更新定积分应用

linear-algebra/knowledge/2-matrix/matrix.tex

@@ -739,8 +739,14 @@ $\sim\left(\begin{array}{ccccc}
 
 \section{矩阵秩}
 
+\subsection{定义}
+
 秩的本质就是组成矩阵的线性无关的向量个数。
 
+若秩等于矩阵行数就是满秩，否则就是降秩。
+
+\subsection{性质}
+
 $r(kA)=r(A)$。
 
 $r(AB)\leqslant\min\{r(A),r(B)\}$。当且仅当$AB$满秩等号成立。
@@ -759,4 +765,24 @@ $AB=O$，$r(A)+r(B)\leqslant A$的列数。
 
 % 从而每个$\beta_i$都是$Ax=0$的解。
 
+\section{等价矩阵}
+
+\subsection{定义}
+
+\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}若有两个同型的$m\times n$的矩阵$AB$，满足$B=QAP$（$Q$为$m\times m$阶可逆矩阵，$P$为$n\times n$阶可逆矩阵），则$AB$等价。
+
+\subsection{性质}
+
+\begin{itemize}
+    \item 矩阵$A$和$A$等价（反身性）。
+    \item 矩阵$A$和$B$等价，那么$B$和$A$也等价（等价性）。
+    \item 矩阵$A$和$B$等价，矩阵$B$和$C$等价,那么$A$和$C$等价（传递性）。
+    \item 矩阵$A$和$B$等价，那么$\vert A\vert=k\vert B\vert$。（$k$为非零常数）。
+    \item 具有行等价关系的矩阵所对应的线性方程组有相同的解。
+\end{itemize}
+
+\subsection{判定}
+
+\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}若$AB$同型且秩相等，则其等价。
+
 \end{document}

linear-algebra/knowledge/4-linear-equations-system/linear-equations-system.tex

@@ -409,6 +409,12 @@ $\left(\begin{array}{c:c}
 
 \textcolor{orange}{注意：}通解的向量可以同乘一个数，因为其表示的是一个关系而不是具体数，但是特解不能同乘一个数，因为其表示的是一个具体的数。
 
+\subsection{克拉默法则}
+
+克拉默法则本来是矩阵中的运算法则，但是与方程组有更密切的关系，所以放到线性方程组中。
+
+\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}若$Ax=b$的系数矩阵$A$的行列式$\vert A\vert\neq0$，则方程有唯一解，且$x_i=\dfrac{\vert A_i\vert}{\vert A\vert}$，其中$A_i$为把系数矩阵$A$的第$i$列的元素用方程组右侧的常数项代替后所得到的$n$阶矩阵。
+
 \section{抽象线性方程}
 
 \subsection{解的判定}