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% 因为所以与其他数学拓展
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% 数学公式
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% 圆圈序号
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% 绘图
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% 超链接
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\author{Didnelpsun}
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\title{函数与极限}
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\date{}
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\begin{document}
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\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
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% 表格高1.5倍
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\maketitle
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\pagestyle{empty}
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\thispagestyle{empty}
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\tableofcontents
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\thispagestyle{empty}
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\newpage
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\pagestyle{plain}
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\setcounter{page}{1}
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\section{映射与函数}
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\subsection{邻域}
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\subsubsection{一维}
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邻域\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}以点$x_0$为中心的任何开区间为点$x_0$的邻域，记为$U(x_0)$。
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$\delta$邻域\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}设$\delta$为一正数，则称开区间$(x_0-\delta,x_0+\delta)$为点$x_0$的$\delta$邻域，记作$U(x_0,\delta)$。$x_0$称为邻域的中心，$\delta$为邻域的半径。
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去心$\delta$邻域就是去除$x_0$的$\delta$邻域，记为$\mathring{U}(x_0,\delta)$，左$\delta$邻域就是左侧的去心$\delta$邻域，记为$U^+(x_0,\delta)$，右$\delta$邻域就是右侧的去心$\delta$邻域，记为$U^-(x_0,\delta)$。
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\subsubsection{二维}
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邻域\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}设点$P_0(x_0,y_0)$为$xOy$平面上的一点，$\delta$为某一个正数，与点$P_0(x_0,y_0)$的距离小于$\delta$的点$P(x,y)$的全体，称为点$P_0$的$\delta$邻域，记为$U(P_0,\delta)$。
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同理可以得到去心$\delta$邻域的定义。
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$\delta$邻域的几何意义：以$P_0(x_0,y_0)$为中心，以$\delta>0$为半径的圆内部所有的点。
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函数的邻域就是一个区间，所以比如函数在某点的某邻域内有定义，就是说明函数在这个点的附近有定义，这个附近的距离没有必要说明。
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\subsection{函数的概念}
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\subsubsection{函数}
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\begin{itemize}
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\item 函数即$y=f(x),x\in D$，$x$为自变量，$y$为因变量，$D$为定义域。
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\item 一个$x$对应一个$y$，一个$y$可能对应多个$x$。
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\end{itemize}
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\subsubsection{反函数}
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$y=f(x)$，定义域为$D$，值域为$R$，若对于每一个$y\in R$，必然存在$x\in D$使$y=f(x)$成立，则可以定义一个新函数$x=\psi(y)$，这个函数就是$y=f(x)$的\textbf{反函数}，一般记作$x=f^{-1}(y)$，其定义域为$R$，值域为$D$，对于反函数，原来的函数称为\textbf{直接函数}。
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\begin{enumerate}
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\item \textcolor{red}{严格单调}函数必然有反函数，即函数导数恒正或恒负必然有反函数。
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\item $x=f^{-1}(y)$与$y=f(x)$在同一坐标系中完全重合。
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\item $y=f^{-1}(x)$与$y=f(x)$关于$y=x$对称。
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\item $f[f^{-1}(x)]$（$f[\psi(x)]$）或$f^{-1}[f(x)]=x$（$\psi[f(x)]$）变为$x$，称为湮灭。
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\end{enumerate}
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可以验算一下性质四。
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已知$y=e^x$和$y=\ln x$是一对反函数，$y=\ln e^x=f^{-1}(f(x))=x$。
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反函数的求法：
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\begin{enumerate}
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\item 求值域。
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\item 求解。（用$y$表示$x$）
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\item 互换$xy$。
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\end{enumerate}
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\textbf{例题：}若函数$y=f(x)$的反函数为$y=f^{-1}(x)$，则求$y=f(2x-1)+1$的反函数的解析式。
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解：整理$y=f(2x-1)+1$，得到$f(2x-1)=y-1$，所以求反函数就是交换$xy$。
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这里将$2x-1$当作$x$，$y-1$当作$y$，所以得到反函数$2x-1=f^{-1}(y-1)$。
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所以得到$x=\dfrac{f^{-1}(y-1)+1}{2}$。
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所以交换表示方法其反函数就是$y=\dfrac{f^{-1}(x-1)+1}{2}$。
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\textbf{例题：}已知$f(x)=\dfrac{1}{1-x^2}$（$x<-1$），求$f^{-1}(-\dfrac{1}{3})$。
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解：由于是反函数，所以$x$对应$y$，$y$对应$x$。
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求$f^{-1}(-\dfrac{1}{3})$的值，对应反函数的$x=-\dfrac{1}{3}$，$y=f^{-1}(-\dfrac{1}{3})$的值。
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即求原函数的$y=-\dfrac{1}{3}$，$x=f(-\dfrac{1}{3})$的值。
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所以$\dfrac{1}{1-x^2}=-\dfrac{1}{3}$求$x$的值。
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即$1-x^2=-3$，$x=\pm2$，又$x<-1$，则$x=-2$。
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\textbf{例题：}已知$f(x)=\dfrac{1-2x}{1+x}$，函数$g(x)$的图像与函数$y=f^{-1}(x+1)$的图像关于$y=x$对称，求$g(5)$。
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解：由于函数$g(x)$的图像与函数$y=f^{-1}(x+1)$的图像关于$y=x$对称，所以$g(x)$与$f^{-1}(x+1)$也是反函数。
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所以要求$g(x)$，就要求$f^{-1}(x+1)$。
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$\because y=f^{-1}(x+1)$，$\therefore x+1=f(y)$，$x=f(y)-1$，即$y=f(x)-1$。
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$\therefore g(x)=y=f(x)-1$，$g(5)=f(5)-1=-\dfrac{5}{2}$。
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\textbf{例题：}已知$f(x)=\dfrac{1}{2}(x^2+\sqrt{x+1})$（$x\geqslant0$）的反函数为$f^{-1}(x)$，求不等式$f^{-1}(x+1)>3$的解集。
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解：当$x\geqslant0$时，$f(x)$明显是一个单调递增函数，所以根据反函数性质，其反函数在这个区间上增减性不变也是递增的。
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$f(0)=\dfrac{1}{2}$，即$f^{-1}(x)$在定义域$[\dfrac{1}{2},+\infty)$上也是递增函数。
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又$f^{-1}(x+1)>3$，对其求反函数：$f(f^{-1}(x+1))>f(3)$，即$x+1>f(3)$，且$x+1\geqslant\dfrac{1}{2}$，得出$x>\dfrac{9}{2}$。
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\textbf{例题：}求函数$y=f(x)=\ln(x+\sqrt{x^2+1})$的反函数$f^{-1}(x)$的表达式及其定义域。
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解：首先研究$f(x)$本身，因为$\ln(x)$的定义域必然要求大于0，而任意实数$x$都有下面不等式成立：
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$x+\sqrt{x^2+1}>x+\vert x\vert \geqslant 0$，所以$x\in R$。
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而研究其奇偶性：
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$f(-x)=\ln(-x+\sqrt{x^2+1})=\ln(\dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}+x})=-\ln(x+\sqrt{x^2+1})=-f(x)$
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所以该函数为奇函数。
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对其求单调性，即通过链式法则求导：
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$\dfrac{\rm{d}\textit{y}}{\rm{d}\textit{x}}=\dfrac{1}{x+\sqrt{x^2+1}}\cdot (1+\dfrac{2x}{2\sqrt{x^2+1}})=\dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}}>0$。\medskip
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所以该函数严格单调增。
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然后求$y$的反函数：
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$\because y=\ln(x+\sqrt{x^2+1})$，对于对数函数就要把它变为指数函数：
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$e^y=e^{\ln(x+\sqrt{x^2+1})}=x+\sqrt{x^2+1}$
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$
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\begin{aligned}
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\because -y & =-\ln(x+\sqrt{x^2+1}) \\
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& =\ln(\dfrac{1}{x+\sqrt{x^2+1}}) \\
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||
& =\ln(\sqrt{x^2+1}-x) \\
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e^{-y} & =\sqrt{x^2+1}-x
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\end{aligned}
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$
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$
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\begin{aligned}
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\therefore e^y-e^{-y} & =2x \\
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x & =\dfrac{e^y-e^{-y}}{2}
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\end{aligned}
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$
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解出了用$x$表示$y$的函数表达$x=f^{-1}(y)$，即反函数，则$f^{-1}(x)=\dfrac{e^x-e^{-x}}{2}$
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这种曲线为一种常见曲线：
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\begin{itemize}
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\item $\dfrac{e^x-e^{-x}}{2}$：双曲正弦。
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\item $\dfrac{e^x+e^{-x}}{2}$：双曲余弦。（为一种悬链线）
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\item $\ln(x+\sqrt{x^2+1})$：反双曲正弦。
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\item $\ln(x+\sqrt{x^2-1})$：反双曲余弦。
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\end{itemize}
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\subsubsection{复合函数}
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设$y=f(u)$的定义域为$D_1$，函数$u=g(x)$在$D$上有定义且$g(D)\in D$，则由$y=f[g(x)],x\in D$确定的函数称为由函数$u=g(x)$和函数$y=f(u)$构成的复合函数，定义域为$D$，$u$为中间变量。
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\textbf{例题：}设$f(x)=x^2$，$f[\psi(x)]=-x^2+2x+3$，且$\psi(x)\geqslant 0$，求$\psi(x)$以及定义域与值域。
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解：广义化：$\because f(x)=x^2$，$\therefore f[\psi(x)]=\psi^2(x)=-x^2+2x+3$
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又$\because\psi(x)\geqslant 0$， $\therefore\sqrt{\psi^2(x)}=\sqrt{-x^2+2x+3}=\psi(x)\geqslant 0$
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$\therefore x\in[-1,3]$
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$\therefore\dfrac{\rm{d}\psi(\textit{x})}{\rm{d}\textit{x}}=(-x^2+2x+3)'=-2x+2=0$
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$\therefore x=1$，驻点为1
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又$\because(-x^2+2x+3)''=-2<0$
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$\therefore$驻点为1时为最大值点，最大值为$\psi(1)=2$
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又$\because\psi(-1)=\psi(3)=0$，$\therefore$最小值为0
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$\therefore\psi(x)\in[0,2]$
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\textcolor{orange}{注意}：$\sqrt{-x^2+2x+3}$为什么最值与$-x^2+2x+3$一致？
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\textbf{例题：}设$
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f(x)=\left\{
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\begin{array}{lcl}
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\ln\sqrt{x}, & & x\geqslant 1 \\
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||
2x-1, & & x< 1
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\end{array}
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\right.
