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https://github.com/krahets/hello-algo.git
synced 2026-04-04 03:00:06 +08:00
build
This commit is contained in:
krahets
@@ -22,7 +22,7 @@ comments: true
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如图 14-6 所示，若第 $1$、$2$、$3$ 阶的代价分别为 $1$、$10$、$1$ ，则从地面爬到第 $3$ 阶的最小代价为 $2$ 。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 14-6 爬到第 3 阶的最小代价 </p>
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@@ -300,7 +300,7 @@ $$
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图 14-7 展示了以上代码的动态规划过程。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 14-7 爬楼梯最小代价的动态规划过程 </p>
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@@ -545,7 +545,7 @@ $$
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例如图 14-8 ，爬上第 $3$ 阶仅剩 $2$ 种可行方案，其中连续三次跳 $1$ 阶的方案不满足约束条件，因此被舍弃。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 14-8 带约束爬到第 3 阶的方案数量 </p>
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@@ -567,7 +567,7 @@ dp[i, 2] = dp[i-2, 1] + dp[i-2, 2]
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\end{cases}
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$$
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 14-9 考虑约束下的递推关系 </p>
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@@ -41,7 +41,7 @@ comments: true
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图 14-10 展示了一个例子，给定网格的最小路径和为 $13$ 。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 14-10 最小路径和示例数据 </p>
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@@ -53,7 +53,7 @@ comments: true
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至此，我们就得到了图 14-11 所示的二维 $dp$ 矩阵，其尺寸与输入网格 $grid$ 相同。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 14-11 状态定义与 dp 表 </p>
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@@ -73,7 +73,7 @@ $$
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dp[i, j] = \min(dp[i-1, j], dp[i, j-1]) + grid[i, j]
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$$
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 14-12 最优子结构与状态转移方程 </p>
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@@ -89,7 +89,7 @@ $$
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如图 14-13 所示，由于每个格子是由其左方格子和上方格子转移而来，因此我们使用采用循环来遍历矩阵，外循环遍历各行、内循环遍历各列。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 14-13 边界条件与状态转移顺序 </p>
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@@ -368,7 +368,7 @@ $$
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本质上看，造成重叠子问题的原因为：**存在多条路径可以从左上角到达某一单元格**。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 14-14 暴力搜索递归树 </p>
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@@ -697,7 +697,7 @@ $$
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如图 14-15 所示，在引入记忆化后，所有子问题的解只需计算一次，因此时间复杂度取决于状态总数，即网格尺寸 $O(nm)$ 。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 14-15 记忆化搜索递归树 </p>
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@@ -1039,40 +1039,40 @@ $$
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数组 `dp` 大小为 $n \times m$ ，**因此空间复杂度为 $O(nm)$** 。
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=== "<1>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<2>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<3>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<4>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<5>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<6>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<7>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<8>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<9>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<10>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<11>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<12>"
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 14-16 最小路径和的动态规划过程 </p>
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@@ -14,7 +14,7 @@ comments: true
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如图 14-27 所示，将 `kitten` 转换为 `sitting` 需要编辑 3 步，包括 2 次替换操作与 1 次添加操作；将 `hello` 转换为 `algo` 需要 3 步，包括 2 次替换操作和 1 次删除操作。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 14-27 编辑距离的示例数据 </p>
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@@ -24,7 +24,7 @@ comments: true
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从决策树的角度看，本题的目标是求解节点 `hello` 和节点 `algo` 之间的最短路径。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 14-28 基于决策树模型表示编辑距离问题 </p>
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@@ -53,7 +53,7 @@ comments: true
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2. 删除 $s[i-1]$ ，则剩余子问题 $dp[i-1, j]$ 。
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3. 将 $s[i-1]$ 替换为 $t[j-1]$ ，则剩余子问题 $dp[i-1, j-1]$ 。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 14-29 编辑距离的状态转移 </p>
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@@ -446,49 +446,49 @@ $$
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如图 14-30 所示，编辑距离问题的状态转移过程与背包问题非常类似，都可以看作是填写一个二维网格的过程。
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=== "<1>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<2>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<3>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<4>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<5>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<6>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<7>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<8>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<9>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<10>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<11>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<12>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<13>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<14>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<15>"
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 14-30 编辑距离的动态规划过程 </p>
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@@ -7,7 +7,7 @@ icon: material/table-pivot
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<div class="center-table" markdown>
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{ width="600" }
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{ class="cover-image" }
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</div>
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@@ -14,7 +14,7 @@ comments: true
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如图 14-1 所示，对于一个 $3$ 阶楼梯，共有 $3$ 种方案可以爬到楼顶。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 14-1 爬到第 3 阶的方案数量 </p>
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@@ -405,7 +405,7 @@ $$
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这意味着在爬楼梯问题中，各个子问题之间存在递推关系，**原问题的解可以由子问题的解构建得来**。图 14-2 展示了该递推关系。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 14-2 方案数量递推关系 </p>
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@@ -640,7 +640,7 @@ $$
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图 14-3 展示了暴力搜索形成的递归树。对于问题 $dp[n]$ ，其递归树的深度为 $n$ ，时间复杂度为 $O(2^n)$ 。指数阶属于爆炸式增长，如果我们输入一个比较大的 $n$ ，则会陷入漫长的等待之中。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 14-3 爬楼梯对应递归树 </p>
