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% 数学公式
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% 圆圈序号
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% 绘图
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\author{Didnelpsun}
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\title{一元函数微分学}
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\date{}
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\begin{document}
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\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
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% 表格高1.5倍
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\maketitle
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\thispagestyle{empty}
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\tableofcontents
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\thispagestyle{empty}
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\newpage
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\pagestyle{plain}
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\setcounter{page}{1}
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\section{概念}
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\subsection{引例}
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设$f(x)$下$x$在$x_0$的邻域内，$\alpha$为切线所成夹角。
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$\tan\alpha=f'(x_0)=\lim_{x\to x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=k$
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\subsection{导数}
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设$y=f(x)$定义在区间$I$上，让自变量在$x=x_0$处加一个增量$\Delta x$，其中$x_0\in I$，$x_0+\Delta x\in I$，则可得函数的增量$\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$。若函数增量$\Delta y$与自变量增量$\Delta x$的比值在$\Delta x\to 0$时的极限存在，则称函数$y=f(x)$在$x_0$处可导，并称这个极限为$y=f(x)$在点$x_0$处的导数，记作$f'(x)$，即$f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$。
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下面三句话等价：
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\begin{enumerate}
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\item $y=f(x)$在$x_0$处可导。
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\item $y=f(x)$在$x_0$处导数存在。
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\item $f'(x)=A$。（$A$为有限数）
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\end{enumerate}
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单侧导数分为左导数和右导数。
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$f'_-(x)=\lim_{\Delta x\to 0^-}\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$
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$f'_+(x)=\lim_{\Delta x\to 0^+}\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$
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所以$f(x)$在$x_0$处可导的充要条件是其左导数和右导数存在且相等。
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若$f(x)$在$x_0$的左右，如$y=\vert x\vert$在$0$的左右出现了单侧的不同的切线，那这个$x_0$就是一个\textbf{角点}，该角点处不可导。
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若$f(x)$在$x_0$处导数为无穷，如$y=x^{\frac{1}{3}}$在$0$处利用导数的极限定义计算得到为正无穷，那么该点的导数为无穷导数，在考研中被认为是不存在的。
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\textbf{例题1：}证明若$f(x)$为可导的偶函数，则$f'(x)$为奇函数，若$f(x)$为可导的奇函数，则$f'(x)$为偶函数。
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该证明是准备部分的定理。
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首先已知$f(-x)=f(x)$，证明$f'(-x)=-f'(x)$。
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$\therefore$
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$
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\begin{aligned}
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f'(-x) &=\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(-x+\Delta x)-f(-x)}{\Delta x} \\
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& =\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(x+(-\Delta x))}{\Delta x} \\
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& =-\lim_{-\Delta x\to 0}\dfrac{f(x+(-\Delta x))}{-\Delta x} \\
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& =-f'(x)
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\end{aligned}
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$
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同理得证$f(-x)=-f(x)\Rightarrow f'(-x)=f'(x)$。
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\textbf{例题2：}证明$f(x)$为可导的周期为$T$的周期函数，则$f'(x)$也是以$T$为周期的周期函数。
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已知$f(x+T)=f(x)$，求证$f'(x+T)=f'(x)$。
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$\therefore f'(x+T)=\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(x+T+\Delta x)-f(x+T)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}=f'(x)$。
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\textbf{例题3：}设$f(x)$是二阶可导的以2为周期的奇函数，且$f(\dfrac{1}{2})>0$，$f'(\dfrac{1}{2})>0$，比较$f(-\dfrac{1}{2})$、$f'(\dfrac{3}{2})$、$f''(0)$的大小。
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$\because f(x)$为二阶奇函数，$\therefore f(x)\text{奇函数}\Rightarrow f'(x)\text{偶函数}\Rightarrow f''(x)\text{奇函数}\Rightarrow f''(0)=0$。
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$\therefore f(-\dfrac{1}{2})=-f(\dfrac{1}{2})<0$。
