CS_learn/hello-algo
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2023-07-21 22:21:21 +08:00
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33
chapter_greedy/fractional_knapsack_problem/index.html
View File

@@ -3048,28 +3048,21 @@
<li class="md-nav__item">
<a href="#_1" class="md-nav__link">
第一步：问题分析
贪心策略确定
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
<a href="#_2" class="md-nav__link">
第二步：贪心策略确定
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
<a href="#_3" class="md-nav__link">
代码实现
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
<a href="#_4" class="md-nav__link">
第三步：正确性证明
<a href="#_3" class="md-nav__link">
正确性证明
</a>
</li>
@@ -3330,28 +3323,21 @@
<li class="md-nav__item">
<a href="#_1" class="md-nav__link">
第一步：问题分析
贪心策略确定
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
<a href="#_2" class="md-nav__link">
第二步：贪心策略确定
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
<a href="#_3" class="md-nav__link">
代码实现
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
<a href="#_4" class="md-nav__link">
第三步：正确性证明
<a href="#_3" class="md-nav__link">
正确性证明
</a>
</li>
@@ -3388,7 +3374,6 @@
<p><img alt="分数背包问题的示例数据" src="../fractional_knapsack_problem.assets/fractional_knapsack_example.png" /></p>
<p align="center"> Fig. 分数背包问题的示例数据 </p>
<h3 id="_1">第一步：问题分析<a class="headerlink" href="#_1" title="Permanent link">&para;</a></h3>
<p>本题和 0-1 背包整体上非常相似，状态包含当前物品 <span class="arithmatex">\(i\)</span> 和容量 <span class="arithmatex">\(c\)</span> ，目标是求不超过背包容量下的最大价值。</p>
<p>不同点在于，本题允许只选择物品的一部分，我们可以对物品任意地进行切分，并按照重量比例来计算物品价值，因此有：</p>
<ol>
@@ -3398,7 +3383,7 @@
<p><img alt="物品在单位重量下的价值" src="../fractional_knapsack_problem.assets/fractional_knapsack_unit_value.png" /></p>
<p align="center"> Fig. 物品在单位重量下的价值 </p>
<h3 id="_2">第二步：贪心策略确定<a class="headerlink" href="#_2" title="Permanent link">&para;</a></h3>
<h3 id="_1">贪心策略确定<a class="headerlink" href="#_1" title="Permanent link">&para;</a></h3>
<p>最大化背包内物品总价值，<strong>本质上是要最大化单位重量下的物品价值</strong>。由此便可推出本题的贪心策略：</p>
<ol>
<li>将物品按照单位价值从高到低进行排序。</li>
@@ -3408,7 +3393,7 @@
<p><img alt="分数背包的贪心策略" src="../fractional_knapsack_problem.assets/fractional_knapsack_greedy_strategy.png" /></p>
<p align="center"> Fig. 分数背包的贪心策略 </p>
<h3 id="_3">代码实现<a class="headerlink" href="#_3" title="Permanent link">&para;</a></h3>
<h3 id="_2">代码实现<a class="headerlink" href="#_2" title="Permanent link">&para;</a></h3>
<p>我们构建了一个物品类 <code>Item</code> ，以便将物品按照单位价值进行排序。循环进行贪心选择，当背包已满时跳出并返回解。</p>
<div class="tabbed-set tabbed-alternate" data-tabs="1:11"><input checked="checked" id="__tabbed_1_1" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_2" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_3" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_4" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_5" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_6" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_7" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_8" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_9" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_10" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_11" name="__tabbed_1" type="radio" /><div class="tabbed-labels"><label for="__tabbed_1_1">Java</label><label for="__tabbed_1_2">C++</label><label for="__tabbed_1_3">Python</label><label for="__tabbed_1_4">Go</label><label for="__tabbed_1_5">JavaScript</label><label for="__tabbed_1_6">TypeScript</label><label for="__tabbed_1_7">C</label><label for="__tabbed_1_8">C#</label><label for="__tabbed_1_9">Swift</label><label for="__tabbed_1_10">Zig</label><label for="__tabbed_1_11">Dart</label></div>
