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% 数学公式
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% 分栏
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% 阶梯矩阵的虚线
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\author{Didnelpsun}
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\title{矩阵}
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\date{}
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\begin{document}
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\maketitle
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\pagestyle{empty}
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\thispagestyle{empty}
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\tableofcontents
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\thispagestyle{empty}
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\newpage
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\pagestyle{plain}
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\setcounter{page}{1}
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矩阵本质是一个表格。
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\section{矩阵定义}
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\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}$m\times n$矩阵是由$m\times n$个数$a_{ij}$（元素）排成的$m$行$n$列的数表。
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元素是实数的矩阵称为\textbf{实矩阵}，元素是复数的矩阵是\textbf{复矩阵}。
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行数列数都为$n$的就是\textbf{$n$阶矩阵}或\textbf{方阵}，记为$A_n$。
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行矩阵或行向量\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}只有一行的矩阵$A=(a_1a_2\cdots a_n)$。
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列矩阵或列向量\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}只有一列的矩阵$B=
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\left(\begin{array}{c}
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b_1 \\
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b_2 \\
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\cdots \\
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b_m
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\end{array}\right)$。
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同型矩阵\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}两个矩阵行数、列数相等。
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相等矩阵\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}是同型矩阵，且对应元素相等的矩阵。记为$A=B$。
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零矩阵\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}元素都是零的矩阵，记为$O$，但是不同型的零矩阵不相等。
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\begin{multicols}{2}
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||
对角矩阵或对角阵\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}从左上角到右下角的直线（对角线）以外的元素都是0的矩阵，记为$\varLambda=\textrm{diag}(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n)$。
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||
$\varLambda=\left(
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\begin{array}{cccc}
|
||
\lambda_1 & 0 & \cdots & 0 \\
|
||
0 & \lambda_2 & \cdots & 0 \\
|
||
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
|
||
0 & 0 & \cdots & \lambda_n
|
||
\end{array}
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||
\right)$
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||
单位矩阵或单位阵\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}$\lambda_1=\lambda_2=\cdots=\lambda_n=1$的对角矩阵，记为$E$。这种线性变换叫做恒等变换，$AE=A$。 \medskip
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||
|
||
$E=\left(
|
||
\begin{array}{cccc}
|
||
1 & 0 & \cdots & 0 \\
|
||
0 & 1 & \cdots & 0 \\
|
||
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
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||
0 & 0 & \cdots & 1
|
||
\end{array}
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\right)$
