diff --git a/advanced-math/exercise/1-limit/limit.pdf b/advanced-math/exercise/1-limit/limit.pdf index a883799..f9cd4ee 100644 Binary files a/advanced-math/exercise/1-limit/limit.pdf and b/advanced-math/exercise/1-limit/limit.pdf differ diff --git a/advanced-math/exercise/1-limit/limit.tex b/advanced-math/exercise/1-limit/limit.tex index d8e841c..b04a9bc 100644 --- a/advanced-math/exercise/1-limit/limit.tex +++ b/advanced-math/exercise/1-limit/limit.tex @@ -84,19 +84,13 @@ $\therefore \lim u^v=e^{\lim v\cdot\ln u}=e^{\lim v(u-1)}$ \subsection{指数法则} -一般需要与洛必达法则配合使用。 +一般需要与洛必达法则配合使用。\medskip \textbf{例题：}求$\lim\limits_{x\to 0}\left(\dfrac{a^x+b^x+c^x}{3}\right)^{\frac{1}{x}}(a>0,b>0,c>0)$。\medskip -$=e^{\lim\limits_{x\to 0}\frac{\ln\left(\frac{a^x+b^x+c^x}{3}\right)}{x}}$ +$=e^{\lim\limits_{x\to 0}\frac{\ln\left(\frac{a^x+b^x+c^x}{3}\right)}{x}}=e^{\lim\limits_{x\to 0}\frac{\ln(a^x+b^x+c^x)-\ln 3}{x}}=e^{\lim\limits_{x\to 0}\frac{a^x\ln a+b^x\ln b+c^x\ln c}{a^x+b^x+c^x}}$（洛必达法则） -$=e^{\lim\limits_{x\to 0}\frac{\ln(a^x+b^x+c^x)-\ln 3}{x}}$ - -$=e^{\lim\limits_{x\to 0}\frac{a^x\ln a+b^x\ln b+c^x\ln c}{a^x+b^x+c^x}}$（洛必达法则） - -$=e^{\lim\limits_{x\to 0}\frac{\ln a+\ln b+\ln c}{1+1+1}}$ - -$=e^{\lim\limits_{x\to 0}\frac{\ln(abc)}{3}}=\sqrt[3]{abc}$。 +$=e^{\lim\limits_{x\to 0}\frac{\ln a+\ln b+\ln c}{1+1+1}}=e^{\lim\limits_{x\to 0}\frac{\ln(abc)}{3}}=\sqrt[3]{abc}$。 \textbf{例题：}求$\lim\limits_{n\to\infty}n\left[\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{\frac{n}{2}}-\sqrt{e}\right]$。 @@ -108,41 +102,23 @@ $=e^{\lim\limits_{x\to 0}\frac{\ln(abc)}{3}}=\sqrt[3]{abc}$。 综上： -$\lim\limits_{n\to\infty}n\left[\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{\frac{n}{2}}-\sqrt{e}\right]$ \medskip +$\lim\limits_{n\to\infty}n\left[\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{\frac{n}{2}}-\sqrt{e}\right]=\lim\limits_{n\to\infty}n\left(e^{\frac{n}{2}\ln(1+\frac{1}{n})}-\sqrt{e}\right)$ \medskip -$=\lim\limits_{n\to\infty}n\left(e^{\frac{n}{2}\ln(1+\frac{1}{n})}-\sqrt{e}\right)$ \medskip +$=\lim\limits_{n\to\infty}n\left[e^{\frac{1}{2}}\cdot\left(e^{\frac{n}{2}\ln(1+\frac{1}{n})-\frac{1}{2}}-1\right)\right]=\dfrac{e^{\frac{1}{2}}}{2}\lim\limits_{n\to\infty}n^2\left[\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)-\dfrac{1}{n}\right]$ -$=\lim\limits_{n\to\infty}n\left[e^{\frac{1}{2}}\cdot\left(e^{\frac{n}{2}\ln(1+\frac{1}{n})-\frac{1}{2}}-1\right)\right]$ \medskip - -$=\dfrac{e^{\frac{1}{2}}}{2}\lim\limits_{n\to\infty}n^2\left[\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)-\dfrac{1}{n}\right]$ - -$=\dfrac{e^{\frac{1}{2}}}{2}\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{2n^2}-\dfrac{1}{n}}{\dfrac{1}{n^2}}$ - -$=\dfrac{e^{\frac{1}{2}}}{2}\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right)$ - -$=-\dfrac{\sqrt{e}}{4}$ +$=\dfrac{e^{\frac{1}{2}}}{2}\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{2n^2}-\dfrac{1}{n}}{\dfrac{1}{n^2}}=\dfrac{e^{\frac{1}{2}}}{2}\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right)=-\dfrac{\sqrt{e}}{4}$ \subsection{三角函数关系式} \textbf{例题：}求极限$\lim\limits_{x\to 0}\left(\dfrac{1}{\sin^2x}-\dfrac{\cos^2x}{x^2}\right)$。\medskip -$\lim\limits_{x\to 0}\left(\dfrac{1}{\sin^2x}-\dfrac{\cos^2x}{x^2}\right)$ \medskip +$\lim\limits_{x\to 0}\left(\dfrac{1}{\sin^2x}-\dfrac{\cos^2x}{x^2}\right)=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x^2-\sin^2x\cos^2x}{\sin^2x\cdot x^2} (\sin x\sim x)$ \medskip -$= \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x^2-\sin^2x\cos^2x}{\sin^2x\cdot x^2} (\sin x\sim x)$ \medskip +$=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x^2-\sin^2x\cos^2x}{x^4} (\sin x\cos x\sim\dfrac{1}{2}\sin 2x)=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x^2-\dfrac{1}{4}\sin^22x}{x^4}$ \medskip -$= \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x^2-\sin^2x\cos^2x}{x^4} (\sin x\cos x\sim\dfrac{1}{2}\sin 2x)$ \medskip +$=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{2x-\dfrac{1}{4}\cdot 2\sin 2x\cdot\cos 2x\cdot 2}{4x^3} (\sin x\cos x\sim\dfrac{1}{2}\sin 2x)=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{2x-\dfrac{1}{2}\sin 4x}{4x^3}$ \medskip -$= \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x^2-\dfrac{1}{4}\sin^22x}{x^4}$ \medskip - -$= \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{2x-\dfrac{1}{4}\cdot 2\sin 2x\cdot\cos 2x\cdot 2}{4x^3} (\sin x\cos x\sim\dfrac{1}{2}\sin 2x)$ \medskip - -$= \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{2x-\dfrac{1}{2}\sin 4x}{4x^3}$ \medskip - -$= \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{2-\dfrac{1}{2}\cos 4x\cdot 4}{12x^2}$ \medskip - -$= \dfrac{1}{6}\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{1-\cos 4x}{x^2} (1-\cos x\sim \dfrac{1}{2}x^2)$ \medskip - -$= \dfrac{4}{3}$ +$=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{2-\dfrac{1}{2}\cos 4x\cdot 4}{12x^2}=\dfrac{1}{6}\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{1-\cos 4x}{x^2} (1-\cos x\sim \dfrac{1}{2}x^2)=\dfrac{4}{3}$ \subsection{提取常数因子} @@ -178,25 +154,17 @@ $=\lim\limits_{t\to 0^-}\dfrac{\sqrt{t+4}\ln\left(2+\dfrac{1}{x}\right)-2\ln 2}{ 幂次不高可以尝试洛必达：\medskip -$=\lim\limits_{t\to 0^-}\left(\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\ln(2+t)}{\sqrt{t+4}}+\dfrac{\sqrt{t+4}}{2+t}\right)$\medskip - -$=-\left(\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\ln 2}{2}+\dfrac{2}{2}\right)=-\dfrac{\ln 2}{4}-1$。 +$=\lim\limits_{t\to 0^-}\left(\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\ln(2+t)}{\sqrt{t+4}}+\dfrac{\sqrt{t+4}}{2+t}\right)=-\left(\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\ln 2}{2}+\dfrac{2}{2}\right)=-\dfrac{\ln 2}{4}-1$。 \subsection{幂指函数} 当出现$f(x)^{g(x)}$的类似幂函数与指数函数类型的式子，需要使用$u^v=e^{v\ln u}$。 -\textbf{例题：}求极限$\lim\limits_{x\to+\infty}(x+\sqrt{1+x^2})^{\frac{1}{x}}$。\medskip +\textbf{例题：}求极限$\lim\limits_{x\to+\infty}(x+\sqrt{1+x^2})^{\frac{1}{x}}$。 -$\lim\limits_{x\to+\infty}(x+\sqrt{1+x^2})^{\frac{1}{x}}$ \medskip +$\lim\limits_{x\to+\infty}(x+\sqrt{1+x^2})^{\frac{1}{x}}=e^{\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{\ln(x+\sqrt{1+x^2})}{x}} \left(\ln(x+\sqrt{1+x^2})'=\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}\right)$\medskip -$=e^{\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{\ln(x+\sqrt{1+x^2})}{x}} \left(\ln(x+\sqrt{1+x^2})'=\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}\right)$\medskip - -$=e^{\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}}$ - -$=e^0$ - -$=1$ +$=e^{\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}}=e^0=1$ \subsection{有理化} @@ -214,17 +182,9 @@ $=1$ 又$\sqrt{x^2+100}$在$x\to-\infty$时本质为根号差，所以有理化： -$\lim\limits_{x\to-\infty}x(\sqrt{x^2+100}+x)$ +$\lim\limits_{x\to-\infty}x(\sqrt{x^2+100}+x)=\lim\limits_{x\to-\infty}x\dfrac{x^2+100-x^2}{\sqrt{x^2+100}-x}=\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{100x}{\sqrt{x^2+100}-x}$\medskip -$=\lim\limits_{x\to-\infty}x\dfrac{x^2+100-x^2}{\sqrt{x^2+100}-x}$\medskip - -$=\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{100x}{\sqrt{x^2+100}-x}$\medskip - -$\xRightarrow{\text{令}x=-t}\lim\limits_{t\to+\infty}\dfrac{-100t}{\sqrt{t^2+100}+t}$\medskip - -$=\lim\limits_{t\to+\infty}\dfrac{-100}{\sqrt{1+\dfrac{100}{t^2}}+1}$ - -$=-50$ +$\xRightarrow{\text{令}x=-t}\lim\limits_{t\to+\infty}\dfrac{-100t}{\sqrt{t^2+100}+t}=\lim\limits_{t\to+\infty}\dfrac{-100}{\sqrt{1+\dfrac{100}{t^2}}+1}=-50$\medskip \textbf{例题：}求$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sqrt{1+\tan x}-\sqrt{1+\sin x}}{x\sqrt{1+\sin^2x}-x}$。 @@ -248,19 +208,9 @@ $=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\tan x-\sin x}{x\sin^2x}=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac 又$x\to 0$，$\ln(1+x)\sim x$，所以$x\to 1$，$\ln x\sim x-1$： -$\lim\limits_{x\to 1^-}\ln x\ln(1-x)$ +$\lim\limits_{x\to 1^-}\ln x\ln(1-x)=\lim\limits_{x\to 1^-}(x-1)\ln(1-x)\xRightarrow{令t=1-x} =-\lim\limits_{t\to 0^+}t\ln t$ -$= \lim\limits_{x\to 1^-}(x-1)\ln(1-x)$ - -$\xRightarrow{令t=1-x} =-\lim\limits_{t\to 0^+}t\ln t$ - -$= -\lim\limits_{t\to 0^+}\dfrac{\ln t}{\dfrac{1}{t}}$ - -$= -\lim\limits_{t\to 0^+}\dfrac{\dfrac{1}{t}}{-\dfrac{1}{t^2}}$ - -$= \lim\limits_{t\to 0^+}t$ - -$= 0$ +$=-\lim\limits_{t\to 0^+}\dfrac{\ln t}{\dfrac{1}{t}}=-\lim\limits_{t\to 0^+}\dfrac{\dfrac{1}{t}}{-\dfrac{1}{t^2}}=\lim\limits_{t\to 0^+}t=0$ \subsection{倒代换} @@ -268,13 +218,9 @@ $= 0$ 当极限式子中含有分式中一般都需要用其倒数，把分式换成整式方便计算。 -\textbf{例题：}求极限$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{e^{-\frac{1}{x^2}}}{x^{100}}$ +\textbf{例题：}求极限$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{e^{-\frac{1}{x^2}}}{x^{100}}$ \medskip -$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{e^{-\frac{1}{x^2}}}{x^{100}}$\medskip - -$= \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{e^{-\frac{1}{x^2}}\cdot 2x^{-3}}{100x^{99}}$\medskip - -$= \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{1}{50}\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{e^{-\frac{1}{x^2}}}{x^{102}}$ +$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{e^{-\frac{1}{x^2}}}{x^{100}}=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{e^{-\frac{1}{x^2}}\cdot 2x^{-3}}{100x^{99}}=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{1}{50}\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{e^{-\frac{1}{x^2}}}{x^{102}}$ \medskip @@ -282,33 +228,19 @@ $= \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{1}{50}\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{e^{-\frac{1}{x^2} 使用倒代换再洛必达降低幂次，令$t=\dfrac{1}{x^2}$ -$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{e^{-\frac{1}{x^2}}}{x^{100}}$\medskip +$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{e^{-\frac{1}{x^2}}}{x^{100}}=\lim\limits_{t\to+\infty}\dfrac{e^{-t}}{t^{-50}}=\lim\limits_{t\to+\infty}\dfrac{t^{50}}{e^t}=\lim\limits_{t\to+\infty}\dfrac{50t^{49}}{e^t}$ -$= \lim\limits_{t\to+\infty}\dfrac{e^{-t}}{t^{-50}}$\medskip +$=\cdots$ -$= \lim\limits_{t\to+\infty}\dfrac{t^{50}}{e^t}$\medskip - -$= \lim\limits_{t\to+\infty}\dfrac{50t^{49}}{e^t}$ - -$= \cdots$ - -$= \lim\limits_{t\to+\infty}\dfrac{50!}{e^t}$ - -$= 0$ +$=\lim\limits_{t\to+\infty}\dfrac{50!}{e^t}=0$ \textbf{例题：}求极限$\lim\limits_{x\to+\infty}[x^2(e^{\frac{1}{x}}-1)-x]$。 该式子含有分数，所以尝试使用倒数代换：\medskip -$\lim\limits_{x\to+\infty}[x^2(e^{\frac{1}{x}}-1)-x]$ \medskip +$\lim\limits_{x\to+\infty}[x^2(e^{\frac{1}{x}}-1)-x]\xRightarrow{\text{令}x=\frac{1}{t}}\lim\limits_{t\to 0^+}\left(\dfrac{e^t-1}{t^2}-\dfrac{1}{t}\right)=\lim\limits_{t\to 0^+}\dfrac{e^t-1-t}{t^2}$ -$\xRightarrow{\text{令}x=\frac{1}{t}}\lim\limits_{t\to 0^+}\left(\dfrac{e^t-1}{t^2}-\dfrac{1}{t}\right)$\medskip - -$\lim\limits_{t\to 0^+}\dfrac{e^t-1-t}{t^2}$ - -$\xRightarrow{\text{泰勒展开}e^t}\lim\limits_{t\to 0^+}\dfrac{\dfrac{1}{2}t^2}{t^2}$ - -$=\dfrac{1}{2}$ +$\xRightarrow{\text{泰勒展开}e^t}\lim\limits_{t\to 0^+}\dfrac{\dfrac{1}{2}t^2}{t^2}=\dfrac{1}{2}$ \subsubsection{\texorpdfstring{$\infty-\infty$}\ 型} @@ -330,21 +262,11 @@ $=\dfrac{1}{6}\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{n+1}{n}\times\dfrac{n+2}{n}\times\c 这里可以使用等价无穷小$e^x-1\sim x$。 -$\lim\limits_{x\to 0}\left(\dfrac{e^x+e^{2x}+\cdots+e^{nx}}{n}\right)^{\frac{e}{x}}$ +$\lim\limits_{x\to 0}\left(\dfrac{e^x+e^{2x}+\cdots+e^{nx}}{n}\right)^{\frac{e}{x}}=e^{\lim\limits_{x\to 0}\frac{e}{x}\ln\left(\frac{e^x+e^{2x}+\cdots+e^{nx}}{n}\right)}$ -$=e^{\lim\limits_{x\to 0}\frac{e}{x}\ln\left(\frac{e^x+e^{2x}+\cdots+e^{nx}}{n}\right)}$ +$=e^{\lim\limits_{x\to 0}\frac{e}{x}\left(\frac{e^x+e^{2x}+\cdots+e^{nx}}{n}-1\right)}=e^{\lim\limits_{x\to 0}\frac{e}{x}\left(\frac{e^x+e^{2x}+\cdots+e^{nx}-n}{n}\right)}$ -$=e^{\lim\limits_{x\to 0}\frac{e}{x}\left(\frac{e^x+e^{2x}+\cdots+e^{nx}}{n}-1\right)}$ - -$=e^{\lim\limits_{x\to 0}\frac{e}{x}\left(\frac{e^x+e^{2x}+\cdots+e^{nx}-n}{n}\right)}$ - -$=e^{\frac{e}{n}\lim\limits_{x\to 0}\left(\frac{e^x-1}{x}+\frac{e^{2x}-1}{x}+\cdots+\frac{e^{nx}-1}{x}\right)}$ - -$=e^{\frac{e}{n}[1+2+\cdots+n]}$ - -$=e^{\frac{e}{n}\cdot\frac{n(1+n)}{2}}$ - -$=e^{\frac{e(1+n)}{2}}$ +$=e^{\frac{e}{n}\lim\limits_{x\to 0}\left(\frac{e^x-1}{x}+\frac{e^{2x}-1}{x}+\cdots+\frac{e^{nx}-1}{x}\right)}=e^{\frac{e}{n}[1+2+\cdots+n]}=e^{\frac{e}{n}\cdot\frac{n(1+n)}{2}}=e^{\frac{e(1+n)}{2}}$ \textbf{例题：}求$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{1-\cos x\sqrt{\cos 2x}\sqrt[3]{\cos 3x}}{\ln\cos x}$\medskip @@ -360,9 +282,7 @@ $=-1+\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{(1-\sqrt{\cos 2x})+\sqrt{\cos 2x}-\sqrt{\cos 2x} $=-1+\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{-\dfrac{1}{2}(\cos 2x-1)+\sqrt{\cos 2x}(1-\sqrt[3]{\cos 3x})}{-\dfrac{x^2}{2}}$ -$=-1+\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{-\dfrac{1}{2}(-\dfrac{4x^2}{2})+\left(-\dfrac{1}{3}\right)\left(-\dfrac{9x^2}{2}\right)}{-\dfrac{x^2}{2}}$ - -$=-6$ +$=-1+\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{-\dfrac{1}{2}(-\dfrac{4x^2}{2})+\left(-\dfrac{1}{3}\right)\left(-\dfrac{9x^2}{2}\right)}{-\dfrac{x^2}{2}}=-6$ \section{基本计算方式} @@ -376,15 +296,9 @@ $=-6$ 重要极限有两个，但是$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}=1$这个很少用，因为往往用等价无穷小替代了，而$\lim\limits_{x\to\infty}\left(1+\dfrac{1}{x}\right)^x=e$则用的较多，当出现分数幂的幂指函数时，不要先去取对数，而是使用重要极限看看能不能转换。