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$，求$f[f(x)]$
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首先广义化：$
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f[f(x)]=\left\{
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\begin{array}{lcl}
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||
\ln\sqrt{f(x)}, & & f(x)\geqslant 1 \\
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||
2f(x)-1, & & x<1
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||
\end{array}
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\right.
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$
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分段点为$1$，然后对$f(x)$画图：\medskip
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\begin{tikzpicture}[domain=-1:9.5]
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\draw[-latex](-1.5,0) -- (9.5,0) node[below]{$x$};
|
||
\draw[-latex](0,-1.5) -- (0, 1.5) node[above]{$y$};
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||
\draw[very thin, gray, densely dashed](-1.5,1.5)grid(9.5,-1.5);
|
||
\draw[black, thick](-0.25,-1.5) -- (1,1);
|
||
\draw[black, thick,domain=1:9.5] plot (\x, {ln(sqrt(\x))});
|
||
\draw[blue, densely dashed](-1.5,1) -- (9.5,1) node[below]{$x=1$};
|
||
\filldraw[black] (1,1) circle (2pt) node[above]{$(1,1)$};
|
||
\filldraw[black] (e^2,1) circle (2pt) node[above]{$(e^2,1)$};
|
||
\draw[densely dashed](1,1) -- (1, 0) node[below]{$1$};
|
||
\draw[densely dashed](e^2,1) -- (e^2,0) node[below]{$e^2$};
|
||
\filldraw[black] (0,0) node[below]{$O$};
|
||
\end{tikzpicture}
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||
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||
所以将定义域分为三段：$[-\infty ,1],[1,e^2],[e^2, +\infty]$，然后根据不同定义域对应的不同函数再代回$f[f(x)]$：
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$$
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f[f(x)]=\left\{
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||
\begin{array}{lcl}
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||
\ln\sqrt{\ln\sqrt{x}}, & & x\geqslant e^2 \\
|
||
\ln x-2, & & 1\geqslant x<e^2 \\
|
||
4x-3, & & x<1
|
||
\end{array}
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\right.
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$$
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\subsection{函数的特性}
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\subsubsection{有界性}
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\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}函数$f(x)$的定义域$D$，数集$I\in D$，如果存在某正数$M$，对于任一$x\in I$，有$\vert f(x)\vert\leqslant M$，则$f(x)$在$I$上有界，否则无界。
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||
函数指明定义域区间才能讨论函数是否有界。
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如果$f(x)\geqslant M$有下界，$f(x)\leqslant M$则有上界。
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\subsubsection{单调性}
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\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}$y=f(x)$，$x\in D$，如果$\forall x_1,x_2\in D$且$x_1<x_2$，有$f(x_1)<f(x_2)$，则函数在$D$上单调递增。反之则单调递减。
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\medskip
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$\begin{matrix}
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\dfrac{\rm{d}\textit{y}}{\rm{d}\textit{x}}>0 & \Rightarrow & (x_1-x_2)[f(x_1)-f(x_2)]>0 & \Rightarrow & f(x)\nearrow \\
|
||
\dfrac{\rm{d}\textit{y}}{\rm{d}\textit{x}}<0 & \Rightarrow & (x_1-x_2)[f(x_1)-f(x_2)]<0 & \Rightarrow & f(x)\searrow
|
||
\end{matrix}
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||
$
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||
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||
\subsubsection{奇偶性}
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\begin{enumerate}
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\item 奇函数：关于原点对称，$f(-x)=-f(x)$。
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||
\item 偶函数：关于$y$轴对称，$f(-x)=f(x)$。
|
||
\item 对于定义在$[-l,l]$上的任意函数$f(x)$，$F_1(x)=f(x)-f(-x)$必为奇函数，$F_2(x)=f(x)+f(-x)$必为偶函数。可以参考上面所说的双曲正弦与双曲余弦函数。
|
||
\item 若奇函数在0处有定义，那么$f(0)=0$。
|
||
\item 若偶函数在0处存在导数，那么$f'(0)=0$，即$x=0$，曲线必然水平，即导数为0。
|
||
\item 若函数$y=f(x)$的函数关于直线$x=T$对称的充分必要条件是$f(x)=f(2T-x)/f(x+T)=f(x-T)$。（令$T-x=t$进行换元计算得到）
|
||
\end{enumerate}
|
||
|
||
无论$f(x)$是什么函数，$F(x)=f(x)+f(-x)$都是偶函数，$G(x)=x(f(x)+f(-x))$都是奇函数。
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||
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||
\subsubsection{周期性}
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||
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||
$f(x+T)=f(x)$，其中$T$为周期。 \medskip
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||
\subsubsection{重要结论}
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\begin{enumerate}
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||
\item 若$f(x)$为可导的偶函数，则$f'(x)$为奇函数。
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||
\item 若$f(x)$为可导的奇函数，则$f'(x)$为偶函数。
|
||
\item 若$f(x)$为周期函数，则$f'(x)$也为周期函数且周期不变。
|
||
\item 连续的奇函数的一切原函数都是偶函数。
|
||
\item 连续的偶函数的原函数中仅有一个原函数是奇函数。
|
||
\item 若连续函数$f(x)$以$T$为周期且$\int_{0}^{T}f(x)\rm{d}\textit{x}=0$，则$f(x)$的一切原函数也以$T$为周期。
|
||
\item 若$f(x)$在有限区间$(a,b)$中可导且$f'(x)$有界，则$f(x)$在$(a,b)$有界。（某一函数在固定区间内变化率是有界的，则变化范围是有界的）
|
||
\end{enumerate}
|
||
|
||
\textcolor{orange}{注意}：0和1处的函数定义应该注意。
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||
如当a为0时：$f(b)-f(a)=f'(\xi )(b-a)=f(b)=bf'(\xi)$
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||
|
||
如$f(x)>xf(1)$变形为$\dfrac{f(x)}{x}>f(1)$，辅助函数$F(x)=\dfrac{f(x)}{x}$
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||
所以加减法警惕0，乘除法警惕1。
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||
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||
\section{数列的极限}
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极限就是一个无限逼近某个值的过程。如$\dfrac{n}{n+1}$这个分式在$n$无限增大的时候会无限逼近1，这个1叫做极限值，所以写成$\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{n}{n+1}=1$。
|
||
|
||
所以从另一个方面更精确的指出一个数$N>0$，使得数列下标大于$N$的项与极限值之间的距离始终保持在$(0,\xi)$之间，即$\dfrac{1}{n+1}<\xi$，即$n>\dfrac{1}{\xi}-1$，所以任意正数都能得到从$N>\dfrac{1}{\xi}-1$项开始之后都有$\left\vert\dfrac{n}{n+1}-1\right\vert<\xi$。
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\subsection{定义}
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通过定义可以证明极限。
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\subsubsection{数列极限定义}
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\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}设$\{x_n\}$为一数列，若存在常数$a$，对于不论任意小的$\xi>0$，总存在正整数$N$，使$n>N$时，$\vert x_n-a\vert<\xi$恒成立，则常数$a$为数列$\{x_n\}$的极限，或$\{x_n\}$收敛于$a$，记为：$\lim\limits_{x\to\infty}x_n=a$或$x_n\to a(n\to\infty)$。
|
||
|
||
常用语言（$\xi-N$语言）：$\lim\limits_{x\to\infty}x_n=a\Leftrightarrow\forall\xi>0,\exists N\in N_+$，当$n>N$时，恒有$\vert x_n-a\vert<\xi$。
|
||
|
||
如果不存在该数$a$，则称数列$x_n$发散。
|
||
|
||
即无论给出多么小的$\xi$，总可以找到一项从该项之后函数值与极限值之间的差小于$\xi$，即更接近这个极限值而不是其他任何值，所以该数列趋向于极限值。
|
||
|
||
\subsubsection{极限证明}
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||
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||
令$x_n$为通项，$a$为极限值，$\xi$为任意正数。
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||
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||
\begin{enumerate}
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||
\item 写出$\vert x_n-a|<\xi$。
|
||
\item 反解出项数$n<g(\xi)$。
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||
\item 取$N=[g(\xi)]+1$，所以令$n>N$就可以证明。
|
||
\end{enumerate}
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||
|
||
\textbf{例题：}用定义证明$\lim\limits_{x\to\infty}\left[1+\dfrac{(-1)^n}{n}\right]=1$
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||
证明：\ding{172}计算距离：$\left\vert 1+\dfrac{(-1)^n}{n}-1\right\vert=\left\vert\dfrac{(-1)^n}{n}\right\vert<\xi$。
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\ding{173}解得到：$\dfrac{1}{n}<\xi$，反解为$n>\dfrac{1}{\xi}$。
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||
\ding{174}取整：$N=\left[\dfrac{1}{\xi}\right]+1$。
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$\therefore\forall\xi>0$，当$n>N$时，就有$n>\dfrac{1}{\xi}$，使得$\left\vert 1+\dfrac{(-1)^n}{n}-1\right\vert=\left\vert\dfrac{(-1)^n}{n}\right\vert<\xi$。
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$\therefore$证明完毕。
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\textbf{例题：}用定义证明$\lim\limits_{n\to\infty}q^n=0$（$q$为常数且$\vert q\vert<1$）。
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证明：\ding{172}$\vert q^n-0\vert<\xi$。
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\ding{173}$\vert q^n\vert<\xi$，取对数进行反解$n\ln\vert q\vert<\ln\xi$，又因为$\vert q\vert<1$，所以$\ln\vert q\vert<0$，所以得到$n>\dfrac{\ln\xi}{\ln\vert q\vert}$。（若$\xi>1$则$n$就是负数，这样条件必然成立）
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\ding{174}取$N=\left[\dfrac{\ln\xi}{\ln\vert q\vert}\right]+1$。
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$\therefore$当$n>N$时，必然$n>\dfrac{\ln\xi}{\ln\vert q\vert}$，有$\vert q^n-0\vert<\xi$。
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故$\lim\limits_{n\to\infty}q^n=0$。
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\subsubsection{数列绝对值}
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\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}若$\lim\limits_{x\to\infty}a_n=A$，则$\lim\limits_{x\to\infty}\vert a_n\vert=\vert A\vert$。
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证明：$\because\lim\limits_{n\to\infty}a_n=A\Leftrightarrow\forall\xi>0,\exists N>0,\text{当}n>N$，恒有$\vert a_n-A\vert<\xi$。
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又由重要不等式$\vert\vert a\vert-\vert b\vert\vert\leqslant\vert a-b\vert$，所以$\vert\vert a_n\vert-\vert A\vert\vert\leqslant\xi$。
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所以恒成立，证明完毕。
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从这个题推出：$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=0\Leftrightarrow\lim\limits_{n\to\infty}\vert a_n\vert=0$。所以如果我们以后需要证明某一数列极限为0，可以证明数列绝对值极限0，而数列绝对值绝对时大于等于0的，所以由夹逼准则，其中小的一头已经固定为0了，所以只用找另一个偏大的数列夹逼所证明数列就可以了。
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\subsubsection{子数列}
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\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}从数列${a_n}:a_1,a_2,\cdots,a_n,\cdots$中选取无穷多项并按原来顺序组成的新数列就称为原数列的子列，记为$\{a_{n_k}\}:a_{n_1},a_{n_2},\cdots,a_{n_k},\cdots$。
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若$n_k$分别取奇数和偶数，则得到奇数项数列与偶数项数列。
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\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}若数列$\{a_n\}$收敛，则其任何子列$\{a_{n_k}\}$也收敛，且极限值相同。
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所以对于其变式我们用到更多：
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\begin{enumerate}
