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|
||
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|
||
"source": [
|
||
"Chapter 05\n",
|
||
"\n",
|
||
"# 爱因斯坦求和约定\n",
|
||
"Book_4《矩阵力量》 | 鸢尾花书：从加减乘除到机器学习 (第二版)"
|
||
]
|
||
},
|
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{
|
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"cell_type": "markdown",
|
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"id": "05612796-d376-409c-bb07-3da0f851fa29",
|
||
"metadata": {},
|
||
"source": [
|
||
"这段代码使用 `numpy` 库的 `einsum` 函数进行各种矩阵和向量的运算。`einsum` 函数的主要优势在于其高效的索引处理方式，使得许多复杂的矩阵和向量操作可以用简单的字符串表达式来实现。这段代码包括以下几个主要部分：\n",
|
||
"\n",
|
||
"1. **定义向量与矩阵**： \n",
|
||
" 定义了两个列向量\n",
|
||
"\n",
|
||
" $$ a = \\begin{bmatrix} 1 \\\\ 2 \\\\ 3 \\end{bmatrix} $$\n",
|
||
" $$ b = \\begin{bmatrix} -4 \\\\ -5 \\\\ -6 \\end{bmatrix} $$\n",
|
||
"\n",
|
||
" 以及它们对应的一维向量形式 \\( a_{1D} = [1, 2, 3] \\) 和 \\( b_{1D} = [-4, -5, -6] \\)。\n",
|
||
"\n",
|
||
"3. **向量和矩阵的求和**： \n",
|
||
" 使用 `einsum('ij->', a)` 计算 \\( a \\) 中所有元素的和，即 \\( \\sum_{i,j} a_{ij} \\)。 \n",
|
||
" 同样地，`einsum('i->', a_{1D})` 计算 \\( a_{1D} \\) 的元素和，即 \\( \\sum_i a_{i} \\)。\n",
|
||
"\n",
|
||
"4. **逐元素乘积**： \n",
|
||
" 使用 `einsum('ij,ij->ij', a, b)` 计算 \\( a \\) 和 \\( b \\) 的逐元素乘积，其结果为一个矩阵，其中每个元素 \\( (i,j) \\) 对应 \\( a_{ij} \\times b_{ij} \\)。 \n",
|
||
" 对一维向量 `a_1D` 和 `b_1D` 的逐元素乘积，则通过 `einsum('i,i->i', a_{1D}, b_{1D})` 实现，得到 \\( [a_1 \\times b_1, a_2 \\times b_2, a_3 \\times b_3] \\)。\n",
|
||
"\n",
|
||
"5. **向量的内积**： \n",
|
||
" 使用 `einsum('ij,ij->', a, b)` 计算 \\( a \\) 和 \\( b \\) 的内积，即 \\( \\sum_{i,j} a_{ij} \\cdot b_{ij} \\)。 \n",
|
||
" 类似地，对于一维向量的内积，通过 `einsum('i,i->', a_{1D}, b_{1D})` 计算，公式为 \\( \\sum_i a_i \\cdot b_i \\)。\n",
|
||
"\n",
|
||
"6. **向量的外积**： \n",
|
||
" `einsum('ij,ji->ij', a, a)` 计算向量 \\( a \\) 自身的外积，生成一个矩阵，每个元素为 \\( a_{ij} \\cdot a_{ji} \\)。 \n",
|
||
" 而 `einsum('i,j->ij', a_{1D}, a_{1D})` 计算 \\( a_{1D} \\) 的外积，得到一个 \\( 3 \\times 3 \\) 矩阵，其元素为 \\( a_i \\cdot a_j \\)。\n",
|
||
"\n",
|
||
"7. **矩阵的定义及运算**： \n",
|
||
" 定义了两个 \\( 3 \\times 3 \\) 的矩阵 \\( A \\) 和 \\( B \\)。矩阵 \\( A \\) 和 \\( B \\) 之间的运算包括以下内容： \n",
|
||
" \n",
|
||
" - **转置**： `einsum('ji', A)` 计算 \\( A \\) 的转置。\n",
|
||
" \n",
|
||
" - **矩阵求和**： `einsum('ij->', A)` 计算矩阵 \\( A \\) 所有元素的和。 \n",
|
||
" \n",
|
||
" - **按行和按列求和**： \n",
|
||
" 使用 `einsum('ij->j', A)` 计算每列的和，结果为一个一维数组，形式为 \\( \\sum_i A_{ij} \\)。 \n",
|
||
" `einsum('ij->i', A)` 计算每行的和，结果形式为 \\( \\sum_j A_{ij} \\)。\n",
|
||
"\n",
|
||
" - **提取主对角线和计算迹**： \n",
|
||
" `einsum('ii->i', A)` 提取 \\( A \\) 的主对角线元素，结果为 \\( [A_{11}, A_{22}, A_{33}] \\)。 \n",
|
||
" `einsum('ii->', A)` 计算矩阵 \\( A \\) 的迹 \\( \\text{tr}(A) = \\sum_i A_{ii} \\)。\n",
|
||
"\n",
|
||
" - **矩阵乘法和结果求和**： \n",
|
||
" `einsum('ij,jk->ik', A, B)` 计算 \\( A \\) 和 \\( B \\) 的矩阵乘积 \\( C = A \\times B \\)，即 \\( C_{ik} = \\sum_j A_{ij} \\cdot B_{jk} \\)。 \n",
|
||
" `einsum('ij,jk->', A, B)` 计算 \\( A \\times B \\) 的所有元素和。 \n",
|
||
" `einsum('ij,jk->ki', A, B)` 先进行矩阵乘法，再对结果转置。\n",
|
||
"\n",
|
||
" - **逐元素乘积**： \n",
|
||
" `einsum('ij,ij->ij', A, B)` 计算 \\( A \\) 和 \\( B \\) 的逐元素乘积，结果为矩阵 \\( D \\)，其中 \\( D_{ij} = A_{ij} \\cdot B_{ij} \\)。"
|
||
]
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},
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"import numpy as np"
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"## 定义矩阵和向量"
|
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]
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|
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|