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@@ -975,7 +975,7 @@ $$
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观察图 14-4 ，**经过记忆化处理后，所有重叠子问题都只需被计算一次，时间复杂度被优化至 $O(n)$** ，这是一个巨大的飞跃。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 14-4 记忆化搜索对应递归树 </p>
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@@ -1229,7 +1229,7 @@ $$
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图 14-5 模拟了以上代码的执行过程。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 14-5 爬楼梯的动态规划过程 </p>
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@@ -14,7 +14,7 @@ comments: true
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观察图 14-17 ，由于物品编号 $i$ 从 $1$ 开始计数，数组索引从 $0$ 开始计数，因此物品 $i$ 对应重量 $wgt[i-1]$ 和价值 $val[i-1]$ 。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 14-17 0-1 背包的示例数据 </p>
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@@ -320,7 +320,7 @@ $$
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观察递归树，容易发现其中存在重叠子问题，例如 $dp[1, 10]$ 等。而当物品较多、背包容量较大，尤其是相同重量的物品较多时，重叠子问题的数量将会大幅增多。
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{ class="animation-figure" }
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||||
<p align="center"> 图 14-18 0-1 背包的暴力搜索递归树 </p>
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@@ -656,7 +656,7 @@ $$
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图 14-19 展示了在记忆化递归中被剪掉的搜索分支。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 14-19 0-1 背包的记忆化搜索递归树 </p>
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@@ -969,46 +969,46 @@ $$
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如图 14-20 所示，时间复杂度和空间复杂度都由数组 `dp` 大小决定，即 $O(n \times cap)$ 。
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=== "<1>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<2>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<3>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<4>"
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||||
{ class="animation-figure" }
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=== "<5>"
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||||
{ class="animation-figure" }
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=== "<6>"
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||||
{ class="animation-figure" }
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=== "<7>"
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||||
{ class="animation-figure" }
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=== "<8>"
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||||
{ class="animation-figure" }
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=== "<9>"
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||||
{ class="animation-figure" }
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=== "<10>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<11>"
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||||
{ class="animation-figure" }
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=== "<12>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<13>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<14>"
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 14-20 0-1 背包的动态规划过程 </p>
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@@ -1024,22 +1024,22 @@ $$
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图 14-21 展示了在单个数组下从第 $i = 1$ 行转换至第 $i = 2$ 行的过程。请思考正序遍历和倒序遍历的区别。
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=== "<1>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<2>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<3>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<4>"
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||||
{ class="animation-figure" }
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=== "<5>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<6>"
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 14-21 0-1 背包的空间优化后的动态规划过程 </p>
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@@ -12,7 +12,7 @@ comments: true
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给定 $n$ 个物品，第 $i$ 个物品的重量为 $wgt[i-1]$、价值为 $val[i-1]$ ，和一个容量为 $cap$ 的背包。**每个物品可以重复选取**，问在不超过背包容量下能放入物品的最大价值。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 14-22 完全背包问题的示例数据 </p>
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@@ -347,22 +347,22 @@ $$
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这个遍历顺序与 0-1 背包正好相反。请借助图 14-23 来理解两者的区别。
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=== "<1>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<2>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<3>"
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||||
{ class="animation-figure" }
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||||
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=== "<4>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<5>"
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||||
{ class="animation-figure" }
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=== "<6>"
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 14-23 完全背包的空间优化后的动态规划过程 </p>
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@@ -666,7 +666,7 @@ $$
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||||
给定 $n$ 种硬币，第 $i$ 种硬币的面值为 $coins[i - 1]$ ，目标金额为 $amt$ ，**每种硬币可以重复选取**，问能够凑出目标金额的最少硬币个数。如果无法凑出目标金额则返回 $-1$ 。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 14-24 零钱兑换问题的示例数据 </p>
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@@ -1070,49 +1070,49 @@ $$
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图 14-25 展示了零钱兑换的动态规划过程，和完全背包非常相似。
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=== "<1>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<2>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<3>"
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||||
{ class="animation-figure" }
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=== "<4>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<5>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<6>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<7>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<8>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<9>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<10>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<11>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<12>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<13>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<14>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<15>"
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 14-25 零钱兑换问题的动态规划过程 </p>
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@@ -1450,7 +1450,7 @@ $$
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||||
给定 $n$ 种硬币，第 $i$ 种硬币的面值为 $coins[i - 1]$ ，目标金额为 $amt$ ，每种硬币可以重复选取，**问在凑出目标金额的硬币组合数量**。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 14-26 零钱兑换问题 II 的示例数据 </p>
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