diff --git a/linear-algebra/exercise/5-similar/similar.pdf b/linear-algebra/exercise/5-similar/similar.pdf index 2c2ddb2..bf89307 100644 Binary files a/linear-algebra/exercise/5-similar/similar.pdf and b/linear-algebra/exercise/5-similar/similar.pdf differ diff --git a/linear-algebra/exercise/5-similar/similar.tex b/linear-algebra/exercise/5-similar/similar.tex index 65c0080..690bca9 100644 --- a/linear-algebra/exercise/5-similar/similar.tex +++ b/linear-algebra/exercise/5-similar/similar.tex @@ -257,11 +257,16 @@ $\vert\lambda E-A\lambda=\left|\begin{array}{ccc} \subsection{相似性} -\begin{itemize} - \item 定义法：若存在可逆矩阵$P$，使得$P^{-1}AP=B$，则$A\sim B$。 - \item 性质：若$A\sim B$，则$r(A)=r(B)$，$\vert A\vert=\vert B\vert$，$tr(A)=tr(B)$，$\lambda_A=\lambda_B$。 - \item 传递性：$A\sim\Lambda$，$\Lambda\sim B$，则$A\sim B$。 -\end{itemize} +% \begin{itemize} +% \item 定义法：若存在可逆矩阵$P$，使得$P^{-1}AP=B$，则$A\sim B$。 +% \item 性质：若$A\sim B$，则$r(A)=r(B)$，$\vert A\vert=\vert B\vert$，$tr(A)=tr(B)$，$\lambda_A=\lambda_B$。 +% \item 传递性：$A\sim\Lambda$，$\Lambda\sim B$，则$A\sim B$。 +% \end{itemize} + +\begin{enumerate} + \item 首先要判断特征值是否相等（利用$\vert\lambda E-A\vert$）。 + \item 判断矩阵是否可以相似对角化（先根据特征值拼出$\Lambda$，然后求矩阵的秩是否也有同样数量的特征向量）。 +\end{enumerate} \textbf{例题：}已知矩阵$A=\left[\begin{array}{ccc} 3 & 1 & 2 \\ diff --git a/linear-algebra/exercise/6-quadratic-form/quadratic-form.pdf b/linear-algebra/exercise/6-quadratic-form/quadratic-form.pdf index 760c21d..35ca58b 100644 Binary files a/linear-algebra/exercise/6-quadratic-form/quadratic-form.pdf and b/linear-algebra/exercise/6-quadratic-form/quadratic-form.pdf differ diff --git a/linear-algebra/exercise/6-quadratic-form/quadratic-form.tex b/linear-algebra/exercise/6-quadratic-form/quadratic-form.tex index 60398d3..6d96d57 100644 --- a/linear-algebra/exercise/6-quadratic-form/quadratic-form.tex +++ b/linear-algebra/exercise/6-quadratic-form/quadratic-form.tex @@ -34,5 +34,192 @@ \newpage \pagestyle{plain} \setcounter{page}{1} + +\section{标准形} + +\subsection{配方法} + +\begin{enumerate} + \item 如果二次型有平方项，则首先从$x_1$开始往后不断配方，让最后的式子全部以平方加和的形式，从而不会有混合项。 + \item 如果二次型没有平方项，则首先令$x_1=y_1+y_2$，$x_2=y_1-y_2$，$x_i=y_i$等然后带入$f(x)$强行出现平方项，然后配方，成功后再用$z_i$替换。 + \item 如果总的完全平方项数小于变量个数，则令多余的$x_i$为$y_i$，系数为0。 +\end{enumerate} + +\subsubsection{平方项} + +\textbf{例题：}将$f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_1x_2+2x_1x_3-x_2^2-2x_2x_3-x_3^2$化为标准形并求出作的可逆线性变换。 + +解：首先对$x_1$进行配方，因为有$x_1$因子的式子有$x_1^2+2x_1x_2+2x_1x_3$。 + +所以将$x_1,x_2,x_3$全部配在一起：$(x_1+x_2+x_3)^2=x_1^2+x_2^2+x_3^2+2x_1x_2+2x_1x_3+2x_2x_3$。 + +所以$f(x)=(x_1+x_2+x_3)^2-2x_2^2-4x_2x_3-2x_3^2$，然后继续配$x_2$。 + +因为还有$-2x_2^2-4x_2x_3$，所以配成$-2(x_2+x_3)^2$，正好全部配完了。 + +$\therefore f(x)=(x_1+x_2+x_3)^2-2(x_2+x_3)^2$。 + +令$y_1=x_1+x_2+x_3$，$y_2=x_2+x_3$，补$y_3=x_3$，$\therefore f=y_1^2-2y_2^2$。 + +$(y_1,y_2,y_3)^T=\left(\begin{array}{ccc} + 1 & 1 & 1 \\ + 0 & 1 & 1 \\ + 0 & 0 & 1 +\end{array}\right)(x_1,x_2,x_3)^T$，此时是$y=Dx$，但是我们要求的是$x=Cy$，所以$C=D^{-1}$，所以$D^{-1}$才是作出的可逆线性变换。 + +所以得到的线性变换为$\left(\begin{array}{ccc} + 1 & -1 & 0 \\ + 0 & 1 & -1 \\ + 0 & 0 & 1 +\end{array}\right)$。 + +这样方法还要重新求逆，比较麻烦。实际上我们要求的是$x=Cy$，即用$y$来表示$x$，从而直接将$y$来表示$x$就可以了。 + +首先$y_3=x_3$，所以$x_2=y_2-x_3=y_2-y_3$，$x_1=y_1-x_2-x_3=y_1-y_2+y_3-y_3=y_1-y_2$，综上$x_1=y_1-y_2$，$x_2=y_2-y_3$，$x_3=y_3$，也得到同样结果。 + +\subsubsection{无平方项} + +\textbf{例题：}将二次型$f(x_1,x_2,x_3)=x_1x_2+x_1x_3-x_2x_3$化为规范形，并求所用的可逆线性变换。 + +解：因为二次型中没有平方项式子，而如果进行配方一定会出现平方，就会产生冲突，所以希望把$x$代换称有平方的式子。 + +令$x_1=y_1+y_2$，$x_2=y_1-y_2$，$x_3=y_3$，代入二次型中。 + +$f=y_1^2-y_2^2+y_1y_3+y_2y_3-y_1y_3-+y_2y_3=y_1^2-y_2^2+2y_2y_3=y_1^2-y_2^2+2y_2y_3$。 + +此时由没有平方项就变成了有平方项，所以就能进行配方。 + +$=y_1^2-(y_2-y_3)^2+y_3^2$，继续之前的步骤，进行换元： + +令$z_1=y_1$，$z_2=y_2-y_3$，$z_3=y_3$，$f=z_1^2-z_2^2+z_3^2$得到标准形。 + +对于$x$与$y$：$(x_1,x_2,x_3)^T=\left(\begin{array}{ccc} + 1 & 1 & 0 \\ + 1 & -1 & 0 \\ + 0 & 0 & 1 +\end{array}\right)(y_1,y_2,y_3)^T$。$y$作为过渡变量。 + +将$y$转换为$z$：$(z_1,z_2,z_3)^T=\left(\begin{array}{ccc} + 1 & 0 & 0 \\ + 0 & 1 & -1 \\ + 0 & 0 & 1 +\end{array}\right)(y_1,y_2,y_3)^T$，我们需要$x=Cz$。 + +$(x_1,x_2,x_3)^T=\left(\begin{array}{ccc} + 1 & 1 & 0 \\ + 1 & -1 & 0 \\ + 0 & 0 & 1 +\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc} + 1 & 0 & 0 \\ + 0 & 1 & -1 \\ + 0 & 0 & 1 +\end{array}\right)^{-1}(z_1,z_2,z_3)^T$，从而得到$C=\left(\begin{array}{ccc} + 1 & 1 & 1 \\ + 1 & -1 & -1 \\ + 0 & 0 & 1 +\end{array}\right)$。 + +\subsection{初等变换法} + +$f(x)=X^TAX$，线性变换$X=CY$，$C^TAC=\Lambda$，又$C$可逆，$\therefore C=P_1P_2\cdots P_s$，$EP_1P_2\cdots P_s=C$，$\therefore(P_1P_2\cdots P_s)^TAP_1P_2\cdots P_3=\Lambda$， + +\begin{enumerate} + \item 对$A,E$做同样的初等列变换。 + \item 对$A$做相应的初等行变换。（交换$i,j$列就要交换$i,j$行）。一套行列变换后$\Lambda$为对称矩阵。 + \item $A$化成对角矩阵时，$E$化成的就是$C$。 +\end{enumerate} + +$\left(\begin{array}{c} + A \\ + E +\end{array}\right)\rightarrow\left(\begin{array}{c} + \Lambda \\ + C +\end{array}\right)$，对整个列变换，只对$A$行变换。 + +$\left(\begin{array}{c} + A \\ + E +\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} + 1 & 1 & 1 \\ + 1 & 2 & 2 \\ + 1 & 2 & 1 \\ + 1 & 0 & 0 \\ + 0 & 1 & 0 \\ + 0 & 0 & 1 +\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} + 1 & 0 & 1 \\ + 1 & 1 & 2 \\ + 1 & 1 & 1 \\ + 1 & -1 & 0 \\ + 0 & 0 & 0 \\ + 0 & 0 & 1 +\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} + 1 & 0 & 1 \\ + 0 & 1 & 1 \\ + 1 & 1 & 1 \\ + 1 & -1 & 0 \\ + 0 & 0 & 0 \\ + 0 & 0 & 1 +\end{array}\right)=\\\left(\begin{array}{ccc} + 1 & 0 & 0 \\ + 0 & 1 & 1 \\ + 1 & 1 & 0 \\ + 1 & -1 & -1 \\ + 0 & 0 & 0 \\ + 0 & 0 & 1 +\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} + 1 & 0 & 0 \\ + 0 & 1 & 1 \\ + 0 & 1 & 0 \\ + 1 & -1 & -1 \\ + 0 & 1 & 0 \\ + 0 & 0 & 1 +\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} + 1 & 0 & 0 \\ + 0 & 1 & 0 \\ + 0 & 1 & -1 \\ + 1 & -1 & 0 \\ + 0 & 1 & -1 \\ + 0 & 0 & 1 +\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} + 1 & 0 & 0 \\ + 0 & 1 & 0 \\ + 0 & 0 & -1 \\ + 1 & -1 & 0 \\ + 0 & 1 & -1 \\ + 0 & 0 & 1 +\end{array}\right)$ + +$\therefore\Lambda=\left(\begin{array}{ccc} + 1 & 0 & 0 \\ + 0 & 1 & 0 \\ + 0 & 0 & -1 +\end{array}\right)$，$C=\left(\begin{array}{ccc} + 1 & -1 & 0 \\ + 0 & 1 & -1 \\ + 0 & 0 & 1 +\end{array}\right)$ + +\subsection{正交变换法} + +\textbf{例题：}将二次型$f(x_1,x_2,x_3)=2x_1^2+5x_2^2+5x_3^2+4x_1x_2-4x_1x_3-8x_2x_3$使用正交变换法化为标准形，并求所作的正交变换。 + +已知将二次型通过矩阵表示：$=(x_1,x_2,x_3)\left(\begin{array}{ccc} + 2 & 2 & -2 \\ + 2 & 5 & -4 \\ + -2 & -4 & 5 +\end{array}\right)(x_1,x_2,x_3)^T$。\medskip + +这个矩阵跟第五章相似的实对称矩阵相似对角化的例题的矩阵一样。 + +所以直接结果：$\lambda_1=\lambda_2=1$，$\lambda_3=10$，$\eta_1'=\dfrac{\sqrt{5}}{5}(-2,1,0)^T$，$\eta_2'=\dfrac{\sqrt{5}}{15}(2,4,5)^T$，$\eta_3'=\dfrac{1}{3}(1,2,-2)^T$。 + +第五步：$f(x)=g(y)=y^T\Lambda y=(y_1,y_2,y_3)\left(\begin{array}{ccc} + 1 \\ + & 1 \\ + & & 10 +\end{array}\right)(y_1,y_2,y_3)^T=y_1^2+y_2^2+10y_3^2$ + \section{正定二次型} \end{document} diff --git a/linear-algebra/knowledge/6-quadratic-form/quadratic-form.pdf b/linear-algebra/knowledge/6-quadratic-form/quadratic-form.pdf index f980122..3ccd6e3 100644 Binary files a/linear-algebra/knowledge/6-quadratic-form/quadratic-form.pdf and b/linear-algebra/knowledge/6-quadratic-form/quadratic-form.pdf differ diff --git a/linear-algebra/knowledge/6-quadratic-form/quadratic-form.tex b/linear-algebra/knowledge/6-quadratic-form/quadratic-form.tex index 53725aa..c50db20 100644 --- a/linear-algebra/knowledge/6-quadratic-form/quadratic-form.tex +++ b/linear-algebra/knowledge/6-quadratic-form/quadratic-form.tex @@ -163,162 +163,6 @@ $\Lambda=\left(\begin{array}{cccc} 配方法的核心：将某个变量的平方项与其混合项一次性配称一个完全平方。 -\textbf{例题：}将$f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_1x_2+2x_1x_3-x_2^2-2x_2x_3-x_3^2$化为标准形并求出作的可逆线性变换。 - -解：首先对$x_1$进行配方，因为有$x_1$因子的式子有$x_1^2+2x_1x_2+2x_1x_3$。 - -所以将$x_1,x_2,x_3$全部配在一起：$(x_1+x_2+x_3)^2=x_1^2+x_2^2+x_3^2+2x_1x_2+2x_1x_3+2x_2x_3$。 - -所以$f(x)=(x_1+x_2+x_3)^2-2x_2^2-4x_2x_3-2x_3^2$，然后继续配$x_2$。 - -因为还有$-2x_2^2-4x_2x_3$，所以配成$-2(x_2+x_3)^2$，正好全部配完了。 - -$\therefore f(x)=(x_1+x_2+x_3)^2-2(x_2+x_3)^2$。 - -\textcolor{orange}{注意：}$n$元要换成$n$个新变量，缺项要补项，系数为0。 - -令$y_1=x_1+x_2+x_3$，$y_2=x_2+x_3$，补$y_3=x_3$，$\therefore f=y_1^2-2y_2^2$。 - -$(y_1,y_2,y_3)^T=\left(\begin{array}{ccc} - 1 & 1 & 1 \\ - 0 & 1 & 1 \\ - 0 & 0 & 1 -\end{array}\right)(x_1,x_2,x_3)^T$，此时是$y=Dx$，但是我们要求的是$x=Cy$，所以$C=D^{-1}$，所以$D^{-1}$才是作出的可逆线性变换。 - -所以得到的线性变换为$\left(\begin{array}{ccc} - 1 & -1 & 0 \\ - 0 & 1 & -1 \\ - 0 & 0 & 1 -\end{array}\right)$。 - -这样方法还要重新求逆，比较麻烦。实际上我们要求的是$x=Cy$，即用$y$来表示$x$，从而直接将$y$来表示$x$就可以了。 - -首先$y_3=x_3$，所以$x_2=y_2-x_3=y_2-y_3$，$x_1=y_1-x_2-x_3=y_1-y_2+y_3-y_3=y_1-y_2$，综上$x_1=y_1-y_2$，$x_2=y_2-y_3$，$x_3=y_3$，也得到同样结果。 - -\textcolor{orange}{注意：}若二次型只有混合项没有平方项则需要二次代换创造平方项。 - -\textbf{例题：}将二次型$f(x_1,x_2,x_3)=x_1x_2+x_1x_3-x_2x_3$化为规范形，并求所用的可逆线性变换。 - -解：因为二次型中没有平方项式子，而如果进行配方一定会出现平方，就会产生冲突，所以希望把$x$代换称有平方的式子。 - -令$x_1=y_1+y_2$，$x_2=y_1-y_2$，$x_3=y_3$，代入二次型中。 - -$f=y_1^2-y_2^2+y_1y_3+y_2y_3-y_1y_3-+y_2y_3=y_1^2-y_2^2+2y_2y_3=y_1^2-y_2^2+2y_2y_3$。 - -此时由没有平方项就变成了有平方项，所以就能进行配方。 - -$=y_1^2-(y_2-y_3)^2+y_3^2$，继续之前的步骤，进行换元： - -令$z_1=y_1$，$z_2=y_2-y_3$，$z_3=y_3$，$f=z_1^2-z_2^2+z_3^2$得到标准形。 - -对于$x$与$y$：$(x_1,x_2,x_3)^T=\left(\begin{array}{ccc} - 1 & 1 & 0 \\ - 1 & -1 & 0 \\ - 0 & 0 & 1 -\end{array}\right)(y_1,y_2,y_3)^T$。$y$作为过渡变量。 - -将$y$转换为$z$：$(z_1,z_2,z_3)^T=\left(\begin{array}{ccc} - 1 & 0 & 0 \\ - 0 & 1 & -1 \\ - 0 & 0 & 1 -\end{array}\right)(y_1,y_2,y_3)^T$，我们需要$x=Cz$。 - -$(x_1,x_2,x_3)^T=\left(\begin{array}{ccc} - 1 & 1 & 0 \\ - 1 & -1 & 0 \\ - 0 & 0 & 1 -\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc} - 1 & 0 & 0 \\ - 0 & 1 & -1 \\ - 0 & 0 & 1 -\end{array}\right)^{-1}(z_1,z_2,z_3)^T$，从而得到$C=\left(\begin{array}{ccc} - 1 & 1 & 1 \\ - 1 & -1 & -1 \\ - 0 & 0 & 1 -\end{array}\right)$。 - -\subsection{初等变换法} - -$f(x)=X^TAX$，线性变换$X=CY$，$C^TAC=\Lambda$，又$C$可逆，$\therefore C=P_1P_2\cdots P_s$，$EP_1P_2\cdots P_s=C$，$\therefore(P_1P_2\cdots P_s)^TAP_1P_2\cdots P_3=\Lambda$， - -\begin{enumerate} - \item 对$A,E$做同样的初等列变换。 - \item 对$A$做相应的初等行变换。（交换$i,j$列就要交换$i,j$行）。一套行列变换后$\Lambda$为对称矩阵。 - \item $A$化成对角矩阵时，$E$化成的就是$C$。 -\end{enumerate} - -$\left(\begin{array}{c} - A \\ - E -\end{array}\right)\rightarrow\left(\begin{array}{c} - \Lambda \\ - C -\end{array}\right)$，对整个列变换，只对$A$行变换。 - -$\left(\begin{array}{c} - A \\ - E -\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} - 1 & 1 & 1 \\ - 1 & 2 & 2 \\ - 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 0 & 0 \\ - 0 & 1 & 0 \\ - 0 & 0 & 1 -\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} - 1 & 0 & 1 \\ - 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 1 & 1 \\ - 1 & -1 & 0 \\ - 0 & 0 & 0 \\ - 0 & 0 & 1 -\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} - 1 & 0 & 1 \\ - 0 & 1 & 1 \\ - 1 & 1 & 1 \\ - 1 & -1 & 0 \\ - 0 & 0 & 0 \\ - 0 & 0 & 1 -\end{array}\right)=\\\left(\begin{array}{ccc} - 1 & 0 & 0 \\ - 0 & 1 & 1 \\ - 1 & 1 & 0 \\ - 1 & -1 & -1 \\ - 0 & 0 & 0 \\ - 0 & 0 & 1 -\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} - 1 & 0 & 0 \\ - 0 & 1 & 1 \\ - 0 & 1 & 0 \\ - 1 & -1 & -1 \\ - 0 & 1 & 0 \\ - 0 & 0 & 1 -\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} - 1 & 0 & 0 \\ - 0 & 1 & 0 \\ - 0 & 1 & -1 \\ - 1 & -1 & 0 \\ - 0 & 1 & -1 \\ - 0 & 0 & 1 -\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} - 1 & 0 & 0 \\ - 0 & 1 & 0 \\ - 0 & 0 & -1 \\ - 1 & -1 & 0 \\ - 0 & 1 & -1 \\ - 0 & 0 & 1 -\end{array}\right)$ - -$\therefore\Lambda=\left(\begin{array}{ccc} - 1 & 0 & 0 \\ - 0 & 1 & 0 \\ - 0 & 0 & -1 -\end{array}\right)$，$C=\left(\begin{array}{ccc} - 1 & -1 & 0 \\ - 0 & 1 & -1 \\ - 0 & 0 & 1 -\end{array}\right)$ - \subsection{正交变换法} 是对实对称矩阵相似对角化的正交变换的延申。 @@ -340,26 +184,6 @@ $\therefore\Lambda=\left(\begin{array}{ccc} \item 因为$f(x)=x^TAx$，代入$x=Qy$，$(Qy)^TA(Qy)=y^TQ^TAQy=y^T\Lambda y$。 \end{enumerate} -如矩阵表示中所给出的一个例子。 - -\textbf{例题：}将二次型$f(x_1,x_2,x_3)=2x_1^2+5x_2^2+5x_3^2+4x_1x_2-4x_1x_3-8x_2x_3$使用正交变换法化为标准形，并求所作的正交变换。 - -已知将二次型通过矩阵表示：$=(x_1,x_2,x_3)\left(\begin{array}{ccc} - 2 & 2 & -2 \\ - 2 & 5 & -4 \\ - -2 & -4 & 5 -\end{array}\right)(x_1,x_2,x_3)^T$。\medskip - -这个矩阵跟第五章相似的实对称矩阵相似对角化的例题的矩阵一样。 - -所以直接结果：$\lambda_1=\lambda_2=1$，$\lambda_3=10$，$\eta_1'=\dfrac{\sqrt{5}}{5}(-2,1,0)^T$，$\eta_2'=\dfrac{\sqrt{5}}{15}(2,4,5)^T$，$\eta_3'=\dfrac{1}{3}(1,2,-2)^T$。 - -第五步：$f(x)=g(y)=y^T\Lambda y=(y_1,y_2,y_3)\left(\begin{array}{ccc} - 1 \\ - & 1 \\ - & & 10 -\end{array}\right)(y_1,y_2,y_3)^T=y_1^2+y_2^2+10y_3^2$ - \subsection{惯性定理} \textcolor{violet}{\textbf{定义：}}无论选取什么样的可逆线性变换，将二次型化为标准形或规范形，其正项个数$p$，负项个数$q$都是不变的，$p$称为\textbf{正惯性指数}，$q$称为\textbf{负惯性指数}。 diff --git a/probability-theory-and-mathematical-statistics/exercise/1-random-events-and-probability/random-events-and-probability.pdf b/probability-theory-and-mathematical-statistics/exercise/1-random-events-and-probability/random-events-and-probability.pdf index 6f85973..91a77a4 100644 Binary files a/probability-theory-and-mathematical-statistics/exercise/1-random-events-and-probability/random-events-and-probability.pdf and b/probability-theory-and-mathematical-statistics/exercise/1-random-events-and-probability/random-events-and-probability.pdf differ diff --git a/probability-theory-and-mathematical-statistics/exercise/1-random-events-and-probability/random-events-and-probability.tex b/probability-theory-and-mathematical-statistics/exercise/1-random-events-and-probability/random-events-and-probability.tex index 9eac873..dad3567 100644 --- a/probability-theory-and-mathematical-statistics/exercise/1-random-events-and-probability/random-events-and-probability.tex +++ b/probability-theory-and-mathematical-statistics/exercise/1-random-events-and-probability/random-events-and-probability.tex @@ -87,15 +87,19 @@ $ABC$都不发生就是$A$不发生且$B$不发生且$C$不发生，用式子表 又事件$AB$相互独立。$P(\overline{AB})=P(\overline{A})P(\overline{B})=(1-a)(1-b)$。 -\section{概率模型} +\section{古典概型} -\subsection{古典概型} +\subsection{定义法} -\textbf{例题：}设袋中黑白球各一个，有放回取球，每次取一个，直到两种颜色的球都取到为止。求取球次数恰为3的概率。 +\subsection{随机分配} -解：若是看到题目中的为止，很容易想到后面的几何概率分布。但是这与几何分布不同，因为几何分布要求的停止条件是同一个事件的前几次的失败和最后一次的成功，而这个题目要求是取到黑并且取到白，而不是取到黑或取到白这两个事件，如求取到黑时取求次数为3的概率，则是几何分布。 +将$n$个质点分配倒$N$个容器中： -每次可能取到黑白两种，取三次，则事件总数为$2^3=8$。而取到第三次才取到黑白两色的，则有黑黑白、白白黑两种可能性，所以概率为$\dfrac{2}{8}=\dfrac{1}{4}$。 +% \textbf{例题：}设袋中黑白球各一个，有放回取球，每次取一个，直到两种颜色的球都取到为止。求取球次数恰为3的概率。 + +% 解：若是看到题目中的为止，很容易想到后面的几何概率分布。但是这与几何分布不同，因为几何分布要求的停止条件是同一个事件的前几次的失败和最后一次的成功，而这个题目要求是取到黑并且取到白，而不是取到黑或取到白这两个事件，如求取到黑时取求次数为3的概率，则是几何分布。 + +% 每次可能取到黑白两种，取三次，则事件总数为$2^3=8$。而取到第三次才取到黑白两色的，则有黑黑白、白白黑两种可能性，所以概率为$\dfrac{2}{8}=\dfrac{1}{4}$。 \section{独立性}