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|
||
"a = np.array([[1],\n",
|
||
" [2],\n",
|
||
" [3]]) # 定义列向量 a"
|
||
]
|
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},
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|
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"outputs": [],
|
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|
||
"a_1D = np.array([1,2,3]) # 定义一维向量 a_1D"
|
||
]
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{
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|
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|
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|
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"source": [
|
||
"b = np.array([[-4],\n",
|
||
" [-5],\n",
|
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" [-6]]) # 定义列向量 b"
|
||
]
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|
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|
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"b_1D = np.array([-4,-5,-6]) # 定义一维向量 b_1D"
|
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]
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|
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"## 计算向量 a 的元素和"
|
||
]
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|
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|
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"6\n"
|
||
]
|
||
}
|
||
],
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|
||
"print(np.einsum('ij->',a)) # 计算矩阵 a 所有元素的和"
|
||
]
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|
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|
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"name": "stdout",
|
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|
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"text": [
|
||
"6\n"
|
||
]
|
||
}
|
||
],
|
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"source": [
|
||
"print(np.einsum('i->',a_1D)) # 计算向量 a_1D 所有元素的和"
|
||
]
|
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},
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{
|
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|
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"## 向量 a 和 b 的逐元素乘积"
|
||
]
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|
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|
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|
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|
||
"[[ -4]\n",
|
||
" [-10]\n",
|
||
" [-18]]\n"
|
||
]
|
||
}
|
||
],
|
||
"source": [
|
||
"print(np.einsum('ij,ij->ij',a,b)) # 计算矩阵 a 和 b 的逐元素乘积"
|
||
]
|
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|
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|
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{
|
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|
||
"output_type": "stream",
|
||
"text": [
|
||
"[ -4 -10 -18]\n"
|
||
]
|
||
}
|
||
],
|
||
"source": [
|
||
"print(np.einsum('i,i->i',a_1D,b_1D)) # 计算向量 a_1D 和 b_1D 的逐元素乘积"
|
||
]
|
||
},
|
||
{
|
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"id": "aee84a7c-d65b-440a-967b-ac45f0c28acd",
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|
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|
||
"## 向量 a 和 b 的内积"
|
||
]
|
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{
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|
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"id": "34d92cbc-b818-409d-ab86-d075c27236cd",
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|