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||
\end{multicols}
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\section{矩阵运算}
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\subsection{矩阵加法减法}
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设与两个矩阵都是同型矩阵$m\times n$，$A=(a_{ij})$和$B=(b_{ij})$，则其加法就是$A+B$。
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$$A+B=\left(
|
||
\begin{array}{cccc}
|
||
a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} & \cdots & a_{1n}+b_{1n} \\
|
||
a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22} & \cdots & a_{2n}+b_{2n} \\
|
||
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
|
||
a_{m1}+b_{m1} & a_{m2}+b_{m2} & \cdots & a_{m+n}+b_{m+n}
|
||
\end{array}
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\right)$$
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\begin{itemize}
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||
\item $A+B=B+A$。
|
||
\item $(A+B)+C=A+(B+C)$。
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\end{itemize}
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若$-A=(-a_{ij})$，则$-A$是$A$的负矩阵，$A+(-A)=O$。
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从而矩阵的减法为$A-B=A+(-B)$。
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\subsection{数乘矩阵}
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数$\lambda$与矩阵$A$的乘积记为$\lambda A$或$A\lambda$，规定：
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$$\lambda A=A\lambda=\left(
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\begin{array}{cccc}
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||
\lambda a_{11} & \lambda a_{12} & \cdots & \lambda a_{1n} \\
|
||
\lambda a_{21} & \lambda a_{22} & \cdots & \lambda a_{2n} \\
|
||
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
|
||
\lambda a_{m1} & \lambda a_{m2} & \cdots & \lambda a_{mn}
|
||
\end{array}
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||
\right)$$
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||
假设$A$、$B$都是$m\times n$的矩阵，$\lambda$、$\mu$为数：
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\begin{itemize}
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||
\item $(\lambda\mu)A=\lambda(\mu A)$。
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||
\item $(\lambda+\mu)A=\lambda A+\mu A$。
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||
\item $\lambda(A+B)=\lambda A+\lambda B$。
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\end{itemize}
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矩阵加法与数乘矩阵都是矩阵的线性运算。
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\subsection{矩阵相乘}
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设$A=(a_{ij})$是一个$m\times s$的矩阵，$B=(b_{ij})$是一个$s\times n$的矩阵，那么$A\times B=AB=C_{m\times n}=(c_{ij})$。即：$c_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\cdots+a_{is}b_{sj}=\sum\limits_{k=1}^sa_{ik}b_{kj}\,\text{（}i=1,2,\cdots,m;j=1,2,\cdots,n\text{）}$
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||
|
||
所以按此定义一个$1\times s$行矩阵与$s\times 1$列矩阵的乘积就是一个1阶方针即一个数：
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$(a_{i1},a_{i2},\cdots,a_{is})\left(
|
||
\begin{array}{c}
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||
b_{1j} \\
|
||
b_{2j} \\
|
||
\cdots \\
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||
b_{sj}
|
||
\end{array}
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||
\right)=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\cdots+a_{is}b_{sj}=\sum\limits_{k=1}^sa_{ik}b_{kj}=c_{ij}$。
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||
从而$AB=C$的$c_{ij}$就是$A$的第$i$行与$B$的$j$列的乘积。
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||
当$A$左边乘$P$为$PA$，称为\textbf{左乘}$P$，若右边乘$P$为$AP$，则称为\textbf{右乘}$P$。
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\textcolor{orange}{注意：}只有左矩阵的列数等于右矩阵的行数才能相乘。
