From ec472e3629b80f88dd450b591cbf13bea36cde59 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Didnelpsun <48906416+Didnelpsun@users.noreply.github.com> Date: Fri, 5 Feb 2021 19:35:44 +0800 Subject: [PATCH] =?UTF-8?q?=E7=BB=83=E4=B9=A0=E6=9B=B4=E6=96=B0?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- .../1-exercises/function-and-limit.tex | 203 ++++++++++-------- ...heorem-and-applications-of-derivatives.tex | 4 +- 2 files changed, 112 insertions(+), 95 deletions(-) diff --git a/advanced-math/1-exercises/function-and-limit.tex b/advanced-math/1-exercises/function-and-limit.tex index 94fd76c..7b78e77 100644 --- a/advanced-math/1-exercises/function-and-limit.tex +++ b/advanced-math/1-exercises/function-and-limit.tex @@ -25,6 +25,8 @@ % 圆圈序号 \usepackage{mathtools} % 有字的长箭头 +\usepackage[colorlinks,linkcolor=black,urlcolor=blue]{hyperref} +% 超链接 \author{Didnelpsun} \title{函数与极限练习题} \date{} @@ -37,9 +39,7 @@ \pagestyle{plain} \setcounter{page}{1} -\section{基本计算流程} - -\subsection{判断类型} +\section{极限类型} 七种：$\dfrac{0}{0},\dfrac{\infty}{\infty},0\cdot\infty,\infty-\infty,\infty^0,0^0,1^\infty$。 @@ -70,9 +70,9 @@ $\therefore \lim u^v=e^{\lim v\cdot\ln u}=e^{\lim v(u-1)}$ 综上，无论什么样的四则形式，都必须最后转换为商的形式。 -\subsection{常用化简运算} +\section{常用化简运算} -\subsubsection{对数法则} +\subsection{对数法则} \textbf{例题：}求$\lim_{x\to 0}\dfrac{(e^{x^2}-1)(\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x})}{[\ln(1-x)+\ln(1+x)]\sin\dfrac{x}{x+1}}$。 @@ -80,9 +80,31 @@ $\therefore \lim u^v=e^{\lim v\cdot\ln u}=e^{\lim v(u-1)}$ 这时可以尝试变形，如对数函数相加等于对数函数内部式子相乘：$\ln(1-x)+\ln(1+x)=\ln(1-x^2)\sim-x^2$。 -\subsubsection{指数法则} +\subsection{指数法则} -\subsubsection{幂指函数} +\subsection{三角函数关系式} + +\textbf{例题：}求极限$\lim_{x\to 0}\left(\dfrac{1}{\sin^2x}-\dfrac{\cos^2x}{x^2}\right)$。 + +$ +\begin{aligned} + & \lim_{x\to 0}\left(\dfrac{1}{\sin^2x}-\dfrac{\cos^2x}{x^2}\right) \\ + & = \lim_{x\to 0}\dfrac{x^2-\sin^2x\cos^2x}{\sin^2x\cdot x^2} (\sin x\sim x)\\ + & = \lim_{x\to 0}\dfrac{x^2-\sin^2x\cos^2x}{x^4} (\sin x\cos x\sim\dfrac{1}{2}\sin 2x)\\ + & = \lim_{x\to 0}\dfrac{x^2-\dfrac{1}{4}\sin^22x}{x^4} \\ + & = \lim_{x\to 0}\dfrac{2x-\dfrac{1}{4}\cdot 2\sin 2x\cdot\cos 2x\cdot 2}{4x^3} (\sin x\cos x\sim\dfrac{1}{2}\sin 2x)\\ + & = \lim_{x\to 0}\dfrac{2x-\dfrac{1}{2}\sin 4x}{4x^3} \\ + & = \lim_{x\to 0}\dfrac{2-\dfrac{1}{2}\cos 4x\cdot 4}{12x^2} \\ + & = \dfrac{1}{6}\lim_{x\to 0}\dfrac{1-\cos 4x}{x^2} (1-\cos x\sim \dfrac{1}{2}x^2)\\ + & = \dfrac{4}{3} +\end{aligned} +$ + +\subsection{提取常数因子} + +提取常数因子就是提取出能转换为常数的整个极限式子的因子。