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chapter_backtracking/permutations_problem/index.html

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 <p class="admonition-title">Question</p>
 <p>输入一个整数数组，数组中不包含重复元素，返回所有可能的排列。</p>
 </div>
-<p>从回溯算法的角度看，<strong>我们可以把生成排列的过程想象成一系列选择的结果</strong>。假设输入数组为 <span class="arithmatex">\([1, 2, 3]\)</span> ，如果我们先选择 <span class="arithmatex">\(1\)</span> 、再选择 <span class="arithmatex">\(3\)</span> 、最后选择 <span class="arithmatex">\(2\)</span> ，则获得排列 <span class="arithmatex">\([1, 3, 2]\)</span> 。回退表示撤销一个选择，之后继续尝试其他选择。</p>
+<p>从回溯算法的角度看，<strong>我们可以把生成排列的过程想象成一系列选择的结果</strong>。假设输入数组为 <span class="arithmatex">\([1, 2, 3]\)</span> ，如果我们先选择 <span class="arithmatex">\(1\)</span>、再选择 <span class="arithmatex">\(3\)</span>、最后选择 <span class="arithmatex">\(2\)</span> ，则获得排列 <span class="arithmatex">\([1, 3, 2]\)</span> 。回退表示撤销一个选择，之后继续尝试其他选择。</p>
 <p>从回溯代码的角度看，候选集合 <code>choices</code> 是输入数组中的所有元素，状态 <code>state</code> 是直至目前已被选择的元素。请注意，每个元素只允许被选择一次，<strong>因此 <code>state</code> 中的所有元素都应该是唯一的</strong>。</p>
 <p>如图 13-5 所示，我们可以将搜索过程展开成一个递归树，树中的每个节点代表当前状态 <code>state</code> 。从根节点开始，经过三轮选择后到达叶节点，每个叶节点都对应一个排列。</p>
 <p><img alt="全排列的递归树" src="../permutations_problem.assets/permutations_i.png" /></p>
 <p align="center"> 图 13-5 &nbsp; 全排列的递归树 </p>
 
 <h3 id="1">1. &nbsp; 重复选择剪枝<a class="headerlink" href="#1" title="Permanent link">&para;</a></h3>
-<p>为了实现每个元素只被选择一次，我们考虑引入一个布尔型数组 <code>selected</code> ，其中 <code>selected[i]</code> 表示 <code>choices[i]</code> 是否已被选择。剪枝的实现原理为：</p>
+<p>为了实现每个元素只被选择一次，我们考虑引入一个布尔型数组 <code>selected</code> ，其中 <code>selected[i]</code> 表示 <code>choices[i]</code> 是否已被选择，并基于它实现以下剪枝操作。</p>
 <ul>
 <li>在做出选择 <code>choice[i]</code> 后，我们就将 <code>selected[i]</code> 赋值为 <span class="arithmatex">\(\text{True}\)</span> ，代表它已被选择。</li>
 <li>遍历选择列表 <code>choices</code> 时，跳过所有已被选择过的节点，即剪枝。</li>
 </ul>
-<p>如图 13-6 所示，假设我们第一轮选择 1 ，第二轮选择 3 ，第三轮选择 2 ，则需要在第二轮剪掉元素 1 的分支，在第三轮剪掉元素 1, 3 的分支。</p>
+<p>如图 13-6 所示，假设我们第一轮选择 1 ，第二轮选择 3 ，第三轮选择 2 ，则需要在第二轮剪掉元素 1 的分支，在第三轮剪掉元素 1 和元素 3 的分支。</p>
 <p><img alt="全排列剪枝示例" src="../permutations_problem.assets/permutations_i_pruning.png" /></p>
 <p align="center"> 图 13-6 &nbsp; 全排列剪枝示例 </p>
 
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 <p>假设元素两两之间互不相同，则 <span class="arithmatex">\(n\)</span> 个元素共有 <span class="arithmatex">\(n!\)</span>  种排列（阶乘）；在记录结果时，需要复制长度为 <span class="arithmatex">\(n\)</span> 的列表，使用 <span class="arithmatex">\(O(n)\)</span> 时间。因此，<strong>时间复杂度为 <span class="arithmatex">\(O(n!n)\)</span></strong> 。</p>
 <p>最大递归深度为 <span class="arithmatex">\(n\)</span> ，使用 <span class="arithmatex">\(O(n)\)</span> 栈帧空间。<code>selected</code> 使用 <span class="arithmatex">\(O(n)\)</span> 空间。同一时刻最多共有 <span class="arithmatex">\(n\)</span> 个 <code>duplicated</code> ，使用 <span class="arithmatex">\(O(n^2)\)</span> 空间。<strong>因此空间复杂度为 <span class="arithmatex">\(O(n^2)\)</span></strong> 。</p>
 <h3 id="3">3. &nbsp; 两种剪枝对比<a class="headerlink" href="#3" title="Permanent link">&para;</a></h3>
-<p>请注意，虽然 <code>selected</code> 和 <code>duplicated</code> 都用作剪枝，但两者的目标不同：</p>
+<p>请注意，虽然 <code>selected</code> 和 <code>duplicated</code> 都用作剪枝，但两者的目标是不同的。</p>
 <ul>
 <li><strong>重复选择剪枝</strong>：整个搜索过程中只有一个 <code>selected</code> 。它记录的是当前状态中包含哪些元素，作用是避免某个元素在 <code>state</code> 中重复出现。</li>
 <li><strong>相等元素剪枝</strong>：每轮选择（即每个开启的 <code>backtrack</code> 函数）都包含一个 <code>duplicated</code> 。它记录的是在遍历中哪些元素已被选择过，作用是保证相等元素只被选择一次。</li>