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只有$AB$都是方阵的时候才能$AB$与$BA$。
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矩阵的左乘与右乘不一定相等，即$AB\neq BA$。
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\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}若方阵$AB$乘积满足$AB=BA$，则表示其是\textbf{可交换}的。
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$A\neq O$，$B\neq O$，但是不能推出$AB\neq O$或$BA\neq O$。
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||
$AB=O$不能推出$A=O$或$B=O$。
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||
$A(X-Y)=O$当$A\neq O$也不能推出$X=Y$。
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\begin{itemize}
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\item $(AB)C=A(BC)$。
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||
\item $\lambda(AB)=(\lambda A)B=A(\lambda B)$。
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||
\item $A(B+C)=AB+AC$。
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||
\item $(B+C)A=BA+CA$。
|
||
\item $EA=AE=A$。
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\end{itemize}
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$\lambda E$称为\textbf{纯量阵}，$(\lambda E_n)A_n=\lambda A_n=A_n(\lambda E_n)$。
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若$A_{m\times s}$，$B_{s\times n}=(\beta_1,\cdots,\beta_s)$，其中$\beta$为$n$行的列矩阵，则：
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$AB=A(\beta_1,\cdots,\beta_s)=(A\beta_1,\cdots,A\beta_n)$。
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\subsection{矩阵幂}
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只有方阵才能连乘，从而只有方阵才有幂。
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若$A$是$n$阶方阵，所以：
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$$A^1=A\text{，}A^2=A^1A^1\text{，}\cdots\text{，}A^{k+1}=A^kA^1$$
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\begin{itemize}
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||
\item $A^kA^l=A^{k+l}$。
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||
\item $(A^k)^l=A^{kl}$。
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||
\end{itemize}
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||
因为矩阵乘法一般不满足交换率，所以$(AB)^k\neq A^kB^k$。只有$AB$可交换时才相等。
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||
若$A\neq 0$不能推出$A^k\neq 0$，如：
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$A=\left(
|
||
\begin{array}{cc}
|
||
0 & 2 \\
|
||
0 & 0
|
||
\end{array}
|
||
\right)\neq 0$。$A^2=\left(
|
||
\begin{array}{cc}
|
||
0 & 2 \\
|
||
0 & 0
|
||
\end{array}
|
||
\right)\left(
|
||
\begin{array}{cc}
|
||
0 & 2 \\
|
||
0 & 0
|
||
\end{array}
|
||
\right)=\left(
|
||
\begin{array}{cc}
|
||
0 & 0 \\
|
||
0 & 0
|
||
\end{array}
|
||
\right)=O$。
|
||
|
||
$A=\left(
|
||
\begin{array}{ccc}
|
||
0 & 1 & 1 \\
|
||
0 & 0 & 1 \\
|
||
0 & 0 & 0
|
||
\end{array}
|
||
\right)$，$A^3=O$。
|
||
|
||
矩阵幂可以同普通多项式进行处理。
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||
如$f(x)=a_nx^n+\cdots+a_1x+n$，对于$A$就是$f(A)=a_nA^n+\cdots+a_1A+a_nE$。
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||
$f(A)=A^2-A-6E=(A+2E)(A-3E)$。
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||
\subsection{矩阵转置}
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||
把矩阵$A$的行换成同序数的列就得到一个新矩阵，就是$A$的转置矩阵$A^T$。若$A$为$m\times n$，则$A^T$为$n\times m$。
|
||
|
||
\begin{itemize}
|
||
\item $(A^T)^T=A$。
|
||
\item $(A+B)^T=A^T+B^T$。
|
||
\item $(\lambda A)^T=\lambda A^T$。
|
||
\item $(AB)^T=B^TA^T$。
|
||
\end{itemize}
|
||
|
||
对称矩阵或对称阵\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}元素以对角线为对称轴对应相等，$A=A^T$。
|
||
|
||
\subsection{方阵行列式}
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||
由$n$阶方阵$A$的元素所构成的行列式称为矩阵$A$的行列式，记为$\textrm{det}\,A$或$\vert A\vert$。
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||
|
||
\begin{itemize}
|
||
\item $\vert A^T\vert=\vert A\vert$。
|
||
