From b48c4c1cd6cbfbf9722e8470285cfa298a57de00 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Didnelpsun <48906416+Didnelpsun@users.noreply.github.com> Date: Wed, 20 Jan 2021 22:12:42 +0800 Subject: [PATCH] =?UTF-8?q?=E5=AE=8C=E6=88=90=E7=AC=AC=E4=B8=89=E8=AE=B2?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- .../function-and-limit.tex | 370 +++++++++++++++++- .../model.tex | 0 ...ariable-function-differential-calculus.tex | 48 +++ 3 files changed, 410 insertions(+), 8 deletions(-) rename {model => advanced-math/4-single-variable-function-differential-calculus}/model.tex (100%) create mode 100644 model/single-variable-function-differential-calculus.tex diff --git a/advanced-math/3-function-and-limit/function-and-limit.tex b/advanced-math/3-function-and-limit/function-and-limit.tex index bd20f47..05748ae 100644 --- a/advanced-math/3-function-and-limit/function-and-limit.tex +++ b/advanced-math/3-function-and-limit/function-and-limit.tex @@ -1,5 +1,5 @@ \documentclass[UTF8]{ctexart} -\usepackage{color} +\usepackage{xcolor} % 使用颜色 \definecolor{orange}{RGB}{255,127,0} \definecolor{violet}{RGB}{192,0,255} @@ -24,8 +24,10 @@ % 1.5倍行距 \usepackage{pifont} % 圆圈序号 -\usepackage[colorlinks,linkcolor=violet,urlcolor=blue]{hyperref} +\usepackage[colorlinks,linkcolor=black,urlcolor=blue]{hyperref} % 超链接 +\usepackage{tikz} +% 绘图 \author{Didnelpsun} \title{函数与极限} \begin{document} @@ -276,7 +278,7 @@ $\lim_{x\to 0}\dfrac{x^2\cdot\sin\dfrac{1}{x}}{x}=\lim_{x\to 0}\left(2x\cdot\sin 其中$o(x^\alpha)$为佩亚诺余项，其非常小。 -同样可以对泰勒展开式进行变形：$x-\sin x\sim\dfrac{x^3}{6}$。 +同样可以对泰勒展开式进行变形：$x-\sin x\sim\dfrac{x^3}{6}$，$x+\sin x\sim 2x$。 如： @@ -387,7 +389,7 @@ $ 设$f(x)$在$\mathring{U}(x_0,\delta)$内有定义，则$\lim_{x\to x_0}f(x)=A$存在$\Leftrightarrow$对任何$\mathring{U}(x_0,\delta)$内以$x_0$为极限的数列$\{x_n\}(x_n\neq x_0)$，极限$\lim_{n\to\infty}f(x_n)=A$存在。 -海涅定理用来李连杰数列极限与函数极限。在极限存在下他们可以相互转换。 +海涅定理用来连接数列极限与函数极限。在极限存在下他们可以相互转换。 \textbf{例题4：}求$\lim_{n\to\infty}\left(n\tan\dfrac{1}{n}\right)^{n^2}$（$n\in N^+$）。 @@ -442,26 +444,378 @@ $ 并不是任意无穷小都可以比阶。如$\lim_{x\to 0}\dfrac{x\sin\dfrac{1}{x}}{x^2}$就因为得到函数振荡而无法得到极限。 -\section{极限未定式计算} +\subsection{常用等价无穷小} -对于自变量的变化趋势分为六种，分别是对于$x_0$与$\infty$的各三种。 +$x\to 0$： -\subsection{化简} +\begin{enumerate} + \item $\sin x\sim x$。 + \item $\tan x\sim x$。 + \item $\arcsin x\sim x$。 + \item $\arctan x\sim x$。 + \item $\ln(1+x)\sim x$。 + \item $e^x-1\sim x$。 + \item $a^x-1\sim x\ln a$。 + \item $1-\cos x\sim\dfrac{1}{2}x^2$。 + \item $(1+x)^a-1\sim ax$。 +\end{enumerate} + +还有$e^{\sin x}-e^x\sim\sin x-x\sim-\dfrac{1}{6}x^3$。 + +\section{极限计算} + +\subsection{未定式} + +未定式即需要自己定义的式子，可能存在极限也可能不存在，对于自变量的变化趋势分为六种，分别是对于$x_0$与$\infty$的各三种。 + +\subsubsection{化简} 方式： \begin{enumerate} \item 提出极限不为0的因式。 \item 等价无穷小替换。 + \item 恒等变形（提公因式、拆项、合并、分子分母同除变量最高次幂、换元法）。 \end{enumerate} +\subsubsection{判断类型} + +七种：$\dfrac{0}{0},\dfrac{\infty}{\infty},0\cdot\infty,\infty-\infty,\infty^0,0^0,1^\infty$。 + +\ding{172}其中$\dfrac{0}{0}$为洛必达法则的基本型。$\dfrac{\infty}{\infty}$可以类比$\dfrac{0}{0}$的处理方式。$0\cdot\infty$可以转为$\dfrac{0}{\dfrac{1}{\infty}}=\dfrac{0}{0}=\dfrac{\infty}{\dfrac{1}{0}}=\dfrac{\infty}{\infty}$。设置分母有原则，简单因式才下放。（简单：幂函数，e为底的指数函数） + +\ding{173}$\infty-\infty$可以提取公因式或通分，即和差化积。 + +\ding{174}$\infty^0,0^0,1^\infty$，就是幂指函数。 + +$ +u^v=e^{v\ln u}=\left\{ +\begin{array}{lcl} + \infty^0 & \rightarrow & e^{0\cdot+\infty} \\ + 0^0 & \rightarrow & e^{0\cdot-\infty} \\ + 1^\infty & \rightarrow & e^{\infty\cdot 0} \\ +\end{array} \right. +$ + +$\therefore \lim u^v=e^{\lim v\cdot\ln u}=e^{\lim v(u-1)}$ + +\paragraph{比值类型} \leavevmode \bigskip + +$\dfrac{0}{0}$型\textbf{例题5：}求极限$\lim_{x\to 0}\dfrac{e^{-\frac{1}{x^2}}}{x^{100}}$ + +$ +\begin{aligned} + & \lim_{x\to 0}\dfrac{e^{-\frac{1}{x^2}}}{x^{100}} \\ + & = \lim_{x\to 0}\dfrac{e^{-\frac{1}{x^2}}\cdot 2x^{-3}}{100x^99} \\ + & = \lim_{x\to 0}\dfrac{1}{50}\lim_{x\to 0}\dfrac{e^{-\frac{1}{x^2}}}{x^{102}} +\end{aligned} +$ + +\bigskip + +使用洛必达法则下更复杂，因为分子的幂次为负数，导致求导后幂次绝对值越来越大，不容易计算。 + +使用倒代换再洛必达降低幂次，令$\dfrac{1}{x^2}=t$。 + +$ +\begin{aligned} + & \lim_{x\to 0}\dfrac{e^{-\frac{1}{x^2}}}{x^{100}} \\ + & = \lim_{t\to+\infty}\dfrac{e^{-t}}{t^{-50}} \\ + & = \lim_{t\to+\infty}\dfrac{t^{50}}{e^t} \\ + & = \lim_{t\to+\infty}\dfrac{50t^{49}}{e^t} \\ + & = \cdots \\ + & = \lim_{t\to+\infty}\dfrac{50!}{e^t} \\ + & = 0 +\end{aligned} +$ + +$\infty\cdot 0$型\textbf{例题6：}求极限$\lim_{x\to-\infty}x(\sqrt{x^2+100}+x)$。 + +首先定性分析：$\lim_{x\to-\infty}x\cdot(\sqrt{x^2+100}+x)$。 + +在$x\to-\infty$趋向时，$x$就趋向无穷大，而$\sqrt{x^2+100}$为一次，所以$\sqrt{x^2+100}+x$趋向0。 + +又$\sqrt{x^2+100}$在$x\to-\infty$时本质为根号差，所以有理化： + +$ +\begin{aligned} + & \lim_{x\to-\infty}x(\sqrt{x^2+100}+x) \\ + & \lim_{x\to-\infty}x\dfrac{x^2+100-x^2}{\sqrt{x^100}-x} \\ + & = \lim_{x\to-\infty}\dfrac{100x}{\sqrt{x^2+100}-x} \\ + & \Rightarrow^{\text{令}x=-t} \lim_{t\to+\infty}\dfrac{-100t}{\sqrt{t^2+100}+t} \\ + & = \lim_{t\to+\infty}\dfrac{-100}{\sqrt{1+\dfrac{100}{t^2}}+1} \\ + & = -50 +\end{aligned} +$ + +$\infty\cdot 0$型\textbf{例题7：}求极限$\lim_{x\to 1^-}\ln x\ln(1-x)$。 + +当$x\to 1^-$时，$\ln x$趋向0，$\ln(1-x)$趋向$-\infty$。 + +又$x\to 0$，$\ln(1+x)\sim x$，所以$x\to 1$，$\ln x\sim x-1$： + +$ +\begin{aligned} + & \lim_{x\to 1^-}\ln x\ln(1-x) \\ + & = \lim_{x\to 1^-}(x-1)\ln(1-x) \\ + & \Rightarrow^{令t=1-x} =-\lim_{t\to 0^+}t\ln t \\ + & = -\lim_{t\to 0^+}\dfrac{\ln t}{\dfrac{1}{t}} \\ + & = -\lim_{t\to 0^+}\dfrac{\dfrac{1}{t}}{-\dfrac{1}{t^2}} \\ + & = \lim_{t\to 0^+}t \\ + & = 0 +\end{aligned} +$ + + +$\dfrac{0}{0}$型\textbf{例题8：}求极限$\lim_{x\to 0}\dfrac{\arcsin x-\arctan x}{\sin x-\tan x}$。 + +分析：该题目使用洛必达法则会比较麻烦且难以计算，所以先考虑是否能用泰勒展开： + +$x\to 0$，$\sin x=x-\dfrac{1}{6}x^3+o(x^3)$，$\tan x=x+\dfrac{1}{3}x^3+o(x^3)$，$\arcsin x=x+\dfrac{1}{6}x^3+o(x^3)$，$\arctan x=x-\dfrac{1}{3}x^3+o(x^3)$。 + +$\therefore \sin x-\tan x=-\dfrac{1}{2}x^3+o(x^3)$，$\arcsin x-\arctan x=\dfrac{1}{2}x^3+o(x^3)$ + +$\therefore \text{原式}=\dfrac{\dfrac{1}{x}x^3+o(x^3)}{-\dfrac{1}{2}x^3+o(x^3)}=-1$。 + +$0\cdot\infty$型\textbf{例题9：}求极限$\lim_{x\to 0}x\left[\dfrac{10}{x}\right]$，其中$[\cdot]$为取整符号。 + +取整函数公式：$x-1<[x]\leqslant x$，所以$\dfrac{10}{x}-1<\left[\dfrac{10}{x}\right]\leqslant\dfrac{10}{x}$。 + +当$x>0$时，$x\to 0^+$，两边都乘以10，$10-x0$时，$x\to 0^-$，同样也是夹逼准则得到极限为10。 + +$\therefore \lim_{x\to 0}x\left[\dfrac{10}{x}\right]$。 + +\paragraph{差类型} \leavevmode \bigskip + +\begin{itemize} + \item 如果函数中有分母，则通分，将加减法变形为乘除法，以便其他计算如洛必达法则。 + \item 若函数中没有分母，则可以通过提取公因式或倒数代换，出现分母，再利用通分等方式将加减法变成乘除法。 +\end{itemize} + +$\infty-\infty$型\textbf{例题10：}求极限$\lim_{x\to 0}\left(\dfrac{1}{\sin^2x}-\dfrac{\cos^2x}{x^2}\right)$。 + +$ +\begin{aligned} + & \lim_{x\to 0}\left(\dfrac{1}{\sin^2x}-\dfrac{\cos^2x}{x^2}\right) \\ + & = \lim_{x\to 0}\dfrac{x^2-\sin^2x\cos^2x}{\sin^2x\cdot x^2} (\sin x\sim x)\\ + & = \lim_{x\to 0}\dfrac{x^2-\sin^2x\cos^2x}{x^4} (\sin x\cos x\sim\dfrac{1}{2}\sin 2x)\\ + & = \lim_{x\to 0}\dfrac{x^2-\dfrac{1}{4}\sin^22x}{x^4} \\ + & = \lim_{x\to 0}\dfrac{2x-\dfrac{1}{4}\cdot 2\sin 2x\cdot\cos 2x\cdot 2}{4x^3} (\sin x\cos x\sim\dfrac{1}{2}\sin 2x)\\ + & = \lim_{x\to 0}\dfrac{2x-\dfrac{1}{2}\sin 4x}{4x^3} \\ + & = \lim_{x\to 0}\dfrac{2-\dfrac{1}{2}\cos 4x\cdot 4}{12x^2} \\ + & = \dfrac{1}{6}\lim_{x\to 0}\dfrac{1-\cos 4x}{x^2} (1-\cos x\sim \dfrac{1}{2}x^2)\\ + & = \dfrac{4}{3} +\end{aligned} +$ + +$\infty-\infty$型\textbf{例题11：}求极限$\lim_{x\to+\infty}[x^2(e^{\frac{1}{x}}-1)-x]$。 + +该式子无法进行因式分解，所以尝试使用倒数代换： + +$ +\begin{aligned} + & \lim_{x\to+\infty}[x^2(e^{\frac{1}{x}}-1)-x] \\ + & \Rightarrow^{\text{令}x=\frac{1}{t}}\lim_{t\to 0^+}\left(\dfrac{e^t-1}{x^2}-\dfrac{1}{t}\right) \\ + & \lim_{t\to 0^+}\dfrac{e^t-1-t}{t^2} \\ + & \Rightarrow^{\text{泰勒展开}e^x}\lim_{t\to 0^+}\dfrac{\dfrac{1}{2}x^2}{x^2} \\ + & =\dfrac{1}{2} +\end{aligned} +$ + +\paragraph{幂指类型} \leavevmode \bigskip + +$\infty^0$型\textbf{例题12：}求极限$\lim_{x\to+\infty}(x+\sqrt{1+x^2})^{\frac{1}{x}}$。 + +$ +\begin{aligned} + & \lim_{x\to+\infty}(x+\sqrt{1+x^2})^{\frac{1}{x}} \\ + & =e^{\lim_{x\to+\infty}\frac{(x+\sqrt{1+x^2})}{x}} \left(\ln(x+\sqrt{1+x^2})'=\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}\right) \\ + & =e^{\lim_{x\to+\infty}\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}} \\ + & =e^0 \\ + & =1 +\end{aligned} +$ + +$1^\infty$型\textbf{例题13：}求极限$\lim_{x\to 0}\left(\dfrac{e^x+e^{2x}+\cdots+e^{nx}}{n}\right)^{\frac{e}{x}}$。（$n\in N^+$） + +$ +\begin{aligned} + & \lim_{x\to 0}\left(\dfrac{e^x+e^{2x}+\cdots+e^{nx}}{n}\right)^{\frac{e}{x}} \\ + & =e^{\lim_{x\to 0}\dfrac{e}{x}\ln\left(\frac{e^x+e^{2x}+\cdots+e^{nx}}{n}\right)} \\ + & =e^{\lim_{x\to 0}\dfrac{e}{x}\left(\frac{e^x+e^{2x}+\cdots+e^{nx}}{n}-1\right)} \\ + & =e^{\lim_{x\to 0}\dfrac{e}{x}\left(\frac{e^x+e^{2x}+\cdots+e^{nx}-n}{n}\right)} \\ + & =e^{\frac{e}{n}\lim_{x\to 0}\left(\frac{e^x-1}{x}+\frac{e^{2x}-1}{x}+\cdots+\frac{e^{nx}-1}{x}\right)} \\ + & =e^{\frac{e}{n}[1+2+\cdots+n]} \\ + & =e^{\frac{e}{n}\cdot\frac{n(1+n)}{2}} \\ + & =e^{\frac{e(1+n)}{2}} +\end{aligned} +$ + +\subsection{极限转换} + +一般解法为两种，一种是脱帽法：$\lim_{x\to x_0}f(x)\Leftrightarrow f(x)=A+\alpha(x),\lim_{x\to x_0}\alpha(x)=0$。