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\documentclass[UTF8]{ctexart}
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% UTF8编码，ctexart现实中文
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% 使用颜色
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% 设置四级目录与标题
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% 默认页边距为1英尺与1.25英尺
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% 首行缩进2个中文字符
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% 1.5倍行距
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% 因为所以
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% 数学公式
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\author{Didnelpsun}
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\title{函数与极限练习题}
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\date{}
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\begin{document}
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\maketitle
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\thispagestyle{empty}
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\tableofcontents
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\thispagestyle{empty}
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\newpage
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\pagestyle{plain}
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\setcounter{page}{1}
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\section{求极限值}
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\subsection{等价无穷小替换}
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当看到复杂的式子，且当$x\to 0$时，使用等价无穷小进行替换。
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求$\lim_{x\to 0}\dfrac{(e^{x^2}-1)(\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x})}{[\ln(1-x)+\ln(1+x)]\sin\dfrac{x}{x+1}}$。
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在明显的部分由等价无穷小的式子得到：$e^{x^2}-1\sim x^2$，$\sin\dfrac{x}{x+1}=\dfrac{x}{x+1}$。
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并注意在积或商的时候不能把对应的部分替换为0，如分母部分的$[\ln(1-x)+\ln(1+x)]$就无法使用$\ln(1+x)\sim x$替换为$-x+x$，这样底就是0了，无法求得最后的极限。
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这时可以尝试变形，如对数函数相加等于对数函数内部式子相乘：$\ln(1-x)+\ln(1+x)=\ln(1-x^2)\sim-x^2$。
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对于无法直接得出变换式子的，可以对对应参数进行凑，以达到目标的可替换的等价无穷小。
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对分子部分的$\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}$无法使用$(1+x)^a-1\sim ax$替换为$(1+x)^{\frac{1}{2}}-1-[(1-x)^{\frac{1}{2}}-1]\sim\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{2}x=x$。
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将所有替换的无穷小代入原式：$=\lim_{x\to 0}\dfrac{x^2\cdot x}{-x^2\cdot\dfrac{x}{1+x}}=\lim_{x\to 0}-(1+x)=-1$。
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\subsection{幂指类型}
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当出现$f(x)^{g(x)}$的类似幂函数与指数函数类型的式子，需要使用$u^v=e^{v\ln u}$。
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求$\lim_{x\to\infty}$
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\end{document}
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