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$\because f(x)T=2\Rightarrow f'(x)T=2$，$\therefore f'(\dfrac{3}{2})=f'(\dfrac{3}{2}-2)=f'(-\dfrac{1}{2})=f'(\dfrac{1}{2})>0$。
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$\therefore f'(\dfrac{3}{2})>f''(0)>f(-\dfrac{1}{2})$。
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\textbf{例题4：}证明$(uv)'=u'v+uv'$。
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令$f(x)=u(x)v(x)$。
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$
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\begin{aligned}
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& (u\cdot v)' \\
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& =f'(x) \\
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& =\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} \\
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& =\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{u(x+\Delta x)v(x+\Delta x)-u(x)v(x)}{\Delta x} \\
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& =\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{u(x+\Delta x)v(x+\Delta x)-u(x)v(x+\Delta x)+u(x)v(x+\Delta x)-u(x)v(x)}{\Delta x} \\
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||
& =\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{u(x+\Delta x)-u(x)}{\Delta x}v(x+\Delta x) +\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{v(x+\Delta x)-v(x)}{\Delta x}u(x) \\
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& =u'(x)v(x)+v'(x)u(x)
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\end{aligned}
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$
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\textbf{例题5：}证明可导必连续。
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已知连续定义：$\lim_{\Delta x\to 0}f(x+\Delta x)=f(x)$，即$\lim_{\Delta x\to 0}f(x+\Delta x)-f(x)=0$。
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可导定义：$f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} = A$
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$
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\begin{aligned}
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& \lim_{\Delta x\to 0}f(x+\Delta x)-f(x) \\
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& =\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\cdot\Delta x \\
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& =A\cdot 0 \\
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& =0
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\end{aligned}
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$
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\textbf{例题6：}若$f(x)$在$x=x_0$处连续，且$\lim_{x\to x_0}\dfrac{f(x)}{x-x_0}=A$，则$f(x_0)=0$且$f'(x_0)=A$。
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证明：$\because\text{连续，}\therefore f(x_0)=\lim_{x\to x_0}f(x)=\lim_{x\to x_0}\dfrac{f(x)}{x-x_0}(x-x_0)=A\cdot 0=0$。
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又$f'(x_0)=\lim_{x\to x_0\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}=\lim_{x\to x_0}\dfrac{f(x)}{x-x_0}=A$。
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如$\lim_{x\to 1}\dfrac{f(x)}{x-1}=2$且$f(x)$连续，可以推出$f(1)=0$与$f'(1)=2$。
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高阶导数\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}$f^n(x_0)=\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{f^{n-1}(x_0+\Delta x)-f^{n-1}(x_0)}{\Delta x}$，其中$n\geqslant 2$且$n\in N^+$，$f^{n-1}(x)$在$x_0$的某领域内有定义，$x_0+\Delta x$也在该邻域内。
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\subsection{微分}
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有一个边长为$x$的正方形，变化了$\Delta x$，其面积$\Delta S=(x+\Delta x)^2-x^2=2x\Delta x+(\Delta x)^2$。
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当$\Delta x\to 0$时，将这个变化定义为$2x\cdot\Delta x+o(\Delta x)$，前项为线性主部，后面为误差。这个就是$S$的微分。
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增量$\Delta y=f(x_0+\Delta)-f(x_0)=A\Delta x+o(\Delta x)$，这个$A\Delta x$定义为$\rm{d}y$，叫做$y$的微分。
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$\therefore \rm{d}y\vert_{x=x_0}=A\Delta x=y'(x_0)\cdot\Delta x=y'(x_0)\cdot\rm{d}x$
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由此，可导必可微，可微必可导。
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\begin{tikzpicture}[scale=0.9]
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\draw[-latex](-0.5,0) -- (4.5,0) node[below]{$x$};
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\draw[-latex](0,-0.5) -- (0,4) node[above]{$y$};
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\draw[black, thick, domain=1.5:3] plot (\x,{pow(\x-1,2)/2+1}) node[above]{$y(x)$};
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\filldraw[black] (0,0) node[below]{$O$};
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\draw[black, densely dashed](1.5,1.125) -- (1.5,0) node[below]{$x_0$};
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\draw[black, densely dashed](1.5,1.125) -- (0,1.125) node[left]{$y_0$};
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\draw[black, densely dashed](3,3) -- (3,0) node[below]{$x_0+\Delta x$};
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\draw[black, densely dashed](3,3) -- (0,3) node[left]{$y_0+\Delta x$};
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||