\medskip -\textbf{例题：}求$\lim\limits_{x\to\infty}\left(\dfrac{3+x}{6+x}\right)^{\frac{x-1}{2}}$。 +\textbf{例题：}求$\lim\limits_{x\to\infty}\left(\dfrac{3+x}{6+x}\right)^{\frac{x-1}{2}}$。\medskip -$=\lim\limits_{x\to\infty}\left(1-\dfrac{3}{6+3}\right)^{\frac{6+x}{-3}\cdot\frac{-3}{6+x}\cdot\frac{x-1}{2}}$ - -$=\lim\limits_{x\to\infty}e^{\frac{-3}{6+x}\cdot\frac{x-1}{2}}$ - -$=\lim\limits_{x\to\infty}e^{-\frac{3}{2}\cdot\frac{x-1}{x+6}}$ - -$=e^{-\frac{3}{2}}$。 +$=\lim\limits_{x\to\infty}\left(1-\dfrac{3}{6+3}\right)^{\frac{6+x}{-3}\cdot\frac{-3}{6+x}\cdot\frac{x-1}{2}}=\lim\limits_{x\to\infty}e^{\frac{-3}{6+x}\cdot\frac{x-1}{2}}=\lim\limits_{x\to\infty}e^{-\frac{3}{2}\cdot\frac{x-1}{x+6}}=e^{-\frac{3}{2}}$。\medskip \textbf{例题：}求$\lim\limits_{x\to\infty}\left(\dfrac{2x+3}{2x+1}\right)^{x+1}$。\medskip @@ -422,7 +336,45 @@ $\therefore \lim\limits_{x\to 0}x\left[\dfrac{10}{x}\right]=10$。 \subsection{拉格朗日中值定理} -对于形如$f(a)-f(b)$的极限式子就可以使用拉格朗日中值定理，这个$f(x)$为任意的函数。 +对于形如$f(a)-f(b)$的极限式子就可以使用拉格朗日中值定理，这个$f(x)$为任意的函数。使用拉格朗日中值定理最重要的还是找到这个$f(x)$。 + +\subsubsection{证明不等式} + +证明不等式最重要的还是找到$f(x)$，有时候不等式不存在$f(a)-f(b)$这种式子，就需要我们转换。 + +\paragraph{对数函数特性} \leavevmode \medskip + +对于对数函数，要记住其特定的性质：$\log_n(\dfrac{a}{b})=\log_na-\log_nb$。 + +\textbf{例题：}设$a>b>0$，证明：$\dfrac{a-b}{a}<\ln\dfrac{a}{b}<\dfrac{a-b}{b}$。 + +因为$\ln\dfrac{a}{b}=\ln a-\ln b$，所以令$f(x)=\ln x$。 + +所以根据拉格朗日中值定理：$\ln a-\ln b=f'(\xi)(a-b)$（$\xi\in(b,a)$）。 + +又$f'(\xi)=\dfrac{1}{\xi}$，所以$\ln a-\ln b=\dfrac{a-b}{\xi}$。 + +又$\xi\in(b,a)$，所以$\dfrac{1}{\xi}\in(\dfrac{1}{a},\dfrac{1}{b})$。 + +所以$\dfrac{a-b}{a}<\dfrac{a-b}{\xi}<\dfrac{a-b}{b}$，从而$\dfrac{a-b}{a}<\ln\dfrac{a}{b}<\dfrac{a-b}{b}$，得证。 + +\paragraph{查找特定值} \leavevmode \medskip + +对于证明一种不等式，如果里面没有差式，也无法转换为差式，那么就可以考虑制造差式，对于$f(x)$一般选择更高阶的，$a$选择$x$，$b$要根据题目和不等式设置一个常数。 + +一般是0或1。可以先尝试1。 + +\textbf{例题：}当$x>1$时，证明$e^x>ex$。 + +题目中没有差式，所以需要选择一个函数作为基准函数，里面有一个指数函数和一个幂函数，所以选择$e^x$作为基准函数。 + +然后选择一个常数作为$b$值，可以先选一个1作为$b$值：$f(x)-f(1)=f'(\xi)(x-1)$。 + +从而$e^x-e=e^\xi(x-1)$，$\xi\in(1,x)$，所以$e^x-e>e(x-1)$，即$e^x>ex$，得证。 + +\subsubsection{极限计算} + +可以将极限式子中形如$f(a)-f(b)$的极限部分使用拉格朗日中值定理进行替换。 \textbf{例题：}求极限$\lim\limits_{n\to\infty}n^2\left(\arctan\dfrac{2}{n}-\arctan\dfrac{2}{n+1}\right)$。\medskip @@ -493,17 +445,9 @@ $\therefore \text{原式}=\dfrac{\dfrac{1}{x}x^3+o(x^3)}{-\dfrac{1}{2}x^3+o(x^3) 令目标$\dfrac{f(x)-1}{x}=t$，$\therefore f(x)=tx+1$。\medskip -$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\ln(1-x)+xf(x)}{x^2}$\medskip +$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\ln(1-x)+xf(x)}{x^2}=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\ln(1-x)+tx^2+x}{x^2} (\text{泰勒展开})$\medskip -$=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\ln(1-x)+tx^2+x}{x^2} (\text{泰勒展开})$\medskip - -$=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{-x-\dfrac{x^2}{2}+tx^2+x}{x^2}$\medskip - -$=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\left(t-\dfrac{1}{2}\right)x^2}{x^2}$\medskip - -$=\lim\limits_{x\to 0}\left(t-\dfrac{1}{2}\right)$ - -$=0$ +$=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{-x-\dfrac{x^2}{2}+tx^2+x}{x^2}=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\left(t-\dfrac{1}{2}\right)x^2}{x^2}=\lim\limits_{x\to 0}\left(t-\dfrac{1}{2}\right)=0$ $\therefore\lim\limits_{x\to 0}t=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{f(x)-1}{x}=\dfrac{1}{2}$。 @@ -583,15 +527,9 @@ $\because\lim\limits_{x\to 0^-}\dfrac{\sin x}{\ln(1+3x)}=\lim\limits_{x\to 0^-}\ $\therefore a=-1$，从而让极限式子变为一个商的形式：\medskip -$\lim\limits_{x\to 0^+}\dfrac{\sin x(b\cos x-1)}{e^x+a}$\medskip +$\lim\limits_{x\to 0^+}\dfrac{\sin x(b\cos x-1)}{e^x+a}=\lim\limits_{x\to 0^+}\dfrac{\sin x(b\cos x-1)}{e^x-1}=\lim\limits_{x\to 0^+}\dfrac{\sin x(b\cos x-1)}{x}$\medskip -$=\lim\limits_{x\to 0^+}\dfrac{\sin x(b\cos x-1)}{e^x-1}$\medskip - -$=\lim\limits_{x\to 0^+}\dfrac{\sin x(b\cos x-1)}{x}$\medskip - -$=\lim\limits_{x\to 0^+}b\cos x-1$\medskip - -$=b-1=\dfrac{1}{3}$\medskip +$=\lim\limits_{x\to 0^+}b\cos x-1=b-1=\dfrac{1}{3}$\medskip $\therefore a=-1,b=\dfrac{4}{3}$。 @@ -607,19 +545,13 @@ $\therefore a=-1,b=\dfrac{4}{3}$。 $\lim\limits_{x\to 0^+}\left(\dfrac{e^{\frac{1}{x}}-\pi}{e^{\frac{2}{x}}+1}+a\cdot\arctan\dfrac{1}{x}\right)$ -$= \lim\limits_{x\to 0^+}\left(\dfrac{e^{\frac{1}{x}}-\pi}{e^{\frac{2}{x}}+1}\right)+\lim\limits_{x\to 0^+}\left(a\cdot\arctan\dfrac{1}{x}\right)$ +$=\lim\limits_{x\to 0^+}\left(\dfrac{e^{\frac{1}{x}}-\pi}{e^{\frac{2}{x}}+1}\right)+\lim\limits_{x\to 0^+}\left(a\cdot\arctan\dfrac{1}{x}\right)$ -$= \lim\limits_{x\to 0^+}\left(\dfrac{0\cdot\left(e^{\frac{2}{x}}\right)^2+e^{\frac{1}{x}}-\pi}{1\cdot\left(e^{\frac{2}{x}}\right)^2+1}\right)+a\cdot\dfrac{\pi}{2}$ - -$= a\cdot\dfrac{\pi}{2}$ +$=\lim\limits_{x\to 0^+}\left(\dfrac{0\cdot\left(e^{\frac{2}{x}}\right)^2+e^{\frac{1}{x}}-\pi}{1\cdot\left(e^{\frac{2}{x}}\right)^2+1}\right)+a\cdot\dfrac{\pi}{2}=a\cdot\dfrac{\pi}{2}$ \medskip -$\lim\limits_{x\to 0^-}\left(\dfrac{e^{\frac{1}{x}}-\pi}{e^{\frac{2}{x}}+1}+a\cdot\arctan\dfrac{1}{x}\right)$ - -$= -\pi+a\cdot\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)$ - -$= -\pi-\dfrac{\pi}{2}\cdot a$ +$\lim\limits_{x\to 0^-}\left(\dfrac{e^{\frac{1}{x}}-\pi}{e^{\frac{2}{x}}+1}+a\cdot\arctan\dfrac{1}{x}\right)=-\pi+a\cdot\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)=-\pi-\dfrac{\pi}{2}\cdot a$ 因为极限值具有唯一性，所以$-\pi-\dfrac{\pi}{2}a=\dfrac{\pi}{2}a$，所以$a=-1$，极限值为$-\dfrac{\pi}{2}$。 @@ -627,21 +559,36 @@ $= -\pi-\dfrac{\pi}{2}\cdot a$ 函数的连续性代表：极限值=函数值。 +\subsubsection{判断函数连续} + +题目给出函数，往往是分段函数，然后判断分段点的连续性。\medskip + +\textbf{例题：}讨论函数$f(x)=\left\{\begin{array}{lcl} + \left[\dfrac{(1+x)^{\frac{1}{x}}}{e}\right]^{\frac{1}{x}},& & x>0 \\ + e^{-\frac{1}{2}}, & & x\leqslant 0 +\end{array}\right.$在$x=0$处的连续性。 + +因为$\lim\limits_{x\to 0^+}f(x)=\lim\limits_{x\to 0^+}\left[\dfrac{(1+x)^{\frac{1}{x}}}{e}\right]^{\frac{1}{x}}=e^{\lim\limits_{x\to 0^+}\frac{1}{x}\ln[\frac{(1+x)^{\frac{1}{x}}}{e}]}$。 + +又$\lim\limits_{x\to 0^+}\dfrac{1}{x}\ln\left[\dfrac{(1+x)^{\frac{1}{x}}}{e}\right]=\lim\limits_{x\to 0^+}\dfrac{1}{x}\left[\dfrac{1}{x}\ln(1+x)-1\right]=\lim\limits_{x\to 0^+}\dfrac{\ln(1+x)-x}{x^2}$ + +$=\lim\limits_{x\to 0^+}\dfrac{\dfrac{1}{1+x}-1}{2x}=\lim\limits_{x\to 0^+}-\dfrac{1}{2(1+x)}=-\dfrac{1}{2}$。 + +$\therefore\lim\limits_{x\to 0^+}f(x)=e^{-\frac{1}{2}}$。 + +又$\lim\limits_{x\to 0^-}f(x)=\lim\limits_{x\to 0^-}e^{-\frac{1}{2}}=e^{-\frac{1}{2}}$，且$f(0)=e^{-\frac{1}{2}}$。 + +从而$\lim\limits_{x\to 0^+}f(x)=\lim\limits_{x\to 0^-}f(x)=f(0)$，所以$f(x)$在$x=0$处连续。 + +\subsubsection{连续性求极限} + \textbf{例题：}函数在$f(x)$在$x=1$处连续，且$f(1)=1$，求$\lim\limits_{x\to+\infty}\ln\left[2+f\left(x^{\frac{1}{x}}\right)\right]$。 根据题目，所求的$\lim\limits_{x\to+\infty}\ln\left[2+f\left(x^{\frac{1}{x}}\right)\right]$中，唯一未知的且会随着$x\to+\infty$而变换就是$f\left(x^{\frac{1}{x}}\right)$。如果我们可以求出这个值就可以了。 而我们对于$f(x)$的具体的关系是未知的，只知道$f(1)=1$。那么先需要考察$\lim\limits_{x\to+\infty}x^{\frac{1}{x}}$的整数最大值。 -$\lim\limits_{x\to+\infty}x^{\frac{1}{x}}$ - -$=e^{\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x}}$ - -$=e^{\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{1}{x}}$ - -$=e^0$ - -$=1$ +$\lim\limits_{x\to+\infty}x^{\frac{1}{x}}=e^{\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x}}=e^{\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{1}{x}}=e^0=1$ $\therefore\lim\limits_{x\to+\infty}f(x^{\frac{1}{x}})=f(1)=1$。 @@ -655,29 +602,19 @@ $\therefore\lim\limits_{x\to+\infty}f(x^{\frac{1}{x}})=f(1)=1$。 首先看题目，给出的递推式设计到二阶递推，即存在三个数列变量，所以我们必须先求出对应的数列表达式。因为这个表达式涉及三个变量，所以尝试对其进行变型： -$a_{n+1}-a_n$ - -$=\dfrac{a_{n-1}-a_n}{2}$ - -$=\left(-\dfrac{1}{2}\right)(a_n-a_{n-1})$ - -$=\left(-\dfrac{1}{2}\right)^2(a_{n-1}-a_{n-2})$ +$a_{n+1}-a_n=\dfrac{a_{n-1}-a_n}{2}=\left(-\dfrac{1}{2}\right)(a_n-a_{n-1})=\left(-\dfrac{1}{2}\right)^2(a_{n-1}-a_{n-2})$ $=\cdots$ -$=\left(-\dfrac{1}{2}\right)^n(a_1-a_0)$ - -$= \left(-\dfrac{1}{2}\right)^n$ +$=\left(-\dfrac{1}{2}\right)^n(a_1-a_0)=\left(-\dfrac{1}{2}\right)^n$ 然后得到了$a_{n+1}-a_n=\left(-\dfrac{1}{2}\right)^n$，而需要求极限，所以使用列项相消法的逆运算： -$a_n= (a_n-a_{n-1})+(a_{n-1}-a_{n-2})+\cdots+(a_1-a_0)+a_0$\medskip +$a_n=(a_n-a_{n-1})+(a_{n-1}-a_{n-2})+\cdots+(a_1-a_0)+a_0$\medskip -$= \left(-\dfrac{1}{2}\right)^{n-1} + \left(-\dfrac{1}{2}\right)^{n-2} + \cdots + \left(-\dfrac{1}{2}\right)^0$\medskip +$=\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{n-1} + \left(-\dfrac{1}{2}\right)^{n-2} + \cdots + \left(-\dfrac{1}{2}\right)^0$\medskip -$= \dfrac{1\cdot\left(1-\left(-\dfrac{1}{2}\right)^n\right)}{1-\left(-\dfrac{1}{2}\right)}$\medskip - -$= \dfrac{2}{3}\left[1-\left(-\dfrac{1}{2}\right)^n\right]$\medskip +$=\dfrac{1\cdot\left(1-\left(-\dfrac{1}{2}\right)^n\right)}{1-\left(-\dfrac{1}{2}\right)}=\dfrac{2}{3}\left[1-\left(-\dfrac{1}{2}\right)^n\right]$\medskip $\therefore\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\dfrac{2}{3}$ diff --git a/advanced-math/exercise/2-continuity-and-discontinuity/continuity-and-discontinuity.pdf b/advanced-math/exercise/2-continuity-and-discontinuity/continuity-and-discontinuity.pdf index 1c13954..880a9e3 100644 Binary files a/advanced-math/exercise/2-continuity-and-discontinuity/continuity-and-discontinuity.pdf and b/advanced-math/exercise/2-continuity-and-discontinuity/continuity-and-discontinuity.pdf differ diff --git a/advanced-math/exercise/2-continuity-and-discontinuity/continuity-and-discontinuity.tex b/advanced-math/exercise/2-continuity-and-discontinuity/continuity-and-discontinuity.tex index abfdbf5..6b69262 100644 --- a/advanced-math/exercise/2-continuity-and-discontinuity/continuity-and-discontinuity.tex +++ b/advanced-math/exercise/2-continuity-and-discontinuity/continuity-and-discontinuity.tex @@ -91,15 +91,11 @@ $f(x)$在$R$上连续。 $\lim\limits_{x\to 0^+}\dfrac{e^{ax^3}-1}{x-\arcsin x}=6$\medskip -$\therefore\lim\limits_{x\to 0^+}\dfrac{e^{ax^3}-1}{x-\arcsin x}$\medskip +$\therefore\lim\limits_{x\to 0^+}\dfrac{e^{ax^3}-1}{x-\arcsin x}=\lim\limits_{x\to 0^+}\dfrac{ax^3}{x-\arcsin x}$\medskip -$=\lim\limits_{x\to 0^+}\dfrac{ax^3}{x-\arcsin x}$\medskip +$\text{令}t=\arcsin x\Rightarrow=\lim\limits_{x\to 0^+}\dfrac{a\sin^3t}{\sin t-t}=a\lim\limits_{x\to 0^+}\dfrac{t^3}{\sin t-t}=a\lim\limits_{x\to 0^+}\dfrac{3t^2}{\cos t-1}$ -$\text{令}t=\arcsin x\Rightarrow=\lim\limits_{x\to 0^+}\dfrac{a\sin^3t}{\sin t-t}$ - -$=a\lim\limits_{x\to 0^+}\dfrac{t^3}{\sin t-t}$\medskip - -$=a\lim\limits_{x\to 0^+}\dfrac{3t^2}{\cos t-1}=-6a=6$。\medskip +$=-6a=6$。 $\therefore a=-1$时$f(x)$在$R$上连续。\medskip diff --git a/advanced-math/exercise/3-derivative-and-differentiate/derivative-and-differentiate.pdf b/advanced-math/exercise/3-derivative-and-differentiate/derivative-and-differentiate.pdf index 1faab28..42d99d1 100644 Binary files a/advanced-math/exercise/3-derivative-and-differentiate/derivative-and-differentiate.pdf and b/advanced-math/exercise/3-derivative-and-differentiate/derivative-and-differentiate.pdf differ diff --git a/advanced-math/exercise/3-derivative-and-differentiate/derivative-and-differentiate.tex b/advanced-math/exercise/3-derivative-and-differentiate/derivative-and-differentiate.tex index 8c6b876..4873b3a 100644 --- a/advanced-math/exercise/3-derivative-and-differentiate/derivative-and-differentiate.tex +++ b/advanced-math/exercise/3-derivative-and-differentiate/derivative-and-differentiate.tex @@ -35,7 +35,7 @@ \pagestyle{plain} \setcounter{page}{1} \section{一阶导数} -\subsection{幂指函数求导} +\subsection{幂指函数导数} 形如$f(x)^{g(x)}$的幂指函数求导也可以类似幂指函数的求极限方法。既可以取$e$为底的指数也可以取对数。 @@ -117,15 +117,11 @@ $f'(x)=\dfrac{\dfrac{-x}{1-x}-\ln(1-x)}{x^2}=\dfrac{x-(x-1)\ln(1-x)}{x^2(x-1)}\, 然后需要求分段点$x=0$处的导数。 -可以由导数的定义：、 +可以由导数的定义： 根据导数的定义是某点偏移量的极限值$\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$： -$f'(0)=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}$\medskip - -$=\dfrac{\dfrac{\ln(1-x)}{x}-(-1)}{x-0}$\medskip - -$=\dfrac{\dfrac{\ln(1-x)}{x}+1}{x}$\medskip +$f'(0)=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}=\dfrac{\dfrac{\ln(1-x)}{x}-(-1)}{x-0}=\dfrac{\dfrac{\ln(1-x)}{x}+1}{x}$\medskip $=\dfrac{\ln(1-x)+x}{x^2}$ @@ -169,7 +165,49 @@ $\therefore\lim\limits_{x\to 0^+}x^{\alpha-2}=0$。 $\therefore\alpha-2>0$，从而$\alpha>2$。 -\subsection{已知导数求极限} +\section{极限与导数} + +导数的定义由极限产生，所以其之间是可以互相转换的，当求一个导数时可以寻找是否能求出其极限。 + +\subsection{极限求导数} + +在导数这一章中的极限不会直接给出极限，而是会给出导数或函数的相关定义，来求极限，再根据导数定义转换为导数。同时要注意这里不止会有导数定义，还会有函数等性质。 + +\textbf{例题：}已知$f(x)$是周期为5的连续函数，它在$x=0$的某个邻域内满足关系式：$f(1+\sin x)-3f(1-\sin x)= 8x+o(x)$，且$f(x)$在$x=1$处可导，求曲线$y=f(x)$在点$(6,f(6))$处的切线方程。 + +因为这是个函数等式，而我们最后要求的是一个导数，所以先尝试对其直接求极限，令$x\to0$： + +$f(1)-3f(1)=0$，从而得到了一个函数值$f(1)=0$。 + +然后再对这个式子思考，等式右边为$8x$，而除以$x$就变成了8，而再对其求极限，右边就彻底变成了一个常数8： + +$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{f(1+\sin x)-3f(1-\sin x)}{x}=8$。