\item $\vert\lambda A\vert=\lambda^n\vert A\vert$。
|
||
\item $\vert AB\vert=\vert A\vert\cdot\vert B\vert=\vert BA\vert$。
|
||
\end{itemize}
|
||
|
||
伴随矩阵或伴随阵\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}行列式$\vert A\vert$各个元素的代数余子式$A_{ij}$转置构成的矩阵。
|
||
|
||
$$A^*=\left(
|
||
\begin{array}{cccc}
|
||
A_{11} & A_{21} & \cdots & A_{n1} \\
|
||
A_{12} & A_{22} & \cdots & A_{n2} \\
|
||
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
|
||
A_{1n} & A_{2n} & \cdots & A_{nn}
|
||
\end{array}
|
||
\right)$$
|
||
|
||
其中$AA^*=A^*A=\vert A\vert E$。
|
||
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||
\subsection{分块矩阵}
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在行列式的时候提到了分块行列式，分块行列式计算时要求对应的零行列式必须是行列数相等的，而对于分块矩阵而言则不要求，且不一定要零矩阵。
|
||
|
||
对于行列数较多的矩阵常使用\textbf{分块法}，将大矩阵化为小矩阵。将矩阵用横纵线分为多个小矩阵，每个矩阵成为矩阵的\textbf{子块}，以子块为元素的矩阵就是\textbf{分块矩阵}。
|
||
|
||
\subsubsection{分块矩阵计算}
|
||
|
||
分块矩阵的计算法则与普通矩阵计算类似。
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||
|
||
\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}若$AB$矩阵行列数相同，采用相同的分块法，则
|
||
|
||
$$A=\left(
|
||
\begin{array}{ccc}
|
||
A_{11} & \cdots & A_{1r} \\
|
||
\vdots & & \vdots \\
|
||
A_{s1} & \cdots & A_{sr}
|
||
\end{array}
|
||
\right)\text{，}B=\left(
|
||
\begin{array}{ccc}
|
||
B_{11} & \cdots & B_{1r} \\
|
||
\vdots & & \vdots \\
|
||
B_{s1} & \cdots & B_{sr}
|
||
\end{array}
|
||
\right)$$
|
||
|
||
$$A+B=\left(
|
||
\begin{array}{ccc}
|
||
A_{11}+B_{11} & \cdots & A_{1r}+B_{1r} \\
|
||
\vdots & & \vdots \\
|
||
A_{s1}+B_{s1} & \cdots & A_{sr}+B_{sr}
|
||
\end{array}
|
||
\right)\text{。}$$
|
||
|
||
\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}设$A=\left(
|
||
\begin{array}{ccc}
|
||
A_{11} & \cdots & A_{1r} \\
|
||
\vdots & & \vdots \\
|
||
A_{s1} & \cdots & A_{sr}
|
||
\end{array}
|
||
\right)$，$\lambda$为数，则$\lambda A=\left(
|
||
\begin{array}{ccc}
|
||
\lambda A_{11} & \cdots & \lambda A_{1r} \\
|
||
\vdots & & \vdots \\
|
||
\lambda A_{s1} & \cdots & \lambda A_{sr}
|
||
\end{array}
|
||
\right)$。\medskip
|
||
|
||
\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}若$A_{m\times l}$，$B_{l\times n}$，采用相同的分块法，则
|
||
|
||
$$A=\left(
|
||
\begin{array}{ccc}
|
||
A_{11} & \cdots & A_{1t} \\
|
||
\vdots & & \vdots \\
|
||
A_{s1} & \cdots & A_{st}
|
||
\end{array}
|
||
\right)\text{，}B=\left(
|
||
\begin{array}{ccc}
|
||
B_{11} & \cdots & B_{1t} \\
|
||
\vdots & & \vdots \\
|
||
B_{t1} & \cdots & B_{sr}
|
||
\end{array}
|
||
\right)$$
|
||
|
||
$$AB=\left(
|
||
\begin{array}{ccc}
|
||
C_{11} & \cdots & C_{1r} \\
|
||
\vdots & & \vdots \\
|
||
C_{s1} & \cdots & C_{sr}
|
||
\end{array}
|
||
\right)\text{，}C_{ij}=\sum\limits_{k=1}^tA_{ik}B_{kj}\text{。}$$
|
||
|
||
\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}设$A=\left(
|
||
\begin{array}{ccc}
|
||
A_{11} & \cdots & A_{1r} \\
|
||
\vdots & & \vdots \\
|
||
A_{s1} & \cdots & A_{sr}
|
||
\end{array}
|
||
\right)$，则$A^T=\left(
|
||
\begin{array}{ccc}
|
||
A_{11}^T & \cdots & A_{s1}^T \\
|
||
\vdots & & \vdots \\
|
||
A_{1r}^T & \cdots & A_{sr}^T
|
||
\end{array}
|
||
\right)$。 \medskip
|
||
|
||
\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}设$A$为$n$阶方阵，$A$的分块矩阵只有对角线上才有非零子块且都是方阵，其余子块都是零矩阵，即$A=\left(
|
||
\begin{array}{cccc}
|
||
A_1 & & & O \\
|
||
& A_2 & \\
|
||
& & \ddots & \\
|
||
O & & & A_s
|
||
\end{array}
|
||
\right)$，称为\textbf{分块对角矩阵}。$\vert A\vert=\vert A_1\vert\vert A_2\vert\cdots\vert A_s\vert$。
|
||
|
||
若$\vert A_i\vert\neq0$，则$\vert A\vert\neq0$，且$A^{-1}=\left(
|
||
\begin{array}{cccc}
|
||
A_1^{-1} & & & O \\
|
||
& A_2^{-1} & \\
|
||
& & \ddots & \\
|
||
O & & & A_s^{-1}
|
||
\end{array}
|
||
\right)$。
|
||
|
||
\subsubsection{按行按列分块}
|
||
|
||
对于$m\times n$的矩阵$A$，其$n$列称为$A$的$n$个列向量，若第$j$列记为$a_j=\left(
|
||
\begin{array}{c}
|
||
a_{1j} \\
|
||
a_{2j} \\
|
||
\vdots \\
|
||
a_{mj}
|
||