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\item 若一个数列$\{a_n\}$能找到一个发散的子列，那该数列发散。
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\item 若一个数列$\{a_n\}$能找到两个极限值不同的收敛子列，那么这个数列发散。
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\item 若一个数列$\{a_n\}$，则其奇数子列与偶数子列都收敛于同一个值。
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\end{enumerate}
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例如对于数列$\{(-1)^n\}$，能找到其奇数子列收敛于-1，偶数子列收敛于1，所以收敛值不同，原数列发散。
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\subsection{性质}
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\subsubsection{唯一性}
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\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}若数列$\{x_n\}$收敛于$a$，则$a$是唯一的。
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证明：设$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=A$且$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=B$且$A\neq B$。
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不如设$A>B$。任意取$\xi=\dfrac{A-B}{2}>0$。
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$\because\lim\limits_{n\to\infty}a_n=A$
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$\therefore\exists N_1>0$，当$n>N_1$时，$\vert a_n-A\vert<\dfrac{A-B}{2}$。
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得到$\dfrac{A+B}{2}<a_n<\dfrac{3A-B}{2}$并设为式子一。
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又$\because\lim\limits_{n\to\infty}a_n=B$
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$\therefore\exists N_2>0$，当$n>N_2$时，$\vert a_n-B\vert<\dfrac{A-B}{2}$。
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得到$\dfrac{3A-B}{2}<a_n<\dfrac{A+B}{2}$并设为式子二。
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取$N=\max\{N_1,N_2\}$，当$n>N$时，式子一二同时成立，而$A\neq B$，则这两个式子不可能同时成立，矛盾。
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同理$A<B$时也矛盾，所以$A\neq B$矛盾。
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\subsubsection{有界性}
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\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}若数列$\{x_n\}$极限存在，则数列有界。
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即$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=A$，则存在$M>0$，使得$\vert a_n\vert\leqslant M$。
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证明：由极限定义，取$\xi=1$。
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$\because\lim\limits_{n\to\infty}a_n=A$
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$\therefore\exists N>0$，当$n>N$时，$\vert a_n-A\vert<1$。
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$\because\text{重要不等式}\,\vert\vert a_n\vert-\vert A\vert\vert\leqslant\vert a_n-A\vert$
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$\therefore n>N$时，$\vert\vert a_n\vert-\vert A\vert\vert<1\Rightarrow\vert a_n\vert<1+\vert A\vert$
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取$M=\max\{\vert a_1\vert,\vert a_2\vert,\cdots,\vert a_N\vert,1+\vert A\vert\}$
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$\forall n$，有$\vert a_n\vert\leqslant M$
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所以数列极限存在则数列有界。
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但是数列有界不一定极限存在，如$1+(-1)^n$。
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\subsubsection{保号性}
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较重要。也称为脱帽法。
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\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}若数列$\{x_n\}$存在极限$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=a\neq 0$，则存在正整数$N$，当$n>N$时$a_n$都与$a$同号。
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简单来说，就是极限大于0，后面一部分数列大于0，极限小于0，后面一部分数列小于0。
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推论，戴帽法：若数列$\{a_n\}$从某项开始$a_n\geqslant b$，且$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=a$，则$a\geqslant b$。这里一定要带等号。
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证明：设$A>0$，取$\xi=\dfrac{A}{2}>0$。
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$\because\lim\limits_{n\to\infty}a_n=A$
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$\therefore\exists N>0$，当$n>N$时，$\vert a_n-A\vert<\dfrac{A}{2}\Rightarrow a_n>\dfrac{A}{2}>0$
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同理得证极限值小于0的情况。
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\subsection{海涅定理（归结原则）}
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\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}设$f(x)$在$\mathring{U}(x_0,\delta)$内有定义，则$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A$存在$\Leftrightarrow$对任何$\mathring{U}(x_0,\delta)$内以$x_0$为极限的数列$\{x_n\}(x_n\neq x_0)$，极限$\lim\limits_{n\to\infty}f(x_n)=A$存在。
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海涅定理用来连接数列极限与函数极限。在极限存在下他们可以相互转换。
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\textbf{例题：}求$\lim\limits_{n\to\infty}\left(n\tan\dfrac{1}{n}\right)^{n^2}$（$n\in N^+$）。
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解：首先将式子由数列极限变为函数极限，并取$x=\dfrac{1}{n}$：$\lim\limits_{x\to 0}\left(\dfrac{\tan x}{x}\right)^{\frac{1}{x^2}}$。
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又$u^v=e^{v\ln u}$，对式子取指数$\therefore =e^{\lim\limits_{x\to 0}\frac{1}{x^2}\ln\frac{\tan x}{x}}$
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又在$x\to 0$下使用等价无穷小$\ln (1+x)\sim x$，$\therefore \ln(1+g(x))\sim g(x),g(x)\to 0$。
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而在$x\to 0$时，根据等价无穷小$\tan x\sim x$，所以$\dfrac{\tan x}{x}$趋于1，不满足趋于0的条件。
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所以正好将$\ln\dfrac{\tan x}{x}$变形$\ln\left(1+\dfrac{\tan x}{x}-1\right)$。
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$\therefore \ln\left(1+\dfrac{\tan x}{x}-1\right)\sim\dfrac{\tan x}{x}-1$，$\dfrac{\tan x}{x}-1\to 0$。
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又根据泰勒展开$\tan x-x=x+\dfrac{x^3}{3}+o(x^3)-x-0\cdot x^3=\dfrac{x^3}{3}$。
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$\therefore e^{\lim\limits_{x\to 0}\frac{1}{x^2}\ln\frac{\tan x}{x}}=e^{\lim\limits_{x\to 0}\frac{1}{x^2}\frac{\tan x-x}{x}}=e^{\lim\limits_{x\to 0}\frac{1}{x^2}\cdot\frac{x^2}{3}}=e^{\frac{1}{3}}$
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根据海涅定理：取$x=\dfrac{1}{n},n\to\infty$，$\lim\limits_{n\to\infty}\left(n\tan\dfrac{1}{n}\right)^{n^2}=e^{\frac{1}{3}}$。
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\section{函数的极限}
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\subsection{函数极限定义}
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\subsubsection{极限定义}
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\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}设函数$f(x)$在点$x_0$的某一个去心邻域有定义，若存在常数$A$，对于任意给定的$\xi>0$，总存在正数$\delta$，使得当$0<\vert x-x_0\vert<\delta$式，对应的函数值$f(x)$都满足不等式$\vert f(x)-A\vert <\xi$，则$A$就是函数$f(x)$当$x\to x_0$时的极限，记作$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A$或$f(x)\rightarrow A(x\rightarrow x_0)$。
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写成$\xi-\delta$语言：$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A\Leftrightarrow\forall\xi>0,\exists\delta>0,\text{当}0<\vert x-x_0\vert<\delta$时，有$\vert f(x)-A\vert<\xi$。
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而对于趋向无穷时，写成$\xi-X$语言：$\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=A\Leftrightarrow\forall\xi>0,\exists X>0,\text{当}\vert x\vert>X$时，有$\vert f(x)-A\vert<\xi$。
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\textcolor{orange}{注意：}这里的趋向分为六种：$x\to x_0$、$x\to x_0^+$、$x\to x_0^-$、$x\to\infty$、$x\to\infty^+$、$x\to\infty^-$。
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\subsubsection{单侧极限}
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当$x\to x_0^-$存在的极限称为左极限，当$x\to x_0^+$存在的极限称为右极限。
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\subsubsection{函数极限存在条件}
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函数存在的充要条件是：
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\begin{enumerate}
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\item $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)\Leftrightarrow\lim\limits_{x\to x_0^-}f(x)=\lim\limits_{x\to x_0^+}f(x)=A$。
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\item 函数脱帽法：$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)\Leftrightarrow f(x)=A+\alpha(x),\lim\limits_{x\to x_0}\alpha(x)=0$，后面的$\alpha(x)$就是函数与极限值的误差。
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\end{enumerate}
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\subsubsection{极限情况总结}
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\begin{center}
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\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
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\hline
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过程 & $n\to\infty$ & $x\to\infty$ & $x\to+\infty$ & $x\to-\infty$ \\ \hline
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时刻 & \multicolumn{4}{c|}{$N$} \\ \hline
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从此时刻以后 & $n>N$ & $\vert x\vert>N$ & $x>N$ & $x<-N$ \\ \hline
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$f(x)$ & \multicolumn{4}{c|}{$\vert f(x)-A\vert<\xi$} \\
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\hline
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\end{tabular}
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\end{center}
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\begin{center}
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\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
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\hline
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过程 & $x\to x_0$ & $x\to x_0^+$ & $x\to x_0^-$ \\ \hline
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时刻 & \multicolumn{3}{c|}{$\delta$} \\ \hline
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从此时刻以后 & $0<\vert x-x_0\vert<\delta$ & $0<x-x_0<\delta$ & $-\delta<x-x_0<0$\\ \hline
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$f(x)$ & \multicolumn{3}{c|}{$\vert f(x)-A\vert<\xi$} \\
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\hline
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\end{tabular}
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\end{center}
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\subsection{性质}
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与数列极限性质类似，且任何$x$的趋向三个性质都是成立的。
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\subsubsection{唯一性}
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\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}若极限存在，则极限唯一。
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\subsubsection{局部有界性}