对式子左边进行变形： + +$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{f(1+\sin x)-3f(1-\sin x)}{x}=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{f(1+\sin x)-3f(1-\sin x)}{\sin x}$。 + +令$t=\sin x$： + +$=\lim\limits_{t\to 0}\dfrac{f(1+t)-3f(1-t)}{t}=\lim\limits_{t\to 0}\dfrac{f(1+t)-f(1)}{t}+3\lim\limits_{t\to 0}\dfrac{f(1-t)-f(1)}{-t}$。 + +因为$t\to 0$，所以$1-t$和$1+t$都是$t=1$时的导数$f'(x)$的定义：$=4f'(1)=8$，从而$f'(1)=2$。 + +由$f(x)$的周期为5，所以$f(6)=f(1)=0$，$f'(6)=f'(1)=2$，所以曲线$y=f(x)$在$(6,f(6))$即$(6,0)$处的切线方程为$y-0=2(x-6)$即$2x-y-12=0$。 + +15.当正在高度H水平飞行的飞机开始向机场跑道下降时，如图2-16所示从飞机到北场的水平地面距离为L.假设飞机下降的路径为三次函 + +数y=ax' +bx2 +cx+d的图形,其中yl..=H.y1..o=0.试 + +确定飞机的降落路径. + +16.甲船以6 km/h的速率向东行驶,乙船以8 km/h + +的速事向南行驶在中午十二点整,乙船位于甲船之北 + +L01 + +16 km处问下午一点整两船相离的速率为多少? + +\subsection{导数求极限} 题目会给出对应的导数以及相关条件，并要求求一个极限，这个极限式子并不是个随机的式子，而一个是与导数定义相关的极限式子，所需要的就是将极限式子转换为导数定义的相关式子。 @@ -183,9 +221,7 @@ $\therefore\alpha-2>0$，从而$\alpha>2$。 然后需要转换目标的极限式子，因为目标式子倒过来的式子类似于导数定义的$f'(x)=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$结构。所以我们可以先求其倒数式子：\medskip -$=\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(5-2\sin h)-f(5)}{h}$ - -$=\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(5-2\sin h)-f(5)}{-2\sin h}\cdot\dfrac{-2\sin h}{h}$ +$=\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(5-2\sin h)-f(5)}{h}=\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(5-2\sin h)-f(5)}{-2\sin h}\cdot\dfrac{-2\sin h}{h}$ $=-2f'(5)=-2\times 1=-2$ @@ -199,17 +235,9 @@ $\therefore\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{h}{f(5-2\sin h)-f(5)}=-\dfrac{1}{2}$。 设$\dfrac{1}{n}=x$，则： -$=\lim\limits_{x\to 0}(f(x))^{\frac{x}{1-\cos x}}$ +$=\lim\limits_{x\to 0}(f(x))^{\frac{x}{1-\cos x}}=e^{\lim\limits_{x\to 0}\frac{x}{1-\cos x}\ln f(x)}=e^{2\lim\limits_{x\to 0}\frac{\ln f(x)}{x}}=e^{2\lim\limits_{x\to 0}\frac{f(x)-1}{x}}$ -$=e^{\lim\limits_{x\to 0}\frac{x}{1-\cos x}\ln f(x)}$ - -$=e^{2\lim\limits_{x\to 0}\frac{\ln f(x)}{x}}$ - -$=e^{2\lim\limits_{x\to 0}\frac{f(x)-1}{x}}$ - -$=e^{2\lim\limits_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}}$ - -$=e^{2f'(0)}=e^6$。 +$=e^{2\lim\limits_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}}=e^{2f'(0)}=e^6$。 \section{高阶导数} @@ -257,12 +285,22 @@ $\quad\quad\quad+x^2(x+1)^2(x+2)^2\cdots 2(x+n)$ 因为原函数的一阶导数是$\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}$，而反函数就是对原函数的$xy$对调，所以其反函数的一阶导数为$\dfrac{\textrm{d}x}{\textrm{d}y}$。 +当求反函数的高阶导数时需要将分子分母同时除以$\textrm{d}x$。 + \textbf{例题：}已知$y=x+e^x$，求其反函数的二阶导数。 -$y=x+e^x$的反函数的一阶导数为$\dfrac{\textrm{d}x}{\textrm{d}y}=\dfrac{1}{1+e^x}$。 +$y=x+e^x$的反函数的一阶导数为$\dfrac{\textrm{d}x}{\textrm{d}y}=\dfrac{1}{1+e^x}$。\medskip 所以二阶导数为$\dfrac{\textrm{d}^2x}{\textrm{d}y^2}=\dfrac{\textrm{d}\left(\dfrac{1}{1+e^{x}}\right)}{\textrm{d}y}=\dfrac{\dfrac{\textrm{d}\left(\dfrac{1}{1+e^{x}}\right)}{\textrm{d}x}}{\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}}=-\dfrac{e^x}{(1+e^x)^3}$。 +\textbf{例题：}已知$\dfrac{\textrm{d}x}{\textrm{d}y}=\dfrac{1}{y'}$，求$\dfrac{\textrm{d}^2x}{\textrm{d}y^2}$和$\dfrac{\textrm{d}^3x}{\textrm{d}y^3}$。 + +其实就是求$\dfrac{\textrm{d}^2x}{\textrm{d}y^2}$和$\dfrac{\textrm{d}^3x}{\textrm{d}y^3}$，$\dfrac{\textrm{d}x}{\textrm{d}y}=\dfrac{1}{y'}$这个条件只是让我们用$y'$来表示结果而已。 + +$\dfrac{\textrm{d}^2x}{\textrm{d}y^2}=\dfrac{\textrm{d}\dfrac{\textrm{d}x}{\textrm{d}y}}{\textrm{d}y}=\dfrac{\dfrac{\textrm{d}\dfrac{\textrm{d}x}{\textrm{d}y}}{\textrm{d}x}}{\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}}=\dfrac{-\dfrac{y''}{(y')^2}}{y'}=-\dfrac{y''}{(y')^3}$。\medskip + +$\dfrac{\textrm{d}^3x}{\textrm{d}y^3}=\dfrac{\textrm{d}\dfrac{\textrm{d}^2x}{\textrm{d}^2y}}{\textrm{d}y}=\dfrac{\dfrac{\textrm{d}\dfrac{\textrm{d}^2x}{\textrm{d}^2y}}{\textrm{d}x}}{\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}}=\dfrac{-\dfrac{y'''y'-3(y'')^2}{(y')^4}}{y'}=\dfrac{3(y'')^2-y'y'''}{(y')^5}$。 + \section{微分} \section{隐函数与参数方程} @@ -271,6 +309,22 @@ $y=x+e^x$的反函数的一阶导数为$\dfrac{\textrm{d}x}{\textrm{d}y}=\dfrac{ $\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}=\dfrac{\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}t}}{\dfrac{\textrm{d}x}{\textrm{d}t}}$。 +\subsection{隐函数应用} + +对于隐函数的应用题，最重要的是找到等价于$\textrm{d}x$和$\textrm{d}y$的两个相关变量。最简单的就是根据题目最后面的所求问题所涉及的变量设置其为变量和因变量。 + +\textbf{例题：}落在平静水面上的石头，产生同心波纹。若最外一圈波半径的增大速率总是6m/s，问在2s末扰动水面面积增大的速率为多少？ + +首先根据题目最后的要求的是面积，所以肯定要设一个面积变量，随时间变动而改变，所以也一定会设一个时间变量，同时还给出一个条件是半径增大速度，所以也会有一个半径的变量。同时要求的是面积增大速率，正好跟另外两个变量相关，时间跟半径和面积都相关，所以时间就是中间变量。 + +从而设最外一圈波的半径为$r=r(t)$，圆的面积$S=S(t)$。根据$S$和$r$的公式$S=\pi r^2$，因为求的是随时间变化的速率，所以其两端分别对$t$求导，得： + +$\dfrac{\textrm{d}S}{\textrm{d}t}=2\pi r\dfrac{\textrm{d}r}{\textrm{d}t}$。当$t=2$时，$r=6\times2=12$，代入上式得：\medskip + +$\dfrac{\textrm{d}S}{\textrm{d}t}\bigg|_{t=2}=2\pi\cdot12\cdot6=144\pi$。 + +\subsection{分段参数方程} + \textbf{例题：}已知$y=y(x)$由参数方程$\left\{\begin{array}{lcl} x=\dfrac{1}{2}\ln(1+t^2) \\ y=\arctan t diff --git a/advanced-math/knowledge/0-perpare/perpare.pdf b/advanced-math/knowledge/0-perpare/perpare.pdf index deac789..b711390 100644 Binary files a/advanced-math/knowledge/0-perpare/perpare.pdf and b/advanced-math/knowledge/0-perpare/perpare.pdf differ diff --git a/advanced-math/knowledge/0-perpare/perpare.tex b/advanced-math/knowledge/0-perpare/perpare.tex index 02d520a..a5aad1f 100644 --- a/advanced-math/knowledge/0-perpare/perpare.tex +++ b/advanced-math/knowledge/0-perpare/perpare.tex @@ -887,7 +887,7 @@ $a^\alpha\cdot a^\beta=a^{\alpha+\beta},\dfrac{a^\alpha}{a^\beta}=a^{\alpha-\bet 如下面这个题（先不要求能直接证明）： -\textbf{例题4：}证明$\dfrac{1}{x+1}<\ln(1+\dfrac{1}{x})<\dfrac{1}{x}$，其中$x>0$。 +\textbf{例题：}证明$\dfrac{1}{x+1}<\ln(1+\dfrac{1}{x})<\dfrac{1}{x}$，其中$x>0$。 首先因为证明中间项无法进行直接处理，又看到是一个对数，所以进行通分：$\ln(1+\dfrac{1}{x})=\ln\dfrac{x+1}{x}=\ln(x+1)-\ln x$。 @@ -993,7 +993,7 @@ $a^\alpha\cdot a^\beta=a^{\alpha+\beta},\dfrac{a^\alpha}{a^\beta}=a^{\alpha-\bet 以后的华里士公式（点火公式）会使用到，如下面的题目： -\textbf{例题5：}计算$\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^{10}x\textrm{d}x$与$\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^9x\textrm{d}x$。\medskip +\textbf{例题：}计算$\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^{10}x\textrm{d}x$与$\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^9x\textrm{d}x$。\medskip 原式1为偶数次幂，所以$=\dfrac{9}{10}\cdot\dfrac{7}{8}\cdot\dfrac{5}{6}\cdot\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\pi}{2}=\dfrac{\pi}{2}\cdot\dfrac{9!!}{10!!}$。\medskip @@ -1027,7 +1027,7 @@ $a,b,c>0$： \item $\sqrt[3]{abc}\leqslant\dfrac{a+b+c}{3}\leqslant\dfrac{a^2+b^2+c^2}{3}$。 \end{enumerate} -\textbf{例题6：}证明函数$f(x)=\dfrac{x}{1+x^2}$在$(-\infty,+\infty)$内有界。 +\textbf{例题：}证明函数$f(x)=\dfrac{x}{1+x^2}$在$(-\infty,+\infty)$内有界。 可以使用极限，若极限存在则函数有界，这里使用有界性定义与不等式来完成。 diff --git a/advanced-math/knowledge/1-function-and-limit/function-and-limit.pdf b/advanced-math/knowledge/1-function-and-limit/function-and-limit.pdf index 05f0d28..5108565 100644 Binary files a/advanced-math/knowledge/1-function-and-limit/function-and-limit.pdf and b/advanced-math/knowledge/1-function-and-limit/function-and-limit.pdf differ diff --git a/advanced-math/knowledge/1-function-and-limit/function-and-limit.tex b/advanced-math/knowledge/1-function-and-limit/function-and-limit.tex index bc27e2b..fe06338 100644 --- a/advanced-math/knowledge/1-function-and-limit/function-and-limit.tex +++ b/advanced-math/knowledge/1-function-and-limit/function-and-limit.tex @@ -442,15 +442,7 @@ $\therefore \ln\left(1+\dfrac{\tan x}{x}-1\right)\sim\dfrac{\tan x}{x}-1$，$\df 又根据泰勒展开$\tan x-x=x+\dfrac{x^3}{3}+o(x^3)-x-0\cdot x^3=\dfrac{x^3}{3}$。 -$\therefore$ \medskip - -$e^{\lim\limits_{x\to 0}\frac{1}{x^2}\ln\frac{\tan x}{x}}$ - -$=e^{\lim\limits_{x\to 0}\frac{1}{x^2}\frac{\tan x-x}{x}}$ - -$=e^{\lim\limits_{x\to 0}\frac{1}{x^2}\cdot\frac{x^2}{3}}$ - -$= e^{\frac{1}{3}}$ +$\therefore e^{\lim\limits_{x\to 0}\frac{1}{x^2}\ln\frac{\tan x}{x}}=e^{\lim\limits_{x\to 0}\frac{1}{x^2}\frac{\tan x-x}{x}}=e^{\lim\limits_{x\to 0}\frac{1}{x^2}\cdot\frac{x^2}{3}}=e^{\frac{1}{3}}$ 根据海涅定理：取$x=\dfrac{1}{n},n\to\infty$，$\lim\limits_{n\to\infty}\left(n\tan\dfrac{1}{n}\right)^{n^2}=e^{\frac{1}{3}}$。 @@ -887,21 +879,9 @@ $\therefore\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}=1$。 证明： -$\lim\limits_{x\to\infty}\left(1+\dfrac{1}{x}\right)^x$\medskip +$\lim\limits_{x\to\infty}\left(1+\dfrac{1}{x}\right)^x=\lim\limits_{x\to\infty}e^{\ln(1+\frac{1}{x})^x}=\lim\limits_{x\to\infty}e^{x\ln(1+\frac{1}{x})}=e^{\lim\limits_{x\to\infty}x\ln(1+\frac{1}{x})}=e^{\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\ln(1+\frac{1}{x})}{\frac{1}{x}}}$ -$=\lim\limits_{x\to\infty}e^{\ln(1+\frac{1}{x})^x}$ - -$=\lim\limits_{x\to\infty}e^{x\ln(1+\frac{1}{x})}$ - -$=e^{\lim\limits_{x\to\infty}x\ln(1+\frac{1}{x})}$ - -$=e^{\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\ln(1+\frac{1}{x})}{\frac{1}{x}}}$ - -$=e^{\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\left(\frac{1}{1+\frac{1}{x}}\right)\cdot\left(-\frac{1}{x^2}\right)}{-\frac{1}{x^2}}}$ - -$=e^{\lim\limits_{x\to\infty}\frac{1}{1+x}}$ - -$=e$ +$=e^{\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\left(\frac{1}{1+\frac{1}{x}}\right)\cdot\left(-\frac{1}{x^2}\right)}{-\frac{1}{x^2}}}=e^{\lim\limits_{x\to\infty}\frac{1}{1+x}}=e$\medskip 从而$\lim\limits_{\Delta\to\infty}\left(1+\dfrac{1}{\Delta}\right)^\Delta=e$与$\lim\limits_{\Delta\to 0}\left(1+\Delta\right)^{\frac{1}{\Delta}}=e(\Delta\neq 0)$。 diff --git a/advanced-math/knowledge/2-derivatives-and-differential/derivatives-and-differential.pdf b/advanced-math/knowledge/2-derivatives-and-differential/derivatives-and-differential.pdf index 66d875d..50b5f8e 100644 Binary files a/advanced-math/knowledge/2-derivatives-and-differential/derivatives-and-differential.pdf and b/advanced-math/knowledge/2-derivatives-and-differential/derivatives-and-differential.pdf differ diff --git a/advanced-math/knowledge/2-derivatives-and-differential/derivatives-and-differential.synctex(busy) b/advanced-math/knowledge/2-derivatives-and-differential/derivatives-and-differential.synctex(busy) deleted file mode 100644 index e69de29..0000000 diff --git a/advanced-math/knowledge/2-derivatives-and-differential/derivatives-and-differential.tex b/advanced-math/knowledge/2-derivatives-and-differential/derivatives-and-differential.tex index e6a95ce..59a76e2 100644 --- a/advanced-math/knowledge/2-derivatives-and-differential/derivatives-and-differential.tex +++ b/advanced-math/knowledge/2-derivatives-and-differential/derivatives-and-differential.tex @@ -116,15 +116,9 @@ $\therefore f'(\dfrac{3}{2})>f''(0)>f(-\dfrac{1}{2})$。\medskip \textbf{例题：}$\left(x^\alpha\right)'=\alpha x^{\alpha-1}(x>0)$。\medskip -$\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$\medskip +$\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{\left(x+\Delta x\right)^\alpha-x^\alpha}{\Delta x}$\medskip -$=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{\left(x+\Delta x\right)^\alpha-x^\alpha}{\Delta x}$\medskip - -$=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{x^\alpha\left[\left(1+\dfrac{\Delta x}{x}\right)^\alpha-1\right]}{\Delta x}$\medskip - -$=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{x^\alpha\cdot\alpha\cdot\dfrac{\Delta x}{x}}{\Delta x}$\medskip - -$=\alpha x^{\alpha-1}$ +$=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{x^\alpha\left[\left(1+\dfrac{\Delta x}{x}\right)^\alpha-1\right]}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{x^\alpha\cdot\alpha\cdot\dfrac{\Delta x}{x}}{\Delta x}=\alpha x^{\alpha-1}$ \subsection{导数的几何意义} @@ -144,13 +138,7 @@ $=\alpha x^{\alpha-1}$ 可导定义：$f'(x)=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} = A$ -$\lim\limits_{\Delta x\to 0}f(x+\Delta x)-f(x)$ - -$=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\cdot\Delta x$ - -$=A\cdot 0$ - -$=0$ +$\lim\limits_{\Delta x\to 0}f(x+\Delta x)-f(x)=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\cdot\Delta x=A\cdot 0=0$ \textbf{例题：}若$f(x)$在$x=x_0$处连续，且$\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f(x)}{x-x_0}=A$，则$f(x_0)=0$且$f'(x_0)=A$。 @@ -178,11 +166,7 @@ $=0$ $(u\cdot v)'$ -$=f'(x)$ - -$=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$ - -$=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{u(x+\Delta x)v(x+\Delta x)-u(x)v(x)}{\Delta x}$ +$=f'(x)=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{u(x+\Delta x)v(x+\Delta x)-u(x)v(x)}{\Delta x}$ $=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{u(x+\Delta x)v(x+\Delta x)-u(x)v(x+\Delta x)+u(x)v(x+\Delta x)-u(x)v(x)}{\Delta x}$ @@ -210,23 +194,11 @@ $\therefore\dfrac{\textrm{d}\arcsin x}{\textrm{d}x}=\dfrac{1}{\dfrac{\textrm{d}\ $\therefore\dfrac{\textrm{d}\arctan x}{\textrm{d}x}=\dfrac{1}{\dfrac{\textrm{d}\tan y}{\textrm{d}y}}=\dfrac{1}{\sec^2y}=\dfrac{1}{1+\tan^2y}=\dfrac{1}{1+x^2}$。