diff --git a/1.1-perpare/perpare.tex b/advanced-math/1-perpare/perpare.tex similarity index 67% rename from 1.1-perpare/perpare.tex rename to advanced-math/1-perpare/perpare.tex index 1d9cf59..80cd0fd 100644 --- a/1.1-perpare/perpare.tex +++ b/advanced-math/1-perpare/perpare.tex @@ -25,9 +25,13 @@ % 为了实现相对位置的设定 \usepackage{xcolor} % 为了实现不同的颜色 +\usepackage{array} +% 设置表格行距 \author{Didnelpsun} \title{考研数学准备} \begin{document} +\renewcommand\arraystretch{1.5} +% 表格长1.5倍 \maketitle \thispagestyle{empty} \tableofcontents @@ -60,7 +64,7 @@ $y=f(x)$，定义域为$D$，值域为$R$，若对于每一个$y\in R$，必然 $\therefore x\in[-1,3]$ -$\therefore\frac{\rm{d}\psi(x)}{\rm{d}x}=(-x^2+2x+3)'=-2x+2=0$ +$\therefore\dfrac{\rm{d}\psi(x)}{\rm{d}x}=(-x^2+2x+3)'=-2x+2=0$ $\therefore x=1$，驻点为1 @@ -82,13 +86,13 @@ $x+\sqrt{x^2+1}>x+\vert x\vert \geqslant 0$，所以$x\in R$。 而研究其奇偶性： -$f(-x)=\ln(-x+\sqrt{x^2+1})=\ln(\frac{1}{\sqrt{x^2+1}+x})=-\ln(x+\sqrt{x^2+1})=-f(x)$ +$f(-x)=\ln(-x+\sqrt{x^2+1})=\ln(\dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}+x})=-\ln(x+\sqrt{x^2+1})=-f(x)$ 所以该函数为奇函数。 对其求单调性，即通过链式法则求导： -$\frac{\rm{d}y}{\rm{d}x}=\frac{1}{x+\sqrt{x^2+1}}\cdot (1+\frac{2x}{2\sqrt{x^2+1}})=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}>0$ +$\dfrac{\rm{d}y}{\rm{d}x}=\dfrac{1}{x+\sqrt{x^2+1}}\cdot (1+\dfrac{2x}{2\sqrt{x^2+1}})=\dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}}>0$ 所以该函数严格单调增。 @@ -105,7 +109,7 @@ $$ $$ \begin{aligned} \because -y & =-\ln(x+\sqrt{x^2+1}) \\ - & =\ln(\frac{1}{x+\sqrt{x^2+1}}) \\ + & =\ln(\dfrac{1}{x+\sqrt{x^2+1}}) \\ & =\ln(\sqrt{x^2+1}-x) \\ e^{-y} & =\sqrt{x^2+1}-x \end{aligned} @@ -114,17 +118,17 @@ $$ $$ \begin{aligned} \therefore e^y-e^{-y} & =2x \\ - x & =\frac{e^y-e^{-y}}{2} + x & =\dfrac{e^y-e^{-y}}{2} \end{aligned} $$ -解出了用x表示y的函数表达$x=f^{-1}(y)$，即反函数，则$f^{-1}(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$ +解出了用x表示y的函数表达$x=f^{-1}(y)$，即反函数，则$f^{-1}(x)=\dfrac{e^x-e^{-x}}{2}$ 这种曲线为一种常见曲线： \begin{itemize} - \item $\frac{e^x-e^{-x}}{2}$：双曲正弦。 - \item $\frac{e^x+e^{-x}}{2}$：双曲余弦。（为一种悬链线） + \item $\dfrac{e^x-e^{-x}}{2}$：双曲正弦。 + \item $\dfrac{e^x+e^{-x}}{2}$：双曲余弦。（为一种悬链线） \item $\ln(x+\sqrt{x^2+1})$：反双曲正弦。 \item $\ln(x+\sqrt{x^2-1})$：反双曲余弦。 \end{itemize} @@ -184,8 +188,8 @@ $$ \subsection{单调性} $\begin{matrix} - \frac{\rm{d}y}{\rm{d}x}>0 & \Rightarrow & (x_1-x_2)[f(x_1)-f(x_2)]>0 & \Rightarrow & f(x)\nearrow \\ - \frac{\rm{d}y}{\rm{d}x}<0 & \Rightarrow & (x_1-x_2)[f(x_1)-f(x_2)]<0 & \Rightarrow & f(x)\searrow + \dfrac{\rm{d}y}{\rm{d}x}>0 & \Rightarrow & (x_1-x_2)[f(x_1)-f(x_2)]>0 & \Rightarrow & f(x)\nearrow \\ + \dfrac{\rm{d}y}{\rm{d}x}<0 & \Rightarrow & (x_1-x_2)[f(x_1)-f(x_2)]<0 & \Rightarrow & f(x)\searrow \end{matrix} $ @@ -204,7 +208,7 @@ $ 如当a为0时：$f(b)-f(a)=f'(\xi )(b-a)=f(b)=bf'(\xi)$ -如$f(x)>xf(1)$变形为$\frac{f(x)}{x}>f(1)$，辅助函数$F(x)=\frac{f(x)}{x}$ +如$f(x)>xf(1)$变形为$\dfrac{f(x)}{x}>f(1)$，辅助函数$F(x)=\dfrac{f(x)}{x}$ 所以加减法警惕0，乘除法警惕1。 @@ -252,7 +256,7 @@ $y=x^{\mu}$，$\mu$为实数，当$x>0$，$y=x^{\mu}$都有定义： \draw[-latex](0,-2) -- (0,4) node[above]{$y$}; \draw[black, thick, smooth, domain=0.3:2] plot (\x,1/\x) node[right]{$\mu =-1$}; \draw[black, thick, smooth, domain=-2:-0.5] plot (\x,1/\x) node[right]{$\mu =-1$}; - \draw[black, thick, smooth, domain=0.01:2] plot (\x, {sqrt(\x)}) node[right]{$\mu =\frac{1}{2}$}; + \draw[black, thick, smooth, domain=0.01:2] plot (\x, {sqrt(\x)}) node[right]{$\mu =\dfrac{1}{2}$}; \draw[black, thick, smooth, domain=-2:2] plot (\x,\x) node[right]{$\mu =1$}; \draw[black, thick, smooth, domain=-2:2] plot (\x, {\x*\x}) node[right]{$\mu =2$}; \filldraw[black] (0,0) node[below]{$O$}; @@ -264,7 +268,7 @@ $y=x^{\mu}$，$\mu$为实数，当$x>0$，$y=x^{\mu}$都有定义： \begin{enumerate} \item $\sqrt{u}，\sqrt[3]{u}$可以使用$u$来研究。 \item $\vert u\vert$可以使用$u^2$来研究。 - \item $\frac{1}{u},u>0$可以使用$u$来研究，但是最值相反。 + \item $\dfrac{1}{u},u>0$可以使用$u$来研究，但是最值相反。 \item $u_1u_2...u_n$可以使用$\sum_{i=1}^{n}\ln u_i$来研究。 \end{enumerate} @@ -323,9 +327,9 @@ $y=log_ax(a>0,a\neq 1)$为$y=a^x$的反函数： \draw[black, thick, smooth, domain=-5:5] plot (\x,{sin(\x r)}) node at (0,1.5){$\sin(x)$}; \draw[black, densely dashed](-5,1) -- (5,1) node[right]{$x=1$}; \draw[black, densely dashed](-5,-1) -- (5,-1) node[right]{$x=-1$}; - \draw[black, densely dashed](-pi/2*3,1) -- (-pi/2*3,0) node[below]{$-\frac{3\pi}{2}$}; - \draw[black, densely dashed](-pi/2,-1) -- (-pi/2,0) node[above]{$-\frac{\pi}{2}$}; - \draw[black, densely dashed](pi/2,1) -- (pi/2,0) node[below]{$\frac{\pi}{2}$}; + \draw[black, densely dashed](-pi/2*3,1) -- (-pi/2*3,0) node[below]{$-\dfrac{3\pi}{2}$}; + \draw[black, densely dashed](-pi/2,-1) -- (-pi/2,0) node[above]{$-\dfrac{\pi}{2}$}; + \draw[black, densely dashed](pi/2,1) -- (pi/2,0) node[below]{$\dfrac{\pi}{2}$}; \draw[black](0,0) -- (0,0) node[above]{$O$}; \filldraw[black] (-pi-0.1,0) node[below]{$-\pi$}; \filldraw[black] (pi,0) node[below]{$\pi$}; @@ -342,15 +346,15 @@ $y=log_ax(a>0,a\neq 1)$为$y=a^x$的反函数： \draw[black, densely dashed](-pi,-1) -- (-pi,0) node[above]{$-\pi$}; \draw[black, densely dashed](pi,-1) -- (pi,0) node[above]{$\pi$}; \filldraw[black] (0,0) node[below]{$O$}; - \filldraw[black] (-pi/2*3-0.25,0) node[below]{$-\frac{3\pi}{2}$}; - \filldraw[black] (-pi/2,0) node[below]{$-\frac{\pi}{2}$}; - \filldraw[black] (pi/2,0) node[below]{$\frac{\pi}{2}$}; + \filldraw[black] (-pi/2*3-0.25,0) node[below]{$-\dfrac{3\pi}{2}$}; + \filldraw[black] (-pi/2,0) node[below]{$-\dfrac{\pi}{2}$}; + \filldraw[black] (pi/2,0) node[below]{$\dfrac{\pi}{2}$}; \end{tikzpicture} 弦函数有如下特征： \begin{enumerate} - \item 特殊函数值：$\sin 0=0$，$\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}$，$\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\sin\frac{\pi}{2}=1$，$\sin\pi=0$，$\sin\frac{3\pi}{2}=-1$，$\sin 2\pi=0$，$\cos 0=1$，$\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}$，$\cos\frac{\pi}{2}=0$，$\cos\pi=-1$，$\cos\frac{3\pi}{2}=0$，$\cos 2\pi=1$。 + \item 特殊函数值：$\sin 0=0$，$\sin\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{1}{2}$，$\sin\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，$\sin\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，$\sin\dfrac{\pi}{2}=1$，$\sin\pi=0$，$\sin\dfrac{3\pi}{2}=-1$，$\sin 2\pi=0$，$\cos 0=1$，$\cos\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，$\cos\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，$\cos\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{1}{2}$，$\cos\dfrac{\pi}{2}=0$，$\cos\pi=-1$，$\cos\dfrac{3\pi}{2}=0$，$\cos 2\pi=1$。 \item 定义域：$(-\infty, +\infty)$，值域：$[-1,+1]$。 \item 奇偶性：$y=\sin x$为奇函数，$y=\cos x$为偶函数。 \item 周期性：最小正周期为$2\pi$。 @@ -370,10 +374,10 @@ $y=log_ax(a>0,a\neq 1)$为$y=a^x$的反函数： \draw[black, thick, domain=pi/2+0.5:pi/2*3-0.5] plot (\x,{tan(\x r)}) node[above]{$\tan(x)$}; \draw[black, densely dashed](-pi/2*3,2) -- (-pi/2*3,-2); \filldraw[black] (0,0) node[below]{$O$}; - \filldraw[black] (pi/2+0.5,-0.5) node{$\frac{\pi}{2}$}; - \filldraw[black] (-pi/2-0.75,-0.5) node{$-\frac{\pi}{2}$}; - \filldraw[black] (pi/2*3+0.5,-0.5) node{$\frac{3\pi}{2}$}; - \filldraw[black] (-pi/2*3-0.75,-0.5) node{$-\frac{3\pi}{2}$}; + \filldraw[black] (pi/2+0.5,-0.75) node{$\dfrac{\pi}{2}$}; + \filldraw[black] (-pi/2-0.75,-0.75) node{$-\dfrac{\pi}{2}$}; + \filldraw[black] (pi/2*3+0.5,-0.75) node{$\dfrac{3\pi}{2}$}; + \filldraw[black] (-pi/2*3-0.75,-0.75) node{$-\dfrac{3\pi}{2}$}; \end{tikzpicture} 