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\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}若极限存在且为$A$，则存在正常数$M$和$\delta$，使得当$0<\vert x-x_0\vert<\delta$时，有$\vert f(x)\vert\leqslant M$。
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\begin{enumerate}
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\item 极限存在是函数局部有界性的充分不必要条件。
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\item $f(x)$在$[a,b]$上连续，则$f(x)$在$[a,b]$上有界。
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\item 有限个有界函数与有界函数的和、差、积仍是有界函数。
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\item 若$f'(x)$在有限区间$(a,b)$内有界，则$f(x)$在该区间内有界。
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\end{enumerate}
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对于结论二，可以利用极限存在必然连续的概念，对$f(x)$在区间两端求极限从而证明有界。这里两端的极限不要求是一样的，因为两端不一样的极限表明该趋向点的极限值不存在，但是仍然有界。
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证明结论四：
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利用中值定理：$f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)$。
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令$x\in(a,b),x_0\in(a,b)$。其中这两个值不知道大小，只知道范围。
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代入中值定理：$f(x)-f(x_0)=f'(\xi)(x-x_0)$
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$
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\begin{aligned}
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\vert f(x)\vert & =\vert f(x_0)+f'(\xi)(x-x_0)\vert \\
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& \leqslant\vert f(x_0)\vert+\vert f'(\xi)\vert\vert x-x_0\vert\text{ （重要绝对值不等式）} \\
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& \leqslant\vert f(x_0)\vert+K\cdot(b-a) \\
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& \leqslant M
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\end{aligned}
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$
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\textbf{例题：}函数$f(x)=\dfrac{\vert x\vert\sin(x-2)}{x(x-1)(x-2)^2}$在哪个区间内有界()。\medskip
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$A.(-1,0)$\qquad$B.(0,1)$\qquad$C.(1,2)$\qquad$D.(2,3)$\medskip
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解：看选项，0，1，2出现次数较多，所以从$B$选项开始检查是否有界：\medskip
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$\lim\limits_{x\to 0^-}\dfrac{\vert x\vert\sin(x-2)}{x(x-1)(x-2)^2}=(-1)\cdot\dfrac{-\sin 2}{(-1)\cdot 4}=-\dfrac{\sin 2}{4}$\medskip
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所以趋于$0^-$的一段有界。\medskip
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同理$\lim\limits_{x\to 0^+}\dfrac{\vert x\vert\sin(x-2)}{x(x-1)(x-2)^2}=\dfrac{\sin 2}{4}$。\medskip
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所以趋于$0^+$的一段有界。\medskip
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$\lim\limits_{x\to 1^-}\dfrac{\vert x\vert\sin(x-2)}{x(x-1)(x-2)^2}$中$(x-1)$为0且在分母位置，所以极限为$\infty$，该区间无界。\medskip
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所以$(0,1)$无界，$B$排除。\medskip
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同理$\lim\limits_{x\to 1^+}\dfrac{\vert x\vert\sin(x-2)}{x(x-1)(x-2)^2}$也无穷大而无界。\medskip
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所以$(1,2)$无界，$C$排除。\medskip
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||
$\lim\limits_{x\to 2^+}\dfrac{\vert x\vert\sin(x-2)}{x(x-1)(x-2)^2}$中不管前面的项，而看到后面的$\dfrac{\sin(x-2)}{(x-2)^2}$。\medskip
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||
因为$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}=1$，所以对于$\lim\limits_{x\to 2}\dfrac{\sin(x-2)}{(x-2)}=1$，所以下面还有一个$x-2$，所以还是为$\infty$。
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所以$(2,3)$无界，$D$排除。\medskip
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验证-1处是否有界：\medskip
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$\lim\limits_{x\to -1}\dfrac{\vert x\vert\sin(x-2)}{x(x-1)(x-2)^2}=-\dfrac{\sin 3}{18}$。\medskip
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所以该处有界，所以选$A$。
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\subsubsection{局部保号性}
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\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}若极限存在，则存在常数$\delta>0$，使得当$0<\vert x-x_0\vert<\delta$时，$f(x)$与$A$同号。
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简单来说，函数值在$x\to x_0$时函数值与极限值同号。
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证明：首先根据极限存在定义：$\forall\xi>0,\exists\delta>0,0<\vert x-x_0\vert<\delta$时，恒有$\vert f(x)-A\vert<\xi$。
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$\Rightarrow -\xi<f(x)-A<\xi$。
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$\Rightarrow A-\xi<f(x)<A+\xi$。
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任意取$\xi=\dfrac{A}{2}>0\Rightarrow f(x)>A-\dfrac{A}{2}=\dfrac{A}{2}>0$。
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证明完毕。
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关于$\xi$的取值问题，为什么不能取到令结果为负的值，因为请注意这个取值得到的区间并不是$f(x)$的范围，而是对$f(x)$所在区间的陈述，其是无尽逼近$A$的，所以取多大的区间都无所谓。
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推论：若函数值在$x\to x_0$时都非负或非正，极限值为$A$，那么$A$与此时函数值同号。不能去除等号。
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\medskip
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关于三个性质要注意自变量取值的双向性，所以需要留意下面几个函数：
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\begin{enumerate}
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\item $\lim\limits_{x\to\infty}e^x$不存在，因为$\lim\limits_{x\to +\infty}e^x=+\infty$，$\lim\limits_{x\to -\infty}e^x=0$。
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\item $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{\vert x\vert}$不存在，因为$\lim\limits_{x\to 0^+}\dfrac{\sin x}{\vert x\vert}=1$，$\lim\limits_{x\to 0^-}\dfrac{\sin x}{\vert x\vert}=-1$。
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\item $\lim\limits_{x\to\infty}\arctan x$不存在，因为$\lim\limits_{x\to +\infty}\arctan x=\dfrac{\pi}{2}$，$\lim\limits_{x\to -\infty}\arctan x=-\dfrac{\pi}{2}$。
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\item $\lim\limits_{x\to 0}[x]$不存在，因为$\lim\limits_{x\to 0^+}[x]=0$，$\lim\limits_{x\to 0^-}[x]=-1$
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\end{enumerate}
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\section{极限运算法则}
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\begin{enumerate}
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\item 有限个无穷小的和是无穷小。
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\item 有界函数与无穷小的乘积是无穷小。
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\item 有限个无穷小的乘积是无穷小。
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\end{enumerate}
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\subsection{数列极限}
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若$\lim\limits_{n\to\infty}x_n=a$，$\lim\limits_{n\to\infty}y_n=b$则：
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\begin{enumerate}
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\item $\lim\limits_{n\to\infty}x_n\pm y_n=a\pm b$。
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\item $\lim\limits_{n\to\infty}(x_ny_n)=\lim\limits_{n\to\infty}x_n\lim\limits_{n\to\infty}y_n=ab$。
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\item $\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{x_n}{y_n}=\dfrac{\lim\limits_{n\to\infty}x_n}{\lim\limits_{n\to\infty}y_n}=\dfrac{a}{b}(b\neq 0)$。
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\end{enumerate}
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\textbf{例题：}若$\lim\limits_{n\to\infty}(a_n+b_n)=1$且$\lim\limits_{n\to\infty}(a_n-b_n)=3$，计算$\lim\limits_{n\to\infty}a_n$与$\lim\limits_{n\to\infty}b_n$。
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解：首先是不能通过运算法则第一条将两个条件直接加减的，因为不能保证两个极限是否都存在。
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所以必须先令$u_n=a_n+b_n$，$v_n=a_n-b_n$，所以$\lim\limits_{n\to\infty}u_n=1$，$\lim\limits_{n\to\infty}v_n=3$。
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因为这两个极限都存在，所以可以进行运算。
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相加得到$\lim\limits_{n\to\infty}(u_n+v_n)=2\lim\limits_{n\to\infty}a_n=4$。
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所以得到$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=2$。同理$\lim\limits_{n\to\infty}(u_n-v_n)$得到$\lim\limits_{n\to\infty}b_n=-1$。
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\subsection{函数极限}
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若$\lim f(x)=A$，$\lim g(x)=B$（即两个极限都存在），则
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\begin{enumerate}
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\item $\lim[k\cdot f(x)\pm l\cdot g(x)]=k\lim f(x)\pm l\cdot g(x)=kA\pm lB$，其中$kl$为常数。
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\item $\lim[f(x)\cdot g(x)]=\lim f(x)\cdot\lim g(x)=A\cdot B$
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\item $\lim[f(x)]^n=[\lim f(x)]^n$，其中$n$为正整数。
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\item $\lim\dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{\lim f(x)}{\lim g(x)}=\dfrac{A}{B}(B\neq 0)$。
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\item $\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0}{b_mx^m+\cdots+b_{m-1}x^{m-1}+\cdots+b_1x+b_0}=\left\{
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\begin{array}{lcl}
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\dfrac{a_n}{b_m}, & & n=m \\
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0, & & n<m \\
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\infty, & & n>m
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\end{array}
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\right.$
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\item 若$f(x)\geqslant g(x)$，则$A\geqslant B$。
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\item 若$y=f[g(x)]$由$y=f(u)$与$u=g(x)$复合而成，且$\lim\limits_{x\to x_0}g(x)=u_0$且$\lim\limits_{u\to u_0}f(u)=a$，当$x\in\mathring{U}(x_0,\delta_0)$时，$g(x)\neq u_0$，则$\lim\limits_{x\to x_0}f[g(x)]=a$。
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\end{enumerate}
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对于结论7必须\textcolor{orange}{注意}$g(x)\neq u_0$。
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假设$f(u)=\dfrac{u^2-1}{u-1}$，所以这个$f(x)$在$x=1$处应无定义。但是这并不影响$\lim\limits_{u\to 1}f(u)=2$。
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假设$g(x)=\left\{
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\begin{array}{lcl}
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1+x, & & x<0 \\
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1, & & x>0
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\end{array}
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\right.$。
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则$\lim\limits_{x\to 0}g(x)=1$，所以$\lim\limits_{x\to 0}f[g(x)]=2?$。
