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@@ -42,7 +42,9 @@
 \section{不定积分}
 
 \subsection{定义}
-
+single variable integral calculus
+Integration of functions of one variable
+Integral calculus of multivariate functions
 设$f(x)$定义在区间$I$上，若存在可导函数$F(x)$，使得$F'(x)=f(x)$对于任意$x\in I$都成立，则称$F(x)$为$f(x)$在区间$I$上的一个\textbf{原函数}。
 
 \textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}连续函数必有原函数。而反之有原函数不一定是连续函数。
@@ -96,7 +98,7 @@
 
 \textbf{例题：}
 
-$\int(1+3x)^{100}\,\textrm{d}x=\dfrac{1}{3}\int(1+3x)^{100}\,\textrm{d}(1+3x)=\dfrac{1}{303}(1+3x)^{101}+C$。
+解：$\int(1+3x)^{100}\,\textrm{d}x=\dfrac{1}{3}\int(1+3x)^{100}\,\textrm{d}(1+3x)=\dfrac{1}{303}(1+3x)^{101}+C$。
 
 $\int\cos^2x\,\textrm{d}x=\dfrac{1}{2}\int(1+\cos 2x)\,\textrm{d}x=\dfrac{1}{2}\left(x+\dfrac{1}{2}\sin 2x\right)+C$。
 
@@ -130,7 +132,7 @@ $=\dfrac{1}{2a}\left(\displaystyle{\int\dfrac{\textrm{d}(x-a)}{x-a}-\int\dfrac{\
 
 \textbf{例题：}求$\int\sqrt{a^2-x^2}\,\textrm{d}x(a>0)$。
 
-首先看题目，如果使用凑微分法，那必须从式子中提取出一个式子放到微分后面，且提取后的式子满足一个简单的积分公式。
+解：首先看题目，如果使用凑微分法，那必须从式子中提取出一个式子放到微分后面，且提取后的式子满足一个简单的积分公式。
 
 这个式子一般就只能提取出$x$到平方号外面，但是提取后式子仍不能变为一个简单微分公式，所以说第一种凑微分法就无法使用，就只能使用第二类换元法。
 
@@ -154,7 +156,7 @@ $\int\sqrt{a^2-x^2}\,\textrm{d}x=a\int\cos t\,\textrm{d}a\sin t=a^2\int\cos^2t\t
 
 \textbf{例题：}
 
-已知$\tan^2x+1=\sec^2x$。
+解：已知$\tan^2x+1=\sec^2x$。
 
 $\displaystyle{\int\dfrac{\textrm{d}x}{\sqrt{a^2+x^2}}}(a>0)$。
 
@@ -190,7 +192,7 @@ $\displaystyle{\int\dfrac{\textrm{d}x}{\sqrt{x^2-a^2}}}(a>0)$。
 
 \textbf{例题：}
 
-$\int xe^x\,\textrm{d}x=\int x\,\textrm{d}e^x=xe^x-\int e^x\textrm{d}x=xe^x-e^x+C$。
+解：$\int xe^x\,\textrm{d}x=\int x\,\textrm{d}e^x=xe^x-\int e^x\textrm{d}x=xe^x-e^x+C$。
 
 $\int x\sin x\,\textrm{d}x=-\int x\,\textrm{d}\cos x=-[x\cos x-\int\cos x\,\textrm{d}x]=-[x\cos x-\sin x]+C=\sin x-x\cos x+C$。
 
@@ -204,6 +206,8 @@ $\int x\arctan x\textrm{d}x=\dfrac{1}{2}\int\arctan x\textrm{d}x^2=\dfrac{1}{2}\
 
 \textbf{例题：}\medskip
 
+解：
+
 $
 \begin{aligned}
     \int e^x\sin x\,\textrm{d}x & =\int\sin x\,\textrm{d}e^x \\
@@ -396,7 +400,7 @@ $\int_a^bf(x)\,\textrm{d}x=\int_b^af(a+b-t)(-\textrm{d}t)=\int_a^bf(a+b-t)\,\tex
 
 \textbf{例题：}求$\displaystyle{\int_0^\frac{\pi}{2}\dfrac{\sin x}{\sin x+\cos x}\textrm{d}x}$。
 