\medskip -二阶反函数导数\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}： +二阶反函数导数\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}：\medskip -$f''(x)$ +$f''(x)=y''_{xx}=\dfrac{\textrm{d}\left(\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}\right)}{\textrm{d}x}=\dfrac{\textrm{d}^2y}{\textrm{d}x^2}=\dfrac{\textrm{d}\left(\dfrac{1}{\varphi'(y)}\right)}{\textrm{d}x}=\dfrac{\textrm{d}\left(\dfrac{1}{\varphi'(y)}\right)}{\textrm{d}y}\cdot\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}$ -$=y''_{xx}$\medskip - -$=\dfrac{\textrm{d}\left(\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}\right)}{\textrm{d}x}$\medskip - -$=\dfrac{\textrm{d}^2y}{\textrm{d}x^2}$\medskip - -$=\dfrac{\textrm{d}\left(\dfrac{1}{\varphi'(y)}\right)}{\textrm{d}x}$\medskip - -$=\dfrac{\textrm{d}\left(\dfrac{1}{\varphi'(y)}\right)}{\textrm{d}y}\cdot\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}$\medskip - -$=-\dfrac{x_{yy}''}{(x_y')^2}\cdot\dfrac{1}{x_y'}$\medskip - -$=-\dfrac{x_{yy}''}{(x_y')^3}$\medskip +$=-\dfrac{x_{yy}''}{(x_y')^2}\cdot\dfrac{1}{x_y'}=-\dfrac{x_{yy}''}{(x_y')^3}$\medskip 其中$\textrm{d}x\cdot\textrm{d}x=(\textrm{d}x)^2=\textrm{d}x^2$称为微分的幂，而$\textrm{d}(x^2)$叫幂的微分。 @@ -256,15 +228,7 @@ $\therefore$根据导数的四则运算，需要导数的乘积为每一项求 $\therefore f'(1)$ -$=f'(x)\vert_{x=1}$\medskip - -$=\dfrac{\pi}{2}\cdot g(1)+0\cdot g'(x)$\medskip - -$=\dfrac{\pi}{2}\cdot g(1)$\medskip - -$=\dfrac{\pi}{2}(-1)(-2)\cdots(-99)$ - -$=-\dfrac{\pi}{2}\cdot 99!$ +$=f'(x)\vert_{x=1}=\dfrac{\pi}{2}\cdot g(1)+0\cdot g'(x)=\dfrac{\pi}{2}\cdot g(1)=\dfrac{\pi}{2}(-1)(-2)\cdots(-99)=-\dfrac{\pi}{2}\cdot 99!$ \subsection{分段函数的导数} diff --git a/advanced-math/knowledge/3-differential-mean-value-theorem-and-applications-of-derivatives/differential-mean-value-theorem-and-applications-of-derivatives.pdf b/advanced-math/knowledge/3-differential-mean-value-theorem-and-applications-of-derivatives/differential-mean-value-theorem-and-applications-of-derivatives.pdf index 40d5870..3639c62 100644 Binary files a/advanced-math/knowledge/3-differential-mean-value-theorem-and-applications-of-derivatives/differential-mean-value-theorem-and-applications-of-derivatives.pdf and b/advanced-math/knowledge/3-differential-mean-value-theorem-and-applications-of-derivatives/differential-mean-value-theorem-and-applications-of-derivatives.pdf differ diff --git a/advanced-math/knowledge/3-differential-mean-value-theorem-and-applications-of-derivatives/differential-mean-value-theorem-and-applications-of-derivatives.tex b/advanced-math/knowledge/3-differential-mean-value-theorem-and-applications-of-derivatives/differential-mean-value-theorem-and-applications-of-derivatives.tex index dc9c3a5..592a7d2 100644 --- a/advanced-math/knowledge/3-differential-mean-value-theorem-and-applications-of-derivatives/differential-mean-value-theorem-and-applications-of-derivatives.tex +++ b/advanced-math/knowledge/3-differential-mean-value-theorem-and-applications-of-derivatives/differential-mean-value-theorem-and-applications-of-derivatives.tex @@ -125,7 +125,7 @@ $\text{罗尔定理}\xrightleftharpoons[\text{特例：}f(a)=f(b)]{\text{泛化 \section{洛必达法则} -若当$x\to a$或$x\to\infty$时两个函数$f(x)F(x)$都趋向0或无穷大，那么极限$\lim\limits_{x\to a/\infty}\dfrac{f(x)}{F(x)}$可能存在，也可能不存在，这种极限就是不定式。\medskip +若当$x\to a$或$x\to\infty$时两个函数$f(x)F(x)$都趋向0或无穷大，那么极限$\lim\limits_{x\to \frac{a}{\infty}}\dfrac{f(x)}{F(x)}$可能存在，也可能不存在，这种极限就是不定式。\medskip \textcolor{aqua}{\textbf{定理：}} @@ -149,11 +149,7 @@ $\text{罗尔定理}\xrightleftharpoons[\text{特例：}f(a)=f(b)]{\text{泛化 而使用洛必达法则：\medskip -$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x^2\cdot\sin\dfrac{1}{x}}{x}$ - -$=\lim\limits_{x\to 0}\left(2x\cdot\sin\dfrac{1}{x}-\cos\dfrac{1}{x}\right)$ - -$=\lim\limits_{x\to 0}\left(-\cos\dfrac{1}{x}\right)=\text{不存在}$ +$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x^2\cdot\sin\dfrac{1}{x}}{x}=\lim\limits_{x\to 0}\left(2x\cdot\sin\dfrac{1}{x}-\cos\dfrac{1}{x}\right)=\lim\limits_{x\to 0}\left(-\cos\dfrac{1}{x}\right)=\text{不存在}$ \section{泰勒公式} @@ -225,13 +221,7 @@ $R_n(x)=\dfrac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}$就是函数的拉格朗日 如： -$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{[\sin x-\sin(\sin x)]\sin x}{x^4}$ - -$=\dfrac{\dfrac{1}{6}\sin^3x\cdot\sin x}{x^4}$ - -$=\dfrac{\dfrac{1}{6}\sin^4x}{x^4}$ - -$=\dfrac{1}{6}$ +$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{[\sin x-\sin(\sin x)]\sin x}{x^4}=\dfrac{\dfrac{1}{6}\sin^3x\cdot\sin x}{x^4}=\dfrac{\dfrac{1}{6}\sin^4x}{x^4}=\dfrac{1}{6}$ \subsubsection{泰勒公式计算} @@ -266,13 +256,7 @@ $\therefore \dfrac{y^{(6)}(0)}{6!}=-\dfrac{1}{6}\Rightarrow y^{(6)}(0)=-5!=-120$ 如$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x-\sin x}{x^3}$展开为三次：\medskip -$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x-\sin x}{x^3}$ - -$=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x-\left[x-\dfrac{1}{6}x^3+o(x^3)\right]}{x^3}$\medskip - -$=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\dfrac{1}{6}x^3+o(x^3)}{x^3}$\medskip - -$=\dfrac{1}{6}$ +$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x-\sin x}{x^3}=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x-\left[x-\dfrac{1}{6}x^3+o(x^3)\right]}{x^3}=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\dfrac{1}{6}x^3+o(x^3)}{x^3}=\dfrac{1}{6}$ \subsubsection{\texorpdfstring{$A-B$}\ 型，幂次最低} @@ -282,14 +266,9 @@ $=\dfrac{1}{6}$ 泰勒展开： -$ -\begin{aligned} - & \cos x-e^{-\frac{x^2}{2}} \\ - & = 1-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{1}{24}x^4+o(x^4)-\left(1-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{1}{8}x^4+o(x^4)\right) \\ - & = -\dfrac{1}{12}x^4+o(x^4) \\ - & \sim -\dfrac{1}{12}x^4 -\end{aligned} -$ +$\cos x-e^{-\frac{x^2}{2}}= 1-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{1}{24}x^4+o(x^4)-\left(1-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{1}{8}x^4+o(x^4)\right)$ + +$=-\dfrac{1}{12}x^4+o(x^4)\sim -\dfrac{1}{12}x^4$ $\therefore a=-\dfrac{1}{12},b=4$。 @@ -301,33 +280,11 @@ $\therefore e^{x^4}-1\sim x^4$。 然后泰勒展开： -$x-\sin x$ +$x-\sin x=1\cdot x^1+0\cdot x^3 - (1\cdot x^1-\dfrac{1}{6}x^3+o(x^3))= \dfrac{1}{6}x^3+o(x^3)\sim\dfrac{1}{6}x^3$ -$= 1\cdot x^1+0\cdot x^3 - (1\cdot x^1-\dfrac{1}{6}x^3+o(x^3))$ +$x+\sin x=x-(-\sin x)=1\cdot x^1-(-1\cdot x^1)+o(x)=2x+o(x)\sim 2x$ \medskip -$= \dfrac{1}{6}x^3+o(x^3)$ - -$\sim \dfrac{1}{6}x^3$ - -$x+\sin x$ - -$=x-(-\sin x)$ - -$=1\cdot x^1-(-1\cdot x^1)+o(x)$ - -$=2x+o(x)$ - -$\sim 2x$ - -$\therefore$ - -$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sin^2x-x^2}{e^{x^4}-1}$\medskip - -$=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{(\sin x+x)(\sin x-x)}{x^4}$\medskip - -$=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{2x\cdot\left(-\dfrac{1}{6}x^3\right)}{x^4}$\medskip - -$=-\dfrac{1}{3}$ +$\therefore\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sin^2x-x^2}{e^{x^4}-1}=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{(\sin x+x)(\sin x-x)}{x^4}=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{2x\cdot\left(-\dfrac{1}{6}x^3\right)}{x^4}=-\dfrac{1}{3}$ \section{函数单调性与曲线凹凸性} @@ -384,15 +341,9 @@ $\therefore$在$(0,+\infty]$上$g(x)>g(0)=0$，即$\sin x>x-\dfrac{x^3}{6}$。 