\documentclass[UTF8, 12pt]{ctexart} % UTF8编码，ctexart现实中文 \usepackage{color} % 使用颜色 \usepackage{geometry} \setcounter{tocdepth}{4} \setcounter{secnumdepth}{4} % 设置四级目录与标题 \geometry{papersize={21cm,29.7cm}} % 默认大小为A4 \geometry{left=3.18cm,right=3.18cm,top=2.54cm,bottom=2.54cm} % 默认页边距为1英尺与1.25英尺 \usepackage{indentfirst} \setlength{\parindent}{2.45em} % 首行缩进2个中文字符 \usepackage{setspace} \renewcommand{\baselinestretch}{1.5} % 1.5倍行距 \usepackage{amssymb} % 因为所以 \usepackage{amsmath} % 数学公式 \usepackage[colorlinks,linkcolor=black,urlcolor=blue]{hyperref} % 超链接 \usepackage{rotating} % 用于旋转对象（旋转包） \author{Didnelpsun} \title{矩阵} \date{} \begin{document} \maketitle \pagestyle{empty} \thispagestyle{empty} \tableofcontents \thispagestyle{empty} \newpage \pagestyle{plain} \setcounter{page}{1} \section{矩阵幂} \subsection{对应成比例} 因为矩阵运算不满足交换率但是满足结合率，且一行矩阵乘一列矩阵的乘积为一个数，所以可以推出矩阵的幂的运算方法。 这个方法要求$r(A)=1$，即对应成比例。 令$A$为$n$阶方阵，将$A$拆为$A=(a_1,a_2,\cdots,a_n)^T(b_1,b_2,\cdots,b_n)=\alpha^T\beta$，所以$A^n=\alpha^T\beta\alpha^T\beta\cdots\alpha^T\beta$，利用结合率：$\alpha^T(\beta\alpha^T)(\beta\cdots\alpha^T)\beta$，中间一共$n-1$个$\beta\alpha^T$，$\beta\alpha^T$是一个数，即$A^n=(\beta\alpha^T)^{n-1}\alpha^T\beta=(\beta\alpha^T)^{n-1}A$。\medskip \textbf{例题：}$A=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ -2 & -4 & -6 \\ 3 & 6 & 9 \end{array}\right)$，求$A^n$。\medskip 解：$A=(1,-2,3)^T(1,2,3)$，所以$A^n=((1,2,3)(1,-2,3)^T)^n(1,-2,3)^T(1,2,3)$ $=6^{n-1}A$。 若矩阵$A$的行与列都成比例，则$A^n=[tr(A)]^{n-1}A$，$[tr(A)]=\sum a_{ii}$，即矩阵迹为对角线元素值之和。 \subsection{试算归纳} 对$A$进行试算，如$A^2$，若$A^k$是一个数量阵，那么计算$A^n$就只用找规律就可以了。 \textbf{例题：}$A=\left(\begin{array}{cccc} 1 & -1 & -1 & -1 \\ -1 & 1 & -1 & -1 \\ -1 & -1 & 1 & -1 \\ -1 & -1 & -1 & 1 \\ \end{array}\right)$，求$A^n$（$n\geqslant2$）。\medskip 解：通过计算得知$A^2=4E$，这是一个数量阵。\medskip $\therefore A^n=\left\{\begin{array}{lcl} 4^kE, & & n=2k \\ 4^kA, & & n=2k+1 \end{array}\right.$。 \subsection{行列结合} 将一个矩阵拆成$\alpha\beta^T$的形式，其中都是列向量，从而进行幂运算可以进行结合$\beta^T\alpha$为一个常数。 \textbf{例题：}设$\alpha=(1,3,-2)^T$，$\beta=(2,0,0)^T$，$A=\alpha\beta^T$，求$A^3$。 解：$\because\beta^T\alpha=[2,0,0][1,3,-2]^T=2$，$\therefore A^3=(\alpha\beta^T)(\alpha\beta^T)(\alpha\beta^T)=\alpha(\beta^T\alpha)$\\$(\beta^T\alpha)\beta^T=4\alpha\beta^T=4A$。 \subsection{拆分矩阵} 将$A^n$拆分为两个矩阵$A^n=(B+C)^n$，其中$BC$应该是可逆的，即$BC=CB$，所以一般有一个是$E$。\medskip \textbf{例题：}$A=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)$，求$A^n$。\medskip 解：$A=E+B=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)+\left(\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right)$。\medskip $\therefore A^n=(E+B)^n=C_n^0E^n+C_n^1E^{n-1}B+C_n^2E^{n-2}B^2+\cdots$。 又$B^2=\left(\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right)$。 $B^3=B^2B=\left(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right)=O$。 $\therefore B^4=B^5=\cdots=O$。 $\therefore A^n=(E+B)^n=C_n^0E^n+C_n^1E^{n-1}B+C_n^2E^{n-2}B^2$。\medskip $=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)+n\left(\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right)+\dfrac{n(n-1)}{2}\left(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right)$ \subsection{分块矩阵} $\left[\begin{array}{cc} A & O \\ O & B \end{array}\right]^n=\left[\begin{array}{cc} A^n & O \\ O & B^n \end{array}\right]$。 \section{初等变换} 若$A$和$B$等价，求一个可逆矩阵$P$，使得$PA=B$。只用右乘$P=BA^{-1}$。 需要根据逻辑上的计算还原出左乘的初等矩阵。\medskip \textbf{例题：}$A=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\ -1 & -1 & 1 \\ 0 & 2 & -4 \end{array}\right)$，$B=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right)$，当$A\sim B$时，求$P$使得$PA=B$。. 解：目标是将$A$变为$B$，所以第一步将第一列的第二行的-1变为0。即将第一行加到第二行。 左乘$E_{21}(1)A=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\ -1 & -1 & 1 \\ 0 & 2 & -4 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -4 \end{array}\right)=C$。\medskip 然后对第二列进行消，首先将第三行加上第二行的两倍。 $E_{32}(2)C=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -4 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right)=B$。\medskip $\therefore E_{32}(2)E_{21}(1)A=B$。 $P=E_{32}(2)E_{21}(1)=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 2 & 2 & 1 \end{array}\right)$。 \section{逆矩阵} \subsection{定义法} 找出一个矩阵$B$，使得$AB=E$，则$A$可逆，$A^{-1}=B$。 \textbf{例题：}$A$，$B$均是$n$阶方阵，且$AB=A+B$，证明$A-E$可逆，并求$(A-E)^{-1}$。 解：要证明$A-E$，就要从$AB=A+B$中尽量凑出。 $AB=A+B$变为$AB-B=A$，从而提取$(A-E)B=A$，$(A-E)BA^{-1}=E$。 但是$A^{-1}$是未知的，所以$A-E$的逆矩阵不能用$BA^{-1}$来表示。 $AB-A=B$，所以提出$A(B-E)=B$，即$A(B-E)=B-E+E$，$(A-E)(B-E)=E$，所以$A-E$的逆矩阵就是$B-E$。 \subsection{分解乘积} 将$A$分解为若干个可逆矩阵的乘积。若$A=BC$，$B$，$C$可逆，则$A$可逆，且$A^{-1}=C^{-1}B^{-1}$。