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chapter_dynamic_programming/knapsack_problem/index.html

@@ -3713,11 +3713,11 @@
 <p>我们可以将 0-1 背包问题看作一个由 <span class="arithmatex">\(n\)</span> 轮决策组成的过程，对于每个物体都有不放入和放入两种决策，因此该问题满足决策树模型。</p>
 <p>该问题的目标是求解“在限定背包容量下能放入物品的最大价值”，因此较大概率是一个动态规划问题。</p>
 <p><strong>第一步：思考每轮的决策，定义状态，从而得到 <span class="arithmatex">\(dp\)</span> 表</strong></p>
-<p>对于每个物品来说，不放入背包，背包容量不变；放入背包，背包容量减小。由此可得状态定义：当前物品编号 <span class="arithmatex">\(i\)</span> 和剩余背包容量 <span class="arithmatex">\(c\)</span> ，记为 <span class="arithmatex">\([i, c]\)</span> 。</p>
-<p>状态 <span class="arithmatex">\([i, c]\)</span> 对应的子问题为：<strong>前 <span class="arithmatex">\(i\)</span> 个物品在剩余容量为 <span class="arithmatex">\(c\)</span> 的背包中的最大价值</strong>，记为 <span class="arithmatex">\(dp[i, c]\)</span> 。</p>
+<p>对于每个物品来说，不放入背包，背包容量不变；放入背包，背包容量减小。由此可得状态定义：当前物品编号 <span class="arithmatex">\(i\)</span> 和背包容量 <span class="arithmatex">\(c\)</span> ，记为 <span class="arithmatex">\([i, c]\)</span> 。</p>
+<p>状态 <span class="arithmatex">\([i, c]\)</span> 对应的子问题为：<strong>前 <span class="arithmatex">\(i\)</span> 个物品在容量为 <span class="arithmatex">\(c\)</span> 的背包中的最大价值</strong>，记为 <span class="arithmatex">\(dp[i, c]\)</span> 。</p>
 <p>待求解的是 <span class="arithmatex">\(dp[n, cap]\)</span> ，因此需要一个尺寸为 <span class="arithmatex">\((n+1) \times (cap+1)\)</span> 的二维 <span class="arithmatex">\(dp\)</span> 表。</p>
 <p><strong>第二步：找出最优子结构，进而推导出状态转移方程</strong></p>
-<p>当我们做出物品 <span class="arithmatex">\(i\)</span> 的决策后，剩余的是前 <span class="arithmatex">\(i-1\)</span> 个物品的决策，可分为以下两种情况。</p>
+<p>当我们做出物品 <span class="arithmatex">\(i\)</span> 的决策后，剩余的是前 <span class="arithmatex">\(i-1\)</span> 个物品决策的子问题，可分为以下两种情况。</p>
 <ul>
 <li><strong>不放入物品 <span class="arithmatex">\(i\)</span></strong> ：背包容量不变，状态变化为 <span class="arithmatex">\([i-1, c]\)</span> 。</li>
 <li><strong>放入物品 <span class="arithmatex">\(i\)</span></strong> ：背包容量减少 <span class="arithmatex">\(wgt[i-1]\)</span> ，价值增加 <span class="arithmatex">\(val[i-1]\)</span> ，状态变化为 <span class="arithmatex">\([i-1, c-wgt[i-1]]\)</span> 。</li>
@@ -3728,7 +3728,7 @@ dp[i, c] = \max(dp[i-1, c], dp[i-1, c - wgt[i-1]] + val[i-1])
 \]</div>
 <p>需要注意的是，若当前物品重量 <span class="arithmatex">\(wgt[i - 1]\)</span> 超出剩余背包容量 <span class="arithmatex">\(c\)</span> ，则只能选择不放入背包。</p>
 <p><strong>第三步：确定边界条件和状态转移顺序</strong></p>
-<p>当无物品或无剩余背包容量时最大价值为 <span class="arithmatex">\(0\)</span> ，即首列 <span class="arithmatex">\(dp[i, 0]\)</span> 和首行 <span class="arithmatex">\(dp[0, c]\)</span> 都等于 <span class="arithmatex">\(0\)</span> 。</p>
+<p>当无物品或背包容量为 <span class="arithmatex">\(0\)</span> 时最大价值为 <span class="arithmatex">\(0\)</span> ，即首列 <span class="arithmatex">\(dp[i, 0]\)</span> 和首行 <span class="arithmatex">\(dp[0, c]\)</span> 都等于 <span class="arithmatex">\(0\)</span> 。</p>
 <p>当前状态 <span class="arithmatex">\([i, c]\)</span> 从上方的状态 <span class="arithmatex">\([i-1, c]\)</span> 和左上方的状态 <span class="arithmatex">\([i-1, c-wgt[i-1]]\)</span> 转移而来，因此通过两层循环正序遍历整个 <span class="arithmatex">\(dp\)</span> 表即可。</p>
 <p>根据以上分析，我们接下来按顺序实现暴力搜索、记忆化搜索、动态规划解法。</p>
 <h3 id="1">1. &nbsp; 方法一：暴力搜索<a class="headerlink" href="#1" title="Permanent link">&para;</a></h3>

chapter_dynamic_programming/summary/index.html

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 <p><strong>背包问题</strong></p>
 <ul>
 <li>背包问题是最典型的动态规划问题之一，具有 0-1 背包、完全背包、多重背包等变种。</li>
-<li>0-1 背包的状态定义为前 <span class="arithmatex">\(i\)</span> 个物品在剩余容量为 <span class="arithmatex">\(c\)</span> 的背包中的最大价值。根据不放入背包和放入背包两种决策，可得到最优子结构，并构建出状态转移方程。在空间优化中，由于每个状态依赖正上方和左上方的状态，因此需要倒序遍历列表，避免左上方状态被覆盖。</li>
+<li>0-1 背包的状态定义为前 <span class="arithmatex">\(i\)</span> 个物品在容量为 <span class="arithmatex">\(c\)</span> 的背包中的最大价值。根据不放入背包和放入背包两种决策，可得到最优子结构，并构建出状态转移方程。在空间优化中，由于每个状态依赖正上方和左上方的状态，因此需要倒序遍历列表，避免左上方状态被覆盖。</li>
 <li>完全背包问题的每种物品的选取数量无限制，因此选择放入物品的状态转移与 0-1 背包问题不同。由于状态依赖正上方和正左方的状态，因此在空间优化中应当正序遍历。</li>
 <li>零钱兑换问题是完全背包问题的一个变种。它从求“最大”价值变为求“最小”硬币数量，因此状态转移方程中的 <span class="arithmatex">\(\max()\)</span> 应改为 <span class="arithmatex">\(\min()\)</span> 。从追求“不超过”背包容量到追求“恰好”凑出目标金额，因此使用 <span class="arithmatex">\(amt + 1\)</span> 来表示“无法凑出目标金额”的无效解。</li>
 <li>零钱兑换问题 II 从求“最少硬币数量”改为求“硬币组合数量”，状态转移方程相应地从 <span class="arithmatex">\(\min()\)</span> 改为求和运算符。</li>