不妨设$x_10$ +$\xRightarrow{\text{拉格朗日中值定理}}=f'(\xi_2)(x_2-x_0)-f'(\xi_1)(x_0-x_1)=\dfrac{x_2-x_1}{2}[f'(\xi_2)-f'(\xi_1)]>0$ $\therefore f''(x)>0\Rightarrow f(\dfrac{x_1+x_2}{2})<\dfrac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$。 diff --git a/advanced-math/knowledge/4-indefinite-integral-and-definite-integral/indefinite-integral-and-definite-integral.pdf b/advanced-math/knowledge/4-indefinite-integral-and-definite-integral/indefinite-integral-and-definite-integral.pdf index 7df2297..55f56ef 100644 Binary files a/advanced-math/knowledge/4-indefinite-integral-and-definite-integral/indefinite-integral-and-definite-integral.pdf and b/advanced-math/knowledge/4-indefinite-integral-and-definite-integral/indefinite-integral-and-definite-integral.pdf differ diff --git a/advanced-math/knowledge/4-indefinite-integral-and-definite-integral/indefinite-integral-and-definite-integral.tex b/advanced-math/knowledge/4-indefinite-integral-and-definite-integral/indefinite-integral-and-definite-integral.tex index 1866873..66d75b5 100644 --- a/advanced-math/knowledge/4-indefinite-integral-and-definite-integral/indefinite-integral-and-definite-integral.tex +++ b/advanced-math/knowledge/4-indefinite-integral-and-definite-integral/indefinite-integral-and-definite-integral.tex @@ -446,19 +446,13 @@ $\textrm{d}S=\left[(y+4)-\dfrac{y^2}{2}\right]\textrm{d}y$。 因为无法计算对于$x$的表达式，所以使用参数方程代入，并改变上下限$S$： -$=\int_0^{2\pi}a(1-\cos t)\,\textrm{d}[a(t-\sin t)]$ +$=\int_0^{2\pi}a(1-\cos t)\,\textrm{d}[a(t-\sin t)]=\int_0^{2\pi}a^2(1-\cos t)^2\,\textrm{d}t$ -$=\int_0^{2\pi}a^2(1-\cos t)^2\,\textrm{d}t$ - -$=a^2\displaystyle{\int_0^{2\pi}\left(2\sin^2\dfrac{t}{2}\right)^2\textrm{d}t}$（消去里面的1） - -$=4a^2\displaystyle{\int_0^{2\pi}\sin^4\dfrac{t}{2}\,\textrm{d}t}$ +$=a^2\displaystyle{\int_0^{2\pi}\left(2\sin^2\dfrac{t}{2}\right)^2\textrm{d}t}\,\text{（消去里面的1）}=4a^2\displaystyle{\int_0^{2\pi}\sin^4\dfrac{t}{2}\,\textrm{d}t}$ 令$u=\dfrac{t}{2}$，从而$\textrm{d}t=2\textrm{d}u$，从而$u\in[0,\pi]$。 -$=8a^2\int_0^\pi\sin^4u\,\textrm{d}u$ - -$=16a^2\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^4u\,\textrm{d}u$（积分可加性拆分为两个相同限的项） +$=8a^2\int_0^\pi\sin^4u\,\textrm{d}u=16a^2\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^4u\,\textrm{d}u$（积分可加性拆分为两个相同限的项） $=16a^2\cdot\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\pi}{2}=3a^2\pi$（点火公式）。 @@ -476,13 +470,9 @@ $=16a^2\cdot\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\pi}{2}=3a^2\pi$（点火 所以可以根据公式$S=2\dfrac{1}{2}\int_0^\pi a^2(1+\cos\theta)^2\,\textrm{d}\theta$。 -$=a^2\displaystyle{\int_0^\pi\left(2\cos^2\dfrac{\theta}{2}\right)^2\textrm{d}\theta}$ +$=a^2\displaystyle{\int_0^\pi\left(2\cos^2\dfrac{\theta}{2}\right)^2\textrm{d}\theta}=4a^2\displaystyle{\int_0^\pi\cos^4\dfrac{\theta}{2}\,\textrm{d}\theta}$ -$=4a^2\displaystyle{\int_0^\pi\cos^4\dfrac{\theta}{2}\,\textrm{d}\theta}$ - -令$\dfrac{\theta}{2}=t$，所以$\textrm{d}\theta=2\textrm{d}t$，同时上下限缩小一半： - -$=8a^2\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^4t\,\textrm{d}t$ +令$\dfrac{\theta}{2}=t$，所以$\textrm{d}\theta=2\textrm{d}t$，同时上下限缩小一半：$=8a^2\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^4t\,\textrm{d}t$ 根据华理士公式：$=8a^2\cdot\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\pi}{2}=\dfrac{3}{2}a^2\pi$。 @@ -514,27 +504,19 @@ $V_x=\pi\int_0^{2a\pi}y^2\,\textrm{d}x$ 代入参数方程并改变上下限： -$=\pi\int_0^{2\pi}a^2(1-\cos t)^2\,\textrm{d}[a(t-\sin t)]$ +$=\pi\int_0^{2\pi}a^2(1-\cos t)^2\,\textrm{d}[a(t-\sin t)]=a^3\pi\int_0^{2\pi}(1-\cos t)^3\,\textrm{d}t$ -$=a^3\pi\int_0^{2\pi}(1-\cos t)^3\,\textrm{d}t$ - -$=a^3\pi\displaystyle{\int_0^{2\pi}\left(2\sin^2\dfrac{t}{2}\right)^3\textrm{d}t}$ - -$=8a^3\pi\displaystyle{\int_0^{2\pi}\sin^6\dfrac{t}{2}\textrm{d}t}$ +$=a^3\pi\displaystyle{\int_0^{2\pi}\left(2\sin^2\dfrac{t}{2}\right)^3\textrm{d}t}=8a^3\pi\displaystyle{\int_0^{2\pi}\sin^6\dfrac{t}{2}\textrm{d}t}$ 令$\dfrac{\theta}{2}=t$，所以$\textrm{d}\theta=2\textrm{d}t$，同时上下限缩小一半： -$=16a^3\pi\int_0^\pi\sin^6u\,\textrm{d}u$ - -$=32a^3\pi\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^6u\,\textrm{d}u$ +$=16a^3\pi\int_0^\pi\sin^6u\,\textrm{d}u=32a^3\pi\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^6u\,\textrm{d}u$ 华理士公式得到最后$=5a^3\pi^2$。 同理可得$y$轴旋转体积为$V_y=2\pi\int_0^{2\pi}xy(x)\,\textrm{d}x$ -$=2\pi\int_0^{2\pi}a(t-\sin t)a^2(1-\cos t)^2\,\textrm{d}t$ - -$=2a^3\pi\int_0^{2\pi}(t-\sin t)\cdot 4\sin^4\dfrac{t}{2}\,\textrm{d}t$ +$=2\pi\int_0^{2\pi}a(t-\sin t)a^2(1-\cos t)^2\,\textrm{d}t=2a^3\pi\int_0^{2\pi}(t-\sin t)\cdot 4\sin^4\dfrac{t}{2}\,\textrm{d}t$ 然后拆开分别进行凑微分法，得到$6a^3\pi^3$。 @@ -564,4 +546,21 @@ $S_n=\sum\limits_{i=1}^n\Vert\overline{M_{i-1}M_{i}}\Vert$，$S=\lim\limits_{\de 如果是极坐标方程，则$S=\int_\alpha^\beta\sqrt{\rho^2+\rho'^2}\,\textrm{d}\theta$。 +\section{积分表} + +\begin{center} + \begin{tabular}{|c|c|c|c|} + \hline + 原函数 & 积分函数 & 原函数 & 积分函数\\ \hline + $\int k\,\textrm{d}x$ & $kx+C$ & $\int x^\mu\,\textrm{d}x$ & $\dfrac{x^{\mu+1}}{\mu+1}+C$ \\ \hline + $\int\dfrac{\textrm{d}x}{x}$ & $\ln\vert x\vert+C$ & $\int\dfrac{\textrm{d}x}{1+x^2}$ & $\arctan x+C$ \\ \hline + $\int\dfrac{\textrm{d}x}{\sqrt{1-x^2}}$ & $\arcsin x+C$ & $\int\cos x\,\textrm{d}x$ & $\sin x+C$ \\ \hline + $\int\sin x\,\textrm{d}x$ & $-\cos x+C$ & $\int\dfrac{\textrm{d}x}{\cos^2x}$ & $\tan x+C$ \\ \hline + $\int\dfrac{\textrm{d}x}{\sin^2x}$ & $-\cot x+C$ & $\int\sec x\tan x\,\textrm{d}x$ & $\sec x+C$ \\ \hline + $\int\csc x\cot x\,\textrm{d}x$ & $-\csc x+C$ & $\int e^x\,\textrm{d}x$ & $e^x+C$ \\ \hline + $\int a^x\,\textrm{d}x$ & $\dfrac{a^x}{\ln a}+C$ & & \\ + \hline + \end{tabular} +\end{center} + \end{document} diff --git a/advanced-math/knowledge/7-integral-calculus-of-multivariate-functions/integral-calculus-of-multivariate-functions.pdf b/advanced-math/knowledge/7-integral-calculus-of-multivariate-functions/integral-calculus-of-multivariate-functions.pdf new file mode 100644 index 0000000..3aa8501 Binary files /dev/null and b/advanced-math/knowledge/7-integral-calculus-of-multivariate-functions/integral-calculus-of-multivariate-functions.pdf differ