CS_learn/hello-algo
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2023-07-24 13:09:43 +08:00
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55
chapter_dynamic_programming/dp_problem_features.md
View File

@@ -104,7 +104,23 @@ $$
=== "Go"
```go title="min_cost_climbing_stairs_dp.go"
[class]{}-[func]{minCostClimbingStairsDP}
/* 爬楼梯最小代价：动态规划 */
func minCostClimbingStairsDP(cost []int) int {
n := len(cost) - 1
if n == 1 || n == 2 {
return cost[n]
}
// 初始化 dp 表，用于存储子问题的解
dp := make([]int, n+1)
// 初始状态：预设最小子问题的解
dp[1] = cost[1]
dp[2] = cost[2]
// 状态转移：从较小子问题逐步求解较大子问题
for i := 3; i <= n; i++ {
dp[i] = int(math.Min(float64(dp[i-1]), float64(dp[i-2]+cost[i])))
}
return dp[n]
}
```
=== "JavaScript"
@@ -255,7 +271,22 @@ $$
=== "Go"
```go title="min_cost_climbing_stairs_dp.go"
[class]{}-[func]{minCostClimbingStairsDPComp}
/* 爬楼梯最小代价：状态压缩后的动态规划 */
func minCostClimbingStairsDPComp(cost []int) int {
n := len(cost) - 1
if n == 1 || n == 2 {
return cost[n]
}
// 初始状态：预设最小子问题的解
a, b := cost[1], cost[2]
// 状态转移：从较小子问题逐步求解较大子问题
for i := 3; i <= n; i++ {
tmp := b
b = int(math.Min(float64(a), float64(tmp+cost[i])))
a = tmp
}
return b
}
```
=== "JavaScript"
@@ -450,7 +481,25 @@ $$
=== "Go"
```go title="climbing_stairs_constraint_dp.go"
[class]{}-[func]{climbingStairsConstraintDP}
/* 带约束爬楼梯：动态规划 */
func climbingStairsConstraintDP(n int) int {
if n == 1 || n == 2 {
return n
}
// 初始化 dp 表，用于存储子问题的解
dp := make([][3]int, n+1)
// 初始状态：预设最小子问题的解
dp[1][1] = 1
dp[1][2] = 0
dp[2][1] = 0
dp[2][2] = 1
// 状态转移：从较小子问题逐步求解较大子问题
for i := 3; i <= n; i++ {
dp[i][1] = dp[i-1][2]
dp[i][2] = dp[i-2][1] + dp[i-2][2]
}
return dp[n][1] + dp[n][2]
}
```
=== "JavaScript"