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答案是不，因为当$x>0$时，$u=g(x)=1$，而$1$在$g(x)$中是无定义的，所以复合函数当$x>0$时无定义，从而在$0$处极限不存在。
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\subsection{存在与不存在运算关系}
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\begin{enumerate}
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\item 存在与不存在的和差一定为不存在。
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\item 不存在与不存在的和差不一定存在，如$\sin\dfrac{1}{x}+\sin\dfrac{1}{x}$与$\sin\dfrac{1}{x}+\left(-\sin\dfrac{1}{x}\right)$。
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\item 存在与不存在的乘积不一定存在，如$x\sin\dfrac{1}{x}$与$1\cdot\sin\dfrac{1}{x}$。
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\item 不存在与不存在的乘积不一定存在，如$\dfrac{1}{x}\cdot\dfrac{1}{x}$与$(-1)^n\cdot(-1)^n$。
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\end{enumerate}
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\section{极限存在准则与两个重要极限}
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\subsection{夹逼准则}
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\subsubsection{数列的夹逼准则}
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\begin{enumerate}
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\item $y_n\leqslant x_n\leqslant z_n(n=1,2,3,\cdots)$。
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\item $\lim\limits_{n\to\infty}y_n=a,\lim\limits_{n\to\infty}z_n=a$。
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\item 则$\lim\limits_{n\to\infty}x_n=a$。
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\end{enumerate}
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证明：由于$\lim\limits_{n\to\infty}y_n=a,\lim\limits_{n\to\infty}z_n=a$。
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则$\forall\xi>0$，$\exists N$，当$n>N$时，$\vert y_n<\xi$，$\vert z_n<\xi$。
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$\therefore a-\xi<y_n<a+\xi$，$a-\xi<z_n<a+\xi$。
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$\therefore a-\xi<y_n\leqslant x_n\leqslant z_n<a+\xi$。
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$\therefore\vert x_n-a\vert<\xi$。
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\textbf{例题：}求极限$\lim\limits_{n\to\infty}\left(\dfrac{n}{n^2+1}+\dfrac{n}{n^2+2}+\cdots+\dfrac{n}{n^2+n}\right)$。
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解：使用夹逼准则：$\dfrac{n^2}{n^2+n}<\sum_{i=1}^n\dfrac{n}{n^2+i}<\dfrac{n^2}{n^2+1}$。
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又$\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{n^2}{n^2+1}=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{n^2/n^2}{n^2/n^2+1/n^2}=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{n^2}}=1$。
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且$\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{n^2}{n^2+n}=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{n}}=1$。
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由夹逼准则，原式的极限为1。
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数列的夹逼准则下不等式的证明往往要使用到放缩法，对于分式的放缩主要在于分母的放缩，不变分子，分母变小原式变大，分母变大原式变小。然后分子分母除以最高项得到逼向0的极限。
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\subsubsection{函数的夹逼准则}
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\begin{enumerate}
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\item $x\in\mathring{U}(x_0,\delta)$时$g(x)\leqslant f(x)\leqslant h(x)$。
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\item $\lim g(x)=A$且$\lim h(x)=A$。
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\item 则$\lim f(x)=A$。
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\end{enumerate}
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\textcolor{orange}{注意：}两函数差值极限为0不代表两函数极限相同，也不能保证中间的$f(x)$的极限存在。
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\textbf{例题：}求$\lim\limits_x\to+\infty(2+\sin x)^{\frac{1}{x}}$。
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解：$\because \sin x\in[-1,1]$，$\therefore 1\leqslant 2+\sin x\leqslant 3$。
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$\therefore 1^{\frac{1}{x}}\leqslant\left(2+\sin x\right)^{\frac{1}{x}}\leqslant 3^{\frac{1}{x}}$。
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而当$x\to+\infty$时两边的极限都为$1$，则由夹逼定理$\lim\limits_x\to+\infty(2+\sin x)^{\frac{1}{x}}=1$。
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\subsection{单调有界准则}
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也称为魏尔施特拉斯准则，该部分对于数列而言最重要。
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\subsubsection{数列单调有界准则}
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\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}单调有界数列必有极限，即若$\{x_n\}$单调增加（减少）且有上界（下界），则极限存在。
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该部分需要证明两个地方：
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\begin{enumerate}
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\item 数列单调：$x_{n+1}-x_n$与0的关系，或$\dfrac{x_{n+1}}{x_n}$与1的关系。
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\item 有界：$\vert x_n\vert\leqslant M$是否存在。
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\end{enumerate}
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见到\textcolor{orange}{递推式（迭代式）}$a_{n+1}=f(a_n)$，一般都要用单调有界准则。单调性通过减或除进行计算，有界性通过不等式来计算。
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\textbf{例题：}已知$a_1=a>0$，证明$a_{n+1}=\dfrac{1}{2}\left(a_n+\dfrac{2}{a_n}\right)$的极限存在并求出。
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解：$\because a_1=a>0$，且递推式中没有负数与减的操作，所以$a_n>0$。
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由重要不等式$\dfrac{a+b}{2}\geqslant\sqrt{ab}$，所以$a_{n+1}=\dfrac{1}{2}\left(a_n+\dfrac{2}{a_n}\right)\geqslant\sqrt{a_n\cdot\dfrac{2}{a_n}})=\sqrt{2}$
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$\therefore$数列$\{a_n\}$有下界$\sqrt{2}$。
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又$a_{n+1}-a_n=\dfrac{2-a_n^2}{2a_n}$，且由上面证明已知$a_n^2\geqslant\sqrt{2}$，所以该式子小于等于0。
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$\therefore a_{n+1}\leqslant a_n$，得到数列单调减少。
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由单调有界准则，$\lim\limits_{n\to\infty}a_n$存在并记为$A$。
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将$A$代入递推式并两边求极限：$A=\dfrac{1}{2}(A+\dfrac{2}{A})$，得到$A=\pm\sqrt{2}$。
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又因为保号性，数列下界为$\sqrt{2}$，所以$A=\sqrt{2}$。
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\textbf{例题：}求证$x_{n+1}=\sin x_n$极限存在，$0<x_1<\pi$。
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解：由三角函数中的不等式$\sin x<x$。
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\ding{172}当$n=1$，$\because 0<x_1<\pi$，$\therefore 0<\sin x_1<1$，$\therefore 0<x_2=sin x_1<x<\pi$。
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\ding{173}假设$0<x_n=\sin x_{n-1}<\pi$。
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\ding{174}$\therefore 0<x_{n+1}=\sin x_n<x_n<\pi$。
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\ding{175}故$\{x_n\}\searrow$且有下界0。
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$\therefore\lim\limits_{n\to\infty}x_n$存在，并记为$A$。
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对两边取极限：$A=\sin A$，所以$A=0$。
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$\therefore\lim\limits_{n\to\infty}x_n=0$。
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\textbf{例题：}证明$a_n=\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{2^2}+\cdots+\dfrac{1}{n^2}$存在极限。
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证明：因为是递推式，所以一般使用单调有界准则。
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\ding{172}$a_{n+1}=\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{2^2}+\cdots+\dfrac{1}{n^2}+\dfrac{1}{(n+1)^2}$。
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$\Rightarrow a_{n+1}-a_n=\dfrac{1}{(n+2)^2}>0\Rightarrow\{a_n\}\nearrow$
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$
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\begin{aligned}
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\text{\ding{173}}a_n & =\dfrac{1}{1\cdot 1}+\dfrac{1}{2\cdot 2}+\cdots+\dfrac{1}{n\cdot n} \\
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& \text{裂项相消} \\
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< & 1+\dfrac{1}{1\cdot 2}+\cdots+\dfrac{1}{(n-1)\cdot(n)} \\
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= & 1+(1-\dfrac{1}{2})+(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3})+\cdots+(\dfrac{1}{n-1}-\dfrac{1}{n}) \\
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= & 2-\dfrac{1}{n} \\
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< & 2 \text{ （上界）}
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\end{aligned}
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$
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单调增且有上界，所以必然有极限。
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\subsubsection{柯西极限存在准则}
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由函数的单调有界准则可以看出这个准则只能规范左邻域部分，而很多时候收敛的数列都不一定为单调的可以是波动逼近的。所以单调有界准则是充分条件而非必要条件，而柯西极限存在准则则（柯西审敛原理）是数列收敛性的充要准则。
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\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}数列$\{x_n\}$收敛的充要条件是：对于任意给定的正数$\xi$，都存在正整数$N$，使得当$m>N$，$n>N$时有$\vert x_n-x_m\vert<\xi$。
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其几何意义是数列收敛的充要条件是对于任意给定的正数$\xi$在数轴上都可以找到一个点后的任意两个项的值小于$\xi$。
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\subsubsection{函数单调有界准则}
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对于函数而言也有单调有界准则，但是很少用到。因为其准则与数列的不一致。
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\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}设函数$f(x)$在$x_0$的某个左邻域内单调且有界，则$f(x)$在$x_0$处的左极限$f(x_0^-)$必然存在。
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\subsection{\texorpdfstring{$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}=1$}{}}
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证明：
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\begin{minipage}{0.7\linewidth}
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当$x\to 0$时$x\in[0,\dfrac{\pi}{2}]$。
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设$\angle AOB$的弧度为$x$，圆$O$的半径为$1$，则$OD=\sin x$。
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则$S_\vartriangle AOB=\dfrac{\sin x}{2}$。根据扇形面积公式：$S_{\text{扇形}}AOB=\dfrac{x}{2}$。
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又$\because CA=\tan x$，则$S_\vartriangle AOC=\dfrac{\tan x}{2}$。
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\end{minipage}
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\hfill
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\begin{minipage}{0.2\linewidth}
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\begin{tikzpicture}[scale=1.125]
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\draw (0,0) circle (1);