<div class="tabbed-content">
@@ -3569,7 +3554,7 @@
</div>
</div>
<p>最差情况下，需要遍历整个物品列表，<strong>因此时间复杂度为 <span class="arithmatex">\(O(n)\)</span></strong> ，其中 <span class="arithmatex">\(n\)</span> 为物品数量。由于初始化了一个 <code>Item</code> 对象列表，<strong>因此空间复杂度为 <span class="arithmatex">\(O(n)\)</span></strong> 。</p>
<h3 id="_4">第三步：正确性证明<a class="headerlink" href="#_4" title="Permanent link">&para;</a></h3>
<h3 id="_3">正确性证明<a class="headerlink" href="#_3" title="Permanent link">&para;</a></h3>
<p>采用反证法。假设物品 <span class="arithmatex">\(x\)</span> 是单位价值最高的物品，使用某算法求得最大价值为 <span class="arithmatex">\(res\)</span> ，但该解中不包含物品 <span class="arithmatex">\(x\)</span> 。</p>
<p>现在从背包中拿出单位重量的任意物品，并替换为单位重量的物品 <span class="arithmatex">\(x\)</span> 。由于物品 <span class="arithmatex">\(x\)</span> 的单位价值最高，因此替换后的总价值一定大于 <span class="arithmatex">\(res\)</span> 。<strong>这与 <span class="arithmatex">\(res\)</span> 是最优解矛盾，说明最优解中必须包含物品 <span class="arithmatex">\(x\)</span> 。</strong></p>
<p>对于该解中的其他物品，我们也可以构建出上述矛盾。总而言之，<strong>单位价值更大的物品总是更优选择</strong>，这说明贪心策略是有效的。</p>

33
chapter_greedy/max_capacity_problem/index.html
View File

@@ -3076,28 +3076,21 @@
<li class="md-nav__item">
<a href="#_1" class="md-nav__link">
第一步：问题分析
贪心策略确定
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
<a href="#_2" class="md-nav__link">
第二步：贪心策略确定
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
<a href="#_3" class="md-nav__link">
代码实现
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
<a href="#_4" class="md-nav__link">
第三步：正确性证明
<a href="#_3" class="md-nav__link">
正确性证明
</a>
</li>
@@ -3330,28 +3323,21 @@
<li class="md-nav__item">
<a href="#_1" class="md-nav__link">
第一步：问题分析
贪心策略确定
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
<a href="#_2" class="md-nav__link">
第二步：贪心策略确定
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
<a href="#_3" class="md-nav__link">
代码实现
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
<a href="#_4" class="md-nav__link">
第三步：正确性证明
<a href="#_3" class="md-nav__link">
正确性证明
</a>
</li>
@@ -3388,14 +3374,13 @@
<p><img alt="最大容量问题的示例数据" src="../max_capacity_problem.assets/max_capacity_example.png" /></p>
<p align="center"> Fig. 最大容量问题的示例数据 </p>
<h3 id="_1">第一步：问题分析<a class="headerlink" href="#_1" title="Permanent link">&para;</a></h3>
<p>容器由任意两个隔板围成，<strong>因此本题的状态为两个隔板的索引，记为 <span class="arithmatex">\([i, j]\)</span></strong> 。</p>
<p>根据定义，容量等于高度乘以宽度，其中高度由短板决定，宽度是两隔板的索引之差。设容量为 <span class="arithmatex">\(cap[i, j]\)</span> ，可得计算公式：</p>
<div class="arithmatex">\[
cap[i, j] = \min(ht[i], ht[j]) \times (j - i)
\]</div>
<p>设数组长度为 <span class="arithmatex">\(n\)</span> ，两个隔板的组合数量（即状态总数）为 <span class="arithmatex">\(C_n^2 = \frac{n(n - 1)}{2}\)</span> 个。最直接地，<strong>我们可以穷举所有状态</strong>，从而求得最大容量，时间复杂度为 <span class="arithmatex">\(O(n^2)\)</span> 。</p>
<h3 id="_2">第二步：贪心策略确定<a class="headerlink" href="#_2" title="Permanent link">&para;</a></h3>