87
chapter_dynamic_programming/dp_solution_pipeline.md
View File

@@ -171,7 +171,22 @@ $$
=== "Go"
```go title="min_path_sum.go"
[class]{}-[func]{minPathSumDFS}
/* 最小路径和：暴力搜索 */
func minPathSumDFS(grid [][]int, i, j int) int {
// 若为左上角单元格，则终止搜索
if i == 0 && j == 0 {
return grid[0][0]
}
// 若行列索引越界，则返回 +∞ 代价
if i < 0 || j < 0 {
return math.MaxInt
}
// 计算从左上角到 (i-1, j) 和 (i, j-1) 的最小路径代价
left := minPathSumDFS(grid, i-1, j)
up := minPathSumDFS(grid, i, j-1)
// 返回从左上角到 (i, j) 的最小路径代价
return int(math.Min(float64(left), float64(up))) + grid[i][j]
}
```
=== "JavaScript"
@@ -354,7 +369,27 @@ $$
=== "Go"
```go title="min_path_sum.go"
[class]{}-[func]{minPathSumDFSMem}
/* 最小路径和：记忆化搜索 */
func minPathSumDFSMem(grid, mem [][]int, i, j int) int {
// 若为左上角单元格，则终止搜索
if i == 0 && j == 0 {
return grid[0][0]
}
// 若行列索引越界，则返回 +∞ 代价
if i < 0 || j < 0 {
return math.MaxInt
}
// 若已有记录，则直接返回
if mem[i][j] != -1 {
return mem[i][j]
}
// 左边和上边单元格的最小路径代价
left := minPathSumDFSMem(grid, mem, i-1, j)
up := minPathSumDFSMem(grid, mem, i, j-1)
// 记录并返回左上角到 (i, j) 的最小路径代价
mem[i][j] = int(math.Min(float64(left), float64(up))) + grid[i][j]
return mem[i][j]
}
```
=== "JavaScript"
@@ -549,7 +584,31 @@ $$
=== "Go"
```go title="min_path_sum.go"
[class]{}-[func]{minPathSumDP}
/* 最小路径和：动态规划 */
func minPathSumDP(grid [][]int) int {
n, m := len(grid), len(grid[0])
// 初始化 dp 表
dp := make([][]int, n)
for i := 0; i < n; i++ {
dp[i] = make([]int, m)
}
dp[0][0] = grid[0][0]
// 状态转移：首行
for j := 1; j < m; j++ {
dp[0][j] = dp[0][j-1] + grid[0][j]
}
// 状态转移：首列
for i := 1; i < n; i++ {
dp[i][0] = dp[i-1][0] + grid[i][0]
}
// 状态转移：其余行列
for i := 1; i < n; i++ {
for j := 1; j < m; j++ {
dp[i][j] = int(math.Min(float64(dp[i][j-1]), float64(dp[i-1][j]))) + grid[i][j]
}
}
return dp[n-1][m-1]
}
```
=== "JavaScript"
@@ -780,7 +839,27 @@ $$
=== "Go"
```go title="min_path_sum.go"
[class]{}-[func]{minPathSumDPComp}
/* 最小路径和：状态压缩后的动态规划 */
func minPathSumDPComp(grid [][]int) int {
n, m := len(grid), len(grid[0])
// 初始化 dp 表
dp := make([]int, m)
// 状态转移：首行
dp[0] = grid[0][0]
for j := 1; j < m; j++ {
dp[j] = dp[j-1] + grid[0][j]
}
// 状态转移：其余行列
for i := 1; i < n; i++ {
// 状态转移：首列
dp[0] = dp[0] + grid[i][0]
// 状态转移：其余列
for j := 1; j < m; j++ {
dp[j] = int(math.Min(float64(dp[j-1]), float64(dp[j]))) + grid[i][j]
}
}
return dp[m-1]
}
```
=== "JavaScript"

60
chapter_dynamic_programming/edit_distance_problem.md
View File

@@ -161,7 +161,35 @@ $$
=== "Go"
```go title="edit_distance.go"
[class]{}-[func]{editDistanceDP}
/* 编辑距离：动态规划 */
func editDistanceDP(s string, t string) int {
n := len(s)
m := len(t)
dp := make([][]int, n+1)
for i := 0; i <= n; i++ {
dp[i] = make([]int, m+1)
}
// 状态转移：首行首列
for i := 1; i <= n; i++ {
dp[i][0] = i
}
for j := 1; j <= m; j++ {
dp[0][j] = j
}
// 状态转移：其余行列
for i := 1; i <= n; i++ {
for j := 1; j <= m; j++ {
if s[i-1] == t[j-1] {
// 若两字符相等，则直接跳过此两字符
dp[i][j] = dp[i-1][j-1]
} else {
// 最少编辑步数 = 插入、删除、替换这三种操作的最少编辑步数 + 1
dp[i][j] = MinInt(MinInt(dp[i][j-1], dp[i-1][j]), dp[i-1][j-1]) + 1
}
}
}
return dp[n][m]
}
```
=== "JavaScript"
@@ -430,7 +458,35 @@ $$
=== "Go"
```go title="edit_distance.go"
[class]{}-[func]{editDistanceDPComp}
/* 编辑距离：状态压缩后的动态规划 */
func editDistanceDPComp(s string, t string) int {
n := len(s)
m := len(t)
dp := make([]int, m+1)
// 状态转移：首行
for j := 1; j <= m; j++ {
dp[j] = j
}
// 状态转移：其余行
for i := 1; i <= n; i++ {
// 状态转移：首列
leftUp := dp[0] // 暂存 dp[i-1, j-1]
dp[0] = i
// 状态转移：其余列
for j := 1; j <= m; j++ {
temp := dp[j]
if s[i-1] == t[j-1] {
// 若两字符相等，则直接跳过此两字符
dp[j] = leftUp
} else {
// 最少编辑步数 = 插入、删除、替换这三种操作的最少编辑步数 + 1
dp[j] = MinInt(MinInt(dp[j-1], dp[j]), leftUp) + 1
}
leftUp = temp // 更新为下一轮的 dp[i-1, j-1]
}
}
return dp[m]
}
```
=== "JavaScript"

