From b97b5d0d9631ad983160c9d952593e7de17fafa7 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: estomm Date: Fri, 27 Dec 2019 23:57:53 +0800 Subject: [PATCH] =?UTF-8?q?=E5=A4=9A=E5=85=83=E6=AD=A3=E5=A4=AA?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- 概率论与数理统计/第18节 方差分析.md | 175 +++++++++++++++++- 概率论与数理统计/第19节 正交实验设计.md | 72 ++++++- 概率论与数理统计/第20节 多元正态分布.md | 112 +++++++++++ .../第21节 多元正太分布的参数估计.md | 45 +++++ .../第22节 多元正太总体的假设检验.md | 82 ++++++++ 5 files changed, 480 insertions(+), 6 deletions(-) diff --git a/概率论与数理统计/第18节 方差分析.md b/概率论与数理统计/第18节 方差分析.md index adac8ea3..f73e5fce 100644 --- a/概率论与数理统计/第18节 方差分析.md +++ b/概率论与数理统计/第18节 方差分析.md @@ -1,7 +1,7 @@ # 方差分析 -## 单因素试验方差分析 +## 1 单因素试验方差分析 > 第三章假设检验，主要用来检验两个总体的均值和方差的关系。这里的方差分析，主要用来检验多个不同的因素的均值和方差的关系。 @@ -90,7 +90,7 @@ $$ 假设H_0成立时，\frac{S_A}{\sigma^2}\sim\chi^2(p-1) $$ -### 定理：F检验 +### 定理3：F检验 * 检验统计量 $$ F=\frac{S_A/(p-1)}{S_e/(n-p)}\sim F(p-1,n-p) @@ -101,7 +101,176 @@ W=\{F:F\geq F_{1-\alpha}((p-1),n-p)\} $$ > 重点：5.1.4表 -## 双因素试验方差分析 +## 2 双因素试验方差分析——无重复实验的方差分析 + +### 模型构建1 + +* 问题重述 + * 因素A有p个不同的水平，$A_1\cdots A_p$ + * 因素B有q个不同的水平，$B_1\cdots B_p$ + * 共有pq=n个实验结果。$X_{ij}$服从同方差的正太分布$N(\mu_{ij},\sigma^2)$，参数未知。 + * 检验n个样本的均值$\mu_{ij}$是否具有显著性差异 + +* 统计模型 +$$ +x_{ij}=\mu_{ij}+\varepsilon_{ij} +$$ +其中$\mu_{ij}$描述了因素水平的影响。$\varepsilon$描述了随机误差的影响$\varepsilon_{ij}\sim N(0,\sigma^2)$ + +* 模型假设 +$$ +H_01:\mu_{1\cdot}=\cdots=\mu_{p\cdot},H_11:\mu不全相等\\ +H_02:\mu_{\cdot1}=\cdots=\mu_{\cdot q},H_12:\mu不全相等\\ +$$ + +* 模型方差分析 + +$$ +总离差平方和S_T=\sum_{i=1}^p\sum_{j=1}^{q}(x_{ij}-\overline{x})^2\\ +总均值\overline{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^p\sum_{j=1}^{q}x_{ij}\\ +组内离差平方和S_e=\sum_{i=1}^p\sum_{j=1}^{q}(x_{ij}-\overline{x}_{i\cdot}-\overline{x}_{\cdot j}+\overline{x})^2\\ +组内均值\overline{x}_{i\cdot}=\frac{1}{q}\sum_{j=1}^{q}x_{ij}\\ +组内均值\overline{x}_{\cdot j}=\frac{1}{p}\sum_{j=1}^{q}x_{ij}\\ +组间离差平方和S_A=\sum_{i=1}^p\sum_{j=1}^{q}(\overline{x}_{i\cdot}-\overline{x})^2=\sum_{i=1}^pq(\overline{x}_{i\cdot}-\overline{x})^2\\ +组间离差平方和S_B=\sum_{i=1}^p\sum_{j=1}^{q}(\overline{x}_{i\cdot}-\overline{x})^2=\sum_{j=1}^qp(\overline{x}_{\cdot j}-\overline{x})^2\\ +离差平方和关系S_T=S_e+S_A+S_B +$$ +其中$S_A,S_e$分别描述了，由因素不同水平引起的方差与由随机变量引起的方差。