diff --git a/docs/ml/14.利用SVD简化数据.md b/docs/ml/14.利用SVD简化数据.md index ec826a0f..39920c98 100644 --- a/docs/ml/14.利用SVD简化数据.md +++ b/docs/ml/14.利用SVD简化数据.md @@ -46,13 +46,13 @@ > SVD 是矩阵分解的一种类型，也是矩阵分解最常见的技术 -* SVD 将原始的数据集矩阵 Data 分解成三个矩阵 U、∑、V -* 举例: 如果原始矩阵 $$Data_{m*n}$$ 是m行n列， - * $$U_{m * k}$$ 表示m行k列 - * $$∑_{k * k}$$ 表示k行k列 - * $$V_{k * n}$$ 表示k行n列。 - -$$Data_{m*n} = U_{m\*k} \* ∑_{k\*k} \* V_{k\*n}$$ +* SVD 将原始的数据集矩阵 Data 分解成三个矩阵 U、$$\sum$$、V +* 举例: 如果原始矩阵 $$Data_{m \ast n}$$ 是m行n列， + * $$U_{m \ast k}$$ 表示m行k列 + * $$\sum_{k \ast k}$$ 表示k行k列 + * $$V_{k \ast n}$$ 表示k行n列。 + +$$Data_{m \ast n} = U_{m \ast k} \sum_{k \ast k} V_{k \ast n}$$ ![SVD公式](http://data.apachecn.org/img/AiLearning/ml/14.SVD/使用SVD简化数据-SVD公式.jpg) @@ -60,8 +60,8 @@ $$Data_{m*n} = U_{m\*k} \* ∑_{k\*k} \* V_{k\*n}$$ ![SVD公式](http://data.apachecn.org/img/AiLearning/ml/14.SVD/SVD公式的测试案例.jpg) -* 上述分解中会构建出一个矩阵∑，该矩阵只有对角元素，其他元素均为0(近似于0)。另一个惯例就是，∑的对角元素是从大到小排列的。这些对角元素称为奇异值。 -* 奇异值与特征值(PCA 数据中重要特征)是有关系的。这里的奇异值就是矩阵 $$Data * Data^T$$ 特征值的平方根。 +* 上述分解中会构建出一个矩阵 $$\sum$$ ，该矩阵只有对角元素，其他元素均为0(近似于0)。另一个惯例就是，$$\sum$$ 的对角元素是从大到小排列的。这些对角元素称为奇异值。 +* 奇异值与特征值(PCA 数据中重要特征)是有关系的。这里的奇异值就是矩阵 $$Data \ast Data^T$$ 特征值的平方根。 * 普遍的事实: 在某个奇异值的数目(r 个=>奇异值的平方和累加到总值的90%以上)之后，其他的奇异值都置为0(近似于0)。这意味着数据集中仅有 r 个重要特征，而其余特征则都是噪声或冗余特征。 ### SVD 算法特点 diff --git a/docs/ml/6.支持向量机.md b/docs/ml/6.支持向量机.md index 014a5402..9439648d 100644 --- a/docs/ml/6.支持向量机.md +++ b/docs/ml/6.支持向量机.md @@ -72,13 +72,13 @@ Support Vector Machines: Slide 12 Copyright © 2001, 2003, Andrew W. Moore Why M * 类别标签用-1、1，是为了后期方便 $$label*(w^Tx+b)$$ 的标识和距离计算；如果 $$label*(w^Tx+b)>0$$ 表示预测正确，否则预测错误。 * 现在目标很明确，就是要找到`w`和`b`，因此我们必须要找到最小间隔的数据点，也就是前面所说的`支持向量`。 * 也就说，让最小的距离取最大.(最小的距离: 就是最小间隔的数据点；最大: 就是最大间距，为了找出最优超平面--最终就是支持向量) - * 目标函数: $$arg: max_{关于w, b} \left( min[label*(w^Tx+b)]*\frac{1}{||w||} \right) $$ + * 目标函数: $$arg: max_{w, b} \left( min[label*(w^Tx+b)]*\frac{1}{||w||} \right) $$ 1. 如果 $$label*(w^Tx+b)>0$$ 表示预测正确，也称`函数间隔`，$$||w||$$ 可以理解为归一化，也称`几何间隔`。 2. 令 $$label*(w^Tx+b)>=1$$， 因为0～1之间，得到的点是存在误判的可能性，所以要保障 $$min[label*(w^Tx+b)]=1$$，才能更好降低噪音数据影响。 - 3. 所以本质上是求 $$arg: max_{关于w, b} \frac{1}{||w||} $$；也就说，我们约束(前提)条件是: $$label*(w^Tx+b)=1$$ -* 新的目标函数求解: $$arg: max_{关于w, b} \frac{1}{||w||} $$ - * => 就是求: $$arg: min_{关于w, b} ||w|| $$ (求矩阵会比较麻烦，如果x只是 $$\frac{1}{2}*x^2$$ 的偏导数，那么。。同样是求最小值) - * => 就是求: $$arg: min_{关于w, b} (\frac{1}{2}*||w||^2)$$ (二次函数求导，求极值，平方也方便计算) + 3. 所以本质上是求 $$arg: max_{w, b} \frac{1}{||w||} $$；也就说，我们约束(前提)条件是: $$label*(w^Tx+b)=1$$ +* 新的目标函数求解: $$arg: max_{w, b} \frac{1}{||w||} $$ + * => 就是求: $$arg: min_{w, b} ||w|| $$ (求矩阵会比较麻烦，如果x只是 $$\frac{1}{2}*x^2$$ 的偏导数，那么。。