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\filldraw[black] (0,0) node[below]{$O$};
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\draw[black](0,0) -- (1,0) node[right]{$A$};
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\draw[black](0,0) -- (1/2,{sqrt(3)/2}) node[above]{$B$};
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\draw[black](1/2,{sqrt(3)/2}) -- (1/2,0) node[below]{$D$};
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\draw[black](1,0) -- (1,{sqrt(3)}) node[above]{$C$};
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\draw[black](1,0) -- (1/2,{sqrt(3)/2});
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\draw[black](1,{sqrt(3)}) -- (1/2,{sqrt(3)/2});
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\end{tikzpicture}
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\end{minipage}
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根据图，在$x\in[0,\dfrac{\pi}{2}]$，$\sin x<x<\tan x$。
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$\therefore 1<\dfrac{x}{\sin x}<\dfrac{1}{\cos x}\Rightarrow\cos x<\dfrac{\sin x}{x}<1$。
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$\therefore 0<1-\dfrac{\sin x}{x}<1-\cos x=2\sin^2\dfrac{x}{2}\leqslant 2\left(\dfrac{x}{2}\right)^2$。
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根据夹逼定理，$\lim\limits_{x\to 0}2\left(\dfrac{x}{2}\right)^2=0\Rightarrow\lim\limits_{x\to 0}1-\dfrac{\sin x}{x}=0$。
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$\therefore\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}=1$。
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从而$\lim\limits_{\Delta\to 0}\dfrac{\sin\Delta}{\Delta}=1(\Delta\neq 0)$。
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\subsection{\texorpdfstring{$\lim\limits_{x\to\infty}\left(1+\dfrac{1}{x}\right)^x=e$}{}}
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书上通过数列进行单调有界定理证明极限存在性。
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证明：$\lim\limits_{x\to\infty}\left(1+\dfrac{1}{x}\right)^x=\lim\limits_{x\to\infty}e^{\ln(1+\frac{1}{x})^x}=\lim\limits_{x\to\infty}e^{x\ln(1+\frac{1}{x})}=e^{\lim\limits_{x\to\infty}x\ln(1+\frac{1}{x})}=e^{\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\ln(1+\frac{1}{x})}{\frac{1}{x}}}$
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$=e^{\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\left(\frac{1}{1+\frac{1}{x}}\right)\cdot\left(-\frac{1}{x^2}\right)}{-\frac{1}{x^2}}}=e^{\lim\limits_{x\to\infty}\frac{1}{1+x}}=e$\medskip
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从而$\lim\limits_{\Delta\to\infty}\left(1+\dfrac{1}{\Delta}\right)^\Delta=e$与$\lim\limits_{\Delta\to 0}\left(1+\Delta\right)^{\frac{1}{\Delta}}=e(\Delta\neq 0)$。
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\section{无穷大与无穷小}
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\subsection{无穷}
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\subsubsection{无穷定义}
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无穷小\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}当$x\to x_0(\infty)$时，函数$f(x)$极限为0，就称$f(x)$为当$x\to x_0(\infty)$时的无穷小，记为：$\lim\limits_{x\to x_0(\infty)}f(x)=0$。
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以0为极限的数列称为$n\to\infty$时的无穷小。
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无穷小是变量，不能与很小的数相等。
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零可以作为无穷小的唯一的数。
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\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}$\lim f(x)=A\Leftrightarrow f(x)=A+o(x)$，其中$\lim o(x)=0$。
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无穷大\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}当$x\to x_0(\infty)$时，函数$\vert f(x)\vert$无限增大，就称$f(x)$为当$x\to x_0(\infty)$时的无穷大，记为：$\lim\limits_{x\to x_0(\infty)}f(x)=\infty$。
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若$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=\infty$则$x=x_0$为$y=f(x)$的垂直渐进线。
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若$\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=a$则$y=a$为$y=f(x)$的水平渐进线。
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\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}若同一极限过程中，$f(x)$为无穷大，则$\dfrac{1}{f(x)}$为无穷小，反之若$f(x)$为无穷小且不为0，则$\dfrac{1}{f(x)}$为无穷大。
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\subsubsection{无穷小的比较}
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设在自变量同一变化过程中，$\lim\alpha(x)=0$，$\lim\beta(x)=0$，且$\beta(x)\neq 0$，则：
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\begin{enumerate}
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\item 若$\lim\dfrac{\alpha(x)}{\beta(x)}=0$，则$\alpha(x)$是比$\beta(x)$高阶的无穷小，记为$\alpha(x)=o(\beta(x))$。
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\item 若$\lim\dfrac{\alpha(x)}{\beta(x)}=\infty$，则$\alpha(x)$是比$\beta(x)$低阶的无穷小。
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\item 若$\lim\dfrac{\alpha(x)}{\beta(x)}=c\neq 0$，则$\alpha(x)$与$\beta(x)$是同阶无穷小。
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\item 若$\lim\dfrac{\alpha(x)}{\beta(x)}=1$，则$\alpha(x)$与$\beta(x)$是等价无穷小，记为$\alpha(x)\sim\beta(x)$。
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\item 若$\lim\dfrac{\alpha(x)}{[\beta(x)]^k}=c\neq 0$，则$\alpha(x)$是$\beta(x)$的$k$阶无穷小。
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\end{enumerate}
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\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}$\alpha(x)\sim\beta(x)$的充要条件是$\alpha(x)=\beta(x)+o(\beta(x))$。
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\textcolor{orange}{注意：}并不是任意无穷小都可以比阶。如$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x\sin\dfrac{1}{x}}{x^2}$就因为得到函数振荡而无法得到极限。
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\textbf{例题：}证明当$x\to 0$时，$\sqrt[n]{1+x}-1\sim\dfrac{1}{n}x$。
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证明：证明$\sqrt[n]{1+x}-1\sim\dfrac{1}{n}x$就是证明$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sqrt[n]{1+x}-1}{x}\sim\dfrac{1}{n}$。
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令$\sqrt[n]{1+x}-1=t$，则$1+x=(1+t)^n$，则$x=(1+t)^n-1$。
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利用二项式展开：$=\lim\limits_{t\to 0}\dfrac{t}{nt+\dfrac{n(n-1)}{2}t^2+\cdots}=\dfrac{1}{n}$。
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\subsubsection{无穷小运算}
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设$m$，$n$为正整数：
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\begin{enumerate}
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\item $o(x^m)\pm o(x^n)=o(x^l),l=\min{m,n}$（加减法低阶吸收高阶）。
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\item $o(x^m)\cdot o(x^n)=o(x^{m+n}),x^m\cdot o(x^n)=o(x^{m+n})$（乘法累加）。
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\item $o(x^m)=o(k\cdot x^m)=k\cdot o(x^m)$，$k\neq 0$且为常数（非零常数相乘不影响阶数）。
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\end{enumerate}
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\subsection{洛必达法则}
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洛必达法则用于计算无穷的比值的极限，如$\dfrac{0}{0}$型和$\dfrac{\infty}{\infty}$型，如果趋向不同则不能使用。
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\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}当$x\to a$或$x\to\infty$时，函数$f(x)$以及$F(x)$都趋于零，$f'(x)$、$F'(x)$在点$a$的某去心邻域内（或当$\vert x\vert>X$，$X$为充分大的正数）存在，且$F'(x)\neq0$，$\lim\limits_{x\to a}\dfrac{f'(x)}{F'(x)}$或$\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{f'(x)}{F'(x)}$存在或无穷大时，则$\lim\limits_{x\to a}\dfrac{f(x)}{F(x)}=\lim\limits_{x\to a}\dfrac{f'(x)}{F'(x)}$或$\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{f(x)}{F(x)}=\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{f'(x)}{F'(x)}$。
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\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}当$x\to a$或$x\to\infty$时，函数$f(x)$以及$F(x)$都趋于无穷，$f'(x)$、$F'(x)$在点$a$的某去心邻域内（或当$\vert x\vert>X$，$X$为充分大的正数）存在，且$F'(x)\neq0$，$\lim\limits_{x\to a}\dfrac{f'(x)}{F'(x)}$或$\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{f'(x)}{F'(x)}$存在或无穷大时，则$\lim\limits_{x\to a}\dfrac{f(x)}{F(x)}=\lim\limits_{x\to a}\dfrac{f'(x)}{F'(x)}$或$\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{f(x)}{F(x)}=\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{f'(x)}{F'(x)}$。
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同理如果导数存在也可以不断求导：$\lim\limits_{x\to a}\dfrac{f(x)}{F(x)}=\lim\limits_{x\to a}\dfrac{f(x)'}{F(x)'}=\lim\limits_{x\to a}\dfrac{f(x)''}{F(x)''}$。
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\textcolor{orange}{注意：}洛必达法则求不出值也不能说其左边的值不存在。如$\lim\limits_{x\to0}\dfrac{x^2\sin\dfrac{1}{x}}{x}=\lim\limits_{x\to0}\sin\dfrac{1}{x}=0$，通过洛必达就求不出值。
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\subsection{泰勒公式}
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与洛必达法则不同，适用于$\dfrac{A}{B}$上下同阶型和$A-B$幂次最低型。如$\dfrac{x-\sin x}{x^3}$和$\cos x-e^{-\frac{x^2}{2}}$。
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是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数满足一定的条件，泰勒公式可以用函数在某一点的各阶导数值做系数构建一个多项式来近似表达这个函数，即用多项式拟合不规则曲线。
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\subsubsection{麦克劳林公式}
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\begin{enumerate}
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\item $e^x=\sum\limits_{i=0}^n\dfrac{1}{i!}x^i$，$=1+\dfrac{1}{1!}x+\dfrac{1}{2!}x^2+\dfrac{1}{3!}x^3+o(x^3)$。
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\item $\ln(1+x)=\sum\limits_{i=1}^n(-1)^{i+1}\dfrac{1}{i}x^i$，$=x-\dfrac{1}{2}x^2+\dfrac{1}{3}x^3+o(x^3)$。
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\item $\sin x=\sum\limits_{i=1}^{2i-1}(-1)^{2i-1}\dfrac{1}{(2i-1)!}x^{2i-1}$，$=x-\dfrac{1}{3!}x^3+\dfrac{1}{5!}x^5+o(x^5)$。
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\item $\cos x=\sum\limits_{i=1}^{2i}(-1)^{2i-1}\dfrac{1}{(2i-2)!}x^{2i-2}$，$=x-\dfrac{1}{2!}x^2+\dfrac{1}{4!}x^4+o(x^4)$。
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\item $\arcsin x=\sum\limits_{i=1}^{2i-1}\dfrac{(2i-3)!!}{(2i-2)!!}\dfrac{x^{2i-1}}{2i-1}$，$=x+\dfrac{1}{2}\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{1\times3}{2\times4}\dfrac{x^5}{5}+\dfrac{1\times3\time5}{2\times4\times6}\dfrac{x^7}{7}+o(x^7)$。（假定$-1!=0!$）
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\item $\dfrac{1}{1-x}=\sum\limits_{i=0}^nx^i$，$=1+x+x^2+x^3+o(x^3)$。
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\item $(1+x)^a=1+\sum\limits_{i=1}^n\dfrac{\prod_{j=1}^i(a-j+1)}{i!}x^i$，$=1+\dfrac{a}{1!}x+\dfrac{a(a-1)}{2!}x^2\\+\dfrac{a(a-1)(a-2)}{3!}x^3+o(x^3)$。
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\end{enumerate}
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\subsubsection{常用等价无穷小}