可以使用$\frac{S_A}{S_e}$作为检验统计量，表示组间因素水平对总体方差变化大小的贡献值，当其过大时，可以拒绝原假设，表示有影响。但是其分布是未知的。 + +### 模型构建2 + +* 统计模型2 + +$$ +\mu=\frac{1}{pq}\sum_{i=1}^p\sum_{j=1}^q\mu_{ij}\\ +\mu_{i\cdot}=\frac{1}{q}\sum_{j=1}^q\mu_{ij}\\ +\mu_{\cdot j}=\frac{1}{p}\sum_{i=1}^p\mu_{ij}\\ +\alpha_i=\mu_{i\cdot}-\mu\\ +\beta_j=\mu_{\cdot j}-\mu\\ +x_{ij}=\mu+\alpha_i+\beta_j+\varepsilon_{ij} +$$ +将因素水平对总体方差的影响进一步分离，分成由因素A引起的均值变化，由因素B引起的均值变化，由其他因素带来的均值。与统计模型1的思想完全一致，但是能够简化计算过程。 + +* 模型假设 + +$$ +H_01:\alpha_1=\cdots=\alpha_p=0\\ +H_02:\beta_1=\cdots=\beta_q=0 +$$ + +* 模型2方差分析 + +$$ +\overline{\varepsilon}_{i\cdot}=\frac{1}{q}\sum_{j=1}^{q}\varepsilon_{ij}\\ +\overline{\varepsilon}_{\cdot j}=\frac{1}{p}\sum_{j=1}^{p}\varepsilon_{ij}\\ +\overline{\varepsilon}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^p\sum_{j=1}^{q}\varepsilon_{ij}\\ +S_A=\sum_{i=1}^pq(\alpha_i+\overline{\varepsilon}_{i\cdot}-\overline{\varepsilon})^2\\ +S_B=\sum_{j=1}^qp(\beta_j+\overline{\varepsilon}_{\cdot j}-\overline{\varepsilon})^2\\ +S_e=\sum_{i=1}^p\sum_{j-1}^{n_i}(\varepsilon_{ij}-\overline{\varepsilon}_{i\cdot}-\overline{\varepsilon}_{\cdot j}+\overline{\varepsilon})^2 +$$ + +通过模型2可以知道$S_e$依赖样本的随机误差，$S_A$依赖随机误差与因素的水平效应。 + +### 定理1：模型均值 +$$ +E(S_e)=(p-1)(q-1)\sigma^2\\ +E(S_A)=(p-1)\sigma^2+\sum_{i=1}^pq\alpha_i^2\\ +E(S_B)=(q-1)\sigma^2+\sum_{j=1}^qp\beta_j^2\\ +$$ + +### 定理2：模型分布 +$$ +\frac{S_e}{\sigma^2}\sim\chi^2((p-1)(q-1)),S_e,S_A相互独立。\\ +假设H_01成立时，\frac{S_A}{\sigma^2}\sim\chi^2(p-1)\\ +假设H_02成立时，\frac{S_B}{\sigma^2}\sim\chi^2(q-1) +$$ + +### 定理3：F检验 +* 检验统计量 +$$ +F_A=\frac{\overline{S}_A}{S_e}\sim F(p-1,(p-1)(q-1))\\ +F_B=\frac{\overline{S}_B}{S_e}\sim F(q-1,(p-1)(q-1))\\ +$$ +* 拒绝域 +$$ +W_A=\{F_A:F_A\geq F_{1-\alpha}((p-1),(p-q)(q-1))\}\\ +W_B=\{F_B:F_B\geq F_{1-\alpha}((q-1),(p-1)(q-1))\} +$$ + +## 3 双因素实验方差分析——等重复试验的方差分析 +> 在上述实验的每种组合下，重复试验，能够对A与B的交互作用进行检验。 + +### 模型构建 + +* 统计模型 +$$ +\mu=\frac{1}{pq}\sum_{i=1}^p\sum_{j=1}^q\mu_{ij}\\ +\mu_{i\cdot}=\frac{1}{q}\sum_{j=1}^q\mu_{ij}\\ +\mu_{\cdot j}=\frac{1}{p}\sum_{i=1}^p\mu_{ij}\\ +\alpha_i=\mu_{i\cdot}-\mu\\ +\beta_j=\mu_{\cdot j}-\mu\\ +\delta_{ij}=(\mu_{ij}-\mu)-\alpha_i-\beta_j\\ +\sum_{i=1}^p\alpha_i=0,\sum_{j=1}^q=0,\sum_{i=1}^p\delta_{ij}=0,\sum_{j=1}^q\delta_{ij}=0\\ +最终模型：x_{ij}=\mu+\alpha_i+\beta_j+\varepsilon_{ij} +$$ +将因素水平对总体方差的影响进一步分离，分成由因素A引起的均值变化，由因素B引起的均值变化，由AB交互作用引起的变化，由其他因素带来的均值。 + +* 模型假设 +$$ +H_{01}:\alpha_1=\cdots=\alpha_p=0\\ +H_{02}:\beta_1=\cdots=\beta_q=0\\ +H_{03}:\delta_{ij}=0 +$$ + +* 方差分析1 +> 这是通过统计量$\overline{x}$构建的离差分析 +$$ +\overline{x}=\frac{1}{pqr}\sum_{j=1}^q\sum_{k=1}^rx_{ijk}\\ +S_T=\sum_{i=1}^p\sum_{j=1}^q\sum_{k=1}^r(x_{ijk}-\overline{x})^2\\ +组内离差平方和S_e=\sum_{j=1}^q\sum_{k=1}^r(x_{ijk}-\overline{x}_{ij\cdot})^2\\ +A组间离差平方和S_A=\sum_{j=1}^q\sum_{k=1}^r(x_{i\cdot\cdot}-\overline{x})^2=qr\sum_{i=1}^p{\overline{x}_{i\cdot\cdot}-\overline{x}}\\ +B组间离差平方和S_B=\sum_{j=1}^q\sum_{k=1}^r(x_{\cdot j\cdot}-\overline{x})^2=pr\sum_{j=1}^q{\overline{x}_{\cdot j\cdot}-\overline{x}}\\ +A\times B离差平方和S_{A\times B}=r\sum_{i=1}^p\sum_{j=1}^q(\overline{x}_{ij\cdot}-\overline{x}_{i\cdot\cdot}-\overline{\cdot j\cdot}+\overline{x})^2 +$$ +* 方差分析2 +> 这个是通过统计量$\varepsilon$构建的离差平方和 +$$ +S_A=\sum_{i=1}^pqr(\alpha_i+\overline{\varepsilon}_{i\cdot\cdot}-\overline{\varepsilon})^2\\ +S_B=\sum_{j=1}^qpr(\beta_j+\overline{\varepsilon}_{\cdot j\cdot}-\overline{\varepsilon})^2\\ +S_{A\times B}=r\sum_{i=1}^p\sum_{j=1}^q(\delta_{ij}+\overline{\varepsilon}_{ij\cdot}-\overline{\varepsilon}_{i\cdot\cdot}-\overline{\varepsilon}_{\cdot j\cdot}+\overline{\varepsilon})^2\\ +S_e=\sum_{i=1}^p\sum_{j-1}^{n_i}(\varepsilon_{ij}-\overline{\varepsilon}_{i\cdot}-\overline{\varepsilon}_{\cdot j}+\overline{\varepsilon})^2 +$$ + + +### 定理1：模型均值 +$$ +E(S_e)=pq(r-1)\sigma^2\\ +E(S_A)=(p-1)\sigma^2+\sum_{i=1}^pqr\alpha_i^2\\ +E(S_B)=(q-1)\sigma^2+\sum_{j=1}^qpr\beta_j^2\\ +E(S_{A\times B})=(p-1)(q-1)\sigma^2+r\sum_{i=1}^p\sum_{j=1}^q\delta_{ij}^2 +$$ + +### 定理2：模型分布 +$$ +\frac{S_e}{\sigma^2}\sim\chi^2(pq(r-1)),S_e,S_A相互独立。