-可以使用万能公式来计算，但是这里我们使用区间再现换元法来计算。
+解：可以使用万能公式来计算，但是这里我们使用区间再现换元法来计算。
 
 $=\displaystyle{\int_0^\frac{\pi}{2}\dfrac{\sin(\dfrac{\pi}{2}-x)}{\sin(\dfrac{\pi}{2}-x)+\cos(\dfrac{\pi}{2}-x)}\textrm{d}x=\int_0^\frac{\pi}{2}\dfrac{\cos x}{\cos x+\sin x}\textrm{d}x}$
 
@@ -408,7 +412,7 @@ $\therefore\int_0^\frac{\pi}{2}\dfrac{\sin x}{\cos x+\sin x}\textrm{d}x=\dfrac{\
 
 (2)计算$I=\int_0^{n\pi}x\vert\sin x\vert\,\textrm{d}x$。
 
-(1)：因为$f(x)$是一个不定的函数，所以基本的四种积分方法都无法使用，可以尝试首先对于第一问使用区间再现换元，令$x=nT-t$：
+(1)证明：因为$f(x)$是一个不定的函数，所以基本的四种积分方法都无法使用，可以尝试首先对于第一问使用区间再现换元，令$x=nT-t$：
 
 $\int_0^{nT}xf(x)\,\textrm{d}x=\int_{nT}^0(nT-t)f(nT-t)(-\textrm{d}t)=\int_0^{nT}(nT-t)f(nT-t)\,\textrm{d}t$。
 
@@ -418,13 +422,13 @@ $=\int_0^{nT}nTf(t)\,\textrm{d}t-\int_0^{nT}tf(t)\,\textrm{d}t$，又$\int_0^{nT
 
 $\therefore\int_0^{nT}xf(x)\,\textrm{d}x=\dfrac{1}{2}\int_0^{nT}nTf(t)\,\textrm{d}t=\dfrac{nT}{2}\int_0^{nT}f(x)\,\textrm{d}x=\dfrac{n^2T}{2}\int_0^Tf(x)\,\textrm{d}x$。
 
-(2)：因为$\sin x$以$\dfrac{\pi}{2}$为周期，所以$\vert\sin x\vert$以$\pi$为周期。
+(2)解：因为$\sin x$以$\dfrac{\pi}{2}$为周期，所以$\vert\sin x\vert$以$\pi$为周期。
 
 根据第一问的公式：$\int_0^{n\pi}x\vert\sin x\vert\,\textrm{d}x=\dfrac{n^2\pi}{2}\int_0^\pi\vert\sin x\vert\,\textrm{d}x=\dfrac{n^2\pi}{2}[-\cos x]_0^\pi=n^2\pi$。
 
 \textbf{例题：}求$\int_0^\pi x\sin^9x\,\textrm{d}x$。
 
-需要先把$x$消掉才能使用华里士公式，使用区间再现公式，令$x=\pi-t$：
+解：需要先把$x$消掉才能使用华里士公式，使用区间再现公式，令$x=\pi-t$：
 
 $=\int_0^\pi(\pi-x)\sin^9(\pi-x)\,\textrm{d}x=\int_0^\pi\pi\sin^9x\,\textrm{d}x-\int_0^\pi x\sin^9x\,\textrm{d}x$，积分再现。
 
@@ -462,7 +466,7 @@ $\therefore\int_0^\pi x\sin^9x\,\textrm{d}x=\dfrac{\pi}{2}\int_0^\pi\sin^9x\,\te
 
 \textbf{例题：}求$F(x)=\int_0^{x^2}e^{-t^2}\,\textrm{d}t$的导数。
 
-由定理，可以将式子看作复合函数求导（注意定理中积分上限为$x$，而这里不是$x$，但是对$x$求导，所以必须看作为一个复合函数求导）。
+解：由定理，可以将式子看作复合函数求导（注意定理中积分上限为$x$，而这里不是$x$，但是对$x$求导，所以必须看作为一个复合函数求导）。
 
 $F(x)=\int_0^ue^{-t^2}\,\textrm{d}t$，$u=x^2$。
 
@@ -476,7 +480,7 @@ $\therefore F'_x(x)=F'_u(x)\cdot u'_x=e^{-u^2}\cdot 2x=2xe^{-x^4}$。
 
 \textbf{例题：}求极限$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\int_0^{\sin^2x}\ln(1+t)\,\textrm{d}t}{x(\sqrt{1+x^3}-1)}$。
 