<h3 id="_1">贪心策略确定<a class="headerlink" href="#_1" title="Permanent link">&para;</a></h3>
<p>当然，这道题还有更高效率的解法。如下图所示，现选取一个状态 <span class="arithmatex">\([i, j]\)</span> ，其满足索引 <span class="arithmatex">\(i &lt; j\)</span> 且高度 <span class="arithmatex">\(ht[i] &lt; ht[j]\)</span> ，即 <span class="arithmatex">\(i\)</span> 为短板、 <span class="arithmatex">\(j\)</span> 为长板。</p>
<p><img alt="初始状态" src="../max_capacity_problem.assets/max_capacity_initial_state.png" /></p>
<p align="center"> Fig. 初始状态 </p>
@@ -3450,7 +3435,7 @@ cap[i, j] = \min(ht[i], ht[j]) \times (j - i)
</div>
</div>
</div>
<h3 id="_3">代码实现<a class="headerlink" href="#_3" title="Permanent link">&para;</a></h3>
<h3 id="_2">代码实现<a class="headerlink" href="#_2" title="Permanent link">&para;</a></h3>
<p>如下代码所示，循环最多 <span class="arithmatex">\(n\)</span> 轮，<strong>因此时间复杂度为 <span class="arithmatex">\(O(n)\)</span></strong> 。变量 <span class="arithmatex">\(i\)</span> , <span class="arithmatex">\(j\)</span> , <span class="arithmatex">\(res\)</span> 使用常数大小额外空间，<strong>因此空间复杂度为 <span class="arithmatex">\(O(1)\)</span></strong> 。</p>
<div class="tabbed-set tabbed-alternate" data-tabs="2:11"><input checked="checked" id="__tabbed_2_1" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_2" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_3" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_4" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_5" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_6" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_7" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_8" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_9" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_10" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_11" name="__tabbed_2" type="radio" /><div class="tabbed-labels"><label for="__tabbed_2_1">Java</label><label for="__tabbed_2_2">C++</label><label for="__tabbed_2_3">Python</label><label for="__tabbed_2_4">Go</label><label for="__tabbed_2_5">JavaScript</label><label for="__tabbed_2_6">TypeScript</label><label for="__tabbed_2_7">C</label><label for="__tabbed_2_8">C#</label><label for="__tabbed_2_9">Swift</label><label for="__tabbed_2_10">Zig</label><label for="__tabbed_2_11">Dart</label></div>
<div class="tabbed-content">
@@ -3554,7 +3539,7 @@ cap[i, j] = \min(ht[i], ht[j]) \times (j - i)
</div>
</div>
</div>
<h3 id="_4">第三步：正确性证明<a class="headerlink" href="#_4" title="Permanent link">&para;</a></h3>
<h3 id="_3">正确性证明<a class="headerlink" href="#_3" title="Permanent link">&para;</a></h3>
<p>之所以贪心比穷举更快，是因为每轮的贪心选择都会“跳过”一些状态。</p>
<p>比如在状态 <span class="arithmatex">\(cap[i, j]\)</span> 下，<span class="arithmatex">\(i\)</span> 为短板、<span class="arithmatex">\(j\)</span> 为长板。若贪心地将短板 <span class="arithmatex">\(i\)</span> 向内移动一格，会导致以下状态被“跳过”，<strong>意味着之后无法验证这些状态的容量大小</strong>。</p>
<div class="arithmatex">\[

33
chapter_greedy/max_product_cutting_problem/index.html
View File

@@ -3104,28 +3104,21 @@
<li class="md-nav__item">
<a href="#_1" class="md-nav__link">
第一步：问题分析
贪心策略确定
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
<a href="#_2" class="md-nav__link">
第二步：贪心策略确定
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
<a href="#_3" class="md-nav__link">
代码实现
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
<a href="#_4" class="md-nav__link">
第三步：正确性证明
<a href="#_3" class="md-nav__link">
正确性证明
</a>
</li>
@@ -3330,28 +3323,21 @@
<li class="md-nav__item">
<a href="#_1" class="md-nav__link">
第一步：问题分析
贪心策略确定
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
<a href="#_2" class="md-nav__link">
第二步：贪心策略确定
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
<a href="#_3" class="md-nav__link">
代码实现
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
<a href="#_4" class="md-nav__link">
第三步：正确性证明
<a href="#_3" class="md-nav__link">
正确性证明
</a>
</li>
@@ -3384,7 +3370,6 @@
<p class="admonition-title">Question</p>
<p>给定一个正整数 <span class="arithmatex">\(n\)</span> ，将其切分为至少两个正整数的和，求切分后所有整数的乘积最大是多少。</p>
</div>
<h3 id="_1">第一步：问题分析<a class="headerlink" href="#_1" title="Permanent link">&para;</a></h3>
<p><img alt="最大切分乘积的问题定义" src="../max_product_cutting_problem.assets/max_product_cutting_definition.png" /></p>
<p align="center"> Fig. 最大切分乘积的问题定义 </p>
@@ -3397,7 +3382,7 @@ n = \sum_{i=1}^{m}n_i
\max(\prod_{i=1}^{m}n_i)
\]</div>
<p>我们需要思考的是：切分数量 <span class="arithmatex">\(m\)</span> 应该多大，每个 <span class="arithmatex">\(n_i\)</span> 应该是多少？</p>
<h3 id="_2">第二步：贪心策略确定<a class="headerlink" href="#_2" title="Permanent link">&para;</a></h3>
<h3 id="_1">贪心策略确定<a class="headerlink" href="#_1" title="Permanent link">&para;</a></h3>
<p>根据经验，两个整数的和往往比它们的积更小。假设从 <span class="arithmatex">\(n\)</span> 中分出一个因子 <span class="arithmatex">\(2\)</span> ，则它们的乘积为 <span class="arithmatex">\(2(n-2)\)</span> 。我们将该乘积与 <span class="arithmatex">\(n\)</span> 作比较：</p>
<div class="arithmatex">\[
\begin{aligned}
@@ -3424,7 +3409,7 @@ n &amp; \geq 4
<li>当余数为 <span class="arithmatex">\(2\)</span> 时，不继续划分，保留之。</li>
<li>当余数为 <span class="arithmatex">\(1\)</span> 时，由于 <span class="arithmatex">\(2 \times 2 &gt; 1 \times 3\)</span> ，因此应将最后一个 <span class="arithmatex">\(3\)</span> 替换为 <span class="arithmatex">\(2\)</span> 。</li>
</ol>
<h3 id="_3">代码实现<a class="headerlink" href="#_3" title="Permanent link">&para;</a></h3>
<h3 id="_2">代码实现<a class="headerlink" href="#_2" title="Permanent link">&para;</a></h3>
<p>在代码中，我们无需开启循环来切分，可以直接利用向下整除得到 <span class="arithmatex">\(3\)</span> 的个数 <span class="arithmatex">\(a\)</span> ，用取模运算得到余数 <span class="arithmatex">\(b\)</span> ，即：</p>
<div class="arithmatex">\[
n = 3 a + b
@@ -3539,7 +3524,7 @@ n = 3 a + b
<li>函数 <code>math.pow()</code> 内部调用 C 语言库的 <code>pow()</code> 函数，其执行浮点取幂，时间复杂度为 <span class="arithmatex">\(O(1)\)</span> 。</li>
</ul>
<p>变量 <span class="arithmatex">\(a\)</span> , <span class="arithmatex">\(b\)</span> 使用常数大小的额外空间，<strong>因此空间复杂度为 <span class="arithmatex">\(O(1)\)</span></strong> 。</p>
<h3 id="_4">第三步：正确性证明<a class="headerlink" href="#_4" title="Permanent link">&para;</a></h3>
<h3 id="_3">正确性证明<a class="headerlink" href="#_3" title="Permanent link">&para;</a></h3>
<p>使用反证法，只分析 <span class="arithmatex">\(n \geq 3\)</span> 的情况。</p>
<ol>
<li><strong>所有因子 <span class="arithmatex">\(\leq 3\)</span></strong> :假设最优切分方案中存在 <span class="arithmatex">\(\geq 4\)</span> 的因子 <span class="arithmatex">\(x\)</span> ，那么一定可以将其继续划分为 <span class="arithmatex">\(2(x-2)\)</span> ，从而获得更大的乘积。这与假设矛盾。</li>