\end{array}
|
||
\right)$，则$A$可以按列分块为$A=(a_1,a_2,\cdots,a_n)$。
|
||
|
||
其$m$行称为$A$的$m$个行向量，若第$i$行记为$a_i^T=(a_{i1},a_{i2},\cdots,a_{in})$，则$A$可以按行分块为$A=\left(\begin{array}{c}
|
||
a_1^T \\
|
||
a_2^T \\
|
||
\vdots \\
|
||
a_{m}^T
|
||
\end{array}\right)$。
|
||
|
||
若对于$A_{m\times s}$与$B_{s\times n}$的乘积矩阵$AB=C=(c_{ij})_{m\times n}$，若将$A$按行分为$m$块，$B$按列分为$n$块，则有：
|
||
|
||
$$AB=\left(
|
||
\begin{array}{c}
|
||
a_1^T \\
|
||
a_2^T \\
|
||
\vdots \\
|
||
a_{m}^T
|
||
\end{array}
|
||
\right)(b_1,b_2,\cdots,b_n)=\left(
|
||
\begin{array}{cccc}
|
||
a_1^Tb_1 & a_1^Tb_2 & \cdots & a_1^Tb_n \\
|
||
a_2^Tb_1 & a_2^Tb_2 & \cdots & a_2^Tb_n \\
|
||
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
|
||
a_{m}^Tb_1 & a_{m}^Tb_2 & \cdots & a_{m}^Tb_n
|
||
\end{array}
|
||
\right)=(c_{ij})_{m\times n}\text{。}$$
|
||
|
||
$$c_{ij}=a_i^Tb_j=(a_{i1},a_{i2},\cdots,a_{is})\left(\begin{array}{c}
|
||
b_{1j} \\
|
||
b_{2j} \\
|
||
\vdots \\
|
||
b_{sj}
|
||
\end{array}\right)=\sum\limits_{k=1}^s=a_{ik}b_{kj}\text{。}$$
|
||
|
||
\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}$A=O$的充要条件是$A^TA=O$。
|
||
|
||
证明：$\because A=O$，$\therefore A^T=O$，$A^TA=O$。
|
||
|
||
设$A=(a_{ij})_{m\times n}$，将$A$按列分块为$A=(a_1,a_2,\cdots,a_n)$，则
|
||
|
||
$$A^TA=\left(
|
||
\begin{array}{c}
|
||
a_1^T \\
|
||
a_2^T \\
|
||
\vdots \\
|
||
a_{m}^T
|
||
\end{array}
|
||
\right)(a_1,a_2,\cdots,a_n)=\left(
|
||
\begin{array}{cccc}
|
||
a_1^Ta_1 & a_1^Ta_2 & \cdots & a_1^Ta_n \\
|
||
a_2^Ta_1 & a_2^Ta_2 & \cdots & a_2^Ta_n \\
|
||
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
|
||
a_{m}^Ta_1 & a_{m}^Ta_2 & \cdots & a_{m}^Ta_n
|
||
\end{array}
|
||
\right)\text{。}$$
|
||
|
||
所以$A^TA$的元为$a^T_ia_j$，又$\because A^TA=O$，$\therefore a^T_ia_j=0$（$i,j=1,2,\cdots n$）。
|
||
|
||
$\therefore a^T_ja_j=0$（$j=1,2,\cdots n$），对角线元素全部为0。
|
||
|
||
且$a^T_ja_j=\left(
|
||
\begin{array}{cccc}
|
||
a_1^Ta_1 & & & \\
|
||
& a_2^Ta_2 & & \\
|
||
& & \ddots & \\
|
||
& & & a_{m}^Ta_n
|
||
\end{array}
|
||
\right)=(a_{1j},a_{2j},\cdots,a_{mj})\left(\begin{array}{c}
|
||
a_{1j} \\
|
||
a_{2j} \\
|
||
\vdots \\
|
||
a_{mj}
|
||
\end{array}\right)$
|
||
|
||
$=a_{1j}^2+a_{2j}^2+\cdots+a_{mj}^2=0$，所以$a_{1j}=a_{2j}=\cdots+a_{mj}=0$。
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||
|
||
$\therefore A=O$。
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\section{线性方程组}
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矩阵是根据线性方程组得到。
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\subsection{线性方程组与矩阵}
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\begin{multicols}{2}
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||
$\begin{cases}
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||
a_{11}x_1+\cdots+a_{1n}x_n=0 \\
|
||
\cdots \\
|
||
a_{m1}x_1+\cdots+a_{mn}x_n=0
|
||
\end{cases}$ \medskip
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||
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||
$n$元齐次线性方程组。
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$\begin{cases}
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||
a_{11}x_1+\cdots+a_{1n}x_n=b_1 \\
|
||
\cdots \\
|
||
a_{m1}x_1+\cdots+a_{mn}x_n=b_n
|
||
\end{cases}$ \medskip
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||
|
||
$n$元非齐次线性方程组。
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||
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||
\end{multicols}
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||
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||
对于齐次方程，$x_1=\cdots=x_n=0$一定是其解，称为其\textbf{零解}，若有一组不全为零的解，则称为其\textbf{非零解}。其一定有零解，但是不一定有非零解。
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||
|
||
对于非齐次方程，只有$b_1\cdots b_n$不全为零才是。
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||
令\textbf{系数矩阵}$A_{m\times n}=\left(
|
||
\begin{array}{ccc}
|
||
a_{11} & \cdots & a_{1n} \\
