$，其中T为周期。 \\ + +\textcolor{red}{重要结论：} + +\begin{enumerate} + \item 若$f(x)$为可导的偶函数，则$f'(x)$为奇函数。（1.4.1.1） + \item 若$f(x)$为可导的奇函数，则$f'(x)$为偶函数。（1.4.1.2） + \item 若$f(x)$为周期函数，则$f'(x)$也为周期函数且周期不变。（1.4.2） + \item 连续的奇函数的一切原函数都是偶函数。（1.8.6） + \item 连续的偶函数的原函数中仅有一个原函数是奇函数。（1.8.6） + \item 若连续函数$f(x)$以T为周期且$\int_{0}^{T}f(x)\rm{d}x=0$，则$f(x)$的一切原函数也以T为周期。（1.8.8） + \item 若$f(x)$在有限区间$(a,b)$中可导且$f'(x)$有界，则$f(x)$在$(a,b)$有界。（某一函数在固定区间内变化率是有界的，则变化范围是有界的） +\end{enumerate} + \section{函数的图像} \subsection{直角坐标系图像} \subsubsection{常见图像} \paragraph{基本初等函数与初等函数} + +基本初等函数包括：常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数。 + +1. 常数函数：$y=A$，A为常数，图像平行于x轴： + +\begin{tikzpicture}[domain=-1:5] + \draw[-latex](-1,0) -- (5,0) node[below]{$x-axis$}; + \draw[-latex](0,-0.5) -- (0, 1.5) node[above]{$y-aixs$}; + \draw[black, thick](-1,1) -- (5,1) node[below]{$y=A$}; +\end{tikzpicture} + +2. 幂函数：$y=x^{\mu}$，$\mu$为实数，当$x>0$，$y=x^{\mu}$都有定义： + +\begin{tikzpicture}[scale=0.9] + \draw[-latex](-2,0) -- (2,0) node[below]{$x-axis$}; + \draw[-latex](0,-2) -- (0,4) node[above]{$y-aixs$}; + \draw[black, thick,domain=0.3:2] plot (\x,1/\x) node[below]{$\mu =-1$}; + \draw[black, thick,domain=-2:-0.5] plot (\x,1/\x) node[above]{$\mu =-1$}; + \draw[black, thick,domain=0.01:2] plot (\x, {sqrt(\x)}) node[below]{$\mu =\frac{1}{2}$}; + \draw[black, thick,domain=-2:2] plot (\x,\x) node[above]{$\mu =1$}; + \draw[black, thick,domain=-2:2] plot (\x, {\x*\x}) node[above]{$\mu =2$}; +\end{tikzpicture} + \paragraph{分段函数} \subsubsection{图像变换} \paragraph{平移变换}