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@@ -3602,7 +3602,7 @@
<p><strong>背包问题</strong></p>
<ul>
<li>背包问题是最典型的动态规划问题之一，具有 0-1 背包、完全背包、多重背包等变种。</li>
<li>0-1 背包的状态定义为前 <span class="arithmatex">\(i\)</span> 个物品在剩余容量为 <span class="arithmatex">\(c\)</span> 的背包中的最大价值。根据不放入背包和放入背包两种决策，可得到最优子结构，并构建出状态转移方程。在空间优化中，由于每个状态依赖正上方和左上方的状态，因此需要倒序遍历列表，避免左上方状态被覆盖。</li>
<li>0-1 背包的状态定义为前 <span class="arithmatex">\(i\)</span> 个物品在容量为 <span class="arithmatex">\(c\)</span> 的背包中的最大价值。根据不放入背包和放入背包两种决策，可得到最优子结构，并构建出状态转移方程。在空间优化中，由于每个状态依赖正上方和左上方的状态，因此需要倒序遍历列表，避免左上方状态被覆盖。</li>
<li>完全背包问题的每种物品的选取数量无限制，因此选择放入物品的状态转移与 0-1 背包问题不同。由于状态依赖正上方和正左方的状态，因此在空间优化中应当正序遍历。</li>
<li>零钱兑换问题是完全背包问题的一个变种。它从求“最大”价值变为求“最小”硬币数量，因此状态转移方程中的 <span class="arithmatex">\(\max()\)</span> 应改为 <span class="arithmatex">\(\min()\)</span> 。从追求“不超过”背包容量到追求“恰好”凑出目标金额，因此使用 <span class="arithmatex">\(amt + 1\)</span> 来表示“无法凑出目标金额”的无效解。</li>
<li>零钱兑换问题 II 从求“最少硬币数量”改为求“硬币组合数量”，状态转移方程相应地从 <span class="arithmatex">\(\min()\)</span> 改为求和运算符。</li>