|
||
\cdots \\
|
||
a_{m1} & \cdots & a_{mn}
|
||
\end{array}
|
||
\right)$，\textbf{未知数矩阵}$x_{n\times 1}=\left(
|
||
\begin{array}{c}
|
||
x_1 \\
|
||
\cdots \\
|
||
x_n
|
||
\end{array}
|
||
\right)$，\textbf{常数项矩阵}$b_{m\times 1}=\left(
|
||
\begin{array}{c}
|
||
b_1 \\
|
||
\cdots \\
|
||
b_m
|
||
\end{array}
|
||
\right)$，\textbf{增广矩阵}$B_{m\times(n+1)}=\left(
|
||
\begin{array}{c:c}
|
||
\begin{matrix}
|
||
a_{11} & \cdots & a_{1n}\\
|
||
\cdots \\
|
||
a_{m1} & \cdots & a_{mn}
|
||
\end{matrix}&
|
||
\begin{matrix}
|
||
b_1\\
|
||
\\
|
||
b_n
|
||
\end{matrix}
|
||
\end{array}
|
||
\right)$。
|
||
|
||
所以$AX=\left(
|
||
\begin{array}{c}
|
||
a_11x_1+\cdots+a_{1n}x_n \\
|
||
\cdots \\
|
||
a_{m1}x_1+\cdots+a_{mn}x_n
|
||
\end{array}
|
||
\right)$。
|
||
|
||
从而$AX=b$等价于$\begin{cases}
|
||
a_{11}x_1+\cdots+a_{1n}x_n=b_1 \\
|
||
\cdots \\
|
||
a_{m1}x_1+\cdots+a_{mn}x_n=b_n
|
||
\end{cases}$，当$b=O$就是齐次线性方程。
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||
从而矩阵可以简单表示线性方程。
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||
\subsection{矩阵乘法与线性变换}
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||
矩阵乘法实际上就是线性方程组的线性变换，将一个变量关于另一个变量的关系式代入原方程组，得到与另一个变量的关系。
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||
$$\begin{cases}
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||
y_1=a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1s}x_s \\
|
||
\cdots \\
|
||
y_m=a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\cdots+a_{ms}x_s
|
||
\end{cases}\text{，}\begin{cases}
|
||
x_1=b_{11}t_1+b_{12}t_2+\cdots+b_{1n}t_n \\
|
||
\cdots \\
|
||
x_s=b_{s1}t_1+b_{s2}t_2+\cdots+b_{sn}t_n
|
||
\end{cases}\text{。}$$
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||
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||
原本是线性方程分别是$y$与$x$和$x$与$t$的关系式，而如果将$t$关于$x$的关系式代入$x$关于$y$的关系式中，就会得到$t$关于$y$的关系式：
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||
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||
$$\begin{cases}
|
||
y_1=a_{11}(b_{11}t_1+b_{12}t_2+\cdots+b_{1n}t_n)+\cdots+a_{1s}(b_{s1}t_1+b_{s2}t_2+\cdots+b_{sn}t_n) \\
|
||
\cdots \\
|
||
y_m=a_{m1}(b_{11}t_1+b_{12}t_2+\cdots+b_{1n}t_n)+\cdots+a_{ms}(b_{s1}t_1+b_{s2}t_2+\cdots+b_{sn}t_n)
|
||
\end{cases}$$
|
||
|
||
$$=\begin{cases}
|
||
y_1=(a_{11}b_{11}+\cdots+a_{1s}b_{s1})t_1+\cdots+(a_{11}b_{1n}+\cdots+a_{1s}b_{sn})t_n \\
|
||
\cdots \\
|
||
y_m=(a_{m1}b_{11}+\cdots+a_{ms}b_{s1})t_1+\cdots+(a_{m1}b_{1n}+\cdots+a_{ms}b_{sn})t_m
|
||
\end{cases}$$
|
||
|
||
这可以看作上面两个线性方程组相乘，也可以将线性方程组表示为矩阵，进行相乘就得到乘积，从而了解矩阵乘积与线性方程组的关系：
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||
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||
|
||
$$\left(\begin{array}{ccc}
|
||
a_{11} & \cdots & a_{1s} \\
|
||
\vdots & \ddots & \vdots \\
|
||
a_{m1} & \cdots & a_{ms}
|
||
\end{array}\right)_{m\times s}\left(\begin{array}{ccc}
|
||
b_{11} & \cdots & a_{1n} \\
|
||
\vdots & \ddots & \vdots \\
|
||
b_{s1} & \cdots & b_{sn}
|
||
\end{array}\right)_{s\times n}$$
|
||
|
||
$$=\left(\begin{array}{ccc}
|
||
a_{11}b_{11}+\cdots+a_{1s}b_{s1} & \cdots & a_{11}b_{1n}+\cdots+a_{1s}b_{sn} \\
|
||
\vdots & \ddots & \vdots \\
|
||
a_{m1}b_{11}+\cdots+a_{ms}b_{s1} & \cdots & a_{m1}b_{1n}+\cdots+a_{ms}b_{sn}
|
||
\end{array}\right)_{m\times n}\text{。}$$
|
||
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||
\subsection{线性方程组的解}
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对于一元一次线性方程：$ax=b$：
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\begin{itemize}
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||
\item 当$a\neq 0$时，可以解得$x=\dfrac{b}{a}$。
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||
\item 当$a=0$时，若$b\neq 0$时，无解，若$b=0$时，无数解。
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||
\end{itemize}
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||
当推广到多元一次线性方程组：$Ax=b$，如何求出$x$这一系列的$x$的解？
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从数学逻辑上看，已知多元一次方程，有$m$个约束方程，有$n$个未知数，假定$m\leqslant n$。
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||
当$m<n$时，就代表有更多的未知变量不能被方程约束，从而有$n-m$个自由变量，所以就是无数解，解组中其他解可以由自由变量来表示。
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||
当$m=n$时代表约束与变量数量相等，此时又要分三种情况。
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||
当所有的约束条件其中存在线性相关，即一部分约束条件可以由其他约束表示，则代表这部分约束条件是没用的，实际上的约束条件变少，从而情况等于$m<n$，结果是无数解。
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||
当所有的约束条件不存在线性相关，但是一部分约束条件互相矛盾，则约束条件下就无法解出解，从而结果是无实数解。
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当所有的约束条件不存在线性相关，且相互之间不存在矛盾情况，这时候才会解出一个实数解，从而结果是有唯一实解。
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||
若使用矩阵来解决线性方程组的问题，其系数矩阵$A_{m\times n}$。
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对于$A\neq O$，则$Ax=b$，若存在一个矩阵$B_{n\times n}$类似$\dfrac{1}{a}$，使得$BAx=Bb$，解得$Ex=x=Bb$，这个$B$就是$A$的逆矩阵。
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对于$A=O$即不可逆，需要判断$b$是否为0，若不是则无实数解，若是则无穷解，这种判断需要用到增广矩阵，需要用到矩阵的秩判断。
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\subsection{线性方程组的矩阵解表示}
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已知对于线性方程组$\begin{cases}
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a_{11}x_1+\cdots+a_{1n}x_n=b_1 \\
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\cdots \\
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||
a_{m1}x_1+\cdots+a_{mn}x_n=b_n
|
||
\end{cases}$。
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按乘积表示为$A_{m\times n}x_{n\times 1}=b_{m\times 1}$，然后将$A$按列分块，$x$按行分块：
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$$(a_1,a_2,\cdots,a_n)\left(\begin{array}{c}
|
||
x_1 \\
|
||
x_2 \\
|
||
\vdots \\
|
||
x_n
|
||
\end{array}\right)=b\text{，}\left(\begin{array}{c}
|
||
a_{11} \\
|
||
a_{21} \\
|
||
\vdots \\
|
||
a_{m1}
|
||
\end{array}\right)x_1+\cdots+\left(\begin{array}{c}
|
||
a_{1n} \\
|
||
a_{2n} \\
|
||
\vdots \\
|
||
a_{mn}
|
||
\end{array}\right)x_n=\left(\begin{array}{c}
|
||
b_1 \\
|
||
b_2 \\
|
||
\vdots \\
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||
b_m
|
||
\end{array}\right)\text{。}$$
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||
这三种都是解的表示方法。
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\section{逆矩阵}
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\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}逆矩阵类比倒数，若对于$n$阶矩阵$A$，有一个$n$阶矩阵$B$，使得$AB=BA=E$，则$A$可逆，$B$是$A$的逆矩阵也称为逆阵，且逆矩阵唯一，记为$B=A^{-1}$。
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||
\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}若矩阵$A$可逆，则$\vert A\vert\neq 0$。
|
||
|
||
证明：若$A$可逆，则$AA^{-1}=E$，所以$\vert A\vert\cdot\vert A^{-1}\vert=\vert E\vert=1$，$\vert A\vert\neq 0$。
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||
|
||
可以类比普通数字，若$a$有一个倒数$\dfrac{1}{a}$，则$a\neq 0$，否则无法倒。
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||
\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}若$\vert A\vert\neq 0$，则$A$可逆，且$A^{-1}=\dfrac{1}{\vert A\vert}A^*$。
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||
证明：$\because AA^*=A^*A=\vert A\vert E$，又$\vert A\vert\neq 0$，$A\dfrac{1}{\vert A\vert}A^*=\dfrac{1}{\vert A\vert}A^*A=E$。
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按逆矩阵定义，当$A$可逆，与$A^{-1}=\dfrac{1}{\vert A\vert}A^*$。
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当$\vert A\vert=0$时，$A$为\textbf{奇异矩阵}，否则是\textbf{非奇异矩阵}。
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\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}矩阵是可逆矩阵的必要条件是非奇异矩阵。
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\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}若$AB=E$或$BA=E$，则$B=A^{-1}$。
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\begin{itemize}
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||