余切函数： @@ -386,23 +390,23 @@ $y=log_ax(a>0,a\neq 1)$为$y=a^x$的反函数： \draw[black, thick, domain=-0.5:-pi+0.5] plot (\x,{cot(\x r)}) node at(-1,2){$\cot(x)$}; \draw[black, densely dashed](-pi,2) -- (-pi,-2); \filldraw[black] (0,0) node[below]{$O$}; - \filldraw[black] (pi/2,0) node[below]{$\frac{\pi}{2}$}; + \filldraw[black] (pi/2,0) node[below]{$\dfrac{\pi}{2}$}; \filldraw[black] (pi+0.5,-0.5) node{$\pi$}; - \filldraw[black] (-pi/2-0.25,0) node[below]{$-\frac{\pi}{2}$}; + \filldraw[black] (-pi/2-0.25,0) node[below]{$-\dfrac{\pi}{2}$}; \filldraw[black] (-pi-0.5,-0.5) node{$-\pi$}; \end{tikzpicture} 切函数有如下特征： \begin{enumerate} - \item 特殊函数值：$\tan 0=0$，$\tan\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\tan\frac{\pi}{4}=1$，$\tan\frac{\pi}{3}=\sqrt{3}$，$\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\tan x=\infty$，$\tan\pi=0$，$\lim_{x\to\frac{3\pi}{2}}\tan x=\infty$，$\tan 2\pi=0$，$\lim_{x\to 0}\cot x=\infty$，$\cot\frac{\pi}{6}=\sqrt{3}$，$\cot\frac{\pi}{4}=1$，$\cot\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\cot\frac{\pi}{2}=0$，$\lim_{x\to\pi}\cot x=\infty$，$\cot\frac{3\pi}{2}=0$，$\lim_{x\to 2\pi}\cot x=\infty$。 - \item 定义域：$\tan x:x\neq k\pi+\frac{\pi}{2}(k\in Z)$，$\cot x:x\neq k\pi(k\in Z)$，值域：$(-\infty,+\infty)$。 + \item 特殊函数值：$\tan 0=0$，$\tan\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\tan\frac{\pi}{4}=1$，$\tan\frac{\pi}{3}=\sqrt{3}$，$\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\tan x=\infty$，$\tan\pi=0$，$\lim_{x\to\frac{3\pi}{2}}\tan x=\infty$，$\tan 2\pi=0$，$\lim_{x\to 0}\cot x=\infty$，$\cot\dfrac{\pi}{6}=\sqrt{3}$，$\cot\dfrac{\pi}{4}=1$，$\cot\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$，$\cot\dfrac{\pi}{2}=0$，$\lim_{x\to\pi}\cot x=\infty$，$\cot\dfrac{3\pi}{2}=0$，$\lim_{x\to 2\pi}\cot x=\infty$。 + \item 定义域：$\tan x:x\neq k\pi+\dfrac{\pi}{2}(k\in Z)$，$\cot x:x\neq k\pi(k\in Z)$，值域：$(-\infty,+\infty)$。 \item 奇偶性：定义域内均为奇函数。 \item 周期性：最小正周期为$\pi$。 \end{enumerate} $$ - \sec x=\frac{1}{\cos x},\csc x=\frac{1}{\sin x} + \sec x=\dfrac{1}{\cos x},\csc x=\dfrac{1}{\sin x} $$ 正割函数： @@ -424,10 +428,10 @@ $$ \filldraw[black] (0,0) node[below]{$O$}; \filldraw[black] (0.5,0.5) node{$1$}; \filldraw[black] (0.5,-1.5) node{$-1$}; - \filldraw[black] (-pi/2*3-0.75,-0.5) node{$-\frac{3\pi}{2}$}; - \filldraw[black] (-pi/2-0.75,-0.5) node{$-\frac{\pi}{2}$}; - \filldraw[black] (pi/2+0.5,-0.5) node{$\frac{\pi}{2}$}; - \filldraw[black] (pi/2*3+0.5,-0.5) node{$\frac{3\pi}{2}$}; + \filldraw[black] (-pi/2*3-0.75,-0.5) node{$-\dfrac{3\pi}{2}$}; + \filldraw[black] (-pi/2-0.75,-0.5) node{$-\dfrac{\pi}{2}$}; + \filldraw[black] (pi/2+0.5,-0.5) node{$\dfrac{\pi}{2}$}; + \filldraw[black] (pi/2*3+0.5,-0.5) node{$\dfrac{3\pi}{2}$}; \end{tikzpicture} 余割函数： @@ -457,7 +461,7 @@ $$ 割函数有如下特征： \begin{enumerate} - \item 定义域：$\sec x:x\neq k\pi+\frac{\pi}{2}(k\in Z)$，$\csc x:x\neq k\pi(k\in Z)$，值域：$(-\infty,-1]\cup [1,+\infty)$。 + \item 定义域：$\sec x:x\neq k\pi+\dfrac{\pi}{2}(k\in Z)$，$\csc x:x\neq k\pi(k\in Z)$，值域：$(-\infty,-1]\cup [1,+\infty)$。 \item 奇偶性：$y=\sec x$为偶函数，$y=\csc x$为奇函数。 \item 周期性：最小正周期为$2\pi$。 \end{enumerate} @@ -470,10 +474,10 @@ $$ \draw[-latex](-1.5,0) -- (1.5,0) node[below]{$x$}; \draw[-latex](0,-2) -- (0,2) node[above]{$y$}; \draw[black, thick, domain=-1:1] plot (\x,{rad(asin(\x))}) node[right]{$\arcsin(x)$}; - \draw[black, densely dashed](1,pi/2) -- (0,pi/2) node[left]{$\frac{\pi}{2}$}; + \draw[black, densely dashed](1,pi/2) -- (0,pi/2) node[left]{$\dfrac{\pi}{2}$}; \filldraw[black] (0,0) node[below]{$O$}; \draw[black, densely dashed](1,pi/2) -- (1,0) node[below]{$1$}; - \draw[black, densely dashed](-1,-pi/2) -- (0,-pi/2) node[right]{$-\frac{\pi}{2}$}; + \draw[black, densely dashed](-1,-pi/2) -- (0,-pi/2) node[right]{$-\dfrac{\pi}{2}$}; \draw[black, densely dashed](-1,-pi/2) -- (-1,0) node[above]{$-1$}; \end{tikzpicture} @@ -483,7 +487,7 @@ $$ \draw[-latex](-1.5,0) -- (1.5,0) node[below]{$x$}; \draw[-latex](0,-0.5) -- (0,4) node[above]{$y$}; \draw[black, thick, domain=-1:1] plot (\x,{rad(acos(\x)}) node at (-2, pi){$\arccos(x)$}; - \filldraw[black] (0,pi/2) node[right]{$\frac{\pi}{2}$}; + \filldraw[black] (0,pi/2+0.5) node[right]{$\dfrac{\pi}{2}$}; \draw[black](1,0) -- (1,0) node[below]{$1$}; \filldraw[black] (0,0) node[below]{$O$}; \draw[black, densely dashed](-1,pi) -- (0,pi) node[right]{$\pi$}; @@ -493,19 +497,19 @@ $$ 反弦函数有如下特征： \begin{enumerate} - \item 特殊函数值：$\arcsin 0=0$，$\arcsin\frac{1}{2}=\frac{\pi}{6}$，$\arcsin\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\pi}{4}$，$\arcsin\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\pi}{3}$，$\arcsin 1=\frac{\pi}{2}$，$\arccos 1=0$，$\arccos\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\pi}{6}$，$\arccos\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\pi}{4}$，$\arccos\frac{1}{2}=\frac{\pi}{3}$，$\arccos 0=\frac{\pi}{2}$。 - \item 定义域：$(-1, +1)$，值域：$\arcsin x:[-\frac{\pi}{2},+\frac{\pi}{2}]$，$\arccos x:[0,\pi]$。 + \item 特殊函数值：$\arcsin 0=0$，$\arcsin\dfrac{1}{2}=\dfrac{\pi}{6}$，$\arcsin\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{\pi}{4}$，$\arcsin\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{\pi}{3}$，$\arcsin 1=\dfrac{\pi}{2}$，$\arccos 1=0$，$\arccos\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{\pi}{6}$，$\arccos\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{\pi}{4}$，$\arccos\dfrac{1}{2}=\dfrac{\pi}{3}$，$\arccos 0=\dfrac{\pi}{2}$。 + \item 定义域：$(-1, +1)$，值域：$\arcsin x:[-\dfrac{\pi}{2},+\dfrac{\pi}{2}]$，$\arccos x:[0,\pi]$。 \item 单调性：$y=\arcsin x$单调增，$y=\arccos x$单调减。 \item 奇偶性：$y=\arcsin x$为奇函数。 - \item 有界性：$\vert\arcsin x\vert\leqslant\frac{\pi}{2}$，$0\leqslant\arccos x\leqslant\pi$。 - \item 性质：$\arcsin x+\arccos x=\frac{\pi}{2}(-1\leqslant x\leqslant 1)$ + \item 有界性：$\vert\arcsin x\vert\leqslant\dfrac{\pi}{2}$，$0\leqslant\arccos x\leqslant\pi$。 + \item 性质：$\arcsin x+\arccos x=\dfrac{\pi}{2}(-1\leqslant x\leqslant 1)$ \end{enumerate} 对反弦函数性质进行证明： -令$f(x)=\arcsin x+\arccos x$，对其求导得：$f'(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}-\frac{1}{1-x^2}=0$，所以$f(x)$是个常数函数。 +令$f(x)=\arcsin x+\arccos x$，对其求导得：$f'(x)=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}-\dfrac{1}{1-x^2}=0$，所以$f(x)$是个常数函数。 -又$f(0)=\frac{\pi}{2}$，所以该函数等于$\frac{\pi}{2}$。 +又$f(0)=\dfrac{\pi}{2}$，所以该函数等于$\dfrac{\pi}{2}$。 反正切函数： @@ -516,8 +520,8 @@ $$ \filldraw[black] (0,0) node[below]{$O$}; \draw[black, densely dashed](-3,pi/2) -- (3,pi/2); \draw[black, densely dashed](-3,-pi/2) -- (3,-pi/2); - \filldraw[black] (0.5,pi/2-0.5) node{$\frac{\pi}{2}$}; - \filldraw[black] (0.5,-pi/2-0.5) node{$-\frac{\pi}{2}$}; + \filldraw[black] (0.5,pi/2-0.5) node{$\dfrac{\pi}{2}$}; + \filldraw[black] (0.5,-pi/2-0.5) node{$-\dfrac{\pi}{2}$}; \end{tikzpicture} 反余切函数： @@ -528,18 +532,18 @@ $$ \draw[black, thick, domain=-3:3] plot (\x,{pi/2-rad(atan(\x))}) node[right]{$\rm{arccot}(x)$}; \filldraw[black] (0,0) node[below]{$O$}; \draw[black, densely dashed](-3,pi) -- (3,pi); - \filldraw[black] (-0.5,pi/2-0.5) node{$\frac{\pi}{2}$}; + \filldraw[black] (-0.5,pi/2-0.5) node{$\dfrac{\pi}{2}$}; \end{tikzpicture} 反切函数有如下特征： \begin{enumerate} - \item 特殊函数值：$\arctan 0=0$，$\arctan\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}=$，$\arctan 1=\frac{\pi}{4}$，$\arctan\sqrt{3}=\frac{\pi}{3}$，$\rm{arccot}0=\frac{\pi}{2}$，$\rm{arccot}\sqrt{3}=\frac{\pi}{6}$，$\rm{arccot}1=\frac{\pi}{4}$，$\rm{arccot}\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{\pi}{3}$。 - \item 定义域：$(-\infty, +\infty)$，值域：$\arctan x:[-\frac{\pi}{2},+\frac{\pi}{2}]$，$\rm{arccot}x:[0,\pi]$。 + \item 特殊函数值：$\arctan 0=0$，$\arctan\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}=$，$\arctan 1=\dfrac{\pi}{4}$，$\arctan\sqrt{3}=\dfrac{\pi}{3}$，$\rm{arccot}0=\dfrac{\pi}{2}$，$\rm{arccot}\sqrt{3}=\dfrac{\pi}{6}$，$\rm{arccot}1=\dfrac{\pi}{4}$，$\rm{arccot}\dfrac{\sqrt{3}}{3}=\dfrac{\pi}{3}$。 + \item 定义域：$(-\infty, +\infty)$，值域：$\arctan x:[-\dfrac{\pi}{2},+\dfrac{\pi}{2}]$，$\rm{arccot}x:[0,\pi]$。 \item 单调性：$y=\arctan x$单调增，$y=\rm{arccot}x$单调减。 \item 奇偶性：$y=\arctan x$为奇函数。 - \item 有界性：$\vert\arctan x\vert\leqslant\frac{\pi}{2}$，$0\leqslant\rm{arccot}x\leqslant\pi$。 - \item 性质：$\arctan x+\rm{arccot}x=\frac{\pi}{2}(-\infty0$，周期为$2\pi$。 -在直角坐标系下表达式：$x^2+y^2+a*x=a\cdot\sqrt{x^2+y^2}$和$x^2+y^2-a\cdot x=a\cdot\sqrt{x^2+y^2}$。 +在直角坐标系下表达式：$x^2+y^2+a\cdot x=a\cdot\sqrt{x^2+y^2}$和$x^2+y^2-a\cdot x=a\cdot\sqrt{x^2+y^2}$。 参数方程：$x=a\cdot(2\cdot\cos(t)-cos(2\cdot t))$与$y=a\cdot(2\cdot\sin(t)-sin(2\cdot t))$ @@ -823,16 +827,16 @@ $f(x)$沿$y$轴上移$y_0$个单位长度得到$f(x)+y_0$，向下移动$y_0$个 \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline - $\theta$ & $0$ & $\frac{\pi}{6}$ & $\frac{\pi}{4}$ & $\frac{\pi}{3}$ & $\frac{\pi}{2}$ & $\frac{2\pi}{3}$ & $\frac{3\pi}{4}$ & $\frac{5\pi}{6}$ & $\pi$ \\ \hline - $r$ & $0$ & $\frac{2-\sqrt{3}}{2}a$ & $\frac{2-\sqrt{2}}{2}a$ & $\frac{1}{2}a$ & $a$ & $\frac{3}{2}a$ & $\frac{2+\sqrt{2}}{2}a$ & $\frac{2+\sqrt{3}}{2}a$ & $2a$ \\ + $\theta$ & $0$ & $\dfrac{\pi}{6}$ & $\dfrac{\pi}{4}$ & $\dfrac{\pi}{3}$ & $\dfrac{\pi}{2}$ & $\dfrac{2\pi}{3}$ & $\dfrac{3\pi}{4}$ & $\dfrac{5\pi}{6}$ & $\pi$ \\ \hline + $r$ & $0$ & $\dfrac{2-\sqrt{3}}{2}a$ & $\dfrac{2-\sqrt{2}}{2}a$ & $\dfrac{1}{2}a$ & $a$ & $\dfrac{3}{2}a$ & $\dfrac{2+\sqrt{2}}{2}a$ & $\dfrac{2+\sqrt{3}}{2}a$ & $2a$ \\ \hline \end{tabular} \paragraph{玫瑰线} \leavevmode \bigskip -表达式：$r=a\sin(n\theta)$，周期为$\frac{2\pi}{n}$。 +表达式：$r=a\sin(n\theta)$，周期为$\dfrac{2\pi}{n}$。 -当$n$为3时为三叶，2时为四叶，$\frac{3}{2}$为六叶。三叶时周期为$\frac{2\pi}{3}$。 +当$n$为3时为三叶，2时为四叶，$\dfrac{3}{2}$为六叶。三叶时周期为$\dfrac{2\pi}{3}$。 直角坐标系下表达式：$x=a\cdot\sin(n\cdot\theta)\cdot\cos(\theta)$与$y=a\cdot\sin(n\cdot)\cdot\sin(\theta)$ @@ -847,8 +851,8 @@ $f(x)$沿$y$轴上移$y_0$个单位长度得到$f(x)+y_0$，向下移动$y_0$个 \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline - $\theta$ & $0$ & $\frac{\pi}{12}$ & $\frac{\pi}{6}$ & $\frac{\pi}{4}$ & $\frac{\pi}{3}$ & $\frac{5\pi}{12}$ & $\frac{\pi}{2}$ & $\frac{7\pi}{12}$ & $\frac{3\pi}{2}$ \\ \hline - $r$ & $0$ & $\frac{\sqrt{2}}{2}a$ & $a$ & $\frac{\sqrt{2}}{2}a$ & $0$ & $-frac{\sqrt{2}}{2}a$ & $-a$ & $-frac{\sqrt{2}}{2}a$ & $0$ \\ + $\theta$ & $0$ & $\dfrac{\pi}{12}$ & $\dfrac{\pi}{6}$ & $\dfrac{\pi}{4}$ & $\dfrac{\pi}{3}$ & $\dfrac{5\pi}{12}$ & $\dfrac{\pi}{2}$ & $\dfrac{7\pi}{12}$ & $\dfrac{3\pi}{2}$ \\ \hline + $r$ & $0$ & $\dfrac{\sqrt{2}}{2}a$ & $a$ & $\dfrac{\sqrt{2}}{2}a$ & $0$ & $-frac{\sqrt{2}}{2}a$ & $-a$ & $-frac{\sqrt{2}}{2}a$ & $0$ \\ \hline \end{tabular} @@ -930,7 +934,7 @@ $$ \subsubsection{星形线（内摆线）} -与半径为$r$的定圆内切的半径为$\frac{r}{4}$的动圆沿定圆无滑动地滚动，动圆上一点的轨迹称为星形线。 +与半径为$r$的定圆内切的半径为$\dfrac{r}{4}$的动圆沿定圆无滑动地滚动，动圆上一点的轨迹称为星形线。 令$t$表示摆点与圆心的连线所构成夹角的弧度，其中$t\in[0,2\pi]$，得对应参数方程： @@ -953,7 +957,7 @@ $$ 通项公式：$a_n=a_1+(n-1)d$。 -前$n$项和：$S_n=\frac{n}{2}[2a_1+(n-1)d]=\frac{n}{2}(a_1+a_n)$ +前$n$项和：$S_n=\dfrac{n}{2}[2a_1+(n-1)d]=\dfrac{n}{2}(a_1+a_n)$ \subsubsection{等比数列} @@ -965,27 +969,27 @@ $$ \left\{ \begin{array}{lcl} na_1, & & r=1 \\ - \frac{a_1(1-r^n)}{1-r}, & & r\neq 1 + \dfrac{a_1(1-r^n)}{1-r}, & & r\neq 1 \end{array} -\right.$ + \right.$ -若首项为1，则$1+r+r^2+\cdots+r^{n-1}=\frac{1-r^n}{1-r}(r\neq 1)$。 +若首项为1，则$1+r+r^2+\cdots+r^{n-1}=\dfrac{1-r^n}{1-r}(r\neq 1)$。 -则对无穷的极限为$\frac{1}{1-r}$。 +则对无穷的极限为$\dfrac{1}{1-r}$。 \subsubsection{常见数列前$n$项和} \begin{enumerate} - \item $\sum_{k=1}^nk=1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}$。 - \item $\sum_{k=1}^nk^2=1^2+2^2+\cdots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$。 - \item $\sum_{k=1}^n\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{2\times 3}+\cdots+\frac{1}{n(n+1)}=\frac{n}{n+1}$。 + \item $\sum_{k=1}^nk=1+2+\cdots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}$。 + \item $\sum_{k=1}^nk^2=1^2+2^2+\cdots+n^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$。 + \item $\sum_{k=1}^n\dfrac{1}{k(k+1)}=\dfrac{1}{1\times 2}+\dfrac{1}{2\times 3}+\cdots+\dfrac{1}{n(n+1)}=\dfrac{n}{n+1}$。 \end{enumerate} \subsection{三角函数} \subsubsection{基本关系} -$\csc\alpha=\frac{1}{\sin\alpha},\sec\alpha=\frac{1}{\cos\alpha},\cot\alpha=\frac{1}{\tan\alpha},\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha},\cot\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$。 +$\csc\alpha=\dfrac{1}{\sin\alpha},\sec\alpha=\dfrac{1}{\cos\alpha},\cot\alpha=\dfrac{1}{\tan\alpha},\tan\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha},\cot\alpha=\dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$。 $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1,1+\tan^2\alpha=\sec^2\alpha,1+\cot^2\alpha=\csc^2\alpha$。 @@ -993,13 +997,12 @@ $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1,1+\tan^2\alpha=\sec^2\alpha,1+\cot^2\alpha=\csc^2\a 奇变偶不变，符号看象限。奇指前面添加的常数项是否为$\pi$的整数倍，是就需要改变函数，看象限指添加了常数后整体的符号看函数所在象限的符号。 -$\sin(\frac{\pi}{2}\pm\alpha)=\cos\alpha$ - -$\cos(\frac{\pi}{2}\pm\alpha)=\mp\sin\alpha$ - -$\sin(\pi\pm\alpha)=\mp\sin\alpha$ - -$\cos(\pi\pm\alpha)=-\cos\alpha$ +\begin{enumerate} + \item $\sin(\dfrac{\pi}{2}\pm\alpha)=\cos\alpha$ + \item $\cos(\dfrac{\pi}{2}\pm\alpha)=\mp\sin\alpha$ + \item $\sin(\pi\pm\alpha)=\mp\sin\alpha$ + \item $\cos(\pi\pm\alpha)=-\cos\alpha$ +\end{enumerate} \subsubsection{倍角公式} @@ -1007,12 +1010,250 @@ $\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha,\cos 2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=1-2\s $\sin 3\alpha=-4\sin^3\alpha_3\sin\alpha,\cos 3\alpha=4\cos^3\alpha-3\cos\alpha$。 -$\tan 2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha},\cot 2\alpha=\frac{\cot^2\alpha-1}{2\cot\alpha}$。 +$\tan 2\alpha=\dfrac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha},\cot 2\alpha=\dfrac{\cot^2\alpha-1}{2\cot\alpha}$。 + +\subsubsection{半角公式} + +$\sin^2\dfrac{\alpha}{2}=\dfrac{1}{2}(1-\cos\alpha),\cos^2\dfrac{\alpha}{2}=\dfrac{1}{2}(1+\cos\alpha)\text{（降幂公式）}$。 + +$\sin\dfrac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\dfrac{1-\cos\alpha}{2}},\cos\dfrac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\dfrac{1+\cos\alpha}{2}}$。 + +$\tan\dfrac{\alpha}{2}=\dfrac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}=\dfrac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}=\pm\sqrt{\dfrac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}}=\dfrac{1}{\cot\dfrac{\alpha}{2}}$。 + +\subsubsection{和差公式} + +$\sin$和$\tan$的和差公式更容易考到。 + +$\sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta,\cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta$。 + +$\tan(\alpha\pm\beta)=\dfrac{\tan\alpha\pm\tan\beta}{1\mp\tan\alpha\tan\beta},\cot(\alpha\pm\beta)=\dfrac{\cot\alpha\cot\beta\mp 1}{\cot\beta\pm\cot\alpha}$。 + +\subsubsection{积化和差公式} + +和差化积与积化和差不需要背。 + +$\sin\alpha\cos\beta=\dfrac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)],\cos\alpha\sin\beta=\dfrac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)]$。 + +$\cos\alpha\cos\beta=\dfrac{1}{2}[\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)],\sin\alpha\sin\beta=\dfrac{1}{2}[\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)]$。 + +\subsubsection{和差化积公式} + +$\sin\alpha+\sin\beta=2\sin\dfrac{\alpha+\beta}{2}\cos\dfrac{\alpha-\beta}{2},\sin\alpha-\sin\beta=2\sin\dfrac{\alpha-\beta}{2}\cos\dfrac{\alpha+\beta}{2}$。 + +$\cos\alpha+\cos\beta=2\cos\dfrac{\alpha+\beta}{2}\cos\dfrac{\alpha-\beta}{2},\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\dfrac{\alpha+\beta}{2}\sin\dfrac{\alpha-\beta}{2}$。 + +\subsubsection{万能公式} + +一般不会用到。 + +若$u=\tan\dfrac{x}{2}(-\pi0$。 + +首先因为证明中间项无法进行直接处理，又看到是一个对数，所以进行通分：$\ln(1+\dfrac{1}{x})=\ln\dfrac{x+1}{x}=\ln(x+1)-\ln x$。 + +又因为是证明该中间式在一个区间，所以很明显会想到拉格朗日中值定理：$f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)$。 + +得到原式$=f'(\xi)=(\ln\xi)'=\dfrac{1}{\xi}$，又中值定理下$a<\xi0$，所以$\dfrac{1}{b}<\dfrac{1}{\xi}<\dfrac{1}{a}$，得到$0<\dfrac{1}{x+1}<\dfrac{1}{\xi}<\dfrac{1}{x}$。 + +所以原式$\dfrac{1}{x+1}<\ln(1+\dfrac{1}{x})<\dfrac{1}{x}$成立。 + \subsection{一元二次方程基础} + +\begin{enumerate} + \item 基本格式为$ax^2+bx+c=0(a\neq 0)$。 + \item 如果$\Delta=\sqrt{b^2-4ac}\geqslant 0$，根的公式为$x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，其中如果等于0为唯一实根，如果大于0为二重实根，如果$\Delta<0$则得到共轭复数根$-\dfrac{b}{2a}\pm\dfrac{\sqrt{4ac-b^2}}{2a}i$。 + \item 根与系数的关系（韦达定理）为$x_1+x_2=-\dfrac{b}{a},x_1x_2=\dfrac{c}{a}$。 + \item 抛物线顶点为$(-\dfrac{b}{2a},c-\dfrac{b^2}{4a})$。 +\end{enumerate} + \subsection{因式分解公式} + +重点为3、4、7和11的公式。 + +\begin{enumerate} + \item $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$。 + \item $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$。 + \item $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$。 + \item $(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$。 + \item $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$。 + \item $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$。 + \item $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$。 + \item $n$为正整数时，$a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+\cdots+ab^{n-2}+b^{n-1})$。 + \item $n$为正偶数时，$a^n-b^n=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+\cdots+ab^{n-2}-b^{n-1})$。 + \item $n$为正奇数时，$a^n+b^n=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+\cdots-ab^{n-2}+b^{n-1})$。 + \item 二项式定理$(a+b)^n=\sum_{k=0}^nC_n^ka^{n-k}b^k=a^n+na^{n-1}b+\dfrac{n(n-1)}{2!}a^{n-2}b^2+\cdots+\dfrac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!}a^{n-k}b^k+\cdots+nab^{n-1}+b^n$。 +\end{enumerate} + +对于二项式定理需要记忆，后面的幂比较简单，而前面的系数比较困难，可以使用杨辉三角形来记忆： + + +\begin{tikzpicture}[scale=0.9] + \node[black] at (0,0) {$C_0^0$}; + \node[black] at (-1,-1) {$C_1^0$}; + \node[black] at (0,-1) {$C_1^1$}; + \node[black] at (-2,-2) {$C_2^0$}; + \node[black] at (-1,-2) {$C_2^1$}; + \node[black] at (-0,-2) {$C_2^2$}; + \node[black] at (-3,-3) {$C_3^0$}; + \node[black] at (-2,-3) {$C_3^1$}; + \node[black] at (-1,-3) {$C_3^2$}; + \node[black] at (-0,-3) {$C_3^3$}; + \node[black] at (-4,-4) {$C_4^0$}; + \node[black] at (-3,-4) {$C_4^1$}; + \node[black] at (-2,-4) {$C_4^2$}; + \node[black] at (-1,-4) {$C_4^3$}; + \node[black] at (-0,-4) {$C_4^4$}; +\end{tikzpicture} +\hspace{2.5em} +\begin{tikzpicture}[scale=0.9] + \node[black] (0) at (0,0) {1}; + \node[black] (1) at (-1,-1) {1}; + \node[black] (2) at (1,-1) {1}; + \node[black] (3) at (-2,-2) {1}; + \node[black] (4) at (0,-2) {2}; + \node[black] (5) at (2,-2) {1}; + \node[black] (6) at (-3,-3) {1}; + \node[black] (7) at (-1,-3) {3}; + \node[black] (8) at (1,-3) {3}; + \node[black] (9) at (3,-3) {1}; + \node[black] (10) at (-4,-4) {1}; + \node[black] (11) at (-2,-4) {4}; + \node[black] (12) at (0,-4) {6}; + \node[black] (13) at (2,-4) {4}; + \node[black] (14) at (4,-4) {1}; + \draw[-,thick] (0) to (1); + \draw[-,thick] (0) to (2); + \draw[-,thick] (1) to (3); + \draw[-,thick] (1) to (4); + \draw[-,thick] (2) to (4); + \draw[-,thick] (2) to (5); + \draw[-,thick] (3) to (6); + \draw[-,thick] (3) to (7); + \draw[-,thick] (4) to (7); + \draw[-,thick] (4) to (8); + \draw[-,thick] (5) to (8); + \draw[-,thick] (5) to (9); + \draw[-,thick] (6) to (10); + \draw[-,thick] (6) to (11); + \draw[-,thick] (7) to (11); + \draw[-,thick] (7) to (12); + \draw[-,thick] (8) to (12); + \draw[-,thick] (8) to (13); + \draw[-,thick] (9) to (13); + \draw[-,thick] (9) to (14); +\end{tikzpicture} + \subsection{阶乘与双阶乘} + +\begin{enumerate} + \item $n!=1\times 2\times 3\times\cdots\times n$，其中$0!=1$。 + \item $(2n)!!=2\times 4\times 6\times\cdots\times(2n)=2^n\cdot n!$。 + \item $(2n-1)!!=1\times 3\times 5\times\cdots\times(2n-1)$。 +\end{enumerate} + +以后的华里士公式（点火公式）会使用到，如下面的题目： + +\textbf{例题5：}计算$\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^{10}x\rm{d}x$与$\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^9x\rm{d}x$。 + +原式1为偶数次幂，所以$=\dfrac{9}{10}\cdot\dfrac{7}{8}\cdot\dfrac{5}{6}\cdot\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\pi}{2}=\dfrac{\pi}{2}\cdot\dfrac{9!!}{10!!}$ + +原式2为奇数次幂，所以$=\dfrac{8}{9}\cdot\dfrac{6}{7}\cdot\dfrac{4}{5}\cdot\dfrac{2}{3}=\dfrac{8!!}{9!!}$ + \subsection{常用不等式} + +非常重要。 + +\subsubsection{绝对值不等式} + +若$a$，$b$为实数，则： + +\begin{enumerate} + \item $\vert a\pm b\vert\leqslant\vert a\vert+\vert b\vert$。 + \item 推广公式一到离散区间：$\vert a_1\pm a_2\pm a_3\pm\cdots\pm a_n\vert\leqslant\vert a_1\vert+\vert a_2\vert+\cdots+\vert a_n\vert$。 + \item 推广公式一到连续区间且$f(x)$在$[a,b](a0$： + +\begin{enumerate} + \item $\sqrt{ab}\leqslant\dfrac{a+b}{2}\leqslant\sqrt{\dfrac{a^2+b^2}{2}}$。 + \item $\sqrt[3]{abc}\leqslant\dfrac{a+b+c}{3}\leqslant\dfrac{a^2+b^2+c^2}{3}$。 +\end{enumerate} + +\textbf{例题6：}证明函数$f(x)=\dfrac{x}{1+x^2}$在$(-\infty,+\infty)$内有界。 + +可以使用极限，若极限存在则函数有界，这里使用有界性定义与不等式来完成。 + +\textcircled{1}当$x=0$时，$f(0)=\dfrac{0}{1}$，有界。 + +\textcircled{2}当$x\neq 0$时，原式分式上下都有$x$，所以简化公式：$f(x)=\dfrac{\dfrac{x}{x}}{\dfrac{1+x^2}{x}}=\dfrac{1}{\dfrac{1}{x}+x}$。 + +$\because$需要证明有界性，以及根号不等式下需要参数大于0，所以需要证明$\vert f(x)\vert=\dfrac{1}{\dfrac{1}{\vert x\vert}+\vert x\vert}\leqslant M$ + +又$\because\dfrac{a+b}{2}\geqslant\sqrt{ab}$，$\therefore \dfrac{\dfrac{1}{\vert x\vert}+\vert x\vert}{2}\geqslant\sqrt{\dfrac{1}{\vert x\vert}\cdot\vert x\vert}=1$ + +$\therefore\vert f(x)\vert=\dfrac{1}{\dfrac{1}{\vert x\vert}+\vert x\vert}\leqslant\dfrac{1}{2}$。 + +故整个函数在$R$上有界。 + +\subsubsection{指数不等式} + +设$a>b>0$，则$ +\left\{ +\begin{array}{lcl} + a^n>b^n, & & \text{当}n>0\text{时} \\ + a^n0)$。 + \item $\arctan x\leqslant x\leqslant\arcsin x(0\leqslant x\leqslant 1)$。 +\end{enumerate} + +\subsubsection{对数不等式} + +\begin{enumerate} + \item $x-1\geqslant\ln x(x>0)$。 + \item $\dfrac{1}{1+x}<\ln(1+\dfrac{1}{x})<\dfrac{1}{x}(x>0)$。 +\end{enumerate} + \end{document} diff --git a/0-model/model.tex b/model/model.tex similarity index 100% rename from 0-model/model.tex rename to model/model.tex