CS_learn/hello-algo
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docs/chapter_backtracking/permutations_problem.md
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@@ -2,7 +2,7 @@
全排列问题是回溯算法的一个典型应用。它的定义是在给定一个集合（如一个数组或字符串）的情况下，找出这个集合中元素的所有可能的排列。
如下表所示，列举了几个示例数组和其对应的所有排列。
下表列举了几个示例数据，包括输入数组和对应的所有排列。
<div class="center-table" markdown>
@@ -120,7 +120,7 @@
需要重点关注的是，我们引入了一个布尔型数组 `selected` ，它的长度与输入数组长度相等，其中 `selected[i]` 表示 `choices[i]` 是否已被选择。我们利用 `selected` 避免某个元素被重复选择，从而实现剪枝。
如下图所示，假设我们第一轮选择 1 ，第二轮选择 3 ，第三轮选择 2 ，则需要在第二轮剪掉元素 1 的分支，在第三轮剪掉元素 1, 3 的分支。**从本质上理解，此剪枝操作可将搜索空间大小从 $O(n^n)$ 降低至 $O(n!)$** 。
如下图所示，假设我们第一轮选择 1 ，第二轮选择 3 ，第三轮选择 2 ，则需要在第二轮剪掉元素 1 的分支，在第三轮剪掉元素 1, 3 的分支。**此剪枝操作可将搜索空间大小从 $O(n^n)$ 降低至 $O(n!)$** 。
![全排列剪枝示例](permutations_problem.assets/permutations_i_pruning.png)
@@ -134,7 +134,7 @@
![重复排列](permutations_problem.assets/permutations_ii.png)
那么，如何去除重复的排列呢？最直接地，我们可以借助一个哈希表，直接对排列结果进行去重。然而，这样做不够优雅，因为生成重复排列的搜索分支是没有必要的，应当被提前识别并剪枝，这样可以提升算法效率。
那么，如何去除重复的排列呢？最直接地，我们可以借助一个哈希表，直接对排列结果进行去重。然而这样做不够优雅，**因为生成重复排列的搜索分支是没有必要的，应当被提前识别并剪枝**，这样可以进一步提升算法效率。
观察发现，在第一轮中，选择 $1$ 或选择 $\hat{1}$ 是等价的，因为在这两个选择之下生成的所有排列都是重复的。因此，我们应该把 $\hat{1}$ 剪枝掉。同理，在第一轮选择 $2$ 后，第二轮选择中的 $1$ 和 $\hat{1}$ 也会产生重复分支，因此也需要将第二轮的 $\hat{1}$ 剪枝。