\\ +假设H_{01}成立时，\frac{S_A}{\sigma^2}\sim\chi^2(p-1)\\ +假设H_{02}成立时，\frac{S_B}{\sigma^2}\sim\chi^2(q-1)\\ +假设H_{03}成立时，\frac{S_{A\times B}}{\sigma^2}\sim\chi^2((p-1)(q-1)) +$$ + +### 定理3：F检验 +* 检验统计量 +$$ +F_A=\frac{\overline{S}_A}{S_e}\sim F(p-1,pq(r-1))\\ +F_B=\frac{\overline{S}_B}{S_e}\sim F(q-1,pq(r-1))\\ +F_{A\times B}=\frac{\overline{S}_{A\times B}}{\overline{S}_e}\sim F((p-1)(q-r),pq(r-1)) +$$ +* 拒绝域 +$$ +W_A=\{F_A:F_A\geq F_{1-\alpha}((p-1),pq(r-1))\}\\ +W_B=\{F_B:F_B\geq F_{1-\alpha}((q-1),pq(r-1))\}\\ +W_{A\times B}=\{F_{A\times B}:F_{A\times B}\geq F_{1-\alpha}((p-1)(q-1),pq(r-1))\} +$$ 重点（考） diff --git a/概率论与数理统计/第19节 正交实验设计.md b/概率论与数理统计/第19节 正交实验设计.md index a2252866..4a3508c2 100644 --- a/概率论与数理统计/第19节 正交实验设计.md +++ b/概率论与数理统计/第19节 正交实验设计.md @@ -1,6 +1,72 @@ +# 正交试验设计 -多个因素之间存在交互作用。 +## 1 无交互作用的正交试验极差分析 +### 正交表 +$$ +L_9(3^4) +$$ +* 9次实验，9行 +* 3个水平，3个可取值。 +* 4个因素，4列 + +### 正交表性质 +* 每个因素的每个水平都出现过，且不同水平出现的次数相同 +* 任意两列中，所有可能的有序对数出现的次数相同。 + +### 正交表极差分析 + +* $T_{2j}$表示某个因素，第2个水平求和的值 +* $R_j$表示极差 +* 主次影响 +* 最优方案 + +## 2 有交互作用的正交试验极差分析 + +### 正交表的极差分析 + +* $A \times B$表示AB交互影响的列，通过交互作用表决定其位置 +* $T_{2j}$表示某个因素，第2个水平求和的值 +* $R_j$表示极差 +* 主次影响 +* 最优方案。选取最优方案时，确定数值越小越好还是越大越好。交互作用单独列表，写出每种搭配，选取最后搭配。 + +## 3 无交互作用的正交试验方差分析 +### 正交表 +$$ +L_n(t^m)\\ +n-1=m(t-1) +$$ +* n表示实验的次数 +* t表示因素的水平数 +* m表示因素的个数，包括空列 + +### 方差分析 + +$$ +S_T = \sum_{i=1}^n(y_i-\overline{y})^2=\sum_{i=1}^n-\frac{T^2}{n}\\ +\overline{y}=\frac{1}{n}T,T=\sum_{i=1}^ny_i\\ +S_j=\sum_{i=1}^tr(\frac{T_{ij}}{r}-\overline{y})^2=\frac{t}{n}\sum_{i=1}^tT_{ij}-\frac{1}{n}T^2\\ +2水平正交实验S_j=\frac{1}{n}R_j^2 +$$ + +### 定理1：方差定理 + +1. $S_T=\sum_{j=1}^mS_j$ +2. $S_T自由度f_T=n-1,S_j自由度f_j=t-1,f_T= \sum_{j=1}^m f_j$ + +### 例题分析 + +* 给出命题：包括因素与水平 +* 设计正交表：添加空列，用来承接多余的自由度。 +* 极差分析：得到T与R +* 方差分析：得到$S_T,S_j$ +* 方差分析：表达式模型，给出假设，F检验，拒绝域 + +### 定理2：方差分析 +1. $S_j相互独立,\frac{S_e}{\sigma^2}=\frac{S_3+S_7}{\sigma^2}\sim \chi^2(f_3+f_7)$ +2. $当H_A成立时，\frac{S_A}{\sigma^2}\sim\chi^2(f_A)\cdots$ -方差分析（最后） -正交实验（例题） \ No newline at end of file +## 4 有交互作用的正交试验方差分析 + +> 与上一部分完全一致。 \ No newline at end of file diff --git a/概率论与数理统计/第20节 多元正态分布.md b/概率论与数理统计/第20节 多元正态分布.md index e69de29b..e6ed40cf 100644 --- a/概率论与数理统计/第20节 多元正态分布.md +++ b/概率论与数理统计/第20节 多元正态分布.md @@ -0,0 +1,112 @@ +## 1 多元正太分布的定义 + +### 定义1：密度函数 +* 条件 + +$$ +\mu是p维向量,\\ +\Sigma是p\times p维协方差矩阵,\\ +x\sim N_p(\mu,\Sigma) +$$ +* 结论 + +$$ +p(x)=(2\pi)^{-\frac{1}{2}}|\Sigma|^{-\frac{1}{2}}exp\{-\frac{1}{2}(x-\mu)'\Sigma^{-1}(x-\mu)\} +$$ + +### 定义2：特征函数 +* 结论 + +$$ +\varphi(t)=E(e^{it'x})=exp\{it'\mu-\frac{1}{2}t'\Sigma t\} +$$ + +### 定义3： + +* 条件 +$$ +对任何非零向量a\in R^p\\ +与向量x的线性组合a'x服从一元正太分布N(a'\mu,a'\Sigma a)\\ +$$ +* 结论 +$$ +x服从p员正太分布N_p(\mu,\Sigma) +$$ +## 2 多元正太分布的性质 + +### 性质1：均值方差 +* 条件 +$$ +x\sim N_p(\mu,\Sigma) +$$ +* 结论 +$$ +E(x)=\mu,Var(x)=\Sigma +$$ + +### 性质2：线性变换 +* 条件 +$$ +y=Ax+b,\\A_{m\times p}是任意非零常数矩阵,b_{m\times 1}是任意常数向量 +$$ +* 结论 +$$ +y\sim N_m(A\mu+b,A\Sigma A') +$$ + +### 性质3：分块正太 +* 条件 +$$ +x\sim N_p(\mu,\Sigma)\\ +x=\begin{bmatrix} + x_1 \\ + x_2 +\end{bmatrix}, +\mu=\begin{bmatrix} + \mu_1\\ \mu_2 +\end{bmatrix}, +\Sigma=\begin{bmatrix} + \Sigma_{11} &\Sigma_{12}\\ + \Sigma_{21} &\Sigma_{22}\\ +\end{bmatrix} +$$ +* 结论 +$$ +能够分块的充要条件是\Sigma_{12}=0。也就是说，协方差矩阵等于零，两者独立。 +$$ + +### 性质4：协方差矩阵的秩 +* 条件 +$$ +x\sim N_p(\mu,\Sigma)\\ +rank(\Sigma)=r +$$ +* 结论 +$$ +充要条件：存在列满秩矩阵B(p\times r)使得x=By+\mu,\\ +BB'=\Sigma,y\sim N_r(0,I_r)\\ +$$ +> 能够由单位矩阵线性变换得到x + +### 性质5：线性组合 +* 条件 +$$ +x_1,\cdots,x_k相互独立\\ +x_i\sim N_p(\mu_i,\Sigma_i)\\ +m\times p阶非零常数矩阵A_1,\cdots,A_k +$$ +* 结论 +$$ +\sum_{i=1}^kA_ix_i\sim N_m(\sum_{i=1}^kA_i\mu_i,\sum_{i=1}^kA_i\Sigma_iA_i') +$$ + +### 性质6：$\chi^2变换$ +* 条件 +$$ +x\sim N_p(\mu,\Sigma),\Simga>0 +$$ +* 结论 + +$$ +(x-\mu)'\Sigma^{-1}(x-\mu)\sim\chi^2(p) +$$ \ No newline at end of file diff --git a/概率论与数理统计/第21节 多元正太分布的参数估计.md b/概率论与数理统计/第21节 多元正太分布的参数估计.md index e69de29b..62eb333e 100644 --- a/概率论与数理统计/第21节 多元正太分布的参数估计.md +++ b/概率论与数理统计/第21节 多元正太分布的参数估计.md @@ -0,0 +1,45 @@ +# 多元正太分布的参数估计 + +## 多元正态分布 + +### 定义：密度函数 + +$$ +X_{n\times p}=(x_1,\cdots,x_n)'\\ +p(X;\mu,\Sigma)= \prod_{i=1}^np(x_i;\mu,\Sigma) +$$ + +### 引理：函数极值 +$$ +当A=nI_m时\\ +函数f(A)=|A|^{\frac{n}{2}}exp\{-\frac{1}{2}tr(A)\}取得最大值\\ +f(A)=n^{\frac{mn}{2}}e^{-\frac{mn}{2}} +$$ + +### 定理1：参数估计 + +$$ +\hat{\mu}=\overline{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nx_i是\mu的极大似然估计\\ +\hat{\Sigma}_n=\frac{1}{n}S=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(x_i-\overline{x})(x_i-\overline{x})'是\Sigma的极大似然估计。 +$$ + +### 性质1：估计量评优 +$$ +\hat{\mu}=\overline{x}是一致最小方差无偏无极\\ +\hat{\Sigma}_n=\frac{1}{n-1}S是一致最小方差无偏估计\\ +\hat{\Sigma}_n=\frac{1}{n}S是渐进无偏估计 +$$ + +### 性质2：均值分布 + +$$ +\overline{x}\sim N_p(\mu,\frac{1}{n}\Sigma),\overline{x}与S相互独立。 +$$ + +### 性质3：离差分布 + +$$ +S\sim W_p(n-1,\Sigma) +$$ + +> $W_p是多元高维的\chi^2分布$ \ No newline at end of file diff --git a/概率论与数理统计/第22节 多元正太总体的假设检验.md b/概率论与数理统计/第22节 多元正太总体的假设检验.md index e69de29b..79d4b1db 100644 --- a/概率论与数理统计/第22节 多元正太总体的假设检验.md +++ b/概率论与数理统计/第22节 多元正太总体的假设检验.md @@ -0,0 +1,82 @@ +# 多元正太总体的假设检验 + +## 1 协方差矩阵已知时均值向量的检验 +### 似然比检验 +* 假设 +$$ +H_0:\mu=\mu_0,H_1:\mu\not ={\mu_0} +$$ +* 似然比 +$$ +p(X;\mu)=(2\pi)^{-\frac{n}{2}}exp\{-\frac{1}{2}tr\{\Sigma^{-1}[S+n(\overline{x}-\mu)(\overline{x}-\mu)']\}\}\\ +\lambda(x)=\frac{sup_{\mu\in\Theta}\{p(X;\mu)\}}{sup_{\mu\in\Theta_0}\{p(X;\mu)\}}=exp\{\frac{n}{2}(\overline{x}-\mu_0)'\Sigma^{-1}(\overline{x}-\mu_0)\}\\ +n(\overline{x}-\mu_0)'\Sigma^{-1}(\overline{x}-\mu_0)\sim \chi^2(p) 性质6作为检验统计量 +$$ +* 拒绝域 + +$$ +W=\{(x_1,\cdots,x_n):\chi^2\geq\chi^2_{1-\alpha}(p)\} +$$ + + +## 2 协方差矩阵未知时均指向量的检验 + +### 似然比检验 +* 假设 +$$ +H_0:\mu=\mu_0,H_1:\mu\not ={\mu_0} +$$ +* 似然比 +$$ +p(X;\mu,\Sigma)=(2\pi)^{-\frac{n}{2}}exp\{-\frac{1}{2}tr\{\Sigma^{-1}[S+n(\overline{x}-\mu)(\overline{x}-\mu)']\}\}\\ +\lambda(x)=\frac{sup_{\mu\in\Theta}\{p(X;\mu)\}}{sup_{\mu\in\Theta_0}\{p(X;\mu)\}}=(1+\frac{T^2}{n-1})^{\frac{n}{2}}\\ +T^2=n(n-1)(\overline{x}-\mu_0)'S^{-1}(\overline{x}-\mu_0)\\ +\Sigma=\frac{1}{n-1}S +$$ +$T^2$是t分布在多元场合的推广，主要使用了S^2统计量代替了原来的协方差矩阵。 + +* 拒绝域 + +$$ +W=\{(x_1,\cdots,x_n):T^2\geq T^2_{1-\alpha}\} +$$ + +### 定理：F分布检验 +$$ +F=\frac{n-p}{p(n-1)}T^2\sim F(p,n-p) +$$ + +## 3 两个正太总体均值相等的检验 + +### 协方差矩阵已知-假设检验 +* 假设 +$$ +H_0:\mu_1=\mu_2,H_1:\mu_1\not ={\mu_2} +$$ +* 检验统计量 +$$ +\chi^2=\frac{n_1n_2}{n_1+n_2}(\overline{x}-\overline{y})'\Sigma(\overline{x}-\overline{y})\sim \chi^2(p) +$$ + +* 拒绝域 + +$$ +W=\{(x_1,\cdots,x_{n_1},y_1,\cdots,y_{n_2}):\chi^2\geq \chi^2_{1-\alpha}(p)\} +$$ + +### 协方差矩阵未知-假设检验 +* 假设 +$$ +H_0:\mu_1=\mu_2,H_1:\mu_1\not ={\mu_2} +$$ +* 检验统计量 +$$ +T^2=\frac{n_1n_2}{n_1+n_2}(\overline{x}-\overline{y})'\hat{\Sigma}^{-1}(\overline{x}-\overline{y})\\ +\frac{n_1+n_2-p-1}{p(n_1+n_2-2)}T^2\sim F(p,n_1+n_2-p-1) +$$ +协方差矩阵未知时，使用统计量进行表示。 +* 拒绝域 + +$$ +W=\{(x_1,\cdots,x_{n_1},y_1,\cdots,y_{n_2}):T^2\geq T^2_{1-\alpha}\} +$$ \ No newline at end of file