\draw[black, densely dashed](3,1.875) -- (0,0.375) node[left]{$\rm{d}yx+b$};
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||
\draw[<->, black](1.5,1.125) -- (3,1.125);
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||
\draw[<->, black](4,1.125) -- (4,3);
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||
\draw[<->, black](3.25,1.125) -- (3.25,1.875);
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||
\draw[<->, black](3.25,3) -- (3.25,1.875);
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||
\draw[black](3,3) -- (4.5,3);
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||
\draw[black](3,1.125) -- (4.5,1.125);
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||
\draw[black](3,1.875) -- (3.75,1.875);
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||
\filldraw[black] (2.25,0.75) node{$\Delta x$};
|
||
\filldraw[black] (4.3,2) node{$\Delta y$};
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||
\filldraw[black] (3.5,1.5) node{\scriptsize{$\rm{d}y$}};
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||
\filldraw[black] (3.5,2.5) node{\scriptsize{$o(\Delta x)$}};
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\end{tikzpicture}
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所以可微就是用简单线性取代复杂线性，如图用直线取替代曲线。
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\section{导数与微分计算}
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\subsection{四则运算}
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若函数可导：
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\begin{enumerate}
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\item 和差的导数或微分：$[u(x)\pm v(x)]'=u'(x)\pm v'(x)$，$\rm{d}[u(x)\pm v(x)]=\rm{d}u(x)\pm\rm{d}v(x)$。
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\item 积的导数或微分：$[u(x)v(x)]'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)$，$\rm{d}[u(x)v(x)]=u(x)\rm{d}v(x)+v(x)\rm{d}u(x)$，$[u(x)v(x)w(x)]'=u'(x)v(x)w(x)+u(x)v'(x)w(x)+u(x)v(x)+w'(x)$。
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||
\item 商的导数：$\left[\dfrac{u(x)}{v(x)}\right]'=\dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}$，$\rm{d}\left[\dfrac{u(x)}{v(x)}\right]=\dfrac{v(x)\rm{d}u(x)-u(x)\rm{d}v(x)}{[v(x)]^2}$，$v(x)\neq 0$。
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||
\item 复合函数的导数：链式求导法则$\dfrac{\rm{d}u}{\rm{d}x}=\dfrac{\rm{d}u}{\rm{d}y}\cdot\dfrac{\rm{d}y}{\rm{d}x}$。
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\end{enumerate}
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\subsection{分段函数的导数}
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设$f(x)=\left\{
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\begin{array}{lcl}
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f_1(x), & & x\geqslant x_0 \\
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f_2(x), & & x<x_0 \\
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\end{array}
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\right.$。
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在分段点用定义：判断$f'_+(x_0)=\lim_{x\to x_0^+}\dfrac{f_1(x)-f(x_0)}{x-x_0}\overset{?}{=}\lim_{x\to x_0^-}\dfrac{f_2(x)-f(x_0)}{x-x_0}$。
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非分段点使用导数公式求导：$x>x_0,f'(x)=f_1'(x),x<0，f'(x)=f_2'(x)$。
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\subsection{复合函数的导数与微分形式不变性}
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$u=g(x)$在$x$可导，$y=f(u)$在$u=g(x)$处可导，则$\{f[g(x)]\}'=f'[g(x)]g'(x)$，$\rm{d}\{f[g(x)]\}=f'[g(x)]g'(x)\rm{d}x$。
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一阶微分形式不变性指：$\rm{d}f(\varsigma)=f'(\varsigma)\rm{d}\varsigma$，无论$\varsigma$是什么。（类似导数的链式求导法则）
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\textbf{例题7：}设$f(x)=\Pi_{n=1}^{100}\left(\tan\dfrac{\pi x^a}{4}-n\right)$，则$f'(1)$为？
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原式=$\left(\tan\dfrac{\pi x}{4}-1\right)\left(\tan\dfrac{\pi x^2}{4}-2\right)\cdots\left(\tan\dfrac{\pi x^100}{4}-100\right)$。
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令$\left(\tan\dfrac{\pi x^2}{4}-2\right)\cdots\left(\tan\dfrac{\pi x^100}{4}-100\right)=g(x)$。
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$\therefore f(x)=\left(\tan\dfrac{\pi x}{4}-1\right)\cdot g(x)$。
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$\therefore f'(x)=\sec^2\dfrac{\pi x}{4}\cdot\dfrac{\pi}{4}\cdot g(x)+\left(\tan\dfrac{\pi x}{4}-1\right)\cdot g'(x)$。
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$\therefore$根据导数的四则运算，需要导数的乘积为每一项求导乘以其他不求导项的和，而$\tan\dfrac{\pi x}{4}-1$当$x=1$时为0，只要它不求导，其他的项都必然是0，所以原式的后面的结果都是0。
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$\therefore$
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$
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\begin{aligned}
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f'(1) & =f'(x)\vert_{x=1} \\
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& =\dfrac{\pi}{2}\cdot g(1)+0\cdot g'(x) \\
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& =\dfrac{\pi}{2}\cdot g(1) \\
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& =\dfrac{\pi}{2}(-1)(-2)\cdots(-99) \\
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& =-\dfrac{\pi}{2}\cdot 99!