104
chapter_dynamic_programming/intro_to_dynamic_programming.md
View File

@@ -109,9 +109,36 @@ status: new
=== "Go"
```go title="climbing_stairs_backtrack.go"
[class]{}-[func]{backtrack}
/* 回溯 */
func backtrack(choices []int, state, n int, res []int) {
// 当爬到第 n 阶时，方案数量加 1
if state == n {
res[0] = res[0] + 1
}
// 遍历所有选择
for _, choice := range choices {
// 剪枝：不允许越过第 n 阶
if state+choice > n {
break
}
// 尝试：做出选择，更新状态
backtrack(choices, state+choice, n, res)
// 回退
}
}
[class]{}-[func]{climbingStairsBacktrack}
/* 爬楼梯：回溯 */
func climbingStairsBacktrack(n int) int {
// 可选择向上爬 1 或 2 阶
choices := []int{1, 2}
// 从第 0 阶开始爬
state := 0
res := make([]int, 1)
// 使用 res[0] 记录方案数量
res[0] = 0
backtrack(choices, state, n, res)
return res[0]
}
```
=== "JavaScript"
@@ -324,9 +351,21 @@ $$
=== "Go"
```go title="climbing_stairs_dfs.go"
[class]{}-[func]{dfs}
/* 搜索 */
func dfs(i int) int {
// 已知 dp[1] 和 dp[2] ，返回之
if i == 1 || i == 2 {
return i
}
// dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
count := dfs(i-1) + dfs(i-2)
return count
}
[class]{}-[func]{climbingStairsDFS}
/* 爬楼梯：搜索 */
func climbingStairsDFS(n int) int {
return dfs(n)
}
```
=== "JavaScript"
@@ -515,9 +554,32 @@ $$
=== "Go"
```go title="climbing_stairs_dfs_mem.go"
[class]{}-[func]{dfs}
/* 记忆化搜索 */
func dfsMem(i int, mem []int) int {
// 已知 dp[1] 和 dp[2] ，返回之
if i == 1 || i == 2 {
return i
}
// 若存在记录 dp[i] ，则直接返回之
if mem[i] != -1 {
return mem[i]
}
// dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
count := dfsMem(i-1, mem) + dfsMem(i-2, mem)
// 记录 dp[i]
mem[i] = count
return count
}
[class]{}-[func]{climbingStairsDFSMem}
/* 爬楼梯：记忆化搜索 */
func climbingStairsDFSMem(n int) int {
// mem[i] 记录爬到第 i 阶的方案总数，-1 代表无记录
mem := make([]int, n+1)
for i := range mem {
mem[i] = -1
}
return dfsMem(n, mem)
}
```
=== "JavaScript"
@@ -709,7 +771,22 @@ $$
=== "Go"
```go title="climbing_stairs_dp.go"
[class]{}-[func]{climbingStairsDP}
/* 爬楼梯：动态规划 */
func climbingStairsDP(n int) int {
if n == 1 || n == 2 {
return n
}
// 初始化 dp 表，用于存储子问题的解
dp := make([]int, n+1)
// 初始状态：预设最小子问题的解
dp[1] = 1
dp[2] = 2
// 状态转移：从较小子问题逐步求解较大子问题
for i := 3; i <= n; i++ {
dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
}
return dp[n]
}
```
=== "JavaScript"
@@ -863,7 +940,18 @@ $$
=== "Go"
```go title="climbing_stairs_dp.go"
[class]{}-[func]{climbingStairsDPComp}
/* 爬楼梯：状态压缩后的动态规划 */
func climbingStairsDPComp(n int) int {
if n == 1 || n == 2 {
return n
}
a, b := 1, 2
// 状态转移：从较小子问题逐步求解较大子问题
for i := 3; i <= n; i++ {
a, b = b, a+b
}
return b
}
```
=== "JavaScript"