这个因子必然在自变量的趋向时会变为非0的常数，那么这个式子就可以作为常数提出。 + +\subsection{幂指函数} 当出现$f(x)^{g(x)}$的类似幂函数与指数函数类型的式子，需要使用$u^v=e^{v\ln u}$。 @@ -98,7 +120,7 @@ $ \end{aligned} $ -\subsubsection{有理化} +\subsection{有理化} 当遇到带有根号的式子可以使用等价无穷小，但是只针对形似$(1+x)a-1\sim ax$的式子，而针对$x^a\pm x^b$的式子则无法替换，必须使用有理化来将单个式子变为商的形式。 @@ -123,19 +145,18 @@ $ \end{aligned} $ -\subsubsection{提取公因子} +\subsection{提取公因子} -当作为商的极限式子上下都具有公因子时可以提取公因子，从而让未知数集中在分子或分母上。 +当作为商的极限式子上下都具有公因子时可以提取公因子然后相除，从而让未知数集中在分子或分母上。 \textcolor{orange}{注意：}提取公因子的时候应该注意开平方等情况下符号的问题。如果极限涉及倒正负两边则必须都讨论。 当趋向为负且式子中含有根号的时候最好提取负因子，从而让趋向变为正。 -\subsubsection{提取常数因子} -\subsubsection{换元法} +\subsection{换元法} -换元法本身没什么技巧性，主要是更方便计算。 +换元法本身没什么技巧性，主要是更方便计算。最重要的是获取到共有的最大因子进行替换。 \textbf{例题：}求极限$\lim_{x\to 1^-}\ln x\ln(1-x)$。 @@ -155,86 +176,6 @@ $ \end{aligned} $ -\subsubsection{三角函数关系式} - -$\infty-\infty$型\textbf{例题：}求极限$\lim_{x\to 0}\left(\dfrac{1}{\sin^2x}-\dfrac{\cos^2x}{x^2}\right)$。 - -$ -\begin{aligned} - & \lim_{x\to 0}\left(\dfrac{1}{\sin^2x}-\dfrac{\cos^2x}{x^2}\right) \\ - & = \lim_{x\to 0}\dfrac{x^2-\sin^2x\cos^2x}{\sin^2x\cdot x^2} (\sin x\sim x)\\ - & = \lim_{x\to 0}\dfrac{x^2-\sin^2x\cos^2x}{x^4} (\sin x\cos x\sim\dfrac{1}{2}\sin 2x)\\ - & = \lim_{x\to 0}\dfrac{x^2-\dfrac{1}{4}\sin^22x}{x^4} \\ - & = \lim_{x\to 0}\dfrac{2x-\dfrac{1}{4}\cdot 2\sin 2x\cdot\cos 2x\cdot 2}{4x^3} (\sin x\cos x\sim\dfrac{1}{2}\sin 2x)\\ - & = \lim_{x\to 0}\dfrac{2x-\dfrac{1}{2}\sin 4x}{4x^3} \\ - & = \lim_{x\to 0}\dfrac{2-\dfrac{1}{2}\cos 4x\cdot 4}{12x^2} \\ - & = \dfrac{1}{6}\lim_{x\to 0}\dfrac{1-\cos 4x}{x^2} (1-\cos x\sim \dfrac{1}{2}x^2)\\ - & = \dfrac{4}{3} -\end{aligned} -$ - -\subsection{基本计算方式} - -课本上极限计算可以使用的主要计算方式： - -\subsubsection{基础四则运算} - -\subsubsection{两个重要极限} - -\subsubsection{导数定义} - -\subsubsection{等价无穷小替换} - -当看到复杂的式子，且不论要求的极限值的趋向，而只要替换的式子是$\Delta\to 0$时的无穷小，就使用等价无穷小进行替换。 - -\textcolor{orange}{注意：}替换的必然是整个求极限的乘或除的因子，一般加减法与部分的因子不能进行等价无穷小替换。 - -对于无法直接得出变换式子的，可以对对应参数进行凑，以达到目标的可替换的等价无穷小。 - -\subsubsection{夹逼准则} - -夹逼准则可以用来证明不等式也可以用来计算极限。但是最重要的是找到能夹住目标式子的两个式子。 - -\textbf{例题：}求极限$\lim_{x\to 0}x\left[\dfrac{10}{x}\right]$，其中$[\cdot]$为取整符号。 - -取整函数公式：$x-1<[x]\leqslant x$，所以$\dfrac{10}{x}-1<\left[\dfrac{10}{x}\right]\leqslant\dfrac{10}{x}$。 - -当$x>0$时，$x\to 0^+$，两边都乘以10，$10-x0$时，$x\to 0^-$，同样也是夹逼准则得到极限为10。 - -$\therefore \lim_{x\to 0}x\left[\dfrac{10}{x}\right]=10$。 - -\subsubsection{拉格朗日中值定理} - -\subsubsection{洛必达法则} - -洛必达法则的本质是降低商形式的极限式子的幂次。 - -洛必达在处理一般的极限式子比较好用，但是一旦式子比较复杂最好不要使用洛必达法则，最好是对求导后有规律或幂次较低的式子进行上下求导。 - -对于幂次高的式子必然使用洛必达法则。 - -\subsubsection{泰勒公式} - -泰勒公式一般会使用趋向0的麦克劳林公式，且一般只作为极限计算的一个小部分，用来替代一个部分。 - -且一般只有麦克劳林公式表上的基本初等函数才会使用倒泰勒公式，复合函数最好不要使用。 - -\textbf{例题：}求极限$\lim_{x\to 0}\dfrac{\arcsin x-\arctan x}{\sin x-\tan x}$。 - -分析：该题目使用洛必达法则会比较麻烦且难以计算，所以先考虑是否能用泰勒展开： - -$x\to 0$，$\sin x=x-\dfrac{1}{6}x^3+o(x^3)$，$\tan x=x+\dfrac{1}{3}x^3+o(x^3)$，$\arcsin x=x+\dfrac{1}{6}x^3+o(x^3)$，$\arctan x=x-\dfrac{1}{3}x^3+o(x^3)$。 - -$\therefore \sin x-\tan x=-\dfrac{1}{2}x^3+o(x^3)$，$\arcsin x-\arctan x=\dfrac{1}{2}x^3+o(x^3)$ - -$\therefore \text{原式}=\dfrac{\dfrac{1}{x}x^3+o(x^3)}{-\dfrac{1}{2}x^3+o(x^3)}=-1$。 - -\section{未定式求极限值} - -未定式即需要自己定义的式子，可能存在极限也可能不存在，对于自变量的变化趋势分为六种，分别是对于$x_0$与$\infty$的各三种。 - \subsection{倒代换} \subsubsection{含有分式} @@ -283,8 +224,12 @@ $ \end{aligned} $ +\subsubsection{\texorpdfstring{$\infty-\infty$}\ 型} + \subsection{拆项} +当极限式子中出现不知道项数的$n$时，一般需要使用拆项，把项重新组合。一般的组合是根据等价无穷小。 + \textbf{例题：}求极限$\lim_{x\to 0}\left(\dfrac{e^x+e^{2x}+\cdots+e^{nx}}{n}\right)^{\frac{e}{x}}$。（$n\in N^+$） $ @@ -300,6 +245,78 @@ $ \end{aligned} $ +\section{基本计算方式} + +课本上极限计算可以使用的主要计算方式： + +\subsection{基础四则运算} + +\subsection{两个重要极限} + +\subsection{导数定义} + +\subsection{等价无穷小替换} + +当看到复杂的式子，且不论要求的极限值的趋向，而只要替换的式子是$\Delta\to 0$时的无穷小，就使用等价无穷小进行替换。 + +\textcolor{orange}{注意：}替换的必然是整个求极限的乘或除的因子，一般加减法与部分的因子不能进行等价无穷小替换。 + +对于无法直接得出变换式子的，可以对对应参数进行凑，以达到目标的可替换的等价无穷小。 + +\subsection{夹逼准则} + +夹逼准则可以用来证明不等式也可以用来计算极限。但是最重要的是找到能夹住目标式子的两个式子。 + +\textbf{例题：}求极限$\lim_{x\to 0}x\left[\dfrac{10}{x}\right]$，其中$[\cdot]$为取整符号。 + +取整函数公式：$x-1<[x]\leqslant x$，所以$\dfrac{10}{x}-1<\left[\dfrac{10}{x}\right]\leqslant\dfrac{10}{x}$。 + +当$x>0$时，$x\to 0^+$，两边都乘以10，$10-x0$时，$x\to 0^-$，同样也是夹逼准则得到极限为10。 + +$\therefore \lim_{x\to 0}x\left[\dfrac{10}{x}\right]=10$。 + +\subsection{拉格朗日中值定理} + +对于形如$f(a)-f(b)$的极限式子就可以使用拉格朗日中值定理，这个$f(x)$为任意的函数。 + +\textbf{例题：}求极限$\lim_{n\to\infty}n^2\left(\arctan\dfrac{2}{n}-\arctan\dfrac{2}{n+1}\right)$。 + +因为式子不算非常复杂，其实也可以通过洛必达法则来完成，但是求导会很复杂。