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docs/chapter_divide_and_conquer/build_binary_tree_problem.md

@@ -23,7 +23,7 @@
 - 前序遍历：`[ 根节点 | 左子树 | 右子树 ]` ，例如上图 `[ 3 | 9 | 2 1 7 ]` 。
 - 中序遍历：`[ 左子树 | 根节点 ｜ 右子树 ]` ，例如上图 `[ 9 | 3 | 1 2 7 ]` 。
 
-以上图数据为例，我们可以通过以下步骤得到上述的划分结果：
+以上图数据为例，我们可以通过下图所示的步骤得到划分结果：
 
 1. 前序遍历的首元素 3 是根节点的值。
 2. 查找根节点 3 在 `inorder` 中的索引，利用该索引可将 `inorder` 划分为 `[ 9 | 3 ｜ 1 2 7 ]` 。

docs/chapter_divide_and_conquer/divide_and_conquer.md

@@ -5,7 +5,7 @@
 1. **分（划分阶段）**：递归地将原问题分解为两个或多个子问题，直至到达最小子问题时终止。
 2. **治（合并阶段）**：从已知解的最小子问题开始，从底至顶地将子问题的解进行合并，从而构建出原问题的解。
 
-我们已学过的“归并排序”是分治策略的典型应用之一，其算法原理为：
+如下图所示，“归并排序”是分治策略的典型应用之一，其算法原理为：
 
 1. **分**：递归地将原数组（原问题）划分为两个子数组（子问题），直到子数组只剩一个元素（最小子问题）。
 2. **治**：从底至顶地将有序的子数组（子问题的解）进行合并，从而得到有序的原数组（原问题的解）。
@@ -34,7 +34,7 @@
 
 ### 操作数量优化
 
-以“冒泡排序”为例，其处理一个长度为 $n$ 的数组需要 $O(n^2)$ 时间。假设我们把数组从中点分为两个子数组，则划分需要 $O(n)$ 时间，排序每个子数组需要 $O((n / 2)^2)$ 时间，合并两个子数组需要 $O(n)$ 时间，总体时间复杂度为：
+以“冒泡排序”为例，其处理一个长度为 $n$ 的数组需要 $O(n^2)$ 时间。假设我们按照下图所示的方式，将数组从中点分为两个子数组，则划分需要 $O(n)$ 时间，排序每个子数组需要 $O((n / 2)^2)$ 时间，合并两个子数组需要 $O(n)$ 时间，总体时间复杂度为：
 
 $$
 O(n + (\frac{n}{2})^2 \times 2 + n) = O(\frac{n^2}{2} + 2n)
@@ -64,7 +64,7 @@ $$
 
 并行优化在多核或多处理器的环境中尤其有效，因为系统可以同时处理多个子问题，更加充分地利用计算资源，从而显著减少总体的运行时间。
 
-比如在桶排序中，我们将海量的数据平均分配到各个桶中，则可所有桶的排序任务分散到各个计算单元，完成后再进行结果合并。
+比如在下图所示的“桶排序”中，我们将海量的数据平均分配到各个桶中，则可所有桶的排序任务分散到各个计算单元，完成后再进行结果合并。
 
 ![桶排序的并行计算](divide_and_conquer.assets/divide_and_conquer_parallel_computing.png)
 

docs/chapter_divide_and_conquer/hanota_problem.md

@@ -16,7 +16,7 @@
 
 ### 考虑基本情况
 
-对于问题 $f(1)$ ，即当只有一个圆盘时，则将它直接从 `A` 移动至 `C` 即可。
+如下图所示，对于问题 $f(1)$ ，即当只有一个圆盘时，我们将它直接从 `A` 移动至 `C` 即可。
 
 === "<1>"
     ![规模为 1 问题的解](hanota_problem.assets/hanota_f1_step1.png)
@@ -24,14 +24,12 @@
 === "<2>"
     ![hanota_f1_step2](hanota_problem.assets/hanota_f1_step2.png)
 
-对于问题 $f(2)$ ，即当有两个圆盘时，**由于要时刻满足小圆盘在大圆盘之上，因此需要借助 `B` 来完成移动**，包括三步：
+如下图所示，对于问题 $f(2)$ ，即当有两个圆盘时，**由于要时刻满足小圆盘在大圆盘之上，因此需要借助 `B` 来完成移动**。
 
