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@@ -22,6 +22,8 @@
 % 数学公式
 \usepackage[colorlinks,linkcolor=black,urlcolor=blue]{hyperref}
 % 超链接
+\usepackage{tikz}
+% 绘图
 \author{Didnelpsun}
 \title{多元函数积分学}
 \date{}
@@ -48,6 +50,45 @@
 
 \subsubsection{极坐标系}
 
+\textbf{例题：}对$\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}\textrm{d}\theta\int_0^{2\cos\theta}f(r\cos\theta,r\sin\theta)r\,\textrm{d}r$交换积分次序。
+
+解：对于极坐标的积分次序交换需要利用直角坐标系来画图了解，特别是对于$r$的上下限。
+
+对$\theta=\dfrac{\pi}{2}$变为$y$轴，$y=-\dfrac{\pi}{4}$变为$y=-x$。
+
+对$r=2\cos\theta$变为$xy$的表达式，$r^2=2\cos\theta$，即$x^2+y^2=2x$，$(x-1)^2+y^2=1$。
+
+\begin{minipage}{0.625\linewidth}
+    所以所得到的$\sigma$为一个圆割去一个扇形。
+    
+    交换积分次序后就需要以一个长度以极点为圆心做圆，切割$\sigma$。
+
+    由$\sigma$可知取长度$\sqrt{2}$可以切分。
+\end{minipage}
+\hfill
+\begin{minipage}{0.25\linewidth}
+    \begin{tikzpicture}[scale=1]
+        \draw[-latex](-0.25,0) -- (2.5,0) node[below]{$x$};
+        \draw[-latex](0,-1.5) -- (0,1.5) node[above]{$y$};
+        \filldraw[black] (0,0) node[below]{$O$};
+        \draw (1,-1) arc (-90:180:1);
+        \draw (0,0) -- (1,-1);
+        \draw (0,-1.4) arc (-90:90:1.4);
+    \end{tikzpicture}
+\end{minipage}
+
+所以$\sigma$可以分为左边的$\sigma_1$和右边的$\sigma_2$。
+
+$\sigma_1$的$r\in[0,\sqrt{2}]$，$\sigma_2$的$r\in[\sqrt{2},2]$。
+
+$\sigma_1$的$\theta$下限是$y=-x$这条边，即$\theta=-\dfrac{\pi}{4}$，上限是$r=2\cos\theta$这个圆，则$\theta=\arccos\dfrac{r}{2}$。
+
+$\sigma_2$的$\theta$界限都是是$r=2\cos\theta$这个圆，但是上限是上半部分，此时$y>0$，而下限是下半部分，此时$y<0$，即上限$r\cos$，所以下限为$\theta=-\arccos\dfrac{r}{2}$。
+
+综上交换积分次序结果为：
+
+$\int_0^{\sqrt{2}}r\,\textrm{d}r\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\arccos\frac{r}{2}}f(r\cos\theta,r\sin\theta)\textrm{d}\theta+\int_{\sqrt{2}}^2r\,\textrm{d}r\int_{-\arccos\frac{r}{2}}^{\arccos\frac{r}{2}}f(r\cos\theta,r\sin\theta)\textrm{d}\theta$。
+
 \subsection{极直互化}
 
 \textbf{例题：}将$I=\int_0^{\frac{\sqrt{2}}{2}R}e^{-y^2}\textrm{d}y\int_0^ye^{-x^2}\,\textrm{d}x+\int_{\frac{\sqrt{2}}{2}R}^Re^{-y^2}\,\textrm{d}y\int_0^{\sqrt{R^2-y^2}}e^{-x^2}\,\textrm{d}x$转换为极坐标系并计算结果。
@@ -60,4 +101,12 @@
 
 $\therefore I=\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}\textrm{d}\theta\int_0^Re^{-r^2}r\,\textrm{d}r$。
 
+\subsection{累次积分计算}
+
+二重积分若是累次积分形式出现，则计算可以使用上面两种方法简便运算。
+
+\subsubsection{交换积分次序}
+
+\textbf{例题：}
+
 \end{document}