同理$(ABC)^{-1}=C^{-1}B^{-1}A^{-1}$。 \textbf{例题：}设$A$，$B$为同阶可逆方阵，且$A^{-1}+B^{-1}$可逆，求$(A+B)^{-1}$。 解：已知$A^{-1}+B^{-1}$可以用来表示其他式子，需要求$A+B$的逆，则需要将$A+B$转为其逆。 $\because A+B=A(E+A^{-1}B)=A(B^{-1}+A^{-1})B$。 $\therefore (A+B)^{-1}=B^{-1}(B^{-1}+A^{-1})^{-1}A^{-1}$。 \subsection{初等变换} $\left[A\vdots E\right]\overset{r}{\sim}\left[E\vdots A^{-1}\right]$，$\left[\begin{array}{c} A \\ E \end{array}\right]\overset{c}{\sim}\left[\begin{array}{c} E \\ A^{-1} \end{array}\right]$。 \subsection{分块矩阵} 基于拉普拉斯展开式。 对于一些分块矩阵的逆，若$A$，$B$都可逆，则：$\left[\begin{array}{cc} A & O \\ O & B \end{array}\right]^{-1}=\left[\begin{array}{cc} A^{-1} & O \\ O & B^{-1} \end{array}\right]$，$\left[\begin{array}{cc} O & A \\ B & O \end{array}\right]^{-1}=\left[\begin{array}{cc} O & B^{-1} \\ A^{-1} & O \end{array}\right]$。\medskip \textbf{例题：}已知$A=\left(\begin{array}{cc} B & O \\ D & C \end{array}\right)$，其中$B$为$r\times r$可逆矩阵，$C$为$s\times s$可逆矩阵，求$A^{-1}$。 解：$\because\vert A\vert=\left|\begin{array}{cc} B & O \\ D & C \end{array}\right|=\vert B\vert\vert C\vert\neq0$，所以$A$可逆，设$A^{-1}=\left(\begin{array}{cc} X & Y \\ Z & W \end{array}\right)$。 $AA^{-1}=\left(\begin{array}{cc} E_r & O \\ O & E_s \end{array}\right)=E_{r+s}$。即$\left(\begin{array}{cc} BX & BY \\ DX+CZ & DY+CW \end{array}\right)=E_{r+s}$。 $\therefore\left\{\begin{array}{l} BX=E \\ BY=O \\ DX+CZ=O \\ DY+CW=E \end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{ll} B^{-1}BX=B^{-1}, & X=B^{-1}\\ B^{-1}BY=O, & Y=O \\ CZ=-DX=-DB^{-1}, & Z=-C^{-1}DB^{-1} \\ CW=E, & W=C^{-1} \end{array}\right.$。 $\therefore A^{-1}=\left(\begin{array}{cc} B^{-1} & O \\ -C^{-1}DB^{-1} & C^{-1} \end{array}\right)$。\medskip 当分块矩阵为三角矩阵时，对角线为原方块矩阵的逆矩阵，非0的一角为原矩阵，再左乘同行的逆矩阵，右乘同列的逆矩阵。\medskip $\therefore A=\left(\begin{array}{cc} B & D \\ O & C \end{array}\right)$，$A^{-1}=\left(\begin{array}{cc} B^{-1} & -B^{-1}DC^{-1} \\ O & C^{-1} \end{array}\right)$。\medskip 当分块矩阵为副对角矩阵时，对角线为对角方块矩阵的逆矩阵，非0的一角为原矩阵，再左乘同行的逆矩阵，右乘同列的逆矩阵。\medskip $\therefore A=\left(\begin{array}{cc} O & B \\ C & D \end{array}\right)$，$A^{-1}=\left(\begin{array}{cc} -C^{-1}DB^{-1} & C^{-1} \\ B^{-1} & O \end{array}\right)$。\medskip $\therefore A=\left(\begin{array}{cc} D & B \\ C & O \end{array}\right)$，$A^{-1}=\left(\begin{array}{cc} O & C^{-1} \\ B^{-1} & -C^{-1}DB^{-1} \end{array}\right)$。