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|
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{
|
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|
||
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|
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|
||
"-32\n"
|
||
]
|
||
}
|
||
],
|
||
"source": [
|
||
"print(np.einsum('ij,ij->',a,b)) # 计算矩阵 a 和 b 的内积"
|
||
]
|
||
},
|
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{
|
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|
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|
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|
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|
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|
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"output_type": "stream",
|
||
"text": [
|
||
"-32\n"
|
||
]
|
||
}
|
||
],
|
||
"source": [
|
||
"print(np.einsum('i,i->',a_1D,b_1D)) # 计算向量 a_1D 和 b_1D 的内积"
|
||
]
|
||
},
|
||
{
|
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|
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"id": "f19a1dbf-204b-4d08-bb7f-89fe08a5a40f",
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|
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|
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"## 向量 a 自身的外积"
|
||
]
|
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|
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|
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|
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{
|
||
"name": "stdout",
|
||
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|
||
"text": [
|
||
"[[1 2 3]\n",
|
||
" [2 4 6]\n",
|
||
" [3 6 9]]\n"
|
||
]
|
||
}
|
||
],
|
||
"source": [
|
||
"print(np.einsum('ij,ji->ij',a,a)) # 计算矩阵 a 和自身的外积"
|
||
]
|
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|
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|
||
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|
||
"[[1 2 3]\n",
|
||
" [2 4 6]\n",
|
||
" [3 6 9]]\n"
|
||
]
|
||
}
|
||
],
|
||
"source": [
|
||
"print(np.einsum('i,j->ij',a_1D,a_1D)) # 计算向量 a_1D 和自身的外积"
|
||
]
|
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|
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"## 向量 a 和 b 的外积"
|
||
]
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|
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|
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"outputs": [],
|
||
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|
||
"print(np.einsum('ij,ji->ij',a,b)) # 计算矩阵 a 和 b 的外积"
|
||
]
|
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|
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||
"[[ -4 -5 -6]\n",
|
||
" [ -8 -10 -12]\n",
|
||
" [-12 -15 -18]]\n",
|
||
"[[ -4 -5 -6]\n",
|
||
" [ -8 -10 -12]\n",
|
||
" [-12 -15 -18]]\n"
|
||
]
|
||
}
|
||
],
|
||
"source": [
|
||
"print(np.einsum('i,j->ij',a_1D,b_1D)) # 计算向量 a_1D 和 b_1D 的外积"
|
||
]
|
||
},
|
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{
|
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|
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|
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|
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"## 定义方阵 A 和 B"
|
||
]
|
||
},
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{
|
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|
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|
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"outputs": [],
|
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"source": [
|
||