\item 若$A$可逆，则$(A^{-1})^{-1}=A$。
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||
\item 若$A$可逆，数$\lambda\neq0$，则$(\lambda A)^{-1}=\dfrac{1}{\lambda}A^{-1}$。
|
||
\item 若$AB$为同阶矩阵且都可逆，则$(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$。
|
||
\item 若$A$可逆，则$(A^T)^{-1}=(A^{-1})^T$。
|
||
\item 若$A$可逆，$\lambda\mu$为整数时，$A^\lambda A^\mu=A^{\lambda+\mu}$，$(A^\lambda)^\mu=A^{\lambda\mu}$。
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||
\end{itemize}
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||
\section{矩阵初等变换}
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求逆矩阵可以使用伴随矩阵来求，但是只针对三阶以及以下的矩阵，若阶数过高则会十分困难。可以使用矩阵初等变换来实现求逆矩阵。且初等变换还可以用来求线性方程组的解。
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\subsection{初等变换}
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矩阵的三种初等行变换：
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\begin{enumerate}
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\item 对换两行（对换$ij$两行，记为$r_i\leftrightarrow r_j$）。
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\item 以数$k\neq0$乘某一行中的所有元（第$i$行乘$k$，记为$r_i\times k$），对角线元素全部为0。
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\item 把某一行所有元的$k$倍加到另一行对应元上（第$j$行的$k$倍加上第$i$行上，记为$r_i+kr_j$）。
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\end{enumerate}
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把对应的行换为列就得到初等列变换，将$r$改为$c$。其逆变换也是一种初等变换。初等行变换和初等列变换都是\textbf{初等变换}。
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||
\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}若$A$经过有限次行变换得到$B$，则称$AB$行等价，记为$A\overset{r}{\thicksim}B$；若$A$经过有限次列变换得到$B$，则称$AB$行等价，记为$A\overset{c}{\thicksim}B$；若$A$经过有限次初等变换得到$B$，则称$AB$行等价，记为$A\thicksim B$。
|
||
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||
矩阵之间的等价关系：
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||
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||
\begin{enumerate}
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||
\item 反身性：$A\thicksim A$。
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\item 对称性：若$A\thicksim B$，则$B\thicksim A$。
|
||
\item 传递性：若$A\thicksim B$，$B\thicksim C$，则$A\thicksim C$。
|
||
\end{enumerate}
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||
|
||
若是解方程组，则使用初等行变换解不会发生改变，若使用初等列变换则会改变解。
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||
\subsection{阶梯型矩阵}
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||
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||
将方程式用增广矩阵表示，然后通过初等行变换就可以对方程式进行消元。得到如下类型的矩阵结果，类似三角行列式，如：
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\begin{multicols}{2}
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||
|
||
$
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\left(
|
||
\begin{array}{@{} c c c c c @{}}
|
||
\multicolumn{1}{: c}{1} & 2 & -1 & 3 & 4 \\
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||
\cdashline{1-1}
|
||
0 & \multicolumn{1}{: c}{1} & 3 & -2 & -1 \\
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||
\cdashline{2-5}
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0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
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||
0 & 0 & 0 & 0 & 0
|
||
\end{array}
|
||
\right)
|
||
$
|
||
|
||
竖线区分零元素与非零元素，每行的竖线右方第一个元素，称为该非零行的\textbf{首非零元}。
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||
|
||
\end{multicols}
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||
|
||
行阶梯形矩阵\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}非零行在零行的上面，非零行的首非零元素所在列在上一行首非零元素所在列的右边的非零矩阵。
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行最简形矩阵\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}非零行的首非零元素为1，首非零元所在列其他的元全部为0的行阶梯矩阵。
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|
||
对于任何矩阵都能通过初等列变换变为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵，再通过列变换可以变为\textbf{标准形}：左上角是一个单位矩阵，其他元全部是0。
|
||
|
||
\end{document} |