80
chapter_dynamic_programming/knapsack_problem.md
View File

@@ -127,7 +127,22 @@ $$
=== "Go"
```go title="knapsack.go"
[class]{}-[func]{knapsackDFS}
/* 0-1 背包：暴力搜索 */
func knapsackDFS(wgt, val []int, i, c int) int {
// 若已选完所有物品或背包无容量，则返回价值 0
if i == 0 || c == 0 {
return 0
}
// 若超过背包容量，则只能不放入背包
if wgt[i-1] > c {
return knapsackDFS(wgt, val, i-1, c)
}
// 计算不放入和放入物品 i 的最大价值
no := knapsackDFS(wgt, val, i-1, c)
yes := knapsackDFS(wgt, val, i-1, c-wgt[i-1]) + val[i-1]
// 返回两种方案中价值更大的那一个
return int(math.Max(float64(no), float64(yes)))
}
```
=== "JavaScript"
@@ -308,7 +323,27 @@ $$
=== "Go"
```go title="knapsack.go"
[class]{}-[func]{knapsackDFSMem}
/* 0-1 背包：记忆化搜索 */
func knapsackDFSMem(wgt, val []int, mem [][]int, i, c int) int {
// 若已选完所有物品或背包无容量，则返回价值 0
if i == 0 || c == 0 {
return 0
}
// 若已有记录，则直接返回
if mem[i][c] != -1 {
return mem[i][c]
}
// 若超过背包容量，则只能不放入背包
if wgt[i-1] > c {
return knapsackDFSMem(wgt, val, mem, i-1, c)
}
// 计算不放入和放入物品 i 的最大价值
no := knapsackDFSMem(wgt, val, mem, i-1, c)
yes := knapsackDFSMem(wgt, val, mem, i-1, c-wgt[i-1]) + val[i-1]
// 返回两种方案中价值更大的那一个
mem[i][c] = int(math.Max(float64(no), float64(yes)))
return mem[i][c]
}
```
=== "JavaScript"
@@ -494,7 +529,28 @@ $$
=== "Go"
```go title="knapsack.go"
[class]{}-[func]{knapsackDP}
/* 0-1 背包：动态规划 */
func knapsackDP(wgt, val []int, cap int) int {
n := len(wgt)
// 初始化 dp 表
dp := make([][]int, n+1)
for i := 0; i <= n; i++ {
dp[i] = make([]int, cap+1)
}
// 状态转移
for i := 1; i <= n; i++ {
for c := 1; c <= cap; c++ {
if wgt[i-1] > c {
// 若超过背包容量，则不选物品 i
dp[i][c] = dp[i-1][c]
} else {
// 不选和选物品 i 这两种方案的较大值
dp[i][c] = int(math.Max(float64(dp[i-1][c]), float64(dp[i-1][c-wgt[i-1]]+val[i-1])))
}
}
}
return dp[n][cap]
}
```
=== "JavaScript"
@@ -733,7 +789,23 @@ $$
=== "Go"
```go title="knapsack.go"
[class]{}-[func]{knapsackDPComp}
/* 0-1 背包：状态压缩后的动态规划 */
func knapsackDPComp(wgt, val []int, cap int) int {
n := len(wgt)
// 初始化 dp 表
dp := make([]int, cap+1)
// 状态转移
for i := 1; i <= n; i++ {
// 倒序遍历
for c := cap; c >= 1; c-- {
if wgt[i-1] <= c {
// 不选和选物品 i 这两种方案的较大值
dp[c] = int(math.Max(float64(dp[c]), float64(dp[c-wgt[i-1]]+val[i-1])))
}
}
}
return dp[cap]
}
```
=== "JavaScript"