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\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}若$\alpha\sim\alpha_1$，$\beta\sim\beta_1$，则$\lim\dfrac{\alpha}{\beta}=\lim\dfrac{\alpha_1}{\beta}=\lim\dfrac{\alpha}{\beta_1}=\lim\dfrac{\alpha_1}{\beta_1}$。
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所以可以使用等价无穷小替换对应式子，这些等价无穷小都是使用泰勒展开得到的。等价无穷小只是泰勒公式在某个固定阶数上（通常为一阶）的特例。
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通过麦克劳林公式可以得到当$x\to 0$时的相应等价无穷小：
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\begin{enumerate}
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\item $x\sim\sin x\sim\tan x\sim\arcsin x\sim\arctan x\sim\ln(1+x)\sim\ln(x+\sqrt{1+x^2})\sim e^x-1$。
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\item $a^x-1\sim x\ln a$。
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\item $(1+x)^a-1\sim ax$。
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\item $\log_a(1+x)\sim\dfrac{x}{\ln a}$。
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\item $1-\cos x\sim\dfrac{1}{2}x^2$。
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\item $x-\ln(1+x)\sim\dfrac{1}{2}x^2$。
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\item $x-\sin x\sim\dfrac{1}{6}x^3$。
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\item $\arcsin x-x\sim\dfrac{1}{6}x^3$。
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\item $\tan x-x\sim\dfrac{1}{3}x^3$。
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\item $x-\arctan x\sim\dfrac{1}{3}x^3$。
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\item $\tan x-\sin x\sim\dfrac{1}{2}x^3$
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\end{enumerate}
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\subsubsection{等价无穷小适用性}
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如果是乘除关系可以随便换，但是加减关系需要一定条件：
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\begin{itemize}
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\item 若$\alpha\sim\alpha_1$，$\beta\sim\beta_1$，且$\lim\dfrac{\alpha_1}{\beta 1}=A\neq1$，则$\alpha-\beta\sim\alpha_1-\beta_1$。
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\item 若$\alpha\sim\alpha_1$，$\beta\sim\beta_1$，且$\lim\dfrac{\alpha_1}{\beta 1}=A\neq-1$，则$\alpha+\beta\sim\alpha_1+\beta_1$。
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\end{itemize}
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即这两个和不能为0。
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\section{函数连续性与间断点}
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函数的连续与间断是逐点的概念。
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\subsection{连续定义}
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\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}若函数$f(x)$在点$x_0$的某一邻域内有定义，且有$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$或$\lim\limits_{\Delta x\to 0}\Delta y=0$，则称函数$f(x)$在点$x_0$处连续。
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极限值等于函数值，则该点连续。
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在区间上每一点都连续的函数，就是该区间上的连续函数，或该函数在该区间上连续。
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\subsection{间断定义}
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讨论间断只看两类点：分段函数分段点，无定义点。
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\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}若函数$f(x)$在点$x_0$的某一去心邻域内有定义，且有$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)\neq f(x_0)$，则称函数$f(x)$在点$x_0$处间断。
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极限值不等于函数值，则该点间断。
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\subsection{间断点分类}
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\subsubsection{可去间断点（可补间断点）}
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\begin{minipage}{0.6\linewidth}
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\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}若$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A\neq f(x_0)$（甚至可以没有定义）。
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\end{minipage}
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\hfill
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\begin{minipage}{0.3\linewidth}
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\begin{tikzpicture}
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\draw[-latex](-0.5,0) -- (3,0) node[below]{$x$};
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\draw[-latex](0,-0.5) -- (0,3) node[above]{$y$};
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||
\filldraw[black] (0,0) node[below]{$O$};
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\draw[black, thick, domain=-0.5:2] plot (\x,{pow(e,\x-1)});
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||
\filldraw[white, draw=black, line width=1pt] (1,1) circle (2pt);
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||
\draw[black, densely dashed](1,2) -- (0,2) node[left]{$B$};
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||
\draw[black, densely dashed](1,1) -- (0,1) node[left]{$A$};
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||
\draw[black, densely dashed](1,2) -- (1,0) node[below]{$x_0$};
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||
\filldraw[black] (1,2) circle (2pt) node[above]{$f(x_0)=B$};
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||
\filldraw[black] (1,1) node[right]{$\lim\limits_{x\to x_0}=A$};
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||
\end{tikzpicture}
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\end{minipage}
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\subsubsection{跳跃间断点}
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\begin{minipage}{0.6\linewidth}
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\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}若$\lim\limits_{x\to x_0^-}f(x)$与$\lim\limits_{x\to x_0^+}f(x)$都存在，但是$\lim\limits_{x\to x_0^-}f(x)\neq\lim\limits_{x\to x_0^+}f(x)$。
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\end{minipage}
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\hfill
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\begin{minipage}{0.3\linewidth}
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||
\begin{tikzpicture}
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||
\draw[-latex](-0.5,0) -- (3,0) node[below]{$x$};
|
||
\draw[-latex](0,-0.5) -- (0,3) node[above]{$y$};
|
||
\filldraw[black] (0,0) node[below]{$O$};
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||
\draw[black, thick, domain=-0.5:1] plot (\x,{pow(e,\x-1)});
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||
\draw[black, thick, domain=1:1.5] plot (\x,{pow(e,\x-1)+1});
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||
\filldraw[white, draw=black, line width=1pt] (1,1) circle (2pt);
|
||
\draw[black, densely dashed](1,2) -- (0,2) node[left]{$B$};
|
||
\draw[black, densely dashed](1,1) -- (0,1) node[left]{$A$};
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||
\draw[black, densely dashed](1,2) -- (1,0) node[below]{$x_0$};
|
||
\filldraw[black] (1,2) circle (2pt) node[above]{$f(x_0)=B$};
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||
\filldraw[black] (1,1) node[right]{$\lim\limits_{x\to x_0}=A$};
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||
\end{tikzpicture}
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\end{minipage} \medskip
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可去间断点与跳跃间断点的左右极限都存在的间断点都称为第一类间断点。
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\subsubsection{无穷间断点}
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\begin{minipage}{0.6\linewidth}
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\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}若$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=\infty$，或至少一个方向为无穷大（定义分歧）。如$y=\dfrac{1}{x}$在$x=0$处为无穷间断点。
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\end{minipage}
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\hfill
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\begin{minipage}{0.3\linewidth}
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\begin{tikzpicture}
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\draw[-latex](-2,0) -- (2,0) node[below]{$x$};
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||
\draw[-latex](0,-2) -- (0,2) node[above]{$y$};
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||
\filldraw[black] (0,0) node[below]{$O$};
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||
\draw[black, thick, domain=0.5:2] plot (\x,{pow(\x,-1)});
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\draw[black, thick, domain=-2:-0.5] plot (\x,{pow(\x,-1)});
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||
\end{tikzpicture}
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\end{minipage}
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\subsubsection{振荡间断点}
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\begin{minipage}{0.6\linewidth}
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\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}若$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)$为振荡不存在。如$\lim\limits_{x\to 0}\sin\dfrac{1}{x}$的$x=0$就是振荡间断点。
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\end{minipage}
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\hfill
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\begin{minipage}{0.3\linewidth}
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\begin{tikzpicture}
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||
\draw[-latex](-2,0) -- (2,0) node[below]{$x$};
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||
\draw[-latex](0,-1.5) -- (0,1.5) node[above]{$y$};
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||
\filldraw[black] (0,0) node[below]{$O$};
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||
\draw[black, thick, domain=0.01:2] plot (\x,{sin(pow(\x,-1) r)});
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||
\draw[black, thick, domain=-2:-0.01] plot (\x,{sin(pow(\x,-1) r)});
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||
\end{tikzpicture}
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||
\end{minipage}
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||
无穷间断点与振荡间断点的左右极限都不存在的点都是第二类间断点。
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\textcolor{orange}{注意：}两侧邻域都有定义才能讨论间断点问题。\medskip
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||
\textbf{例题：}若$f(x)=\left\{
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\begin{array}{lcl}
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2x+a, & & x\leqslant 0 \\
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||
e^x(\sin x+\cos x), & & x>0
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||
\end{array} \right.
