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docs/chapter_dynamic_programming/intro_to_dynamic_programming.md

@@ -395,9 +395,29 @@ comments: true
 === "Ruby"
 
     ```ruby title="climbing_stairs_backtrack.rb"
-    [class]{}-[func]{backtrack}
+    ### 回溯 ###
+    def backtrack(choices, state, n, res)
+      # 当爬到第 n 阶时，方案数量加 1
+      res[0] += 1 if state == n
+      # 遍历所有选择
+      for choice in choices
+        # 剪枝：不允许越过第 n 阶
+        next if state + choice > n
 
-    [class]{}-[func]{climbing_stairs_backtrack}
+        # 尝试：做出选择，更新状态
+        backtrack(choices, state + choice, n, res)
+      end
+      # 回退
+    end
+
+    ### 爬楼梯：回溯 ###
+    def climbing_stairs_backtrack(n)
+      choices = [1, 2] # 可选择向上爬 1 阶或 2 阶
+      state = 0 # 从第 0 阶开始爬
+      res = [0] # 使用 res[0] 记录方案数量
+      backtrack(choices, state, n, res)
+      res.first
+    end
     ```
 
 === "Zig"
@@ -694,9 +714,18 @@ $$
 === "Ruby"
 
     ```ruby title="climbing_stairs_dfs.rb"
-    [class]{}-[func]{dfs}
+    ### 搜索 ###
+    def dfs(i)
+      # 已知 dp[1] 和 dp[2] ，返回之
+      return i if i == 1 || i == 2
+      # dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
+      dfs(i - 1) + dfs(i - 2)
+    end
 
-    [class]{}-[func]{climbing_stairs_dfs}
+    ### 爬楼梯：搜索 ###
+    def climbing_stairs_dfs(n)
+      dfs(n)
+    end
     ```
 
 === "Zig"
@@ -1065,9 +1094,25 @@ $$
 === "Ruby"
 
     ```ruby title="climbing_stairs_dfs_mem.rb"
-    [class]{}-[func]{dfs}
+    ### 记忆化搜索 ###
+    def dfs(i, mem)
+      # 已知 dp[1] 和 dp[2] ，返回之
+      return i if i == 1 || i == 2
+      # 若存在记录 dp[i] ，则直接返回之
+      return mem[i] if mem[i] != -1
 
-    [class]{}-[func]{climbing_stairs_dfs_mem}
+      # dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
+      count = dfs(i - 1, mem) + dfs(i - 2, mem)
+      # 记录 dp[i]
+      mem[i] = count
+    end
+
+    ### 爬楼梯：记忆化搜索 ###
+    def climbing_stairs_dfs_mem(n)
+      # mem[i] 记录爬到第 i 阶的方案总数，-1 代表无记录
+      mem = Array.new(n + 1, -1)
+      dfs(n, mem)
+    end
     ```
 
 === "Zig"
@@ -1359,7 +1404,19 @@ $$
 === "Ruby"
 
     ```ruby title="climbing_stairs_dp.rb"
-    [class]{}-[func]{climbing_stairs_dp}
+    ### 爬楼梯：动态规划 ###
+    def climbing_stairs_dp(n)
+      return n  if n == 1 || n == 2
+
+      # 初始化 dp 表，用于存储子问题的解
+      dp = Array.new(n + 1, 0)
+      # 初始状态：预设最小子问题的解
+      dp[1], dp[2] = 1, 2
+      # 状态转移：从较小子问题逐步求解较大子问题
+      (3...(n + 1)).each { |i| dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2] }
+
+      dp[n]
+    end
     ```
 
 === "Zig"
@@ -1610,7 +1667,15 @@ $$
 === "Ruby"
 
     ```ruby title="climbing_stairs_dp.rb"
-    [class]{}-[func]{climbing_stairs_dp_comp}
+    ### 爬楼梯：空间优化后的动态规划 ###
+    def climbing_stairs_dp_comp(n)
+      return n if n == 1 || n == 2
+
+      a, b = 1, 2
+      (3...(n + 1)).each { a, b = b, a + b }
+
+      b
+    end
     ```
 
 === "Zig"