2021-05-07 10:20:42

docs/linalg/chapter07.md

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+
+# 第七讲：求解$Ax=0$，主变量，特解
+
+举例：$3 \times 4$矩阵
+$
+A=
+\begin{bmatrix}
+1 & 2 & 2 & 2\\
+2 & 4 & 6 & 8\\
+3 & 6 & 8 & 10\\
+\end{bmatrix}
+$，求$Ax=0$的特解：
+
+找出主变量（pivot variable）：
+$$
+A=
+\begin{bmatrix}
+1 & 2 & 2 & 2\\
+2 & 4 & 6 & 8\\
+3 & 6 & 8 & 10\\
+\end{bmatrix}
+\underrightarrow{消元}
+\begin{bmatrix}
+\underline{1} & 2 & 2 & 2\\
+0 & 0 & \underline{2} & 4\\
+0 & 0 & 0 & 0\\
+\end{bmatrix}
+=U
+$$
+
+主变量（pivot variable，下划线元素）的个数为2，即矩阵$A$的秩（rank）为2，即$r=2$。
+
+主变量所在的列为主列（pivot column），其余列为自由列（free column）。
+
+自由列中的变量为自由变量（free variable），自由变量的个数为$n-r=4-2=2$。
+
+通常，给自由列变量赋值，去求主列变量的值。如，令$x_2=1, x_4=0$求得特解
+$x=c_1\begin{bmatrix}-2\\1\\0\\0\\\end{bmatrix}$；
+再令$x_2=0, x_4=1$求得特解
+$x=c_2\begin{bmatrix}2\\0\\-2\\1\\\end{bmatrix}$。
+
+该例还能进一步简化，即将$U$矩阵化简为$R$矩阵（Reduced row echelon form），即简化行阶梯形式。
+
+在简化行阶梯形式中，主元上下的元素都是$0$：
+$$
+U=
+\begin{bmatrix}
+\underline{1} & 2 & 2 & 2\\
+0 & 0 & \underline{2} & 4\\
+0 & 0 & 0 & 0\\
+\end{bmatrix}
+\underrightarrow{化简}
+\begin{bmatrix}
+\underline{1} & 2 & 0 & -2\\
+0 & 0 & \underline{1} & 2\\
+0 & 0 & 0 & 0\\
+\end{bmatrix}
+=R
+$$
+
+将$R$矩阵中的主变量放在一起，自由变量放在一起（列交换），得到
+
+$$
+R=
+\begin{bmatrix}
+\underline{1} & 2 & 0 & -2\\
+0 & 0 & \underline{1} & 2\\
+0 & 0 & 0 & 0\\
+\end{bmatrix}
+\underrightarrow{列交换}
+\left[
+\begin{array}{c c | c c}
+1 & 0 & 2 & -2\\
+0 & 1 & 0 & 2\\
+\hline
+0 & 0 & 0 & 0\\
+\end{array}
+\right]
+=
+\begin{bmatrix}
+I & F \\
+0 & 0 \\
+\end{bmatrix}
+\textrm{，其中}I\textrm{为单位矩阵，}F\textrm{为自由变量组成的矩阵}
+$$
+
+计算零空间矩阵$N$（nullspace matrix），其列为特解，有$RN=0$。
+
+$$
+x_{pivot}=-Fx_{free} \\
+\begin{bmatrix}
+I & F \\
+\end{bmatrix}
+\begin{bmatrix}
+x_{pivot} \\
+x_{free} \\
+\end{bmatrix}=0 \\
+N=\begin{bmatrix}
+-F \\
+I \\
+\end{bmatrix}
+$$
+
+在本例中
+$
+N=
+\begin{bmatrix}
+-2 & 2 \\
+0 & -2 \\
+1 & 0 \\
+0 & 1 \\
+\end{bmatrix}
+$，与上面求得的两个$x$特解一致。
+
+另一个例子，矩阵
+$
+A=
+\begin{bmatrix}
+1 & 2 & 3 \\
+2 & 4 & 6 \\
+2 & 6 & 8 \\
+2 & 8 & 10 \\
+\end{bmatrix}
+\underrightarrow{消元}
+\begin{bmatrix}
+1 & 2 & 3 \\
+0 & 2 & 2 \\
+0 & 0 & 0 \\
+0 & 0 & 0 \\
+\end{bmatrix}
+\underrightarrow{化简}
+\begin{bmatrix}
+1 & 0 & 1 \\
+0 & 1 & 1 \\
+0 & 0 & 0 \\
+0 & 0 & 0 \\
+\end{bmatrix}
+=R
+$
+
+矩阵的秩仍为$r=2$，有$2$个主变量，$1$个自由变量。
+
+同上一例，取自由变量为$x_3=1$，求得特解
+$
+x=c
+\begin{bmatrix}
+-1 \\
+-1 \\
+1 \\
+\end{bmatrix}
+$