同样是求最小值) + * => 就是求: $$arg: min_{w, b} (\frac{1}{2}*||w||^2)$$ (二次函数求导，求极值，平方也方便计算) * 本质上就是求线性不等式的二次优化问题(求分隔超平面，等价于求解相应的凸二次规划问题) * 通过拉格朗日乘子法，求二次优化问题 * 假设需要求极值的目标函数 (objective function) 为 f(x,y)，限制条件为 φ(x,y)=M # M=1 @@ -88,17 +88,17 @@ Support Vector Machines: Slide 12 Copyright © 2001, 2003, Andrew W. Moore Why M * 那么: $$L(w,b,\alpha)=\frac{1}{2} * ||w||^2 + \sum_{i=1}^{n} \alpha_i * [1 - label * (w^Tx+b)]$$ * 因为: $$label*(w^Tx+b)>=1, \alpha>=0$$ , 所以 $$\alpha*[1-label*(w^Tx+b)]<=0$$ , $$\sum_{i=1}^{n} \alpha_i * [1-label*(w^Tx+b)]<=0$$ * 当 $$label*(w^Tx+b)>1$$ 则 $$\alpha=0$$ ，表示该点为非支持向量 - * 相当于求解: $$max_{关于\alpha} L(w,b,\alpha) = \frac{1}{2} *||w||^2$$ - * 如果求: $$min_{关于w, b} \frac{1}{2} *||w||^2$$ , 也就是要求: $$min_{关于w, b} \left( max_{关于\alpha} L(w,b,\alpha)\right)$$ + * 相当于求解: $$max_{\alpha} L(w,b,\alpha) = \frac{1}{2} *||w||^2$$ + * 如果求: $$min_{w, b} \frac{1}{2} *||w||^2$$ , 也就是要求: $$min_{w, b} \left( max_{\alpha} L(w,b,\alpha)\right)$$ * 现在转化到对偶问题的求解 - * $$min_{关于w, b} \left(max_{关于\alpha} L(w,b,\alpha) \right) $$ >= $$max_{关于\alpha} \left(min_{关于w, b}\ L(w,b,\alpha) \right) $$ + * $$min_{w, b} \left(max_{\alpha} L(w,b,\alpha) \right) $$ >= $$max_{\alpha} \left(min_{w, b}\ L(w,b,\alpha) \right) $$ * 现在分2步 - * 先求: $$min_{关于w, b} L(w,b,\alpha)=\frac{1}{2} * ||w||^2 + \sum_{i=1}^{n} \alpha_i * [1 - label * (w^Tx+b)]$$ + * 先求: $$min_{w, b} L(w,b,\alpha)=\frac{1}{2} * ||w||^2 + \sum_{i=1}^{n} \alpha_i * [1 - label * (w^Tx+b)]$$ * 就是求`L(w,b,a)`关于[w, b]的偏导数, 得到`w和b的值`，并化简为: `L和a的方程`。 * 参考: 如果公式推导还是不懂，也可以参考《统计学习方法》李航-P103<学习的对偶算法> ![计算拉格朗日函数的对偶函数](http://data.apachecn.org/img/AiLearning/ml/6.SVM/SVM_5_Lagrangemultiplier.png) -* 终于得到课本上的公式: $$max_{关于\alpha} \left( \sum_{i=1}^{m} \alpha_i - \frac{1}{2} \sum_{i, j=1}^{m} label_i·label_j·\alpha_i·\alpha_j· \right) $$ -* 约束条件: $$a>=0$$ 并且 $$\sum_{i=1}^{m} a_i·label_i=0$$ +* 终于得到课本上的公式: $$max_{\alpha} \left( \sum_{i=1}^{m} \alpha_i - \frac{1}{2} \sum_{i, j=1}^{m} label_i \ast label_j \ast \alpha_i \ast \alpha_j \ast \right) $$ +* 约束条件: $$a>=0$$ 并且 $$\sum_{i=1}^{m} a_i \ast label_i=0$$ > 松弛变量(slack variable) @@ -107,7 +107,7 @@ Support Vector Machines: Slide 12 Copyright © 2001, 2003, Andrew W. Moore Why M ![松弛变量公式](http://data.apachecn.org/img/AiLearning/ml/6.SVM/SVM_松弛变量.jpg) * 我们知道几乎所有的数据都不那么干净, 通过引入松弛变量来 `允许数据点可以处于分隔面错误的一侧`。 -* 约束条件: $$C>=a>=0$$ 并且 $$\sum_{i=1}^{m} a_i·label_i=0$$ +* 约束条件: $$C>=a>=0$$ 并且 $$\sum_{i=1}^{m} a_i \ast label_i=0$$ * 总的来说: * ![松弛变量](http://data.apachecn.org/img/AiLearning/ml/6.SVM/松弛变量.png) 表示 `松弛变量` * 常量C是 `惩罚因子`, 表示离群点的权重（用于控制“最大化间隔”和“保证大部分点的函数间隔小于1.0” ） @@ -137,7 +137,7 @@ Support Vector Machines: Slide 12 Copyright © 2001, 2003, Andrew W. Moore Why M * 这里指的合适必须要符合一定的条件 1. 这两个 alpha 必须要在间隔边界之外 2. 这两个 alpha 还没有进行过区间化处理或者不在边界上。 - * 之所以要同时改变2个 alpha；原因是我们有一个约束条件: $$\sum_{i=1}^{m} a_i·label_i=0$$；如果只是修改一个 alpha，很可能导致约束条件失效。 + * 之所以要同时改变2个 alpha；原因是我们有一个约束条件: $$\sum_{i=1}^{m} a_i \ast label_i=0$$；如果只是修改一个 alpha，很可能导致约束条件失效。 > SMO 伪代码大致如下: