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2023-08-21 19:33:45 +08:00
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给定 $n$ 种硬币,第 $i$ 种硬币的面值为 $coins[i - 1]$ ,目标金额为 $amt$ ,每种硬币可以重复选取,问能够凑出目标金额的最少硬币个数。如果无法凑出目标金额则返回 $-1$ 。
这道题的贪心策略在生活中很常见:给定目标金额,**我们贪心地选择不大于且最接近它的硬币**,不断循环该步骤,直至凑出目标金额为止。
题的贪心策略如下图所示。给定目标金额,**我们贪心地选择不大于且最接近它的硬币**,不断循环该步骤,直至凑出目标金额为止。
![零钱兑换的贪心策略](greedy_algorithm.assets/coin_change_greedy_strategy.png)
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**贪心算法不仅操作直接、实现简单,而且通常效率也很高**。在以上代码中,记硬币最小面值为 $\min(coins)$ ,则贪心选择最多循环 $amt / \min(coins)$ 次,时间复杂度为 $O(amt / \min(coins))$ 。这比动态规划解法的时间复杂度 $O(n \times amt)$ 提升了一个数量级。
然而,**对于某些硬币面值组合,贪心算法并不能找到最优解**。我们来看几个例子:
然而,**对于某些硬币面值组合,贪心算法并不能找到最优解**。下图给出了两个示例。
- **正例 $coins = [1, 5, 10, 20, 50, 100]$**:在该硬币组合下,给定任意 $amt$ ,贪心算法都可以找出最优解。
- **反例 $coins = [1, 20, 50]$**:假设 $amt = 60$ ,贪心算法只能找到 $50 + 1 \times 10$ 的兑换组合,共计 $11$ 枚硬币,但动态规划可以找到最优解 $20 + 20 + 20$ ,仅需 $3$ 枚硬币。