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% 数学公式
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% 超链接
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\author{Didnelpsun}
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\title{向量}
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\date{}
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\begin{document}
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\maketitle
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\pagestyle{empty}
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\thispagestyle{empty}
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\tableofcontents
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\thispagestyle{empty}
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\newpage
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\setcounter{page}{1}
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线性代数的主要研究对象就是向量，行列式与矩阵都是由向量组成的向量组。
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\section{向量与向量组}
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\subsection{向量的定义与运算}
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$n$维向量\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}$n$个数构成的一个有序数组$[a_1,a_2,\cdots,a_n]$称为一个$n$维向量，记为$\alpha=[a_1,a_2,\cdots,a_n]$，并称$\alpha$为$n$维行向量，$\alpha^T$为$n$维列向量，$a_i$为向量$\alpha$的$i$个分量。
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若$\alpha$与$\beta$都是$n$维向量，且对应元素相等，则$\alpha=\beta$。
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$\alpha+\beta=[a_1+b_1,a_2+b_2,\cdots,a_n+b_n]$。
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$k\alpha=[ka_1,ka_2,\cdots,ka_3]$。
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\subsection{向量组的线性概念}
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线性组合$\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}$$m$个$n$维向量$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m$以及$m$个数$k_1,k_2,\cdots,k_m$，则向量$k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_m\alpha_m$就是向量组$a_1,a_2,\cdots,a_m$的线性组合。
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线性表出$\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}$若向量$\beta$能表示成向量组$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,a_m$的线性组合，则存在$m$个数$k_1,k_2,\cdots,k_m$，使得$\beta=k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_m\alpha_m$，则成向量$\beta$能被向量组$a_1,a_2,\cdots,a_m$线性表出。否则不能被线性表出。
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线性相关$\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}$对$m$个$n$维向量$a_1,a_2,\cdots,a_m$，存在一组不全为0的数$k_1,k_2,\cdots,k_m$，使得$k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_m\alpha_m=0$，则称$a_1,a_2,\cdots,a_m$线性相关。
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含有零向量或成比例向量的向量组必然线性相关。
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线性无关$\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}$对$m$个$n$维向量$a_1,a_2,\cdots,a_m$，不存在一组不全为0的数$k_1,k_2,\cdots,k_m$，使得$k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_m\alpha_m=0$，即仅当$k_1=k_2=\cdots=k_m=0$才成立，则称$a_1,a_2,\cdots,a_m$线性无关。
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两个非零向量，不成比例向量的向量必然线性无关。
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\end{document}
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