"A = np.array([[1,2,3],\n",
|
||
" [4,5,6],\n",
|
||
" [7,8,9]]) # 定义方阵 A"
|
||
]
|
||
},
|
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{
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|
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|
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"outputs": [],
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"source": [
|
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"B = np.array([[-1,-4,-7],\n",
|
||
" [-2,-5,-8],\n",
|
||
" [-3,-6,-9]]) # 定义方阵 B"
|
||
]
|
||
},
|
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{
|
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"## A 的转置"
|
||
]
|
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|
||
"[[1 4 7]\n",
|
||
" [2 5 8]\n",
|
||
" [3 6 9]]\n"
|
||
]
|
||
}
|
||
],
|
||
"source": [
|
||
"print(np.einsum('ji',A)) # 计算矩阵 A 的转置"
|
||
]
|
||
},
|
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{
|
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||
"## A 的元素和"
|
||
]
|
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{
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|
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"execution_count": 18,
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"outputs": [
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{
|
||
"name": "stdout",
|
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"output_type": "stream",
|
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"text": [
|
||
"45\n"
|
||
]
|
||
}
|
||
],
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||
"source": [
|
||
"print(np.einsum('ij->',A)) # 计算矩阵 A 所有元素的和"
|
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]
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{
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"## 按行求和"
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||
]
|
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},
|
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{
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"cell_type": "code",
|
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"execution_count": 19,
|
||
"id": "7cef1bf8-aed8-4f0a-b97b-8758d33075da",
|
||
"metadata": {},
|
||
"outputs": [
|
||
{
|
||
"name": "stdout",
|
||
"output_type": "stream",
|
||
"text": [
|
||
"[12 15 18]\n"
|
||
]
|
||
}
|
||
],
|
||
"source": [
|
||
"print(np.einsum('ij->j',A)) # 计算矩阵 A 的每列的和"
|
||
]
|
||
},
|
||
{
|
||
"cell_type": "markdown",
|
||
"id": "58267372-554b-4284-92c1-cee2453df11e",
|
||
"metadata": {},
|
||
"source": [
|
||
"## 按列求和"
|
||
]
|
||
},
|
||
{
|
||
"cell_type": "code",
|
||
"execution_count": 20,
|
||
"id": "595287a8-6e24-408e-8552-aa7ecc6fc55f",
|
||
"metadata": {},
|
||
"outputs": [
|
||
{
|
||
"name": "stdout",
|
||
"output_type": "stream",
|
||
"text": [
|
||
"[ 6 15 24]\n"
|
||
]
|
||
}
|
||
],
|
||
"source": [
|
||
"print(np.einsum('ij->i',A)) # 计算矩阵 A 的每行的和"
|
||
]
|
||
},
|
||
{
|
||
"cell_type": "markdown",
|
||
"id": "d64a84cf-72a0-408d-b896-c3b88087dbf7",
|
||
"metadata": {},
|
||
"source": [
|
||
"## 提取主对角线"
|
||
]
|
||
},
|
||
{
|
||
"cell_type": "code",
|
||
"execution_count": 21,
|
||
"id": "200ca6b1-c240-4d6d-a8c2-f3fd64763bea",
|
||
"metadata": {},
|
||
"outputs": [
|
||
{
|
||
"name": "stdout",
|
||
"output_type": "stream",
|
||
"text": [
|
||
"[1 5 9]\n"
|
||
]
|
||
}
|
||
],
|
||
"source": [
|
||
"print(np.einsum('ii->i',A)) # 提取矩阵 A 的主对角线元素"
|
||
]
|
||
},
|
||
{
|
||
"cell_type": "markdown",
|
||
"id": "2b786c9a-5864-451f-906c-0f14253e5aad",
|
||
"metadata": {},