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\end{aligned}
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$
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\textbf{例题8：}设$y=e^{\sin(\ln x)}$，求$\rm{d}y$。
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$\because y=e^{\sin(\ln x)} \therefore$
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$
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\begin{aligned}
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\rm{d}y &=\rm{d}e^{\sin(\ln x)} \\
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& =e^{\sin(\ln x)}\cdot\rm{d}(\sin(\ln x)) \\
|
||
& =e^{\sin(\ln x)}\cdot\cos(\ln x)\cdot\rm{d}\ln x \\
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||
& =e^{\sin(\ln x)}\cdot\cos(\ln x)\cdot\dfrac{1}{x}\rm{d}x
|
||
\end{aligned}
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$
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||
\subsection{反函数导数}
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\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}$y=f(x)$可导，且$f'(x)\neq 0$，则存在反函数$x=\varphi(y)$，且$\dfrac{\rm{d}x}{\rm{d}y}=\dfrac{1}{\dfrac{\rm{d}y}{\rm{d}x}}$，即$\varphi'(x)=\dfrac{1}{f'(x)}$。
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||
$y=f(x)$可导，且$f'(x)\neq 0$就是指严格单调，而严格单调必有反函数。
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\textbf{例题9：}求$y=\arcsin x,x\in(-1,1)$与$y=\arctan x$的导数。
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首先反三角函数就是三角函数的反函数、
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求$y=\arcsin x$，即$x=\sin y$。
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$\therefore\dfrac{\rm{d}\arcsin x}{\rm{d}x}=\dfrac{1}{\dfrac{\rm{d}\sin y}{\rm{d}y}}=\dfrac{1}{\cos y}=\dfrac{1}{\sqrt{1-\sin^2y}}=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$。
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||
求$y=\arctan x$，就$x=\tan y$。
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||
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$\therefore\dfrac{\rm{d}\arctan x}{\rm{d}x}=\dfrac{1}{\dfrac{\rm{d}\tan y}{\rm{d}y}}=\dfrac{1}{\sec^2y}=\dfrac{1}{1+\tan^2y}=\dfrac{1}{1+x^2}$。
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||
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||
二阶反函数导数\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}：
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$
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\begin{aligned}
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f''(x) &=y''_{xx} \\
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||
& =\dfrac{\rm{d}\left(\dfrac{\rm{d}y}{\rm{d}x}\right)}{\rm{d}x} \\
|
||
& =\dfrac{\rm{d}^2y}{\rm{d}x^2} \\
|
||
& =\dfrac{\rm{d}\left(\dfrac{1}{\varphi'(y)}\right)}{\rm{d}x} \\
|
||
& =\dfrac{\rm{d}\left(\dfrac{1}{\varphi'(y)}\right)}{\rm{d}y}\cdot\dfrac{\rm{d}y}{\rm{d}x} \\
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||
& =-\dfrac{x_{yy}''}{(x_y')^2}\cdot\dfrac{1}{x_y'} \\
|
||
& =-\dfrac{x_{yy}''}{(x_y')^3}
|
||
\end{aligned}
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||
$
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||
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||
其中$\rm{d}x\cdot\rm{d}x=(\rm{d}x)^2=\rm{d}x^2$称为微分的幂，而$\rm{d}(x^2)$叫幂的微分。
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||
\textbf{例题10：}设$y=f(x)$的反函数是$x=\varphi(y)$，且$f(x)=\int_1^{2x}e^{t^2}\rm{d}t+1$，求$\varphi''(1)$。
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||
$\because y=f(x)$，$\therefore x=\varphi(y)$，$x_{yy}''=\varphi''(y)=-\dfrac{y_{xx}''}{(y_x')^3}=-\dfrac{f''(x)}{[f'(x)]^3}$。
|
||
|
||
其中根据变限积分求导公式：$f'(x)=2e^{4x^2}$，$f''(x)=2e^{4x^2}\cdot 8x=16xe^{4x^2}$
|
||
|
||
又$y=1\Rightarrow x=\dfrac{1}{2}\Rightarrow\varphi''(1)=-\dfrac{f''\left(\dfrac{1}{2}\right)}{\left[f'\left(\dfrac{1}{2}\right)\right]^3}=-\dfrac{1}{e^2}$。
|
||
|
||
\subsection{参数方程函数导数}
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||
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||
设函数$y=y(x)$由参数方程$\left\{
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||
\begin{array}{l}
|
||
x=\varphi(t) \\
|
||
y=\psi(t)
|
||
\end{array}
|
||
\}\right.$确定，其中$t$为参数，且$\varphi(t)\psi(t)$对于$t$都可导，$\varphi(t)\neq 0$，则：
|
||
|
||
\bigskip
|
||
|
||
一阶导数：$\dfrac{\rm{d}y}{\rm{d}x}=\dfrac{\rm{d}y/\rm{d}t}{\rm{d}x/\rm{d}t}=\dfrac{\psi'(t)}{\varphi'(t)}=u(t)$。
|
||
|
||
二阶导数：$\dfrac{\rm{d}^2y}{\rm{d}x^2}=\dfrac{\rm{d}\left(\dfrac{\rm{d}y}{\rm{d}x}\right)}{\rm{d}x}=\dfrac{\rm{d}\left(\dfrac{\rm{d}y}{\rm{d}x}\right)/\rm{d}t}{\rm{d}x/\rm{d}t}=\dfrac{\rm{d}u/\rm{d}t}{\rm{d}x/\rm{d}t}=\dfrac{u'_t}{x'_t}$
|
||
|
||
\textbf{例题11：}设$y=y(x)$由方程$\left\{
|
||
\begin{array}{l}
|
||
x=\sin t \\
|
||
y=t\sin t+\cos t
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||
\end{array}
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\right.
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$（$t$为参数）确定，求$\dfrac{\rm{d}^2y}{\rm{d}x^2}\vert_{t=\frac{\pi}{4}}$。
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求参数方程的二阶导数首先就要求出其一阶导数：
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$\dfrac{\rm{d}y}{\rm{d}x}=\dfrac{y_t'}{x_t'}=\dfrac{t\cos t}{\cos t}=t$。
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$\therefore\dfrac{\rm{d}^2y}{\rm{d}x^2}=\dfrac{\rm{d}\left(\dfrac{\rm{d}y}{\rm{d}x}\right)}{\rm{d}x}=\dfrac{t_t'}{(\sin t)_t'}=\dfrac{1}{\cos t}$
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$\therefore \sqrt{2}$。
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\subsection{隐函数求导法}
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设函数$y=y(x)$由方程$F(x,y)=0$确定的可导函数，则\ding{172}方程两边对自变量$x$求导，（$y=y(x)$就是将$y$看作中间变量）得到一个关于$y'$的方程。\ding{173}解该方程就可以得出$y'$。
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\textbf{例题12：}设$y=y(x)$是由方程$\sin(xy)=\ln\dfrac{x+e}{y}+1$确定的隐函数，求$y'(0)$。
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两边求导：
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$
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\begin{aligned}
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\sin(xy) &=\ln(x+e)-\ln(y)+1 \\
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\cos(xy)(y+xy') &=\dfrac{1}{x+e}-\dfrac{y'}{y} \\
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\because\text{将0代入} & x=0, y=e^2 \\
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e^2&=\dfrac{1}{e}-\dfrac{y'(0)}{e^2} \\
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y'(0) & =e-e^4
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\end{aligned}
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$
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\subsection{对数求导法}
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对于多项相乘、相除、开方、乘方的式子，一般先取对数再求导，设$y=f(x)(f(x)>0)$，则\ding{172}等式两边取对数：$\ln y=\ln f(x)$。\ding{173}两边对自变量$x$求导，得$\dfrac{1}{y}y'=[\ln f(x)]'\Rightarrow y'=y[\ln f(x)]'$。
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\textbf{例题13：}求$y=\sqrt[3]{\dfrac{(x+1)(2x-1)^2}{(4-3x)^5}}$的导数。
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取对数：$\ln\vert y\vert=\dfrac{1}{3}[\ln\vert x+1\vert+2\ln\vert 2x-1\vert-5\ln\vert 4-3x\vert]$。
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$\because \ln\vert y\vert'=\ln y'$。
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两边对x求导：
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$\dfrac{y'}{y}=\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{4}{2x-1}-\dfrac{5}{4-3x}\cdot(-3)\right)$
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$\therefore y'=\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{4}{2x-1}-\dfrac{5}{4-3x}\cdot(-3)\right)y$
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\subsection{幂指函数求导法}
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非常重要。
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对于$u(x)^{v(x)}(u(x)>0,u(x)\neq 1)$除了对数求导法外还可以使用指数函数$u(x)^{v(x)}=e^{v(x)\ln u(x)}$，然后求导得到$[u(x)^{v(x)}]'=[e^{v(x)\ln u(x)}]'=u(x)^{v(x)}\left[v'(x)\ln u(x)+v(x)\cdot\dfrac{u'(x)}{u(x)}\right]$。
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\textbf{例题14：}求$y=x^x(x>0)$的导数。
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$\because x^x=e^{x\ln x}$，$\therefore (x^x)'=(e^{x\ln x})'=x^x\cdot(\ln x+1)$。
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\textbf{例题15：}求解$y=x^{\frac{1}{x}}(x>0)$的整数最大值。
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$\because y=x^{\frac{1}{x}}=e^{\frac{1}{x}\ln x}$。
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$\therefore y'=\left(x^{\frac{1}{x}}\right)=\left(e^{\frac{1}{x}\ln x}\right)'=x^{\frac{1}{x}}\cdot\dfrac{1-\ln x}{x^2}$。
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令导数结果为0，因为$x^{\frac{1}{x}}$与$x^2$在$x>0$时都不为0，所以只有一个驻点$x=e$。
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$0<x<e$时$1-\ln x$大于0，所以导数大于0，函数在该区间增。相反$x>e$时函数在区间减。
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研究驻点左侧情况，求对应的极限：$e^{\lim_{x\to 0^+}\frac{\ln x}{x}}=e^{-\infty}\to 0$。
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研究驻点右侧情况，求对应的极限：$e^{\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x}}=e^0\to 1$。
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\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
