2021-05-07 10:20:42

docs/linalg/chapter04.md

@@ -0,0 +1,81 @@
+
+# 第四讲：$A$ 的 $LU$ 分解
+
+$AB$的逆矩阵：
+$$
+\begin{aligned}
+A \cdot A^{-1} = I & = A^{-1} \cdot A\\
+(AB) \cdot (B^{-1}A^{-1}) & = I\\
+\textrm{则} AB \textrm{的逆矩阵为} & B^{-1}A^{-1}
+\end{aligned}
+$$
+
+$A^{T}$的逆矩阵：
+$$
+\begin{aligned}
+(A \cdot A^{-1})^{T} & = I^{T}\\
+(A^{-1})^{T} \cdot A^{T} & = I\\
+\textrm{则} A^{T} \textrm{的逆矩阵为} & (A^{-1})^{T}
+\end{aligned}
+$$
+
+## 将一个 $n$ 阶方阵 $A$ 变换为 $LU$ 需要的计算量估计：
+
+1. 第一步，将$a_{11}$作为主元，需要的运算量约为$n^2$
+$$
+\begin{bmatrix}
+a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
+a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
+\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
+a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\
+\end{bmatrix}
+\underrightarrow{消元}
+\begin{bmatrix}
+a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
+0      & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
+0      & \vdots & \ddots & \vdots \\
+0      & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\
+\end{bmatrix}
+$$
+
+2. 以此类推，接下来每一步计算量约为$(n-1)^2、(n-2)^2、\cdots、2^2、1^2$。
+
+3. 则将 $A$ 变换为 $LU$ 的总运算量应为$O(n^2+(n-1)^2+\cdots+2^2+1^2)$，即$O(\frac{n^3}{3})$。
+
+置换矩阵(Permutation Matrix)：
+
+3阶方阵的置换矩阵有6个：
+$$
+\begin{bmatrix}
+1 & 0 & 0 \\
+0 & 1 & 0 \\
+0 & 0 & 1 \\
+\end{bmatrix}
+\begin{bmatrix}
+0 & 1 & 0 \\
+1 & 0 & 0 \\
+0 & 0 & 1 \\
+\end{bmatrix}
+\begin{bmatrix}
+0 & 0 & 1 \\
+0 & 1 & 0 \\
+1 & 0 & 0 \\
+\end{bmatrix}
+\begin{bmatrix}
+1 & 0 & 0 \\
+0 & 0 & 1 \\
+0 & 1 & 0 \\
+\end{bmatrix}
+\begin{bmatrix}
+0 & 1 & 0 \\
+0 & 0 & 1 \\
+1 & 0 & 0 \\
+\end{bmatrix}
+\begin{bmatrix}
+0 & 0 & 1 \\
+1 & 0 & 0 \\
+0 & 1 & 0 \\
+\end{bmatrix}
+$$
+
+$n$阶方阵的置换矩阵有$\binom{n}{1}=n!$个。