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krahets
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[class]{}-[func]{preOrder}
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 13-1 在前序遍历中搜索节点 </p>
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@@ -477,37 +477,37 @@ comments: true
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观察图 13-2 所示的过程，**我们可以将尝试和回退理解为“前进”与“撤销”**，两个操作是互为逆向的。
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=== "<1>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<2>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<3>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<4>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<5>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<6>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<7>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<8>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<9>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<10>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<11>"
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 13-2 尝试与回退 </p>
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@@ -781,7 +781,7 @@ comments: true
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剪枝是一个非常形象的名词。如图 13-3 所示，在搜索过程中，**我们“剪掉”了不满足约束条件的搜索分支**，避免许多无意义的尝试，从而提高了搜索效率。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 13-3 根据约束条件剪枝 </p>
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@@ -1657,7 +1657,7 @@ comments: true
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根据题意，我们在找到值为 $7$ 的节点后应该继续搜索，**因此需要将记录解之后的 `return` 语句删除**。图 13-4 对比了保留或删除 `return` 语句的搜索过程。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 13-4 保留与删除 return 的搜索过程对比 </p>
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@@ -7,7 +7,7 @@ icon: material/map-marker-path
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<div class="center-table" markdown>
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{ width="600" }
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{ class="cover-image" }
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</div>
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如图 13-15 所示，当 $n = 4$ 时，共可以找到两个解。从回溯算法的角度看，$n \times n$ 大小的棋盘共有 $n^2$ 个格子，给出了所有的选择 `choices` 。在逐个放置皇后的过程中，棋盘状态在不断地变化，每个时刻的棋盘就是状态 `state` 。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 13-15 4 皇后问题的解 </p>
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图 13-16 展示了本题的三个约束条件：**多个皇后不能在同一行、同一列、同一对角线**。值得注意的是，对角线分为主对角线 `\` 和次对角线 `/` 两种。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 13-16 n 皇后问题的约束条件 </p>
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@@ -28,7 +28,7 @@ comments: true
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如图 13-17 所示，为 $4$ 皇后问题的逐行放置过程。受画幅限制，图 13-17 仅展开了第一行的其中一个搜索分支，并且将不满足列约束和对角线约束的方案都进行了剪枝。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 13-17 逐行放置策略 </p>
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@@ -44,7 +44,7 @@ comments: true
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同理，**次对角线上的所有格子的 $row + col$ 是恒定值**。我们同样也可以借助数组 `diags2` 来处理次对角线约束。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 13-18 处理列约束和对角线约束 </p>
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@@ -32,7 +32,7 @@ comments: true
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如图 13-5 所示，我们可以将搜索过程展开成一个递归树，树中的每个节点代表当前状态 `state` 。从根节点开始，经过三轮选择后到达叶节点，每个叶节点都对应一个排列。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 13-5 全排列的递归树 </p>
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@@ -45,7 +45,7 @@ comments: true
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如图 13-6 所示，假设我们第一轮选择 1 ，第二轮选择 3 ，第三轮选择 2 ，则需要在第二轮剪掉元素 1 的分支，在第三轮剪掉元素 1 和元素 3 的分支。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 13-6 全排列剪枝示例 </p>
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@@ -481,7 +481,7 @@ comments: true
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如图 13-7 所示，上述方法生成的排列有一半都是重复的。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 13-7 重复排列 </p>
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@@ -495,7 +495,7 @@ comments: true
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本质上看，**我们的目标是在某一轮选择中，保证多个相等的元素仅被选择一次**。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 13-8 重复排列剪枝 </p>
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@@ -955,6 +955,6 @@ comments: true
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图 13-9 展示了两个剪枝条件的生效范围。注意，树中的每个节点代表一个选择，从根节点到叶节点的路径上的各个节点构成一个排列。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 13-9 两种剪枝条件的作用范围 </p>
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@@ -432,7 +432,7 @@ comments: true
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这是因为搜索过程是区分选择顺序的，然而子集不区分选择顺序。如图 13-10 所示，先选 $4$ 后选 $5$ 与先选 $5$ 后选 $4$ 是两个不同的分支，但两者对应同一个子集。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 13-10 子集搜索与越界剪枝 </p>
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@@ -454,7 +454,7 @@ comments: true
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2. 前两轮选择 $4$ 和 $5$ ，生成子集 $[4, 5, \dots]$ 。
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3. 若第一轮选择 $5$ ，**则第二轮应该跳过 $3$ 和 $4$** ，因为子集 $[5, 3, \dots]$ 和 $[5, 4, \dots]$ 与第 `1.` 和 `2.` 步中描述的子集完全重复。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 13-11 不同选择顺序导致的重复子集 </p>
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@@ -908,7 +908,7 @@ comments: true
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如图 13-12 所示，为将数组 $[3, 4, 5]$ 和目标元素 $9$ 输入到以上代码后的整体回溯过程。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 13-12 子集和 I 回溯过程 </p>
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@@ -922,7 +922,7 @@ comments: true
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**造成这种重复的原因是相等元素在某轮中被多次选择**。在图 13-13 中，第一轮共有三个选择，其中两个都为 $4$ ，会产生两个重复的搜索分支，从而输出重复子集；同理，第二轮的两个 $4$ 也会产生重复子集。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 13-13 相等元素导致的重复子集 </p>
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图 13-14 展示了数组 $[4, 4, 5]$ 和目标元素 $9$ 的回溯过程，共包含四种剪枝操作。请你将图示与代码注释相结合，理解整个搜索过程，以及每种剪枝操作是如何工作的。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 13-14 子集和 II 回溯过程 </p>
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