\documentclass[UTF8, 12pt]{ctexart} % UTF8编码，ctexart现实中文 \usepackage{color} % 使用颜色 \definecolor{orange}{RGB}{255,127,0} \usepackage{geometry} \setcounter{tocdepth}{4} \setcounter{secnumdepth}{4} % 设置四级目录与标题 \geometry{papersize={21cm,29.7cm}} % 默认大小为A4 \geometry{left=3.18cm,right=3.18cm,top=2.54cm,bottom=2.54cm} % 默认页边距为1英尺与1.25英尺 \usepackage{indentfirst} \setlength{\parindent}{2.45em} % 首行缩进2个中文字符 \usepackage{setspace} \renewcommand{\baselinestretch}{1.5} % 1.5倍行距 \usepackage{amssymb} % 因为所以 \usepackage{amsmath} % 数学公式 \usepackage[colorlinks,linkcolor=black,urlcolor=blue]{hyperref} % 超链接 \usepackage{arydshln} % 增广矩阵长虚线 \setlength{\dashlinegap}{2pt} \setlength{\dashlinedash}{2pt} \author{Didnelpsun} \title{向量} \date{} \begin{document} \maketitle \pagestyle{empty} \thispagestyle{empty} \tableofcontents \thispagestyle{empty} \newpage \pagestyle{plain} \setcounter{page}{1} \section{线性相关性} 使用行列式不等于$0$的方法最方便，但是有时候行列不同就不能这么做了。 \subsection{初等运算} 多用于选择题，给出$n$维线性无关向量，判断向量组是否线性无关。如果向量组初等运算为0就代表线性相关。 \textbf{例题：}已知$n$维向量$\alpha_1$，$\alpha_2$，$\alpha_3$线性无关，则判断线性相关性：$\alpha_1+\alpha_2$，$\alpha_2-\alpha_3$，$\alpha_3+\alpha_1$。 解：$\alpha_1+\alpha_2$与$\alpha_2-\alpha_3$，共同出现了$\alpha_2$，首先要消掉$\alpha_2$，所以相减得到$\alpha_1+\alpha_3$，然后发现跟后面的$\alpha_3+\alpha_1$一样，所以直接一减得到0，表示线性相关。 \subsection{定义法} 基本是证明题，若证明$\alpha$、$\beta$线性无关，则令$k_1\alpha+k_2\beta=0$，判断$k_i$的值，如果只有零解则代表$k$矩阵为满秩，从而线性无关。 \subsubsection{代入重组} 若要求线性相关的式子由其他向量构成，则将式子代入表示目标式子。 \textbf{例题：}设$\alpha_1$，$\alpha_2$，$\beta_1$，$\beta_2$，$\beta_3$都是$n$维向量，$n\geqslant3$，且$\beta_1=\alpha_1+\alpha_2$，$\beta_2=\alpha_1-2\alpha_2$，$\beta_3=3\alpha+1+2\alpha_2$，证明向量组$\beta_1$，$\beta_2$，$\beta_3$线性相关。 证明：若存在$k_1,k_2,k_3$使得$k_1\beta_1+k_2\beta_2+k_3\beta_3=0$。 代入$\alpha$表示$\beta$的式子：$k_1(\alpha_1+\alpha_2)+k_2(\alpha_1-2\alpha_2)+k_3(3\alpha_1+2\alpha_2)=0$。 $\therefore(k_1+k_2+3k_3)\alpha_1+(k_1-2k_2+2k_3)\alpha_2=0$。 $\therefore k_1+k_2+3k_3=0$，且$k_1-2k_2+2k_3=0$即可。 而未知数的个数大于方程个数，所以有无穷多解，从而必然有非零解，从而$\beta_1$，$\beta_2$，$\beta_3$线性相关。 \subsubsection{同乘} 若要求线性相关的式子存在一定的乘积关系，则可以用同乘一步步消去系数。 \textbf{例题：}设$A$是$n$阶矩阵，若存在正整数$k$，使得线性方程组$A^kx=0$有解向量$\alpha$，且$A^{k-1}\alpha\neq0$，证明向量组$\alpha,A\alpha,\cdots,A^{k-1}\alpha$线性无关。 证明：假设$\alpha,A\alpha,\cdots,A^{k-1}\alpha$线性相关，则设存在系数$\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_k$使得$\lambda_1\alpha+\lambda_2A\alpha+\cdots+\lambda_kA^{k-1}\alpha=0$。 $\because A^kx=0$的解为$\alpha$，$\therefore A^k\alpha=0$，$\therefore\cdots=A^{k+2}\alpha=A^{k+1}\alpha=A^k\alpha=0$。 左乘$A^{k-1}$，得到$\lambda_1A^{k-1}\alpha+\lambda_2A^k\alpha+\cdots+\lambda_kA^{2k-2}\alpha=\lambda_1A^{k-1}\alpha=0$。 $\because A^{k-1}\alpha\neq0$，$\therefore\lambda_1=0$，消去$\lambda_1$：$\lambda_2A\alpha+\lambda_3A^2\alpha+\cdots+\lambda_kA^{k-1}\alpha=0$。 左乘$A^{k-2}$，得到$\lambda_2A^{k-1}\alpha+\lambda_3A^k\alpha+\cdots+\lambda_kA^{2k-3}\alpha=\lambda_2A^{k-1}\alpha=0$。 $\because A^{k-1}\alpha\neq0$，$\therefore\lambda_2=0$，消去$\lambda_2$：$\lambda_3A^2\alpha+\lambda_4A^3\alpha+\cdots+\lambda_kA^{k-1}\alpha=0$。 同理依次左乘$A^n$，所以$\lambda_1=\lambda_2=\cdots=\lambda_k=0$，所以$\alpha,A\alpha,\cdots,A^{k-1}\alpha$线性无关。 \subsection{行列式} 对向量的线性相关性可以从其向量组组成的行列式来计算，若行列式值为0则线性相关，若行列式值不为0则线性无关。 注意这里容易失根。要仔细找出所有为0的因式，不要随便降低阶数。 \textbf{例题：}设$a_1,a_2,\cdots,a_s$是$s$个互不相同的数，探究$s$个$n$维列向量$\alpha_i=[1,a_i,a_i^a,\cdots,a_i^{n-1}]^T$（$i=1,2,\cdots,s$）的线性相关性。 解：当$s>n$时，有$n$个方程$s$个未知数，所以必然存在自由变量，从而必然线性相关性。 当$s=n$时，$\vert\alpha_1 \alpha_2 \cdots \alpha_n\vert=\left|\begin{array}{cccc} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ a_1 & a_2 & \cdots & a_n \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_1^{n-1} & a_2^{n-1} & \cdots & a_n^{n-1} \end{array}\right|=\prod\limits_{1\leqslant j\leqslant i\leqslant n}(a_i-a_j)\neq0$。所以线性无关。 当$sn$时线性相关，$s\leqslant n$时线性无关。 \subsection{矩阵秩} 当向量的个数与维数不同时就不能使用行列式去分析，而只能用矩阵的秩来分析。当矩阵满秩则线性无关，当矩阵降秩则线性相关。 当谈到多个向量是否线性相关时可以将向量组组成矩阵，判断其秩。满秩就是线性无关，降秩就是线性相关。 当谈到一个向量是否能被其他向量线性表出时，要将这些向量全部组成一起，判断能否被其他向量表出的向量放在最右边，然后判断增广矩阵的秩。 \begin{enumerate} \item 若$r(\alpha_1,\alpha_2,\cdots)\neq r(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\beta)$，则$\beta$无法被$\alpha$线性表出。 \item 若$r(\alpha_1,\alpha_2,\cdots)=r(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\beta)