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$在$(-\infty,+\infty)$内连续，求$a$。
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解：因为连续，所以$f(0)=\lim\limits_{x\to 0^+}f(x)=\lim\limits_{x\to 0^-}f(x)$。
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$\therefore a=1$。
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\textbf{例题：}若函数$f(x)=\dfrac{\ln\vert x\vert}{\vert x-1\vert}\sin x$，则x的间断点类型是？\medskip
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解：由式子的分式部分可知有两个无定义的间断点：$x=0$，$x=1$。\medskip
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$\lim\limits_{x\to 1}f(x)=\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{x-1}{\vert x-1\vert}\sin x=\left\{
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||
\begin{array}{lcl}
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||
x\to 1^+ & \rightarrow & \sin 1 \\
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x\to 1^- & \rightarrow & -\sin 1
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||
\end{array} \right.
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$。
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所以$x=1$跳跃间断点。
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$\lim\limits_{x\to 0}f(x)=\lim\limits_{x\to 0}\ln\vert x\vert\cdot\sin x=\lim\limits_{x\to 0}x\ln\vert x\vert=0$。
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而$x=0$未定义，所以其为可去间断点。
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\subsection{函数连续性}
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\subsubsection{连续函数四则运算的连续性}
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若两个函数在某点连续，则这两个函数的和差积商在该点都连续。但是如果两个在某点不连续的函数，其和差积商在某点的连续性都是不一定的，所以反过来，如果一个函数的和差积商是在某点连续的，不能说明这个组成的多个函数在该点是连续的。
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\subsubsection{反函数的连续性}
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若函数在定义域是严格单调的函数，则其反函数在其原值域上也是连续的且单调性不变。
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\subsubsection{复合函数的连续性}
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若$y=f(g(x))$由$y=f(u)$与$u=g(x)$复合而成，若$g(x)$在$x_0$处连续，$f(u)$在$u_0$处连续，且$u_0=g(x_0)$，则$f(g(x))$在$x_0$处连续。
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\subsubsection{初等函数的连续性}
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基本初等函数在定义域上是连续的。
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初等函数在定义区间上是连续的。
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定义区间是定义域的子集。
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\section{闭区间上连续函数的性质}
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设$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，则：
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\subsection{有界性与最大最小值定理}
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最大最小值\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}：$f(x)$在$[a,b]$上必有最大值和最小值。
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有界性\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}$f(x)$在$[a,b]$上必有界。
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如果是开区间连续则不能保证有界性，因为可能开区间两边的端点为函数的间断点（如$\dfrac{1}{x}$在$x=0$处）。
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\subsection{零点与介值定理}
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零点\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}若$f(a)f(b)<0$，则$\exists\,\xi\in[a,b]$使得$f(\xi)=0$。
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介值\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}若$f(a)\neq f(b)$，$\mu$为介于$f(a)$与$f(b)$之间的任何值，那么至少存在$\xi\in[a,b]$使得$f(\xi)=\mu$。
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\textbf{例题：}证明方程$x=a\sin x+b(a>0,b>0)$中至少有一个正根，并且不超过$a+b$。
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证明：令$f(x)=x-a\sin x-b$，其中$f(0)=-b<0$，$f(a+b)=a+b=a\sin(a+b)-b=a[1-\sin(a+b)]\geqslant 0$。
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若$\sin(a+b)=1$，则根为$a$，结论成立。
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若$\sin(a+b)<1$，$\because f(a+b)\cdot f(0)<0$根据零点定理$\exists\,\xi\in[0,a+b]$使得$f(\xi)=0$，从而得证。
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\subsection{*一致连续性}
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\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}设函数$f(x)$在区间$I$上有定义，若对于任意给定的正数$\xi$，总存在正数$\delta$，使得对于区间$I$上的任意两点$x_1x_2$，当$\vert x_1-x_2\vert<\delta$时，有$\vert f(x_1)-f(x_2)\vert<\xi$，则函数$f(x)$在区间$I$上一致连续。
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对于连续性的定义：设函数$f(x)$在区间$I$上有定义，若对于任意给定的正数$\xi$，总存在正数$\delta$，使得对于区间$I$上的任意一点$x$，当$\vert x-x_0\vert<\delta$时，有$\vert f(x)-f(x_0)\vert<\xi$，则称函数$f(x)$在区间$I$上连续。
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对比连续性与一致连续性，可以知道定义上就只有一个差别，连续性只有一个动点$x$($x_0$会相对于$x$而变化)，而一致连续性有两个动点$x_1x_2$。但是就是这种小变化会带来很大不同的定义结果。
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可以利用几何图形来分析，对于图像上的任意一点，连续性与一致连续性都是在一个过程中固定一个$\xi$，来求对应的$\delta$。所导致的就是函数差值是固定的。
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根据连续定义，函数上任意取一个$x$，再在$x$的左边或右边取一个$x_0$，使得$\vert f(x)-f(x_0)\vert<\xi$，现在需要求一个$\delta$，使得$\delta$，使得$\vert x-x_0\vert<\delta$，所以我们可以根据这个条件，作一个竖直距离为$\xi$，水平距离为$\delta$的长方形，长方形内部的所有点的$x$坐标代表的$\delta$都满足条件，其中一个正对角点坐标为$(x,f(x))$，另一个则为$(x_0,f(x_0))$。$\xi$是固定的，要根据不同的$x$找到不同的$\delta$，即不同的$x+\delta=x_0$。
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假定函数为$y=\dfrac{1}{x}$，$\xi=1$，任意取一点$x$，求出对应的$\delta$，将会得到下面第一张图。其中虚线里的所有点都是满足要求的点。而随着$x$上移，长方形水平长度会无限接近于0，而向下，长方形水平长度会无限接近于$+\infty$。
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\begin{tikzpicture}[scale=1]
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\draw[-latex](-0.5,0) -- (5,0) node[below]{$x$};
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\draw[-latex](0,-0.5) -- (0,5) node[above]{$y$};
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||
\filldraw[black] (0,0) node[below]{$O$};
|
||
\draw[black, densely dashed](1,2) -- (1,1) node[right]{$x$};
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||
\draw[black, densely dashed](1/2,1) -- (1/2,2);
|
||
\draw[black, densely dashed](1,2) -- (1/2,2) node[left]{$x_0$};
|
||
\draw[black, densely dashed](1,1) -- (1/2,1);
|
||
\draw[black, thick, smooth, domain=0.2:5] plot (\x,{pow(\x,-1)});
|
||
\end{tikzpicture}
|
||
\begin{tikzpicture}[scale=1]
|
||
\draw[-latex](-0.5,0) -- (5,0) node[below]{$x$};
|
||
\draw[-latex](0,-0.5) -- (0,5) node[above]{$y$};
|
||
\filldraw[black] (0,0) node[below]{$O$};
|
||
\draw[black, densely dashed](1,2) -- (1,1);
|
||
\draw[black, densely dashed](1/2,1) -- (1/2,2);
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||
\draw[black, densely dashed](1,2) -- (1/2,2);
|
||
\draw[black, densely dashed](1,1) -- (1/2,1);
|
||
\draw[black, thick, smooth, domain=0.25:5] plot (\x,{pow(\x,-1)+1});
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||
\draw[black, thick, smooth, domain=0.175:1] plot (\x,{pow(\x,-1)-1});
|
||
\filldraw[white, draw=black, line width=1pt] (1,0) circle (2pt) ;
|
||
\filldraw[black] (1.25,0.5) node{$\dfrac{1}{\xi}$};
|
||
\end{tikzpicture}
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||
所以长方形的两对角点变动轨迹如图二所示，当$x$无限接近$+\infty$时，$x_0$无限接近$\dfrac{1}{\xi}$，因为$\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{1}{\dfrac{1}{x}+\xi}=\dfrac{1}{\xi}$。
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所以连续性下总能找到一个$\delta$使得虚线长方形存在，从而函数$\dfrac{1}{x}$是具有连续性的。
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而对于连续一致性，则规定了两个变量$x_1x_2$，其实对比连续性类似，但是这时候虚线长方形的两个角都是被约束的，而不是连续性的时候$x_0$是不受约束的，对应到图形上，就是要找到一个长方形，使得无论$x_1x_2$在哪里都在长方形中。
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而对于函数$\dfrac{1}{x}$，由图像二可知虚线长方形的面积是从0一直变大到$+\infty$，所以不存在一个固定的长方形（面积为常数）。从而该函数不具有一致连续性。
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所以综上只有变化率变化不大的函数才在\textbf{整个定义域}上具有一致连续性。如一次线性函数，$\sin x$，$\cos x$，而对数函数，指数函数都不具有一致连续性。
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\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}若函数在闭区间上连续，则一定在该区间上一致连续。
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\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}若函数在某区间上一致连续，则一定在该区间上连续。
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\end{document}
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