-原式$=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\ln(1+\sin^2x)2\sin x\cos x}{x(\sqrt{1+x^3}-1)}=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x^2\cdot 2x\cdot 1}{\dfrac{4}{3}x^3}=\dfrac{3}{2}$。\smallskip
+解：原式$=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\ln(1+\sin^2x)2\sin x\cos x}{x(\sqrt{1+x^3}-1)}=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x^2\cdot 2x\cdot 1}{\dfrac{4}{3}x^3}=\dfrac{3}{2}$。\smallskip
 
 \textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}若函数$f(x)$是连续的偶函数，则其积分只有一个$\int^x_0f(t)\,\textrm{d}t$是奇函数。
 
@@ -512,7 +516,7 @@ $=\int_0^xf(t)\,\textrm{d}t+\int_0^Tf(x)\,\textrm{d}x=\int_0^xf(t)\,\textrm{d}t=
 
 \textbf{例题：}若$f(x)$是一个有周期的奇函数，则其积分$\int_a^xf(t)\,\textrm{d}t$是否为周期函数。
 
-考察积分是否为周期函数，已知其原式是周期函数，只需要考察$\int_0^Tf(x)\,\textrm{d}x$是否为0。
+解：考察积分是否为周期函数，已知其原式周期函数，只需要考察$\int_0^Tf(x)\,\textrm{d}x$是否为0。
 
 $\int_0^Tf(x)\,\textrm{d}x=\int_a^{a+T}f(x)\,\textrm{d}x=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}f(x)\,\textrm{d}x=0$，所以是周期函数。
 
@@ -606,9 +610,11 @@ $\int_a^bf(x)\,\textrm{d}x=F(b)-F(a)=F'(\xi)(b-a)=f(\xi)(b-a)(a<\xi b)$。
 
 即求两条曲线$y=y_1(x)$、$y=y_2(x)$与积分上下限$x=a$与$x=b$所围成的平面图像面积$S=\int_a^b\vert y_1(x)-y_2(x)\vert\,\textrm{d}x$。
 
+若没有指定积分上下限，还要根据两条曲线的图像先确定上下限即$x$的范围。
+
 \textbf{例题：}求曲线$y^2=x$与$y=x^2$所围成面积。
 
-首先确定$x$的范围，是$x\in[0,1]$。
+解：首先确定$x$的范围，是$x\in[0,1]$。
 
 第二步确立微元，即切割的微小元素，是$\textrm{d}S=[\sqrt{x}-x^2]\textrm{d}x$（也可以对$y$积分：$S=\int_0^1(\sqrt{y}-y^2)\,\textrm{d}y$）。
 
@@ -616,7 +622,7 @@ $\int_a^bf(x)\,\textrm{d}x=F(b)-F(a)=F'(\xi)(b-a)=f(\xi)(b-a)(a<\xi b)$。
 
 \textbf{例题：}求曲线$y^2=2x$与$y=x-4$围成面积。
 
-首先确定范围，将$y=x-4$代入$y^2=2x$，从而得到$x\in[0,8]$，$y\in[-2,4]$。
+解：首先确定范围，将$y=x-4$代入$y^2=2x$，从而得到$x\in[0,8]$，$y\in[-2,4]$。
 
 若是对$x$确立微元，则对于不同的区间，面积有不同的表达式：
 
@@ -630,13 +636,17 @@ $\textrm{d}S=\left[(y+4)-\dfrac{y^2}{2}\right]\textrm{d}y$。
 
 \subsubsection{参数方程}
 
+参数方程基本不能将中间变量消去，一般还是要计算积分的上下限，然后将积分式子$S=\int_a^bf(x)\,\textrm{d}x$全部换成中间变量$t$：$\int_\alpha^\beta y(t)\,\textrm{d}(x(t))=\int_\alpha^\beta y(t)x'(t)\,\textrm{d}t$。
+
+会很奇怪为什么求$f(x)$的积分变成了求$y(t)$的积分？因为一般直角坐标系给出$x$与$y$的关系$y=y(x)$，最后变量是$x$，而参数方程给出的是$y=y(t)$，$x=x(t)$，中间变量变成了$x$，最后变量变成了$t$，而$y(t)=y(x)$，只不过最终变量不同而已，所以最后$\int_\alpha^\beta y(t)\,\textrm{d}(x(t))$求的就是对$t$的积分值，而无论最后变量是什么，积分变量与积分值无关，所以$x$与$t$一样，这个积分值不变。
+
 \textbf{例题：}求摆线一拱$\left\{\begin{array}{l}
     x=a(t-\sin t) \\
     y=a(1-\cos t)
 \end{array}
 \right.$$(0\leqslant t\leqslant 2\pi)$与$x$轴所围成的面积。\medskip
 