 1. 先将上面的小圆盘从 `A` 移至 `B` 。
 2. 再将大圆盘从 `A` 移至 `C` 。
 3. 最后将小圆盘从 `B` 移至 `C` 。
 
-解决问题 $f(2)$ 的过程可总结为：**将两个圆盘借助 `B` 从 `A` 移至 `C`** 。其中，`C` 称为目标柱、`B` 称为缓冲柱。
-
 === "<1>"
     ![规模为 2 问题的解](hanota_problem.assets/hanota_f2_step1.png)
 
@@ -44,15 +42,18 @@
 === "<4>"
     ![hanota_f2_step4](hanota_problem.assets/hanota_f2_step4.png)
 
+解决问题 $f(2)$ 的过程可总结为：**将两个圆盘借助 `B` 从 `A` 移至 `C`** 。其中，`C` 称为目标柱、`B` 称为缓冲柱。
+
 ### 子问题分解
 
-对于问题 $f(3)$ ，即当有三个圆盘时，情况变得稍微复杂了一些。由于已知 $f(1)$ 和 $f(2)$ 的解，因此可从分治角度思考，**将 `A` 顶部的两个圆盘看做一个整体**，执行以下步骤：
+对于问题 $f(3)$ ，即当有三个圆盘时，情况变得稍微复杂了一些。
+
+因为已知 $f(1)$ 和 $f(2)$ 的解，所以我们可从分治角度思考，**将 `A` 顶部的两个圆盘看做一个整体**，执行下图所示的步骤。这样三个圆盘就被顺利地从 `A` 移动至 `C` 了。
 
 1. 令 `B` 为目标柱、`C` 为缓冲柱，将两个圆盘从 `A` 移动至 `B` 。
 2. 将 `A` 中剩余的一个圆盘从 `A` 直接移动至 `C` 。
 3. 令 `C` 为目标柱、`A` 为缓冲柱，将两个圆盘从 `B` 移动至 `C` 。
 
-这样三个圆盘就被顺利地从 `A` 移动至 `C` 了。
 
 === "<1>"
     ![规模为 3 问题的解](hanota_problem.assets/hanota_f3_step1.png)
@@ -68,7 +69,7 @@
 
 本质上看，**我们将问题 $f(3)$ 划分为两个子问题 $f(2)$ 和子问题 $f(1)$** 。按顺序解决这三个子问题之后，原问题随之得到解决。这说明子问题是独立的，而且解是可以合并的。
 
-至此，我们可总结出汉诺塔问题的分治策略：将原问题 $f(n)$ 划分为两个子问题 $f(n-1)$ 和一个子问题 $f(1)$ 。子问题的解决顺序为：
+至此，我们可总结出下图所示的汉诺塔问题的分治策略：将原问题 $f(n)$ 划分为两个子问题 $f(n-1)$ 和一个子问题 $f(1)$ 。子问题的解决顺序为：
 
 1. 将 $n-1$ 个圆盘借助 `C` 从 `A` 移至 `B` 。
 2. 将剩余 $1$ 个圆盘从 `A` 直接移至 `C` 。

docs/chapter_divide_and_conquer/summary.md

@@ -6,6 +6,6 @@
 - 引入分治策略往往可以带来算法效率的提升。一方面，分治策略减少了操作数量；另一方面，分治后有利于系统的并行优化。
 - 分治既可以解决许多算法问题，也广泛应用于数据结构与算法设计中，处处可见其身影。
 - 相较于暴力搜索，自适应搜索效率更高。时间复杂度为 $O(\log n)$ 的搜索算法通常都是基于分治策略实现的。
-- 二分查找是分治思想的另一个典型应用，它不包含将子问题的解进行合并的步骤。我们可以通过递归分治实现二分查找。
+- 二分查找是分治策略的另一个典型应用，它不包含将子问题的解进行合并的步骤。我们可以通过递归分治实现二分查找。
 - 在构建二叉树问题中，构建树（原问题）可以被划分为构建左子树和右子树（子问题），其可以通过划分前序遍历和中序遍历的索引区间来实现。
 - 在汉诺塔问题中，一个规模为 $n$ 的问题可以被划分为两个规模为 $n-1$ 的子问题和一个规模为 $1$ 的子问题。按顺序解决这三个子问题后，原问题随之得到解决。