|
||
"source": [
|
||
"## 计算矩阵 A 的迹"
|
||
]
|
||
},
|
||
{
|
||
"cell_type": "code",
|
||
"execution_count": 22,
|
||
"id": "9e3a19a5-0f54-4dfe-829c-be92fd12aa7b",
|
||
"metadata": {},
|
||
"outputs": [
|
||
{
|
||
"name": "stdout",
|
||
"output_type": "stream",
|
||
"text": [
|
||
"15\n"
|
||
]
|
||
}
|
||
],
|
||
"source": [
|
||
"print(np.einsum('ii->',A)) # 计算矩阵 A 的迹（主对角线元素的和）"
|
||
]
|
||
},
|
||
{
|
||
"cell_type": "markdown",
|
||
"id": "05751e89-a555-438c-898a-bf925c4f66b4",
|
||
"metadata": {},
|
||
"source": [
|
||
"## 矩阵 A 和 B 的乘积"
|
||
]
|
||
},
|
||
{
|
||
"cell_type": "code",
|
||
"execution_count": 23,
|
||
"id": "64413023-b87d-4a78-b275-cfd84e257fc4",
|
||
"metadata": {},
|
||
"outputs": [
|
||
{
|
||
"name": "stdout",
|
||
"output_type": "stream",
|
||
"text": [
|
||
"[[ -14 -32 -50]\n",
|
||
" [ -32 -77 -122]\n",
|
||
" [ -50 -122 -194]]\n"
|
||
]
|
||
}
|
||
],
|
||
"source": [
|
||
"print(np.einsum('ij,jk->ik', A, B)) # 计算矩阵 A 和 B 的矩阵乘法"
|
||
]
|
||
},
|
||
{
|
||
"cell_type": "markdown",
|
||
"id": "3af4c95f-aa69-49cb-a2ce-aab8772b09c4",
|
||
"metadata": {},
|
||
"source": [
|
||
"## A 和 B 的矩阵乘积的所有元素和"
|
||
]
|
||
},
|
||
{
|
||
"cell_type": "code",
|
||
"execution_count": 24,
|
||
"id": "7c47a0c5-20af-4bb1-96e8-56c601115c6a",
|
||
"metadata": {},
|
||
"outputs": [
|
||
{
|
||
"name": "stdout",
|
||
"output_type": "stream",
|
||
"text": [
|
||
"-693\n"
|
||
]
|
||
}
|
||
],
|
||
"source": [
|
||
"print(np.einsum('ij,jk->', A, B)) # 计算矩阵 A 和 B 的乘积矩阵的所有元素的和"
|
||
]
|
||
},
|
||
{
|
||
"cell_type": "markdown",
|
||
"id": "a85f940b-b6bd-483e-8ddb-9cab6ee24ce0",
|
||
"metadata": {},
|
||
"source": [
|
||
"## 矩阵相乘后转置"
|
||
]
|
||
},
|
||
{
|
||
"cell_type": "code",
|
||
"execution_count": 25,
|
||
"id": "56598ed4-fd7a-4f82-ab5b-573f72f966a2",
|
||
"metadata": {},
|
||
"outputs": [
|
||
{
|
||
"name": "stdout",
|
||
"output_type": "stream",
|
||
"text": [
|
||
"[[ -14 -32 -50]\n",
|
||
" [ -32 -77 -122]\n",
|
||
" [ -50 -122 -194]]\n"
|
||
]
|
||
}
|
||
],
|
||
"source": [
|
||
"print(np.einsum('ij,jk->ki', A, B)) # 计算矩阵 A 和 B 的乘积后对结果转置"
|
||
]
|
||
},
|
||
{
|
||
"cell_type": "markdown",
|
||
"id": "3ade29c2-f09c-420a-a4e4-ef3aba2aac18",
|
||
"metadata": {},
|
||
"source": [
|
||
"## A 和 B 的逐元素乘积"
|
||
]
|
||
},
|
||
{
|
||
"cell_type": "code",
|
||
"execution_count": 26,
|
||
"id": "d5e5fe17-96cd-4c6d-8326-da9f6df6ac1f",
|
||
"metadata": {},
|
||
"outputs": [
|
||
{
|
||
"name": "stdout",
|
||
"output_type": "stream",
|
||
"text": [
|
||
"[[ -1 -8 -21]\n",
|
||
" [ -8 -25 -48]\n",
|
||
" [-21 -48 -81]]\n"
|
||
]
|
||
}
|
||
],
|
||
"source": [
|
||
"print(np.einsum('ij,ij->ij', A, B)) # 计算矩阵 A 和 B 的逐元素乘积"
|
||
]
|
||
},
|
||
{
|
||
"cell_type": "code",
|
||
"execution_count": null,
|
||
"id": "85a80909-2aac-49ed-bb7a-f8cc6b80ee7d",
|
||
"metadata": {},
|
||
"outputs": [],
|
||
"source": []
|
||
},
|
||
{
|
||
"cell_type": "code",
|
||
"execution_count": null,
|
||
"id": "ecd322f4-f919-4be2-adc3-69d28ef25e69",
|
||
"metadata": {},
|
||
"outputs": [],
|
||
"source": []
|
||
}
|
||
],
|
||
"metadata": {
|
||
"kernelspec": {
|
||
"display_name": "Python 3 (ipykernel)",
|
||
"language": "python",
|
||
"name": "python3"
|
||
},
|
||
"language_info": {
|
||
"codemirror_mode": {
|
||
"name": "ipython",
|
||
"version": 3
|
||
},
|
||
"file_extension": ".py",
|
||
"mimetype": "text/x-python",
|
||
"name": "python",
|
||
"nbconvert_exporter": "python",
|
||
"pygments_lexer": "ipython3",
|
||
"version": "3.12.7"
|
||
}
|
||
},
|
||
"nbformat": 4,
|
||
"nbformat_minor": 5
|
||
}
|