-首先计算范围，代入$2\pi$，得到$x\in[0,2a\pi]$。
+解：首先计算范围，代入$2\pi$，得到$x\in[0,2a\pi]$。
 
 然后是找微元，这里是对$x$确立：$\textrm{d}S=y(x)\,\textrm{d}x$。
 
@@ -662,7 +672,7 @@ $=16a^2\cdot\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\pi}{2}=3a^2\pi$（点火
 
 \textbf{例题：}求心形线$\rho=a(1+\cos\theta)(a>0)$所围成面积。
 
-极角发生变化时，可以计算到心形线必然会穿过$(2a,0),(0,a),(0,0)$这三个点，而$\cos x$是一个偶函数，所以心形线图形是上下对称的。如果要求心形线的面积，可以只用求上半部分就可以了。
+解：极角发生变化时，可以计算到心形线必然会穿过$(2a,0),(0,a),(0,0)$这三个点，而$\cos x$是一个偶函数，所以心形线图形是上下对称的。如果要求心形线的面积，可以只用求上半部分就可以了。
 
 所以可以根据公式$S=2\dfrac{1}{2}\int_0^\pi a^2(1+\cos\theta)^2\,\textrm{d}\theta$。
 
@@ -676,13 +686,17 @@ $=a^2\displaystyle{\int_0^\pi\left(2\cos^2\dfrac{\theta}{2}\right)^2\textrm{d}\t
 
 \subsubsection{旋转体}
 
-当绕$x$轴进行旋转，可以看作从$x$轴沿$y$轴水平切割旋转体，就得到了以$x$轴为中心的一个圆柱，底边半径为$f(x)$，高度为$\textrm{d}x$，所以$\textrm{d}V_x=\pi f^2(x)\,\textrm{d}x$，所以$V_x=\pi\int_a^bf^2(x)\,\textrm{d}x$（如果用$y(x)$表达，就是$V_x=\pi\int_c^d\varphi^2(y)\,\textrm{d}y$）。
+对于一条曲线$y=f(x)$以及$x=a$，$x=b$（$a<b$）所围成的平面绕$x$轴进行旋转，可以看作从$x$轴沿$y$轴水平切割旋转体，就得到了以$x$轴为中心的一个圆柱，底边半径为$f(x)$，高度为$\textrm{d}x$，所以$\textrm{d}V_x=\pi f^2(x)\,\textrm{d}x$，所以$V_x=\pi\int_a^bf^2(x)\,\textrm{d}x$（如果用$y(x)$表达，就是$V_x=\pi\int_c^d\varphi^2(y)\,\textrm{d}y$）。
 
-当绕$y$轴进行旋转，可以看作从旋转中心向外围按同样的半径切割环形体，这个环形体从里到外半径与体积都在不断变大，然后将这个环形体展开为长方体来计算体积，其中长度为原来圆周$2\pi x$，宽度为$f(x)$，高度为$\textrm{d}x$，所以$\textrm{d}V_y=2\pi xf(x)\,\textrm{d}x$，所以$V_y=2\pi\int_a^bxf(x)\,\textrm{d}x$。
+对于一条曲线$y=f(x)$以及$x=a$，$x=b$（$a<b$）所围成的平面绕$y$轴进行旋转，可以看作从旋转中心向外围按同样的半径切割环形体，这个环形体从里到外半径与体积都在不断变大，然后将这个环形体展开为长方体来计算体积，其中长度为原来圆周$2\pi x$，宽度为$f(x)$，高度为$\textrm{d}x$，所以$\textrm{d}V_y=2\pi xf(x)\,\textrm{d}x$，所以$V_y=2\pi\int_a^bxf(x)\,\textrm{d}x$。（柱壳法）
+
+对于两条曲线$y=f_1(x)\geqslant0$，$y=f_2(x)\geqslant0$以及$x=a$，$x=b$（$a<b$）所围成的平面绕$x$轴旋转一周，可以看做一个环形体，中间是空的，所以可以将外面的较大函数旋转得到的大体积减去里面的较小函数旋转得到小体积，体积为$V_x=\pi\int_a^b\vert f_1^2(x)-f_2^2(x)\vert\,\textrm{d}x$。
+
+对于两条曲线$y=f_1(x)\geqslant0$，$y=f_2(x)\geqslant0$以及$x=a$，$x=b$（$a<b$）所围成的平面绕$y$轴旋转一周，可以看做一个环形体，中间是空的，所以可以将外面的较大函数旋转得到的大体积减去里面的较小函数旋转得到小体积，体积为$V_y=2\pi\int_a^bx\vert f_1(x)-f_2(x)\vert\,\textrm{d}x$。
 