151
chapter_dynamic_programming/unbounded_knapsack_problem.md
View File

@@ -108,7 +108,28 @@ $$
=== "Go"
```go title="unbounded_knapsack.go"
[class]{}-[func]{unboundedKnapsackDP}
/* 完全背包：动态规划 */
func unboundedKnapsackDP(wgt, val []int, cap int) int {
n := len(wgt)
// 初始化 dp 表
dp := make([][]int, n+1)
for i := 0; i <= n; i++ {
dp[i] = make([]int, cap+1)
}
// 状态转移
for i := 1; i <= n; i++ {
for c := 1; c <= cap; c++ {
if wgt[i-1] > c {
// 若超过背包容量，则不选物品 i
dp[i][c] = dp[i-1][c]
} else {
// 不选和选物品 i 这两种方案的较大值
dp[i][c] = int(math.Max(float64(dp[i-1][c]), float64(dp[i][c-wgt[i-1]]+val[i-1])))
}
}
}
return dp[n][cap]
}
```
=== "JavaScript"
@@ -303,7 +324,25 @@ $$
=== "Go"
```go title="unbounded_knapsack.go"
[class]{}-[func]{unboundedKnapsackDPComp}
/* 完全背包：状态压缩后的动态规划 */
func unboundedKnapsackDPComp(wgt, val []int, cap int) int {
n := len(wgt)
// 初始化 dp 表
dp := make([]int, cap+1)
// 状态转移
for i := 1; i <= n; i++ {
for c := 1; c <= cap; c++ {
if wgt[i-1] > c {
// 若超过背包容量，则不选物品 i
dp[c] = dp[c]
} else {
// 不选和选物品 i 这两种方案的较大值
dp[c] = int(math.Max(float64(dp[c]), float64(dp[c-wgt[i-1]]+val[i-1])))
}
}
}
return dp[cap]
}
```
=== "JavaScript"
@@ -536,7 +575,36 @@ $$
=== "Go"
```go title="coin_change.go"
[class]{}-[func]{coinChangeDP}
/* 零钱兑换：动态规划 */
func coinChangeDP(coins []int, amt int) int {
n := len(coins)
max := amt + 1
// 初始化 dp 表
dp := make([][]int, n+1)
for i := 0; i <= n; i++ {
dp[i] = make([]int, amt+1)
}
// 状态转移：首行首列
for a := 1; a <= amt; a++ {
dp[0][a] = max
}
// 状态转移：其余行列
for i := 1; i <= n; i++ {
for a := 1; a <= amt; a++ {
if coins[i-1] > a {
// 若超过背包容量，则不选硬币 i
dp[i][a] = dp[i-1][a]
} else {
// 不选和选硬币 i 这两种方案的较小值
dp[i][a] = int(math.Min(float64(dp[i-1][a]), float64(dp[i][a-coins[i-1]]+1)))
}
}
}
if dp[n][amt] != max {
return dp[n][amt]
}
return -1
}
```
=== "JavaScript"
@@ -784,7 +852,33 @@ $$
=== "Go"
```go title="coin_change.go"
[class]{}-[func]{coinChangeDPComp}
/* 零钱兑换：动态规划 */
func coinChangeDPComp(coins []int, amt int) int {
n := len(coins)
max := amt + 1
// 初始化 dp 表
dp := make([]int, amt+1)
for i := 1; i <= amt; i++ {
dp[i] = max
}
// 状态转移
for i := 1; i <= n; i++ {
// 倒序遍历
for a := 1; a <= amt; a++ {
if coins[i-1] > a {
// 若超过背包容量，则不选硬币 i
dp[a] = dp[a]
} else {
// 不选和选硬币 i 这两种方案的较小值
dp[a] = int(math.Min(float64(dp[a]), float64(dp[a-coins[i-1]]+1)))
}
}
}
if dp[amt] != max {
return dp[amt]
}
return -1
}
```
=== "JavaScript"
@@ -999,7 +1093,32 @@ $$
=== "Go"
```go title="coin_change_ii.go"
[class]{}-[func]{coinChangeIIDP}
/* 零钱兑换 II：动态规划 */
func coinChangeIIDP(coins []int, amt int) int {
n := len(coins)
// 初始化 dp 表
dp := make([][]int, n+1)
for i := 0; i <= n; i++ {
dp[i] = make([]int, amt+1)
}
// 初始化首列
for i := 0; i <= n; i++ {
dp[i][0] = 1
}
// 状态转移：其余行列
for i := 1; i <= n; i++ {
for a := 1; a <= amt; a++ {
if coins[i-1] > a {
// 若超过背包容量，则不选硬币 i
dp[i][a] = dp[i-1][a]
} else {
// 不选和选硬币 i 这两种方案的较小值
dp[i][a] = dp[i-1][a] + dp[i][a-coins[i-1]]
}
}
}
return dp[n][amt]
}
```
=== "JavaScript"
@@ -1189,7 +1308,27 @@ $$
=== "Go"
```go title="coin_change_ii.go"
[class]{}-[func]{coinChangeIIDPComp}
/* 零钱兑换 II：状态压缩后的动态规划 */
func coinChangeIIDPComp(coins []int, amt int) int {
n := len(coins)
// 初始化 dp 表
dp := make([]int, amt+1)
dp[0] = 1
// 状态转移
for i := 1; i <= n; i++ {
// 倒序遍历
for a := 1; a <= amt; a++ {
if coins[i-1] > a {
// 若超过背包容量，则不选硬币 i
dp[a] = dp[a]
} else {
// 不选和选硬币 i 这两种方案之和
dp[a] = dp[a] + dp[a-coins[i-1]]
}
}
}
return dp[amt]
}
```
=== "JavaScript"