From e22b6081822d558e509f88c8c4bdad5b685b3d9a Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Didnelpsun <48906416+Didnelpsun@users.noreply.github.com> Date: Sun, 7 Feb 2021 22:27:53 +0800 Subject: [PATCH] =?UTF-8?q?=E4=B9=A0=E9=A2=98=E6=9B=B4=E6=96=B0?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- .../limit.tex} | 102 ++++++++++++++---- .../derivatives-and-differential.tex | 6 -- 2 files changed, 84 insertions(+), 24 deletions(-) rename advanced-math/{1-exercises/function-and-limit.tex => 1-limit/limit.tex} (85%) diff --git a/advanced-math/1-exercises/function-and-limit.tex b/advanced-math/1-limit/limit.tex similarity index 85% rename from advanced-math/1-exercises/function-and-limit.tex rename to advanced-math/1-limit/limit.tex index 7d9e532..e2f3eca 100644 --- a/advanced-math/1-exercises/function-and-limit.tex +++ b/advanced-math/1-limit/limit.tex @@ -28,7 +28,7 @@ \usepackage[colorlinks,linkcolor=black,urlcolor=blue]{hyperref} % 超链接 \author{Didnelpsun} -\title{函数与极限练习题} +\title{极限练习题} \date{} \begin{document} \maketitle @@ -343,28 +343,47 @@ $\therefore \sin x-\tan x=-\dfrac{1}{2}x^3+o(x^3)$，$\arcsin x-\arctan x=\dfrac $\therefore \text{原式}=\dfrac{\dfrac{1}{x}x^3+o(x^3)}{-\dfrac{1}{2}x^3+o(x^3)}=-1$。 -\section{极限转换} +\section{极限计算形式} -一般解法为两种。 +极限相关计算形式主要分为下面六种： -一种是脱帽法：$\lim_{x\to x_0}f(x)\Leftrightarrow f(x)=A+\alpha(x),\lim_{x\to x_0}\alpha(x)=0$。 +\begin{enumerate} + \item 未定式：直接根据式子计算极限值。 + \item 极限转换：根据已知的极限值计算目标极限值。 + \item 求参数：已知式子的极限值，计算式子中未知的参数。 + \item 极限存在性：根据式子以及极限存在性计算极限或参数。 + \item 函数连续性：根据连续性与附加条件计算极限值或参数。 + \item 迭代式数列：根据数列迭代式计算极限值。 + \item 变限积分：根据变限积分计算极限值。 +\end{enumerate} -第二种就是根据之间的关系转换。 +\subsection{极限转换} + +\subsubsection{整体换元} + +最常用的方式就是将目标值作为一个部分，然后对已知的式子进行替换。 + +\textbf{例题：}已知$\lim_{x\to 0}\dfrac{\ln(1-x)+xf(x)}{x^2}=0$，求$\lim_{x\to 0}\dfrac{f(x)-1}{x}$。 + +令目标$\dfrac{f(x)-1}{x}=t$，$\therefore f(x)=tx+1$。 + +$ +\begin{aligned} + & \lim_{x\to 0}\dfrac{\ln(1-x)+xf(x)}{x^2} \\ + & =\lim_{x\to 0}\dfrac{\ln(1-x)+tx^2+x}{x^2} (\text{泰勒展开}) \\ + & =\lim_{x\to 0}\dfrac{-x-\dfrac{x^2}{2}+tx^2+x}{x^2} \\ + & =\lim_{x\to 0}\dfrac{\left(t-\dfrac{1}{2}\right)x^2}{x^2} \\ + & ==\lim_{x\to 0}\left(t-\dfrac{1}{2}\right) \\ + & =0 +\end{aligned} +$ + +$\therefore\lim_{x\to 0}t=\lim_{x\to 0}\dfrac{f(x)-1}{x}=\dfrac{1}{2}$。 + +\subsubsection{关系转换} \textbf{例题：}如果$\lim_{x\to 0}\dfrac{x-\sin x+f(x)}{x^4}$存在，则$\lim_{x\to 0}\dfrac{x^3}{f(x)}$为常数多少？ -解法一： - -由$\lim_{x\to 0}\dfrac{x\sin x+f(x)}{x^4}=A$脱帽：$\dfrac{x\sin x+f(x)}{x^4}=A+\alpha$。 - -得到：$f(x)=Ax^4+\alpha\cdot x^4-(x-\sin x)$。 - -反代入：$\lim_{x\to 0}\dfrac{f(x)}{x^3}=\lim_{x\to 0}\dfrac{Ax^4+\alpha\cdot x^4-x+\sin x}{x^3}=0+0-\dfrac{1}{6}=-\dfrac{1}{6}$。 - -$\therefore \lim_{x\to 0}\dfrac{x^3}{f(x)}=-6$。 - -解法二： - 由$\lim_{x\to 0}\dfrac{x\sin x+f(x)}{x^4}=A$，而目标是$x^3$，所以需要变形： $ @@ -378,7 +397,21 @@ $ \end{aligned} $ -\section{求参数} +\subsubsection{脱帽法} + +$\lim_{x\to x_0}f(x)\Leftrightarrow f(x)=A+\alpha(x),\lim_{x\to x_0}\alpha(x)=0$。 + +\textbf{例题：}如果$\lim_{x\to 0}\dfrac{x-\sin x+f(x)}{x^4}$存在，则$\lim_{x\to 0}\dfrac{x^3}{f(x)}$为常数多少？ + +由$\lim_{x\to 0}\dfrac{x\sin x+f(x)}{x^4}=A$脱帽：$\dfrac{x\sin x+f(x)}{x^4}=A+\alpha$。 + +得到：$f(x)=Ax^4+\alpha\cdot x^4-(x-\sin x)$。 + +反代入：$\lim_{x\to 0}\dfrac{f(x)}{x^3}=\lim_{x\to 0}\dfrac{Ax^4+\alpha\cdot x^4-x+\sin x}{x^3}=0+0-\dfrac{1}{6}=-\dfrac{1}{6}$。 + +$\therefore \lim_{x\to 0}\dfrac{x^3}{f(x)}=-6$。 + +\subsection{求参数} 因为求参数类型的题目中式子是未知的，所以求导后也是未知的，所以一般不要使用洛必达法则，而使用泰勒展开。 @@ -399,8 +432,34 @@ $ \textcolor{orange}{注意：}根据泰勒公式，$x-\ln(1+x)\sim\dfrac{1}{2}x^2\sim 1-\cos x$。 +\subsection{极限存在性} + +\subsection{函数连续性} + +函数的连续性代表：极限值=函数值。 + +\textbf{例题：}函数在$f(x)$在$x=1$处连续，且$f(1)=1$，求$\lim_{x\to+\infty}\ln\left[2+f\left(x^{\frac{1}{x}}\right)\right]$。 + +根据题目，所求的$\lim_{x\to+\infty}\ln\left[2+f\left(x^{\frac{1}{x}}\right)\right]$中，唯一未知的且会随着$x\to+\infty$而变换就是$f\left(x^{\frac{1}{x}}\right)$。如果我们可以求出这个值就可以了。 + +而我们对于$f(x)$的具体的关系是未知的，只知道$f(1)=1$。那么先需要考察$\lim_{x\to+\infty}x^{\frac{1}{x}}$的整数最大值。 + +$ +\begin{aligned} + & \lim_{x\to+\infty}x^{\frac{1}{x}} \\ + & e^{\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x}} \\ + & e^{\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x}} \\ + & =e^0 \\ + & =1 +\end{aligned} +$ + +$\therefore\lim_{x\to+\infty}f(x^{\frac{1}{x}})=f(1)=1$。 + \subsection{迭代式数列} +\subsubsection{关系式变形} + 最重要的是将迭代式进行变形。 \textbf{例题：}数列$\{a_n\}$满足$a_0=0,a_1=1,2a_{n+1}=a_n+a_{n-1},n=1,2,\cdots$。计算$\lim_{n\to\infty}a_n$。 @@ -430,4 +489,11 @@ $ \end{aligned} $ +\subsubsection{单调有界准则} + +\subsection{变限积分极限} + +已知更改区间限制的积分$s(x)=\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)}g(t)\rm{d}x$，$s'(x)=g[\varphi_2(x)]\cdot\varphi_2'(x)-g[\varphi_1(x)]\cdot\varphi_1'(x)$。 + + \end{document} diff --git a/advanced-math/2-derivatives-and-differential/derivatives-and-differential.tex b/advanced-math/2-derivatives-and-differential/derivatives-and-differential.tex index 5c8c728..a2c656c 100644 --- a/advanced-math/2-derivatives-and-differential/derivatives-and-differential.tex +++ b/advanced-math/2-derivatives-and-differential/derivatives-and-differential.tex @@ -336,12 +336,6 @@ $0