 \textbf{例题：}计算由椭圆$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$所围成的图形绕$x$轴旋转一周而成的体积。
 
-由式子得到$y^2=b^2\left(1-\dfrac{x^2}{b^2}\right)$。
+解：由式子得到$y^2=b^2\left(1-\dfrac{x^2}{b^2}\right)$。
 
 所以旋转体体积就是两倍的第一象限的旋转体积，直接计算第一象限部分就可以了。
 
@@ -694,7 +708,7 @@ $V_x=2\pi\displaystyle{\int_0^ab^2\left(1-\dfrac{x^2}{a^2}\right)\,\textrm{d}x}=
 \end{array}
 \right.$$(0\leqslant t\leqslant 2\pi)$与$x$轴，$y$轴所旋转得到的体积。
 
-$\because t\in[0,2\pi]$，$\therefore x\in[0,2a\pi]$。
+解：$\because t\in[0,2\pi]$，$\therefore x\in[0,2a\pi]$。
 
 $V_x=\pi\int_0^{2a\pi}y^2\,\textrm{d}x$
 
@@ -722,7 +736,7 @@ $=2\pi\int_0^{2\pi}a(t-\sin t)a^2(1-\cos t)^2\,\textrm{d}t=2a^3\pi\int_0^{2\pi}(
 
 \textbf{例题：}计算由$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2}=1$所围成的椭球体的体积。
 
-已知$\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2}=1-\dfrac{x^2}{a^2}$.
+解：已知$\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2}=1-\dfrac{x^2}{a^2}$.
 
 $S(x)=\pi bc\left(1-\dfrac{x^2}{a^2}\right)$
 
@@ -730,6 +744,18 @@ $V=2\int_0^a\pi bc\left(1-\dfrac{x^2}{a^2}\right)\,\textrm{d}x$。
 
 解得$V=\dfrac{4}{3}\pi abc$。
 
+\subsection{平均值}
+
+设$x\in[a,b]$，函数$y(x)$在$[a,b]$上的平均值为$\bar{y}=\dfrac{1}{b-a}\int_a^by(x)\,\textrm{d}x$。就是积分中值定理的平均值代入结果。
+
+平均值即曲边四边形的平均高度。
+
+\textbf{例题：}求函数$y=\dfrac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}$在区间$\left[\dfrac{1}{2},\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right]$上的平均值。
+
+解：$\bar{y}=\dfrac{1}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{1}{2}}\displaystyle{\int_\frac{1}{2}^\frac{\sqrt{3}}{2}\dfrac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}\textrm{d}x}$，令$x=\sin t$：$=\dfrac{2}{\sqrt{3}-1}\displaystyle{\int_\frac{\pi}{6}^\frac{\pi}{3}\dfrac{\sin^2t}{\cos t}\cos t\,\textrm{d}t}$ \medskip
+
+$=\dfrac{2}{\sqrt{3}-1}\int_\frac{\pi}{6}^\frac{\pi}{3}\sin^2t\,\textrm{d}t=\dfrac{1}{\sqrt{3}-1}\int_\frac{\pi}{6}^\frac{\pi}{3}(1-\cos2t)\,\textrm{d}t=\dfrac{\sqrt{3}+1}{12}\pi$。
+
 \subsection{弧长}
 
 在弧长中插入$n$个点$M_1,M_2,\cdots,M_{i-1},M_i,\cdots,M_n$。