第二种就是根据之间的关系转换。 + +\textbf{例题14：}如果$\lim_{x\to 0}\dfrac{x-\sin x+f(x)}{x^4}$存在，则$\lim_{x\to 0}\dfrac{x^3}{f(x)}$为常数多少？ + +解法一： + +由$\lim_{x\to 0}\dfrac{x\sin x+f(x)}{x^4}=A$脱帽：$\dfrac{x\sin x+f(x)}{x^4}=A+\alpha$。 + +得到：$f(x)=Ax^4+\alpha\cdot x^4-(x-\sin x)$。 + +反代入：$\lim_{x\to 0}\dfrac{f(x)}{x^3}=\lim_{x\to 0}\dfrac{Ax^4+\alpha\cdot x^4-x+\sin x}{x^3}=0+0-\dfrac{1}{6}=-\dfrac{1}{6}$。 + +$\therefore \lim_{x\to 0}\dfrac{x^3}{f(x)}=-6$。 + +解法二： + +由$\lim_{x\to 0}\dfrac{x\sin x+f(x)}{x^4}=A$，而目标是$x^3$，所以需要变形： + +$ +\begin{aligned} + & \lim_{x\to 0}\dfrac{x\sin x+f(x)}{x^4}=A \\ + & \lim_{x\to 0}\dfrac{x\sin x+f(x)\cdot x}{x^4}=A\cdot\lim_{x\to 0}x=0 \\ + & \lim_{x\to 0}\dfrac{x-\sin x}{x^3}+\lim_{x\to 0}\dfrac{f(x)}{x^3}=0 \\ + & \text{泰勒展开：}x-\sin x=\dfrac{1}{6}x^3 \\ + & \lim_{x\to 0}\dfrac{f(x)}{x^3}=-\dfrac{1}{6} \\ + & \lim_{x\to 0}\dfrac{x^3}{f(x)}=-6 +\end{aligned} +$ + +\subsection{求参数} + +因为求参数类型的题目中式子是未知的，所以求导后也是未知的，所以一般不要使用洛必达法则，而使用泰勒展开。 + +一般极限式子右侧等于一个常数，或是表明高阶或低阶。具体的关系参考无穷小比阶。 + +\textbf{例题15：}设$\lim_{x\to 0}\dfrac{\ln(1+x)-(ax+bx^2)}{x^2}=2$，求常数a，b。 + +根据泰勒展开式：$x\to 0,\ln(1+x)=x-\dfrac{x^2}{x}+o(x^2)$。 + +$ +\begin{aligned} + & \lim_{x\to 0}\dfrac{\ln(1+x)-(ax+bx^2)}{x^2}=2 \\ + & =\lim_{x\to 0}\dfrac{(1-a)x-\left(\dfrac{1}{2}+b\right)x^2+o(x^2)}{x^2}=2\neq 0 \\ + & 1-a=0;-\left(\dfrac{1}{2}+b\right)=2 \\ + & \therefore a=1;b=-\dfrac{5}{2} +\end{aligned} +$ + +\textcolor{orange}{注意：}根据泰勒公式，$x-\ln(1+x)\sim\dfrac{1}{2}x^2\sim 1-\cos x$。 + +函数的连续与间断是逐点的概念。 + \section{连续} \subsection{定义} + +若函数$f(x)$在点$x_0$的某一邻域内有定义，且有$\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$，则称函数$f(x)$在点$x_0$处连续。 + +极限值等于函数值，则该点连续。 + \section{间断} + +讨论间断只看两类点：分段函数分段点，无定义点。 + \subsection{定义} + +若函数$f(x)$在点$x_0$的某一去心邻域内有定义，且有$\lim_{x\to x_0}f(x)\neq f(x_0)$，则称函数$f(x)$在点$x_0$处间断。 + +极限值不等于函数值，则该点间断。 + \subsection{分类} -\subsubsection{可去间断点} +\subsubsection{可去间断点（可补间断点）} + +若$\lim_{x\to x_0}f(x)=A\neq f(x_0)$（甚至可以没有定义）。 + +\begin{tikzpicture} + \draw[-latex](-0.5,0) -- (3,0) node[below]{$x$}; + \draw[-latex](0,-0.5) -- (0,3) node[above]{$y$}; + \filldraw[black] (0,0) node[below]{$O$}; + \draw[black, thick, domain=-0.5:2] plot (\x,{pow(e,\x-1)}); + \filldraw[white, draw=black, line width=1pt] (1,1) circle (2pt); + \draw[black, densely dashed](1,2) -- (0,2) node[left]{$B$}; + \draw[black, densely dashed](1,1) -- (0,1) node[left]{$A$}; + \draw[black, densely dashed](1,2) -- (1,0) node[below]{$x_0$}; + \filldraw[black] (1,2) circle (2pt) node[above]{$f(x_0)=B$}; + \filldraw[black] (1,1) node[right]{$\lim_{x\to x_0}=A$}; +\end{tikzpicture} + \subsubsection{跳跃间断点} + +若$\lim_{x\to x_0^-}f(x)$与$\lim_{x\to x_0^+}$都存在，但是$\lim_{x\to x_0^-}f(x)\neq\lim_{x\to x_0^+}$。 + +\begin{tikzpicture} + \draw[-latex](-0.5,0) -- (3,0) node[below]{$x$}; + \draw[-latex](0,-0.5) -- (0,3) node[above]{$y$}; + \filldraw[black] (0,0) node[below]{$O$}; + \draw[black, thick, domain=-0.5:1] plot (\x,{pow(e,\x-1)}); + \draw[black, thick, domain=1:1.5] plot (\x,{pow(e,\x-1)+1}); + \filldraw[white, draw=black, line width=1pt] (1,1) circle (2pt); + \draw[black, densely dashed](1,2) -- (0,2) node[left]{$B$}; + \draw[black, densely dashed](1,1) -- (0,1) node[left]{$A$}; + \draw[black, densely dashed](1,2) -- (1,0) node[below]{$x_0$}; + \filldraw[black] (1,2) circle (2pt) node[above]{$f(x_0)=B$}; + \filldraw[black] (1,1) node[right]{$\lim_{x\to x_0}=A$}; +\end{tikzpicture} + +可去间断点与跳跃间断点都称为第一类间断点。 + \subsubsection{无穷间断点} + +若$\lim_{x\to x_0}f(x)=\infty$，或至少一个方向为无穷大（定义分歧）。如$y=\dfrac{1}{x}$在$x=0$处为无穷间断点。 + +\begin{tikzpicture} + \draw[-latex](-2,0) -- (2,0) node[below]{$x$}; + \draw[-latex](0,-2) -- (0,2) node[above]{$y$}; + \filldraw[black] (0,0) node[below]{$O$}; + \draw[black, thick, domain=0.5:2] plot (\x,{pow(\x,-1)}); + \draw[black, thick, domain=-2:-0.5] plot (\x,{pow(\x,-1)}); +\end{tikzpicture} + \subsubsection{振荡间断点} + +若$\lim_{x\to x_0}f(x)$为振荡不存在。如$\lim_{x\to 0}\sin\dfrac{1}{x}$的$x=0$就是振荡间断点。 + +\begin{tikzpicture} + \draw[-latex](-2,0) -- (2,0) node[below]{$x$}; + \draw[-latex](0,-1.5) -- (0,1.5) node[above]{$y$}; + \filldraw[black] (0,0) node[below]{$O$}; + \draw[black, thick, domain=0.01:2] plot (\x,{sin(pow(\x,-1) r)}); + \draw[black, thick, domain=-2:-0.01] plot (\x,{sin(pow(\x,-1) r)}); +\end{tikzpicture} + +无穷间断点与振荡间断点都是第二类间断点。 + +\textcolor{orange}{注意：}两侧邻域都有定义才能讨论间断点问题。 + +\textbf{例题16：}若$f(x)=\left\{ + \begin{array}{lcl} + 2x+a, & & x\leqslant 0 \\ + e^x(\sin x+\cos x), & & x>0 + \end{array} \right. +$在$(-\infty,+\infty)$内连续，求$a$。 + +因为连续，所以$f(0)=\lim_{x\to 0^+}f(x)=\lim_{x\to 0^-}f(x)$。 + +$\therefore a=1$。 + +\textbf{例题17：}若函数$f(x)=\dfrac{\ln\vert x\vert}{\vert x-1\vert}\sin x$，则x的间断点类型是？ + +由式子的分式部分可知有两个无定义的间断点：$x=0$，$x=1$。 + +$\lim_{x\to 1}f(x)=\lim_{x\to 1}\dfrac{x-1}{\vert x-1\vert}\sin x=\left\{ + \begin{array}{lcl} + x\to 1^+ & \rightarrow & \sin 1 \\ + x\to 1^- & \rightarrow & -\sin 1 + \end{array} \right. +$ + +所以$x=1$跳跃间断点。 + +$\lim_{x\to 0}f(x)=\lim_{x\to 0}\ln\vert x\vert\cdot\sin x=\lim_{x\to 0}x\ln\vert x\vert=0$ + +而$x=0$未定义，所以其为可去间断点。 + \end{document} diff --git a/model/model.tex b/advanced-math/4-single-variable-function-differential-calculus/model.tex similarity index 100% rename from model/model.tex rename to advanced-math/4-single-variable-function-differential-calculus/model.tex diff --git a/model/single-variable-function-differential-calculus.tex b/model/single-variable-function-differential-calculus.tex new file mode 100644 index 0000000..44ad0f5 --- /dev/null +++ b/model/single-variable-function-differential-calculus.tex @@ -0,0 +1,48 @@ +\documentclass[UTF8]{ctexart} +% UTF8编码，ctexart现实中文 +\usepackage{color} +% 使用颜色 +\usepackage{geometry} +\setcounter{tocdepth}{4} +\setcounter{secnumdepth}{4} +% 设置四级目录与标题 +\geometry{papersize={21cm,29.7cm}} +% 默认大小为A4 +\geometry{left=3.18cm,right=3.18cm,top=2.54cm,bottom=2.54cm} +% 默认页边距为1英尺与1.25英尺 +\usepackage{indentfirst} +\setlength{\parindent}{2.45em} +% 首行缩进2个中文字符 +\usepackage{setspace} +\renewcommand{\baselinestretch}{1.5} +% 1.5倍行距 +\author{Didnelpsun} +\title{一元函数微分学} +\begin{document} +\maketitle +\thispagestyle{empty} +\tableofcontents +\thispagestyle{empty} +\newpage +\pagestyle{plain} +\setcounter{page}{1} +\section{概念} +\subsection{引例} +\subsection{导数} +\subsection{微分} +\section{导数与微分计算} +\subsection{四则运算} +\subsection{分段函数的导数} +\subsection{复合函数的导数与微分形式不变性} +\subsection{反函数导数} +\subsection{参数方程函数导数} +\subsection{隐函数求导法} +\subsection{对数求导法} +\subsection{幂指函数求导法} +\subsection{高阶导数} +\subsubsection{归纳法} +\subsubsection{莱布尼茨公式} +\subsubsection{泰勒公式} +\subsection{变限积分求导公式} +\subsection{基本求导公式} +\end{document}