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\draw[-latex](-0.5,0) -- (10,0) node[below]{$x$};
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\draw[-latex](0,-0.5) -- (0,3) node[above]{$y$};
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\draw[black, thick, domain=0.1:10] plot (\x,{pow(\x,pow(\x,-1))});
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||
\filldraw[black] (8,2.5) node{$y=x^{\frac{1}{x}}$};
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\filldraw[white, draw=black, line width=1pt] (0,0) circle (4pt);
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||
\filldraw[black] (0,0) node[below]{$O$};
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||
\filldraw[black] (e,1.5) circle (4pt);
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||
\filldraw[black] (e,1.5) node[above]{$(e,\sqrt[e]{e})$};
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||
\draw[black, densely dashed](e,1.5) -- (e,0) node[below]{$e$};
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||
\draw[black, densely dashed](10,1.5) -- (0,1.5) node[left]{$\sqrt[e]{e})$};
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||
\end{tikzpicture}
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||
所以必然在$\sqrt{2}$与$\sqrt[3]{3}$两点取得整数最大值，而全部六次方后$\sqrt{2}^6=8<\sqrt[3]{3}=9$，所以$\sqrt[3]{3}$为最大整数解。
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\subsection{高阶导数}
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即导数阶数在2以及以上的导数计算。
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\subsubsection{归纳法}
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即依次求导得出规律。
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$(a^x)^n=a^x(\ln a)^{(n)}$，如$y=2^x$，则$y'=2^x\ln 2$，$y''=2^x(\ln 2)^2\cdots$得到$y^{(n)}=2^x(\ln 2)^n,n\in N$。
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\textbf{例题16：}求$\sin x$的$n$阶导数。
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$\because \sin x'=\cos x$而不断求导会发现正负号会++--++--地变化而难以归纳为公式，所以需要另想办法。
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使用诱导公式：
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$
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\begin{aligned}
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y'& =\cos x=\sin(x+\dfrac{\pi}{2}) \\
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y''& =\cos(x+\dfrac{\pi}{2})=\sin(x+\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{\pi}{2}) \\
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\cdots & \\
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y^{(n)}& =\sin(x+\dfrac{\pi}{2}\cdot n)
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\end{aligned}
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$
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\subsubsection{莱布尼茨公式}
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设$u=u(x)$，$v=v(x)$均$n$阶可导，则$(uv)^{(n)}=\sum_{k=0}^nC_n^ku^{(n-k)}v^{(k)}$。
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展开：$(uv)^{(n)}=C_n^0u^{(n)}v^{(0)}+C_n^1u^{(n-1)}v'+\cdots+C_n^nu^{(0)}v^{(n)}$。
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||
莱布尼兹公式里的系数与考研数学准备章节的因式分解公式的二次项公式的系数一致，可以使用杨辉三角形来记忆：
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\begin{tikzpicture}[scale=0.9]
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||
\node[black] at (0,0) {$C_0^0$};
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||
\node[black] at (-1,-1) {$C_1^0$};
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||
\node[black] at (0,-1) {$C_1^1$};
|
||
\node[black] at (-2,-2) {$C_2^0$};
|
||
\node[black] at (-1,-2) {$C_2^1$};
|
||
\node[black] at (-0,-2) {$C_2^2$};
|
||
\node[black] at (-3,-3) {$C_3^0$};
|
||
\node[black] at (-2,-3) {$C_3^1$};
|
||
\node[black] at (-1,-3) {$C_3^2$};
|
||
\node[black] at (-0,-3) {$C_3^3$};
|
||
\node[black] at (-4,-4) {$C_4^0$};
|
||
\node[black] at (-3,-4) {$C_4^1$};
|
||
\node[black] at (-2,-4) {$C_4^2$};
|
||
\node[black] at (-1,-4) {$C_4^3$};
|
||
\node[black] at (-0,-4) {$C_4^4$};
|
||
\end{tikzpicture}
|
||
\hspace{2.5em}
|
||
\begin{tikzpicture}[scale=0.9]
|
||
\node[black] (0) at (0,0) {1};
|
||
\node[black] (1) at (-1,-1) {1};
|
||
\node[black] (2) at (1,-1) {1};
|
||
\node[black] (3) at (-2,-2) {1};
|
||
\node[black] (4) at (0,-2) {2};
|
||
\node[black] (5) at (2,-2) {1};
|
||
