CS_learn/hello-algo
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docs/chapter_dynamic_programming/dp_problem_features.md
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@@ -14,7 +14,7 @@
如下图所示，若第 $1$ , $2$ , $3$ 阶的代价分别为 $1$ , $10$ , $1$ ，则从地面爬到第 $3$ 阶的最小代价为 $2$ 。
![爬到第 3 阶的最小代价](intro_to_dynamic_programming.assets/min_cost_cs_example.png)
![爬到第 3 阶的最小代价](dp_problem_features.assets/min_cost_cs_example.png)
设 $dp[i]$ 为爬到第 $i$ 阶累计付出的代价，由于第 $i$ 阶只可能从 $i - 1$ 阶或 $i - 2$ 阶走来，因此 $dp[i]$ 只可能等于 $dp[i - 1] + cost[i]$ 或 $dp[i - 2] + cost[i]$ 。为了尽可能减少代价，我们应该选择两者中较小的那一个，即：
@@ -96,7 +96,7 @@ $$
[class]{}-[func]{minCostClimbingStairsDP}
```
![爬楼梯最小代价的动态规划过程](intro_to_dynamic_programming.assets/min_cost_cs_dp.png)
![爬楼梯最小代价的动态规划过程](dp_problem_features.assets/min_cost_cs_dp.png)
这道题同样也可以进行状态压缩，将一维压缩至零维，使得空间复杂度从 $O(n)$ 降低至 $O(1)$ 。
@@ -180,7 +180,7 @@ $$
例如，爬上第 $3$ 阶仅剩 $2$ 种可行方案，其中连续三次跳 $1$ 阶的方案不满足约束条件，因此被舍弃。
![带约束爬到第 3 阶的方案数量](intro_to_dynamic_programming.assets/climbing_stairs_constraint_example.png)
![带约束爬到第 3 阶的方案数量](dp_problem_features.assets/climbing_stairs_constraint_example.png)
在该问题中，**下一步选择不能由当前状态（当前楼梯阶数）独立决定，还和前一个状态（上轮楼梯阶数）有关**。如果上一轮是跳 $1$ 阶上来的，那么下一轮就必须跳 $2$ 阶。
@@ -200,7 +200,7 @@ dp[i, 2] = dp[i-2, 1] + dp[i-2, 2]
\end{cases}
$$
![考虑约束下的递推关系](intro_to_dynamic_programming.assets/climbing_stairs_constraint_state_transfer.png)
![考虑约束下的递推关系](dp_problem_features.assets/climbing_stairs_constraint_state_transfer.png)
最终，返回 $dp[n, 1] + dp[n, 2]$ 即可，两者之和代表爬到第 $n$ 阶的方案总数。