而$\arctan x$可以认定为$f(x)$。 + +从而$\arctan\dfrac{2}{n}-\arctan\dfrac{2}{n+1}$为$f(\dfrac{2}{n})-f(\dfrac{2}{n+1})=f'(\xi)\left(\dfrac{2}{n}-\dfrac{2}{n+1}\right)$。 + +其中$\dfrac{2}{n+1}<\xi<\dfrac{2}{n}$，而当$n\to\infty$时，$f'(\xi)=\dfrac{1}{1+\xi^2}\to 1$。 + +$\therefore\arctan\dfrac{2}{n}-\arctan\dfrac{2}{n+1}\sim\dfrac{2}{n}-\dfrac{2}{n+1}=\dfrac{2}{n(n+1)}$。 + +$\therefore\lim_{n\to\infty}n^2\left(\arctan\dfrac{2}{n}-\arctan\dfrac{2}{n+1}\right)=\lim_{n\to\infty}n^2\cdot\dfrac{2}{n(n+1)}=2$。 + +\subsection{洛必达法则} + +洛必达法则的本质是降低商形式的极限式子的幂次。 + +洛必达在处理一般的极限式子比较好用，但是一旦式子比较复杂最好不要使用洛必达法则，最好是对求导后有规律或幂次较低的式子进行上下求导。 + +对于幂次高的式子必然使用洛必达法则。 + +\subsection{泰勒公式} + +泰勒公式一般会使用趋向0的麦克劳林公式，且一般只作为极限计算的一个小部分，用来替代一个部分。 + +且一般只有麦克劳林公式表上的基本初等函数才会使用倒泰勒公式，复合函数最好不要使用。 + +\textbf{例题：}求极限$\lim_{x\to 0}\dfrac{\arcsin x-\arctan x}{\sin x-\tan x}$。 + +分析：该题目使用洛必达法则会比较麻烦且难以计算，所以先考虑是否能用泰勒展开： + +$x\to 0$，$\sin x=x-\dfrac{1}{6}x^3+o(x^3)$，$\tan x=x+\dfrac{1}{3}x^3+o(x^3)$，$\arcsin x=x+\dfrac{1}{6}x^3+o(x^3)$，$\arctan x=x-\dfrac{1}{3}x^3+o(x^3)$。 + +$\therefore \sin x-\tan x=-\dfrac{1}{2}x^3+o(x^3)$，$\arcsin x-\arctan x=\dfrac{1}{2}x^3+o(x^3)$ + +$\therefore \text{原式}=\dfrac{\dfrac{1}{x}x^3+o(x^3)}{-\dfrac{1}{2}x^3+o(x^3)}=-1$。 + \section{极限转换} 一般解法为两种。 diff --git a/advanced-math/3-differential-mean-value-theorem-and-applications-of-derivatives/differential-mean-value-theorem-and-applications-of-derivatives.tex b/advanced-math/3-differential-mean-value-theorem-and-applications-of-derivatives/differential-mean-value-theorem-and-applications-of-derivatives.tex index d2f24cf..154a9ee 100644 --- a/advanced-math/3-differential-mean-value-theorem-and-applications-of-derivatives/differential-mean-value-theorem-and-applications-of-derivatives.tex +++ b/advanced-math/3-differential-mean-value-theorem-and-applications-of-derivatives/differential-mean-value-theorem-and-applications-of-derivatives.tex @@ -250,7 +250,7 @@ $\therefore \dfrac{y^{(6)}(0)}{6!}=-\dfrac{1}{6}\Rightarrow y^{(6)}(0)=-5!=-120$ 泰勒公式展开时应该展开到多少次幂？ -\subsubsection{\texorpdfstring{$\dfrac{A}{B}$}型，上下同阶} +\subsubsection{\texorpdfstring{$\dfrac{A}{B}$}\ 型，上下同阶} 当分母或分子式$x$的$k$次幂那么应该把分母或分子展开到对应的次数幂。 @@ -265,7 +265,7 @@ $ \end{aligned} $ -\subsubsection{\texorpdfstring{$A-B$}型，幂次最低} +\subsubsection{\texorpdfstring{$A-B$}\ 型，幂次最低} 将$A$，$B$分别展到他们系数不相等的$x$的最低次幂为止。