\node[black] (6) at (-3,-3) {1};
|
||
\node[black] (7) at (-1,-3) {3};
|
||
\node[black] (8) at (1,-3) {3};
|
||
\node[black] (9) at (3,-3) {1};
|
||
\node[black] (10) at (-4,-4) {1};
|
||
\node[black] (11) at (-2,-4) {4};
|
||
\node[black] (12) at (0,-4) {6};
|
||
\node[black] (13) at (2,-4) {4};
|
||
\node[black] (14) at (4,-4) {1};
|
||
\draw[-,thick] (0) to (1);
|
||
\draw[-,thick] (0) to (2);
|
||
\draw[-,thick] (1) to (3);
|
||
\draw[-,thick] (1) to (4);
|
||
\draw[-,thick] (2) to (4);
|
||
\draw[-,thick] (2) to (5);
|
||
\draw[-,thick] (3) to (6);
|
||
\draw[-,thick] (3) to (7);
|
||
\draw[-,thick] (4) to (7);
|
||
\draw[-,thick] (4) to (8);
|
||
\draw[-,thick] (5) to (8);
|
||
\draw[-,thick] (5) to (9);
|
||
\draw[-,thick] (6) to (10);
|
||
\draw[-,thick] (6) to (11);
|
||
\draw[-,thick] (7) to (11);
|
||
\draw[-,thick] (7) to (12);
|
||
\draw[-,thick] (8) to (12);
|
||
\draw[-,thick] (8) to (13);
|
||
\draw[-,thick] (9) to (13);
|
||
\draw[-,thick] (9) to (14);
|
||
\end{tikzpicture}
|
||
|
||
\textbf{例题17：}已知函数$y=e^x\cos x$，求$y^{(4)}$。
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根据莱布尼兹公式：
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$
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\begin{aligned}
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& (e^x\cos x)^{(4)} \\
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& =C_4^0e^x\cos x+C_4^1e^x(-\sin x)+C_4^2e^x(-\cos x)+C_4^3e^x(\sin x)+C_4^4e^x(\cos x) \\
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||
& =e^x\cos x+4e^x(-\sin x)+6e^x(-\cos x)+4e^x\sin x+e^x\cos x \\
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||
& =-4e^x\cos x
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||
\end{aligned}
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$
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\subsubsection{泰勒公式}
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先写出$y=f(x)$的泰勒公式或麦克劳林公式，再通过比较系数来获得$f^{(n)}(x_0)$：
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\begin{enumerate}
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\item 任何一个无穷阶可导的函数（在收敛的情况下）都可以写为 \\
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$y=f(x)=\sum_{n=0}^\infty\dfrac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n$ 或 $y=f(x)=\sum_{n=0}^\infty\dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$。
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||
\item 给出的任意一个具体的无穷阶可导函数$y=f(x)$都可以通过已知的公式展开为幂级数。
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||
\item 而函数的展开式具有唯一性，比较步骤一步骤二的公式的系数就可以获取倒$f^{(n)}(x_0)$或$f^{(n)}(0)$。
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\end{enumerate}
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\textbf{例题18：}设$y=x^3\sin x$，求$y^{(6)}(0)$。
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\ding{172}$y=\sum_{n=0}^\infty\dfrac{y^{(n)}(0)}{n!}x^n$。
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$\because$需要结果的导数阶数为6，所以最后得到的次数为6就可以了。
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\ding{173}$\therefore y=x^3\left(x-\dfrac{1}{6}x^3+\cdots\right)=x^4-\dfrac{1}{6}x^6+\cdots$（不要写$o(x^n)$，因为这里$x$并不是趋向0的）。
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||
\ding{174}步骤一的抽象函数当$n=6$时为$\dfrac{y^{(6)}(0)}{6!}x^6$，它应该与步骤二得到的$x^4-\dfrac{1}{6}x^6+\cdots$的6阶项的系数相等。
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$\therefore \dfrac{y^{(6)}(0)}{6!}=-\dfrac{1}{6}\Rightarrow y^{(6)}(0)=-5!=-120$。
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\subsection{变限积分求导公式}
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必然会考。
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已知更改区间限制的积分$s(x)=\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)}g(t)\rm{d}x$，$s'(x)=g[\varphi_2(x)]\cdot\varphi_2'(x)-g[\varphi_1(x)]\cdot\varphi_1'(x)$。
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\subsection{基本求导公式}
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\subsubsection{对幂指函数}
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\begin{center}
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\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
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\hline
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原函数 & 导函数 & 原函数 & 导函数\\ \hline
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$C$ & $0$ & $n^x$ & $n^x\ln n$ \\ \hline