\medskip $A=\left(\begin{array}{ccc} A_1 \\ & \ddots \\ & & A_n \end{array}\right)$，$A^{-1}=\left(\begin{array}{ccc} A_1^{-1} \\ & \ddots \\ & & A_n^{-1} \end{array}\right)$。\medskip $A=\left(\begin{array}{ccc} & & A_1 \\ & \ddots \\ A_n \end{array}\right)$，$A^{-1}=\left(\begin{array}{ccc} & & A_n^{-1} \\ & \begin{turn}{80}$\ddots$\end{turn} \\ A_1^{-1} \end{array}\right)$。 \textbf{例题：}已知矩阵$A$的伴随矩阵$A^*=\left[\begin{array}{cccc} 4 & -2 & 0 & 0 \\ -3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{array}\right]$，求$A$。 解：由于$A^{-1}=\dfrac{A^*}{\vert A\vert}$，所以$A=\vert A\vert(A^*)^{-1}$。已知$A^*$可知$(A^*)^{-1}$，所以重点就是求$\vert A\vert$。 又$\vert A^*\vert=\vert A\vert^{n-1}$，$\vert A^*\vert=-8$，$\vert A\vert=-2$。 所以根据分块矩阵的逆运算，可以得到$(A^*)^{-1}=\left[\begin{array}{cccc} -\dfrac{1}{2} & -1 & 0 & 0 \\ -\dfrac{3}{2} & -2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -\dfrac{1}{4} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{array}\right]$。 所以$A=\left[\begin{array}{cccc} 1 & 2 & 0 & 0 \\ 3 & 4 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \dfrac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}\right]$。 \section{伴随矩阵} 伴随矩阵一般只会计算三阶以及以下。 伴随矩阵和逆矩阵往往共同参与运算，并有许多公式。 \begin{enumerate} \item $(A^*)^{-1}=\dfrac{A}{\vert A\vert}$。 \item $\vert A^*\vert=\vert A\vert^{n-1}$。 \item $(A^*)^*=\vert A\vert^{n-2}A$。 \end{enumerate} 证明关系式一，由于$A^*=\vert A\vert A^{-1}$，$(A^*)^{-1}=(\vert A\vert A^{-1})^{-1}=\dfrac{1}{\vert A\vert}(A^{-1})^{-1}=\dfrac{1}{\vert A\vert}A$。 证明关系式二，对$A^*=\vert A\vert A^{-1}$两边取行列式，得到$\vert A^*\vert=\vert\vert A\vert A^{-1}\vert=\vert A\vert^n\vert A^{-1}\vert=\dfrac{\vert A\vert^n}{\vert A\vert}=\vert A\vert^{n-1}=\dfrac{1}{\vert A^{-1}\vert^{n-1}}$。 证明关系式三，对$(A^*)^*=(A^*)^{-1}\vert A^*\vert=(\vert A\vert A^{-1})^{-1}\vert A\vert^{n-1}=\vert A\vert^{-1}A\vert A\vert^{n-1}=\vert A\vert^{n-2}A$。 \section{方阵行列式} \subsection{两项积商} \begin{enumerate} \item $\vert A^T\vert=\vert A\vert$。 \item $\vert A^{-1}\vert=\dfrac{1}{\vert A\vert}$。 \item $\vert\lambda A\vert=\lambda^n\vert A\vert$。 \item $\vert AB\vert=\vert A\vert\cdot\vert B\vert=\vert BA\vert$。 \item $\vert A^*\vert=\vert A\vert^{n-1}$。 \end{enumerate} 因为两项积商比较简单，所以基本上会变换$A$和$B$，让其变为转置或逆矩阵。 \subsection{两项和差} 两项和差需要将方阵拆分为向量组的形式，然后根据矩阵与行列式的运算法则进行运算。（注意其中的差别） \textbf{例题：}设四阶方阵$A=[\alpha,\gamma_2,\gamma_3,\gamma_4]$，$B=[\beta,\gamma_2,\gamma_3,\gamma_4]$，其中$\alpha$、$\beta$、$\gamma_i$均为四维向量，且$\vert A\vert=5$，$\vert B\vert=-\dfrac{1}{2}$，求$\vert A+2B\vert$。 解：$=\vert[\alpha,\gamma_2,\gamma_3,\gamma_4]+2[\beta,\gamma_2,\gamma_3,\gamma_4]\vert=\vert[\alpha+2\beta,3\gamma_2,3\gamma_3,3\gamma_4]\vert=27\vert[\alpha+2\beta,\gamma_2,\gamma_3,\gamma_4]\vert=27\vert[\alpha,\gamma_2,\gamma_3,\gamma_4]\vert+54\vert[\beta,\gamma_2,\gamma_3,\gamma_4]\vert=27(\vert A\vert+2\vert B\vert)=108$。 \section{矩阵方程} 含有未知矩阵的方程就是矩阵方程，需要将方程进行恒等变形，化为$AX=B$、$XA=B$或$AXB=C$的形式。 若$A$、$B$可逆，且可以分别得到$X=A^{-1}B$，$X=BA^{-1}$，$X=A^{-1}CB^{-1}$。 \subsection{直接化简} \textbf{例题：}设3阶方阵$A$，$B$满足$A^{-1}BA=6A+BA$，且$A=\left(\begin{array}{ccc} \dfrac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & \dfrac{1}{4} & 0 \\ 0 & 0 & \dfrac{1}{5} \end{array}\right)$，求$B$。 解：$A^{-1}BA=(6E+B)A$，$A^{-1}B=6E+B$，$A^{-1}B-B=6E$，$(A^{-1}-E)B=6E$。 $\therefore B=6(A^{-1}-E)^{-1}$。 \subsection{凑目标式} 有时候直接化简非常麻烦，因为所求的式子很复杂，甚至出现结果不能得到的情况。 \textbf{例题：}已知$AB=A+B$，其中$B=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{array}\right]$，求$(A-E)^{-1}$。 解：已知$AB=A+B$，求$A-E$，则向目标计算。 $AB-B=A$，即$(A-E)B=A$，$(A-E)^{-1}=BA^{-1}$。因为$A$未知，所以要消去$A$。 根据$AB=A+B$，得到$AB-A=B$，即$A(B-E)=B$，$A^{-1}=(B-E)B^{-1}$。 $(A-E)^{-1}=BA^{-1}=B(B-E)B^{-1}$，然后就不知道接下来怎么办了。 我们很希望$BB^{-1}$在一起消掉，但是无论如何操作都无法完成。但是也可以通过此得到解题的启示，按$(A-E)(B-E)$去凑。 回到$(A-E)B=A$，去凑$B-E$，先尝试两边减去$E$，得到$(A-E)B-E=A-E$，正好左移右项$(A-E)(B-E)=E$，解得$(A-E)^{-1}=B-E$。 即$=\left[\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right]$。 \section{矩阵秩} \subsection{未知参数} 已知一个矩阵的秩，求其矩阵中的参数。需要将矩阵简化，使得最下面的一行除了参数没有别的非零常数。 \textbf{例题：}已知$A=\left[\begin{array}{cccc} 1 & 1 & a & 4 \\ 1 & 0 & 2 & a \\ -1 & a & 1 & 0 \end{array}\right]$，$r(A)=3$，求$A$。 解：首先对$A$化简：$A=\left[\begin{array}{cccc} 1 & 1 & a & 4 \\ 0 & 1 & a-2 & 4-a \\ 0 & 0 & (a+1)(3-a) & a(a-3) \end{array}\right]$，若$r(A)=3$，则$(a+1)(3-a)$与$a(a-3)$不全为0，所以$a\neq3$。 \subsection{矩阵运算} 给出几个矩阵，进行矩阵运算求出对应的秩。 $r(kA)=r(A)$。 $r(AB)\leqslant\min\{r(A),r(B)\}$。当且仅当$AB$满秩等号成立。 $r(A+B)\leqslant r(A|B)\leqslant r(A)+r(B)$。 $r(A^*)=\left\{\begin{array}{l} n, r(A)=n \\ 1, r(A)=n-1 \\ 0, r(A)