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||
$\log_ax$ & $\dfrac{1}{x\ln a}$ & $\ln x=\ln\vert x\vert$ & $\dfrac{1}{x}$ \\ \hline
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||
$x^n$ & $nx^{n-1}$ & $\sqrt[n]{x}$ & $\dfrac{x^{-\frac{n-1}{n}}}{n}$ \\ \hline
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||
$\dfrac{1}{x^n}$ & $-\dfrac{n}{x^{n+1}}$ & & \\
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\hline
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||
\end{tabular}
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\end{center}
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\subsubsection{三角与反三角函数}
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\begin{center}
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\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
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\hline
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原函数 & 导函数 & 原函数 & 导函数\\ \hline
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$\sin x$ & $\cos x$ & $\cos x$ & $-\sin x$ \\ \hline
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$\tan x$ & $\dfrac{1}{\cos^2x}=\sec^2x$ & $\cot x$ & $\dfrac{1}{\sin^2x}=\csc^2x$ \\ \hline
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||
$\sec x$ & $\sec x\tan x$ & $\csc x$ & $-\csc x\cot x$ \\ \hline
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||
$\arcsin x$ & $\dfrac{1}{1-x^2}$ & $\arccos x$ & $-\dfrac{1}{1-x^2}$ \\ \hline
|
||
$\arctan x$ & $\dfrac{1}{1+x^2}$ & $\rm{arccot}\,\textit{x}$ & $-\dfrac{1}{1+x^2}$ \\ \hline
|
||
$\rm{arcsec}\,\textit{x}$ & $\dfrac{1}{x\sqrt{x^2-1}}$ & $\rm{arccsc}\,\textit{x}$ & $-\dfrac{1}{x\sqrt{x^2-1}}$ \\ \hline
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||
\hline
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||
\end{tabular}
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\end{center}
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\subsubsection{双曲与反双曲函数}
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\begin{itemize}
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\item 双曲正弦：$\rm{sinh}\,\textit{x}=\rm{sh}\,\textit{x}=\dfrac{e^x-e^{-x}}{2}$。
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||
\item 双曲余弦：$\rm{cosh}\,\textit{x}=\rm{ch}\,\textit{x}=\dfrac{e^x+e^{-x}}{2}$。
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||
\item 双曲正切：$\rm{tanh}\,\textit{x}=\rm{th}\,\textit{x}=\dfrac{\rm{sinh}\,\textit{x}}{\rm{cosh}\,\textit{x}}=\dfrac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}$。
|
||
\item 双曲余切：$\rm{coth}\,\textit{x}=\dfrac{\rm{cosh}\,\textit{x}}{\rm{sinh}\,\textit{x}}=\dfrac{e^x+e^{-x}}{e^x-e^{-x}}$。
|
||
\item 双曲正割：$\rm{sech}\,\textit{x}=\dfrac{1}{\rm{cosh}\,\textit{x}}=\dfrac{2}{e^x+e^{-x}}$。
|
||
\item 双曲余割：$\rm{csch}\,\textit{x}=\dfrac{1}{\rm{sinh}\,\textit{x}}=\dfrac{2}{e^x-e^{-x}}$。
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||
\item 反双曲正弦：$\rm{arcsinh}\,\textit{x}=\ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)$。
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||
\item 反双曲余弦：$\rm{arccosh}\,\textit{x}=\ln\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)$。
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||
\item 反双曲正切：$\rm{arctanh}\,\textit{x}=\dfrac{1}{2}\ln\left(\dfrac{1+x}{1-x}\right)$。
|
||
\end{itemize}
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||
\begin{center}
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\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
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||
\hline
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原函数 & 导函数 & 原函数 & 导函数\\ \hline
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$\rm{sinh}\,\textit{x}$ & $\rm{cosh}\,\textit{x}$ & $\rm{cosh}\,\textit{x}$ & $\rm{sinh}\,\textit{x}$ \\ \hline
|
||
$\rm{tanh}\,\textit{x}$ & $\dfrac{1}{\rm{cosh}\,\textit{x}^2}$ & $\rm{arcsinh}\,\textit{x}$ & $\dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}}$ \\ \hline
|
||
$\rm{arccosh}\,\textit{x}$ & $\dfrac{1}{\sqrt{x^2-1}}$ & $\rm{arctan}\,\textit{x}$ & $\dfrac{1}{1-x^2}$ \\
|
||
\hline
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||
\end{tabular}
|
||
\end{center}
|
||
|
||
\end{document}
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